UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations Ex 41

Ex 4.1 Quadratic Equations गुणनखण्ड विधि (Factorization Method)

Question 1. निम्नलिखित समीकरणों को गुणनखण्ड विधि द्वारा हल करें।
(i) \( 9x^2 – 3x − 2 = 0 \)
(ii) \( 8x^2 – 22x – 21 = 0 \)
Answer:
(i) समीकरण \( 9x^2 – 3x - 2 = 0 \) को हल करने के लिए, हम मध्य पद को इस तरह से तोड़ते हैं कि गुणनखंड बन सकें।
\( 9x^2 – 6x + 3x − 2 = 0 \)
पहले दो पदों से \( 3x \) कॉमन लेते हैं और अगले दो पदों से \( 1 \) कॉमन लेते हैं।
\( 3x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0 \)
अब \( (3x – 2) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (3x – 2)(3x + 1) = 0 \)
यहाँ हमें दो स्थितियों पर विचार करना होगा। एक तो यह कि \( 3x - 2 = 0 \) हो सकता है या फिर \( 3x + 1 = 0 \) हो सकता है।
यदि \( 3x – 2 = 0 \)
\( 3x = 2 \)
\( x = \frac{2}{3} \)
और यदि \( 3x + 1 = 0 \)
\( 3x = -1 \)
\( x = -\frac{1}{3} \)
तो समीकरण के हल हैं \( x = \frac{2}{3} \) और \( x = -\frac{1}{3} \).

(ii) समीकरण \( 8x^2 – 22x – 21 = 0 \) को हल करने के लिए, हम मध्य पद को इस तरह से विभाजित करते हैं कि हम गुणनखंड कर सकें।
\( 8x^2 – 28x + 6x – 21 = 0 \)
पहले दो पदों से \( 4x \) को कॉमन लेते हैं और अगले दो पदों से \( 3 \) को कॉमन लेते हैं।
\( 4x(2x – 7) + 3(2x – 7) = 0 \)
अब \( (2x – 7) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (2x – 7)(4x + 3) = 0 \)
यहाँ हमें दो स्थितियाँ मिलती हैं। या तो \( 2x - 7 = 0 \) होगा या फिर \( 4x + 3 = 0 \) होगा।
यदि \( 2x – 7 = 0 \)
\( 2x = 7 \)
\( x = \frac{7}{2} \)
और यदि \( 4x + 3 = 0 \)
\( 4x = -3 \)
\( x = -\frac{3}{4} \)
तो समीकरण के हल हैं \( x = \frac{7}{2} \) और \( x = -\frac{3}{4} \).
In simple words: हमने समीकरणों के बीच के पद को तोड़ा, फिर कॉमन लेकर गुणनखंड बनाए। अंत में, हमने प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर \( x \) का मान निकाल लिया।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड विधि में, मध्य पद को ऐसे दो भागों में बांटें जिनका गुणनफल पहले और आखिरी पद के गुणनफल के बराबर हो और योग मध्य पद के बराबर हो।

Question 2. निम्नलिखित समीकरण को गुणनखण्ड विधि द्वारा हल करें:
\[ \frac{2x}{x-3} + \frac{1}{2x+3} + \frac{3x+9}{(x-3)(2x+3)} = 0 \]
Answer:
दिए गए समीकरण को हल करने के लिए, हम पहले भिन्नों को जोड़ते हैं। हमें सभी पदों का एक समान हर बनाना होगा।
\[ \frac{2x(2x+3) + 1(x-3) + (3x+9)}{(x-3)(2x+3)} = 0 \]
अब अंश को सरल करते हैं। हम \( 2x \) को \( (2x+3) \) से गुणा करेंगे, और \( 1 \) को \( (x-3) \) से गुणा करेंगे।
\( 4x^2 + 6x + x - 3 + 3x + 9 = 0 \)
समान पदों को एक साथ जोड़ें।
\( 4x^2 + 10x + 6 = 0 \)
हम इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करेंगे। हम मध्य पद \( 10x \) को \( 6x \) और \( 4x \) में विभाजित करते हैं।
\( 4x^2 + 6x + 4x + 6 = 0 \)
पहले दो पदों से \( 2x \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( 2 \) कॉमन लेते हैं।
\( 2x(2x + 3) + 2(2x + 3) = 0 \)
अब \( (2x + 3) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (2x + 3)(2x + 2) = 0 \)
इस बिंदु पर, दो संभावनाएं हैं: या तो पहला गुणनखंड शून्य है या दूसरा गुणनखंड शून्य है।
यदि \( 2x + 3 = 0 \)
\( 2x = -3 \)
\( x = -\frac{3}{2} \)
और यदि \( 2x + 2 = 0 \)
\( 2x = -2 \)
\( x = \frac{-2}{2} \)
\( x = -1 \)
तो, इस समीकरण के हल \( x = -\frac{3}{2} \) और \( x = -1 \) हैं।
In simple words: हमने पहले सभी भिन्नों को एक साथ जोड़ा। फिर, जो नया समीकरण बना, उसके मध्य पद को दो हिस्सों में बांटकर हमने गुणनखंड किए और \( x \) के मान निकाले।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक समीकरणों को हल करते समय, पहले सभी भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर लेकर सरल करें, फिर अंश को शून्य के बराबर रखें।

Question 3. निम्नलिखित समीकरण को गुणनखण्ड विधि द्वारा हल करें:
\( 4x^2 – 2(a^2 + b^2)x + a^2b^2 = 0 \)
Answer:
दिए गए समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने के लिए, हम मध्य पद \( -2(a^2 + b^2)x \) को दो भागों में विभाजित करेंगे।
हम \( -2(a^2 + b^2)x \) को \( -2a^2x \) और \( -2b^2x \) के रूप में लिख सकते हैं।
\( 4x^2 - 2a^2x - 2b^2x + a^2b^2 = 0 \)
अब, पहले दो पदों से \( 2x \) कॉमन लेते हैं और अगले दो पदों से \( -b^2 \) कॉमन लेते हैं।
\( 2x(2x – a^2) – b^2(2x – a^2) = 0 \)
अब \( (2x – a^2) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (2x – a^2)(2x – b^2) = 0 \)
इस समीकरण के लिए, या तो \( (2x – a^2) \) शून्य होगा या \( (2x – b^2) \) शून्य होगा।
यदि \( 2x – a^2 = 0 \)
\( 2x = a^2 \)
\( x = \frac{a^2}{2} \)
और यदि \( 2x – b^2 = 0 \)
\( 2x = b^2 \)
\( x = \frac{b^2}{2} \)
तो, इस समीकरण के हल \( x = \frac{a^2}{2} \) और \( x = \frac{b^2}{2} \) हैं।
In simple words: हमने समीकरण के बीच के हिस्से को तोड़ा ताकि हम उसे दो ग्रुप में बांट सकें। फिर हमने दोनों ग्रुप से कॉमन फैक्टर निकाले, जिससे हमें दो आसान समीकरण मिले। इन समीकरणों को हल करके हमने \( x \) के मान ढूंढ लिए।

🎯 Exam Tip: जब समीकरण में अक्षर (variables) और संख्याएँ दोनों हों, तो अक्षरों को भी संख्याओं की तरह ही गुणनखंड में उपयोग करें।

Question 4. निम्नलिखित समीकरणों को गुणनखण्ड विधि द्वारा हल करें:
(i) \( a^2b^2x^2 + b^2x – a^2x − 1 = 0 \)
(ii) \( x^2 + \left(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a}\right)x + 1 = 0 \)
Answer:
(i) समीकरण \( a^2b^2x^2 + b^2x – a^2x − 1 = 0 \) को हल करने के लिए, हम इसे ग्रुपिंग विधि से गुणनखंडित करेंगे।
पहले दो पदों से \( b^2x \) कॉमन लेते हैं और अगले दो पदों से \( -1 \) कॉमन लेते हैं।
\( b^2x(a^2x + 1) – 1(a^2x + 1) = 0 \)
अब \( (a^2x + 1) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (a^2x + 1)(b^2x – 1) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( a^2x + 1 = 0 \) होगा या \( b^2x – 1 = 0 \) होगा।
यदि \( a^2x + 1 = 0 \)
\( a^2x = -1 \)
\( x = -\frac{1}{a^2} \)
और यदि \( b^2x – 1 = 0 \)
\( b^2x = 1 \)
\( x = \frac{1}{b^2} \)
तो, समीकरण के हल \( x = -\frac{1}{a^2} \) और \( x = \frac{1}{b^2} \) हैं।

(ii) समीकरण \( x^2 + \left(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a}\right)x + 1 = 0 \) को हल करने के लिए, हम मध्य पद को तोड़ेंगे।
हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( x^2 + \frac{a}{a+b}x + \frac{a+b}{a}x + 1 = 0 \)
पहले दो पदों से \( x \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( \frac{a+b}{a} \) कॉमन लेते हैं।
\( x\left(x + \frac{a}{a+b}\right) + \frac{a+b}{a}\left(x + \frac{a}{a+b}\right) = 0 \)
अब \( \left(x + \frac{a}{a+b}\right) \) को कॉमन लेते हैं।
\( \left(x + \frac{a}{a+b}\right)\left(x + \frac{a+b}{a}\right) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो पहला गुणनखंड शून्य होगा या दूसरा गुणनखंड शून्य होगा।
यदि \( x + \frac{a}{a+b} = 0 \)
\( x = -\frac{a}{a+b} \)
और यदि \( x + \frac{a+b}{a} = 0 \)
\( x = -\frac{a+b}{a} \)
तो, समीकरण के हल \( x = -\frac{a}{a+b} \) और \( x = -\frac{a+b}{a} \) हैं।
In simple words: हमने दोनों समीकरणों में बीच वाले पद को इस तरह से बांटा कि हम ग्रुप बना सकें। फिर, हमने कॉमन फैक्टर निकाले और हर फैक्टर को शून्य के बराबर रखकर \( x \) के मान पता किए।

🎯 Exam Tip: जब मध्य पद एक जटिल व्यंजक हो, तो उसे खोलने और पदों को समूहबद्ध करने का प्रयास करें ताकि उभयनिष्ठ गुणनखंड बनाए जा सकें।

Question 5. निम्नलिखित समीकरणों को गुणनखण्ड विधि द्वारा हल करें:
(i) \( abx^2 + (b^2 – ac)x – bc = 0 \)
(ii) \( x^2 + \left(a+\frac{1}{a}\right)x + 1 = 0 \)
(iii) \( \frac{x-1}{x-2}+\frac{x-3}{x-4}=\frac{10}{3} \), \( x \neq 2, x \neq 4 \)
(iv) \( 3x^2 – 2\sqrt{6}x + 2 = 0 \)
(v) \( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+5}=\frac{6}{7} \), \( x \neq 1, -5 \)
(vi) \( x+\frac{2}{x} = 3 \), \( x \neq 0 \)
(vii) \( \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30} \), \( x \neq 4, 7 \)
Answer:
(i) समीकरण \( abx^2 + (b^2 – ac)x – bc = 0 \) को हल करने के लिए, हम मध्य पद को तोड़ेंगे।
\( abx^2 + b^2x – acx – bc = 0 \)
पहले दो पदों से \( bx \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( -c \) कॉमन लेते हैं।
\( bx(ax + b) – c(ax + b) = 0 \)
अब \( (ax + b) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (ax + b)(bx – c) = 0 \)
यहाँ हमें दो स्थितियाँ मिलती हैं: या तो \( ax + b = 0 \) होगा या \( bx - c = 0 \) होगा।
यदि \( ax + b = 0 \)
\( ax = -b \)
\( x = -\frac{b}{a} \)
और यदि \( bx – c = 0 \)
\( bx = c \)
\( x = \frac{c}{b} \)
तो, समीकरण के हल \( x = -\frac{b}{a} \) और \( x = \frac{c}{b} \) हैं।

(ii) समीकरण \( x^2 + \left(a+\frac{1}{a}\right)x + 1 = 0 \) को हल करने के लिए, हम मध्य पद को खोलेंगे।
\( x^2 + ax + \frac{1}{a}x + 1 = 0 \)
पहले दो पदों से \( x \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( \frac{1}{a} \) कॉमन लेते हैं।
\( x(x + a) + \frac{1}{a}(x + a) = 0 \)
अब \( (x + a) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (x + a)\left(x + \frac{1}{a}\right) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( x + a = 0 \) होगा या \( x + \frac{1}{a} = 0 \) होगा।
यदि \( x + a = 0 \)
\( x = -a \)
और यदि \( x + \frac{1}{a} = 0 \)
\( x = -\frac{1}{a} \)
तो, समीकरण के हल \( x = -a \) और \( x = -\frac{1}{a} \) हैं।

(iii) समीकरण \( \frac{x-1}{x-2}+\frac{x-3}{x-4}=\frac{10}{3} \) को हल करने के लिए, पहले हम बाईं ओर के भिन्नों को जोड़ते हैं।
\[ \frac{(x-1)(x-4) + (x-3)(x-2)}{(x-2)(x-4)} = \frac{10}{3} \]
अब अंश और हर को गुणा करते हैं:
\[ \frac{(x^2-4x-x+4) + (x^2-2x-3x+6)}{x^2-4x-2x+8} = \frac{10}{3} \]
अंश और हर को सरल करते हैं:
\[ \frac{x^2-5x+4 + x^2-5x+6}{x^2-6x+8} = \frac{10}{3} \]
\[ \frac{2x^2-10x+10}{x^2-6x+8} = \frac{10}{3} \]
दोनों पक्षों को क्रॉस-गुणा करते हैं:
\( 3(2x^2-10x+10) = 10(x^2-6x+8) \)
\( 6x^2-30x+30 = 10x^2-60x+80 \)
सभी पदों को एक तरफ ले आते हैं:
\( 0 = 10x^2-60x+80 - 6x^2+30x-30 \)
\( 0 = 4x^2-30x+50 \)
हम समीकरण को \( 2 \) से भाग दे सकते हैं:
\( 2x^2-15x+25 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं। मध्य पद \( -15x \) को \( -10x \) और \( -5x \) में विभाजित करते हैं।
\( 2x^2-10x-5x+25 = 0 \)
पहले दो पदों से \( 2x \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( -5 \) कॉमन लेते हैं।
\( 2x(x-5)-5(x-5) = 0 \)
अब \( (x-5) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (x-5)(2x-5) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( x - 5 = 0 \) होगा या \( 2x - 5 = 0 \) होगा।
यदि \( x - 5 = 0 \)
\( x = 5 \)
और यदि \( 2x - 5 = 0 \)
\( 2x = 5 \)
\( x = \frac{5}{2} \)
तो, समीकरण के हल \( x = 5 \) और \( x = \frac{5}{2} \) हैं।

(iv) समीकरण \( 3x^2 – 2\sqrt{6}x + 2 = 0 \) को हल करने के लिए, हम मध्य पद \( -2\sqrt{6}x \) को तोड़ेंगे।
हम इसे \( -\sqrt{6}x \) और \( -\sqrt{6}x \) के रूप में लिख सकते हैं।
\( 3x^2 – \sqrt{6}x – \sqrt{6}x + 2 = 0 \)
\( \sqrt{3}\sqrt{3}x^2 – \sqrt{3}\sqrt{2}x – \sqrt{3}\sqrt{2}x + \sqrt{2}\sqrt{2} = 0 \)
पहले दो पदों से \( \sqrt{3}x \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( -\sqrt{2} \) कॉमन लेते हैं।
\( \sqrt{3}x(\sqrt{3}x – \sqrt{2}) – \sqrt{2}(\sqrt{3}x – \sqrt{2}) = 0 \)
अब \( (\sqrt{3}x – \sqrt{2}) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (\sqrt{3}x – \sqrt{2})(\sqrt{3}x – \sqrt{2}) = 0 \)
यहाँ हमें एक ही स्थिति मिलती है:
यदि \( \sqrt{3}x – \sqrt{2} = 0 \)
\( \sqrt{3}x = \sqrt{2} \)
\( x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
इस प्रकार, समीकरण का हल \( x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \) है। यह मान दो बार आता है।

(v) समीकरण \( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+5}=\frac{6}{7} \) को हल करने के लिए, पहले बाईं ओर के भिन्नों को घटाते हैं।
\[ \frac{1(x+5) - 1(x-1)}{(x-1)(x+5)} = \frac{6}{7} \]
अंश को सरल करते हैं:
\[ \frac{x+5-x+1}{x^2+5x-x-5} = \frac{6}{7} \]
\[ \frac{6}{x^2+4x-5} = \frac{6}{7} \]
चूंकि अंश समान हैं, हर भी समान होने चाहिए।
\( x^2+4x-5 = 7 \)
\( x^2+4x-5-7 = 0 \)
\( x^2+4x-12 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं। मध्य पद \( 4x \) को \( 6x \) और \( -2x \) में विभाजित करते हैं।
\( x^2+6x-2x-12 = 0 \)
पहले दो पदों से \( x \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( -2 \) कॉमन लेते हैं।
\( x(x+6)-2(x+6) = 0 \)
अब \( (x+6) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (x+6)(x-2) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( x + 6 = 0 \) होगा या \( x - 2 = 0 \) होगा।
यदि \( x + 6 = 0 \)
\( x = -6 \)
और यदि \( x - 2 = 0 \)
\( x = 2 \)
तो, समीकरण के हल \( x = -6 \) और \( x = 2 \) हैं।

(vi) समीकरण \( x+\frac{2}{x} = 3 \) को हल करने के लिए, पहले पूरी समीकरण को \( x \) से गुणा करें ताकि भिन्न हट जाएं।
\( x^2 + 2 = 3x \)
अब सभी पदों को एक तरफ ले आते हैं:
\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं। मध्य पद \( -3x \) को \( -2x \) और \( -x \) में विभाजित करते हैं।
\( x^2 - 2x - x + 2 = 0 \)
पहले दो पदों से \( x \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( -1 \) कॉमन लेते हैं।
\( x(x-2) - 1(x-2) = 0 \)
अब \( (x-2) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (x-2)(x-1) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( x - 2 = 0 \) होगा या \( x - 1 = 0 \) होगा।
यदि \( x - 2 = 0 \)
\( x = 2 \)
और यदि \( x - 1 = 0 \)
\( x = 1 \)
तो, समीकरण के हल \( x = 2 \) और \( x = 1 \) हैं।

(vii) समीकरण \( \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30} \) को हल करने के लिए, पहले बाईं ओर के भिन्नों को घटाते हैं।
\[ \frac{1(x-7) - 1(x+4)}{(x+4)(x-7)} = \frac{11}{30} \]
अंश और हर को सरल करते हैं:
\[ \frac{x-7-x-4}{x^2-7x+4x-28} = \frac{11}{30} \]
\[ \frac{-11}{x^2-3x-28} = \frac{11}{30} \]
दोनों पक्षों से \( 11 \) को विभाजित करते हैं:
\[ \frac{-1}{x^2-3x-28} = \frac{1}{30} \]
क्रॉस-गुणा करते हैं:
\( -30 = x^2-3x-28 \)
सभी पदों को एक तरफ ले आते हैं:
\( 0 = x^2-3x-28+30 \)
\( x^2-3x+2 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं। मध्य पद \( -3x \) को \( -2x \) और \( -x \) में विभाजित करते हैं।
\( x^2 - 2x - x + 2 = 0 \)
पहले दो पदों से \( x \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( -1 \) कॉमन लेते हैं।
\( x(x-2) - 1(x-2) = 0 \)
अब \( (x-2) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (x-2)(x-1) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( x - 2 = 0 \) होगा या \( x - 1 = 0 \) होगा।
यदि \( x - 2 = 0 \)
\( x = 2 \)
और यदि \( x - 1 = 0 \)
\( x = 1 \)
तो, समीकरण के हल \( x = 2 \) और \( x = 1 \) हैं।
In simple words: हमने हर समीकरण को गुणनखंड विधि से हल किया। इसमें बीच के पद को तोड़ना, कॉमन फैक्टर निकालना और फिर हर फैक्टर को शून्य के बराबर रखकर \( x \) के मान ढूंढना शामिल था। भिन्नों वाले समीकरणों में, हमने पहले भिन्नों को सरल किया।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक समीकरणों में, हमेशा चर (variable) के दिए गए प्रतिबंधों (restrictions) पर ध्यान दें, जैसे \( x \neq 2, x \neq 4 \), क्योंकि वे हल के संभावित मानों को बाहर कर सकते हैं।

Question 6. निम्नलिखित समीकरणों को गुणनखण्ड विधि द्वारा हल करें:
(i) \( \frac{\alpha}{x-\alpha} + \frac{b}{x-b} = \frac{2c}{x-c} \)
(ii) \( \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x-2} = \frac{8}{x} \), \( x \neq 0, 2, 3 \)
(iii) \( \frac{4}{x} - 3 = \frac{5}{2x+3} \), \( x \neq 0, -\frac{3}{2} \)
(iv) \( \frac{5+x}{5-x} + \frac{5-x}{5+x} = \frac{15}{4} \), \( x \neq 5, -5 \)
(v) \( 3\left(\frac{3x-1}{2x+3}\right) - 2\left(\frac{2x+3}{3x-1}\right) = 5 \), \( x \neq -\frac{3}{2}, \frac{1}{3} \)
(vi) \( \frac{3}{x+1} + \frac{4}{x-1} = \frac{29}{4x-1} \), \( x \neq 1, -1, \frac{1}{4} \)
Answer:
(i) दिए गए समीकरण \( \frac{\alpha}{x-\alpha} + \frac{b}{x-b} = \frac{2c}{x-c} \) को हल करने के लिए, हम पहले इसे व्यवस्थित करते हैं ताकि इसे गुणनखंडित किया जा सके।
हम \( \frac{2c}{x-c} \) को दो भागों में विभाजित करते हैं: \( \frac{c}{x-c} + \frac{c}{x-c} \)।
\( \frac{\alpha}{x-\alpha} - \frac{c}{x-c} + \frac{b}{x-b} - \frac{c}{x-c} = 0 \)
प्रत्येक जोड़ी में भिन्नों को जोड़ते हैं:
\[ \frac{\alpha(x-c) - c(x-\alpha)}{(x-\alpha)(x-c)} + \frac{b(x-c) - c(x-b)}{(x-b)(x-c)} = 0 \]
अंशों को सरल करते हैं:
\[ \frac{\alpha x - \alpha c - cx + \alpha c}{(x-\alpha)(x-c)} + \frac{bx - bc - cx + bc}{(x-b)(x-c)} = 0 \]
\[ \frac{\alpha x - cx}{(x-\alpha)(x-c)} + \frac{bx - cx}{(x-b)(x-c)} = 0 \]
दोनों भिन्नों से \( (x-c) \) हर में कॉमन है। अंश से \( x \) कॉमन लेते हैं:
\[ \frac{x(\alpha - c)}{(x-\alpha)(x-c)} + \frac{x(b - c)}{(x-b)(x-c)} = 0 \]
\[ \frac{x(\alpha - c)(x-b) + x(b-c)(x-\alpha)}{(x-\alpha)(x-b)(x-c)} = 0 \]
चूंकि हर शून्य नहीं हो सकता, अंश को शून्य के बराबर होना चाहिए। \( x \) को कॉमन लेते हैं।
\( x[(\alpha - c)(x-b) + (b-c)(x-\alpha)] = 0 \)
इससे एक हल \( x = 0 \) मिलता है। अब, वर्ग ब्रैकेट के अंदर के व्यंजक को हल करते हैं।
\( (\alpha - c)(x-b) + (b-c)(x-\alpha) = 0 \)
\( \alpha x - \alpha b - cx + cb + bx - \alpha b - cx + \alpha c = 0 \)
\( (\alpha+b-2c)x - (2\alpha b - bc - \alpha c) = 0 \)
यदि \( \alpha+b-2c \neq 0 \) है, तो:
\( (\alpha+b-2c)x = 2\alpha b - bc - \alpha c \)
\( x = \frac{2\alpha b - bc - \alpha c}{\alpha+b-2c} \)
तो, समीकरण के हल \( x = 0 \) और \( x = \frac{2\alpha b - bc - \alpha c}{\alpha+b-2c} \) हैं।

(ii) समीकरण \( \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x-2} = \frac{8}{x} \) को हल करने के लिए, पहले बाईं ओर के भिन्नों को जोड़ते हैं।
\[ \frac{1(x-2) + 2(x-3)}{(x-3)(x-2)} = \frac{8}{x} \]
अंश और हर को गुणा करके सरल करते हैं:
\[ \frac{x-2+2x-6}{x^2-2x-3x+6} = \frac{8}{x} \]
\[ \frac{3x-8}{x^2-5x+6} = \frac{8}{x} \]
अब क्रॉस-गुणा करते हैं:
\( x(3x-8) = 8(x^2-5x+6) \)
\( 3x^2-8x = 8x^2-40x+48 \)
सभी पदों को एक तरफ ले आते हैं:
\( 0 = 8x^2-40x+48 - 3x^2+8x \)
\( 0 = 5x^2-32x+48 \)
इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं। मध्य पद \( -32x \) को \( -20x \) और \( -12x \) में विभाजित करते हैं।
\( 5x^2-20x-12x+48 = 0 \)
पहले दो पदों से \( 5x \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( -12 \) कॉमन लेते हैं।
\( 5x(x-4)-12(x-4) = 0 \)
अब \( (x-4) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (x-4)(5x-12) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( x - 4 = 0 \) होगा या \( 5x - 12 = 0 \) होगा।
यदि \( x - 4 = 0 \)
\( x = 4 \)
और यदि \( 5x - 12 = 0 \)
\( 5x = 12 \)
\( x = \frac{12}{5} \)
तो, समीकरण के हल \( x = 4 \) और \( x = \frac{12}{5} \) हैं।

(iii) समीकरण \( \frac{4}{x} - 3 = \frac{5}{2x+3} \) को हल करने के लिए, पहले बाईं ओर के पदों को सरल करते हैं।
\[ \frac{4-3x}{x} = \frac{5}{2x+3} \]
अब क्रॉस-गुणा करते हैं:
\( (4-3x)(2x+3) = 5x \)
गुणा करके सरल करते हैं:
\( 8x + 12 - 6x^2 - 9x = 5x \)
\( -6x^2 - x + 12 = 5x \)
सभी पदों को एक तरफ ले आते हैं:
\( 0 = 6x^2 + x - 12 + 5x \)
\( 6x^2 + 6x - 12 = 0 \)
हम समीकरण को \( 6 \) से भाग दे सकते हैं:
\( x^2 + x - 2 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं। मध्य पद \( x \) को \( 2x \) और \( -x \) में विभाजित करते हैं।
\( x^2 + 2x - x - 2 = 0 \)
पहले दो पदों से \( x \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( -1 \) कॉमन लेते हैं।
\( x(x+2) - 1(x+2) = 0 \)
अब \( (x+2) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (x+2)(x-1) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( x + 2 = 0 \) होगा या \( x - 1 = 0 \) होगा।
यदि \( x + 2 = 0 \)
\( x = -2 \)
और यदि \( x - 1 = 0 \)
\( x = 1 \)
तो, समीकरण के हल \( x = -2 \) और \( x = 1 \) हैं।

(iv) समीकरण \( \frac{5+x}{5-x} + \frac{5-x}{5+x} = \frac{15}{4} \) को हल करने के लिए, हम \( y = \frac{5+x}{5-x} \) मान लेते हैं। तो \( \frac{5-x}{5+x} = \frac{1}{y} \) होगा।
समीकरण अब बन जाता है:
\( y + \frac{1}{y} = \frac{15}{4} \)
पूरी समीकरण को \( 4y \) से गुणा करते हैं:
\( 4y^2 + 4 = 15y \)
सभी पदों को एक तरफ ले आते हैं:
\( 4y^2 - 15y + 4 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं। मध्य पद \( -15y \) को \( -16y \) और \( y \) में विभाजित करते हैं।
\( 4y^2 - 16y + y + 4 = 0 \) यह गलत है, \( -16y + y = -15y \) पर \( -16y \times y = -16y^2 \) जो कि \( 4y^2 \times 4 = 16y^2 \) के बराबर नहीं है।
सही गुणनखंड \( -16y \) और \( -y \) होंगे।
\( 4y^2 - 16y - y + 4 = 0 \)
पहले दो पदों से \( 4y \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( -1 \) कॉमन लेते हैं।
\( 4y(y-4) - 1(y-4) = 0 \)
अब \( (y-4) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (y-4)(4y-1) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( y - 4 = 0 \) होगा या \( 4y - 1 = 0 \) होगा।
यदि \( y - 4 = 0 \)
\( y = 4 \)
और यदि \( 4y - 1 = 0 \)
\( 4y = 1 \)
\( y = \frac{1}{4} \)
अब \( y \) का मान वापस \( \frac{5+x}{5-x} \) में रखते हैं।
स्थिति 1: \( y = 4 \)
\( \frac{5+x}{5-x} = 4 \)
\( 5+x = 4(5-x) \)
\( 5+x = 20-4x \)
\( x+4x = 20-5 \)
\( 5x = 15 \)
\( x = 3 \)
स्थिति 2: \( y = \frac{1}{4} \)
\( \frac{5+x}{5-x} = \frac{1}{4} \)
\( 4(5+x) = 1(5-x) \)
\( 20+4x = 5-x \)
\( 4x+x = 5-20 \)
\( 5x = -15 \)
\( x = -3 \)
तो, समीकरण के हल \( x = 3 \) और \( x = -3 \) हैं।

(v) समीकरण \( 3\left(\frac{3x-1}{2x+3}\right) - 2\left(\frac{2x+3}{3x-1}\right) = 5 \) को हल करने के लिए, हम \( y = \frac{3x-1}{2x+3} \) मान लेते हैं। तो \( \frac{2x+3}{3x-1} = \frac{1}{y} \) होगा।
समीकरण अब बन जाता है:
\( 3y - \frac{2}{y} = 5 \)
पूरी समीकरण को \( y \) से गुणा करते हैं:
\( 3y^2 - 2 = 5y \)
सभी पदों को एक तरफ ले आते हैं:
\( 3y^2 - 5y - 2 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं। मध्य पद \( -5y \) को \( -6y \) और \( y \) में विभाजित करते हैं।
\( 3y^2 - 6y + y - 2 = 0 \)
पहले दो पदों से \( 3y \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( 1 \) कॉमन लेते हैं।
\( 3y(y-2) + 1(y-2) = 0 \)
अब \( (y-2) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (y-2)(3y+1) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( y - 2 = 0 \) होगा या \( 3y + 1 = 0 \) होगा।
यदि \( y - 2 = 0 \)
\( y = 2 \)
और यदि \( 3y + 1 = 0 \)
\( 3y = -1 \)
\( y = -\frac{1}{3} \)
अब \( y \) का मान वापस \( \frac{3x-1}{2x+3} \) में रखते हैं।
स्थिति 1: \( y = 2 \)
\( \frac{3x-1}{2x+3} = 2 \)
\( 3x-1 = 2(2x+3) \)
\( 3x-1 = 4x+6 \)
\( 3x-4x = 6+1 \)
\( -x = 7 \)
\( x = -7 \)
स्थिति 2: \( y = -\frac{1}{3} \)
\( \frac{3x-1}{2x+3} = -\frac{1}{3} \)
\( 3(3x-1) = -1(2x+3) \)
\( 9x-3 = -2x-3 \)
\( 9x+2x = -3+3 \)
\( 11x = 0 \)
\( x = 0 \)
तो, समीकरण के हल \( x = -7 \) और \( x = 0 \) हैं।

(vi) समीकरण \( \frac{3}{x+1} + \frac{4}{x-1} = \frac{29}{4x-1} \) को हल करने के लिए, पहले बाईं ओर के भिन्नों को जोड़ते हैं।
\[ \frac{3(x-1) + 4(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{29}{4x-1} \]
अंश और हर को सरल करते हैं:
\[ \frac{3x-3+4x+4}{x^2-1} = \frac{29}{4x-1} \]
\[ \frac{7x+1}{x^2-1} = \frac{29}{4x-1} \]
अब क्रॉस-गुणा करते हैं:
\( (7x+1)(4x-1) = 29(x^2-1) \)
गुणा करके सरल करते हैं:
\( 28x^2-7x+4x-1 = 29x^2-29 \)
\( 28x^2-3x-1 = 29x^2-29 \)
सभी पदों को एक तरफ ले आते हैं:
\( 0 = 29x^2-29 - 28x^2+3x+1 \)
\( 0 = x^2+3x-28 \)
इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं। मध्य पद \( 3x \) को \( 7x \) और \( -4x \) में विभाजित करते हैं।
\( x^2+7x-4x-28 = 0 \)
पहले दो पदों से \( x \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( -4 \) कॉमन लेते हैं।
\( x(x+7)-4(x+7) = 0 \)
अब \( (x+7) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (x+7)(x-4) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( x + 7 = 0 \) होगा या \( x - 4 = 0 \) होगा।
यदि \( x + 7 = 0 \)
\( x = -7 \)
और यदि \( x - 4 = 0 \)
\( x = 4 \)
तो, समीकरण के हल \( x = -7 \) और \( x = 4 \) हैं।
In simple words: हमने हर समीकरण को गुणनखंड विधि से हल किया। इसमें भिन्नों को सरल करना, क्रॉस-गुणा करना, और फिर द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करके \( x \) के मान ढूंढना शामिल था। कुछ सवालों में हमने एक हिस्से को \( y \) मानकर समीकरण को आसान बनाया।

🎯 Exam Tip: भिन्न वाले समीकरणों में, \( x \) के उन मानों को हमेशा जांचें जो हर को शून्य बनाते हैं। ये मान मूल समीकरण के हल नहीं हो सकते।

Question 7. निम्नलिखित समीकरणों को गुणनखण्ड विधि द्वारा हल करें:
(i) \( 3\left(\frac{7x+1}{5x-3}\right) - 4\left(\frac{5x-3}{7x+1}\right) = 11 \), \( x \neq \frac{3}{5}, -\frac{1}{7} \)
(ii) \( \frac{x-2}{x-3} + \frac{x-4}{x-5} = \frac{10}{3} \), \( x \neq 3, 5 \)
(iii) \( \frac{1}{2a+b+2x} = \frac{1}{2a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{2x} \)
Answer:
(i) समीकरण \( 3\left(\frac{7x+1}{5x-3}\right) - 4\left(\frac{5x-3}{7x+1}\right) = 11 \) को हल करने के लिए, हम \( y = \frac{7x+1}{5x-3} \) मान लेते हैं। तो \( \frac{5x-3}{7x+1} = \frac{1}{y} \) होगा।
समीकरण अब बन जाता है:
\( 3y - \frac{4}{y} = 11 \)
पूरी समीकरण को \( y \) से गुणा करते हैं:
\( 3y^2 - 4 = 11y \)
सभी पदों को एक तरफ ले आते हैं:
\( 3y^2 - 11y - 4 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं। मध्य पद \( -11y \) को \( -12y \) और \( y \) में विभाजित करते हैं।
\( 3y^2 - 12y + y - 4 = 0 \)
पहले दो पदों से \( 3y \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( 1 \) कॉमन लेते हैं।
\( 3y(y-4) + 1(y-4) = 0 \)
अब \( (y-4) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (y-4)(3y+1) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( y - 4 = 0 \) होगा या \( 3y + 1 = 0 \) होगा।
स्थिति 1: \( y - 4 = 0 \)
\( y = 4 \)
स्थिति 2: \( 3y + 1 = 0 \)
\( 3y = -1 \)
\( y = -\frac{1}{3} \)
अब \( y \) का मान वापस \( \frac{7x+1}{5x-3} \) में रखते हैं।
स्थिति 1: \( y = 4 \)
\( \frac{7x+1}{5x-3} = 4 \)
\( 7x+1 = 4(5x-3) \)
\( 7x+1 = 20x-12 \)
\( 1+12 = 20x-7x \)
\( 13 = 13x \)
\( x = 1 \)
स्थिति 2: \( y = -\frac{1}{3} \)
\( \frac{7x+1}{5x-3} = -\frac{1}{3} \)
\( 3(7x+1) = -1(5x-3) \)
\( 21x+3 = -5x+3 \)
\( 21x+5x = 3-3 \)
\( 26x = 0 \)
\( x = 0 \)
तो, समीकरण के हल \( x = 1 \) और \( x = 0 \) हैं।

(ii) समीकरण \( \frac{x-2}{x-3} + \frac{x-4}{x-5} = \frac{10}{3} \) को हल करने के लिए, पहले बाईं ओर के भिन्नों को जोड़ते हैं।
\[ \frac{(x-2)(x-5) + (x-4)(x-3)}{(x-3)(x-5)} = \frac{10}{3} \]
अंश और हर को गुणा करके सरल करते हैं:
\[ \frac{(x^2-5x-2x+10) + (x^2-3x-4x+12)}{x^2-5x-3x+15} = \frac{10}{3} \]
\[ \frac{x^2-7x+10 + x^2-7x+12}{x^2-8x+15} = \frac{10}{3} \]
\[ \frac{2x^2-14x+22}{x^2-8x+15} = \frac{10}{3} \]
अंश में से \( 2 \) कॉमन लेते हैं:
\[ \frac{2(x^2-7x+11)}{x^2-8x+15} = \frac{10}{3} \]
दोनों पक्षों को \( 2 \) से भाग देते हैं:
\[ \frac{x^2-7x+11}{x^2-8x+15} = \frac{5}{3} \]
अब क्रॉस-गुणा करते हैं:
\( 3(x^2-7x+11) = 5(x^2-8x+15) \)
\( 3x^2-21x+33 = 5x^2-40x+75 \)
सभी पदों को एक तरफ ले आते हैं:
\( 0 = 5x^2-40x+75 - 3x^2+21x-33 \)
\( 0 = 2x^2-19x+42 \)
इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं। मध्य पद \( -19x \) को \( -12x \) और \( -7x \) में विभाजित करते हैं।
\( 2x^2-12x-7x+42 = 0 \)
पहले दो पदों से \( 2x \) कॉमन लेते हैं, और अगले दो पदों से \( -7 \) कॉमन लेते हैं।
\( 2x(x-6)-7(x-6) = 0 \)
अब \( (x-6) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (x-6)(2x-7) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( x - 6 = 0 \) होगा या \( 2x - 7 = 0 \) होगा।
यदि \( x - 6 = 0 \)
\( x = 6 \)
और यदि \( 2x - 7 = 0 \)
\( 2x = 7 \)
\( x = \frac{7}{2} \)
तो, समीकरण के हल \( x = 6 \) और \( x = \frac{7}{2} \) हैं।

(iii) समीकरण \( \frac{1}{2a+b+2x} = \frac{1}{2a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{2x} \) को हल करने के लिए, हम \( \frac{1}{2x} \) को बाईं ओर ले जाते हैं।
\[ \frac{1}{2a+b+2x} - \frac{1}{2x} = \frac{1}{2a} + \frac{1}{b} \]
दोनों तरफ भिन्नों को जोड़ते हैं:
\[ \frac{2x - (2a+b+2x)}{2x(2a+b+2x)} = \frac{b+2a}{2ab} \]
अंश को सरल करते हैं:
\[ \frac{2x - 2a - b - 2x}{2x(2a+b+2x)} = \frac{2a+b}{2ab} \]
\[ \frac{-(2a+b)}{2x(2a+b+2x)} = \frac{2a+b}{2ab} \]
दोनों पक्षों से \( (2a+b) \) को विभाजित करते हैं (मान लेते हैं कि \( 2a+b \neq 0 \)):
\[ \frac{-1}{2x(2a+b+2x)} = \frac{1}{2ab} \]
अब क्रॉस-गुणा करते हैं:
\( -2ab = 2x(2a+b+2x) \)
\( -2ab = 4ax + 2bx + 4x^2 \)
सभी पदों को एक तरफ ले आते हैं:
\( 4x^2 + 4ax + 2bx + 2ab = 0 \)
इसे ग्रुपिंग विधि से गुणनखंडित करते हैं। पहले दो पदों से \( 4x \) कॉमन लेते हैं और अगले दो पदों से \( 2b \) कॉमन लेते हैं।
\( 4x(x+a) + 2b(x+a) = 0 \)
अब \( (x+a) \) को कॉमन लेते हैं।
\( (x+a)(4x+2b) = 0 \)
यहाँ दो स्थितियाँ हैं: या तो \( x + a = 0 \) होगा या \( 4x + 2b = 0 \) होगा।
यदि \( x + a = 0 \)
\( x = -a \)
और यदि \( 4x + 2b = 0 \)
\( 4x = -2b \)
\( x = -\frac{2b}{4} \)
\( x = -\frac{b}{2} \)
तो, समीकरण के हल \( x = -a \) और \( x = -\frac{b}{2} \) हैं।
In simple words: हमने हर समीकरण को हल करने के लिए अलग-अलग तरीके अपनाए। कुछ में \( y \) मानकर समीकरण को आसान बनाया, कुछ में भिन्नों को जोड़कर क्रॉस-गुणा किया। लक्ष्य हमेशा एक द्विघात समीकरण प्राप्त करना था जिसे गुणनखंड विधि से हल किया जा सके।

🎯 Exam Tip: \( \frac{1}{X+Y} = \frac{1}{X} + \frac{1}{Y} \) प्रकार के समीकरणों में, \( \frac{1}{X+Y} - \frac{1}{X} = \frac{1}{Y} \) (या इसी तरह) करके \( X \) के पदों को एक तरफ ले जाना अक्सर समीकरण को सरल बनाता है।

Ex 4.1 Quadratic Equations पूर्ण वर्ग द्वारा हल (Solution by Completing the Square)

पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की विधि से निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल कीजिए।

Question 8. निम्नलिखित समीकरणों को पूर्ण वर्ग बनाकर हल करें:
(i) \( 2x^2 – 5x + 3 = 0 \)
(ii) \( 5x^2 – 6x – 2 = 0 \)
(iii) \( 4x^2 + 4bx – (a^2 – b^2) = 0 \)
(iv) \( x^2 – (\sqrt{3} + 1)x + \sqrt{3} = 0 \)
(v) \( a^2x^2 – 3abx + 2b^2 = 0 \)
Answer:
(i) समीकरण \( 2x^2 – 5x + 3 = 0 \) को पूर्ण वर्ग विधि से हल करने के लिए, पहले \( x^2 \) के गुणांक को \( 1 \) बनाते हैं। इसके लिए पूरी समीकरण को \( 2 \) से भाग देते हैं।
\[ x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} = 0 \]
स्थिरांक पद को दाहिनी ओर ले जाते हैं:
\[ x^2 - \frac{5}{2}x = -\frac{3}{2} \]
अब \( x \) के गुणांक \( \left(-\frac{5}{2}\right) \) के आधे का वर्ग \( \left(\frac{1}{2} \times -\frac{5}{2}\right)^2 = \left(-\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} \) को दोनों पक्षों में जोड़ते हैं।
\[ x^2 - \frac{5}{2}x + \left(\frac{5}{4}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{25}{16} \]
बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग बन जाता है:
\[ \left(x - \frac{5}{4}\right)^2 = -\frac{3 \times 8}{2 \times 8} + \frac{25}{16} \]
\[ \left(x - \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{-24}{16} + \frac{25}{16} \]
\[ \left(x - \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \]
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हैं:
\[ x - \frac{5}{4} = \pm\sqrt{\frac{1}{16}} \]
\[ x - \frac{5}{4} = \pm\frac{1}{4} \]
अब \( x \) के दो मान निकालते हैं:
स्थिति 1: \( x - \frac{5}{4} = \frac{1}{4} \)
\( x = \frac{5}{4} + \frac{1}{4} \)
\( x = \frac{6}{4} \)
\( x = \frac{3}{2} \)
स्थिति 2: \( x - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4} \)
\( x = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} \)
\( x = \frac{4}{4} \)
\( x = 1 \)
तो, समीकरण के हल \( x = \frac{3}{2} \) और \( x = 1 \) हैं।

(ii) समीकरण \( 5x^2 – 6x – 2 = 0 \) को पूर्ण वर्ग विधि से हल करने के लिए, पहले \( x^2 \) के गुणांक को \( 1 \) बनाते हैं। पूरी समीकरण को \( 5 \) से भाग देते हैं।
\[ x^2 - \frac{6}{5}x - \frac{2}{5} = 0 \]
स्थिरांक पद को दाहिनी ओर ले जाते हैं:
\[ x^2 - \frac{6}{5}x = \frac{2}{5} \]
अब \( x \) के गुणांक \( \left(-\frac{6}{5}\right) \) के आधे का वर्ग \( \left(\frac{1}{2} \times -\frac{6}{5}\right)^2 = \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \) को दोनों पक्षों में जोड़ते हैं।
\[ x^2 - \frac{6}{5}x + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{2}{5} + \frac{9}{25} \]
बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग बन जाता है:
\[ \left(x - \frac{3}{5}\right)^2 = \frac{2 \times 5}{5 \times 5} + \frac{9}{25} \]
\[ \left(x - \frac{3}{5}\right)^2 = \frac{10}{25} + \frac{9}{25} \]
\[ \left(x - \frac{3}{5}\right)^2 = \frac{19}{25} \]
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हैं:
\[ x - \frac{3}{5} = \pm\sqrt{\frac{19}{25}} \]
\[ x - \frac{3}{5} = \pm\frac{\sqrt{19}}{5} \]
अब \( x \) के दो मान निकालते हैं:
स्थिति 1: \( x - \frac{3}{5} = \frac{\sqrt{19}}{5} \)
\( x = \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{19}}{5} \)
\( x = \frac{3+\sqrt{19}}{5} \)
स्थिति 2: \( x - \frac{3}{5} = -\frac{\sqrt{19}}{5} \)
\( x = \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{19}}{5} \)
\( x = \frac{3-\sqrt{19}}{5} \)
तो, समीकरण के हल \( x = \frac{3+\sqrt{19}}{5} \) और \( x = \frac{3-\sqrt{19}}{5} \) हैं।

(iii) समीकरण \( 4x^2 + 4bx – (a^2 – b^2) = 0 \) को पूर्ण वर्ग विधि से हल करने के लिए, पहले \( x^2 \) के गुणांक को \( 1 \) बनाते हैं। पूरी समीकरण को \( 4 \) से भाग देते हैं।
\[ x^2 + bx - \frac{a^2-b^2}{4} = 0 \]
स्थिरांक पद को दाहिनी ओर ले जाते हैं:
\[ x^2 + bx = \frac{a^2-b^2}{4} \]
अब \( x \) के गुणांक \( (b) \) के आधे का वर्ग \( \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{b^2}{4} \) को दोनों पक्षों में जोड़ते हैं।
\[ x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2-b^2}{4} + \frac{b^2}{4} \]
बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग बन जाता है:
\[ \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2-b^2+b^2}{4} \]
\[ \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} \]
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हैं:
\[ x + \frac{b}{2} = \pm\sqrt{\frac{a^2}{4}} \]
\[ x + \frac{b}{2} = \pm\frac{a}{2} \]
अब \( x \) के दो मान निकालते हैं:
स्थिति 1: \( x + \frac{b}{2} = \frac{a}{2} \)
\( x = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} \)
\( x = \frac{a-b}{2} \)
स्थिति 2: \( x + \frac{b}{2} = -\frac{a}{2} \)
\( x = -\frac{a}{2} - \frac{b}{2} \)
\( x = -\frac{a+b}{2} \)
तो, समीकरण के हल \( x = \frac{a-b}{2} \) और \( x = -\frac{a+b}{2} \) हैं।

(iv) समीकरण \( x^2 – (\sqrt{3} + 1)x + \sqrt{3} = 0 \) को पूर्ण वर्ग विधि से हल करने के लिए, स्थिरांक पद को दाहिनी ओर ले जाते हैं।
\[ x^2 – (\sqrt{3} + 1)x = -\sqrt{3} \]
अब \( x \) के गुणांक \( -(\sqrt{3} + 1) \) के आधे का वर्ग \( \left(-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{4} \) को दोनों पक्षों में जोड़ते हैं।
\[ x^2 – (\sqrt{3} + 1)x + \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = -\sqrt{3} + \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{4} \]
बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग बन जाता है:
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = -\sqrt{3} + \frac{3+1+2\sqrt{3}}{4} \]
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = -\sqrt{3} + \frac{4+2\sqrt{3}}{4} \]
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = -\sqrt{3} + \frac{2(2+\sqrt{3})}{4} \]
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = -\sqrt{3} + \frac{2+\sqrt{3}}{2} \]
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \frac{-2\sqrt{3} + 2+\sqrt{3}}{2} \]
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \frac{2-\sqrt{3}}{2} \]
यह समीकरण गलत है, क्योंकि \( \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{4} \) का मान \( \frac{3+1+2\sqrt{3}}{4} = \frac{4+2\sqrt{3}}{4} = \frac{2+\sqrt{3}}{2} \) है।
इसलिए, समीकरण ऐसे सरल होगा:
\[ x^2 – (\sqrt{3} + 1)x + \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = -\sqrt{3} + \frac{2+\sqrt{3}}{2} \]
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \frac{-2\sqrt{3} + 2 + \sqrt{3}}{2} \]
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \]
यहाँ से हल निकालना थोड़ा जटिल हो सकता है, क्योंकि दाहिनी ओर एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
मूल हल के अनुसार आगे बढ़ते हैं, जहां \( \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{4} \) को अलग तरह से इस्तेमाल किया गया है।
\[ x^2 – (\sqrt{3} + 1)x + \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{4} - \sqrt{3} \]
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} \]
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \frac{4+2\sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} \]
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \frac{2+\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \]
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \frac{2+\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{2} \]
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \frac{2-\sqrt{3}}{2} \]
यह भी समान परिणाम देता है। अब, मूल समाधान का तरीका है:
दाहिनी ओर को इस तरह लिखना है कि वह किसी चीज़ का वर्ग बन जाए।
हमें \( \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{4} \) चाहिए, जिसका मान \( \frac{3+1-2\sqrt{3}}{4} = \frac{4-2\sqrt{3}}{4} = \frac{2-\sqrt{3}}{2} \) है।
इसलिए, हम लिख सकते हैं:
\[ \left(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2 \]
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हैं:
\[ x - \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}-1}{2} \]
अब \( x \) के दो मान निकालते हैं:
स्थिति 1: \( x - \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \)
\( x = \frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2} \)
\( x = \frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{2} \)
\( x = \frac{2\sqrt{3}}{2} \)
\( x = \sqrt{3} \)
स्थिति 2: \( x - \frac{\sqrt{3}+1}{2} = -\frac{\sqrt{3}-1}{2} \)
\( x = \frac{\sqrt{3}+1}{2} - \frac{\sqrt{3}-1}{2} \)
\( x = \frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{2} \)
\( x = \frac{2}{2} \)
\( x = 1 \)
तो, समीकरण के हल \( x = \sqrt{3} \) और \( x = 1 \) हैं।

(v) समीकरण \( a^2x^2 – 3abx + 2b^2 = 0 \) को पूर्ण वर्ग विधि से हल करने के लिए, पहले \( x^2 \) के गुणांक को \( 1 \) बनाते हैं। पूरी समीकरण को \( a^2 \) से भाग देते हैं।
\[ x^2 - \frac{3b}{a}x + \frac{2b^2}{a^2} = 0 \]
स्थिरांक पद को दाहिनी ओर ले जाते हैं:
\[ x^2 - \frac{3b}{a}x = -\frac{2b^2}{a^2} \]
अब \( x \) के गुणांक \( \left(-\frac{3b}{a}\right) \) के आधे का वर्ग \( \left(\frac{1}{2} \times -\frac{3b}{a}\right)^2 = \left(-\frac{3b}{2a}\right)^2 = \frac{9b^2}{4a^2} \) को दोनों पक्षों में जोड़ते हैं।
\[ x^2 - \frac{3b}{a}x + \left(\frac{3b}{2a}\right)^2 = -\frac{2b^2}{a^2} + \frac{9b^2}{4a^2} \]
बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग बन जाता है:
\[ \left(x - \frac{3b}{2a}\right)^2 = -\frac{2b^2 \times 4}{a^2 \times 4} + \frac{9b^2}{4a^2} \]
\[ \left(x - \frac{3b}{2a}\right)^2 = \frac{-8b^2 + 9b^2}{4a^2} \]
\[ \left(x - \frac{3b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} \]
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हैं:
\[ x - \frac{3b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}} \]
\[ x - \frac{3b}{2a} = \pm\frac{b}{2a} \]
अब \( x \) के दो मान निकालते हैं:
स्थिति 1: \( x - \frac{3b}{2a} = \frac{b}{2a} \)
\( x = \frac{3b}{2a} + \frac{b}{2a} \)
\( x = \frac{3b+b}{2a} \)
\( x = \frac{4b}{2a} \)
\( x = \frac{2b}{a} \)
स्थिति 2: \( x - \frac{3b}{2a} = -\frac{b}{2a} \)
\( x = \frac{3b}{2a} - \frac{b}{2a} \)
\( x = \frac{3b-b}{2a} \)
\( x = \frac{2b}{2a} \)
\( x = \frac{b}{a} \)
तो, समीकरण के हल \( x = \frac{2b}{a} \) और \( x = \frac{b}{a} \) हैं।
In simple words: हमने हर समीकरण को पूर्ण वर्ग बनाकर हल किया। इसमें \( x^2 \) के गुणांक को \( 1 \) बनाना, स्थिरांक को दूसरी तरफ ले जाना, और फिर \( x \) के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों तरफ जोड़ना शामिल था। इससे एक तरफ पूर्ण वर्ग बन जाता है, जिससे हम वर्गमूल लेकर \( x \) के मान निकाल पाते हैं।

🎯 Exam Tip: पूर्ण वर्ग बनाने की विधि में \( \left(\frac{\text{x के गुणांक}}{2}\right)^2 \) को दोनों पक्षों में जोड़ना याद रखें। यह हमेशा एक पूर्ण वर्ग बनाने में मदद करता है।

Ex 4.1 Quadratic Equations पूर्ण वर्ग द्वारा हल (Solution by Completing the Square)

Question 9. पूर्ण वर्ग बनाने वाली विधि का प्रयोग करके, सिद्ध कीजिए कि समीकरण \( 4x^2 + 3x + 5 = 0 \) के मूल वास्तविक नहीं हैं। (NCERT)
Answer: दिए गए द्विघात समीकरण को \( 4x^2 + 3x + 5 = 0 \) पूर्ण वर्ग विधि से हल करने के लिए, सबसे पहले \( x^2 \) के गुणांक को 1 बनाते हैं। इसके लिए पूरी समीकरण को 4 से भाग देते हैं:
\( x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{5}{4} = 0 \)
स्थिर पद को समीकरण के दाईं ओर ले जाते हैं:
\( x^2 + \frac{3}{4}x = -\frac{5}{4} \)
अब, समीकरण के बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हम \( x \) के गुणांक (\( \frac{3}{4} \)) के आधे (\( \frac{3}{8} \)) का वर्ग (\( (\frac{3}{8})^2 \)) दोनों पक्षों में जोड़ते हैं:
\( x^2 + \frac{3}{4}x + (\frac{3}{8})^2 = (\frac{3}{8})^2 - \frac{5}{4} \)
\( \implies (x + \frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64} - \frac{5 \times 16}{4 \times 16} \)
\( \implies (x + \frac{3}{8})^2 = \frac{9 - 80}{64} \)
\( \implies (x + \frac{3}{8})^2 = -\frac{71}{64} \)
चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है, \( (x + \frac{3}{8})^2 \) का मान \( -\frac{71}{64} \) के बराबर नहीं हो सकता। इसका अर्थ है कि दिए गए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। यह दर्शाता है कि यदि विवेचक (discriminant) \( b^2 - 4ac \) ऋणात्मक हो, तो समीकरण के वास्तविक हल नहीं होते हैं।
In simple words: हम समीकरण को \( (x+p)^2 = q \) के रूप में बदलते हैं। जब हम ऐसा करते हैं, तो हमें \( (x + \frac{3}{8})^2 = -\frac{71}{64} \) मिलता है। किसी भी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

🎯 Exam Tip: यदि किसी द्विघात समीकरण को पूर्ण वर्ग विधि से हल करते समय, \( (x+k)^2 \) के बराबर एक ऋणात्मक संख्या आती है, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते हैं। यह स्थिति तब भी होती है जब विवेचक (discriminant) \( b^2-4ac \) ऋणात्मक हो।

Ex 4.1 Quadratic Equations द्विघात सूत्र के प्रयोग द्वारा (By using the Quadratic Formula)

Question 10. द्विघात सूत्र का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए-
(i) \( \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2} = \frac{4}{x+4}, x \ne 1, -2, -4 \)
(ii) \( 2x^2-2\sqrt{2}x + 1 = 0 \)
(iii) \( \sqrt{2}x^2+7x+5\sqrt{2} = 0 \)
(iv) \( \frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} = 3, x \ne 0, 2 \)
(v) \( \frac{16}{x} - 1 = \frac{15}{x+1}, x \ne 0, -1 \)
Answer:
(i) पहले दिए गए समीकरण को सरल करके एक मानक द्विघात समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के रूप में लाते हैं। समीकरण \( \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2} = \frac{4}{x+4} \) को हल करने के लिए, हम बाईं ओर के भिन्नों को जोड़ते हैं और फिर क्रॉस-गुणा करते हैं।
\( \frac{(x+2) + 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{4}{x+4} \)
\( \implies \frac{x+2+2x+2}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4} \)
\( \implies \frac{3x+4}{x^2+3x+2} = \frac{4}{x+4} \)
\( \implies (3x+4)(x+4) = 4(x^2+3x+2) \)
\( \implies 3x^2 + 12x + 4x + 16 = 4x^2 + 12x + 8 \)
\( \implies 3x^2 + 16x + 16 = 4x^2 + 12x + 8 \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर, हमें यह द्विघात समीकरण मिलता है:
\( \implies 0 = 4x^2 - 3x^2 + 12x - 16x + 8 - 16 \)
\( \implies x^2 - 4x - 8 = 0 \)
अब, द्विघात सूत्र \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) का उपयोग करते हैं, जहाँ \( a=1, b=-4, c=-8 \) है।
\( x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} \)
\( \implies x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} \)
\( \implies x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} \)
\( \implies x = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} \)
\( \implies x = 2 \pm 2\sqrt{3} \)
इसलिए, समीकरण के दो मूल \( 2 + 2\sqrt{3} \) और \( 2 - 2\sqrt{3} \) हैं। यह विधि किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सार्वभौमिक है, भले ही उसके गुणनखंड करना मुश्किल हो।
In simple words: पहले समीकरण को सरल करके \( x^2 - 4x - 8 = 0 \) बनाते हैं। फिर, द्विघात सूत्र \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) का प्रयोग करके \( x = 2 \pm 2\sqrt{3} \) प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: जब भिन्न वाले समीकरण दिए हों, तो सबसे पहले लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर उन्हें सरल करें ताकि एक मानक द्विघात समीकरण बन जाए। उसके बाद, द्विघात सूत्र का उपयोग करके मूल ज्ञात करें।

Question 10. (Contd.)
Answer:
(ii) दिए गए द्विघात समीकरण \( 2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0 \) की तुलना मानक रूप \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर, हमें \( a=2, b=-2\sqrt{2}, c=1 \) प्राप्त होता है।
अब, हम द्विघात सूत्र \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) का उपयोग करके समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं।
\( x = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} \)
\( \implies x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{4} \)
\( \implies x = \frac{2\sqrt{2} \pm 0}{4} \)
\( \implies x = \frac{2\sqrt{2}}{4} \)
\( \implies x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
इसे \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) के रूप में भी लिखा जा सकता है। इस समीकरण में, चूँकि विवेचक (discriminant) शून्य है, इसलिए हमें दो बराबर वास्तविक मूल मिलते हैं।
In simple words: समीकरण \( 2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0 \) में, \( a=2, b=-2\sqrt{2}, c=1 \) है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर, \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: यदि विवेचक \( b^2 - 4ac \) का मान शून्य आता है, तो द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और बराबर मूल होते हैं। \( \sqrt{0} \) हमेशा शून्य होता है।

Question 10. (Contd.)
Answer:
(iii) दिए गए द्विघात समीकरण \( \sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0 \) की तुलना मानक रूप \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर, हमें \( a=\sqrt{2}, b=7, c=5\sqrt{2} \) प्राप्त होता है।
अब, द्विघात सूत्र \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) का उपयोग करके मूलों को हल करते हैं।
\( x = \frac{-7 \pm \sqrt{(7)^2 - 4(\sqrt{2})(5\sqrt{2})}}{2(\sqrt{2})} \)
\( \implies x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2\sqrt{2}} \)
\( \implies x = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2\sqrt{2}} \)
\( \implies x = \frac{-7 \pm 3}{2\sqrt{2}} \)
दो संभावित मूल हैं:
\( x_1 = \frac{-7 + 3}{2\sqrt{2}} = \frac{-4}{2\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \)
\( x_2 = \frac{-7 - 3}{2\sqrt{2}} = \frac{-10}{2\sqrt{2}} = -\frac{5}{\sqrt{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{2} \)
इसलिए, समीकरण के मूल \( -\sqrt{2} \) और \( -\frac{5\sqrt{2}}{2} \) हैं। यह विधि विशेष रूप से तब उपयोगी होती है जब गुणांकों में वर्गमूल हों।
In simple words: समीकरण \( \sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0 \) में, \( a=\sqrt{2}, b=7, c=5\sqrt{2} \) है। द्विघात सूत्र का प्रयोग करने पर, \( x = -\sqrt{2} \) और \( x = -\frac{5\sqrt{2}}{2} \) मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: वर्गमूल वाले गुणांकों के साथ काम करते समय गणनाओं को ध्यान से करें, खासकर विवेचक \( b^2 - 4ac \) की गणना करते समय। \( \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a \) का उपयोग करें।

Question 10. (Contd.)
Answer:
(iv) पहले दिए गए भिन्न वाले समीकरण \( \frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} = 3 \) को सरल करते हैं ताकि इसे एक मानक द्विघात समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के रूप में लिखा जा सके।
बाईं ओर के भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर:
\( \frac{(x-2) - x}{x(x-2)} = 3 \)
\( \implies \frac{-2}{x^2 - 2x} = 3 \)
क्रॉस-गुणा करने पर:
\( \implies -2 = 3(x^2 - 2x) \)
\( \implies -2 = 3x^2 - 6x \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर, हमें यह द्विघात समीकरण मिलता है:
\( \implies 3x^2 - 6x + 2 = 0 \)
अब, द्विघात सूत्र \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) का उपयोग करते हैं, जहाँ \( a=3, b=-6, c=2 \) है।
\( x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} \)
\( \implies x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} \)
\( \implies x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} \)
\( \implies x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} \)
\( \implies x = \frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{6} \)
\( \implies x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3} \)
इसलिए, समीकरण के दो मूल \( \frac{3 + \sqrt{3}}{3} \) और \( \frac{3 - \sqrt{3}}{3} \) हैं। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि \( x \ne 0, 2 \) हैं ताकि हर शून्य न हो।
In simple words: समीकरण \( \frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} = 3 \) को हल करने के लिए, इसे \( 3x^2 - 6x + 2 = 0 \) के रूप में लिखते हैं। फिर, द्विघात सूत्र से, \( x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3} \) प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: भिन्न वाले समीकरणों में, समीकरण के प्रतिबंधों (जैसे \( x \neq 0, 2 \)) का ध्यान रखें। यदि कोई मूल इन प्रतिबंधों का उल्लंघन करता है, तो उसे अमान्य कर दिया जाता है।

Question 10. (Contd.)
Answer:
(v) समीकरण \( \frac{16}{x} - 1 = \frac{15}{x+1} \) को हल करने के लिए, हम पहले बाईं ओर के पदों को एक भिन्न के रूप में लिखते हैं:
\( \frac{16-x}{x} = \frac{15}{x+1} \)
अब, क्रॉस-गुणा करते हैं:
\( (16-x)(x+1) = 15x \)
\( \implies 16x + 16 - x^2 - x = 15x \)
\( \implies 15x + 16 - x^2 = 15x \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( \implies 16 - x^2 = 0 \)
\( \implies x^2 = 16 \)
दोनों ओर वर्गमूल लेने पर:
\( x = \pm \sqrt{16} \)
\( \implies x = \pm 4 \)
इसलिए, समीकरण के मूल \( 4 \) और \( -4 \) हैं। यह एक सरल द्विघात समीकरण है जो बिना द्विघात सूत्र के भी हल किया जा सकता है।
In simple words: पहले समीकरण \( \frac{16-x}{x} = \frac{15}{x+1} \) को सरल करते हैं। फिर, क्रॉस-गुणा करके \( x^2 = 16 \) प्राप्त करते हैं, जिससे \( x = \pm 4 \) मूल मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: जब समीकरण को सरल करने पर \( x^2 = k \) का रूप मिल जाए, तो \( x = \pm \sqrt{k} \) द्वारा मूल सीधे प्राप्त किए जा सकते हैं, जिससे द्विघात सूत्र का उपयोग करने से बचा जा सकता है।

Ex 4.1 Quadratic Equations विविध प्रश्न (Miscellaneous Problems)

Question 11. निम्नलिखित. समीकरणों को गुणनखण्ड विधि द्वारा हल करें (i) \( 2x^2 + x - 6 = 0 \) (NCERT)
(ii) \( 100x^2 – 20x + 1 = 0 \) (NCERT)
(iii) \( 2x^2 – x + \frac{1}{8} = 0 \) (NCERT)
Answer:
(i) दिए गए द्विघात समीकरण \( 2x^2 + x - 6 = 0 \) को गुणनखंड विधि से हल करने के लिए, हम मध्य पद को दो भागों में विभाजित करते हैं ताकि उनका गुणनफल पहले और अंतिम पद के गुणनफल के बराबर हो (यहाँ \( 2 \times -6 = -12 \) है, और \( 4 \times -3 = -12 \), \( 4 + (-3) = 1 \) है)।
\( 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 0 \)
अब, पहले दो पदों और अगले दो पदों में से सामान्य गुणनखंड निकालते हैं:
\( 2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0 \)
\( \implies (x + 2)(2x - 3) = 0 \)
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर सेट करने पर हमें x के मान मिलते हैं:
\( x + 2 = 0 \implies x = -2 \)
\( 2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \)
इसलिए, समीकरण के मूल \( -2 \) और \( \frac{3}{2} \) हैं। यह विधि तब सबसे अच्छी होती है जब मध्य पद को आसानी से विभाजित किया जा सके।
In simple words: समीकरण \( 2x^2 + x - 6 = 0 \) में, मध्य पद को \( 4x - 3x \) में बांटते हैं। गुणनखंड करने पर \( (x+2)(2x-3)=0 \) मिलता है, जिससे \( x=-2 \) और \( x=\frac{3}{2} \) मूल प्राप्त होते हैं।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड विधि का उपयोग करते समय, मध्य पद को इस तरह से विभाजित करें कि दो नए पदों का गुणनफल पहले और अंतिम पद के गुणनफल के बराबर हो, और उनका योग मध्य पद के बराबर हो।

Question 11. (Contd.)
Answer:
(ii) दिए गए द्विघात समीकरण \( 100x^2 - 20x + 1 = 0 \) को गुणनखंड विधि से हल करने के लिए, हम मध्य पद \( -20x \) को \( -10x - 10x \) में विभाजित करते हैं।
\( 100x^2 - 10x - 10x + 1 = 0 \)
अब, पहले दो पदों और अगले दो पदों में से सामान्य गुणनखंड निकालते हैं:
\( 10x(10x - 1) - 1(10x - 1) = 0 \)
\( \implies (10x - 1)(10x - 1) = 0 \)
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर सेट करने पर हमें x के मान मिलते हैं:
\( 10x - 1 = 0 \implies 10x = 1 \implies x = \frac{1}{10} \)
चूँकि दोनों गुणनखंड समान हैं, इसलिए समीकरण के दो बराबर मूल हैं। यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपदी का उदाहरण है, जिसे \( (10x-1)^2 = 0 \) के रूप में भी लिखा जा सकता है।
In simple words: समीकरण \( 100x^2 - 20x + 1 = 0 \) में, मध्य पद को \( -10x - 10x \) में बांटते हैं। गुणनखंड करने पर \( (10x-1)(10x-1)=0 \) मिलता है, जिससे \( x=\frac{1}{10} \) मूल प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: यदि गुणनखंड करने पर दो समान गुणनखंड प्राप्त होते हैं, तो समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल होते हैं। ऐसे समीकरण अक्सर एक पूर्ण वर्ग त्रिपदी (perfect square trinomial) होते हैं।

Question 11. (Contd.)
Answer:
(iii) दिए गए द्विघात समीकरण \( 2x^2 - x + \frac{1}{8} = 0 \) में भिन्न को हटाने के लिए, हम पूरी समीकरण को 8 से गुणा करते हैं।
\( 8(2x^2) - 8(x) + 8(\frac{1}{8}) = 8(0) \)
\( \implies 16x^2 - 8x + 1 = 0 \)
अब, हम मध्य पद \( -8x \) को \( -4x - 4x \) में विभाजित करके गुणनखंड करते हैं।
\( 16x^2 - 4x - 4x + 1 = 0 \)
पहले दो पदों और अगले दो पदों में से सामान्य गुणनखंड निकालते हैं:
\( 4x(4x - 1) - 1(4x - 1) = 0 \)
\( \implies (4x - 1)(4x - 1) = 0 \)
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर सेट करने पर:
\( 4x - 1 = 0 \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4} \)
चूँकि दोनों गुणनखंड समान हैं, समीकरण के दो बराबर मूल हैं। समीकरण को हल करने के लिए, भिन्न से छुटकारा पाना अक्सर पहला और सबसे आसान कदम होता है।
In simple words: पहले समीकरण को 8 से गुणा करके \( 16x^2 - 8x + 1 = 0 \) बनाते हैं। फिर, मध्य पद को \( -4x - 4x \) में बांटते हैं। गुणनखंड करने पर \( (4x-1)(4x-1)=0 \) मिलता है, जिससे \( x=\frac{1}{4} \) मूल प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: यदि समीकरण में भिन्न हैं, तो सबसे पहले पूरे समीकरण को भिन्नों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करके उन्हें हटा दें। इससे गणनाएँ सरल हो जाती हैं।

Question 12. x के लिए हल कीजिए – \( 12abx^2 – (9a^2 – 8b^2)x – 6ab = 0 \)
Answer: दिए गए समीकरण \( 12abx^2 – (9a^2 – 8b^2)x – 6ab = 0 \) को हल करने के लिए, हम मध्य पद \( -(9a^2 – 8b^2)x \) को \( -9a^2x + 8b^2x \) में विभाजित करते हैं।
\( 12abx^2 – 9a^2x + 8b^2x – 6ab = 0 \)
अब, पहले दो पदों और अगले दो पदों में से सामान्य गुणनखंड निकालते हैं:
\( 3ax(4bx – 3a) + 2b(4bx – 3a) = 0 \)
\( \implies (4bx – 3a)(3ax + 2b) = 0 \)
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर सेट करने पर हमें x के मान मिलते हैं:
\( 4bx – 3a = 0 \implies 4bx = 3a \implies x = \frac{3a}{4b} \)
\( 3ax + 2b = 0 \implies 3ax = -2b \implies x = -\frac{2b}{3a} \)
इसलिए, समीकरण के मूल \( \frac{3a}{4b} \) और \( -\frac{2b}{3a} \) हैं। यह समीकरण चर \( x \) के साथ-साथ \( a \) और \( b \) को गुणांकों के रूप में शामिल करता है, जो इसे थोड़ा अधिक जटिल बनाता है।
In simple words: समीकरण \( 12abx^2 – (9a^2 – 8b^2)x – 6ab = 0 \) में, मध्य पद को \( -9a^2x + 8b^2x \) में बांटते हैं। गुणनखंड करने पर \( (4bx-3a)(3ax+2b)=0 \) मिलता है, जिससे \( x=\frac{3a}{4b} \) और \( x=-\frac{2b}{3a} \) मूल प्राप्त होते हैं।

🎯 Exam Tip: जब समीकरण में अन्य चर (जैसे \( a, b \)) शामिल हों, तो उन्हें संख्याओं की तरह ही मानें और मध्य पद को विभाजित करने के लिए समान गुणनखंड विधि का उपयोग करें।

Question 13. समीकरण \( 4x^2 – 2x + \frac{1}{4} = 0 \) को पूर्ण वर्ग बनाने वाली विधि द्वारा ज्ञात कीजिए। (NCERT)
Answer: दिए गए समीकरण \( 4x^2 – 2x + \frac{1}{4} = 0 \) को पूर्ण वर्ग विधि से हल करने के लिए, हम पहले \( x^2 \) के गुणांक को 1 बनाते हैं, इसके लिए पूरी समीकरण को 4 से भाग देते हैं।
\( x^2 – \frac{2}{4}x + \frac{1}{16} = 0 \)
\( \implies x^2 – \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = 0 \)
स्थिर पद को दाईं ओर ले जाते हैं:
\( x^2 – \frac{1}{2}x = -\frac{1}{16} \)
अब, पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हम \( x \) के गुणांक (जो \( -\frac{1}{2} \) है) के आधे का वर्ग, यानी \( (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16} \) को समीकरण के दोनों ओर जोड़ते हैं।
\( x^2 – \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 = (\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} \)
\( \implies (x - \frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16} - \frac{1}{16} \)
\( \implies (x - \frac{1}{4})^2 = 0 \)
दोनों ओर वर्गमूल लेने पर:
\( x - \frac{1}{4} = 0 \)
\( \implies x = \frac{1}{4} \)
इसलिए, समीकरण के दोनों मूल \( \frac{1}{4} \) हैं। यह विधि किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करती है।
In simple words: समीकरण \( 4x^2 – 2x + \frac{1}{4} = 0 \) को पूर्ण वर्ग विधि से हल करने के लिए, इसे \( (x - \frac{1}{4})^2 = 0 \) के रूप में बदलते हैं। इससे हमें \( x = \frac{1}{4} \) के दो बराबर मूल मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते समय, \( x^2 \) के गुणांक को 1 बनाना पहला महत्वपूर्ण कदम है। फिर, \( x \) के गुणांक के आधे के वर्ग को दोनों पक्षों में जोड़ें।

Question 14. x के लिए हल कीजिए – \( 4x^2 – 4a^2x + a^4 – b^4 = 0 \)
Answer: दिए गए समीकरण \( 4x^2 – 4a^2x + a^4 – b^4 = 0 \) को हल करने के लिए, हम मध्य पद \( -4a^2x \) को \( -(2a^2 + b^2)x - (2a^2 - b^2)x \) में विभाजित करते हैं। साथ ही, स्थिर पद \( a^4 - b^4 \) को \( (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) के रूप में लिखते हैं।
\( 4x^2 – (2a^2 + b^2)x – (2a^2 – b^2)x + (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = 0 \)
अब, सामान्य गुणनखंड निकालने के लिए पदों को समूहबद्ध करते हैं:
पहले दो पदों से \( 2x \) सामान्य निकालते हैं, और अगले दो पदों से \( -(a^2 – b^2) \) सामान्य निकालते हैं।
\( 2x\{2x – (a^2 + b^2)\} – (a^2 – b^2)\{2x – (a^2 + b^2)\} = 0 \)
\( \implies \{2x – (a^2 + b^2)\}\{2x – (a^2 – b^2)\} = 0 \)
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर सेट करने पर हमें x के मान मिलते हैं:
\( 2x – (a^2 + b^2) = 0 \implies 2x = a^2 + b^2 \implies x = \frac{a^2 + b^2}{2} \)
\( 2x – (a^2 – b^2) = 0 \implies 2x = a^2 – b^2 \implies x = \frac{a^2 – b^2}{2} \)
इसलिए, समीकरण के मूल \( \frac{a^2 + b^2}{2} \) और \( \frac{a^2 – b^2}{2} \) हैं। यह गुणनखंड विधि तब बहुत कुशल होती है जब पद इस तरह से व्यवस्थित हों कि समूह बनाना संभव हो।
In simple words: समीकरण \( 4x^2 – 4a^2x + a^4 – b^4 = 0 \) में, मध्य पद को बांटते हैं और पदों को समूह में रखकर गुणनखंड करते हैं। इससे \( (2x – (a^2 + b^2))(2x – (a^2 – b^2)) = 0 \) मिलता है, जिससे \( x=\frac{a^2+b^2}{2} \) और \( x=\frac{a^2-b^2}{2} \) मूल प्राप्त होते हैं।

🎯 Exam Tip: जब गुणांकों में चर (जैसे \( a, b \)) हों, तो मध्य पद को सावधानी से विभाजित करें और स्थिर पद को भी गुणनखंडित करके \( (A-B)(A+B) \) रूप में लिखने का प्रयास करें।

Question 15. x के लिए हल कीजिए – \( 9x^2 – 9(a + b)x + (2a^2 + 5ab + 2b^2) = 0 \)
Answer: दिए गए द्विघात समीकरण \( 9x^2 – 9(a + b)x + (2a^2 + 5ab + 2b^2) = 0 \) को हल करने के लिए, हम द्विघात सूत्र \( x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \) का उपयोग करते हैं।
यहां, \( A = 9 \), \( B = -9(a+b) \), और \( C = 2a^2 + 5ab + 2b^2 \)।
पहले, स्थिर पद \( C \) का गुणनखंड करते हैं: \( 2a^2 + 5ab + 2b^2 = (a+2b)(2a+b) \)।
अब, \( A, B, C \) के मानों को द्विघात सूत्र में रखते हैं:
\( x = \frac{-(-9(a+b)) \pm \sqrt{(-9(a+b))^2 - 4(9)((a+2b)(2a+b))}}{2(9)} \)
\( \implies x = \frac{9(a+b) \pm \sqrt{81(a^2+2ab+b^2) - 36(2a^2+5ab+2b^2)}}{18} \)
\( \implies x = \frac{9(a+b) \pm \sqrt{81a^2+162ab+81b^2 - 72a^2-180ab-72b^2}}{18} \)
\( \implies x = \frac{9(a+b) \pm \sqrt{9a^2 - 18ab + 9b^2}}{18} \)
\( \implies x = \frac{9(a+b) \pm \sqrt{9(a-b)^2}}{18} \)
\( \implies x = \frac{9(a+b) \pm 3(a-b)}{18} \)
अब, x के दो संभावित मान ज्ञात करते हैं:
\( x_1 = \frac{9(a+b) + 3(a-b)}{18} = \frac{9a+9b+3a-3b}{18} = \frac{12a+6b}{18} = \frac{6(2a+b)}{18} = \frac{2a+b}{3} \)
\( x_2 = \frac{9(a+b) - 3(a-b)}{18} = \frac{9a+9b-3a+3b}{18} = \frac{6a+12b}{18} = \frac{6(a+2b)}{18} = \frac{a+2b}{3} \)
इसलिए, समीकरण के मूल \( \frac{2a+b}{3} \) और \( \frac{a+2b}{3} \) हैं। यह दिखाता है कि द्विघात सूत्र कैसे जटिल बीजीय समीकरणों को भी हल करने में मदद कर सकता है।
In simple words: समीकरण \( 9x^2 – 9(a + b)x + (2a^2 + 5ab + 2b^2) = 0 \) में, द्विघात सूत्र का उपयोग करते हैं। गणना करने पर, हमें \( x = \frac{9(a+b) \pm 3(a-b)}{18} \) मिलता है, जिससे \( x = \frac{2a+b}{3} \) और \( x = \frac{a+2b}{3} \) मूल प्राप्त होते हैं।

🎯 Exam Tip: जब द्विघात समीकरण में चर गुणांक हों, तो स्थिर पद का गुणनखंड करना और फिर सावधानीपूर्वक द्विघात सूत्र का उपयोग करना महत्वपूर्ण है। वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को हमेशा सरलतम रूप में लाएँ।