UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 51

Ex 5.1 Arithmetic Progressions अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. यदि समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद \( \frac{4}{5} \), x तथा 2 हैं तब x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि \( \frac{4}{5}, x, 2 \) एक समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद हैं, तो उनका सार्वअन्तर समान होगा। इसका मतलब है कि दूसरे पद में से पहला पद घटाने पर और तीसरे पद में से दूसरा पद घटाने पर, दोनों का मान बराबर आएगा।
अतः \( x - \frac{4}{5} = 2 - x \)
अब, x वाले पदों को एक तरफ और संख्या वाले पदों को दूसरी तरफ ले जाएँ:
\( x + x = 2 + \frac{4}{5} \)
\( 2x = \frac{10 + 4}{5} \)
\( 2x = \frac{14}{5} \)
दोनों तरफ 2 से भाग देने पर:
\( x = \frac{14}{5 \times 2} \)
\( x = \frac{7}{5} \)
In simple words: जब तीन संख्याएँ समान्तर श्रेणी में होती हैं, तो बीच वाली संख्या, पहली और तीसरी संख्या का औसत होती है. इसलिए, \( x \) का मान \( \frac{\frac{4}{5} + 2}{2} \) के बराबर होगा.

🎯 Exam Tip: समान्तर श्रेणी में तीन क्रमागत पद होने पर, मध्य पद का दुगुना, पहले और तीसरे पद के योग के बराबर होता है (\( 2b = a + c \)). इस नियम का उपयोग करके उत्तर जल्दी से निकाला जा सकता है।

Question 2. x के किस मान के लिए \( 2x + 1, 13, 5x - 3 \) एक समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद हैं?
Answer: दी गई श्रेणी के पद \( 2x + 1, 13, 5x - 3 \) हैं। यदि ये पद समान्तर श्रेणी में हैं, तो उनका सार्वअन्तर समान होगा। इसका अर्थ है कि दूसरे पद में से पहला पद घटाने पर, और तीसरे पद में से दूसरा पद घटाने पर, दोनों मान समान होंगे।
अतः \( 13 - (2x + 1) = (5x - 3) - 13 \)
ब्रैकेट खोलने पर:
\( 13 - 2x - 1 = 5x - 3 - 13 \)
संख्याओं और x वाले पदों को सरल करने पर:
\( 12 - 2x = 5x - 16 \)
अब, x वाले पदों को एक तरफ और संख्या वाले पदों को दूसरी तरफ ले जाएँ:
\( 12 + 16 = 5x + 2x \)
\( 28 = 7x \)
दोनों तरफ 7 से भाग देने पर:
\( x = \frac{28}{7} \)
\( x = 4 \)
In simple words: अगर तीन संख्याएँ AP में हैं, तो बीच वाली संख्या, पहली और तीसरी का जोड़कर आधा करने से मिलती है. इसलिए, \( 2 \times 13 = (2x + 1) + (5x - 3) \) समीकरण से \( x \) का मान आसानी से निकाला जा सकता है.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, हमेशा सार्वअन्तर को समान करके समीकरण बनाएँ, यानी \( a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \). यह समान्तर श्रेणी की मूल परिभाषा है।

Question 3. समान्तर श्रेणी \( \frac{1}{2a}, \frac{1 - 2a}{2a}, \frac{1 - 4a}{2a}, ... \) का सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( \frac{1}{2a}, \frac{1 - 2a}{2a}, \frac{1 - 4a}{2a}, ... \) है। सार्वअन्तर (d) ज्ञात करने के लिए, दूसरे पद में से पहले पद को घटाते हैं।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 \)
\( d = \frac{1 - 2a}{2a} - \frac{1}{2a} \)
चूंकि दोनों पदों का हर समान है, हम अंशों को सीधा घटा सकते हैं:
\( d = \frac{(1 - 2a) - 1}{2a} \)
\( d = \frac{1 - 2a - 1}{2a} \)
\( d = \frac{-2a}{2a} \)
\( d = -1 \)
In simple words: AP के सार्वअन्तर को खोजने के लिए, किसी भी पद में से उसके ठीक पहले वाले पद को घटा दें. यहां, दूसरे पद में से पहला पद घटाने पर हमें -1 मिलता है.

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक पदों वाली AP में सार्वअन्तर निकालते समय, सुनिश्चित करें कि आप हर (denominator) को समान रखें और अंश (numerator) को सही ढंग से घटाएँ।

Question 4. श्रेणी \( 10, 7, 4, ... \) का 30 वां पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( 10, 7, 4, ... \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 10 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 7 - 10 = -3 \) है।
हमें श्रेणी का 30 वां पद (\( a_{30} \)) ज्ञात करना है। हम समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र जानते हैं:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
n = 30 रखने पर:
\( a_{30} = 10 + (30 - 1) \times (-3) \)
\( a_{30} = 10 + 29 \times (-3) \)
\( a_{30} = 10 - 87 \)
\( a_{30} = -77 \)
In simple words: पहले पद से शुरू करके, हर अगले पद के लिए सार्वअन्तर को घटाते जाते हैं. 30वें पद तक पहुँचने के लिए, हमें पहले पद में 29 बार सार्वअन्तर जोड़ना होगा.

🎯 Exam Tip: nवें पद का सूत्र (\( a_n = a + (n - 1)d \)) याद रखें और ध्यान से मानों को रखें. n - 1 में गलती करने से बचें.

Question 5. समान्तर श्रेणी \( 14, 9, 4, -1, -6, ... \) का 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( 14, 9, 4, -1, -6, ... \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 14 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 9 - 14 = -5 \) है।
हमें श्रेणी का 12 वाँ पद (\( a_{12} \)) ज्ञात करना है। हम समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र जानते हैं:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
n = 12 रखने पर:
\( a_{12} = 14 + (12 - 1) \times (-5) \)
\( a_{12} = 14 + 11 \times (-5) \)
\( a_{12} = 14 - 55 \)
\( a_{12} = -41 \)
In simple words: यह एक AP है जहाँ हर बार 5 कम हो रहा है. 12वें पद को खोजने के लिए, पहले पद से 11 बार 5 घटाना होगा.

🎯 Exam Tip: नकारात्मक सार्वअन्तर होने पर गणना करते समय चिह्नों का विशेष ध्यान रखें, खासकर गुणा करते समय.

Question 6. श्रेणी \( 5, 11, 17, 23, ... \) का n वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई श्रेणी \( 5, 11, 17, 23, ... \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 5 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6 \) है।
हमें श्रेणी का n वाँ पद (\( a_n \)) ज्ञात करना है। हम समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र जानते हैं:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( a_n = 5 + (n - 1)6 \)
ब्रैकेट खोलने पर:
\( a_n = 5 + 6n - 6 \)
\( a_n = 6n - 1 \)
In simple words: AP का कोई भी पद पता करने के लिए, पहले पद में (पद संख्या - 1) को सार्वअन्तर से गुणा करके जोड़ते हैं. यहां, यह सूत्र \( 6n - 1 \) है.

🎯 Exam Tip: nवें पद का सामान्य सूत्र आपको AP के किसी भी पद को ज्ञात करने में मदद करता है. यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि \( d \) को हमेशा \( (n-1) \) से गुणा किया जाता है, न कि \( n \) से.

Question 7. श्रेणी \( 6, 7\frac{3}{9}, 9\frac{1}{2}, 11\frac{1}{4}, ... \) का 37 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( 6, 7\frac{3}{9}, 9\frac{1}{2}, 11\frac{1}{4}, ... \) है।
पहले मिश्रित भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें:
\( 7\frac{3}{9} = 7\frac{1}{3} = \frac{7 \times 3 + 1}{3} = \frac{22}{3} \)
\( 9\frac{1}{2} = \frac{9 \times 2 + 1}{2} = \frac{19}{2} \)
\( 11\frac{1}{4} = \frac{11 \times 4 + 1}{4} = \frac{45}{4} \)
तो, श्रेणी है: \( 6, \frac{22}{3}, \frac{19}{2}, \frac{45}{4}, ... \)
यहां, प्रथम पद \( a = 6 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = \frac{22}{3} - 6 \)
\( d = \frac{22 - (6 \times 3)}{3} = \frac{22 - 18}{3} = \frac{4}{3} \)
हमें श्रेणी का 37 वाँ पद (\( a_{37} \)) ज्ञात करना है। हम समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र जानते हैं:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
n = 37 रखने पर:
\( a_{37} = 6 + (37 - 1) \times \frac{4}{3} \)
\( a_{37} = 6 + 36 \times \frac{4}{3} \)
\( a_{37} = 6 + (12 \times 4) \)
\( a_{37} = 6 + 48 \)
\( a_{37} = 54 \)
In simple words: पहले मिश्रित भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें. फिर पहला पद और सार्वअन्तर निकालें. 37वें पद को खोजने के लिए, पहले पद में (37-1) बार सार्वअन्तर जोड़ दें.

🎯 Exam Tip: मिश्रित भिन्नों को हमेशा पहले साधारण भिन्नों में बदलें ताकि गणनाएँ आसान हों और गलतियों की संभावना कम हो. सार्वअन्तर की गणना ध्यानपूर्वक करें.

Question 8. समान्तर श्रेणी \( 72, 63, 54, ... \) का कौन - सा पद शून्य है?
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( 72, 63, 54, ... \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 72 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 63 - 72 = -9 \) है।
हमें वह पद ज्ञात करना है जो शून्य है। माना n वाँ पद शून्य है, यानी \( a_n = 0 \)।
समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( 0 = 72 + (n - 1) \times (-9) \)
\( 0 = 72 - 9n + 9 \)
\( 0 = 81 - 9n \)
\( 9n = 81 \)
दोनों तरफ 9 से भाग देने पर:
\( n = \frac{81}{9} \)
\( n = 9 \)
अतः, श्रेणी का 9 वाँ पद शून्य है।
In simple words: यह एक घटती हुई AP है. हमें वह पद ढूंढना है जो शून्य के बराबर हो. इसके लिए nवें पद के सूत्र का उपयोग करके \( a_n = 0 \) रख कर \( n \) का मान निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: जब पूछा जाए कि कौन सा पद शून्य है, तो \( a_n = 0 \) सेट करें और n के लिए हल करें. यह दर्शाता है कि n एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए, अन्यथा वह पद AP में नहीं होगा.

Question 9. समान्तर श्रेणी \( 100, 90, 80, ... \) का कौन - सा पद शून्य है?
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( 100, 90, 80, ... \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 100 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 90 - 100 = -10 \) है।
हमें वह पद ज्ञात करना है जो शून्य है। माना n वाँ पद शून्य है, यानी \( a_n = 0 \)।
समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( 0 = 100 + (n - 1) \times (-10) \)
\( 0 = 100 - 10n + 10 \)
\( 0 = 110 - 10n \)
\( 10n = 110 \)
दोनों तरफ 10 से भाग देने पर:
\( n = \frac{110}{10} \)
\( n = 11 \)
अतः, श्रेणी का 11 वाँ पद शून्य होगा।
In simple words: यह AP 10-10 करके घट रही है. 100 से शुरू होकर शून्य तक पहुँचने में, हमें 100 को 10 से भाग देने पर 10 बार 10 घटाना होगा. चूंकि 100 पहला पद है, तो यह 11वां पद होगा.

🎯 Exam Tip: गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि आप नकारात्मक सार्वअन्तर के साथ सही ढंग से गुणा कर रहे हैं. इस प्रकार के प्रश्नों में, \( n \) हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए.

Question 10. समान्तर श्रेणी \( 24, 21, 18, ... \) का कौन - सा पद पहला ऋणात्मक पद है?
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( 24, 21, 18, ... \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 24 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 21 - 24 = -3 \) है।
हमें वह पद ज्ञात करना है जो पहला ऋणात्मक पद है। इसका मतलब है कि \( a_n < 0 \)।
समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( 24 + (n - 1)(-3) < 0 \)
\( 24 - 3n + 3 < 0 \)
\( 27 - 3n < 0 \)
अब, \( 3n \) को दूसरी तरफ ले जाएँ:
\( 27 < 3n \)
दोनों तरफ 3 से भाग देने पर:
\( \frac{27}{3} < n \)
\( 9 < n \)
यानी, \( n > 9 \)।
चूंकि n एक पूर्णांक है, तो पहला पूर्णांक जो 9 से बड़ा है, वह 10 है।
अतः, श्रेणी का 10वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।
In simple words: यह एक AP है जो हर बार 3 कम होती जा रही है. हम वह पद ढूंढ रहे हैं जो 0 से छोटा हो. सूत्र का उपयोग करके, हमें पता चलता है कि 9वें पद के बाद सभी पद ऋणात्मक होंगे, इसलिए 10वाँ पद पहला ऋणात्मक पद है.

🎯 Exam Tip: जब ऋणात्मक पद पूछा जाए, तो \( a_n < 0 \) का उपयोग करें और असमानता को सही ढंग से हल करें. ध्यान दें कि \( n \) हमेशा एक पूर्णांक होता है.

Ex 5.1 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न - I (Short Answer Type Questions - I)

Question 11. समान्तर श्रेणी \( 5, 9, 13, 17, ... \) का कौन - सा पद 81 है?
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( 5, 9, 13, 17, ... \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 5 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 9 - 5 = 4 \) है।
हमें वह पद ज्ञात करना है जिसका मान 81 है। माना n वाँ पद 81 है, यानी \( a_n = 81 \)।
समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( 81 = 5 + (n - 1)4 \)
\( 81 = 5 + 4n - 4 \)
\( 81 = 1 + 4n \)
\( 81 - 1 = 4n \)
\( 80 = 4n \)
दोनों तरफ 4 से भाग देने पर:
\( n = \frac{80}{4} \)
\( n = 20 \)
अतः, श्रेणी का 20 वाँ पद 81 है।
In simple words: इस AP में, हर बार 4 जुड़ रहा है. हमें पता करना है कि 81 कौन से नंबर का पद है. इसके लिए nवें पद के सूत्र का उपयोग करते हैं और \( n \) का मान निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: \( a_n \) का मान दिए होने पर \( n \) ज्ञात करने के लिए, समीकरण को हल करते समय सावधानी से चरणों का पालन करें.

Question 12. समान्तर श्रेणी \( -11, -8, -5, ..., 49 \) का अन्त से चौथा पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( -11, -8, -5, ..., 49 \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = -11 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = -8 - (-11) = -8 + 11 = 3 \) है।
अन्तिम पद \( l = 49 \) है।
अन्त से nवें पद का सूत्र है:
अन्त से nवाँ पद \( = l - (n - 1)d \)
हमें अन्त से चौथा पद ज्ञात करना है, इसलिए n = 4 रखेंगे:
अन्त से चौथा पद \( = 49 - (4 - 1) \times 3 \)
अन्त से चौथा पद \( = 49 - (3 \times 3) \)
अन्त से चौथा पद \( = 49 - 9 \)
अन्त से चौथा पद \( = 40 \)
In simple words: किसी AP का अंत से कोई पद निकालने के लिए, अंतिम पद से शुरू करके, सार्वअन्तर को (वांछित पद संख्या - 1) बार घटाते हैं.

🎯 Exam Tip: अन्त से पद ज्ञात करने के लिए सूत्र \( l - (n - 1)d \) का उपयोग करें, जहां \( l \) अंतिम पद है. वैकल्पिक रूप से, आप AP को उलट कर और प्रथम पद को \( l \) तथा सार्वअन्तर को \( -d \) मानकर भी हल कर सकते हैं.

Question 13. समान्तर श्रेणी \( 3, 8, 13, ..., 253 \) का अन्त से 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( 3, 8, 13, ..., 253 \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 3 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 8 - 3 = 5 \) है।
अन्तिम पद \( l = 253 \) है।
हमें अन्त से 12 वाँ पद ज्ञात करना है। अन्त से nवें पद का सूत्र है:
अन्त से nवाँ पद \( = l - (n - 1)d \)
हमें अन्त से 12 वाँ पद ज्ञात करना है, इसलिए n = 12 रखेंगे:
अन्त से 12 वाँ पद \( = 253 - (12 - 1) \times 5 \)
अन्त से 12 वाँ पद \( = 253 - (11 \times 5) \)
अन्त से 12 वाँ पद \( = 253 - 55 \)
अन्त से 12 वाँ पद \( = 198 \)
In simple words: अंतिम पद से शुरू करके, सार्वअन्तर (5) को 11 बार घटाने पर हमें अंत से 12वां पद मिल जाएगा.

🎯 Exam Tip: अन्त से किसी पद को खोजने के लिए, हमेशा \( l - (n-1)d \) सूत्र का उपयोग करें, या AP को उलट दें और \( a' = l \) तथा \( d' = -d \) के साथ सामान्य सूत्र का उपयोग करें. दोनों विधियों से सही उत्तर मिलेगा.

Question 14. समान्तर श्रेणी \( 213, 205, 197, ..., 37 \) का मध्य पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( 213, 205, 197, ..., 37 \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 213 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 205 - 213 = -8 \) है।
अन्तिम पद \( a_n = 37 \) है।
पहले हमें श्रेणी में पदों की कुल संख्या (n) ज्ञात करनी होगी। nवें पद का सूत्र है:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\( 37 = 213 + (n - 1)(-8) \)
\( 37 = 213 - 8n + 8 \)
\( 37 = 221 - 8n \)
\( 8n = 221 - 37 \)
\( 8n = 184 \)
\( n = \frac{184}{8} \)
\( n = 23 \)
चूंकि पदों की संख्या \( n = 23 \) विषम है, इसलिए केवल एक मध्य पद होगा।
मध्य पद का स्थान \( = \frac{n + 1}{2} \)
मध्य पद का स्थान \( = \frac{23 + 1}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)
तो, मध्य पद 12 वाँ पद (\( a_{12} \)) है।
अब, \( a_{12} \) ज्ञात करने के लिए nवें पद का सूत्र फिर से उपयोग करें:
\( a_{12} = a + (12 - 1)d \)
\( a_{12} = 213 + 11 \times (-8) \)
\( a_{12} = 213 - 88 \)
\( a_{12} = 125 \)
In simple words: पहले यह पता करते हैं कि AP में कुल कितने पद हैं. चूंकि पदों की संख्या विषम है, तो बीच का पद \( (\frac{n+1}{2}) \) नंबर पर होगा. फिर उस नंबर का पद निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: मध्य पद ज्ञात करने के लिए, पहले \( n \) का मान निकालना आवश्यक है. यदि \( n \) विषम है, तो मध्य पद \( (\frac{n+1}{2}) \) वाँ पद होता है. यदि \( n \) सम है, तो दो मध्य पद होते हैं: \( \frac{n}{2} \) वाँ और \( (\frac{n}{2} + 1) \) वाँ पद.

Question 15. (i) यदि एक समान्तर श्रेणी का n वाँ पद \( (2n - 1) \) है तो इसका 7 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि एक समान्तर श्रेणी का n वाँ पद \( a_n = 2n - 1 \) है।
हमें श्रेणी का 7 वाँ पद (\( a_7 \)) ज्ञात करना है। इसके लिए, n की जगह 7 रखेंगे:
\( a_7 = 2 \times 7 - 1 \)
\( a_7 = 14 - 1 \)
\( a_7 = 13 \)
In simple words: जब किसी AP का nवाँ पद दिया हो, तो जो भी पद निकालना हो, n की जगह उस संख्या को रख देते हैं. यहां, 7वाँ पद निकालने के लिए n की जगह 7 रखा.

🎯 Exam Tip: nवें पद का सूत्र (\( a_n \)) सीधे दिया होने पर, किसी भी पद को ज्ञात करने के लिए केवल \( n \) के मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

Question 15. (ii) निम्न श्रेणी में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए। \( 4, 7, 10, ..., 148 \)
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( 4, 7, 10, ..., 148 \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 4 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 7 - 4 = 3 \) है।
अन्तिम पद \( a_n = 148 \) है।
हमें श्रेणी में पदों की संख्या (n) ज्ञात करनी है। समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( 148 = 4 + (n - 1)3 \)
\( 148 = 4 + 3n - 3 \)
\( 148 = 1 + 3n \)
\( 148 - 1 = 3n \)
\( 147 = 3n \)
दोनों तरफ 3 से भाग देने पर:
\( n = \frac{147}{3} \)
\( n = 49 \)
अतः, श्रेणी में पदों की संख्या 49 है।
In simple words: AP के अंतिम पद को nवें पद के सूत्र में रखकर, हम AP में कुल कितने पद हैं, यह पता कर सकते हैं. यहां, 148वां पद 49वां पद है.

🎯 Exam Tip: जब प्रथम पद, सार्वअन्तर और अंतिम पद दिए गए हों, तो \( a_n = a + (n-1)d \) सूत्र का उपयोग करके \( n \) के लिए हल करें. गणना करते समय चिह्नों और क्रम का ध्यान रखें.

Question 15. (iii) अनुक्रम \( -7, -2, 3, 8, ... \) का कौन - सा पद 88 है?
Answer: दिया गया अनुक्रम \( -7, -2, 3, 8, ... \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = -7 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = -2 - (-7) = -2 + 7 = 5 \) है।
हमें वह पद ज्ञात करना है जिसका मान 88 है। माना n वाँ पद 88 है, यानी \( a_n = 88 \)।
समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( 88 = -7 + (n - 1)5 \)
\( 88 = -7 + 5n - 5 \)
\( 88 = -12 + 5n \)
\( 88 + 12 = 5n \)
\( 100 = 5n \)
दोनों तरफ 5 से भाग देने पर:
\( n = \frac{100}{5} \)
\( n = 20 \)
अतः, अनुक्रम का 20 वाँ पद 88 है।
In simple words: यह एक AP है जो 5-5 करके बढ़ रही है. हमें पता करना है कि 88 कौन से नंबर का पद है. इसके लिए nवें पद के सूत्र का उपयोग करते हैं और \( n \) का मान निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक प्रथम पद के साथ गणना करते समय विशेष सावधानी बरतें. \( -(n-1)d \) के विस्तार में चिह्नों की गलती आम है.

Question 15. (iv) अनुक्रम \( 4, 9, 14, 19, ... \) का कौन - सा पद 104 है?
Answer: दिया गया अनुक्रम \( 4, 9, 14, 19, ... \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 4 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 9 - 4 = 5 \) है।
हमें वह पद ज्ञात करना है जिसका मान 104 है। माना n वाँ पद 104 है, यानी \( a_n = 104 \)।
समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( 104 = 4 + (n - 1)5 \)
\( 104 = 4 + 5n - 5 \)
\( 104 = 5n - 1 \)
\( 104 + 1 = 5n \)
\( 105 = 5n \)
दोनों तरफ 5 से भाग देने पर:
\( n = \frac{105}{5} \)
\( n = 21 \)
अतः, अनुक्रम का 21 वाँ पद 104 है।
In simple words: यह एक AP है जो हर बार 5 से बढ़ रही है. 104 कौन सा पद है, यह जानने के लिए, हम nवें पद के सूत्र का उपयोग करते हैं और \( n \) का मान निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: जब \( n \) के लिए हल करें, तो हमेशा सुनिश्चित करें कि आपका अंतिम उत्तर एक धनात्मक पूर्णांक है, क्योंकि पद संख्या हमेशा पूर्णांक में ही होती है.

Question 15. (v) सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम \( 4, 9, 14, 19, ... \) का 20 वाँ पद 99 है?
Answer: दिया गया अनुक्रम \( 4, 9, 14, 19, ... \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 4 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 9 - 4 = 5 \) है।
हमें सिद्ध करना है कि 20 वाँ पद (\( a_{20} \)) 99 है।
समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
n = 20 रखने पर:
\( a_{20} = 4 + (20 - 1)5 \)
\( a_{20} = 4 + 19 \times 5 \)
\( a_{20} = 4 + 95 \)
\( a_{20} = 99 \)
यह सिद्ध होता है कि अनुक्रम का 20 वाँ पद 99 है।
In simple words: यह एक AP है जहाँ हर बार 5 जुड़ता है. 20वें पद को खोजने के लिए, पहले पद (4) में 19 बार सार्वअन्तर (5) जोड़ते हैं, जिससे हमें 99 मिलता है.

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, आपको दिए गए मानों से शुरू करना चाहिए और दिए गए परिणाम तक पहुँचना चाहिए, सूत्र के सभी चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाते हुए.

Question 16. यदि एक समान्तर श्रेणी के पहले p पदों का योग \( ap^2 + bp \) है। तब इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि समान्तर श्रेणी के पहले p पदों का योग \( S_p = ap^2 + bp \) है।
हम जानते हैं कि किसी AP का n वाँ पद (\( T_n \)) उसके पहले n पदों के योग (\( S_n \)) और पहले \( (n-1) \) पदों के योग (\( S_{n-1} \)) के अंतर के बराबर होता है। यानी, \( T_n = S_n - S_{n-1} \)।
यहां, p वाँ पद (\( T_p \)) ज्ञात करने के लिए:
\( S_p = ap^2 + bp \)
\( S_{p-1} = a(p-1)^2 + b(p-1) \)
\( S_{p-1} = a(p^2 - 2p + 1) + bp - b \)
\( S_{p-1} = ap^2 - 2ap + a + bp - b \)
अब, \( T_p = S_p - S_{p-1} \)
\( T_p = (ap^2 + bp) - (ap^2 - 2ap + a + bp - b) \)
\( T_p = ap^2 + bp - ap^2 + 2ap - a - bp + b \)
\( T_p = 2ap - a + b \)
\( T_p = a(2p - 1) + b \)
अब, p के विभिन्न मानों के लिए पदों को ज्ञात करें:
p = 1 रखने पर, पहला पद \( T_1 = a(2 \times 1 - 1) + b = a(1) + b = a + b \)
p = 2 रखने पर, दूसरा पद \( T_2 = a(2 \times 2 - 1) + b = a(3) + b = 3a + b \)
p = 3 रखने पर, तीसरा पद \( T_3 = a(2 \times 3 - 1) + b = a(5) + b = 5a + b \)
तो, समान्तर श्रेणी के पद हैं: \( a + b, 3a + b, 5a + b, ... \)
सार्वअन्तर (\( d \)) ज्ञात करने के लिए, दूसरे पद में से पहले पद को घटाएँ:
\( d = T_2 - T_1 \)
\( d = (3a + b) - (a + b) \)
\( d = 3a + b - a - b \)
\( d = 2a \)
अतः, समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर \( 2a \) है।
In simple words: अगर AP के p पदों का जोड़ दिया हो, तो pवां पद निकालने के लिए \( S_p \) में से \( S_{p-1} \) को घटाते हैं. फिर पहला और दूसरा पद निकालकर, उनके अंतर से सार्वअन्तर पता चलता है.

🎯 Exam Tip: योग सूत्र (\( S_n \)) से nवें पद (\( a_n \)) को ज्ञात करने के लिए \( a_n = S_n - S_{n-1} \) संबंध बहुत महत्वपूर्ण है. इसके बाद, सार्वअन्तर (\( d = a_2 - a_1 \)) आसानी से ज्ञात किया जा सकता है.

Question 17. एक समान्तर श्रेणी का पहला पद 6 है तथा सार्वअन्तर \( -3 \) है तब इसका 16 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a = 6 \) है।
सार्वअन्तर \( d = -3 \) है।
हमें श्रेणी का 16 वाँ पद (\( a_{16} \)) ज्ञात करना है।
समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
n = 16 रखने पर:
\( a_{16} = 6 + (16 - 1) \times (-3) \)
\( a_{16} = 6 + 15 \times (-3) \)
\( a_{16} = 6 - 45 \)
\( a_{16} = -39 \)
In simple words: पहले पद (6) में 15 बार सार्वअन्तर (-3) जोड़कर हम 16वें पद को पता कर सकते हैं.

🎯 Exam Tip: नकारात्मक सार्वअन्तर के साथ गणना करते समय, गुणा और घटाव में चिह्नों की गलतियों से बचने के लिए सावधान रहें.

Question 18. एक समान्तर श्रेणी का चौथा पद 14 है तथा 12 वाँ पद 70 है तब इसका पहला पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि समान्तर श्रेणी का चौथा पद \( a_4 = 14 \) है और 12 वाँ पद \( a_{12} = 70 \) है।
हम समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र जानते हैं: \( a_n = a + (n - 1)d \)
तो, हम दो समीकरण बना सकते हैं:
\( a_4 = a + (4 - 1)d \implies 14 = a + 3d \) ...(1)
\( a_{12} = a + (12 - 1)d \implies 70 = a + 11d \) ...(2)
अब, समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाएँ:
\( (70 = a + 11d) - (14 = a + 3d) \)
\( 70 - 14 = (a - a) + (11d - 3d) \)
\( 56 = 8d \)
दोनों तरफ 8 से भाग देने पर:
\( d = \frac{56}{8} \)
\( d = 7 \)
अब, d का मान समीकरण (1) में रखने पर, हम a का मान ज्ञात कर सकते हैं:
\( 14 = a + 3 \times 7 \)
\( 14 = a + 21 \)
\( a = 14 - 21 \)
\( a = -7 \)
अतः, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( -7 \) है।
In simple words: AP के दो अलग-अलग पद दिए होने पर, हम दो समीकरण बनाते हैं और उन्हें हल करके सार्वअन्तर और पहला पद ढूंढ सकते हैं.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहाँ AP के दो पद दिए हों, हमेशा दो रैखिक समीकरण बनायें और उन्हें विलोपन विधि से हल करके \( a \) और \( d \) ज्ञात करें.

Question 19. एक समान्तर श्रेणी का पहला पद p है तथा सार्वअन्तर q है। इसका 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि एक समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a = p \) है।
सार्वअन्तर \( d = q \) है।
हमें श्रेणी का 10 वाँ पद (\( a_{10} \)) ज्ञात करना है।
समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
n = 10 रखने पर:
\( a_{10} = p + (10 - 1)q \)
\( a_{10} = p + 9q \)
In simple words: AP के nवें पद का सूत्र याद रखना चाहिए. इसमें पहले पद और सार्वअन्तर का मान रखने पर 10वाँ पद मिलता है.

🎯 Exam Tip: यह एक सीधा प्रश्न है जो nवें पद के सूत्र के अनुप्रयोग का परीक्षण करता है. सुनिश्चित करें कि आप \( (n-1) \) में \( d \) को गुणा कर रहे हैं.

Ex 5.1 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न - II (Short Answer Type Questions - II)

Question 20. एक समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए जिसका 3 वाँ पद 16 है तथा 7 वाँ पद उसके 5 वें पद से 12 अधिक है।
Answer: दिया गया है कि एक समान्तर श्रेणी का 3 वाँ पद \( a_3 = 16 \) है।
समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र \( a_n = a + (n - 1)d \) है।
तो, \( a_3 = a + (3 - 1)d \implies a + 2d = 16 \) ...(1)
यह भी दिया है कि 7 वाँ पद उसके 5 वें पद से 12 अधिक है।
\( a_7 = a_5 + 12 \)
दोनों पदों को सूत्र के रूप में लिखने पर:
\( a + 6d = (a + 4d) + 12 \)
दोनों तरफ से 'a' को रद्द करने पर:
\( 6d = 4d + 12 \)
\( 6d - 4d = 12 \)
\( 2d = 12 \)
दोनों तरफ 2 से भाग देने पर:
\( d = \frac{12}{2} \)
\( d = 6 \)
अब, d का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 2 \times 6 = 16 \)
\( a + 12 = 16 \)
\( a = 16 - 12 \)
\( a = 4 \)
अब जब हमारे पास प्रथम पद \( a = 4 \) और सार्वअन्तर \( d = 6 \) है, तो हम समान्तर श्रेणी लिख सकते हैं:
पहला पद \( = a = 4 \)
दूसरा पद \( = a + d = 4 + 6 = 10 \)
तीसरा पद \( = a + 2d = 4 + 2 \times 6 = 4 + 12 = 16 \)
चौथा पद \( = a + 3d = 4 + 3 \times 6 = 4 + 18 = 22 \)
अतः, समान्तर श्रेणी \( 4, 10, 16, 22, ... \) है।
In simple words: दिए गए शर्तों से दो समीकरण बनाते हैं, उन्हें हल करके पहला पद और सार्वअन्तर निकालते हैं. फिर इन मानों का उपयोग करके AP को लिखते हैं.

🎯 Exam Tip: शब्दों में दी गई शर्तों को गणितीय समीकरणों में सही ढंग से बदलना महत्वपूर्ण है. \( a_7 = a_5 + 12 \) का अर्थ है कि 7वें पद और 5वें पद का अंतर 12 है, यानी \( (a+6d) - (a+4d) = 12 \).

Question 21. एक समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए जिसमें \( a_{25} - a_{12} = 52 \) है।
Answer: दिया गया है कि एक समान्तर श्रेणी में \( a_{25} - a_{12} = 52 \) है।
हम समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र जानते हैं: \( a_n = a + (n - 1)d \)
तो, \( a_{25} = a + (25 - 1)d = a + 24d \)
और \( a_{12} = a + (12 - 1)d = a + 11d \)
दिए गए संबंध में इन मानों को रखने पर:
\( (a + 24d) - (a + 11d) = 52 \)
\( a + 24d - a - 11d = 52 \)
'a' पद एक दूसरे को रद्द कर देते हैं:
\( 13d = 52 \)
दोनों तरफ 13 से भाग देने पर:
\( d = \frac{52}{13} \)
\( d = 4 \)
अतः, समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर 4 है।
In simple words: AP में, किन्हीं भी दो पदों का अंतर, उनके पद संख्याओं के अंतर को सार्वअन्तर से गुणा करने के बराबर होता है. यानी \( a_{25} - a_{12} = (25 - 12)d \).

🎯 Exam Tip: याद रखें कि \( a_m - a_n = (m - n)d \). यह संबंध ऐसे प्रश्नों को बहुत जल्दी हल करने में मदद करता है, खासकर जब प्रथम पद (\( a \)) अज्ञात हो.

Question 22. n के किस मान के लिए, समान्तर श्रेणी \( 63, 65, 67, ... \) तथा \( 3, 10, 17, ... \) के n वें पद बराबर हैं?
Answer: हमारे पास दो समान्तर श्रेणियाँ हैं:
**पहली समान्तर श्रेणी:** \( 63, 65, 67, ... \)
यहां, प्रथम पद \( a_1 = 63 \) है।
सार्वअन्तर \( d_1 = 65 - 63 = 2 \) है।
इसका n वाँ पद \( a_n \) होगा: \( a_n = a_1 + (n - 1)d_1 = 63 + (n - 1)2 \)
\( a_n = 63 + 2n - 2 \)
\( a_n = 61 + 2n \) ...(1)

**दूसरी समान्तर श्रेणी:** \( 3, 10, 17, ... \)
यहां, प्रथम पद \( a'_1 = 3 \) है।
सार्वअन्तर \( d'_1 = 10 - 3 = 7 \) है।
इसका n वाँ पद \( a'_n \) होगा: \( a'_n = a'_1 + (n - 1)d'_1 = 3 + (n - 1)7 \)
\( a'_n = 3 + 7n - 7 \)
\( a'_n = 7n - 4 \) ...(2)

प्रश्न के अनुसार, दोनों श्रेणियों के n वें पद बराबर हैं:
\( a_n = a'_n \)
\( 61 + 2n = 7n - 4 \)
अब, n वाले पदों को एक तरफ और संख्या वाले पदों को दूसरी तरफ ले जाएँ:
\( 61 + 4 = 7n - 2n \)
\( 65 = 5n \)
दोनों तरफ 5 से भाग देने पर:
\( n = \frac{65}{5} \)
\( n = 13 \)
अतः, n = 13 के लिए दोनों समान्तर श्रेणियों के nवें पद बराबर होंगे।
In simple words: दोनों APs के लिए nवें पद का सूत्र लिखते हैं. फिर दोनों सूत्रों को बराबर रख कर \( n \) के लिए हल करते हैं, जिससे वह पद संख्या मिलती है जहाँ दोनों APs के मान समान होते हैं.

🎯 Exam Tip: जब दो APs के nवें पदों को समान करने के लिए कहा जाए, तो दोनों APs के लिए अलग-अलग \( a_n \) सूत्र स्थापित करें और फिर उन्हें बराबर करके \( n \) के लिए एक रैखिक समीकरण हल करें.

Question 23. समान्तर श्रेणी \( 8, 14, 20, 26, ... \) का कौन - सा पद 41 वें पद से 72 अधिक होगा?
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( 8, 14, 20, 26, ... \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 8 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 14 - 8 = 6 \) है।
हमें वह पद ज्ञात करना है, माना n वाँ पद (\( a_n \)), जो 41 वें पद (\( a_{41} \)) से 72 अधिक है।
तो, \( a_n = a_{41} + 72 \)
समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र \( a_n = a + (n - 1)d \) है।
\( a_{41} = a + (41 - 1)d = a + 40d \)
अब, दिए गए संबंध में मानों को रखने पर:
\( a + (n - 1)d = (a + 40d) + 72 \)
दोनों तरफ से 'a' को रद्द करने पर:
\( (n - 1)d = 40d + 72 \)
d का मान 6 रखने पर:
\( (n - 1)6 = 40 \times 6 + 72 \)
\( 6n - 6 = 240 + 72 \)
\( 6n - 6 = 312 \)
\( 6n = 312 + 6 \)
\( 6n = 318 \)
\( n = \frac{318}{6} \)
\( n = 53 \)
अतः, श्रेणी का 53 वाँ पद उसके 41 वें पद से 72 अधिक होगा।
In simple words: हम एक ऐसा पद ढूंढ रहे हैं जो 41वें पद से 72 ज्यादा हो. \( a_n = a_{41} + 72 \) सूत्र का उपयोग करते हैं और \( n \) का मान निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: यह \( a_n - a_m = (n - m)d \) के एक अनुप्रयोग का अच्छा उदाहरण है. यहां \( a_n - a_{41} = 72 \implies (n - 41)d = 72 \). यह सीधा तरीका है.

Question 24. समान्तर श्रेणी \( 3, 15, 27, 39, ... \) का कौन - सा पद इसके 21 वें पद से 120 अधिक है?
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी \( 3, 15, 27, 39, ... \) है।
यहां, प्रथम पद \( a = 3 \) है।
सार्वअन्तर \( d = a_2 - a_1 = 15 - 3 = 12 \) है।
हमें वह पद ज्ञात करना है, माना n वाँ पद (\( a_n \)), जो इसके 21 वें पद (\( a_{21} \)) से 120 अधिक है।
तो, \( a_n = a_{21} + 120 \)
समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र \( a_n = a + (n - 1)d \) है।
\( a_{21} = a + (21 - 1)d = a + 20d \)
अब, दिए गए संबंध में मानों को रखने पर:
\( a + (n - 1)d = (a + 20d) + 120 \)
दोनों तरफ से 'a' को रद्द करने पर:
\( (n - 1)d = 20d + 120 \)
d का मान 12 रखने पर:
\( (n - 1)12 = 20 \times 12 + 120 \)
\( 12n - 12 = 240 + 120 \)
\( 12n - 12 = 360 \)
\( 12n = 360 + 12 \)
\( 12n = 372 \)
\( n = \frac{372}{12} \)
\( n = 31 \)
अतः, श्रेणी का 31 वाँ पद उसके 21 वें पद से 120 अधिक होगा।
In simple words: हम ऐसा पद ढूंढ रहे हैं जो 21वें पद से 120 अधिक हो. \( a_n = a_{21} + 120 \) सूत्र में AP के पहले पद और सार्वअन्तर का उपयोग करके \( n \) का मान निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: पिछले प्रश्न की तरह, \( a_n - a_{21} = 120 \implies (n - 21)d = 120 \) संबंध का सीधा उपयोग करके हल करना समय बचा सकता है.

Question 25. एक समान्तर श्रेणी का 9 वाँ पद, दूसरे पद का 6 गुना है। यदि इसका 5 वाँ पद 22 है। तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
Answer: माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
दिया गया है कि 9 वाँ पद, दूसरे पद का 6 गुना है:
\( a_9 = 6 \times a_2 \)
हम जानते हैं \( a_n = a + (n-1)d \)
तो, \( a + 8d = 6(a + d) \)
\( a + 8d = 6a + 6d \)
पदों को व्यवस्थित करने पर:
\( 8d - 6d = 6a - a \)
\( 2d = 5a \)
\( a = \frac{2d}{5} \) ...(1)

यह भी दिया है कि 5 वाँ पद 22 है:
\( a_5 = 22 \)
\( a + 4d = 22 \) ...(2)

समीकरण (1) से \( a \) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( \frac{2d}{5} + 4d = 22 \)
पूरे समीकरण को 5 से गुणा करें ताकि भिन्न हट जाए:
\( 2d + 20d = 22 \times 5 \)
\( 22d = 110 \)
\( d = \frac{110}{22} \)
\( d = 5 \)
अब d का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a = \frac{2 \times 5}{5} \)
\( a = 2 \)
तो, प्रथम पद \( a = 2 \) और सार्वअन्तर \( d = 5 \) है।
समान्तर श्रेणी होगी:
पहला पद \( = 2 \)
दूसरा पद \( = 2 + 5 = 7 \)
तीसरा पद \( = 7 + 5 = 12 \)
चौथा पद \( = 12 + 5 = 17 \)
अतः, समान्तर श्रेणी \( 2, 7, 12, 17, ... \) है।
In simple words: AP के पदों के बीच के संबंधों से दो समीकरण बनाते हैं. उन्हें हल करके पहला पद और सार्वअन्तर निकालते हैं, फिर पूरी AP को लिखते हैं.

🎯 Exam Tip: "एक पद दूसरे पद का k गुना है" जैसे कथनों को सही ढंग से \( a_m = k \times a_n \) के रूप में व्यक्त करना महत्वपूर्ण है, और फिर उन्हें \( a \) और \( d \) के रूप में लिखें.

Question 26. एक समान्तर श्रेणी का 24 वाँ पद, 10 वें पद का 2 गुना है। तो सिद्ध कीजिए कि इसका 72 वाँ पद, 15 वें पद का चार गुना है।
Answer: माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
दिया गया है कि 24 वाँ पद, 10 वें पद का 2 गुना है:
\( a_{24} = 2 \times a_{10} \)
\( a + 23d = 2(a + 9d) \)
\( a + 23d = 2a + 18d \)
पदों को व्यवस्थित करने पर:
\( 23d - 18d = 2a - a \)
\( 5d = a \) ...(1)

अब हमें सिद्ध करना है कि 72 वाँ पद, 15 वें पद का चार गुना है, यानी \( a_{72} = 4 \times a_{15} \)।
पहले \( a_{72} \) को \( a \) और \( d \) के पदों में लिखें:
\( a_{72} = a + 71d \)
समीकरण (1) से \( a = 5d \) का मान यहाँ रखने पर:
\( a_{72} = 5d + 71d \)
\( a_{72} = 76d \) ...(2)

अब \( a_{15} \) को \( a \) और \( d \) के पदों में लिखें:
\( a_{15} = a + 14d \)
समीकरण (1) से \( a = 5d \) का मान यहाँ रखने पर:
\( a_{15} = 5d + 14d \)
\( a_{15} = 19d \) ...(3)

अब समीकरण (2) और (3) की तुलना करें:
हम जानते हैं कि \( a_{72} = 76d \) और \( a_{15} = 19d \)।
\( \frac{a_{72}}{a_{15}} = \frac{76d}{19d} = \frac{76}{19} = 4 \)
इसलिए, \( a_{72} = 4 \times a_{15} \)
यह सिद्ध होता है कि 72 वाँ पद, 15 वें पद का चार गुना है।
In simple words: पहले दी गई शर्त (\( a_{24} = 2 \times a_{10} \)) का उपयोग करके \( a \) और \( d \) के बीच संबंध निकालते हैं. फिर, इस संबंध का उपयोग करके \( a_{72} \) और \( a_{15} \) को \( d \) के पदों में लिखकर उनकी तुलना करते हैं.

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, एक संबंध (जैसे \( a=5d \)) स्थापित करना और फिर उसे अन्य पदों के लिए प्रतिस्थापित करना अक्सर एक प्रभावी तरीका होता है. दोनों पक्षों को अलग-अलग हल करके फिर उनकी तुलना करें.

Question 27. एक समान्तर श्रेणी के 5 वें तथा 9 वें पदों का योग 30 है। यदि इसका 25 वाँ पद, इसके 8 वें पद का तीन गुना है तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
Answer: माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
दिया गया है कि 5 वें तथा 9 वें पदों का योग 30 है:
\( a_5 + a_9 = 30 \)
\( (a + 4d) + (a + 8d) = 30 \)
\( 2a + 12d = 30 \)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\( a + 6d = 15 \) ...(1)

यह भी दिया है कि 25 वाँ पद, 8 वें पद का तीन गुना है:
\( a_{25} = 3 \times a_8 \)
\( a + 24d = 3(a + 7d) \)
\( a + 24d = 3a + 21d \)
पदों को व्यवस्थित करने पर:
\( 24d - 21d = 3a - a \)
\( 3d = 2a \)
\( a = \frac{3d}{2} \) ...(2)

समीकरण (2) से \( a \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{3d}{2} + 6d = 15 \)
पूरे समीकरण को 2 से गुणा करें ताकि भिन्न हट जाए:
\( 3d + 12d = 15 \times 2 \)
\( 15d = 30 \)
\( d = \frac{30}{15} \)
\( d = 2 \)
अब d का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( a = \frac{3 \times 2}{2} \)
\( a = 3 \)
तो, प्रथम पद \( a = 3 \) और सार्वअन्तर \( d = 2 \) है।
समान्तर श्रेणी होगी:
पहला पद \( = 3 \)
दूसरा पद \( = 3 + 2 = 5 \)
तीसरा पद \( = 5 + 2 = 7 \)
चौथा पद \( = 7 + 2 = 9 \)
अतः, समान्तर श्रेणी \( 3, 5, 7, 9, ... \) है।
In simple words: AP के पदों के योग और गुना के संबंधों से दो समीकरण बनाते हैं. इन समीकरणों को हल करके पहला पद और सार्वअन्तर पता करते हैं, फिर AP को लिखते हैं.

🎯 Exam Tip: यह एक और अच्छा प्रश्न है जिसमें दो शर्तों को दो समीकरणों में बदलना और उन्हें \( a \) और \( d \) के लिए हल करना शामिल है. हमेशा अपने उत्तर की जाँच करके देखें कि वे दी गई शर्तों को संतुष्ट करते हैं या नहीं.

Question 28. 101 तथा 999 के बीच की प्राकृतिक संख्याओं की संख्या ज्ञात कीजिए, जोकि 2 तथा 5 दोनों के द्वारा विभाजित हैं।
Answer: हमें 101 तथा 999 के बीच ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो 2 और 5 दोनों से विभाजित हों।
यदि कोई संख्या 2 और 5 दोनों से विभाजित होती है, तो वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से भी विभाजित होगी।
LCM (2, 5) = 10।
तो, हमें 101 तथा 999 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो 10 से विभाजित हों।
101 से बड़ी पहली संख्या जो 10 से विभाजित होती है, वह 110 है।
999 से छोटी अंतिम संख्या जो 10 से विभाजित होती है, वह 990 है।
तो, हमारी समान्तर श्रेणी है: \( 110, 120, 130, ..., 990 \)
यहां, प्रथम पद \( a = 110 \) है।
सार्वअन्तर \( d = 10 \) है।
अन्तिम पद \( a_n = 990 \) है।
हमें पदों की संख्या (n) ज्ञात करनी है। समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( 990 = 110 + (n - 1)10 \)
\( 990 - 110 = (n - 1)10 \)
\( 880 = (n - 1)10 \)
दोनों तरफ 10 से भाग देने पर:
\( \frac{880}{10} = n - 1 \)
\( 88 = n - 1 \)
\( n = 88 + 1 \)
\( n = 89 \)
अतः, 101 तथा 999 के बीच ऐसी 89 प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो 2 तथा 5 दोनों से विभाजित हैं।
In simple words: पहले यह पता करते हैं कि 2 और 5 दोनों से विभाजित होने का मतलब क्या है (10 से विभाजित). फिर 101 और 999 के बीच 10 से विभाजित होने वाली सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या ढूंढते हैं. उसके बाद AP के सूत्र से कुल कितनी ऐसी संख्याएँ हैं, यह पता करते हैं.

🎯 Exam Tip: जब एक संख्या कई संख्याओं से विभाजित होने के लिए कहा जाए, तो उन सभी संख्याओं का LCM ज्ञात करें. फिर LCM से विभाजित होने वाली AP को परिभाषित करें और पदों की संख्या ज्ञात करें.

Ex 5.1 Arithmetic Progressions दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 29. (i) सिद्ध कीजिए कि \( a_n = 4n + 5 \) के द्वारा स्पष्ट अनुक्रम \( < a_n > \) एक समान्तर अनुक्रम है तथा समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि अनुक्रम का n वाँ पद \( a_n = 4n + 5 \) है।
हमें यह सिद्ध करना है कि यह एक समान्तर अनुक्रम (AP) है, और इसका सार्वअन्तर ज्ञात करना है।
अनुक्रम के पहले कुछ पद ज्ञात करते हैं:
n = 1 के लिए: \( a_1 = 4 \times 1 + 5 = 4 + 5 = 9 \)
n = 2 के लिए: \( a_2 = 4 \times 2 + 5 = 8 + 5 = 13 \)
n = 3 के लिए: \( a_3 = 4 \times 3 + 5 = 12 + 5 = 17 \)
तो, अनुक्रम है: \( 9, 13, 17, ... \)
किसी अनुक्रम के समान्तर श्रेणी होने के लिए, किन्हीं भी दो क्रमागत पदों का अंतर (सार्वअन्तर) स्थिर होना चाहिए।
पहले दो पदों का अंतर: \( d_1 = a_2 - a_1 = 13 - 9 = 4 \)
दूसरे और तीसरे पदों का अंतर: \( d_2 = a_3 - a_2 = 17 - 13 = 4 \)
चूंकि क्रमागत पदों का अंतर समान है (4), अतः यह अनुक्रम एक समान्तर श्रेणी है।
समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर \( d = 4 \) है।
इसे गणितीय रूप से भी सिद्ध किया जा सकता है:
\( a_{n+1} = 4(n+1) + 5 = 4n + 4 + 5 = 4n + 9 \)
\( a_{n+1} - a_n = (4n + 9) - (4n + 5) = 4n + 9 - 4n - 5 = 4 \)
चूंकि \( a_{n+1} - a_n \) एक स्थिर मान (4) है और \( n \) पर निर्भर नहीं करता, अतः यह एक समान्तर श्रेणी है जिसका सार्वअन्तर 4 है। यह एक सीधा तरीका है.
In simple words: AP होने के लिए, हर अगले पद और उसके पिछले पद का अंतर हमेशा एक जैसा होना चाहिए. यहाँ, यह अंतर हमेशा 4 आता है, इसलिए यह एक AP है और उसका सार्वअन्तर 4 है.

🎯 Exam Tip: किसी अनुक्रम को AP सिद्ध करने के लिए, या तो पहले कुछ पदों के बीच सार्वअन्तर की गणना करें और दिखाएँ कि यह स्थिर है, या \( a_{n+1} - a_n \) ज्ञात करें और दिखाएँ कि यह एक स्थिर संख्या है.

Question 29. (ii) यदि एक अनुक्रम का n वाँ पद, \( a_n = n^2 - n + 1 \) है तो इसके प्रथम पाँच पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि अनुक्रम का n वाँ पद \( a_n = n^2 - n + 1 \) है।
हमें अनुक्रम के प्रथम पाँच पद ज्ञात करने हैं। इसके लिए n की जगह 1, 2, 3, 4 और 5 रखेंगे:
n = 1 के लिए: \( a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \)
n = 2 के लिए: \( a_2 = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3 \)
n = 3 के लिए: \( a_3 = 3^2 - 3 + 1 = 9 - 3 + 1 = 7 \)
n = 4 के लिए: \( a_4 = 4^2 - 4 + 1 = 16 - 4 + 1 = 13 \)
n = 5 के लिए: \( a_5 = 5^2 - 5 + 1 = 25 - 5 + 1 = 21 \)
अतः, अनुक्रम के प्रथम पाँच पद \( 1, 3, 7, 13, 21 \) हैं।
In simple words: जब nवें पद का सूत्र दिया हो, तो बस n की जगह 1, 2, 3, 4 और 5 रखकर पहले पाँच पद निकाले जा सकते हैं.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्न में, n के मानों को सूत्र में ध्यान से प्रतिस्थापित करें और गणना में कोई गलती न करें. यह AP का नहीं, बल्कि किसी भी अनुक्रम का प्रश्न है.

Question 30. यदि एक समान्तर श्रेणी का 9 वाँ पद \( -6 \) है तथा सार्वअन्तर \( \frac{5}{4} \) है तो इसका 25 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
दिया गया है कि 9 वाँ पद \( a_9 = -6 \) है।
सार्वअन्तर \( d = \frac{5}{4} \) है।
हम जानते हैं \( a_n = a + (n-1)d \)
तो, \( a_9 = a + (9 - 1)d = a + 8d \)
\( -6 = a + 8 \times \frac{5}{4} \)
\( -6 = a + 2 \times 5 \)
\( -6 = a + 10 \)
\( a = -6 - 10 \)
\( a = -16 \)
अब हमें श्रेणी का 25 वाँ पद (\( a_{25} \)) ज्ञात करना है।
\( a_{25} = a + (25 - 1)d \)
\( a_{25} = a + 24d \)
\( a_{25} = -16 + 24 \times \frac{5}{4} \)
\( a_{25} = -16 + (6 \times 5) \)
\( a_{25} = -16 + 30 \)
\( a_{25} = 14 \)
अतः, समान्तर श्रेणी का 25 वाँ पद 14 है।
In simple words: 9वें पद और सार्वअन्तर का उपयोग करके पहले AP का पहला पद निकालते हैं. फिर पहले पद और सार्वअन्तर का उपयोग करके 25वें पद को ढूंढते हैं.

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक सार्वअन्तर के साथ गणना करते समय, गुणा और जोड़/घटाव में गलतियों से बचने के लिए सावधान रहें. गणनाओं को सरल बनाए रखने के लिए भिन्नों को सही ढंग से गुणा करें.

Question 31. सभी तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं की संख्या ज्ञात कीजिए जोकि 9 के द्वारा विभाजित है।
Answer: हमें तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं की संख्या ज्ञात करनी है जो 9 से विभाजित होती हैं।
सबसे छोटी तीन अंकों वाली संख्या 100 है।
सबसे बड़ी तीन अंकों वाली संख्या 999 है।
अब, हमें 100 और 999 के बीच 9 से विभाजित होने वाली संख्याओं को ढूंढना है।
100 से बड़ी पहली संख्या जो 9 से विभाजित होती है, वह 108 है (क्योंकि \( 100 \div 9 \approx 11.11 \), तो \( 12 \times 9 = 108 \))।
999 तक, अंतिम संख्या जो 9 से विभाजित होती है, वह 999 ही है (क्योंकि \( 999 \div 9 = 111 \))।
तो, हमारी समान्तर श्रेणी है: \( 108, 117, 126, ..., 999 \)
यहां, प्रथम पद \( a = 108 \) है।
सार्वअन्तर \( d = 9 \) है।
अन्तिम पद \( a_n = 999 \) है।
हमें पदों की संख्या (n) ज्ञात करनी है। समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है:
\( a_n = a + (n - 1)d \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( 999 = 108 + (n - 1)9 \)
\( 999 - 108 = (n - 1)9 \)
\( 891 = (n - 1)9 \)
दोनों तरफ 9 से भाग देने पर:
\( \frac{891}{9} = n - 1 \)
\( 99 = n - 1 \)
\( n = 99 + 1 \)
\( n = 100 \)
अतः, तीन अंकों वाली 100 प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो 9 से विभाजित होती हैं।
In simple words: पहले पता करते हैं कि 9 से विभाजित होने वाली सबसे छोटी और सबसे बड़ी तीन अंकों की संख्या कौन सी है. फिर इन संख्याओं का उपयोग करके एक AP बनाते हैं और उसके पदों की संख्या निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: 'तीन अंकों वाली' या 'किन्हीं दो संख्याओं के बीच' वाले प्रश्नों में, हमेशा पहले और अंतिम पद को सही ढंग से पहचानें, फिर सार्वअन्तर (जो कि भाजक होगा) का उपयोग करके पदों की संख्या ज्ञात करें.