UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations Ex 44

Question 1. k का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए समीकरण \( x^2 – 4x + k = 0 \) के मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
Answer: दिए गए समीकरण को \( ax^2 + bx + c = 0 \) से तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( a = 1, b = -4, c = k \)
मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए, विविक्तकर (discriminant) \( D \) को शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह सुनिश्चित करता है कि समीकरण के दो अलग-अलग वास्तविक हल हैं।
\( D > 0 \)
\( b^2 - 4ac > 0 \)
\( (-4)^2 - 4 \times 1 \times k > 0 \)
\( 16 - 4k > 0 \)
\( 16 > 4k \)
\( \frac{16}{4} > k \)
\( \implies k < 4 \)
In simple words: हमें k का ऐसा मान खोजना था जिसके लिए समीकरण के हल वास्तविक और अलग-अलग हों। इसका मतलब है कि \( b^2 - 4ac \) का मान 0 से बड़ा होना चाहिए। जब हमने यह शर्त लगाई और हल किया, तो हमें मिला कि k का मान 4 से छोटा होना चाहिए।

🎯 Exam Tip: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \( D > 0 \), वास्तविक और समान मूलों के लिए \( D = 0 \), तथा अवास्तविक मूलों के लिए \( D < 0 \) की शर्त को याद रखें।

Question 2. यदि P, q और r वास्तविक हैं तथा \( p \neq q \) तब सिद्ध कीजिए कि समीकरण \( (p – q)x^2 + 5(p + q)x – 2(p – q) = 0 \) के मूल वास्तविक और असमान हैं।
Answer: दिए गए समीकरण को \( ax^2 + bx + c = 0 \) से तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( a = (p – q) \)
\( b = 5(p + q) \)
\( c = -2(p – q) \)
मूलों की प्रकृति जानने के लिए, हम विविक्तकर (D) ज्ञात करेंगे। विविक्तकर का मान हमें बताता है कि मूल वास्तविक हैं या नहीं, और यदि वास्तविक हैं तो वे समान हैं या भिन्न।
\( D = b^2 - 4ac \)
\( D = \{5(p + q)\}^2 - 4(p – q) \times \{-2(p – q)\} \)
\( D = 25(p + q)^2 + 8(p – q)^2 \)
\( D = 25(p^2 + q^2 + 2pq) + 8(p^2 + q^2 - 2pq) \)
\( D = 25p^2 + 25q^2 + 50pq + 8p^2 + 8q^2 - 16pq \)
\( D = 33p^2 + 33q^2 + 34pq \)
क्योंकि p और q वास्तविक संख्याएँ हैं और \( p \neq q \), इसका मतलब है कि \( (p – q)^2 \) हमेशा शून्य से बड़ा होगा। इसलिए \( 8(p – q)^2 \) भी हमेशा धनात्मक होगा। साथ ही, \( 25(p + q)^2 \) भी हमेशा धनात्मक या शून्य होगा। इन दोनों के योग से, \( D = 25(p + q)^2 + 8(p – q)^2 \) हमेशा शून्य से बड़ा होगा।
\( D > 0 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरण के मूल वास्तविक और असमान हैं। यह सिद्ध हुआ।
In simple words: हमने समीकरण के विविक्तकर (D) का मान निकाला. चूंकि \( p \neq q \) था, तो \( (p-q)^2 \) हमेशा 0 से बड़ा होगा. इससे हमने यह दिखाया कि D का मान हमेशा 0 से बड़ा ही आएगा. जब D का मान 0 से बड़ा होता है, तो मूल वास्तविक और एक-दूसरे से अलग होते हैं.

🎯 Exam Tip: यह सिद्ध करने के लिए कि मूल वास्तविक और असमान हैं, आपको विविक्तकर \( D = b^2 - 4ac \) का मान ज्ञात करना होगा और दिखाना होगा कि \( D > 0 \)।

Question 3. k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण \( x² + 5kx + 16 = 0 \) के मूल वास्तविक नहीं हैं।
Answer: दिए गए समीकरण को \( ax^2 + bx + c = 0 \) से तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( a = 1, b = 5k, c = 16 \)
समीकरण के मूल वास्तविक नहीं होने के लिए, विविक्तकर (D) को शून्य से छोटा होना चाहिए। इसका अर्थ है कि समीकरण के कोई वास्तविक हल नहीं हैं।
\( D < 0 \)
\( b^2 - 4ac < 0 \)
\( (5k)^2 - 4 \times 1 \times 16 < 0 \)
\( 25k^2 - 64 < 0 \)
\( 25k^2 < 64 \)
\( k^2 < \frac{64}{25} \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( k < \pm \sqrt{\frac{64}{25}} \)
\( k < \pm \frac{8}{5} \)
जब \( k^2 < a^2 \) हो, तो \( -a < k < a \) होता है। इस नियम का प्रयोग करके:
\( -\frac{8}{5} < k < \frac{8}{5} \)
यह k का वह मान है जिसके लिए समीकरण के मूल वास्तविक नहीं हैं।
In simple words: हमें k का मान निकालना था ताकि समीकरण के मूल वास्तविक न हों। इसके लिए हमने \( b^2 - 4ac \) को 0 से छोटा रखा। जब हमने इसे हल किया, तो हमें पता चला कि k का मान \( -\frac{8}{5} \) और \( \frac{8}{5} \) के बीच होना चाहिए।

🎯 Exam Tip: अवास्तविक मूलों (imaginary roots) के लिए हमेशा \( D < 0 \) का उपयोग करें। यह समझना महत्वपूर्ण है कि \( k^2 < a^2 \) का हल \( -a < k < a \) होता है।

Question 4. k के किस मान के लिए, \( (4 – k)x² + (2k + 4)x + (8k + 1) = 0 \) पूर्ण वर्ग है?
Answer: दिए गए समीकरण को \( ax^2 + bx + c = 0 \) से तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( a = (4 – k) \)
\( b = (2k + 4) \)
\( c = (8k + 1) \)
एक द्विघात समीकरण पूर्ण वर्ग तब होता है जब उसके मूल वास्तविक और समान हों। यह तभी होता है जब विविक्तकर (D) शून्य के बराबर हो। जब \( D = 0 \) होता है, तो समीकरण को एक पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है।
\( D = 0 \)
\( b^2 - 4ac = 0 \)
\( (2k + 4)^2 - 4(4 – k)(8k + 1) = 0 \)
\( 4k^2 + 16 + 16k - 4(32k + 4 – 8k^2 – k) = 0 \)
\( 4k^2 + 16 + 16k - 4(-8k^2 + 31k + 4) = 0 \)
\( 4k^2 + 16 + 16k + 32k^2 - 124k - 16 = 0 \)
\( 36k^2 - 108k = 0 \)
\( 36k(k - 3) = 0 \)
यहाँ से, दो संभावनाएँ हैं:
\( 36k = 0 \implies k = 0 \)
या
\( k - 3 = 0 \implies k = 3 \)
लेकिन प्रश्न में `9k^2 - 27k > 0` लिखा है जो `9k(k - 3) > 0` है. यदि k > 0 और k > 3 हो, तो k > 3. यदि k < 0 और k < 3 हो, तो k < 0. यहां पर `D=0` वाली शर्त से \( k=0 \) या \( k=3 \) प्राप्त होता है, जो समीकरण को पूर्ण वर्ग बनाता है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि प्रश्न में `D > 0` की शर्त नहीं होनी चाहिए क्योंकि पूर्ण वर्ग के लिए `D = 0` आवश्यक है। दिए गए हल में `9k^2 - 27k > 0` का मतलब है कि मूल वास्तविक और भिन्न हैं, न कि पूर्ण वर्ग। पूर्ण वर्ग के लिए विविक्तकर का शून्य होना आवश्यक है। अतः, दिए गए हल में कुछ त्रुटि प्रतीत होती है। सही शर्त `D=0` है। तो, \( k=0 \) या \( k=3 \) होने पर समीकरण पूर्ण वर्ग होगा।
In simple words: एक समीकरण तब पूर्ण वर्ग होता है जब उसके हल एक जैसे हों। ऐसा तब होता है जब \( b^2 - 4ac \) का मान 0 हो। हमने यही शर्त लगाई और k का मान 0 या 3 पाया। इसका मतलब है कि अगर k का मान 0 या 3 होगा, तो समीकरण को हम किसी संख्या के वर्ग के रूप में लिख पाएंगे।

🎯 Exam Tip: कोई भी द्विघात समीकरण पूर्ण वर्ग तभी होता है जब उसका विविक्तकर \( D = b^2 - 4ac \) शून्य के बराबर हो। इस शर्त को हमेशा याद रखें।

Question 5. k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण \( x^2 + k(2x + k - 1) + 2 = 0 \) के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
Answer: दिए गए समीकरण को पहले मानक रूप \( ax^2 + bx + c = 0 \) में बदलें:
\( x^2 + 2kx + k^2 - k + 2 = 0 \)
इस समीकरण से तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( a = 1 \)
\( b = 2k \)
\( c = k^2 - k + 2 \)
मूल वास्तविक और बराबर होने के लिए, विविक्तकर (D) शून्य के बराबर होना चाहिए। यह स्थिति दर्शाती है कि समीकरण का केवल एक ही अद्वितीय वास्तविक हल है।
\( D = 0 \)
\( b^2 - 4ac = 0 \)
\( (2k)^2 - 4 \times 1 \times (k^2 - k + 2) = 0 \)
\( 4k^2 - 4(k^2 - k + 2) = 0 \)
\( 4k^2 - 4k^2 + 4k - 8 = 0 \)
\( 4k - 8 = 0 \)
\( 4k = 8 \)
\( k = \frac{8}{4} \)
\( k = 2 \)
तो, k का मान 2 होने पर दिए गए समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर होंगे।
In simple words: हमें k का ऐसा मान निकालना था जिसके लिए समीकरण के हल वास्तविक और एक जैसे हों। इसके लिए हमने \( b^2 - 4ac \) को 0 के बराबर रखा। जब हमने इसे हल किया, तो हमें k का मान 2 मिला।

🎯 Exam Tip: मूल वास्तविक और बराबर होने की शर्त \( D = 0 \) को लागू करने से पहले, हमेशा समीकरण को \( ax^2 + bx + c = 0 \) के मानक रूप में व्यवस्थित करें।

Question 6. निम्नलिखित प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए निम्न समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
(i) \( x^2 – 2(k + 1)x + k^2 = 0 \)
(ii) \( k^2x^2 – 2(2k – 1)x + 4 = 0 \)
(iii) \( (k + 1)x^2 – 2(k − 1)x + 1 = 0 \)
(iv) \( kx(x – 2) + 6 = 0 \)
(v) \( x^2 – 4kx + k = 0 \)
Answer: मूल वास्तविक और बराबर होने के लिए, विविक्तकर (D) शून्य के बराबर होना चाहिए ( \( b^2 - 4ac = 0 \) )। हम प्रत्येक भाग को इसी नियम से हल करेंगे।
(i) \( x^2 – 2(k + 1)x + k^2 = 0 \)
यहाँ \( a = 1, b = -2(k + 1), c = k^2 \)
\( D = b^2 - 4ac = 0 \)
\( [-2(k + 1)]^2 - 4 \times 1 \times k^2 = 0 \)
\( 4(k + 1)^2 - 4k^2 = 0 \)
\( 4(k^2 + 2k + 1) - 4k^2 = 0 \)
\( 4k^2 + 8k + 4 - 4k^2 = 0 \)
\( 8k + 4 = 0 \)
\( 8k = -4 \)
\( k = -\frac{4}{8} \)
\( \implies k = -\frac{1}{2} \)
(ii) \( k^2x^2 – 2(2k – 1)x + 4 = 0 \)
यहाँ \( a = k^2, b = -2(2k - 1), c = 4 \)
\( D = b^2 - 4ac = 0 \)
\( [-2(2k - 1)]^2 - 4 \times k^2 \times 4 = 0 \)
\( 4(2k - 1)^2 - 16k^2 = 0 \)
\( 4[(2k - 1)^2 - 4k^2] = 0 \)
\( (2k - 1)^2 - (2k)^2 = 0 \)
यह \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \) के रूप में है, जहाँ \( A = (2k - 1) \) और \( B = 2k \)
\( (2k - 1 - 2k)(2k - 1 + 2k) = 0 \)
\( (-1)(4k - 1) = 0 \)
\( -4k + 1 = 0 \)
\( 1 = 4k \)
\( \implies k = \frac{1}{4} \)
(iii) \( (k + 1)x^2 – 2(k - 1)x + 1 = 0 \)
यहाँ \( a = (k + 1), b = -2(k - 1), c = 1 \)
\( D = b^2 - 4ac = 0 \)
\( [-2(k - 1)]^2 - 4 \times (k + 1) \times 1 = 0 \)
\( 4(k - 1)^2 - 4(k + 1) = 0 \)
\( 4[(k - 1)^2 - (k + 1)] = 0 \)
\( (k^2 - 2k + 1) - (k + 1) = 0 \)
\( k^2 - 2k + 1 - k - 1 = 0 \)
\( k^2 - 3k = 0 \)
\( k(k - 3) = 0 \)
इसलिए, \( k = 0 \) या \( k = 3 \)
(iv) \( kx(x – 2) + 6 = 0 \)
पहले इसे मानक रूप में बदलें: \( kx^2 - 2kx + 6 = 0 \)
यहाँ \( a = k, b = -2k, c = 6 \)
\( D = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (-2k)^2 - 4 \times k \times 6 = 0 \)
\( 4k^2 - 24k = 0 \)
\( 4k(k - 6) = 0 \)
इसलिए, \( 4k = 0 \) या \( k - 6 = 0 \)
\( k = 0 \) या \( k = 6 \)
(v) \( x^2 – 4kx + k = 0 \)
यहाँ \( a = 1, b = -4k, c = k \)
\( D = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (-4k)^2 - 4 \times 1 \times k = 0 \)
\( 16k^2 - 4k = 0 \)
\( 4k(4k - 1) = 0 \)
इसलिए, \( 4k = 0 \) या \( 4k - 1 = 0 \)
\( k = 0 \) या \( 4k = 1 \)
\( \implies k = 0 \) या \( k = \frac{1}{4} \)
In simple words: हमने हर समीकरण के लिए \( b^2 - 4ac \) को 0 के बराबर रखा, क्योंकि मूल वास्तविक और बराबर होने के लिए यह ज़रूरी है। फिर हमने हर समीकरण में k का मान निकालने के लिए इसे हल किया। इससे हमें प्रत्येक स्थिति के लिए k के मान मिल गए।

🎯 Exam Tip: जब समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हों, तो \( b^2 - 4ac = 0 \) की शर्त को बिना भूले लागू करें। समीकरण को मानक रूप में बदलना पहला महत्वपूर्ण कदम है।

Question 7. यदि समीकरण \( (b - c)x^2 + (c – a)x + (a – b) = 0 \) के मूल बराबर हैं तब सिद्ध कीजिए कि \( 2b = a + c \) अर्थात् a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं।
Answer: दिए गए समीकरण को \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) से तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( A = (b - c) \)
\( B = (c - a) \)
\( C = (a - b) \)
क्योंकि समीकरण के मूल बराबर हैं, इसलिए विविक्तकर (D) शून्य के बराबर होगा। जब मूल बराबर होते हैं, तो यह दर्शाता है कि समीकरण का केवल एक ही अद्वितीय वास्तविक हल है।
\( D = 0 \)
\( B^2 - 4AC = 0 \)
\( (c - a)^2 - 4(b - c)(a - b) = 0 \)
\( (c^2 - 2ac + a^2) - 4(ab - b^2 - ac + bc) = 0 \)
\( c^2 - 2ac + a^2 - 4ab + 4b^2 + 4ac - 4bc = 0 \)
\( c^2 + a^2 + 4b^2 + 2ac - 4ab - 4bc = 0 \)
इसे हम \( (x + y + z)^2 \) के रूप में लिख सकते हैं। यहाँ, \( (a)^2 + (2b)^2 + (c)^2 - 2a(2b) + 2(2b)c - 2ca = 0 \)
\( (a - 2b + c)^2 = 0 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( a - 2b + c = 0 \)
\( a + c = 2b \)
या \( 2b = a + c \)
यह स्थिति दर्शाती है कि a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं। जब तीन संख्याएँ समान्तर श्रेणी में होती हैं, तो बीच वाली संख्या का दोगुना पहली और तीसरी संख्या के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्।
In simple words: हमें दिखाना था कि यदि समीकरण के मूल बराबर हैं, तो a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं। हमने \( b^2 - 4ac = 0 \) की शर्त लगाई और इसे हल किया। अंत में, हमें \( 2b = a + c \) मिला, जो समान्तर श्रेणी की परिभाषा है।

🎯 Exam Tip: समान्तर श्रेणी की परिभाषा \( 2b = a + c \) को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है। यदि आपको \( (A+B+C)^2 \) जैसा पैटर्न मिलता है, तो उसे हल करने में आसानी होगी।

Question 8. k के किस मान के लिए, द्विघात समीकरण \( (3k + 1)x^2 + 2(k + 1)x + 1 = 0 \) के मूल बराबर हैं?
Answer: दिए गए समीकरण को \( ax^2 + bx + c = 0 \) से तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( a = (3k + 1) \)
\( b = 2(k + 1) \)
\( c = 1 \)
मूल बराबर होने के लिए, विविक्तकर (D) शून्य के बराबर होना चाहिए। यह स्थिति दर्शाती है कि समीकरण का केवल एक ही अद्वितीय वास्तविक हल है।
\( D = 0 \)
\( b^2 - 4ac = 0 \)
\( [2(k + 1)]^2 - 4(3k + 1) \times 1 = 0 \)
\( 4(k + 1)^2 - 4(3k + 1) = 0 \)
\( 4[(k + 1)^2 - (3k + 1)] = 0 \)
\( (k^2 + 2k + 1) - (3k + 1) = 0 \)
\( k^2 + 2k + 1 - 3k - 1 = 0 \)
\( k^2 - k = 0 \)
\( k(k - 1) = 0 \)
यहाँ से, दो संभावनाएँ हैं:
\( k = 0 \)
या
\( k - 1 = 0 \implies k = 1 \)
तो, k का मान 0 या 1 होने पर दिए गए समीकरण के मूल बराबर होंगे।
In simple words: हमें k का वह मान निकालना था जिसके लिए समीकरण के हल एक जैसे हों। इसके लिए हमने \( b^2 - 4ac \) को 0 के बराबर रखा। जब हमने इसे हल किया, तो हमें k के दो मान मिले: 0 और 1।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप \( (k+1)^2 \) और \( (3k+1) \) जैसे पदों का विस्तार करते समय सावधानी बरतें। दोनों पक्षों से 4 को कॉमन लेकर हल को आसान बनाया जा सकता है।

Question 9. k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए द्विघात समीकरण \( (k + 1)x^2 – 6(k + 1)x + 3(k + 9) = 0, k \neq – 1 \) के मूल बराबर हैं तथा मूलों को भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए समीकरण को \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) से तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( A = (k + 1) \)
\( B = -6(k + 1) \)
\( C = 3(k + 9) \)
मूल बराबर होने के लिए, विविक्तकर (D) शून्य के बराबर होना चाहिए।
\( D = 0 \)
\( B^2 - 4AC = 0 \)
\( [-6(k + 1)]^2 - 4 \times (k + 1) \times 3(k + 9) = 0 \)
\( 36(k + 1)^2 - 12(k + 1)(k + 9) = 0 \)
\( 12(k + 1)[3(k + 1) - (k + 9)] = 0 \)
चूंकि \( k \neq -1 \), हम \( (k + 1) \) से भाग दे सकते हैं:
\( 3(k + 1) - (k + 9) = 0 \)
\( 3k + 3 - k - 9 = 0 \)
\( 2k - 6 = 0 \)
\( 2k = 6 \)
\( k = 3 \)
अब, k का मान 3 को मूल समीकरण में रखने पर, हमें मिलता है:
\( (3 + 1)x^2 - 6(3 + 1)x + 3(3 + 9) = 0 \)
\( 4x^2 - 6(4)x + 3(12) = 0 \)
\( 4x^2 - 24x + 36 = 0 \)
पूरे समीकरण को 4 से भाग देने पर:
\( x^2 - 6x + 9 = 0 \)
यह एक पूर्ण वर्ग है, जिसे \( (x - 3)^2 = 0 \) के रूप में लिखा जा सकता है।
\( (x - 3)(x - 3) = 0 \)
इसलिए, मूल हैं:
\( x = 3, 3 \)
In simple words: पहले, हमने k का मान निकाला जिसके लिए समीकरण के हल एक जैसे हों। इसके लिए हमने \( b^2 - 4ac \) को 0 के बराबर रखा और हल किया, जिससे k का मान 3 मिला। फिर, हमने इस k के मान को मूल समीकरण में डाला और समीकरण को हल किया। हमें पता चला कि दोनों हल 3 हैं।

🎯 Exam Tip: यदि \( k \neq -1 \) जैसी शर्त दी गई हो, तो आप उस पद से भाग दे सकते हैं। k का मान ज्ञात करने के बाद, मूलों को खोजने के लिए इसे हमेशा मूल समीकरण में वापस रखें।

Question 10. यदि \( – 5 \), एक द्विघात समीकरण \( 2x^2 + px – 15 = 0 \) का मूल है और द्विघात समीकरण \( p(x^2 + x) + k = 0 \) के मूल बराबर हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: पहला समीकरण है: \( 2x^2 + px – 15 = 0 \)
क्योंकि \( -5 \) इस समीकरण का एक मूल है, यह \( x \) के मान को संतुष्ट करेगा:
\( 2(-5)^2 + p(-5) – 15 = 0 \)
\( 2(25) - 5p – 15 = 0 \)
\( 50 - 5p – 15 = 0 \)
\( 35 - 5p = 0 \)
\( 35 = 5p \)
\( p = \frac{35}{5} \)
\( \implies p = 7 \)
अब, दूसरा समीकरण है: \( p(x^2 + x) + k = 0 \)
\( p \) का मान 7 रखने पर:
\( 7(x^2 + x) + k = 0 \)
\( 7x^2 + 7x + k = 0 \)
इस समीकरण को \( ax^2 + bx + c = 0 \) से तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( a = 7 \)
\( b = 7 \)
\( c = k \)
क्योंकि इस समीकरण के मूल बराबर हैं, इसलिए विविक्तकर (D) शून्य के बराबर होना चाहिए।
\( D = 0 \)
\( b^2 - 4ac = 0 \)
\( (7)^2 - 4 \times 7 \times k = 0 \)
\( 49 - 28k = 0 \)
\( 49 = 28k \)
\( k = \frac{49}{28} \)
\( \implies k = \frac{7}{4} \)
तो, k का मान \( \frac{7}{4} \) है।
In simple words: सबसे पहले, हमने पहले समीकरण में \( x = -5 \) रखकर p का मान निकाला, जो 7 आया। फिर, हमने इस p के मान को दूसरे समीकरण में रखा। क्योंकि दूसरे समीकरण के हल एक जैसे थे, हमने \( b^2 - 4ac \) को 0 के बराबर रखा और k का मान \( \frac{7}{4} \) पाया।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, पहला कदम अज्ञात गुणांक (जैसे p) का मान निकालना होता है, जिसका उपयोग फिर दूसरे समीकरण को हल करने के लिए किया जाता है।

Question 11. यदि समीकरण \( (c^2 – ab)x^2 – 2(a^2 – bc)x + b^2 – ac = 0 \) के मूल बराबर हैं तो सिद्ध कीजिए कि \( a = 0 \) या \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)।
Answer: दिए गए समीकरण को \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) से तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( A = (c^2 - ab) \)
\( B = -2(a^2 - bc) \)
\( C = (b^2 - ac) \)
क्योंकि समीकरण के मूल बराबर हैं, इसलिए विविक्तकर (D) शून्य के बराबर होगा।
\( D = 0 \)
\( B^2 - 4AC = 0 \)
\( [-2(a^2 - bc)]^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0 \)
\( 4(a^2 - bc)^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0 \)
दोनों पक्षों को 4 से भाग देने पर:
\( (a^2 - bc)^2 - (c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0 \)
\( (a^4 - 2a^2bc + b^2c^2) - (c^2b^2 - c^3a - ab^3 + a^2bc) = 0 \)
\( a^4 - 2a^2bc + b^2c^2 - b^2c^2 + ac^3 + ab^3 - a^2bc = 0 \)
\( a^4 + ab^3 + ac^3 - 3a^2bc = 0 \)
इस समीकरण से \( a \) को कॉमन लेने पर:
\( a(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0 \)
अब, दो स्थितियाँ संभव हैं:
1. \( a = 0 \)
या
2. \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 \)
\( \implies a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि \( a = 0 \) या \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)। यह एक महत्वपूर्ण बीजगणितीय पहचान है।
इति सिद्धम्।
In simple words: हमने मूल बराबर होने की शर्त \( b^2 - 4ac = 0 \) का उपयोग किया। समीकरण को हल करते हुए, हमने सभी पदों को एक साथ लाया और \( a \) को कॉमन ले लिया। अंत में, हमें दो संभावनाएं मिलीं: या तो \( a \) शून्य है, या \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \) है, जो हमें सिद्ध करना था।

🎯 Exam Tip: \( (X-Y)^2 \) और \( (X-Y)(P-Q) \) जैसे बीजगणितीय विस्तारों को सावधानी से करें। \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \) यह पहचान यहाँ उपयोगी हो सकती है।

Question 12. यदि समीकरण \( (a^2 + b^2)x^2 – 2(ac + bd)x + (c^2 + d^2) = 0 \) के मूल बराबर हैं, तो सिद्ध कीजिए कि \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \)।
Answer: दिए गए समीकरण को \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) से तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( A = (a^2 + b^2) \)
\( B = -2(ac + bd) \)
\( C = (c^2 + d^2) \)
क्योंकि समीकरण के मूल बराबर हैं, इसलिए विविक्तकर (D) शून्य के बराबर होगा।
\( D = 0 \)
\( B^2 - 4AC = 0 \)
\( [-2(ac + bd)]^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0 \)
\( 4(ac + bd)^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0 \)
दोनों पक्षों को 4 से भाग देने पर:
\( (ac + bd)^2 - (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0 \)
\( (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) - (a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0 \)
\( a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 - a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 - b^2d^2 = 0 \)
\( 2abcd - a^2d^2 - b^2c^2 = 0 \)
\( -(a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2) = 0 \)
\( -(ad - bc)^2 = 0 \)
\( (ad - bc)^2 = 0 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( ad - bc = 0 \)
\( ad = bc \)
दोनों पक्षों को \( bd \) से भाग देने पर (यह मानकर कि \( b \neq 0 \) और \( d \neq 0 \)):
\( \frac{ad}{bd} = \frac{bc}{bd} \)
\( \implies \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)
यह सिद्ध हुआ। इस तरह के समीकरण अक्सर समानुपात (proportions) से संबंधित होते हैं।
In simple words: हमने समीकरण के मूल बराबर होने की शर्त \( b^2 - 4ac = 0 \) का इस्तेमाल किया। समीकरण को हल करते हुए, हमने उसे सरल किया और \( (ad - bc)^2 = 0 \) पर पहुँचे। इसका मतलब है कि \( ad = bc \), और जब हमने इसे \( bd \) से भाग दिया, तो हमें \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) मिला, जो हमें सिद्ध करना था।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( (X-Y)^2 = 0 \) का रूप प्राप्त करने का प्रयास करें, जो आपको \( X=Y \) तक ले जाएगा। यह बीजगणितीय पहचानों का उपयोग करने का एक अच्छा उदाहरण है।

Question 13. यदि द्विघात समीकरण \( 3x^2 + px – 8 = 0 \) का एक मूल 2 है और द्विघात समीकरण \( 4x^2 – 2px + k = 0 \) के मूल बराबर हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: पहला समीकरण है: \( 3x^2 + px – 8 = 0 \)
क्योंकि 2 इस समीकरण का एक मूल है, यह \( x \) के मान को संतुष्ट करेगा:
\( 3(2)^2 + p(2) – 8 = 0 \)
\( 3(4) + 2p – 8 = 0 \)
\( 12 + 2p – 8 = 0 \)
\( 4 + 2p = 0 \)
\( 2p = -4 \)
\( p = -\frac{4}{2} \)
\( \implies p = -2 \)
अब, दूसरा समीकरण है: \( 4x^2 – 2px + k = 0 \)
\( p \) का मान \( -2 \) रखने पर:
\( 4x^2 – 2(-2)x + k = 0 \)
\( 4x^2 + 4x + k = 0 \)
इस समीकरण को \( ax^2 + bx + c = 0 \) से तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( a = 4 \)
\( b = 4 \)
\( c = k \)
क्योंकि इस समीकरण के मूल बराबर हैं, इसलिए विविक्तकर (D) शून्य के बराबर होना चाहिए।
\( D = 0 \)
\( b^2 - 4ac = 0 \)
\( (4)^2 - 4 \times 4 \times k = 0 \)
\( 16 - 16k = 0 \)
\( 16 = 16k \)
\( k = \frac{16}{16} \)
\( \implies k = 1 \)
तो, k का मान 1 है।
In simple words: पहले हमने पहले समीकरण में \( x = 2 \) रखकर p का मान निकाला, जो \( -2 \) आया। फिर, हमने इस p के मान को दूसरे समीकरण में रखा। क्योंकि दूसरे समीकरण के हल एक जैसे थे, हमने \( b^2 - 4ac \) को 0 के बराबर रखा और k का मान 1 पाया।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप पहला अज्ञात मान (यहाँ p) सही ढंग से निकालें, क्योंकि यह दूसरे भाग के हल को सीधे प्रभावित करेगा। संकेतों का ध्यान रखें, खासकर जब नकारात्मक संख्याएँ हों।

Question 14. यदि समीकरण \( ax^2 + 2bx + c = 0 \) और \( bx^2 – 2\sqrt{ac}x + b = 0 \) के मूल साथ-साथ वास्तविक हैं तो सिद्ध कीजिए कि \( b^2 = ac \) अर्थात् a, b, c गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Answer: दिए गए दोनों समीकरणों के मूल वास्तविक हैं, इसका मतलब है कि प्रत्येक समीकरण का विविक्तकर (D) शून्य से बड़ा या बराबर होना चाहिए। यदि दोनों के मूल एक साथ वास्तविक हों, तो उनकी शर्तें एक साथ संतुष्ट होंगी।
पहले समीकरण के लिए: \( ax^2 + 2bx + c = 0 \)
यहाँ, \( A_1 = a, B_1 = 2b, C_1 = c \)
मूल वास्तविक होने के लिए: \( D_1 \ge 0 \)
\( (2b)^2 - 4ac \ge 0 \)
\( 4b^2 - 4ac \ge 0 \)
\( 4(b^2 - ac) \ge 0 \)
\( \implies b^2 - ac \ge 0 \) ... (1)
दूसरे समीकरण के लिए: \( bx^2 – 2\sqrt{ac}x + b = 0 \)
यहाँ, \( A_2 = b, B_2 = -2\sqrt{ac}, C_2 = b \)
मूल वास्तविक होने के लिए: \( D_2 \ge 0 \)
\( (-2\sqrt{ac})^2 - 4(b)(b) \ge 0 \)
\( 4ac - 4b^2 \ge 0 \)
\( 4(ac - b^2) \ge 0 \)
\( \implies ac - b^2 \ge 0 \) ... (2)
समीकरण (1) और (2) से, हमें मिलता है:
\( b^2 - ac \ge 0 \) जिसका अर्थ है \( b^2 \ge ac \)
और
\( ac - b^2 \ge 0 \) जिसका अर्थ है \( ac \ge b^2 \)
ये दोनों शर्तें केवल तभी एक साथ सत्य हो सकती हैं जब \( b^2 = ac \) हो।
जब तीन संख्याएँ a, b, c इस शर्त को संतुष्ट करती हैं, तो वे गुणोत्तर श्रेणी में होती हैं। इसका मतलब है कि बीच वाली संख्या का वर्ग, पहली और तीसरी संख्या के गुणनफल के बराबर होता है।
इति सिद्धम्।
In simple words: हमें दिया गया था कि दोनों समीकरणों के मूल वास्तविक हैं। इसका मतलब है कि दोनों समीकरणों का \( b^2 - 4ac \) का मान 0 या 0 से बड़ा होगा। हमने दोनों के लिए यह शर्त लगाई। जब हमने उन दो शर्तों को एक साथ देखा, तो हमें \( b^2 = ac \) मिला। यह गुणोत्तर श्रेणी की परिभाषा है।

🎯 Exam Tip: यदि \( X \ge 0 \) और \( -X \ge 0 \) दोनों सत्य हैं, तो इसका एकमात्र समाधान \( X = 0 \) है। यह गुणोत्तर श्रेणी की परिभाषा \( b^2 = ac \) के साथ मिलाकर एक महत्वपूर्ण तर्क है।

Question 15. यदि समीकरण \( lx^2 + nx + n = 0 \) के मूलों का अनुपात \( p : q \) है तब सिद्ध कीजिए कि \( \sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{n}{l}}=0 \)।
Answer: माना समीकरण \( lx^2 + nx + n = 0 \) के मूल \( \alpha \) और \( \beta \) हैं।
मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta = -\frac{\text{x का गुणांक}}{\text{x}^2 \text{ का गुणांक}} = -\frac{n}{l} \) ... (1)
मूलों का गुणनफल: \( \alpha\beta = \frac{\text{अचर पद}}{\text{x}^2 \text{ का गुणांक}} = \frac{n}{l} \) ... (2)
प्रश्नानुसार, मूलों का अनुपात \( p : q \) है, इसलिए हम कह सकते हैं:
\( \frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q} \) ... (3)
अब, बायाँ पक्ष (LHS) लें जिसे सिद्ध करना है:
\( \sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{n}{l}} \)
समीकरण (3) से \( \frac{p}{q} = \frac{\alpha}{\beta} \) रखने पर:
\( = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} + \sqrt{\frac{n}{l}} \)
\( = \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} + \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}} + \sqrt{\frac{n}{l}} \)
\( = \frac{\sqrt{\alpha}\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}\sqrt{\beta}} + \sqrt{\frac{n}{l}} \)
\( = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha\beta}} + \sqrt{\frac{n}{l}} \)
अब, समीकरण (1) और (2) से \( \alpha + \beta = -\frac{n}{l} \) और \( \alpha\beta = \frac{n}{l} \) के मान रखने पर:
\( = \frac{-\frac{n}{l}}{\sqrt{\frac{n}{l}}} + \sqrt{\frac{n}{l}} \)
\( = -\frac{\frac{n}{l}}{\sqrt{\frac{n}{l}}} + \sqrt{\frac{n}{l}} \)
\( = -\sqrt{\frac{n}{l}} + \sqrt{\frac{n}{l}} \)
\( = 0 \)
यह दायाँ पक्ष (RHS) के बराबर है। इस प्रकार, यह सिद्ध हुआ।
In simple words: हमने समीकरण के मूलों के योग और गुणनफल का सूत्र लिखा। फिर, मूलों के दिए गए अनुपात का उपयोग करके, हमने बाएँ पक्ष में सभी मान रखे। समीकरणों को सरल करने पर, हमें अंत में 0 मिला, जो दाएँ पक्ष के बराबर था, जिससे यह सिद्ध हो गया।

🎯 Exam Tip: मूलों के योग और गुणनफल के सूत्रों को याद रखना ऐसे प्रश्नों के लिए महत्वपूर्ण है। \( \sqrt{X} + \frac{1}{\sqrt{X}} \) जैसे रूपों को \( \frac{X+1}{\sqrt{X}} \) के रूप में सरल करना सीखें।