UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 52

Ex 5.2 Arithmetic Progressions अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. 1 से 100 तक सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: 1 से 100 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं से एक समान्तर श्रेणी बनती है: 1, 2, 3, 4,....100. इस श्रेणी का पहला पद \(a = 1\) है, सार्वअन्तर \(d = 2-1 = 1\) है और पदों की संख्या \(n = 100\) है। समान्तर श्रेणी के n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]\) सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है।
\(S_{100} = \frac{100}{2}[2 \times 1 + (100 – 1) \times 1]\)
\(S_{100} = 50[2 + 99]\)
\(S_{100} = 50 \times 101\)
\(S_{100} = 5050\)
इस प्रकार, 1 से 100 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग 5050 होगा।
In simple words: 1 से 100 तक की गिनती को जोड़ना है। इसके लिए, हम AP का योग सूत्र इस्तेमाल करेंगे। पहला नंबर 1 है, हर अगला नंबर 1 ज़्यादा है, और कुल 100 नंबर हैं। सभी को जोड़ने पर हमें 5050 मिलता है।

🎯 Exam Tip: प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए एक सीधा सूत्र \(Sn = \frac{n(n+1)}{2}\) भी इस्तेमाल किया जा सकता है। इससे गणना तेज़ हो जाती है।

Question 2. प्रथम 200 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: पहली 200 प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4,....200 हैं। इस श्रेणी का पहला पद \(a = 1\) है, सार्वअन्तर \(d = 2 - 1 = 1\) है और पदों की संख्या \(n = 200\) है। समान्तर श्रेणी के n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]\) सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है।
\(S_{200} = \frac{200}{2}[2 \times 1 + (200 – 1) \times 1]\)
\(S_{200} = 100[2 + 199]\)
\(S_{200} = 100 \times 201\)
\(S_{200} = 20100\)
इस तरह, पहली 200 प्राकृतिक संख्याओं का योग 20100 है।
In simple words: आपको 1 से 200 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ना है। यह एक सीधी AP है जहाँ पहला पद 1, सार्वअन्तर 1 और कुल 200 पद हैं। योग निकालने पर आपको 20100 मिलेगा।

🎯 Exam Tip: जब भी "प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग" पूछा जाए, तो \(Sn = \frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र का उपयोग करना सबसे आसान होता है।

Question 3. 100 से छोटी सभी सम प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: 100 से छोटी सभी सम प्राकृतिक संख्याएँ हैं: 2, 4, 6, 8,....98। इस समान्तर श्रेणी का पहला पद \(a = 2\), सार्वअन्तर \(d = 4 - 2 = 2\) और अन्तिम पद \(l = 98\) है। सबसे पहले, पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे:
\(l = a + (n - 1)d\)
\(98 = 2 + (n - 1) \times 2\)
\(98 = 2 + 2n – 2\)
\(98 = 2n\)
\(n = \frac{98}{2}\)
\(n = 49\)
अब, n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके योग ज्ञात करेंगे:
\(S_{49} = \frac{49}{2}[2 \times 2 + (49 – 1) \times 2]\)
\(S_{49} = \frac{49}{2}[4 + 48 \times 2]\)
\(S_{49} = \frac{49}{2}[4 + 96]\)
\(S_{49} = \frac{49}{2}[100]\)
\(S_{49} = 49 \times 50\)
\(S_{49} = 2450\)
इस प्रकार, 100 से छोटी सभी सम प्राकृतिक संख्याओं का योग 2450 है।
In simple words: हमें 100 से कम सभी सम संख्याएँ (जैसे 2, 4, 6...98) जोड़नी हैं। पहले पता करो कि ऐसी कितनी संख्याएँ हैं। फिर पहला नंबर (2), आखिरी नंबर (98), और कुल संख्याओं (49) का उपयोग करके AP के योग का सूत्र लगाओ। इससे हमें 2450 मिलेगा।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप "से छोटी" (less than) शब्द का सही अर्थ समझते हैं। यदि "100 तक" होता, तो 100 भी शामिल होता, लेकिन "100 से छोटी" का अर्थ है 98 तक।

Question 4. तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 11 से विभाज्य है।
Answer: तीन अंकों की सभी संख्याएँ जो 11 से विभाज्य हैं, वे एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं: 110, 121, 132,...... 990।
इस श्रेणी का पहला पद \(a = 110\), सार्वअन्तर \(d = 121 – 110 = 11\) और अन्तिम पद \(l = 990\) है।
सबसे पहले, पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे:
\(l = a + (n - 1)d\)
\(990 = 110 + (n - 1) \times 11\)
\(990 = 110 + 11n – 11\)
\(990 = 99 + 11n\)
\(990 – 99 = 11n\)
\(891 = 11n\)
\(n = \frac{891}{11}\)
\(n = 81\)
अब, n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके योग ज्ञात करेंगे:
\(S_{81} = \frac{81}{2}[2 \times 110 + (81 – 1) \times 11]\)
\(S_{81} = \frac{81}{2}[220 + 80 \times 11]\)
\(S_{81} = \frac{81}{2}[220 + 880]\)
\(S_{81} = \frac{81}{2}[1100]\)
\(S_{81} = 81 \times 550\)
\(S_{81} = 44550\)
अतः, तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग जो 11 से विभाज्य हैं, 44550 है।
In simple words: हमें तीन अंकों की वे सभी संख्याएँ जोड़नी हैं जो 11 से पूरी तरह भाग हो जाती हैं (जैसे 110, 121... 990)। पहले पता करें कि ऐसी कितनी संख्याएँ हैं। फिर AP के योग के सूत्र का इस्तेमाल करके उनका कुल जोड़ निकालें।

🎯 Exam Tip: "तीन अंकों की संख्याएँ" का मतलब 100 से 999 तक है। सबसे छोटी और सबसे बड़ी विभाज्य संख्या ज्ञात करने के लिए भागफल और शेषफल का उपयोग करें।

Question 5. सभी दो अंकों वाली विषम धनात्मक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: दो अंकों वाली सभी विषम धनात्मक संख्याएँ हैं: 11, 13, 15, 17,....99।
यह एक समान्तर श्रेणी है जिसका पहला पद \(a = 11\), सार्वअन्तर \(d = 13 – 11 = 2\) और अन्तिम पद \(l = 99\) है।
सबसे पहले, पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे:
\(l = a + (n - 1)d\)
\(99 = 11 + (n - 1) \times 2\)
\(99 = 11 + 2n – 2\)
\(99 = 9 + 2n\)
\(99 – 9 = 2n\)
\(90 = 2n\)
\(n = \frac{90}{2}\)
\(n = 45\)
अब, n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके योग ज्ञात करेंगे:
\(S_{45} = \frac{45}{2}[2 \times 11 + (45 – 1) \times 2]\)
\(S_{45} = \frac{45}{2}[22 + 44 \times 2]\)
\(S_{45} = \frac{45}{2}[22 + 88]\)
\(S_{45} = \frac{45}{2}[110]\)
\(S_{45} = 45 \times 55\)
\(S_{45} = 2475\)
इस प्रकार, सभी दो अंकों वाली विषम धनात्मक संख्याओं का योग 2475 है।
In simple words: हमें दो अंकों की विषम संख्याएँ (जैसे 11, 13...99) जोड़नी हैं। पहले पता करो कि ऐसी कितनी संख्याएँ हैं। फिर AP के योग के सूत्र (पहला पद, सार्वअन्तर, और पदों की संख्या के साथ) का उपयोग करके उनका कुल जोड़ निकालो।

🎯 Exam Tip: "दो अंकों वाली संख्याएँ" 10 से 99 तक होती हैं। "विषम" का मतलब है जो 2 से भाग न हों। पहला पद 11 और अंतिम पद 99 होगा।

Question 6. तीन अंकों वाली सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 7 की गुणज है।
Answer: तीन अंकों की सभी संख्याएँ जो 7 की गुणज हैं, वे एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं: 105, 112, 119,....994।
इस श्रेणी का पहला पद \(a = 105\), सार्वअन्तर \(d = 112 – 105 = 7\) और अन्तिम पद \(l = 994\) है।
सबसे पहले, पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे:
\(l = a + (n - 1)d\)
\(994 = 105 + (n - 1) \times 7\)
\(994 = 105 + 7n – 7\)
\(994 = 98 + 7n\)
\(994 – 98 = 7n\)
\(896 = 7n\)
\(n = \frac{896}{7}\)
\(n = 128\)
अब, n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके योग ज्ञात करेंगे:
\(S_{128} = \frac{128}{2}[2 \times 105 + (128 – 1) \times 7]\)
\(S_{128} = 64[210 + 127 \times 7]\)
\(S_{128} = 64[210 + 889]\)
\(S_{128} = 64[1099]\)
\(S_{128} = 70336\)
अतः, तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग जो 7 की गुणज हैं, 70336 है।
In simple words: हमें 7 से भाग होने वाली तीन अंकों की सभी संख्याएँ जोड़नी हैं। पहले सबसे छोटी और सबसे बड़ी तीन अंकों की संख्याएँ ढूँढें जो 7 से भाग होती हैं (105 और 994)। फिर पदों की संख्या निकालें और AP के योग के सूत्र का इस्तेमाल करके सभी का जोड़ ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: विभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए, 100 को 7 से भाग करके अगली गुणज (100/7 = 14.28 -> 15*7=105) और 999 को 7 से भाग करके पिछली गुणज (999/7 = 142.7 -> 142*7=994) ज्ञात करें।

Question 7. तीन अंकों की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 13 से विभाज्य हैं।
Answer: तीन अंकों की सभी प्राकृतिक संख्याएँ जो 13 से विभाज्य हैं, वे एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं: 104, 117, 130,... 988।
इस श्रेणी का पहला पद \(a = 104\), सार्वअन्तर \(d = 117 – 104 = 13\) और अन्तिम पद \(l = 988\) है।
सबसे पहले, पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे:
\(l = a + (n - 1)d\)
\(988 = 104 + (n - 1) \times 13\)
\(988 = 104 + 13n – 13\)
\(988 = 91 + 13n\)
\(988 – 91 = 13n\)
\(897 = 13n\)
\(n = \frac{897}{13}\)
\(n = 69\)
अब, n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके योग ज्ञात करेंगे:
\(S_{69} = \frac{69}{2}[2 \times 104 + (69 – 1) \times 13]\)
\(S_{69} = \frac{69}{2}[208 + 68 \times 13]\)
\(S_{69} = \frac{69}{2}[208 + 884]\)
\(S_{69} = \frac{69}{2}[1092]\)
\(S_{69} = 69 \times 546\)
\(S_{69} = 37674\)
अतः, तीन अंकों की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग जो 13 से विभाज्य हैं, 37674 है।
In simple words: हमें तीन अंकों की सभी संख्याएँ जोड़नी हैं जो 13 से पूरी तरह भाग होती हैं। पहले सबसे छोटी और सबसे बड़ी तीन अंकों की संख्या ढूँढें जो 13 से विभाज्य है। फिर पदों की संख्या ज्ञात करें और AP के योग सूत्र का उपयोग करके कुल योग निकालें।

🎯 Exam Tip: विभाज्यता के प्रश्नों में, श्रेणी का पहला और अंतिम पद सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है। इसके लिए, 100 और 999 को दी गई संख्या से भाग करके देखें।

Question 8. निम्न का योग ज्ञात कीजिए : (i) 8 के प्रथम 15 गुणजों का (NCERT) (ii) प्रथम 40 धन पूर्णांकों का जो विभाजित है (a) 3 (b) 5 (c) 6 से (NCERT)
Answer:
(i) 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग:
8 के प्रथम 15 गुणज निम्नलिखित हैं: 8, 16, 24,.....120।
यह एक समान्तर श्रेणी है जिसका पहला पद \(a = 8\), सार्वअन्तर \(d = 16 – 8 = 8\) और पदों की संख्या \(n = 15\) है।
n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(S_{15} = \frac{15}{2}[2 \times 8 + (15 – 1) \times 8]\)
\(S_{15} = \frac{15}{2}[16 + 14 \times 8]\)
\(S_{15} = \frac{15}{2}[16 + 112]\)
\(S_{15} = \frac{15}{2}[128]\)
\(S_{15} = 15 \times 64\)
\(S_{15} = 960\)
(ii) प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग जो विभाजित हैं:
(a) 3 से विभाजित:
3 से विभाजित होने वाले प्रथम 40 धन पूर्णांक हैं: 3, 6, 9,.....120।
यहां, पहला पद \(a = 3\), सार्वअन्तर \(d = 6 – 3 = 3\) और पदों की संख्या \(n = 40\) है।
n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(S_{40} = \frac{40}{2}[2 \times 3 + (40 – 1) \times 3]\)
\(S_{40} = 20[6 + 39 \times 3]\)
\(S_{40} = 20[6 + 117]\)
\(S_{40} = 20 \times 123\)
\(S_{40} = 2460\)
(b) 5 से विभाजित:
5 से विभाजित होने वाले प्रथम 40 धन पूर्णांक हैं: 5, 10, 15,.... 200।
यहां, पहला पद \(a = 5\), सार्वअन्तर \(d = 10 – 5 = 5\) और पदों की संख्या \(n = 40\) है।
n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(S_{40} = \frac{40}{2}[2 \times 5 + (40 – 1) \times 5]\)
\(S_{40} = 20[10 + 39 \times 5]\)
\(S_{40} = 20[10 + 195]\)
\(S_{40} = 20 \times 205\)
\(S_{40} = 4100\)
(c) 6 से विभाजित:
6 से विभाजित होने वाले प्रथम 40 धन पूर्णांक हैं: 6, 12, 18, ....240।
यहां, पहला पद \(a = 6\), सार्वअन्तर \(d = 12 – 6 = 6\) और पदों की संख्या \(n = 40\) है।
n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(S_{40} = \frac{40}{2}[2 \times 6 + (40 – 1) \times 6]\)
\(S_{40} = 20[12 + 39 \times 6]\)
\(S_{40} = 20[12 + 234]\)
\(S_{40} = 20 \times 246\)
\(S_{40} = 4920\)
In simple words: हमें दिए गए गुणजों और विभाजकों के लिए योग निकालना है। AP का सूत्र \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) का उपयोग करके प्रत्येक भाग के लिए पहला पद (a), सार्वअन्तर (d) और पदों की संख्या (n) ज्ञात करें, फिर योग निकालें।

🎯 Exam Tip: "प्रथम n गुणज" या "प्रथम n विभाज्य संख्याएँ" का मतलब है कि श्रेणी 3, 6, 9,... से शुरू होती है, न कि बीच में से कोई संख्या।

Question 9. निम्न में प्रथम n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए : (i) प्राकृतिक संख्याएँ (ii) विषम संख्याएँ (iii) सम संख्याएँ
Answer:
(i) प्राकृतिक संख्याएँ:
प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4.... n।
यहां, पहला पद \(a = 1\), सार्वअन्तर \(d = 2 – 1 = 1\) है।
श्रेणी के n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(Sn = \frac{n}{2}[2 \times 1 + (n - 1) \times 1]\)
\(Sn = \frac{n}{2}[2 + n - 1]\)
\(Sn = \frac{n}{2}(n+1)\)
(ii) विषम संख्याएँ:
विषम संख्याएँ 1, 3, 5, 7....n।
यहां, पहला पद \(a = 1\), सार्वअन्तर \(d = 3 – 1 = 2\) है।
श्रेणी के n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(Sn = \frac{n}{2}[2 \times 1 + (n - 1) \times 2]\)
\(Sn = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2]\)
\(Sn = \frac{n}{2}[2n]\)
\(Sn = n^2\)
(iii) सम संख्याएँ:
सम संख्याएँ 2, 4, 6,......n।
यहां, पहला पद \(a = 2\), सार्वअन्तर \(d = 4 – 2 = 2\) है।
श्रेणी के n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(Sn = \frac{n}{2}[2 \times 2 + (n - 1) \times 2]\)
\(Sn = \frac{n}{2}[4 + 2n - 2]\)
\(Sn = \frac{n}{2}[2n + 2]\)
\(Sn = \frac{n}{2}[2(n+1)]\)
\(Sn = n(n+1)\)
In simple words: हमें प्राकृतिक, विषम और सम संख्याओं के पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र निकालने हैं। AP के योग सूत्र \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) का उपयोग करें, जहाँ 'a' पहला पद, 'd' सार्वअन्तर और 'n' पदों की संख्या है।

🎯 Exam Tip: इन योग सूत्रों को याद रखना चाहिए: प्राकृतिक संख्याओं के लिए \(\frac{n(n+1)}{2}\), विषम संख्याओं के लिए \(n^2\), और सम संख्याओं के लिए \(n(n+1)\)।

Question 10. (i) प्रथम 100 सम प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो 5 से विभाज्य हैं। (ii) 1 तथा 100 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो3 से विभाज्य हैं। (iii) 100 तथा 1000 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 5 से विभाज्य (iv) 50 तथा 500 के बीच के सभी पूर्णाकों का योग ज्ञात कीजिए, जो 7 से विभाज्य हैं । (v) 100 तथा 800 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो 7 से विभाज्य (vi) 1 तथा 100 की बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए, जो 5 से विभाज्य नहीं।
Answer:
(i) प्रथम 100 सम प्राकृतिक संख्याएँ जो 5 से विभाज्य हैं:
यह श्रेणी है: 10, 20, 30,.....1000 (क्योंकि 100वीं संख्या \(10 \times 100 = 1000\))।
यहां, पहला पद \(a = 10\), सार्वअन्तर \(d = 20 – 10 = 10\) और पदों की संख्या \(n = 100\) है।
n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(S_{100} = \frac{100}{2}[2 \times 10 + (100 – 1) \times 10]\)
\(S_{100} = 50[20 + 99 \times 10]\)
\(S_{100} = 50[20 + 990]\)
\(S_{100} = 50 \times 1010\)
\(S_{100} = 50500\)
(ii) 1 तथा 100 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग जो 3 से विभाज्य हैं:
यह श्रेणी है: 3, 6, 9, 12,.....99।
यहां, पहला पद \(a = 3\), सार्वअन्तर \(d = 6 – 3 = 3\) और अन्तिम पद \(l = 99\) है।
पहले पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे:
\(l = a + (n - 1)d\)
\(99 = 3 + (n - 1) \times 3\)
\(99 = 3 + 3n – 3\)
\(99 = 3n\)
\(n = \frac{99}{3}\)
\(n = 33\)
n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(S_{33} = \frac{33}{2}[2 \times 3 + (33 – 1) \times 3]\)
\(S_{33} = \frac{33}{2}[6 + 32 \times 3]\)
\(S_{33} = \frac{33}{2}[6 + 96]\)
\(S_{33} = \frac{33}{2}[102]\)
\(S_{33} = 33 \times 51\)
\(S_{33} = 1683\)
(iii) 100 तथा 1000 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग जो 5 से विभाज्य हैं:
यह श्रेणी है: 105, 110, 115, .....995।
यहां, पहला पद \(a = 105\), सार्वअन्तर \(d = 110 – 105 = 5\) और अन्तिम पद \(l = 995\) है।
पहले पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे:
\(l = a + (n - 1)d\)
\(995 = 105 + (n - 1) \times 5\)
\(995 = 105 + 5n – 5\)
\(995 = 100 + 5n\)
\(995 – 100 = 5n\)
\(895 = 5n\)
\(n = \frac{895}{5}\)
\(n = 179\)
n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(S_{179} = \frac{179}{2}[2 \times 105 + (179 – 1) \times 5]\)
\(S_{179} = \frac{179}{2}[210 + 178 \times 5]\)
\(S_{179} = \frac{179}{2}[210 + 890]\)
\(S_{179} = \frac{179}{2}[1100]\)
\(S_{179} = 179 \times 550\)
\(S_{179} = 98450\)
(iv) 50 तथा 500 के बीच के सभी पूर्णाकों का योग जो 7 से विभाज्य हैं:
यह श्रेणी है: 56, 63, 70,.....497।
यहां, पहला पद \(a = 56\), सार्वअन्तर \(d = 63 – 56 = 7\) और अन्तिम पद \(l = 497\) है।
पहले पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे:
\(l = a + (n - 1)d\)
\(497 = 56 + (n - 1) \times 7\)
\(497 = 56 + 7n – 7\)
\(497 = 49 + 7n\)
\(497 – 49 = 7n\)
\(448 = 7n\)
\(n = \frac{448}{7}\)
\(n = 64\)
n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(S_{64} = \frac{64}{2}[2 \times 56 + (64 – 1) \times 7]\)
\(S_{64} = 32[112 + 63 \times 7]\)
\(S_{64} = 32[112 + 441]\)
\(S_{64} = 32 \times 553\)
\(S_{64} = 17696\)
(v) 100 तथा 800 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याएँ, जो 7 से विभाज्य हैं:
यह श्रेणी है: 105, 112, 119,......798।
यहां, पहला पद \(a = 105\), सार्वअन्तर \(d = 112 - 105 = 7\) और अन्तिम पद \(l = 798\) है।
पहले पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे:
\(l = a + (n - 1)d\)
\(798 = 105 + (n - 1) \times 7\)
\(798 = 105 + 7n – 7\)
\(798 = 98 + 7n\)
\(798 – 98 = 7n\)
\(700 = 7n\)
\(n = \frac{700}{7}\)
\(n = 100\)
n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(S_{100} = \frac{100}{2}[2 \times 105 + (100 – 1) \times 7]\)
\(S_{100} = 50[210 + 99 \times 7]\)
\(S_{100} = 50[210 + 693]\)
\(S_{100} = 50 \times 903\)
\(S_{100} = 45150\)
(vi) 1 तथा 100 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याएँ जो 5 से विभाज्य नहीं:
1 तथा 100 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, 5, 6,......99।
पहला पद \(a = 1\), सार्वअन्तर \(d = 1\), अन्तिम पद \(l = 99\)।
पदों की संख्या \(n = 99\)।
सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग \(Sn = \frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(S_{99} = \frac{99(99+1)}{2} = \frac{99 \times 100}{2} = 99 \times 50 = 4950\)
अब, 1 तथा 100 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याएँ जो 5 से विभाज्य हैं:
यह श्रेणी है: 5, 10, 15,.....95।
पहला पद \(a = 5\), सार्वअन्तर \(d = 5\), अन्तिम पद \(l = 95\)।
पदों की संख्या \(n = \frac{95-5}{5} + 1 = \frac{90}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\)
5 से विभाज्य संख्याओं का योग \(S_{19} = \frac{19}{2}[2 \times 5 + (19 – 1) \times 5]\)
\(S_{19} = \frac{19}{2}[10 + 18 \times 5]\)
\(S_{19} = \frac{19}{2}[10 + 90]\)
\(S_{19} = \frac{19}{2}[100]\)
\(S_{19} = 19 \times 50\)
\(S_{19} = 950\)
1 तथा 100 के बीच उन सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग जो 5 से विभाज्य नहीं हैं:
कुल योग - 5 से विभाज्य संख्याओं का योग
\( = 4950 - 950 = 4000\)
In simple words: हमें अलग-अलग शर्तों के साथ संख्याओं के समूह का योग निकालना है। AP के योग सूत्र का उपयोग करके, हर भाग के लिए पहला पद, सार्वअन्तर और पदों की संख्या ध्यान से ज्ञात करें। आखिरी भाग में, कुल संख्याओं के योग में से उन संख्याओं का योग घटा दें जो 5 से विभाज्य हैं।

🎯 Exam Tip: जब "के बीच" (between) कहा जाए, तो दी गई सीमा के अंत बिंदुओं को शामिल न करें। "से विभाज्य नहीं" वाले प्रश्नों को हल करने के लिए कुल योग में से विभाज्य संख्याओं का योग घटा दें।

Ex 5.2 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

Question 11. समान्तर श्रेणी 10, 6, 2... के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर श्रेणी 10, 6, 2.... के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात करने के लिए:
पहला पद \(a = 10\)
सार्वअन्तर \(d = 6 – 10 = -4\)
पदों की संख्या \(n = 16\)
AP के n पदों का योग सूत्र \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) का उपयोग करेंगे:
\(S_{16} = \frac{16}{2}[2 \times 10 + (16 – 1) \times (-4)]\)
\(S_{16} = 8[20 + 15 \times (-4)]\)
\(S_{16} = 8[20 – 60]\)
\(S_{16} = 8 \times (-40)\)
\(S_{16} = -320\)
इस प्रकार, समान्तर श्रेणी के प्रथम 16 पदों का योग -320 है।
In simple words: हमें इस AP (10, 6, 2...) के पहले 16 नंबरों को जोड़ना है। पहला नंबर 10 है, और हर बार 4 कम हो रहा है। AP के जोड़ वाले सूत्र का उपयोग करके, हमें -320 मिलेगा।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक सार्वअन्तर होने पर योग भी ऋणात्मक हो सकता है। गणना करते समय चिह्नों का ध्यान रखें।

Question 12. एक समान्तर श्रेणी 1, 3, 5, 7, 9... के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर श्रेणी 1, 3, 5, 7, 9.... के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात करने के लिए:
पहला पद \(a = 1\)
सार्वअन्तर \(d = 3 – 1 = 2\)
पदों की संख्या \(n = 20\)
AP के n पदों का योग सूत्र \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) का उपयोग करेंगे:
\(S_{20} = \frac{20}{2}[2 \times 1 + (20 – 1) \times 2]\)
\(S_{20} = 10[2 + 19 \times 2]\)
\(S_{20} = 10[2 + 38]\)
\(S_{20} = 10 \times 40\)
\(S_{20} = 400\)
इस प्रकार, समान्तर श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग 400 है।
In simple words: हमें 1, 3, 5, 7, 9... जैसी विषम संख्याओं के पहले 20 नंबरों को जोड़ना है। पहला नंबर 1 है, और हर नंबर 2 ज़्यादा है। AP के जोड़ वाले सूत्र का उपयोग करके, हमें 400 मिलेगा।

🎯 Exam Tip: यह विषम संख्याओं की एक AP है। आप \(n^2\) (यहाँ \(20^2 = 400\)) सूत्र का उपयोग करके भी सीधे योग ज्ञात कर सकते हैं।

Question 13. समान्तर श्रेणी 5, 8, 11, 14... के प्रथम 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर श्रेणी 5, 8, 11, 14... के प्रथम 24 पदों का योग ज्ञात करने के लिए:
पहला पद \(a = 5\)
सार्वअन्तर \(d = 8 – 5 = 3\)
पदों की संख्या \(n = 24\)
AP के n पदों का योग सूत्र \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) का उपयोग करेंगे:
\(S_{24} = \frac{24}{2}[2 \times 5 + (24 – 1) \times 3]\)
\(S_{24} = 12[10 + 23 \times 3]\)
\(S_{24} = 12[10 + 69]\)
\(S_{24} = 12 \times 79\)
\(S_{24} = 948\)
इस प्रकार, समान्तर श्रेणी के प्रथम 24 पदों का योग 948 है।
In simple words: हमें AP (5, 8, 11, 14...) के पहले 24 नंबरों को जोड़ना है। पहला नंबर 5 है, और हर नंबर 3 ज़्यादा है। AP के जोड़ वाले सूत्र का उपयोग करके, हमें 948 मिलेगा।

🎯 Exam Tip: जब श्रेणी के पद दिए गए हों, तो पहले सार्वअन्तर सही ढंग से निकालें ताकि गणना में कोई गलती न हो।

Question 14. 5 + 13 + 21 + ... + 181 का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई श्रेणी 5 + 13 + 21 + ..... + 181 एक समान्तर श्रेणी है।
यहां, पहला पद \(a = 5\)
सार्वअन्तर \(d = 13 – 5 = 8\)
अन्तिम पद \(l = 181\)
सबसे पहले, पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे:
\(l = a + (n - 1)d\)
\(181 = 5 + (n - 1) \times 8\)
\(181 = 5 + 8n – 8\)
\(181 = 8n – 3\)
\(181 + 3 = 8n\)
\(184 = 8n\)
\(n = \frac{184}{8}\)
\(n = 23\)
अब, n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके योग ज्ञात करेंगे:
\(S_{23} = \frac{23}{2}[2 \times 5 + (23 – 1) \times 8]\)
\(S_{23} = \frac{23}{2}[10 + 22 \times 8]\)
\(S_{23} = \frac{23}{2}[10 + 176]\)
\(S_{23} = \frac{23}{2}[186]\)
\(S_{23} = 23 \times 93\)
\(S_{23} = 2139\)
इस प्रकार, दी गई श्रेणी का योग 2139 है।
In simple words: हमें एक AP (5, 13, 21...181) का योग निकालना है। पहले पता करें कि इसमें कितने पद हैं (अंतिम पद 181 तक)। फिर पहला पद, सार्वअन्तर और पदों की संख्या का उपयोग करके AP के योग के सूत्र से कुल जोड़ निकालें।

🎯 Exam Tip: जब अंतिम पद दिया गया हो, तो पहले पदों की संख्या 'n' ज्ञात करना महत्वपूर्ण है, फिर योग के सूत्र का उपयोग करें। आप योग के लिए \(Sn = \frac{n}{2}(a+l)\) सूत्र का भी उपयोग कर सकते हैं।

Question 15. 5 + 9 + 13 + ... + 81 का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई श्रेणी 5 + 9 + 13 + .... + 81 एक समान्तर श्रेणी है।
यहां, पहला पद \(a = 5\)
सार्वअन्तर \(d = 9 – 5 = 4\)
अन्तिम पद \(l = 81\)
सबसे पहले, पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे:
\(l = a + (n - 1)d\)
\(81 = 5 + (n - 1) \times 4\)
\(81 = 5 + 4n – 4\)
\(81 = 1 + 4n\)
\(81 – 1 = 4n\)
\(80 = 4n\)
\(n = \frac{80}{4}\)
\(n = 20\)
अब, n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[a + l]\) सूत्र का उपयोग करके योग ज्ञात करेंगे (क्योंकि पहला और अंतिम पद ज्ञात है):
\(S_{20} = \frac{20}{2}[5 + 81]\)
\(S_{20} = 10[86]\)
\(S_{20} = 860\)
इस प्रकार, दी गई श्रेणी का योग 860 है।
In simple words: हमें एक AP (5, 9, 13...81) का योग निकालना है। पहले पता करें कि इसमें कितने पद हैं। फिर AP के योग के सूत्र (पहला पद, सार्वअन्तर और पदों की संख्या के साथ) का उपयोग करके कुल जोड़ निकालें।

🎯 Exam Tip: जब पहला पद, अंतिम पद और पदों की संख्या ज्ञात हो, तो योग के लिए \(Sn = \frac{n}{2}(a+l)\) सूत्र का उपयोग करना बहुत तेज़ होता है।

Question 16. \(18 + 15\frac{1}{2} + 13 + ... + (-49\frac{1}{2})\) का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई श्रेणी \(18 + 15\frac{1}{2} + 13 + ... + (-49\frac{1}{2})\) एक समान्तर श्रेणी है।
यहां, पहला पद \(a = 18\)
सार्वअन्तर \(d = 15\frac{1}{2} - 18 = \frac{31}{2} - \frac{36}{2} = -\frac{5}{2}\)
अन्तिम पद \(l = -49\frac{1}{2} = -\frac{99}{2}\)
सबसे पहले, पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे:
\(l = a + (n - 1)d\)
\(-\frac{99}{2} = 18 + (n - 1) \times (-\frac{5}{2})\)
\(-\frac{99}{2} = \frac{36}{2} - \frac{5n}{2} + \frac{5}{2}\) (दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें)
\(-99 = 36 - 5n + 5\)
\(-99 = 41 - 5n\)
\(5n = 41 + 99\)
\(5n = 140\)
\(n = \frac{140}{5}\)
\(n = 28\)
अब, n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) सूत्र का उपयोग करके योग ज्ञात करेंगे:
\(S_{28} = \frac{28}{2}[2 \times 18 + (28 – 1) \times (-\frac{5}{2})]\)
\(S_{28} = 14[36 + 27 \times (-\frac{5}{2})]\)
\(S_{28} = 14[36 - \frac{135}{2}]\)
\(S_{28} = 14[\frac{72 - 135}{2}]\)
\(S_{28} = 14 \times (-\frac{63}{2})\)
\(S_{28} = 7 \times (-63)\)
\(S_{28} = -441\)
इस प्रकार, दी गई श्रेणी का योग -441 है।
In simple words: हमें इस AP (18, \(15\frac{1}{2}\), 13... \( -49\frac{1}{2}\)) का योग निकालना है। इसमें भिन्न वाले नंबर हैं और सार्वअन्तर ऋणात्मक है। पहले कुल पदों की संख्या ज्ञात करें, फिर AP के योग के सूत्र का इस्तेमाल करके कुल जोड़ निकालें।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक पदों और ऋणात्मक सार्वअन्तर वाली श्रेणियों में गणना करते समय विशेष सावधानी बरतें, खासकर भिन्नों को जोड़ते/घटाते समय।

Question 17. श्रेणी 18,16,14... के कितने पदों का योग शून्य होगा?
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी 18, 16, 14.... है।
यहां, पहला पद \(a = 18\)
सार्वअन्तर \(d = 16 – 18 = -2\)
हमें ज्ञात करना है कि कितने पदों का योग शून्य होगा, इसलिए \(Sn = 0\)।
AP के n पदों का योग सूत्र \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) का उपयोग करेंगे:
\(0 = \frac{n}{2}[2 \times 18 + (n - 1) \times (-2)]\)
\(0 = \frac{n}{2}[36 - 2n + 2]\)
\(0 = \frac{n}{2}[38 - 2n]\)
यह तभी संभव है जब \(n = 0\) या \(38 - 2n = 0\)।
पदों की संख्या \(n\) शून्य नहीं हो सकती, इसलिए:
\(38 - 2n = 0\)
\(38 = 2n\)
\(n = \frac{38}{2}\)
\(n = 19\)
इस प्रकार, समान्तर श्रेणी के 19 पदों का योग शून्य होगा।
In simple words: हमें यह पता करना है कि AP (18, 16, 14...) के कितने नंबरों को जोड़ने पर कुल जोड़ 0 हो जाएगा। पहला नंबर 18 है और हर बार 2 कम हो रहा है। AP के जोड़ वाले सूत्र को 0 के बराबर रखकर 'n' का मान ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: जब \(Sn = 0\) हो, तो \(n = 0\) को खारिज करना याद रखें क्योंकि पदों की संख्या शून्य नहीं हो सकती।

Question 18. निम्नलिखित श्रेणियों का योगफल ज्ञात कीजिए : (i) 1, 3, 5, 7... 12 पदों तक । (ii) 0.7 + 0.71 + 0.72 + ... 100 पदों तक । (iii) a + b, a – b, a – 3b...22 पदों तक । (iv) \((a – b)^2 + (a^2 + b^2) + (a + b)^2 + ... + [(a + b)^2 + 6(ab)]\)
Answer:
(i) 1, 3, 5, 7,.... 12 पदों तक योग:
यह एक समान्तर श्रेणी है जिसका पहला पद \(a = 1\), सार्वअन्तर \(d = 3 - 1 = 2\) और पदों की संख्या \(n = 12\) है।
AP के n पदों का योग सूत्र \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) का उपयोग करेंगे:
\(S_{12} = \frac{12}{2}[2 \times 1 + (12 – 1) \times 2]\)
\(S_{12} = 6[2 + 11 \times 2]\)
\(S_{12} = 6[2 + 22]\)
\(S_{12} = 6 \times 24\)
\(S_{12} = 144\)
(ii) 0.7 + 0.71 + 0.72 + ....100 पदों तक योग:
यह एक समान्तर श्रेणी है जिसका पहला पद \(a = 0.7\), सार्वअन्तर \(d = 0.71 – 0.7 = 0.01\) और पदों की संख्या \(n = 100\) है।
AP के n पदों का योग सूत्र \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) का उपयोग करेंगे:
\(S_{100} = \frac{100}{2}[2 \times 0.7 + (100 – 1) \times 0.01]\)
\(S_{100} = 50[1.4 + 99 \times 0.01]\)
\(S_{100} = 50[1.4 + 0.99]\)
\(S_{100} = 50 \times 2.39\)
\(S_{100} = 119.5\)
(iii) a + b, a – b, a – 3b,...22 पदों तक योग:
यह एक समान्तर श्रेणी है जिसका पहला पद \(a = a + b\), सार्वअन्तर \(d = (a – b) – (a + b) = a – b – a – b = -2b\) और पदों की संख्या \(n = 22\) है।
AP के n पदों का योग सूत्र \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) का उपयोग करेंगे:
\(S_{22} = \frac{22}{2}[2(a + b) + (22 – 1) \times (-2b)]\)
\(S_{22} = 11[2a + 2b + 21 \times (-2b)]\)
\(S_{22} = 11[2a + 2b – 42b]\)
\(S_{22} = 11[2a – 40b]\)
\(S_{22} = 22a – 440b\)
(iv) \((a – b)^2 + (a^2 + b^2) + (a + b)^2 + .... + [(a + b)^2 + 6(ab)]\) का योग:
पहला पद \(A = (a – b)^2\)
सार्वअन्तर \(D = (a^2 + b^2) – (a – b)^2 = (a^2 + b^2) – (a^2 + b^2 – 2ab) = 2ab\)
अंतिम पद \(L = (a + b)^2 + 6ab = a^2 + b^2 + 2ab + 6ab = a^2 + b^2 + 8ab\)
अब, पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे:
\(L = A + (n - 1)D\)
\(a^2 + b^2 + 8ab = (a – b)^2 + (n - 1)(2ab)\)
\(a^2 + b^2 + 8ab = a^2 + b^2 – 2ab + (n - 1)(2ab)\)
\(8ab = -2ab + (n - 1)(2ab)\)
\(10ab = (n - 1)(2ab)\)
\(10 = (n - 1)2\)
\(5 = n - 1\)
\(n = 6\)
अब, n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}[2A + (n-1)D]\) सूत्र का उपयोग करेंगे:
\(S_6 = \frac{6}{2}[2(a – b)^2 + (6 – 1)(2ab)]\)
\(S_6 = 3[2(a^2 + b^2 – 2ab) + 5(2ab)]\)
\(S_6 = 3[2a^2 + 2b^2 – 4ab + 10ab]\)
\(S_6 = 3[2a^2 + 2b^2 + 6ab]\)
\(S_6 = 6(a^2 + b^2 + 3ab)\)
In simple words: हमें अलग-अलग AP का योग निकालना है। हर AP के लिए पहला पद (a), सार्वअन्तर (d) और पदों की संख्या (n) ज्ञात करें। फिर AP के योग सूत्र \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) का उपयोग करके योग निकालें। चौथे भाग में, बीजगणितीय पदों को सावधानी से AP के रूप में पहचानें और फिर योग ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए बीजगणितीय पदों का सावधानीपूर्वक विस्तार करें कि सार्वअन्तर सही ढंग से निर्धारित हो। भिन्न या दशमलव वाली संख्याओं के साथ काम करते समय गणना में त्रुटियों से बचें।

Question 19. निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए : (i) 1 + 6 + 11 + 16 + ... + x = 148 (ii) 2 + 5 + 8 + 11 + ... + x = 345
Answer:
(i) 1 + 6 + 11 + 16 + ..... + x = 148:
यह एक समान्तर श्रेणी है जिसका पहला पद \(a = 1\), सार्वअन्तर \(d = 6 – 1 = 5\) और अन्तिम पद \(l = x\) है।
माना पदों की संख्या \(n\) है।
\(l = a + (n - 1)d\)
\(x = 1 + (n - 1) \times 5\)
\(x = 1 + 5n - 5\)
\(x = 5n - 4\)
इससे \(5n = x + 4 \implies n = \frac{x+4}{5}\)
AP का योग \(Sn = \frac{n}{2}(a + l)\) है:
\(148 = \frac{n}{2}(1 + x)\)
\(148 = \frac{\frac{x+4}{5}}{2}(1 + x)\)
\(148 = \frac{x+4}{10}(1 + x)\)
\(1480 = (x+4)(1 + x)\)
\(1480 = x^2 + x + 4x + 4\)
\(1480 = x^2 + 5x + 4\)
\(x^2 + 5x – 1476 = 0\)
वर्ग समीकरण को हल करने पर:
\(x^2 + 41x – 36x – 1476 = 0\)
\(x(x + 41) – 36(x + 41) = 0\)
\((x + 41)(x – 36) = 0\)
इससे \(x + 41 = 0\) या \(x – 36 = 0\)
\(x = -41\) (यह मान अस्वीकार्य है क्योंकि श्रेणी में सभी पद धनात्मक हैं)
\(x = 36\)
अतः, \(x = 36\)
(ii) 2 + 5 + 8 + 11 + .... + x = 345:
यह एक समान्तर श्रेणी है जिसका पहला पद \(a = 2\), सार्वअन्तर \(d = 5 – 2 = 3\) और अन्तिम पद \(l = x\) है।
माना पदों की संख्या \(n\) है।
\(l = a + (n - 1)d\)
\(x = 2 + (n - 1) \times 3\)
\(x = 2 + 3n – 3\)
\(x = 3n – 1\)
इससे \(3n = x + 1 \implies n = \frac{x+1}{3}\)
AP का योग \(Sn = \frac{n}{2}(a + l)\) है:
\(345 = \frac{n}{2}(2 + x)\)
\(345 = \frac{\frac{x+1}{3}}{2}(2 + x)\)
\(345 = \frac{x+1}{6}(2 + x)\)
\(345 \times 6 = (x+1)(2 + x)\)
\(2070 = 2x + x^2 + 2 + x\)
\(2070 = x^2 + 3x + 2\)
\(x^2 + 3x – 2068 = 0\)
वर्ग समीकरण को हल करने पर:
\(x^2 + 47x – 44x – 2068 = 0\)
\(x(x + 47) – 44(x + 47) = 0\)
\((x + 47)(x – 44) = 0\)
इससे \(x + 47 = 0\) या \(x – 44 = 0\)
\(x = -47\) (यह मान अस्वीकार्य है क्योंकि श्रेणी में सभी पद धनात्मक हैं)
\(x = 44\)
अतः, \(x = 44\)
In simple words: हमें दो अलग-अलग AP के अंतिम पद (x) को ज्ञात करना है, जब उनका योग दिया गया हो। पहले 'n' को 'x' के रूप में व्यक्त करें। फिर AP के योग के सूत्र में इस 'n' को और दिए गए योग को रखकर एक वर्ग समीकरण बनाएँ। समीकरण को हल करके 'x' का मान ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: इन प्रश्नों में दो समीकरण बनते हैं - एक \(l = a + (n-1)d\) से और दूसरा \(Sn = \frac{n}{2}(a+l)\) से। इन दोनों को हल करके आप आसानी से 'n' और 'x' (अंतिम पद) का मान ज्ञात कर सकते हैं। ऋणात्मक मानों को ध्यान से जांचें कि वे श्रेणी के संदर्भ में स्वीकार्य हैं या नहीं।

Question 20. एक समान्तर श्रेणी के 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका पहला पद तथा अन्तिम पद क्रमशः 5 तथा 75 हैं।
Answer: समान्तर श्रेणी के 15 पदों का योग ज्ञात करने के लिए:
पहला पद \(a = 5\)
अन्तिम पद \(l = 75\)
पदों की संख्या \(n = 15\)
AP के n पदों का योग सूत्र \(Sn = \frac{n}{2}(a + l)\) का उपयोग करेंगे:
\(S_{15} = \frac{15}{2}(5 + 75)\)
\(S_{15} = \frac{15}{2}(80)\)
\(S_{15} = 15 \times 40\)
\(S_{15} = 600\)
इस प्रकार, समान्तर श्रेणी के 15 पदों का योग 600 है।
In simple words: हमें एक AP के 15 नंबरों को जोड़ना है। हमें पहला नंबर (5), आखिरी नंबर (75) और कुल नंबर (15) पता हैं। AP के जोड़ के छोटे सूत्र का इस्तेमाल करके, हमें 600 मिलेगा।

🎯 Exam Tip: जब पहला पद, अंतिम पद और पदों की संख्या दी गई हो, तो योग के लिए \(Sn = \frac{n}{2}(a+l)\) सूत्र का उपयोग करना सबसे तेज़ तरीका है।

Question 21. तीन संख्याएँ, एक समान्तर श्रेणी में हैं जिनका योग 24 है तथा उनके वर्गों का योग 200 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer: माना, समान्तर श्रेणी में तीन संख्याएँ \((a – d), a, (a + d)\) हैं।
प्रश्नानुसार, उनकी संख्याओं का योग 24 है:
\((a – d) + a + (a + d) = 24\)
\(3a = 24\)
\(a = \frac{24}{3}\)
\(a = 8\)
प्रश्नानुसार, उनके वर्गों का योग 200 है:
\((a – d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 200\)
\(a^2 - 2ad + d^2 + a^2 + a^2 + 2ad + d^2 = 200\)
\(3a^2 + 2d^2 = 200\)
अब \(a = 8\) का मान इस समीकरण में रखेंगे:
\(3(8)^2 + 2d^2 = 200\)
\(3 \times 64 + 2d^2 = 200\)
\(192 + 2d^2 = 200\)
\(2d^2 = 200 – 192\)
\(2d^2 = 8\)
\(d^2 = \frac{8}{2}\)
\(d^2 = 4\)
\(d = \pm\sqrt{4}\)
\(d = \pm 2\)
यदि \(d = 2\), तो संख्याएँ हैं:
\(a – d = 8 – 2 = 6\)
\(a = 8\)
\(a + d = 8 + 2 = 10\)
संख्याएँ 6, 8, 10 हैं।
यदि \(d = -2\), तो संख्याएँ हैं:
\(a – d = 8 – (-2) = 10\)
\(a = 8\)
\(a + d = 8 + (-2) = 6\)
संख्याएँ 10, 8, 6 हैं।
अतः, समान्तर श्रेणी की संख्याएँ 6, 8, 10 हैं।
In simple words: हमें तीन संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो AP में हैं। उनका जोड़ 24 है और उनके वर्गों का जोड़ 200 है। AP में तीन संख्याओं को \((a-d)\), \(a\), \((a+d)\) मानकर, दिए गए समीकरणों को हल करें। इससे \(a\) और \(d\) का मान मिलेगा, जिससे संख्याएँ पता चलेंगी।

🎯 Exam Tip: समान्तर श्रेणी में संख्याओं को \((a-d), a, (a+d)\) के रूप में मानने से गणना सरल हो जाती है क्योंकि \(d\) वाला पद योग में कट जाता है।

Question 22. यदि एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग दिया है, \(Sn = (3n^2 – n)\) तो ज्ञात कीजिए । (i) n वाँ पद (ii) इसका पहला पद (iii) सार्वअन्तर
Answer: दिया गया है कि समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग \(Sn = 3n^2 – n\)।
हम जानते हैं कि n वाँ पद \(Tn = Sn - Sn-1\) होता है।
पहले \(Sn-1\) ज्ञात करेंगे। \(n\) की जगह \((n-1)\) रखने पर:
\(Sn-1 = 3(n - 1)^2 – (n - 1)\)
\(Sn-1 = 3(n^2 - 2n + 1) – n + 1\)
\(Sn-1 = 3n^2 - 6n + 3 – n + 1\)
\(Sn-1 = 3n^2 - 7n + 4\)
(i) n वाँ पद \(Tn\):
\(Tn = Sn - Sn-1\)
\(Tn = (3n^2 – n) – (3n^2 - 7n + 4)\)
\(Tn = 3n^2 – n – 3n^2 + 7n – 4\)
\(Tn = 6n – 4\)
अतः, समान्तर श्रेणी का n वाँ पद \(6n – 4\) है।
(ii) इसका पहला पद:
पहला पद ज्ञात करने के लिए \(n = 1\) रखने पर:
\(T1 = 6(1) – 4 = 6 – 4 = 2\)
अतः, श्रेणी का पहला पद \(a = 2\) है।
(iii) सार्वअन्तर:
दूसरा पद ज्ञात करने के लिए \(n = 2\) रखने पर:
\(T2 = 6(2) – 4 = 12 – 4 = 8\)
सार्वअन्तर \(d = T2 – T1\)
\(d = 8 – 2 = 6\)
अतः, श्रेणी का सार्वअन्तर 6 है।
(श्रेणी के पद हैं: 2, 8, 14,...)
In simple words: हमें AP के n पदों के योग \(Sn\) से n वाँ पद, पहला पद और सार्वअन्तर निकालना है। n वाँ पद निकालने के लिए \(Sn - Sn-1\) करें। पहला पद निकालने के लिए n की जगह 1 रखें। सार्वअन्तर निकालने के लिए दूसरे पद से पहला पद घटा दें।

🎯 Exam Tip: यह सूत्र \(Tn = Sn - Sn-1\) AP के nवें पद को उसके योग से ज्ञात करने के लिए महत्वपूर्ण है। पहला पद \(T1\) हमेशा \(S1\) के बराबर होता है।

Question 23. एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग \(\frac{1}{2}(3n^2 + 7n)\) है, तब इसका n वाँ पद ज्ञात कीजिए तथा इसका 20 वाँ पद भी लिखिए ।
Answer: दिया गया है कि समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग \(Sn = \frac{1}{2}(3n^2 + 7n)\)।
हम जानते हैं कि n वाँ पद \(Tn = Sn - Sn-1\) होता है।
पहले \(Sn-1\) ज्ञात करेंगे। \(n\) की जगह \((n-1)\) रखने पर:
\(Sn-1 = \frac{1}{2}[3(n - 1)^2 + 7(n - 1)]\)
\(Sn-1 = \frac{1}{2}[3(n^2 - 2n + 1) + 7n - 7]\)
\(Sn-1 = \frac{1}{2}[3n^2 - 6n + 3 + 7n - 7]\)
\(Sn-1 = \frac{1}{2}[3n^2 + n - 4]\)
अब, n वाँ पद \(Tn\):
\(Tn = Sn - Sn-1\)
\(Tn = \frac{1}{2}(3n^2 + 7n) - \frac{1}{2}(3n^2 + n - 4)\)
\(Tn = \frac{1}{2}[(3n^2 + 7n) - (3n^2 + n - 4)]\)
\(Tn = \frac{1}{2}[3n^2 + 7n - 3n^2 - n + 4]\)
\(Tn = \frac{1}{2}[6n + 4]\)
\(Tn = 3n + 2\)
अतः, समान्तर श्रेणी का n वाँ पद \(3n + 2\) है।
अब, 20 वाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n = 20\) रखने पर:
\(T_{20} = 3(20) + 2\)
\(T_{20} = 60 + 2\)
\(T_{20} = 62\)
इस प्रकार, श्रेणी का 20 वाँ पद 62 है।
In simple words: हमें \(Sn\) सूत्र से n वाँ पद और 20 वाँ पद निकालना है। पहले \(Sn-1\) ज्ञात करें, फिर \(Sn - Sn-1\) करके n वाँ पद का सूत्र पाएँ। फिर n की जगह 20 रखकर 20 वाँ पद ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: \(Sn - Sn-1\) सूत्र का उपयोग करते समय, ब्रैकेट और ऋणात्मक चिह्नों का ध्यान रखें ताकि कोई गलती न हो।

Ex 5.2 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions)

Question 24. एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग \(4n^2 + 2n\) है तो समान्तर श्रेणी का n वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग \(Sn = 4n^2 + 2n\)।
हम जानते हैं कि n वाँ पद \(Tn = Sn - Sn-1\) होता है।
पहले \(Sn-1\) ज्ञात करेंगे। \(n\) की जगह \((n-1)\) रखने पर:
\(Sn-1 = 4(n - 1)^2 + 2(n - 1)\)
\(Sn-1 = 4(n^2 - 2n + 1) + 2n - 2\)
\(Sn-1 = 4n^2 - 8n + 4 + 2n - 2\)
\(Sn-1 = 4n^2 - 6n + 2\)
अब, n वाँ पद \(Tn\):
\(Tn = Sn - Sn-1\)
\(Tn = (4n^2 + 2n) – (4n^2 - 6n + 2)\)
\(Tn = 4n^2 + 2n – 4n^2 + 6n – 2\)
\(Tn = 8n – 2\)
अतः, समान्तर श्रेणी का n वाँ पद \(8n – 2\) है।
In simple words: अगर किसी AP के n पदों का जोड़ दिया है, तो n वाँ पद निकालने के लिए \(Sn - Sn-1\) का सूत्र इस्तेमाल करें। पहले \(Sn-1\) निकालें, फिर घटाने पर आपको n वाँ पद मिलेगा।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न सीधे तौर पर \(Tn = Sn - Sn-1\) सूत्र के उपयोग पर आधारित है। बीजगणितीय विस्तार और घटाव करते समय चिह्नों का ध्यान रखें।

Question 25. एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग \(5n^2 + 3n\) है यदि इसका n वाँ पद 168 है तो n का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग \(Sn = 5n^2 + 3n\) है और n वाँ पद \(Tn = 168\) है।
हम जानते हैं कि n वाँ पद \(Tn = Sn - Sn-1\) होता है।
पहले \(Sn-1\) ज्ञात करेंगे। \(n\) की जगह \((n-1)\) रखने पर:
\(Sn-1 = 5(n - 1)^2 + 3(n - 1)\)
\(Sn-1 = 5(n^2 - 2n + 1) + 3n - 3\)
\(Sn-1 = 5n^2 - 10n + 5 + 3n - 3\)
\(Sn-1 = 5n^2 - 7n + 2\)
अब, n वाँ पद \(Tn\):
\(Tn = Sn - Sn-1\)
\(Tn = (5n^2 + 3n) – (5n^2 - 7n + 2)\)
\(Tn = 5n^2 + 3n – 5n^2 + 7n – 2\)
\(Tn = 10n – 2\)
दिया है कि n वाँ पद 168 है, तो:
\(168 = 10n – 2\)
\(168 + 2 = 10n\)
\(170 = 10n\)
\(n = \frac{170}{10}\)
\(n = 17\)
इस प्रकार, n का मान 17 है।
In simple words: हमें AP के n पदों के योग से n वाँ पद का सूत्र निकालना है। फिर इस सूत्र को दिए गए nवें पद (168) के बराबर रखकर 'n' का मान ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: \(Tn = Sn - Sn-1\) सूत्र का उपयोग करके nवें पद का सूत्र निकालना एक मानक तरीका है। फिर उस सूत्र को दिए गए मान के बराबर करके 'n' के लिए हल करें।

Question 26. यदि एक समान्तर श्रेणी के n पदों का योग \((3n^2 + 4n)\) है। इसका n वाँ पद ज्ञात कीजिए तथा समान्तर श्रेणी भी ज्ञात कीजिए ।
Answer: दिया गया है कि समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग \(Sn = 3n^2 + 4n\)।
हम जानते हैं कि n वाँ पद \(Tn = Sn - Sn-1\) होता है।
पहले \(Sn-1\) ज्ञात करेंगे। \(n\) की जगह \((n-1)\) रखने पर:
\(Sn-1 = 3(n - 1)^2 + 4(n - 1)\)
\(Sn-1 = 3(n^2 - 2n + 1) + 4n - 4\)
\(Sn-1 = 3n^2 - 6n + 3 + 4n - 4\)
\(Sn-1 = 3n^2 - 2n - 1\)
अब, n वाँ पद \(Tn\):
\(Tn = Sn - Sn-1\)
\(Tn = (3n^2 + 4n) – (3n^2 - 2n - 1)\)
\(Tn = 3n^2 + 4n – 3n^2 + 2n + 1\)
\(Tn = 6n + 1\)
अतः, समान्तर श्रेणी का n वाँ पद \(6n + 1\) है।
समान्तर श्रेणी ज्ञात करने के लिए n के अलग-अलग मानों पर पद ज्ञात करेंगे:
\(n = 1\) के लिए: \(T1 = 6(1) + 1 = 7\)
\(n = 2\) के लिए: \(T2 = 6(2) + 1 = 13\)
\(n = 3\) के लिए: \(T3 = 6(3) + 1 = 19\)
इस प्रकार, समान्तर श्रेणी 7, 13, 19,.... है।
In simple words: हमें \(Sn\) सूत्र से n वाँ पद निकालना है, और फिर AP के शुरुआती पद भी ज्ञात करने हैं। \(Tn = Sn - Sn-1\) से n वाँ पद निकालें। फिर n के अलग-अलग मान (1, 2, 3...) रखकर AP के पद ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: जब nवें पद का सूत्र \(Tn = An + B\) रूप में हो, तो श्रेणी का सार्वअन्तर हमेशा A होता है। यहाँ \(Tn = 6n + 1\) है, तो सार्वअन्तर 6 है।

Question 27. एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 25 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका n वाँ पद \(an = 7 - 3n\) है।
Answer: दिया गया है कि समान्तर श्रेणी का n वाँ पद \(an = 7 - 3n\) है।
पहले श्रेणी के शुरुआती पद ज्ञात करेंगे:
\(n = 1\) के लिए: \(a1 = 7 - 3(1) = 7 - 3 = 4\)
\(n = 2\) के लिए: \(a2 = 7 - 3(2) = 7 - 6 = 1\)
\(n = 3\) के लिए: \(a3 = 7 - 3(3) = 7 - 9 = -2\)
तो, समान्तर श्रेणी है: 4, 1, -2,....
यहां, पहला पद \(a = 4\)
सार्वअन्तर \(d = a2 – a1 = 1 – 4 = -3\)
पदों की संख्या \(n = 25\)
AP के n पदों का योग सूत्र \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) का उपयोग करेंगे:
\(S_{25} = \frac{25}{2}[2 \times 4 + (25 – 1) \times (-3)]\)
\(S_{25} = \frac{25}{2}[8 + 24 \times (-3)]\)
\(S_{25} = \frac{25}{2}[8 - 72]\)
\(S_{25} = \frac{25}{2}[-64]\)
\(S_{25} = 25 \times (-32)\)
\(S_{25} = -800\)
इस प्रकार, समान्तर श्रेणी के प्रथम 25 पदों का योग -800 है।
In simple words: हमें n वाँ पद दिया गया है। इससे हम पहले AP का पहला पद और सार्वअन्तर ज्ञात करेंगे। फिर AP के योग के सूत्र का इस्तेमाल करके पहले 25 पदों का योग निकालेंगे।

🎯 Exam Tip: जब nवें पद का सूत्र दिया हो, तो आप पहले पद और सार्वअन्तर को आसानी से प्राप्त कर सकते हैं। पहला पद \(n=1\) रखने पर मिलता है, और सार्वअन्तर \(T_n\) के सूत्र में n के गुणांक के बराबर होता है (यहाँ -3)।

Question 28. एक समान्तर श्रेणी का n वाँ पद \((- 4n + 15)\) दिया है। इस समान्तर श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर श्रेणी का n वाँ पद \(Tn = -4n + 15\) दिया गया है।
पहले श्रेणी के शुरुआती पद ज्ञात करेंगे:
\(n = 1\) के लिए: \(T1 = -4(1) + 15 = -4 + 15 = 11\)
\(n = 2\) के लिए: \(T2 = -4(2) + 15 = -8 + 15 = 7\)
\(n = 3\) के लिए: \(T3 = -4(3) + 15 = -12 + 15 = 3\)
तो, समान्तर श्रेणी है: 11, 7, 3,....
यहां, पहला पद \(a = 11\)
सार्वअन्तर \(d = 7 – 11 = -4\)
पदों की संख्या \(n = 20\)
AP के n पदों का योग सूत्र \(Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) का उपयोग करेंगे:
\(S_{20} = \frac{20}{2}[2 \times 11 + (20 – 1) \times (-4)]\)
\(S_{20} = 10[22 + 19 \times (-4)]\)
\(S_{20} = 10[22 - 76]\)
\(S_{20} = 10 \times (-54)\)
\(S_{20} = -540\)
इस प्रकार, समान्तर श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग -540 है।
In simple words: हमें n वाँ पद दिया गया है। इससे AP का पहला पद (n=1 रखने पर) और सार्वअन्तर (n के गुणांक से) ज्ञात करें। फिर AP के योग के सूत्र का इस्तेमाल करके पहले 20 पदों का योग निकालें।

🎯 Exam Tip: nवें पद से AP के गुणधर्म (पहला पद, सार्वअन्तर) आसानी से निकाले जा सकते हैं। सार्वअन्तर \(Tn\) सूत्र में n का गुणांक होता है।

Question 29. एक समान्तर श्रेणी के n पदों का योग \(Sn = 3n^2 + 5n\) दिया है। इसका कौन - सा पद 164 है?
Answer: दिया गया है कि समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग \(Sn = 3n^2 + 5n\) है।
हम जानते हैं कि n वाँ पद \(Tn = Sn - Sn-1\) होता है।
पहले \(Sn-1\) ज्ञात करेंगे। \(n\) की जगह \((n-1)\) रखने पर:
\(Sn-1 = 3(n - 1)^2 + 5(n - 1)\)
\(Sn-1 = 3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5\)
\(Sn-1 = 3n^2 - 6n + 3 + 5n - 5\)
\(Sn-1 = 3n^2 - n - 2\)
अब, n वाँ पद \(Tn\):
\(Tn = Sn - Sn-1\)
\(Tn = (3n^2 + 5n) – (3n^2 - n - 2)\)
\(Tn = 3n^2 + 5n – 3n^2 + n + 2\)
\(Tn = 6n + 2\)
हमें ज्ञात करना है कि कौन सा पद 164 है, इसलिए \(Tn = 164\):
\(164 = 6n + 2\)
\(164 – 2 = 6n\)
\(162 = 6n\)
\(n = \frac{162}{6}\)
\(n = 27\)
इस प्रकार, 27 वाँ पद 164 है।
In simple words: हमें \(Sn\) का सूत्र दिया गया है। इससे हम n वाँ पद का सूत्र \(Tn\) ज्ञात करेंगे। फिर \(Tn = 164\) रखकर 'n' का मान ज्ञात करें, जिससे पता चलेगा कि 164 कौन सा पद है।

🎯 Exam Tip: यह एक आम प्रश्न प्रकार है। \(Sn\) से \(Tn\) ज्ञात करने का चरण-दर-चरण तरीका याद रखें। गणना में किसी भी गलती से बचने के लिए बीजगणितीय घटाव को ध्यान से करें।

Question 30. यदि प्रथम n सम प्राकृतिक संख्याओं का योग, प्रथम n विषम संख्याओं के योग के k गुने के बराबर है। तब k ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) प्रथम n सम प्राकृतिक संख्याओं का योग:
सम संख्याएँ हैं: 2, 4, 6,....n।
यहां, पहला पद \(a = 2\), सार्वअन्तर \(d = 4 – 2 = 2\) है।
योग \(S_{n(सम)} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(S_{n(सम)} = \frac{n}{2}[2 \times 2 + (n - 1) \times 2]\)
\(S_{n(सम)} = \frac{n}{2}[4 + 2n - 2]\)
\(S_{n(सम)} = \frac{n}{2}[2n + 2]\)
\(S_{n(सम)} = \frac{n}{2}[2(n+1)]\)
\(S_{n(सम)} = n(n+1)\)
(ii) प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग:
विषम संख्याएँ हैं: 1, 3, 5, 7....n।
यहां, पहला पद \(a = 1\), सार्वअन्तर \(d = 3 – 1 = 2\) है।
योग \(S_{n(विषम)} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(S_{n(विषम)} = \frac{n}{2}[2 \times 1 + (n - 1) \times 2]\)
\(S_{n(विषम)} = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2]\)
\(S_{n(विषम)} = \frac{n}{2}[2n]\)
\(S_{n(विषम)} = n^2\)
प्रश्नानुसार, प्रथम n सम प्राकृतिक संख्याओं का योग, प्रथम n विषम संख्याओं के योग के k गुने के बराबर है:
\(S_{n(सम)} = k \times S_{n(विषम)}\)
\(n(n+1) = k \times n^2\)
\(n+1 = kn\) (चूंकि \(n \neq 0\))
\(k = \frac{n+1}{n}\)
इस प्रकार, \(k = \frac{n+1}{n}\) है।
In simple words: हमें पहले n सम संख्याओं और n विषम संख्याओं के योग का सूत्र ज्ञात करना है। फिर दिए गए संबंध के अनुसार, सम संख्याओं के योग को विषम संख्याओं के योग के 'k' गुने के बराबर रखें और 'k' का मान ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: सम और विषम संख्याओं के योग के मानक सूत्र (सम के लिए \(n(n+1)\) और विषम के लिए \(n^2\)) याद रखें, इससे समय बचता है।

Question 31. यदि एक समान्तर श्रेणी का पहला पद, दूसरा तथा अन्तिम पद क्रमशः a, b तथा 2a हैं। इसका योग ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर श्रेणी का पहला पद \(A = a\), दूसरा पद \(A_2 = b\) और अन्तिम पद \(L = 2a\) है।
सबसे पहले, सार्वअन्तर \(d\) ज्ञात करेंगे:
\(d = A_2 - A = b - a\)
अब, पदों की संख्या \(n\) ज्ञात करेंगे। अन्तिम पद के सूत्र का उपयोग करेंगे:
\(L = A + (n - 1)d\)
\(2a = a + (n - 1)(b - a)\)
\(2a - a = (n - 1)(b - a)\)
\(a = (n - 1)(b - a)\)
\(\frac{a}{b - a} = n - 1\)
\(n = \frac{a}{b - a} + 1\)
\(n = \frac{a + (b - a)}{b - a}\)
\(n = \frac{b}{b - a}\)
अब, समान्तर श्रेणी के n पदों का योग \(Sn = \frac{n}{2}(A + L)\) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करेंगे:
\(Sn = \frac{\frac{b}{b - a}}{2}(a + 2a)\)
\(Sn = \frac{b}{2(b - a)}(3a)\)
\(Sn = \frac{3ab}{2(b - a)}\)
इस प्रकार, श्रेणी का योग \(\frac{3ab}{2(b - a)}\) है।
In simple words: हमें AP के पहले और दूसरे पद (a, b) और अंतिम पद (2a) दिए गए हैं। पहले सार्वअन्तर ज्ञात करें। फिर अंतिम पद के सूत्र का उपयोग करके पदों की संख्या ज्ञात करें। अंत में, AP के योग के सूत्र (जिसमें पहला और अंतिम पद शामिल है) का उपयोग करके कुल योग ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न बीजगणितीय पदों के साथ AP के मूल सूत्रों को लागू करने की आपकी क्षमता का परीक्षण करता है। \(n\) और \(Sn\) के लिए अंतिम उत्तर हमेशा दिए गए चर (a, b) के संदर्भ में होगा।

Question 32. समान्तर श्रेणी के प्रथम 21 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका दूसरा पद 8 है तथा चौथा पद 14 है।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
दूसरे पद के अनुसार: \( a + d = 8 \) (समीकरण 1)
चौथे पद के अनुसार: \( a + 3d = 14 \) (समीकरण 2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर:
\( (a + 3d) - (a + d) = 14 - 8 \)
\( 2d = 6 \)
\( d = 3 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 3 = 8 \)
\( a = 8 - 3 \)
\( a = 5 \)
अब, प्रथम 21 पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) का उपयोग करें, जहाँ \( n = 21 \):
\( S_{21} = \frac{21}{2} [2(5) + (21-1)(3)] \)
\( S_{21} = \frac{21}{2} [10 + (20)(3)] \)
\( S_{21} = \frac{21}{2} [10 + 60] \)
\( S_{21} = \frac{21}{2} [70] \)
\( S_{21} = 21 \times 35 \)
\( S_{21} = 735 \)
In simple words: पहले हमने दिए गए पदों से समांतर श्रेणी का पहला पद और सार्वअन्तर निकाला। फिर, हमने उन मानों का उपयोग करके 21 पदों का योग ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: जब भी आपको AP के विभिन्न पद दिए गए हों, तो पहले a और d का पता लगाने के लिए रेखीय समीकरणों को हल करें, फिर किसी भी अन्य गणना को आगे बढ़ाएं।

Question 33. एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें 3 वाँ पद 7 है तथा 7 वाँ पद, तीसरे - पद के 3 गुने से 2 अधिक है।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
तीसरा पद दिया गया है: \( a_3 = 7 \)
\( a + 2d = 7 \) (समीकरण 1)
सातवां पद तीसरे पद के 3 गुने से 2 अधिक है: \( a_7 = 3a_3 + 2 \)
\( a + 6d = 3(7) + 2 \)
\( a + 6d = 21 + 2 \)
\( a + 6d = 23 \) (समीकरण 2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर:
\( (a + 6d) - (a + 2d) = 23 - 7 \)
\( 4d = 16 \)
\( d = 4 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 2(4) = 7 \)
\( a + 8 = 7 \)
\( a = 7 - 8 \)
\( a = -1 \)
अब, प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) का उपयोग करें, जहाँ \( n = 20 \):
\( S_{20} = \frac{20}{2} [2(-1) + (20-1)(4)] \)
\( S_{20} = 10 [-2 + (19)(4)] \)
\( S_{20} = 10 [-2 + 76] \)
\( S_{20} = 10 [74] \)
\( S_{20} = 740 \)
In simple words: हमने दिए गए पदों और उनके संबंध का उपयोग करके पहले पद और सार्वअन्तर का पता लगाया। फिर, हमने इन मानों का उपयोग करके पहले 20 पदों का योग निकाला।

🎯 Exam Tip: शब्दों की समस्याओं में, दिए गए कथनों को सावधानी से बीजगणितीय समीकरणों में बदलें ताकि a और d के सही मान प्राप्त हो सकें।

Question 34. यदि एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग \( S_n \) दिया गया है, \( S_n = (3n^2 - 4n) \), तब इसका n वाँ पद ज्ञात कीजिए ।
Answer: समान्तर श्रेणी के प्रथम \( n \) पदों का योग दिया गया है:
\( S_n = 3n^2 - 4n \)
हम जानते हैं कि \( n \) वाँ पद \( T_n = S_n - S_{n-1} \) होता है।
इसलिए, हमें पहले \( S_{n-1} \) ज्ञात करना होगा। \( n \) के स्थान पर \( (n-1) \) रखने पर:
\( S_{n-1} = 3(n-1)^2 - 4(n-1) \)
\( S_{n-1} = 3(n^2 - 2n + 1) - 4n + 4 \)
\( S_{n-1} = 3n^2 - 6n + 3 - 4n + 4 \)
\( S_{n-1} = 3n^2 - 10n + 7 \)
अब, \( T_n \) ज्ञात करने के लिए \( S_n \) से \( S_{n-1} \) घटाएँ:
\( T_n = (3n^2 - 4n) - (3n^2 - 10n + 7) \)
\( T_n = 3n^2 - 4n - 3n^2 + 10n - 7 \)
\( T_n = (3n^2 - 3n^2) + (-4n + 10n) - 7 \)
\( T_n = 6n - 7 \)
In simple words: हमने \( n \) पदों के योग के सूत्र का उपयोग करके \( n \) वें और \( (n-1) \) वें पद के योग को निकाला, फिर उन्हें घटाकर \( n \) वाँ पद ज्ञात किया। यह एक मानक तरीका है जब योग का सूत्र दिया गया हो।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( S_{n-1} \) की गणना करते समय \( (n-1)^2 \) का विस्तार सही ढंग से करना महत्वपूर्ण है ताकि कोई बीजगणितीय त्रुटि न हो।

Question 35. एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 8 पदों का योग 100 है तथा इसके प्रथम 19 पदों का योग 551 है तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
प्रथम 8 पदों का योग दिया गया है, \( S_8 = 100 \):
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( 100 = \frac{8}{2} [2a + (8-1)d] \)
\( 100 = 4 [2a + 7d] \)
दोनों पक्षों को 4 से भाग देने पर:
\( 25 = 2a + 7d \) (समीकरण 1)
प्रथम 19 पदों का योग दिया गया है, \( S_{19} = 551 \):
\( 551 = \frac{19}{2} [2a + (19-1)d] \)
\( 551 = \frac{19}{2} [2a + 18d] \)
\( 551 \times 2 = 19 [2a + 18d] \)
\( 1102 = 19 [2a + 18d] \)
दोनों पक्षों को 19 से भाग देने पर:
\( \frac{1102}{19} = 2a + 18d \)
\( 58 = 2a + 18d \) (समीकरण 2)
अब, समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर:
\( (2a + 18d) - (2a + 7d) = 58 - 25 \)
\( 11d = 33 \)
\( d = \frac{33}{11} \)
\( d = 3 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 2a + 7(3) = 25 \)
\( 2a + 21 = 25 \)
\( 2a = 25 - 21 \)
\( 2a = 4 \)
\( a = \frac{4}{2} \)
\( a = 2 \)
इसलिए, समान्तर श्रेणी है: \( a, a+d, a+2d, \ldots \)
\( 2, 2+3, 2+2(3), \ldots \)
\( 2, 5, 8, \ldots \)
In simple words: हमने दो योग सूत्रों का उपयोग करके दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके हमने समांतर श्रेणी का पहला पद और सार्वअन्तर ज्ञात किया, जिससे हम पूरी श्रेणी लिख सके।

🎯 Exam Tip: योग के सूत्र को सही ढंग से लागू करना और प्राप्त समीकरणों को हल करने में व्यवस्थित रहना महत्वपूर्ण है।

Question 36. समान्तर श्रेणी के 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका दूसरा पद 2 है तथा 4 वाँ पद 8 है।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
दूसरा पद दिया गया है: \( a_2 = 2 \)
\( a + d = 2 \) (समीकरण 1)
चौथा पद दिया गया है: \( a_4 = 8 \)
\( a + 3d = 8 \) (समीकरण 2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर:
\( (a + 3d) - (a + d) = 8 - 2 \)
\( 2d = 6 \)
\( d = 3 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 3 = 2 \)
\( a = 2 - 3 \)
\( a = -1 \)
अब, प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) का उपयोग करें, जहाँ \( n = 51 \):
\( S_{51} = \frac{51}{2} [2(-1) + (51-1)(3)] \)
\( S_{51} = \frac{51}{2} [-2 + (50)(3)] \)
\( S_{51} = \frac{51}{2} [-2 + 150] \)
\( S_{51} = \frac{51}{2} [148] \)
\( S_{51} = 51 \times 74 \)
\( S_{51} = 3774 \)
In simple words: हमने दिए गए पदों का उपयोग करके समांतर श्रेणी का पहला पद और सार्वअन्तर निकाला। फिर, हमने 51 पदों के योग के सूत्र का उपयोग करके कुल योग की गणना की।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप समीकरणों को हल करते समय ऋणात्मक मानों (जैसे a = -1) के साथ सावधानी बरतें, ताकि कोई गणना त्रुटि न हो।

Question 37. यदि समान्तर श्रेणी का 5 वाँ पद तथा 12 वाँ पद क्रमशः – 4 तथा – 18 हैं तो समान्तर श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
5 वाँ पद दिया गया है: \( a_5 = -4 \)
\( a + 4d = -4 \) (समीकरण 1)
12 वाँ पद दिया गया है: \( a_{12} = -18 \)
\( a + 11d = -18 \) (समीकरण 2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर:
\( (a + 11d) - (a + 4d) = -18 - (-4) \)
\( 7d = -18 + 4 \)
\( 7d = -14 \)
\( d = -2 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 4(-2) = -4 \)
\( a - 8 = -4 \)
\( a = -4 + 8 \)
\( a = 4 \)
अब, प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) का उपयोग करें, जहाँ \( n = 20 \):
\( S_{20} = \frac{20}{2} [2(4) + (20-1)(-2)] \)
\( S_{20} = 10 [8 + (19)(-2)] \)
\( S_{20} = 10 [8 - 38] \)
\( S_{20} = 10 [-30] \)
\( S_{20} = -300 \)
In simple words: हमने दिए गए पदों से समांतर श्रेणी का पहला पद और सार्वअन्तर निकाला। फिर, हमने इन मानों का उपयोग करके पहले 20 पदों का योग ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक सार्वअन्तर होने पर गणनाओं में विशेष ध्यान दें, क्योंकि यह अक्सर छात्रों द्वारा की जाने वाली एक आम गलती है।

Question 38. एक समान्तर श्रेणी में पहला पद 22 है, n वाँ पद – 11 है तथा प्रथम n पदों का योग 66 है। n तथा सार्वअन्तर d ज्ञात कीजिए ।
Answer: समान्तर श्रेणी का पहला पद दिया गया है: \( a = 22 \)
\( n \) वाँ पद दिया गया है: \( a_n = -11 \)
\( a_n = a + (n-1)d \)
\( -11 = 22 + (n-1)d \)
\( -11 - 22 = (n-1)d \)
\( -33 = (n-1)d \) (समीकरण 1)
प्रथम \( n \) पदों का योग दिया गया है: \( S_n = 66 \)
\( S_n = \frac{n}{2} [a + a_n] \)
\( 66 = \frac{n}{2} [22 + (-11)] \)
\( 66 = \frac{n}{2} [11] \)
\( 132 = 11n \)
\( n = \frac{132}{11} \)
\( n = 12 \)
\( n \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( -33 = (12-1)d \)
\( -33 = 11d \)
\( d = \frac{-33}{11} \)
\( d = -3 \)
अतः, \( n = 12 \) और \( d = -3 \)।
In simple words: हमने दिए गए पहले पद और n-वें पद का उपयोग करके n का मान निकाला, फिर उसे n-वें पद के सूत्र में डालकर सार्वअन्तर d का मान ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: जब पहला और अंतिम पद दोनों ज्ञात हों, तो \( S_n = \frac{n}{2} [a + l] \) सूत्र का उपयोग करना गणना को बहुत आसान बना देता है।

Question 39. यदि एक समान्तर श्रेणी का 10 वाँ पद 21 है तथा इसके प्रथम 10 पदों का योग 120 है तो इसका n वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
10 वाँ पद दिया गया है: \( a_{10} = 21 \)
\( a + 9d = 21 \) (समीकरण 1)
प्रथम 10 पदों का योग दिया गया है: \( S_{10} = 120 \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( 120 = \frac{10}{2} [2a + (10-1)d] \)
\( 120 = 5 [2a + 9d] \)
दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर:
\( \frac{120}{5} = 2a + 9d \)
\( 24 = 2a + 9d \) (समीकरण 2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर:
\( (2a + 9d) - (a + 9d) = 24 - 21 \)
\( a = 3 \)
\( a \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 3 + 9d = 21 \)
\( 9d = 21 - 3 \)
\( 9d = 18 \)
\( d = \frac{18}{9} \)
\( d = 2 \)
अब, \( n \) वाँ पद \( T_n \) ज्ञात करें:
\( T_n = a + (n-1)d \)
\( T_n = 3 + (n-1)(2) \)
\( T_n = 3 + 2n - 2 \)
\( T_n = 2n + 1 \)
In simple words: पहले हमने 10वें पद और 10 पदों के योग के सूत्रों का उपयोग करके दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके पहला पद और सार्वअन्तर निकाला, फिर \( n \) वाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: जब भी \( n \) वाँ पद और \( n \) पदों का योग दोनों दिए गए हों, तो समीकरणों को हल करने के लिए हमेशा दोनों सूत्रों का उपयोग करें।

Question 40. एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 7 पदों का योग 63 है तथा इसके अगले 7 पदों का योग 161 है तो इस समान्तर श्रेणी का 28 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
प्रथम 7 पदों का योग दिया गया है: \( S_7 = 63 \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( 63 = \frac{7}{2} [2a + (7-1)d] \)
\( 63 = \frac{7}{2} [2a + 6d] \)
\( 63 = 7[a + 3d] \)
\( a + 3d = \frac{63}{7} \)
\( a + 3d = 9 \) (समीकरण 1)
अगले 7 पदों का योग 161 है, जिसका अर्थ है कि 8वें पद से 14वें पद तक का योग 161 है।
इसलिए, प्रथम 14 पदों का योग \( S_{14} = S_7 + (\text{अगले 7 पदों का योग}) \)
\( S_{14} = 63 + 161 = 224 \)
अब, \( S_{14} = 224 \) का उपयोग करें:
\( 224 = \frac{14}{2} [2a + (14-1)d] \)
\( 224 = 7 [2a + 13d] \)
\( 2a + 13d = \frac{224}{7} \)
\( 2a + 13d = 32 \) (समीकरण 2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करें:
\( 2(a + 3d) = 2(9) \)
\( 2a + 6d = 18 \) (समीकरण 3)
समीकरण (3) को समीकरण (2) से घटाने पर:
\( (2a + 13d) - (2a + 6d) = 32 - 18 \)
\( 7d = 14 \)
\( d = \frac{14}{7} \)
\( d = 2 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 3(2) = 9 \)
\( a + 6 = 9 \)
\( a = 9 - 6 \)
\( a = 3 \)
अब, 28 वाँ पद \( a_{28} \) ज्ञात करें:
\( a_{28} = a + (28-1)d \)
\( a_{28} = 3 + (27)(2) \)
\( a_{28} = 3 + 54 \)
\( a_{28} = 57 \)
In simple words: हमने पहले सात पदों के योग और अगले सात पदों के योग का उपयोग करके दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके हमने पहला पद और सार्वअन्तर निकाला, फिर 28वां पद ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: "अगले n पदों का योग" का अर्थ हमेशा \( S_{2n} - S_n \) होता है, जो अक्सर छात्रों को भ्रमित करता है।

Question 41. एक समान्तर श्रेणी के प्रथम सात पदों का योग 182 है। यदि इसका 4 वाँ पद तथा 17 वाँ पद 1 : 5 के अनुपात में है तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
प्रथम 7 पदों का योग दिया गया है: \( S_7 = 182 \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( 182 = \frac{7}{2} [2a + (7-1)d] \)
\( 182 = \frac{7}{2} [2a + 6d] \)
\( 182 = 7[a + 3d] \)
\( a + 3d = \frac{182}{7} \)
\( a + 3d = 26 \) (समीकरण 1)
4 वाँ पद और 17 वाँ पद का अनुपात 1:5 है:
\( \frac{a_4}{a_{17}} = \frac{1}{5} \)
\( \frac{a + 3d}{a + 16d} = \frac{1}{5} \)
क्रॉस-गुणा करने पर:
\( 5(a + 3d) = 1(a + 16d) \)
\( 5a + 15d = a + 16d \)
\( 5a - a = 16d - 15d \)
\( 4a = d \) (समीकरण 2)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 3(4a) = 26 \)
\( a + 12a = 26 \)
\( 13a = 26 \)
\( a = \frac{26}{13} \)
\( a = 2 \)
\( a \) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( d = 4(2) \)
\( d = 8 \)
इसलिए, समान्तर श्रेणी है: \( a, a+d, a+2d, \ldots \)
\( 2, 2+8, 2+2(8), \ldots \)
\( 2, 10, 18, \ldots \)
In simple words: हमने सात पदों के योग और दो पदों के अनुपात से दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके हमने पहला पद और सार्वअन्तर का मान निकाला, जिससे हमने समांतर श्रेणी को पूरी तरह से समझा।

🎯 Exam Tip: अनुपात के प्रश्नों में, भिन्नों को गुणा करके उन्हें रेखीय समीकरणों में बदलना एक सीधा तरीका है जिससे त्रुटियों से बचा जा सकता है।

Question 42. एक समान्तर श्रेणी के प्रथम \( q \) पदों का योग \( 63q - 3q^2 \) है यदि इसका \( p \) वाँ पद – 60 है। तो \( p \) का मान ज्ञात कीजिए तथा इसका 11 वाँ पद भी ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर श्रेणी के प्रथम \( q \) पदों का योग दिया गया है:
\( S_q = 63q - 3q^2 \)
हम जानते हैं कि \( q \) वाँ पद \( T_q = S_q - S_{q-1} \) होता है।
पहले \( S_{q-1} \) ज्ञात करें। \( q \) के स्थान पर \( (q-1) \) रखने पर:
\( S_{q-1} = 63(q-1) - 3(q-1)^2 \)
\( S_{q-1} = 63q - 63 - 3(q^2 - 2q + 1) \)
\( S_{q-1} = 63q - 63 - 3q^2 + 6q - 3 \)
\( S_{q-1} = -3q^2 + 69q - 66 \)
अब, \( T_q \) ज्ञात करने के लिए \( S_q \) से \( S_{q-1} \) घटाएँ:
\( T_q = (63q - 3q^2) - (-3q^2 + 69q - 66) \)
\( T_q = 63q - 3q^2 + 3q^2 - 69q + 66 \)
\( T_q = -6q + 66 \)
इस श्रेणी का पहला पद \( a \) ज्ञात करने के लिए \( q=1 \) रखें:
\( T_1 = -6(1) + 66 = 60 \)
तो, पहला पद \( a = 60 \)।
सार्वअन्तर \( d \) ज्ञात करने के लिए, दूसरा पद \( T_2 \) ज्ञात करें:
\( T_2 = -6(2) + 66 = -12 + 66 = 54 \)
सार्वअन्तर \( d = T_2 - T_1 = 54 - 60 = -6 \)।
दिया गया है कि \( p \) वाँ पद \( T_p = -60 \):
\( T_p = a + (p-1)d \)
\( -60 = 60 + (p-1)(-6) \)
\( -60 - 60 = -6(p-1) \)
\( -120 = -6(p-1) \)
\( p-1 = \frac{-120}{-6} \)
\( p-1 = 20 \)
\( p = 20 + 1 \)
\( p = 21 \)
अब, 11 वाँ पद \( T_{11} \) ज्ञात करें:
\( T_{11} = a + (11-1)d \)
\( T_{11} = 60 + (10)(-6) \)
\( T_{11} = 60 - 60 \)
\( T_{11} = 0 \)
अतः, \( p = 21 \) और 11 वाँ पद \( T_{11} = 0 \)।
In simple words: हमने योग के सूत्र से \( q \) वाँ पद का सूत्र निकाला, फिर पहले पद और सार्वअन्तर ज्ञात किया। उन मानों का उपयोग करके हमने \( p \) का मान और 11 वाँ पद ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि \( T_n = S_n - S_{n-1} \) संबंध बहुत उपयोगी होता है जब योग का सूत्र दिया गया हो, जिससे व्यक्तिगत पद आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं।

Question 43. एक समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग \( S_n \) द्वारा निरूपित किया है तो सिद्ध कीजिए \( S_{12} = 3(S_8 - S_4) \) (NCERT Exemplar)
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
प्रथम \( n \) पदों का योग का सूत्र है: \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
बायां पक्ष (LHS): \( S_{12} \)
\( S_{12} = \frac{12}{2} [2a + (12-1)d] \)
\( S_{12} = 6 [2a + 11d] \) (समीकरण 1)
दायां पक्ष (RHS): \( 3(S_8 - S_4) \)
पहले \( S_8 \) और \( S_4 \) ज्ञात करें:
\( S_8 = \frac{8}{2} [2a + (8-1)d] \)
\( S_8 = 4 [2a + 7d] \)
\( S_4 = \frac{4}{2} [2a + (4-1)d] \)
\( S_4 = 2 [2a + 3d] \)
अब, \( S_8 - S_4 \) की गणना करें:
\( S_8 - S_4 = 4 [2a + 7d] - 2 [2a + 3d] \)
\( S_8 - S_4 = (8a + 28d) - (4a + 6d) \)
\( S_8 - S_4 = 8a + 28d - 4a - 6d \)
\( S_8 - S_4 = 4a + 22d \)
अब, इसे 3 से गुणा करें (RHS):
\( 3(S_8 - S_4) = 3(4a + 22d) \)
\( 3(S_8 - S_4) = 12a + 66d \)
इस पद को सरल बनाने के लिए, 6 को एक सामान्य कारक के रूप में बाहर निकालें:
\( 3(S_8 - S_4) = 6 [2a + 11d] \) (समीकरण 2)
समीकरण (1) और समीकरण (2) की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि बायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर हैं।
\( S_{12} = 3(S_8 - S_4) \)
In simple words: हमने समांतर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करके \( S_{12} \), \( S_8 \), और \( S_4 \) के लिए व्यंजक निकाले। फिर, हमने दाएँ पक्ष को सरल किया और दिखाया कि यह बाएँ पक्ष के बराबर है।

🎯 Exam Tip: ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, बाएँ पक्ष और दाएँ पक्ष दोनों को अलग-अलग हल करें और दिखाएं कि वे एक ही अंतिम व्यंजक पर पहुँचते हैं।

Question 44. एक समान्तर श्रेणी का पहला तथा अन्तिम पद क्रमशः 5 तथा 45 हैं। यदि इसके सभी पदों का योग 400 है तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर श्रेणी का पहला पद दिया गया है: \( a = 5 \)
अन्तिम पद दिया गया है: \( l = 45 \)
सभी पदों का योग दिया गया है: \( S_n = 400 \)
जब पहला पद और अन्तिम पद ज्ञात हो तो योग का सूत्र है: \( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)
\( 400 = \frac{n}{2} (5 + 45) \)
\( 400 = \frac{n}{2} (50) \)
\( 400 = 25n \)
\( n = \frac{400}{25} \)
\( n = 16 \)
अब, \( n \) वें पद का सूत्र \( l = a + (n-1)d \) का उपयोग करके सार्वअन्तर \( d \) ज्ञात करें:
\( 45 = 5 + (16-1)d \)
\( 45 = 5 + 15d \)
\( 45 - 5 = 15d \)
\( 40 = 15d \)
\( d = \frac{40}{15} \)
\( d = \frac{8}{3} \)
अतः, सार्वअन्तर \( d = \frac{8}{3} \) है।
In simple words: हमने पहले दिए गए योग और पदों से पदों की संख्या निकाली। फिर, उस संख्या का उपयोग करके हमने अंतिम पद के सूत्र से सार्वअन्तर ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: जब पहला और अंतिम पद दिए गए हों, तो \( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \) सूत्र का उपयोग करना \( n \) का पता लगाने का सबसे तेज़ तरीका है।

Question 45. एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 9 पदों का योग 162 है। इसके 6 वें पद तथा 13 वें पद का अनुपात 1 : 2 है। समान्तर श्रेणी का पहला तथा 15 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
प्रथम 9 पदों का योग दिया गया है: \( S_9 = 162 \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( 162 = \frac{9}{2} [2a + (9-1)d] \)
\( 162 = \frac{9}{2} [2a + 8d] \)
\( 162 = 9[a + 4d] \)
दोनों पक्षों को 9 से भाग देने पर:
\( a + 4d = \frac{162}{9} \)
\( a + 4d = 18 \) (समीकरण 1)
6 वें पद और 13 वें पद का अनुपात 1:2 है:
\( \frac{a_6}{a_{13}} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{a + 5d}{a + 12d} = \frac{1}{2} \)
क्रॉस-गुणा करने पर:
\( 2(a + 5d) = 1(a + 12d) \)
\( 2a + 10d = a + 12d \)
\( 2a - a = 12d - 10d \)
\( a = 2d \) (समीकरण 2)
\( a \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( (2d) + 4d = 18 \)
\( 6d = 18 \)
\( d = \frac{18}{6} \)
\( d = 3 \)
\( d \) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( a = 2(3) \)
\( a = 6 \)
इसलिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद 6 है।
अब, 15 वाँ पद \( a_{15} \) ज्ञात करें:
\( a_{15} = a + (15-1)d \)
\( a_{15} = 6 + (14)(3) \)
\( a_{15} = 6 + 42 \)
\( a_{15} = 48 \)
In simple words: हमने योग के सूत्र और पदों के अनुपात के सूत्र का उपयोग करके दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके हमने पहला पद और सार्वअन्तर निकाला, फिर 15वां पद ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: अनुपात को हमेशा सावधानी से लिखें और समान पदों को रद्द करने से पहले क्रॉस-गुणा करें।

Question 46. एक समान्तर श्रेणी के प्रथम 14 पदों का योग 1505 है तथा इसका पहला पद 10 है। इसका 25 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
पहला पद दिया गया है: \( a = 10 \)
प्रथम 14 पदों का योग दिया गया है: \( S_{14} = 1505 \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( 1505 = \frac{14}{2} [2(10) + (14-1)d] \)
\( 1505 = 7 [20 + 13d] \)
दोनों पक्षों को 7 से भाग देने पर:
\( \frac{1505}{7} = 20 + 13d \)
\( 215 = 20 + 13d \)
\( 215 - 20 = 13d \)
\( 195 = 13d \)
\( d = \frac{195}{13} \)
\( d = 15 \)
अब, 25 वाँ पद \( a_{25} \) ज्ञात करें:
\( a_{25} = a + (25-1)d \)
\( a_{25} = 10 + (24)(15) \)
\( a_{25} = 10 + 360 \)
\( a_{25} = 370 \)
In simple words: हमने दिए गए योग और पहले पद का उपयोग करके सार्वअन्तर निकाला। फिर, हमने 25वां पद ज्ञात करने के लिए पहला पद और सार्वअन्तर का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: यदि पहला पद और योग दिया गया हो, तो सार्वअन्तर ज्ञात करना सबसे पहले महत्वपूर्ण कदम होता है।

Question 47. यदि एक समान्तर श्रेणी के 7 पदों का योग 49 है तथा 17 पदों का योग 289 है तो इसके n पदों का योग ज्ञात कीजिए । (NCERT)
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
प्रथम 7 पदों का योग दिया गया है: \( S_7 = 49 \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( 49 = \frac{7}{2} [2a + (7-1)d] \)
\( 49 = \frac{7}{2} [2a + 6d] \)
\( 49 = 7[a + 3d] \)
\( a + 3d = \frac{49}{7} \)
\( a + 3d = 7 \) (समीकरण 1)
प्रथम 17 पदों का योग दिया गया है: \( S_{17} = 289 \)
\( 289 = \frac{17}{2} [2a + (17-1)d] \)
\( 289 = \frac{17}{2} [2a + 16d] \)
\( 289 = 17[a + 8d] \)
\( a + 8d = \frac{289}{17} \)
\( a + 8d = 17 \) (समीकरण 2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर:
\( (a + 8d) - (a + 3d) = 17 - 7 \)
\( 5d = 10 \)
\( d = \frac{10}{5} \)
\( d = 2 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 3(2) = 7 \)
\( a + 6 = 7 \)
\( a = 7 - 6 \)
\( a = 1 \)
अब, प्रथम \( n \) पदों का योग \( S_n \) ज्ञात करें:
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2(1) + (n-1)(2)] \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2 + 2n - 2] \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2n] \)
\( S_n = n^2 \)
In simple words: हमने दो अलग-अलग पदों के योग के सूत्रों का उपयोग करके दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके पहला पद और सार्वअन्तर निकाला, फिर \( n \) पदों के योग के लिए सामान्य सूत्र प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब \( S_n = n^2 \) आता है, तो यह एक विशेष प्रकार की समांतर श्रेणी होती है जिसका पहला पद 1 और सार्वअन्तर 2 होता है।

Question 48. एक समान्तर श्रेणी का पहला पद तथा अन्तिम पद क्रमशः 7 तथा 49 है। यदि इसके सभी पदों का योग 420 है तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर श्रेणी का पहला पद दिया गया है: \( a = 7 \)
अन्तिम पद दिया गया है: \( l = 49 \)
सभी पदों का योग दिया गया है: \( S_n = 420 \)
जब पहला पद और अन्तिम पद ज्ञात हो तो योग का सूत्र है: \( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)
\( 420 = \frac{n}{2} (7 + 49) \)
\( 420 = \frac{n}{2} (56) \)
\( 420 = 28n \)
\( n = \frac{420}{28} \)
\( n = 15 \)
अब, \( n \) वें पद का सूत्र \( l = a + (n-1)d \) का उपयोग करके सार्वअन्तर \( d \) ज्ञात करें:
\( 49 = 7 + (15-1)d \)
\( 49 = 7 + 14d \)
\( 49 - 7 = 14d \)
\( 42 = 14d \)
\( d = \frac{42}{14} \)
\( d = 3 \)
अतः, सार्वअन्तर \( d = 3 \) है।
In simple words: हमने दिए गए योग, पहले और अंतिम पद से पदों की संख्या निकाली। फिर, उस संख्या का उपयोग करके हमने अंतिम पद के सूत्र से सार्वअन्तर ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( n \) का मान ज्ञात करना पहला चरण है, जिसके बाद ही \( d \) का मान निकाला जा सकता है।

Question 49. समान्तर. श्रेणी – 12, – 9, – 6,...21 के पदों की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि इस श्रेणी के प्रत्येक पद में 1 जोड़ दिया जाये तो इस प्रकार की बनी समान्तर श्रेणी के सभी पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी है: \( -12, -9, -6, \ldots, 21 \)
पहला पद \( a = -12 \)
सार्वअन्तर \( d = -9 - (-12) = -9 + 12 = 3 \)
अन्तिम पद \( l = 21 \)
पदों की संख्या \( n \) ज्ञात करने के लिए \( l = a + (n-1)d \) सूत्र का उपयोग करें:
\( 21 = -12 + (n-1)(3) \)
\( 21 = -12 + 3n - 3 \)
\( 21 = -15 + 3n \)
\( 21 + 15 = 3n \)
\( 36 = 3n \)
\( n = \frac{36}{3} \)
\( n = 12 \)
अब, यदि श्रेणी के प्रत्येक पद में 1 जोड़ दिया जाए, तो नई श्रेणी बनेगी:
नया पहला पद \( a' = -12 + 1 = -11 \)
नया सार्वअन्तर \( d' = d = 3 \) (क्योंकि प्रत्येक पद में समान संख्या जोड़ने से सार्वअन्तर नहीं बदलता है)
नया अन्तिम पद \( l' = 21 + 1 = 22 \)
पदों की संख्या समान रहेगी: \( n' = 12 \)
नई समान्तर श्रेणी के सभी पदों का योग \( S_{n'} \) ज्ञात करें:
\( S_{n'} = \frac{n'}{2} (a' + l') \)
\( S_{12} = \frac{12}{2} (-11 + 22) \)
\( S_{12} = 6 (11) \)
\( S_{12} = 66 \)
In simple words: हमने पहले दिए गए श्रेणी के पदों की संख्या निकाली। फिर, प्रत्येक पद में 1 जोड़कर नई श्रेणी बनाई और उसके पदों की संख्या और पहला तथा अंतिम पद का उपयोग करके योग ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी समान्तर श्रेणी के प्रत्येक पद में एक स्थिर संख्या जोड़ने या घटाने से उसका सार्वअन्तर नहीं बदलता, केवल पहला पद और अंतिम पद बदलते हैं।

Question 50. (i) एक समान्तर श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका 7 वाँ पद 30 है तथा 13 वाँ पद 54
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
7 वाँ पद दिया गया है: \( a_7 = 30 \)
\( a + 6d = 30 \) (समीकरण 1)
13 वाँ पद दिया गया है: \( a_{13} = 54 \)
\( a + 12d = 54 \) (समीकरण 2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर:
\( (a + 12d) - (a + 6d) = 54 - 30 \)
\( 6d = 24 \)
\( d = \frac{24}{6} \)
\( d = 4 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 6(4) = 30 \)
\( a + 24 = 30 \)
\( a = 30 - 24 \)
\( a = 6 \)
अब, \( n \) पदों का योग \( S_n \) ज्ञात करें:
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2(6) + (n-1)(4)] \)
\( S_n = \frac{n}{2} [12 + 4n - 4] \)
\( S_n = \frac{n}{2} [4n + 8] \)
\( S_n = n(2n + 4) \)
\( S_n = 2n(n+2) \)
In simple words: हमने दिए गए पदों से समांतर श्रेणी का पहला पद और सार्वअन्तर निकाला। फिर, हमने \( n \) पदों के योग के सूत्र का उपयोग करके \( n \) के पदों में एक सामान्य सूत्र प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप \( n \) पदों के योग के सूत्र में \( n \) को चर के रूप में बनाए रखें, क्योंकि आपको \( n \) के रूप में योग ज्ञात करना है।

Question 50. (ii) श्रेणी 15 + 11 + 7... के कितने पदों का योग 35 है?
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी है: \( 15, 11, 7, \ldots \)
पहला पद \( a = 15 \)
सार्वअन्तर \( d = 11 - 15 = -4 \)
पदों का योग \( S_n = 35 \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) सूत्र का उपयोग करें:
\( 35 = \frac{n}{2} [2(15) + (n-1)(-4)] \)
\( 70 = n [30 - 4n + 4] \)
\( 70 = n [34 - 4n] \)
\( 70 = 34n - 4n^2 \)
सभी पदों को एक तरफ ले जाने पर:
\( 4n^2 - 34n + 70 = 0 \)
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
\( 2n^2 - 17n + 35 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करें:
\( 2n^2 - 10n - 7n + 35 = 0 \)
\( 2n(n - 5) - 7(n - 5) = 0 \)
\( (n - 5)(2n - 7) = 0 \)
इससे दो संभावित मान मिलते हैं:
\( n - 5 = 0 \implies n = 5 \)
\( 2n - 7 = 0 \implies n = \frac{7}{2} \)
चूंकि पदों की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए, इसलिए \( n = \frac{7}{2} \) अमान्य है।
अतः, पदों की संख्या \( n = 5 \) है। जब योग धनात्मक हो, तो पदों की संख्या 5 होगी।
In simple words: हमने योग के सूत्र का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण बनाया। इस समीकरण को हल करके हमने पदों की संख्या ज्ञात की, जिसमें केवल पूर्णांक मान ही मान्य होता है।

🎯 Exam Tip: द्विघात समीकरणों में, \( n \) के हमेशा दो मान होते हैं, लेकिन केवल पूर्णांक और धनात्मक मान ही पदों की संख्या के रूप में मान्य होता है।

Question 50. (iii) एक समान्तर श्रेणी 25, 22, 19,... के कुछ पदों का योग 116 है। इसका अन्तिम पद ज्ञात कीजिए तथा पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई समान्तर श्रेणी है: \( 25, 22, 19, \ldots \)
पहला पद \( a = 25 \)
सार्वअन्तर \( d = 22 - 25 = -3 \)
पदों का योग \( S_n = 116 \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) सूत्र का उपयोग करें:
\( 116 = \frac{n}{2} [2(25) + (n-1)(-3)] \)
\( 232 = n [50 - 3n + 3] \)
\( 232 = n [53 - 3n] \)
\( 232 = 53n - 3n^2 \)
सभी पदों को एक तरफ ले जाने पर:
\( 3n^2 - 53n + 232 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करें:
\( 3n^2 - 29n - 24n + 232 = 0 \)
\( n(3n - 29) - 8(3n - 29) = 0 \)
\( (3n - 29)(n - 8) = 0 \)
इससे दो संभावित मान मिलते हैं:
\( 3n - 29 = 0 \implies n = \frac{29}{3} \)
\( n - 8 = 0 \implies n = 8 \)
चूंकि पदों की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए, इसलिए \( n = \frac{29}{3} \) अमान्य है।
अतः, पदों की संख्या \( n = 8 \) है।
अब, अन्तिम पद \( l \) ज्ञात करें:
\( l = a + (n-1)d \)
\( l = 25 + (8-1)(-3) \)
\( l = 25 + (7)(-3) \)
\( l = 25 - 21 \)
\( l = 4 \)
अतः, पदों की संख्या 8 है और अन्तिम पद 4 है।
In simple words: हमने योग के सूत्र का उपयोग करके पदों की संख्या के लिए एक समीकरण बनाया और उसे हल किया। फिर, अंतिम पद ज्ञात करने के लिए पहला पद, सार्वअन्तर और पदों की संख्या का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: यह एक आम स्थिति है जहाँ \( n \) के दो मान आते हैं; हमेशा पूर्णांक और धनात्मक मान को ही स्वीकार करें।

Question 50. (iv) एक समान्तर श्रेणी में पहला पद तथा अन्तिम पद क्रमशः 7 तथा 57 है। यदि इसके सभी पदों का योग 352 है। तो पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर श्रेणी का पहला पद दिया गया है: \( a = 7 \)
अन्तिम पद दिया गया है: \( l = 57 \)
सभी पदों का योग दिया गया है: \( S_n = 352 \)
जब पहला पद और अन्तिम पद ज्ञात हो तो योग का सूत्र है: \( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)
\( 352 = \frac{n}{2} (7 + 57) \)
\( 352 = \frac{n}{2} (64) \)
\( 352 = 32n \)
\( n = \frac{352}{32} \)
\( n = 11 \)
अतः, पदों की संख्या \( n = 11 \) है।
In simple words: हमने दिए गए योग, पहले और अंतिम पद का उपयोग करके सीधे पदों की संख्या निकालने वाले सूत्र का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: यदि पहला और अंतिम पद उपलब्ध हों, तो \( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \) सूत्र \( n \) के लिए गणना को आसान बनाता है।

Question 51. एक समान्तर श्रेणी के 35 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका दूसरा पद 2 है तथा 7 वाँ पद 22 है।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
दूसरा पद दिया गया है: \( a_2 = 2 \)
\( a + d = 2 \) (समीकरण 1)
7 वाँ पद दिया गया है: \( a_7 = 22 \)
\( a + 6d = 22 \) (समीकरण 2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर:
\( (a + 6d) - (a + d) = 22 - 2 \)
\( 5d = 20 \)
\( d = \frac{20}{5} \)
\( d = 4 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 4 = 2 \)
\( a = 2 - 4 \)
\( a = -2 \)
अब, प्रथम 35 पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) का उपयोग करें, जहाँ \( n = 35 \):
\( S_{35} = \frac{35}{2} [2(-2) + (35-1)(4)] \)
\( S_{35} = \frac{35}{2} [-4 + (34)(4)] \)
\( S_{35} = \frac{35}{2} [-4 + 136] \)
\( S_{35} = \frac{35}{2} [132] \)
\( S_{35} = 35 \times 66 \)
\( S_{35} = 2310 \)
In simple words: हमने दिए गए पदों से समांतर श्रेणी का पहला पद और सार्वअन्तर निकाला। फिर, हमने 35 पदों के योग के सूत्र का उपयोग करके कुल योग की गणना की।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यदि \( a \) ऋणात्मक आता है, तो भी गणनाओं को समान रूप से जारी रखा जाता है।

Question 52. यदि एक समान्तर श्रेणी का पहला पद 2 है तथा इसके प्रथम पाँच पदों का योग, अगले पाँच पदों के योग का \( \frac{1}{4} \) है। तब सिद्ध कीजिए कि समान्तर श्रेणी का 20 वाँ पद – 112 है।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a = 2 \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
प्रथम पाँच पदों का योग \( S_5 \)।
अगले पाँच पदों का योग (छठे से दसवें पद तक का योग) \( = S_{10} - S_5 \)।
दिया गया है कि प्रथम पाँच पदों का योग, अगले पाँच पदों के योग का \( \frac{1}{4} \) है:
\( S_5 = \frac{1}{4} (S_{10} - S_5) \)
\( 4S_5 = S_{10} - S_5 \)
\( 5S_5 = S_{10} \)
अब, योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) का उपयोग करें:
\( S_5 = \frac{5}{2} [2a + (5-1)d] = \frac{5}{2} [2a + 4d] \)
\( S_{10} = \frac{10}{2} [2a + (10-1)d] = 5 [2a + 9d] \)
इन मानों को \( 5S_5 = S_{10} \) में रखने पर:
\( 5 \times \frac{5}{2} [2a + 4d] = 5 [2a + 9d] \)
दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर:
\( \frac{5}{2} [2a + 4d] = [2a + 9d] \)
\( 5 [a + 2d] = 2a + 9d \)
\( 5a + 10d = 2a + 9d \)
\( 5a - 2a = 9d - 10d \)
\( 3a = -d \)
\( d = -3a \)
दिया गया है \( a = 2 \), तो \( d = -3(2) = -6 \)।
हमें सिद्ध करना है कि 20 वाँ पद \( a_{20} = -112 \):
\( a_{20} = a + (20-1)d \)
\( a_{20} = 2 + (19)(-6) \)
\( a_{20} = 2 - 114 \)
\( a_{20} = -112 \)
यह सिद्ध हो गया।
In simple words: हमने दिए गए योग संबंध का उपयोग करके सार्वअन्तर निकाला, फिर उस सार्वअन्तर और पहले पद का उपयोग करके 20वें पद की गणना की और दिखाया कि यह -112 के बराबर है।

🎯 Exam Tip: "अगले n पदों का योग" अक्सर \( S_{2n} - S_n \) के रूप में व्यक्त किया जाता है; इस संबंध का सही ढंग से उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

Question 53. यदि एक समान्तर श्रेणी में m पदों का योग, n पदों के योग के बराबर है तो सिद्ध कीजिए कि (m + n) वें पद का योग शून्य है।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
दिया गया है कि \( m \) पदों का योग \( S_m \) और \( n \) पदों का योग \( S_n \) बराबर हैं:
\( S_m = S_n \)
\( \frac{m}{2} [2a + (m-1)d] = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें:
\( m [2a + (m-1)d] = n [2a + (n-1)d] \)
\( 2am + m(m-1)d = 2an + n(n-1)d \)
\( 2am - 2an = n(n-1)d - m(m-1)d \)
\( 2a(m - n) = d [n(n-1) - m(m-1)] \)
\( 2a(m - n) = d [n^2 - n - m^2 + m] \)
\( 2a(m - n) = d [(n^2 - m^2) - (n - m)] \)
\( 2a(m - n) = d [(n - m)(n + m) - (n - m)] \)
\( 2a(m - n) = d (n - m) [(n + m) - 1] \)
चूंकि \( n - m = -(m - n) \), इसलिए:
\( 2a(m - n) = -d (m - n) [(n + m) - 1] \)
यदि \( m \neq n \) है, तो दोनों पक्षों को \( (m - n) \) से भाग दे सकते हैं:
\( 2a = -d(m + n - 1) \)
या
\( 2a + (m + n - 1)d = 0 \) (समीकरण A)
अब, हमें (m + n) वें पद का योग ज्ञात करना है, यानी \( S_{m+n} \):
\( S_{m+n} = \frac{(m+n)}{2} [2a + ((m+n)-1)d] \)
समीकरण (A) से, हमें पता है कि \( 2a + (m + n - 1)d = 0 \)
इस मान को \( S_{m+n} \) के सूत्र में रखने पर:
\( S_{m+n} = \frac{(m+n)}{2} [0] \)
\( S_{m+n} = 0 \)
यह सिद्ध हो गया।
In simple words: हमने समान योग के सूत्र का उपयोग करके \( 2a + (m+n-1)d \) के मान को 0 के बराबर सिद्ध किया, फिर उस मान को \( (m+n) \) पदों के योग के सूत्र में रखकर दिखाया कि योग शून्य है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, \( (m-n) \) या \( (n-m) \) जैसे सामान्य कारकों को सावधानी से अलग करें और ध्यान रखें कि \( n^2 - m^2 \) को \( (n-m)(n+m) \) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

Question 54. यदि एक समान्तर श्रेणी के p, q तथा r पदों का योग क्रमशः a, b तथा c है। तो सिद्ध कीजिए कि
\[ \frac{a}{p}(q-r) + \frac{b}{q}(r-p) + \frac{c}{r}(p-q) = 0 \]
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( A \) और सार्वअन्तर \( D \) है।
दिया गया है कि \( p, q \) और \( r \) पदों का योग क्रमशः \( a, b \) और \( c \) है:
\( S_p = a \implies \frac{p}{2} [2A + (p-1)D] = a \)
इससे हमें मिलता है: \( \frac{a}{p} = \frac{1}{2} [2A + (p-1)D] \) (समीकरण 1)
इसी प्रकार:
\( \frac{b}{q} = \frac{1}{2} [2A + (q-1)D] \) (समीकरण 2)
\( \frac{c}{r} = \frac{1}{2} [2A + (r-1)D] \) (समीकरण 3)
हमें सिद्ध करना है कि \( \frac{a}{p}(q-r) + \frac{b}{q}(r-p) + \frac{c}{r}(p-q) = 0 \)
बायां पक्ष (L.H.S.) लें और समीकरण 1, 2, 3 से मान प्रतिस्थापित करें:
\( \text{L.H.S.} = \frac{1}{2} [2A + (p-1)D](q-r) + \frac{1}{2} [2A + (q-1)D](r-p) + \frac{1}{2} [2A + (r-1)D](p-q) \)
\( = \frac{1}{2} \{ 2A(q-r) + D(p-1)(q-r) + 2A(r-p) + D(q-1)(r-p) + 2A(p-q) + D(r-1)(p-q) \} \)
\( = \frac{1}{2} \{ 2A[(q-r) + (r-p) + (p-q)] + D[(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)] \} \)
पहले \( 2A \) वाले पद को सरल करें:
\( (q-r) + (r-p) + (p-q) = q - r + r - p + p - q = 0 \)
अब \( D \) वाले पद को सरल करें:
\( (p-1)(q-r) = pq - pr - q + r \)
\( (q-1)(r-p) = qr - qp - r + p \)
\( (r-1)(p-q) = rp - rq - p + q \)
इन तीनों पदों का योग करें:
\( (pq - pr - q + r) + (qr - qp - r + p) + (rp - rq - p + q) \)
\( = (pq - qp) + (-pr + rp) + (-q + q) + (r - r) + (qr - rq) + (p - p) \)
\( = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)
अतः, \( \text{L.H.S.} = \frac{1}{2} \{ 2A(0) + D(0) \} = \frac{1}{2} \{ 0 \} = 0 \)
यह सिद्ध हो गया।
In simple words: हमने दिए गए योग सूत्रों से \( a/p, b/q, c/r \) के मान निकाले। फिर, उन मानों को समीकरण में रखा और दिखाया कि सभी पद कट जाते हैं, जिससे योग शून्य हो जाता है।

🎯 Exam Tip: यह एक मानक पहचान है जिसे याद रखने से समान्तर श्रेणी के अन्य जटिल प्रश्नों को हल करने में मदद मिल सकती है।

Question 55. यदि दो समान्तर श्रेणी के n पदों के योग का अनुपात 14 – 4n : 3n + 5 है। उनके 8 वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
Answer: मान लीजिए, दो समान्तर श्रेणियों के पहले पद क्रमशः \( a_1 \) और \( a_2 \) हैं, और सार्वअन्तर क्रमशः \( d_1 \) और \( d_2 \) हैं।
उनके \( n \) पदों के योग का अनुपात दिया गया है:
\( \frac{S_{n1}}{S_{n2}} = \frac{14 - 4n}{3n + 5} \)
योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) का उपयोग करने पर:
\( \frac{\frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d_1]}{\frac{n}{2} [2a_2 + (n-1)d_2]} = \frac{14 - 4n}{3n + 5} \)
\( \frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2a_2 + (n-1)d_2} = \frac{14 - 4n}{3n + 5} \) (समीकरण 1)
हमें उनके 8 वें पदों का अनुपात ज्ञात करना है:
\( \frac{a_{1,8}}{a_{2,8}} = \frac{a_1 + 7d_1}{a_2 + 7d_2} \)
समीकरण (1) में \( (n-1) \) को \( 14 \) के बराबर होना चाहिए ताकि \( 2a_1 + (n-1)d_1 \) पद \( 2(a_1 + 7d_1) \) जैसा दिखे।
इसलिए, \( n-1 = 14 \implies n = 15 \)।
\( n = 15 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{2a_1 + (15-1)d_1}{2a_2 + (15-1)d_2} = \frac{14 - 4(15)}{3(15) + 5} \)
\( \frac{2a_1 + 14d_1}{2a_2 + 14d_2} = \frac{14 - 60}{45 + 5} \)
\( \frac{2(a_1 + 7d_1)}{2(a_2 + 7d_2)} = \frac{-46}{50} \)
\( \frac{a_1 + 7d_1}{a_2 + 7d_2} = \frac{-23}{25} \)
अतः, उनके 8 वें पदों का अनुपात \( -23:25 \) है।
In simple words: हमने दो समांतर श्रेणियों के योग के अनुपात के सूत्र में n का सही मान रखकर सीधे 8वें पद के अनुपात को निकाला।

🎯 Exam Tip: दो AP के \( k \) वें पदों के अनुपात को ज्ञात करने के लिए, योग के अनुपात के सूत्र में \( n = 2k - 1 \) रखें। यह इस तरह की समस्याओं को हल करने का एक महत्वपूर्ण शॉर्टकट है।

Question 56. यदि एक समान्तर श्रेणी के p वाँ पद \( \frac{1}{q} \) तथा q वाँ पद \( \frac{1}{p} \) है तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम pq पदों का योग \( \frac{1}{2}(pq + 1) \) है।
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( A \) और सार्वअन्तर \( D \) है।
\( p \) वाँ पद दिया गया है: \( A + (p-1)D = \frac{1}{q} \) (समीकरण 1)
\( q \) वाँ पद दिया गया है: \( A + (q-1)D = \frac{1}{p} \) (समीकरण 2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) से घटाने पर:
\( [A + (p-1)D] - [A + (q-1)D] = \frac{1}{q} - \frac{1}{p} \)
\( (p-1 - (q-1))D = \frac{p - q}{pq} \)
\( (p - 1 - q + 1)D = \frac{p - q}{pq} \)
\( (p - q)D = \frac{p - q}{pq} \)
यदि \( p \neq q \) है, तो दोनों पक्षों को \( (p-q) \) से भाग देने पर:
\( D = \frac{1}{pq} \)
\( D \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( A + (p-1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q} \)
\( A = \frac{1}{q} - \frac{p-1}{pq} \)
\( A = \frac{p}{pq} - \frac{p-1}{pq} \)
\( A = \frac{p - (p-1)}{pq} \)
\( A = \frac{p - p + 1}{pq} \)
\( A = \frac{1}{pq} \)
अब, प्रथम \( pq \) पदों का योग \( S_{pq} \) ज्ञात करें:
\( S_{pq} = \frac{pq}{2} [2A + (pq-1)D] \)
\( S_{pq} = \frac{pq}{2} \left[2\left(\frac{1}{pq}\right) + (pq-1)\left(\frac{1}{pq}\right)\right] \)
\( S_{pq} = \frac{pq}{2} \left[\frac{2}{pq} + \frac{pq-1}{pq}\right] \)
\( S_{pq} = \frac{pq}{2} \left[\frac{2 + pq - 1}{pq}\right] \)
\( S_{pq} = \frac{pq}{2} \left[\frac{pq + 1}{pq}\right] \)
\( S_{pq} = \frac{1}{2} (pq + 1) \)
यह सिद्ध हो गया।
In simple words: हमने दिए गए पदों का उपयोग करके पहला पद और सार्वअन्तर ज्ञात किया। फिर, इन मानों को \( pq \) पदों के योग के सूत्र में रखकर वांछित परिणाम सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: यह एक क्लासिक AP परिणाम है। A और D के मानों को याद रखना उपयोगी हो सकता है (जब \( a_p = 1/q, a_q = 1/p \) हो, तो \( A=D=1/pq \))।

Question 57. यदि एक समान्तर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग q है तथा प्रथम q पदों का योग p है तो निम्न का योग ज्ञात कीजिए :
(i) (p + q) पदों का
(ii) (p – q) पदों का
Answer: मान लीजिए, समान्तर श्रेणी का पहला पद \( a \) और सार्वअन्तर \( d \) है।
दिया गया है कि प्रथम \( p \) पदों का योग \( q \) है:
\( S_p = q \implies \frac{p}{2} [2a + (p-1)d] = q \)
\( 2a + (p-1)d = \frac{2q}{p} \) (समीकरण 1)
दिया गया है कि प्रथम \( q \) पदों का योग \( p \) है:
\( S_q = p \implies \frac{q}{2} [2a + (q-1)d] = p \)
\( 2a + (q-1)d = \frac{2p}{q} \) (समीकरण 2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) से घटाने पर:
\( [2a + (p-1)d] - [2a + (q-1)d] = \frac{2q}{p} - \frac{2p}{q} \)
\( (p-1 - (q-1))d = \frac{2q^2 - 2p^2}{pq} \)
\( (p - q)d = \frac{-2(p^2 - q^2)}{pq} \)
\( (p - q)d = \frac{-2(p - q)(p + q)}{pq} \)
यदि \( p \neq q \) है, तो दोनों पक्षों को \( (p-q) \) से भाग देने पर:
\( d = \frac{-2(p + q)}{pq} \)

(i) (p + q) पदों का योग ज्ञात करें, यानी \( S_{p+q} \):
\( S_{p+q} = \frac{(p+q)}{2} [2a + ((p+q)-1)d] \)
हमें \( [2a + (p+q-1)d] \) का मान ज्ञात करना है।
समीकरण (1) से: \( 2a = \frac{2q}{p} - (p-1)d \)
तो, \( 2a + (p+q-1)d = \frac{2q}{p} - (p-1)d + (p+q-1)d \)
\( = \frac{2q}{p} + [(p+q-1) - (p-1)]d \)
\( = \frac{2q}{p} + (p+q-1-p+1)d \)
\( = \frac{2q}{p} + qd \)
\( d \) का मान प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{2q}{p} + q\left(\frac{-2(p + q)}{pq}\right) \)
\( = \frac{2q}{p} - \frac{2(p + q)}{p} \)
\( = \frac{2q - 2p - 2q}{p} \)
\( = \frac{-2p}{p} \)
\( = -2 \)
तो, \( S_{p+q} = \frac{(p+q)}{2} (-2) \)
\( S_{p+q} = -(p+q) \)

(ii) (p – q) पदों का योग ज्ञात करें, यानी \( S_{p-q} \):
\( S_{p-q} = \frac{(p-q)}{2} [2a + ((p-q)-1)d] \)
हमें \( [2a + (p-q-1)d] \) का मान ज्ञात करना है।
\( 2a + (p-q-1)d = \frac{2q}{p} - (p-1)d + (p-q-1)d \)
\( = \frac{2q}{p} + [(p-q-1) - (p-1)]d \)
\( = \frac{2q}{p} + (p-q-1-p+1)d \)
\( = \frac{2q}{p} - qd \)
\( d \) का मान प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{2q}{p} - q\left(\frac{-2(p + q)}{pq}\right) \)
\( = \frac{2q}{p} + \frac{2(p + q)}{p} \)
\( = \frac{2q + 2p + 2q}{p} \)
\( = \frac{2p + 4q}{p} \)
तो, \( S_{p-q} = \frac{(p-q)}{2} \left(\frac{2p + 4q}{p}\right) \)
\( S_{p-q} = \frac{(p-q)}{2} \frac{2(p + 2q)}{p} \)
\( S_{p-q} = \frac{(p-q)(p + 2q)}{p} \)
यह \( (p-q)\left(1 + \frac{2q}{p}\right) \) के बराबर है।
In simple words: हमने दिए गए योग सूत्रों से पहला पद और सार्वअन्तर के लिए समीकरण बनाए। फिर, उन समीकरणों को हल करके \( d \) का मान निकाला और \( 2a + (k-1)d \) के लिए व्यंजक की गणना करके \( (p+q) \) और \( (p-q) \) पदों का योग ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: इस तरह की समस्याओं में, \( 2a \) को \( d \) और \( p, q \) के संदर्भ में व्यक्त करना अक्सर इसे हल करने का सबसे सीधा तरीका होता है, बजाय \( a \) और \( d \) को अलग-अलग खोजने के।

Question 57. यदि एक समान्तर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग q है तथा प्रथम q पदों का योग p है तो निम्न का योग ज्ञात कीजिए :
(i) (p + q) पदों का
(ii) (p – q) पदों का
Answer:
(i) माना समान्तर श्रेणी का पहला पद \(A\) और सार्वान्तर \(D\) है।
प्रश्नानुसार, p पदों का योग \(S_p = q\)
\( \frac{p}{2}[2A + (p-1)D] = q \)
\( 2A + (p-1)D = \frac{2q}{p} \) ... (1)
और q पदों का योग \(S_q = p\)
\( \frac{q}{2}[2A + (q-1)D] = p \)
\( 2A + (q-1)D = \frac{2p}{q} \) ... (2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर,
\( (p-1)D - (q-1)D = \frac{2q}{p} - \frac{2p}{q} \)
\( D(p-1-q+1) = \frac{2(q^2 - p^2)}{pq} \)
\( D(p-q) = \frac{-2(p^2 - q^2)}{pq} \)
\( D(p-q) = \frac{-2(p-q)(p+q)}{pq} \)
\( D = \frac{-2(p+q)}{pq} \)
अब \(D\) का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\( 2A + (p-1)\left(\frac{-2(p+q)}{pq}\right) = \frac{2q}{p} \)
\( 2A - \frac{2(p-1)(p+q)}{pq} = \frac{2q}{p} \)
\( 2A = \frac{2q}{p} + \frac{2(p-1)(p+q)}{pq} \)
\( 2A = \frac{2q^2 + 2(p^2+pq-p+pq-p-q)}{pq} \)
\( 2A = \frac{2q^2 + 2p^2 + 4pq - 4p - 2q}{pq} \)
अब (p + q) पदों का योग ज्ञात करेंगे:
\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2}[2A + (p+q-1)D] \)
\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2}\left[\frac{2q^2 + 2p^2 + 4pq - 4p - 2q}{pq} + (p+q-1)\left(\frac{-2(p+q)}{pq}\right)\right] \)
\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2} \cdot \frac{1}{pq} [2q^2 + 2p^2 + 4pq - 4p - 2q - 2(p+q)(p+q-1)] \)
\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2pq} [2q^2 + 2p^2 + 4pq - 4p - 2q - 2((p+q)^2 - (p+q))] \)
\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2pq} [2q^2 + 2p^2 + 4pq - 4p - 2q - 2(p^2+q^2+2pq - p-q)] \)
\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2pq} [2q^2 + 2p^2 + 4pq - 4p - 2q - 2p^2 - 2q^2 - 4pq + 2p + 2q] \)
\( S_{p+q} = \frac{p+q}{2pq} [-2p] \)
\( S_{p+q} = \frac{-(p+q)}{q} \)
(ii) (p – q) पदों का योग ज्ञात कीजिए:
\( S_{p-q} = \frac{p-q}{2}[2A + (p-q-1)D] \)
\( S_{p-q} = \frac{p-q}{2}\left[\frac{2q^2 + 2p^2 + 4pq - 4p - 2q}{pq} + (p-q-1)\left(\frac{-2(p+q)}{pq}\right)\right] \)
\( S_{p-q} = \frac{p-q}{2pq} [2q^2 + 2p^2 + 4pq - 4p - 2q - 2(p-q-1)(p+q)] \)
\( S_{p-q} = \frac{p-q}{2pq} [2q^2 + 2p^2 + 4pq - 4p - 2q - 2(p^2+pq-p-qp-q^2+q)] \)
\( S_{p-q} = \frac{p-q}{2pq} [2q^2 + 2p^2 + 4pq - 4p - 2q - 2p^2 - 2pq + 2p + 2pq + 2q^2 - 2q] \)
\( S_{p-q} = \frac{p-q}{2pq} [4q^2 + 2pq - 2p - 4q] \)
\( S_{p-q} = \frac{p-q}{pq} [2q^2 + pq - p - 2q] \)
In simple words: हमने समांतर श्रेणी के पहले पद और सार्वान्तर का मान निकाला. फिर, इन मानों का उपयोग करके, हमने (p + q) और (p - q) पदों का योग ज्ञात किया. यह तरीका AP में योग के सूत्र का सीधा अनुप्रयोग है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले \(2A\) और \(D\) का मान ज्ञात करें, फिर किसी भी पद या योग को ज्ञात करने के लिए उनका उपयोग करें। बीजगणितीय गणनाओं में सावधानी बरतें।

Question 58. यदि एक समान्तर श्रेणी के n, 2n तथा 3n पदों का योग क्रमशः S₁, S₂ तथा S3 है तो सिद्ध कीजिए कि S3 = 3(S2 – S₁)
Answer:
माना समान्तर श्रेणी का पहला पद \(a\) और सार्वअन्तर \(d\) है।
प्रश्नानुसार, n पदों का योग \(S_1 = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\) ... (1)
2n पदों का योग \(S_2 = \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d]\) ... (2)
3n पदों का योग \(S_3 = \frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d]\) ... (3)
हमें सिद्ध करना है: \(S_3 = 3(S_2 - S_1)\)
दायाँ पक्ष (R.H.S.) लेते हैं:
\( 3(S_2 - S_1) = 3 \left( \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] - \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \right) \)
\( = 3 \frac{n}{2} \left( 2[2a + (2n-1)d] - [2a + (n-1)d] \right) \)
\( = 3 \frac{n}{2} [4a + 2(2n-1)d - 2a - (n-1)d] \)
\( = 3 \frac{n}{2} [4a + (4n-2)d - 2a - (n-1)d] \)
\( = 3 \frac{n}{2} [(4a-2a) + ((4n-2) - (n-1))d] \)
\( = 3 \frac{n}{2} [2a + (4n-2-n+1)d] \)
\( = 3 \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d] \)
यह बायाँ पक्ष (L.H.S.) \(S_3\) के बराबर है।
इसलिए, \(S_3 = 3(S_2 - S_1)\) सिद्ध होता है। योग का सूत्र हमेशा पदों की संख्या पर निर्भर करता है, जिससे यह संबंध बनता है.
In simple words: हमने n, 2n और 3n पदों के योग के लिए सूत्र लिखे. फिर, हमने दाएँ पक्ष को हल किया और उसे बाएँ पक्ष के बराबर दिखाया. इससे पता चलता है कि योग के बीच एक खास रिश्ता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे सिद्ध करने वाले सवालों में, सभी पदों के योग के सूत्रों को सही ढंग से लिखें। फिर, एक पक्ष (आमतौर पर दायाँ पक्ष) से शुरू करें और उसे दूसरे पक्ष के बराबर दिखाएँ।

Question 59. यदि समीकरण (b - c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0 के मूल बराबर हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, b तथा c एक समान्तर श्रेणी में हैं।
Answer:
दिए गए समीकरण हैं: \( (b - c)x^2 + (c - a)x + (a - b) = 0 \)
यहां, \(A = (b - c)\), \(B = (c - a)\), \(C = (a - b)\)
यदि मूल बराबर हैं, तो विविक्तकर (discriminant) शून्य होता है, यानी \(B^2 - 4AC = 0\)
\( (c - a)^2 - 4(b - c)(a - b) = 0 \)
\( c^2 + a^2 - 2ca - 4(ab - b^2 - ca + bc) = 0 \)
\( c^2 + a^2 - 2ca - 4ab + 4b^2 + 4ca - 4bc = 0 \)
पदों को व्यवस्थित करने पर:
\( 4b^2 + a^2 + c^2 - 4ab - 4bc + 2ca = 0 \)
यह \( (2b)^2 + a^2 + c^2 - 2(2b)a - 2(2b)c + 2ac = 0 \) के जैसा दिखता है.
जो \( (a + c - 2b)^2 = 0 \) का विस्तारित रूप है (क्योंकि \( (X+Y+Z)^2 = X^2+Y^2+Z^2+2XY+2YZ+2ZX \)).
\( a + c - 2b = 0 \)
\( a + c = 2b \)
यह समान्तर श्रेणी (AP) की शर्त है। अगर तीन संख्याएँ \(a, b, c\) एक समांतर श्रेणी में हैं, तो बीच वाली संख्या, पहली और तीसरी संख्या के योग का आधा होती है, यानी \(b = \frac{a+c}{2}\) या \(2b = a+c\).
अतः, \(a, b, c\) एक समान्तर श्रेणी में हैं। समीकरणों में वर्गों को पहचानना अक्सर महत्वपूर्ण होता है.
In simple words: मूलों के बराबर होने की शर्त का इस्तेमाल करके, हमने समीकरण को सरल किया. हल करने पर, हमें मिला कि \(a + c = 2b\). यह बताता है कि \(a, b\) और \(c\) एक सीधी गिनती वाली श्रृंखला में हैं, जिसे समांतर श्रेणी कहते हैं.

🎯 Exam Tip: जब द्विघात समीकरण के मूल बराबर दिए हों, तो हमेशा विविक्तकर \(B^2 - 4AC = 0\) का उपयोग करें। बीजगणितीय पहचानों को पहचानना हल करने में सहायक होता है।

Question 60. यदि Sn = n2p तथा Sm = m2p, m ≠ n है तो सिद्ध कीजिए कि Sp = p³
Answer:
माना समान्तर श्रेणी का पहला पद \(A\) और सार्वअन्तर \(D\) है।
हमें दिया गया है: \(S_n = n^2p\)
योग के सूत्र का उपयोग करने पर:
\( \frac{n}{2}[2A + (n-1)D] = n^2p \)
\( 2A + (n-1)D = 2np \) ... (1)
इसी प्रकार, हमें दिया गया है: \(S_m = m^2p\)
\( \frac{m}{2}[2A + (m-1)D] = m^2p \)
\( 2A + (m-1)D = 2mp \) ... (2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर:
\( [2A + (n-1)D] - [2A + (m-1)D] = 2np - 2mp \)
\( (n-1)D - (m-1)D = 2p(n-m) \)
\( D(n-1-m+1) = 2p(n-m) \)
\( D(n-m) = 2p(n-m) \)
चूँकि \(m \neq n\), इसलिए \(n-m \neq 0\). हम \(n-m\) से भाग दे सकते हैं:
\( D = 2p \)
अब, \(D = 2p\) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 2A + (n-1)(2p) = 2np \)
\( 2A + 2np - 2p = 2np \)
\( 2A = 2np - 2np + 2p \)
\( 2A = 2p \)
\( A = p \)
हमें \(S_p\) ज्ञात करना है:
\( S_p = \frac{p}{2}[2A + (p-1)D] \)
\( A = p \) और \( D = 2p \) का मान रखने पर:
\( S_p = \frac{p}{2}[2(p) + (p-1)(2p)] \)
\( S_p = \frac{p}{2}[2p + 2p^2 - 2p] \)
\( S_p = \frac{p}{2}[2p^2] \)
\( S_p = p \cdot p^2 \)
\( S_p = p^3 \)
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि \(S_p = p^3\). यह दिखाता है कि AP के योग में पहला पद और सार्वान्तर कैसे महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं.
In simple words: हमने दिए गए योग के सूत्रों का इस्तेमाल किया और पहला पद \(A\) और सार्वअन्तर \(D\) का पता लगाया. फिर, हमने उन मानों को \(S_p\) के सूत्र में डाला और दिखाया कि \(S_p\) का मान \(p^3\) आता है.

🎯 Exam Tip: इन प्रश्नों को हल करते समय, \(2A\) और \(D\) के लिए सामान्य समीकरण बनाने पर ध्यान दें। सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापन और बीजगणित से सही परिणाम मिलता है।

Question 61. यदि S1, S2, S3 तीन समान्तर श्रेणी के n पदों का योग है। जिनका प्रथम पद 1 है तथा सार्वअन्तर क्रमशः 1, 2 तथा 3 है तो सिद्ध कीजिए कि S₁ + S3 = 2S2
Answer:
पहली समान्तर श्रेणी के लिए:
पहला पद \(a_1 = 1\)
सार्वअन्तर \(d_1 = 1\)
n पदों का योग \(S_1 = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d_1] = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)(1)] \)
\( S_1 = \frac{n}{2}[2 + n - 1] = \frac{n}{2}[n+1] \)
दूसरी समान्तर श्रेणी के लिए:
पहला पद \(a_2 = 1\)
सार्वअन्तर \(d_2 = 2\)
n पदों का योग \(S_2 = \frac{n}{2}[2a_2 + (n-1)d_2] = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)(2)] \)
\( S_2 = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2] = \frac{n}{2}[2n] = n^2 \)
तीसरी समान्तर श्रेणी के लिए:
पहला पद \(a_3 = 1\)
सार्वअन्तर \(d_3 = 3\)
n पदों का योग \(S_3 = \frac{n}{2}[2a_3 + (n-1)d_3] = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)(3)] \)
\( S_3 = \frac{n}{2}[2 + 3n - 3] = \frac{n}{2}[3n-1] \)
हमें सिद्ध करना है: \(S_1 + S_3 = 2S_2\)
बायाँ पक्ष (L.H.S.) लेते हैं:
\( S_1 + S_3 = \frac{n}{2}[n+1] + \frac{n}{2}[3n-1] \)
\( = \frac{n}{2}[(n+1) + (3n-1)] \)
\( = \frac{n}{2}[n+1+3n-1] \)
\( = \frac{n}{2}[4n] \)
\( = 2n^2 \)
दायाँ पक्ष (R.H.S.) लेते हैं:
\( 2S_2 = 2(n^2) = 2n^2 \)
चूँकि L.H.S. = R.H.S. है, अतः \(S_1 + S_3 = 2S_2\) सिद्ध होता है। यह दिखाता है कि AP की विशेषताओं को समझना कैसे विभिन्न श्रेणियों के बीच संबंधों को उजागर कर सकता है.
In simple words: हमने प्रत्येक समांतर श्रेणी के लिए n पदों का योग निकाला. फिर, हमने पहले और तीसरे योग को जोड़ा और देखा कि यह दूसरे योग के दोगुने के बराबर आता है, जैसा कि हमें सिद्ध करना था.

🎯 Exam Tip: जब अलग-अलग सार्वअन्तर वाली कई समांतर श्रेणियाँ हों, तो प्रत्येक श्रेणी के लिए योग के सूत्र को स्पष्ट रूप से लिखें। फिर, दिखाए गए संबंधों को प्राप्त करने के लिए प्राप्त मानों का उपयोग करें।