UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations Ex 42

निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए

Question 1. \( x^4 – 8x^2 – 9 = 0 \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( x^4 – 8x^2 – 9 = 0 \) ...(1)
माना \( x^2 = y \) है। इस मान को समीकरण (1) में रखने पर:
\( y^2 – 8y – 9 = 0 \)
अब इस समीकरण को हल करते हैं:
\( y^2 – 9y + y – 9 = 0 \)
\( \implies \) \( y(y – 9) + 1(y – 9) = 0 \)
\( \implies \) \( (y – 9)(y + 1) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( y = 9 \) या \( y = -1 \)
अब y के मानों को वापस \( x^2 = y \) में रखते हैं:
जब \( y = 9 \), तब \( x^2 = 9 \)
\( \implies \) \( x = \pm\sqrt{9} \)
\( \implies \) \( x = \pm3 \)
जब \( y = -1 \), तब \( x^2 = -1 \)
\( \implies \) \( x = \pm\sqrt{-1} \)
\( \implies \) \( x = \pm i \) (जहाँ i एक काल्पनिक संख्या है)
तो, समीकरण के हल हैं \( (\pm3, \pm i) \)। ये मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
In simple words: हमने पहले \( x^2 \) को \( y \) माना, जिससे समीकरण एक साधारण द्विघात समीकरण बन गया। इसे हल करने पर \( y \) के मान मिले, जिन्हें वापस \( x^2 \) में रखकर हमने \( x \) के मान निकाले।

🎯 Exam Tip: जब घात 4 का समीकरण हो, तो अक्सर \( x^2 \) को एक नए चर (जैसे y) से प्रतिस्थापित करके उसे द्विघात समीकरण में बदलना आसान होता है। याद रखें कि \( x^2 = -1 \) का हल \( x = \pm i \) होता है।

Question 2. \( 4x^4 – 5x^2 + 1 = 0 \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( 4x^4 – 5x^2 + 1 = 0 \)
हम इसे \( 4(x^2)^2 – 5x^2 + 1 = 0 \) ऐसे भी लिख सकते हैं ...(1)
माना \( x^2 = y \) है। इस मान को समीकरण (1) में रखने पर:
\( 4y^2 – 5y + 1 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( 4y^2 – 4y – y + 1 = 0 \)
\( \implies \) \( 4y(y - 1) – 1(y - 1) = 0 \)
\( \implies \) \( (4y - 1)(y - 1) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( 4y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{4} \)
और
\( y - 1 = 0 \implies y = 1 \)
अब y के मानों को वापस \( x^2 = y \) में रखते हैं:
जब \( y = \frac{1}{4} \), तब \( x^2 = \frac{1}{4} \)
\( \implies \) \( x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} \)
\( \implies \) \( x = \pm\frac{1}{2} \)
जब \( y = 1 \), तब \( x^2 = 1 \)
\( \implies \) \( x = \pm\sqrt{1} \)
\( \implies \) \( x = \pm1 \)
तो, समीकरण के हल हैं \( (\pm\frac{1}{2}, \pm1) \)।
In simple words: हमने \( x^2 \) की जगह \( y \) रखकर समीकरण को सरल बनाया। फिर \( y \) के मान निकाले और उन्हें वापस \( x^2 \) में रखकर \( x \) के सही मान पाए।

🎯 Exam Tip: ऐसे समीकरणों में, \( x^2 \) को प्रतिस्थापित करने के बाद, मिले हुए \( y \) के मानों के लिए \( x \) के दोनों धनात्मक और ऋणात्मक वर्गमूलों को लेना न भूलें।

Question 3. \( \left(\frac{x – a}{x + a}\right)^{2} – 5\left(\frac{x – a}{x + a}\right) + 6 = 0 \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( \left(\frac{x – a}{x + a}\right)^{2} – 5\left(\frac{x – a}{x + a}\right) + 6 = 0 \)
माना \( y = \frac{x – a}{x + a} \) है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
\( y^2 – 5y + 6 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( y^2 – 2y – 3y + 6 = 0 \)
\( \implies \) \( y(y – 2) – 3(y – 2) = 0 \)
\( \implies \) \( (y – 2)(y – 3) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( y = 2 \) या \( y = 3 \)
अब y के मानों को वापस \( y = \frac{x – a}{x + a} \) में रखते हैं:
जब \( y = 2 \), तब \( \frac{x – a}{x + a} = 2 \)
\( \implies \) \( x – a = 2(x + a) \)
\( \implies \) \( x – a = 2x + 2a \)
\( \implies \) \( x – 2x = 2a + a \)
\( \implies \) \( -x = 3a \)
\( \implies \) \( x = -3a \)
जब \( y = 3 \), तब \( \frac{x – a}{x + a} = 3 \)
\( \implies \) \( x – a = 3(x + a) \)
\( \implies \) \( x – a = 3x + 3a \)
\( \implies \) \( x – 3x = 3a + a \)
\( \implies \) \( -2x = 4a \)
\( \implies \) \( x = -2a \)
तो, समीकरण के हल क्रमशः \( -2a, -3a \) हैं।
In simple words: हमने पूरे भिन्न को \( y \) मानकर समीकरण को सरल किया। फिर \( y \) के मान निकाले और उन्हें वापस भिन्न वाले समीकरण में रखकर \( x \) के मान पता किए।

🎯 Exam Tip: जब कोई जटिल व्यंजक समीकरण में बार-बार दोहराया जाए, तो उसे एक नए चर से प्रतिस्थापित करना हल करने की प्रक्रिया को बहुत आसान बना देता है।

Question 4. \( x^{-2} – 12 = -x^{-1} \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( x^{-2} – 12 = -x^{-1} \)
इसे \( \frac{1}{x^2} - 12 = -\frac{1}{x} \) ऐसे भी लिख सकते हैं।
इसे व्यवस्थित करने पर हमें मिलता है:
\( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} - 12 = 0 \)
माना \( y = \frac{1}{x} \) है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
\( y^2 + y – 12 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( y^2 + 4y – 3y – 12 = 0 \)
\( \implies \) \( y(y + 4) – 3(y + 4) = 0 \)
\( \implies \) \( (y – 3)(y + 4) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( y = 3 \) या \( y = -4 \)
अब y के मानों को वापस \( y = \frac{1}{x} \) में रखते हैं:
जब \( y = 3 \), तब \( \frac{1}{x} = 3 \)
\( \implies \) \( x = \frac{1}{3} \)
जब \( y = -4 \), तब \( \frac{1}{x} = -4 \)
\( \implies \) \( x = -\frac{1}{4} \)
तो, समीकरण के हल हैं \( \frac{1}{3}, -\frac{1}{4} \)।
In simple words: हमने नकारात्मक घातों को भिन्नों में बदला और फिर \( \frac{1}{x} \) को \( y \) मानकर समीकरण को सरल किया। \( y \) के मान निकालने के बाद, हमने \( x \) के मान प्राप्त करने के लिए उन्हें वापस रखा।

🎯 Exam Tip: नकारात्मक घातों को हमेशा भिन्नों में बदलकर समीकरण को हल करना आसान होता है। सुनिश्चित करें कि आप \( \frac{1}{x} \) के मानों को पलटना न भूलें।

Question 5. \( (x^2 – 3x + 3)^2 – (x – 1)(x – 2) = 7 \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( (x^2 – 3x + 3)^2 – (x – 1)(x – 2) = 7 \)
पहले \( (x – 1)(x – 2) \) को गुणा करते हैं:
\( (x – 1)(x – 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2 \)
अब समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( (x^2 – 3x + 2 + 1)^2 – (x^2 – 3x + 2) = 7 \) ...(1)
माना \( x^2 – 3x + 2 = y \) है। इस मान को समीकरण (1) में रखने पर:
\( (y + 1)^2 – y = 7 \)
\( \implies \) \( y^2 + 1 + 2y – y = 7 \)
\( \implies \) \( y^2 + y + 1 = 7 \)
\( \implies \) \( y^2 + y – 6 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( y^2 + 3y – 2y – 6 = 0 \)
\( \implies \) \( y(y + 3) – 2(y + 3) = 0 \)
\( \implies \) \( (y – 2)(y + 3) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( y = 2 \) या \( y = -3 \)
अब y के मानों को वापस \( x^2 – 3x + 2 = y \) में रखते हैं:
जब \( y = 2 \), तब \( x^2 – 3x + 2 = 2 \)
\( \implies \) \( x^2 – 3x = 0 \)
\( \implies \) \( x(x - 3) = 0 \)
\( \implies \) \( x = 0 \) या \( x = 3 \)
जब \( y = -3 \), तब \( x^2 – 3x + 2 = -3 \)
\( \implies \) \( x^2 – 3x + 2 + 3 = 0 \)
\( \implies \) \( x^2 – 3x + 5 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को सूत्र विधि से हल करते हैं \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
\( x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times 5}}{2 \times 1} \)
\( x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2} \)
\( x = \frac{3 \pm \sqrt{-11}}{2} \)
\( x = \frac{3 \pm \sqrt{11}i}{2} \)
तो, समीकरण के हल हैं \( 0, 3, \frac{3 \pm i\sqrt{11}}{2} \)। इसमें कुछ हल काल्पनिक संख्याएं हैं।
In simple words: हमने पहले \( (x-1)(x-2) \) को सरल किया, फिर \( x^2 - 3x + 2 \) को \( y \) मानकर समीकरण को द्विघात रूप में बदला। \( y \) के मान निकालने के बाद, उन्हें वापस रखकर \( x \) के मान प्राप्त किए, जिसमें कुछ मान काल्पनिक थे।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले जटिल व्यंजकों को सरल करें। फिर, यदि संभव हो, तो एक सामान्य पद को प्रतिस्थापित करके समीकरण को एक सरल द्विघात समीकरण में बदलें। काल्पनिक हल को सही ढंग से लिखें।

Question 6. \( (x^2 – 5x)^2 – 30(x^2 – 5x) – 216 = 0 \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( (x^2 – 5x)^2 – 30(x^2 – 5x) – 216 = 0 \) ...(1)
माना \( x^2 – 5x = y \) है। इस मान को समीकरण (1) में रखने पर:
\( y^2 – 30y – 216 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( y^2 – 36y + 6y – 216 = 0 \)
\( \implies \) \( y(y – 36) + 6(y – 36) = 0 \)
\( \implies \) \( (y + 6)(y – 36) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( y = -6 \) या \( y = 36 \)
अब y के मानों को वापस \( x^2 – 5x = y \) में रखते हैं:
जब \( y = -6 \), तब \( x^2 – 5x = -6 \)
\( \implies \) \( x^2 – 5x + 6 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( x^2 – 3x - 2x + 6 = 0 \)
\( \implies \) \( x(x - 3) – 2(x – 3) = 0 \)
\( \implies \) \( (x - 2)(x - 3) = 0 \)
\( \implies \) \( x = 2 \) या \( x = 3 \)
जब \( y = 36 \), तब \( x^2 – 5x = 36 \)
\( \implies \) \( x^2 – 5x - 36 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( x^2 – 9x + 4x - 36 = 0 \)
\( \implies \) \( x(x – 9) + 4(x – 9) = 0 \)
\( \implies \) \( (x + 4)(x – 9) = 0 \)
\( \implies \) \( x = -4 \) या \( x = 9 \)
तो, समीकरण के हल हैं \( 2, 3, -4, 9 \)। यह एक चौथे घात का समीकरण था, इसलिए हमें चार हल मिले हैं।
In simple words: हमने \( x^2 - 5x \) को \( y \) मानकर समीकरण को हल किया। \( y \) के दो मान मिले, जिन्हें वापस \( x^2 - 5x \) में रखने पर हमें \( x \) के कुल चार मान मिले।

🎯 Exam Tip: चतुर्थ घात के समीकरणों में अक्सर चार हल होते हैं। हर बार प्रतिस्थापन के बाद, नए द्विघात समीकरण को सावधानी से हल करें और सभी संभावित मानों को प्राप्त करें।

Question 7. \( (x^2 – 5x + 7)^2 – (x – 2)(x – 3) = 1 \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( (x^2 – 5x + 7)^2 – (x – 2)(x – 3) = 1 \)
पहले \( (x – 2)(x – 3) \) को गुणा करते हैं:
\( (x – 2)(x – 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6 \)
अब समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( (x^2 – 5x + 6 + 1)^2 – (x^2 – 5x + 6) = 1 \) ...(1)
माना \( x^2 – 5x + 6 = y \) है। इस मान को समीकरण (1) में रखने पर:
\( (y + 1)^2 – y = 1 \)
\( \implies \) \( y^2 + 2y + 1 – y = 1 \)
\( \implies \) \( y^2 + y + 1 = 1 \)
\( \implies \) \( y^2 + y = 0 \)
\( \implies \) \( y(y + 1) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( y = 0 \) या \( y = -1 \)
अब y के मानों को वापस \( x^2 – 5x + 6 = y \) में रखते हैं:
जब \( y = 0 \), तब \( x^2 – 5x + 6 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( x^2 – 2x – 3x + 6 = 0 \)
\( \implies \) \( x(x – 2) – 3(x – 2) = 0 \)
\( \implies \) \( (x - 2)(x - 3) = 0 \)
\( \implies \) \( x = 2 \) या \( x = 3 \)
जब \( y = -1 \), तब \( x^2 – 5x + 6 = -1 \)
\( \implies \) \( x^2 – 5x + 7 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को सूत्र विधि से हल करते हैं \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
\( x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times 7}}{2 \times 1} \)
\( x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 28}}{2} \)
\( x = \frac{5 \pm \sqrt{-3}}{2} \)
\( x = \frac{5 \pm i\sqrt{3}}{2} \)
तो, समीकरण के हल हैं \( 2, 3, \frac{5 \pm i\sqrt{3}}{2} \)।
In simple words: हमने समीकरण के एक हिस्से को गुणा करके सरल बनाया, फिर \( x^2 - 5x + 6 \) को \( y \) मानकर समीकरण को हल किया। \( y \) के मानों से हमें \( x \) के वास्तविक और काल्पनिक दोनों प्रकार के हल मिले।

🎯 Exam Tip: ऐसे जटिल समीकरणों में, सामान्य पदों को पहचानने और उन्हें प्रतिस्थापित करने से समीकरण बहुत आसान हो जाता है। काल्पनिक हल निकालते समय \( \sqrt{-k} = i\sqrt{k} \) का ध्यान रखें।

Question 8. \( 12x^4 – 56x^3 + 89x^2 – 56x + 12 = 0 \)
Answer: दिया गया समीकरण एक सममित समीकरण है:
\( 12x^4 – 56x^3 + 89x^2 – 56x + 12 = 0 \)
दोनों पक्षों में \( x^2 \) से भाग देने पर (चूंकि \( x=0 \) इस समीकरण का हल नहीं है):
\( 12x^2 – 56x + 89 – \frac{56}{x} + \frac{12}{x^2} = 0 \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( 12\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) – 56\left(x + \frac{1}{x}\right) + 89 = 0 \) ...(1)
माना \( x + \frac{1}{x} = y \) है।
तो, \( \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = y^2 \)
\( \implies \) \( x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = y^2 \)
\( \implies \) \( x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 – 2 \)
अब \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) और \( x + \frac{1}{x} \) के मानों को समीकरण (1) में रखने पर:
\( 12(y^2 – 2) – 56y + 89 = 0 \)
\( \implies \) \( 12y^2 – 24 – 56y + 89 = 0 \)
\( \implies \) \( 12y^2 – 56y + 65 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को सूत्र विधि से हल करते हैं \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
\( y = \frac{-(-56) \pm \sqrt{(-56)^2 - 4 \times 12 \times 65}}{2 \times 12} \)
\( y = \frac{56 \pm \sqrt{3136 - 3120}}{24} \)
\( y = \frac{56 \pm \sqrt{16}}{24} \)
\( y = \frac{56 \pm 4}{24} \)
y के दो मान मिलते हैं:
\( y_1 = \frac{56 + 4}{24} = \frac{60}{24} = \frac{5}{2} \)
\( y_2 = \frac{56 - 4}{24} = \frac{52}{24} = \frac{13}{6} \)
अब y के मानों को वापस \( x + \frac{1}{x} = y \) में रखते हैं:
जब \( y = \frac{5}{2} \), तब \( x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \)
\( \implies \) \( \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{5}{2} \)
\( \implies \) \( 2(x^2 + 1) = 5x \)
\( \implies \) \( 2x^2 + 2 = 5x \)
\( \implies \) \( 2x^2 – 5x + 2 = 0 \)
इसे गुणनखंड विधि से हल करते हैं:
\( 2x^2 – 4x - x + 2 = 0 \)
\( \implies \) \( 2x(x - 2) – 1(x - 2) = 0 \)
\( \implies \) \( (x - 2)(2x - 1) = 0 \)
\( \implies \) \( x = 2 \) या \( x = \frac{1}{2} \)
जब \( y = \frac{13}{6} \), तब \( x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6} \)
\( \implies \) \( \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{13}{6} \)
\( \implies \) \( 6(x^2 + 1) = 13x \)
\( \implies \) \( 6x^2 + 6 = 13x \)
\( \implies \) \( 6x^2 – 13x + 6 = 0 \)
इसे गुणनखंड विधि से हल करते हैं:
\( 6x^2 – 9x – 4x + 6 = 0 \)
\( \implies \) \( 3x(2x - 3) – 2(2x - 3) = 0 \)
\( \implies \) \( (3x - 2)(2x - 3) = 0 \)
\( \implies \) \( x = \frac{2}{3} \) या \( x = \frac{3}{2} \)
तो, समीकरण के हल हैं \( 2, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2} \)। यह एक विशेष प्रकार का समीकरण है।
In simple words: यह एक विशेष प्रकार का समीकरण है जहाँ गुणांक सममित होते हैं। हमने \( x^2 \) से भाग दिया और फिर \( x + \frac{1}{x} \) को \( y \) मानकर समीकरण को सरल किया। \( y \) के मान निकालने के बाद, उन्हें वापस रखकर \( x \) के चार मान प्राप्त किए।

🎯 Exam Tip: सममित समीकरणों को हल करने के लिए \( x^2 \) से भाग देना और \( x + \frac{1}{x} \) या \( x - \frac{1}{x} \) को प्रतिस्थापित करना एक मानक तरीका है। सभी चार मानों को सावधानीपूर्वक निकालें।

Question 9. निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए: \( \frac{3x+1}{x+1} + \frac{x+1}{3x+1} = \frac{5}{2} \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( \frac{3x+1}{x+1} + \frac{x+1}{3x+1} = \frac{5}{2} \)
माना \( y = \frac{3x+1}{x+1} \) है। तो, दूसरा पद \( \frac{x+1}{3x+1} = \frac{1}{y} \) होगा।
समीकरण में ये मान रखने पर:
\( y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2} \)
\( \implies \) \( \frac{y^2 + 1}{y} = \frac{5}{2} \)
\( \implies \) \( 2(y^2 + 1) = 5y \)
\( \implies \) \( 2y^2 + 2 = 5y \)
\( \implies \) \( 2y^2 – 5y + 2 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( 2y^2 – 4y – y + 2 = 0 \)
\( \implies \) \( 2y(y – 2) – 1(y – 2) = 0 \)
\( \implies \) \( (y – 2)(2y – 1) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( y = 2 \) या \( y = \frac{1}{2} \)
अब y के मानों को वापस \( y = \frac{3x+1}{x+1} \) में रखते हैं:
जब \( y = 2 \), तब \( \frac{3x+1}{x+1} = 2 \)
\( \implies \) \( 3x + 1 = 2(x + 1) \)
\( \implies \) \( 3x + 1 = 2x + 2 \)
\( \implies \) \( 3x – 2x = 2 – 1 \)
\( \implies \) \( x = 1 \)
जब \( y = \frac{1}{2} \), तब \( \frac{3x+1}{x+1} = \frac{1}{2} \)
\( \implies \) \( 2(3x + 1) = 1(x + 1) \)
\( \implies \) \( 6x + 2 = x + 1 \)
\( \implies \) \( 6x – x = 1 – 2 \)
\( \implies \) \( 5x = -1 \)
\( \implies \) \( x = -\frac{1}{5} \)
तो, समीकरण के हल हैं \( 1, -\frac{1}{5} \)।
In simple words: हमने देखा कि समीकरण में एक भिन्न और उसका व्युत्क्रम था। इसलिए हमने भिन्न को \( y \) मानकर समीकरण को एक सरल द्विघात समीकरण में बदल दिया। फिर \( y \) के मान निकाल कर \( x \) के मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: जब समीकरण में कोई व्यंजक और उसका व्युत्क्रम दोनों हों, तो व्यंजक को एक नए चर से प्रतिस्थापित करना एक बहुत ही प्रभावी तकनीक है।

Question 10. निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए: \( \frac{x}{1+x} + \frac{1+x}{x} = \frac{13}{6} \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( \frac{x}{1+x} + \frac{1+x}{x} = \frac{13}{6} \)
माना \( y = \frac{x}{1+x} \) है। तो, दूसरा पद \( \frac{1+x}{x} = \frac{1}{y} \) होगा।
समीकरण में ये मान रखने पर:
\( y + \frac{1}{y} = \frac{13}{6} \)
\( \implies \) \( \frac{y^2 + 1}{y} = \frac{13}{6} \)
\( \implies \) \( 6(y^2 + 1) = 13y \)
\( \implies \) \( 6y^2 + 6 = 13y \)
\( \implies \) \( 6y^2 – 13y + 6 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( 6y^2 – 9y – 4y + 6 = 0 \)
\( \implies \) \( 3y(2y – 3) – 2(2y – 3) = 0 \)
\( \implies \) \( (2y – 3)(3y – 2) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( 2y – 3 = 0 \implies y = \frac{3}{2} \)
या
\( 3y – 2 = 0 \implies y = \frac{2}{3} \)
अब y के मानों को वापस \( y = \frac{x}{1+x} \) में रखते हैं:
जब \( y = \frac{3}{2} \), तब \( \frac{x}{1+x} = \frac{3}{2} \)
\( \implies \) \( 2x = 3(1 + x) \)
\( \implies \) \( 2x = 3 + 3x \)
\( \implies \) \( 2x – 3x = 3 \)
\( \implies \) \( -x = 3 \)
\( \implies \) \( x = -3 \)
जब \( y = \frac{2}{3} \), तब \( \frac{x}{1+x} = \frac{2}{3} \)
\( \implies \) \( 3x = 2(1 + x) \)
\( \implies \) \( 3x = 2 + 2x \)
\( \implies \) \( 3x – 2x = 2 \)
\( \implies \) \( x = 2 \)
तो, समीकरण के हल हैं \( -3, 2 \)।
In simple words: हमने समीकरण में मौजूद भिन्न को \( y \) माना, जिससे यह एक साधारण द्विघात समीकरण बन गया। इसे हल करने पर हमें \( y \) के दो मान मिले, जिन्हें वापस \( x \) के लिए रखकर हमने अंततः \( x \) के मान प्राप्त किए।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, यह पहचानना महत्वपूर्ण है कि एक भिन्न और उसका व्युत्क्रम मौजूद हैं। प्रतिस्थापन विधि से समीकरण को हल करना काफी आसान हो जाता है।

Question 11. \( \frac{4x-1}{4x+1} + \frac{4x+1}{4x-1} = \frac{10}{3} \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( \frac{4x-1}{4x+1} + \frac{4x+1}{4x-1} = \frac{10}{3} \)
माना \( y = \frac{4x-1}{4x+1} \) है। तो, दूसरा पद \( \frac{4x+1}{4x-1} = \frac{1}{y} \) होगा।
समीकरण में ये मान रखने पर:
\( y + \frac{1}{y} = \frac{10}{3} \)
\( \implies \) \( \frac{y^2 + 1}{y} = \frac{10}{3} \)
\( \implies \) \( 3(y^2 + 1) = 10y \)
\( \implies \) \( 3y^2 + 3 = 10y \)
\( \implies \) \( 3y^2 – 10y + 3 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( 3y^2 – 9y – y + 3 = 0 \)
\( \implies \) \( 3y(y – 3) – 1(y – 3) = 0 \)
\( \implies \) \( (y – 3)(3y – 1) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( y = 3 \) या \( y = \frac{1}{3} \)
अब y के मानों को वापस \( y = \frac{4x-1}{4x+1} \) में रखते हैं:
जब \( y = 3 \), तब \( \frac{4x-1}{4x+1} = 3 \)
\( \implies \) \( 4x – 1 = 3(4x + 1) \)
\( \implies \) \( 4x – 1 = 12x + 3 \)
\( \implies \) \( 4x – 12x = 3 + 1 \)
\( \implies \) \( -8x = 4 \)
\( \implies \) \( x = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} \)
जब \( y = \frac{1}{3} \), तब \( \frac{4x-1}{4x+1} = \frac{1}{3} \)
\( \implies \) \( 3(4x – 1) = 1(4x + 1) \)
\( \implies \) \( 12x – 3 = 4x + 1 \)
\( \implies \) \( 12x – 4x = 1 + 3 \)
\( \implies \) \( 8x = 4 \)
\( \implies \) \( x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
तो, समीकरण के हल हैं \( \pm\frac{1}{2} \)।
In simple words: हमने एक जटिल भिन्न को \( y \) मानकर समीकरण को सरल बनाया। फिर \( y \) के मान निकाले और उन्हें वापस वास्तविक भिन्न में रखकर \( x \) के मान प्राप्त किए, जो \( \frac{1}{2} \) और \( -\frac{1}{2} \) थे।

🎯 Exam Tip: यह एक सामान्य पैटर्न है जहाँ एक व्यंजक और उसका व्युत्क्रम मौजूद होते हैं। प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके हल करना कुशल है और गणना संबंधी त्रुटियों से बचाता है।

Question 12. \( 5^{1+x} + 5^{1-x} = 26 \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( 5^{1+x} + 5^{1-x} = 26 \)
घात के नियमों का उपयोग करके इसे सरल करते हैं:
\( 5^1 \cdot 5^x + 5^1 \cdot 5^{-x} = 26 \)
\( 5 \cdot 5^x + 5 \cdot \frac{1}{5^x} = 26 \)
दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर:
\( 5^x + \frac{1}{5^x} = \frac{26}{5} \)
माना \( 5^x = y \) है। तो \( \frac{1}{5^x} = \frac{1}{y} \) होगा।
समीकरण में ये मान रखने पर:
\( y + \frac{1}{y} = \frac{26}{5} \)
\( \implies \) \( \frac{y^2 + 1}{y} = \frac{26}{5} \)
\( \implies \) \( 5(y^2 + 1) = 26y \)
\( \implies \) \( 5y^2 + 5 = 26y \)
\( \implies \) \( 5y^2 – 26y + 5 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( 5y^2 – 25y – y + 5 = 0 \)
\( \implies \) \( 5y(y – 5) – 1(y – 5) = 0 \)
\( \implies \) \( (y – 5)(5y – 1) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( y = 5 \) या \( y = \frac{1}{5} \)
अब y के मानों को वापस \( 5^x = y \) में रखते हैं:
जब \( y = 5 \), तब \( 5^x = 5 \)
\( \implies \) \( 5^x = 5^1 \)
घातों की तुलना करने पर:
\( x = 1 \)
जब \( y = \frac{1}{5} \), तब \( 5^x = \frac{1}{5} \)
\( \implies \) \( 5^x = 5^{-1} \)
घातों की तुलना करने पर:
\( x = -1 \)
तो, समीकरण के हल हैं \( 1, -1 \)।
In simple words: हमने घातों को अलग करके समीकरण को सरल बनाया, फिर \( 5^x \) को \( y \) मानकर एक द्विघात समीकरण प्राप्त किया। \( y \) के मान निकालने के बाद, उन्हें वापस \( 5^x \) में रखकर \( x \) के मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: घातांक वाले समीकरणों को हल करते समय, घात के नियमों का उपयोग करके पदों को सरल करना महत्वपूर्ण है। फिर उपयुक्त प्रतिस्थापन का उपयोग करके एक मानक द्विघात समीकरण प्राप्त करें।

Question 13. \( 5^{x+1} + 5^{2-x} = 5^3 + 1 \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( 5^{x+1} + 5^{2-x} = 5^3 + 1 \)
घात के नियमों का उपयोग करके इसे सरल करते हैं:
\( 5^x \cdot 5^1 + 5^2 \cdot 5^{-x} = 125 + 1 \)
\( 5 \cdot 5^x + \frac{25}{5^x} = 126 \)
माना \( 5^x = y \) है। तो \( \frac{1}{5^x} = \frac{1}{y} \) होगा।
समीकरण में ये मान रखने पर:
\( 5y + \frac{25}{y} = 126 \)
\( \implies \) \( 5y^2 + 25 = 126y \)
\( \implies \) \( 5y^2 – 126y + 25 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( 5y^2 – y – 125y + 25 = 0 \)
\( \implies \) \( y(5y – 1) – 25(5y – 1) = 0 \)
\( \implies \) \( (y – 25)(5y – 1) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( y = 25 \) या \( y = \frac{1}{5} \)
अब y के मानों को वापस \( 5^x = y \) में रखते हैं:
जब \( y = 25 \), तब \( 5^x = 25 \)
\( \implies \) \( 5^x = 5^2 \)
घातों की तुलना करने पर:
\( x = 2 \)
जब \( y = \frac{1}{5} \), तब \( 5^x = \frac{1}{5} \)
\( \implies \) \( 5^x = 5^{-1} \)
घातों की तुलना करने पर:
\( x = -1 \)
तो, समीकरण के हल हैं \( -1, 2 \)।
In simple words: हमने घात के गुणों का उपयोग करके समीकरण को सरल बनाया, फिर \( 5^x \) को एक नए चर से बदलकर एक द्विघात समीकरण में परिवर्तित किया। इस समीकरण को हल करके \( y \) के मान प्राप्त किए, और फिर अंततः \( x \) के मानों तक पहुँचे।

🎯 Exam Tip: घातांक समीकरणों में, सभी पदों को एक ही आधार की घातों में व्यक्त करने का प्रयास करें। फिर उचित प्रतिस्थापन का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण बनाएं।

Question 14. \( 3^x + 3^{-x} – 2 = 0 \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( 3^x + 3^{-x} – 2 = 0 \)
इसे \( 3^x + \frac{1}{3^x} – 2 = 0 \) ऐसे भी लिख सकते हैं।
माना \( 3^x = y \) है। तो \( \frac{1}{3^x} = \frac{1}{y} \) होगा।
समीकरण में ये मान रखने पर:
\( y + \frac{1}{y} – 2 = 0 \)
\( \implies \) \( \frac{y^2 + 1 - 2y}{y} = 0 \)
\( \implies \) \( y^2 – 2y + 1 = 0 \)
यह \( (y – 1)^2 \) का एक पूर्ण वर्ग है।
\( \implies \) \( (y – 1)^2 = 0 \)
इससे y का केवल एक मान मिलता है:
\( y = 1 \)
अब y के मान को वापस \( 3^x = y \) में रखते हैं:
जब \( y = 1 \), तब \( 3^x = 1 \)
किसी भी संख्या की घात 0 का मान 1 होता है, तो \( 1 = 3^0 \)।
\( \implies \) \( 3^x = 3^0 \)
घातों की तुलना करने पर:
\( x = 0 \)
तो, समीकरण का हल है \( 0 \)।
In simple words: हमने \( 3^x \) को \( y \) मानकर समीकरण को एक साधारण द्विघात समीकरण में बदला। इसे हल करने पर \( y \) का केवल एक मान 1 मिला। \( 3^x = 1 \) से हमें \( x = 0 \) मिला, क्योंकि किसी भी संख्या की घात 0 का मान 1 होता है।

🎯 Exam Tip: जब आप \( a^x + a^{-x} \) प्रकार के समीकरण देखते हैं, तो \( a^x \) को प्रतिस्थापित करना सबसे अच्छा तरीका है। यह भी याद रखें कि \( a^0 = 1 \) (किसी भी गैर-शून्य संख्या के लिए)।

Question 15. \( 2^{2x+8} – 8 \cdot 2^{x+2} + 1 = 0 \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( 2^{2x+8} – 8 \cdot 2^{x+2} + 1 = 0 \)
घात के नियमों का उपयोग करके पदों को सरल करते हैं:
\( 2^{2x} \cdot 2^8 – 8 \cdot 2^x \cdot 2^2 + 1 = 0 \)
\( (2^x)^2 \cdot 256 – 8 \cdot 2^x \cdot 4 + 1 = 0 \)
\( 256 \cdot (2^x)^2 – 32 \cdot 2^x + 1 = 0 \)
इस समीकरण को थोड़ा और व्यवस्थित करते हैं ताकि \( 2^{x+2} \) पद का उपयोग कर सकें:
पहला पद: \( 2^{2x+8} = 2^{2(x+4)} = (2^{x+4})^2 = (2^{x+2} \cdot 2^2)^2 = (4 \cdot 2^{x+2})^2 = 16 \cdot (2^{x+2})^2 \)
समीकरण इस प्रकार बन जाता है:
\( 16 \cdot (2^{x+2})^2 – 8 \cdot 2^{x+2} + 1 = 0 \)
माना \( 2^{x+2} = y \) है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
\( 16y^2 – 8y + 1 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( 16y^2 – 4y – 4y + 1 = 0 \)
\( \implies \) \( 4y(4y – 1) – 1(4y – 1) = 0 \)
\( \implies \) \( (4y – 1)(4y – 1) = 0 \)
\( \implies \) \( (4y – 1)^2 = 0 \)
इससे y का केवल एक मान मिलता है:
\( 4y – 1 = 0 \implies y = \frac{1}{4} \)
अब y के मान को वापस \( 2^{x+2} = y \) में रखते हैं:
जब \( y = \frac{1}{4} \), तब \( 2^{x+2} = \frac{1}{4} \)
\( \implies \) \( 2^{x+2} = \frac{1}{2^2} \)
\( \implies \) \( 2^{x+2} = 2^{-2} \)
दोनों पक्षों में घातों की तुलना करने पर:
\( x + 2 = -2 \)
\( \implies \) \( x = -2 – 2 \)
\( \implies \) \( x = -4 \)
तो, समीकरण का हल है \( -4 \)।
In simple words: हमने घातों को इस तरह से तोड़ा कि \( 2^{x+2} \) एक सामान्य पद बन गया। फिर इस पद को \( y \) मानकर समीकरण को एक द्विघात समीकरण में बदला। इसे हल करने पर \( y \) का एक मान मिला, जिसे वापस रखकर हमने \( x \) का मान ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: घातांक वाले समीकरणों में, सभी पदों को एक ही आधार की घातों में बदलने की कोशिश करें। फिर एक सामान्य घात वाले पद को प्रतिस्थापित करें।

Question 16. निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए: \( \sqrt{3x^2+1} + \frac{4}{\sqrt{3x^2+1}} = 5 \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( \sqrt{3x^2+1} + \frac{4}{\sqrt{3x^2+1}} = 5 \)
माना \( \sqrt{3x^2+1} = y \) है। तो दूसरा पद \( \frac{4}{\sqrt{3x^2+1}} = \frac{4}{y} \) होगा।
समीकरण में ये मान रखने पर:
\( y + \frac{4}{y} = 5 \)
\( \implies \) \( \frac{y^2 + 4}{y} = 5 \)
\( \implies \) \( y^2 + 4 = 5y \)
\( \implies \) \( y^2 – 5y + 4 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( y^2 – y – 4y + 4 = 0 \)
\( \implies \) \( y(y – 1) – 4(y – 1) = 0 \)
\( \implies \) \( (y – 1)(y – 4) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( y = 1 \) या \( y = 4 \)
अब y के मानों को वापस \( \sqrt{3x^2+1} = y \) में रखते हैं:
जब \( y = 1 \), तब \( \sqrt{3x^2+1} = 1 \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( 3x^2 + 1 = 1^2 \)
\( \implies \) \( 3x^2 + 1 = 1 \)
\( \implies \) \( 3x^2 = 0 \)
\( \implies \) \( x^2 = 0 \)
\( \implies \) \( x = 0 \)
जब \( y = 4 \), तब \( \sqrt{3x^2+1} = 4 \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( 3x^2 + 1 = 4^2 \)
\( \implies \) \( 3x^2 + 1 = 16 \)
\( \implies \) \( 3x^2 = 16 – 1 \)
\( \implies \) \( 3x^2 = 15 \)
\( \implies \) \( x^2 = \frac{15}{3} \)
\( \implies \) \( x^2 = 5 \)
\( \implies \) \( x = \pm\sqrt{5} \)
तो, समीकरण के हल हैं \( 0, \pm\sqrt{5} \)।
In simple words: हमने समीकरण में \( \sqrt{3x^2+1} \) को \( y \) मानकर उसे एक सरल द्विघात समीकरण में बदला। फिर \( y \) के मान निकाले और उन्हें वापस वर्गमूल वाले पद में रखकर \( x \) के मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: जब समीकरण में वर्गमूल पद हों, तो उन्हें एक नए चर से प्रतिस्थापित करके समीकरण को सरल बनाएं। वर्गमूल हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करना न भूलें, और बाद में मिले हुए मानों की जांच करें।

Question 17. \( 2^x = 4^{2x-1} \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( 2^x = 4^{2x-1} \)
हम जानते हैं कि \( 4 = 2^2 \) होता है। इस मान को समीकरण में रखते हैं ताकि आधार समान हो जाएं:
\( 2^x = (2^2)^{2x-1} \)
घात के नियमों का उपयोग करने पर ( \( (a^m)^n = a^{mn} \) ):
\( 2^x = 2^{2(2x-1)} \)
\( 2^x = 2^{4x-2} \)
अब, चूंकि आधार समान हैं, तो हम घातों की तुलना कर सकते हैं:
\( x = 4x - 2 \)
\( \implies \) \( x - 4x = -2 \)
\( \implies \) \( -3x = -2 \)
\( \implies \) \( x = \frac{-2}{-3} \)
\( \implies \) \( x = \frac{2}{3} \)
तो, समीकरण का हल है \( \frac{2}{3} \)।
In simple words: हमने समीकरण के दोनों पक्षों में आधार को समान (2) बनाया। जब आधार समान हो जाते हैं, तो हम घातों की तुलना करके \( x \) का मान आसानी से निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: घातांक वाले समीकरणों को हल करने का सबसे आम तरीका यह है कि दोनों पक्षों के आधार को समान बनाया जाए। एक बार आधार समान हो जाने पर, आप घातों की तुलना करके समीकरण को सरल कर सकते हैं।

Question 18. निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए: \( 8\sqrt{\frac{x}{x+3}} - \sqrt{\frac{x+3}{x}} = 2 \)
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( 8\sqrt{\frac{x}{x+3}} - \sqrt{\frac{x+3}{x}} = 2 \)
माना \( y = \sqrt{\frac{x}{x+3}} \) है। तो, दूसरा पद \( \sqrt{\frac{x+3}{x}} = \frac{1}{y} \) होगा।
समीकरण में ये मान रखने पर:
\( 8y - \frac{1}{y} = 2 \)
\( \implies \) \( \frac{8y^2 - 1}{y} = 2 \)
\( \implies \) \( 8y^2 - 1 = 2y \)
\( \implies \) \( 8y^2 – 2y - 1 = 0 \)
अब इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं:
\( 8y^2 – 4y + 2y - 1 = 0 \)
\( \implies \) \( 4y(2y - 1) + 1(2y - 1) = 0 \)
\( \implies \) \( (2y - 1)(4y + 1) = 0 \)
इससे y के दो मान मिलते हैं:
\( 2y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{2} \)
या
\( 4y + 1 = 0 \implies y = -\frac{1}{4} \)
अब y के मानों को वापस \( \sqrt{\frac{x}{x+3}} = y \) में रखते हैं:
चूंकि वर्गमूल का मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए \( y = -\frac{1}{4} \) अस्वीकार्य है। हम केवल \( y = \frac{1}{2} \) लेंगे।
जब \( y = \frac{1}{2} \), तब \( \sqrt{\frac{x}{x+3}} = \frac{1}{2} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( \frac{x}{x+3} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
\( \implies \) \( \frac{x}{x+3} = \frac{1}{4} \)
\( \implies \) \( 4x = 1(x + 3) \)
\( \implies \) \( 4x = x + 3 \)
\( \implies \) \( 4x – x = 3 \)
\( \implies \) \( 3x = 3 \)
\( \implies \) \( x = 1 \)
\( x = 1 \) इस समीकरण को संतुष्ट करता है।
तो, समीकरण का हल है \( 1 \)।
In simple words: हमने एक जटिल वर्गमूल वाले भिन्न को \( y \) मानकर समीकरण को सरल किया। \( y \) के मान निकालने के बाद, हमने केवल धनात्मक मान को चुना, क्योंकि वर्गमूल का परिणाम कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। फिर \( y \) के इस मान को वापस रखकर \( x \) का मान ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: वर्गमूल वाले समीकरणों को हल करते समय, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि वर्गमूल का परिणाम हमेशा धनात्मक या शून्य होता है। इसलिए, किसी भी ऋणात्मक हल को अस्वीकार करना चाहिए।