UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations

प्रश्नावली 4.1 (NCERT Page 82)

 

Question 1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है:
(i) (x + 1)2 = 2 (x - 3)
Answer:
हलः (i) \( (x + 1)^2 = 2(x - 3) \)
हमें प्राप्त है किः
\( (x+1)^2 = 2(x-3) \)

\( \implies (x + 1) (x + 1) = 2(x-3) \)

\( \implies x^2 + 2x + 1 = 2x-6 \)

\( \implies x^2+2x-2x+1=-6 \)

\( \implies x^2+1+6= 0 \)

\( \implies x^2 + 7 = 0 \)
चूंकि \( x^2 + 7 \) एक द्विघात बहुपद है,
* \( x^2 + 7 = 0 \) एक द्विघात समीकरण है।
अत: \( (x + 1)^2 = 2(x - 3) \) एक द्विघात समीकरण है।
(ii) x2 – 2x = (-2) (3 – x)
Answer:
हलः (ii) \( x^2-2x = (-2) (3 - x) \)
हमें प्राप्त है किः
\( x^2-2x = (-2) (3-x) \)

\( \implies x^2-2x = -6+2x \)

\( \implies x^2-2x+6-2x = 0 \)

\( \implies x^2-4x+6 = 0 \)
चूंकि \( x^2 - 4x + 6 \) एक द्विघात बहुपद है।
.. \( x^2 - 4x + 6 = 0 \) एक द्विघात समीकरण है।

\( \implies x^2-2x = (-2) (3-x) \) एक द्विघात समीकरण है।
(iii) (x - 2) (x + 1) = (x - 1) (x + 3)
Answer:
हमें प्राप्त है किः
\( (x-2) (x + 1) = (x-1) (x + 3) \)

\( \implies x^2-2x-2 + x = x^2 + 3x-x-3 \)

\( \implies x^2-x-2 = x^2+2x-3 \)

\( \implies x^2-x-2-x^2-2x+3=0 \)

\( \implies -3x+3-2 = 0 \)

\( \implies -3x + 1 = 0 \)
परन्तु \( -3x + 1 \) एक रैखिक बहुपद है,
.. \( -3x + 1 = 0 \) एक द्विघात समीकरण नहीं है,

\( \implies (x-2)(x + 1) = (x - 1) (x + 3) \) एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(iv) (x - 3) (2x + 1) = x (x + 5)
Answer:
हमें प्राप्त है किः
\( (x-3) (2x + 1) = x(x + 5) \)

\( \implies 2x^2+x-6x-3= x^2 + 5x \)

\( \implies 2x^2-5x-3-x^2-5x= 0 \)

\( \implies x^2-10x-3=0 \)
चूंकि \( x^2 + 10x - 3 \) एक द्विघात बहुपद है।
.. \( x^2 + 10x - 3 = 0 \) एक द्विघात समीकरण है।

\( \implies (x-3) (2x+1) = x(x+5) \) एक द्विघात समीकरण है।
(v) (2x - 1) 2 (x - 3 ) = (x + 5) (x - 1)
Answer:
हमें प्राप्त है किः
\( (2x-1)(x-3) = (x + 5) (x-1) \)

\( \implies 2x^2-6x-x+3 = x^2-x + 5x-5 \)

\( \implies 2x^2-x^2-6x-x+x-5x+3+5=0 \)

\( \implies x^2-11x + 8 = 0 \)
चूंकि \( x^2 - 11x + 8 \) एक द्विघात बहुपद है।
.. \( x^2 - 11x + 8 = 0 \) एक द्विघात समीकरण है।

\( \implies (2x-1)(x-3) = (x + 5) (x - 1) \) एक द्विघात समीकरण है।
(vi) x2 + 3x + 1 = (x - 2)2
Answer:
हमें प्राप्त है किः
\( x^2 + 3x + 1 = (x-2)^2 \)
\( x^2 + 3x + 1 = (x-2)^2 \)

\( \implies x^2 + 3x + 1 = x^2 - 4x + 4 \)

\( \implies x^2 + 3x + 1 - x^2 + 4x - 4 = 0 \)

\( \implies 7x-3= 0 \)
चूंकि \( 7x - 3 \) एक रैखिक बहुपद है।
: \( 7x - 3 = 0 \) एक रैखिक समीकरण है।

\( \implies x^2 + 3x + 1 = (x - 2)^2 \) एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(vii) (x + 2)3 = 2x (x2 – 1)
Answer:
हमें प्राप्त है किः
\( (x+2)^3 = 2x(x^2 - 1) \)

\( \implies x^3+3x^2(2) +3x(2)^2 + (2)^3 = 2x^3-2x \)

\( \implies x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 2x^3-2x \)

\( \implies x^3 + 6x^2 + 12x + 8-2x^3 + 2x = 0 \)

\( \implies -x^3 + 6x^2 + 14x + 8 = 0 \)
चूंकि \( (-x^3 + 6x^2 + 14x + 8) \) एक घात-तीन का बहुपद है।
.. \( -x^3+6x^2 + 14x + 8 = 0 \) एक द्विघात समीकरण नहीं है।

\( \implies (x + 2)^3 = 2x(x^2 - 1) \) एक द्विघात समीकरण नहीं है।
(viii) x3 – 4x2 - x + 1 = (x – 2)3
Answer:
हमें प्राप्त है किः
\( x^3-4x^2-x + 1 = (x-2)^3 \)

\( \implies x^3-4x^2-x+1 = x^3+3x^2(-2) +3x(-2)^2+(-2)^3 \)

\( \implies x^3-4x^2-x + 1 = x^3-6x^2 + 12x-8 \)

\( \implies x^3-4x^2-x+1-x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 0 \)

\( \implies 2x^2-13x+9=0 \)
चूंकि \( 2x^2 - 13x + 9 \) एक द्विघात बहुपद है।

\( \implies 2x^2 - 13x + 9 = 0 \) एक द्विघात समीकरण है।
अतः \( x^3-4x^2-x + 1 = (x - 2)^3 \) एक द्विघात समीकरण है।
In simple words: एक द्विघात समीकरण वह होता है जिसे \( ax^2 + bx + c = 0 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( a \neq 0 \) है। किसी समीकरण को सरल करके उसकी उच्चतम घात को \( x^2 \) के रूप में जाँचने पर ही हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि वह द्विघात है या नहीं।

🎯 Exam Tip: समीकरणों को मानक रूप \( ax^2 + bx + c = 0 \) में लाने के लिए बीजगणितीय विस्तार और पद समान करने में सावधानी बरतें। सुनिश्चित करें कि \( x^2 \) पद का गुणांक (a) शून्य न हो।

 

Question 2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m2 है | क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
Answer:
हल: (i)
माना चौड़ाई = \( x \) मी.
लम्बाई = \( 2 \) (चौड़ाई) \( + 1 \)
लम्बाई = \( (2(x) + 1 \)
= \( (2x + 1) \) मी.
चूंकि आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई \( \times \) चौड़ाई

\( \implies 528 = x \times (2x + 1) \)

\( \implies x(2x+1) = 528 \)

\( \implies 2x^2+x-528 = 0 \)
अतः वांछित द्विघात समीकरण है: \( 2x^2+x-528 = 0 \)
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है | हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है।
Answer:
(ii) माना दो क्रमागत पूर्णांक \( x \) और \( x + 1 \) इस प्रकार है कि
\( x \times (x + 1) = 306 \)

\( \implies x^2 + x = 306 \)

\( \implies x^2+x-306 = 0 \)
जो कि वांछित द्विघात समीकरण है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है | उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है।
Answer:
(iii) माना रोहन की, वर्तमान आयु = \( x \) वर्ष
माताजी की आयु = \( (x + 26) \) वर्ष
तीन वर्ष बादः
रोहन की आयु = \( (x + 3) \) वर्ष
माताजी की आयु = \( (x + 26) + 3 \) वर्ष
= \( (x + 29) \) वर्ष
शर्त के अनुसार, \( \left[ \text{तीन वर्ष बाद की दोनों की आयु का गुणनफल} \right] = 360 \)
\( (x + 3) (x + 29) = 360 \)

\( \implies x^2 + 29x + 3x + 87 = 360 \)

\( \implies x^2 + 29x + 3x +87-360 = 0 \)

\( \implies x^2 + 32x-273 = 0 \)
अतः \( x^2 + 32x - 273 = 0 \) वांछित द्विघात समीकरण है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है| यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती | हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
Answer:
(iv)
माना रेलगाड़ी की चाल = \( x \) किमी./घं.
.. \( 480 \) किमी. चलने में लिया गया समय = \( \frac{480}{x} \) घंटे
.. समय \( = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} \)
दूसरी अवस्थाः रेलगाड़ी की चाल = \( (x - 8) \) किमी./घं.
चूंकि, समय \( = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} \)
दूसरी अवस्था में लिया गया समय = \( \frac{480}{x-8} \) घं.
अब, शर्त के अनुसार,
\( \frac{480}{x-8} - \frac{480}{x} = 3 \)

\( \implies 480 \left[ \frac{1}{x-8} - \frac{1}{x} \right] = 3 \)

\( \implies 480 \left[ \frac{x-(x-8)}{x(x-8)} \right] = 3 \)

\( \implies 160 \left[ \frac{x-x+8}{x^2 - 8x} \right] = 1 \)

\( \implies 160[8] = x^2 - 8x \)

\( \implies 1280 = x^2-8x \)

\( \implies 8x - x^2 + 1280 = 0 \)

\( \implies -x^2 + 8x + 1280 = 0 \)

\( \implies x^2-8x-1280 = 0 \)
अतः अभीष्ठ द्विघात समीकरण: \( x^2-8x-1280 = 0 \) है।
In simple words: द्विघात समीकरणों का उपयोग वास्तविक जीवन की समस्याओं को गणितीय रूप में दर्शाने के लिए किया जाता है, जैसे कि क्षेत्रफल, गति या आयु से संबंधित प्रश्न। इन समस्याओं को हल करने के लिए, अज्ञात राशियों को चर के रूप में मानकर, दी गई शर्तों के आधार पर समीकरण बनाते हैं और फिर उसे सरल करते हैं।

🎯 Exam Tip: वर्ड प्रॉब्लम्स को हल करते समय, सबसे पहले अज्ञात राशियों को चर (जैसे \( x \)) के रूप में परिभाषित करें। फिर, दी गई जानकारी को ध्यान से पढ़कर समीकरणों को सही ढंग से स्थापित करें। समीकरण बनाने के बाद, उसे मानक द्विघात रूप \( ax^2 + bx + c = 0 \) में लाने का प्रयास करें।

 

प्रश्नावली 4.2 (NCERT Page 85)

 

Question 1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x2 – 3x – 10 = 0
Answer:
हल: (i) \( x^2-3x-10 = 0 \)
हमें प्राप्त है किः
\( x^2-3x-10 = 0 \)

\( \implies x^2-5x+2x-10 = 0 \)

\( \implies x(x-5) + 2(x-5) = 0 \)

\( \implies (x-5) (x + 2) = 0 \)
या तो \( x-5 = 0 \)

\( \implies x = 5 \)
या \( x + 2 = 0 \)

\( \implies x=-2 \)
अतः द्विघात समीकरण \( x^2 - 3x - 10 = 0 \) के दो मूल हैं:
\( x = -2; x = 5 \)
(ii) 2x2 + x − 6 = 0
Answer:
हमें प्राप्त है किः
\( 2x^2+x-6 = 0 \)

\( \implies 2x^2 + 4x-3x-6 = 0 \)

\( \implies 2x(x+2)-3(x + 2) = 0 \)

\( \implies (x + 2) (2x-3) = 0 \)
या तो \( x+2 = 0 \)

\( \implies x=-2 \)
या \( 2x-3= 0 \)

\( \implies x = \frac{3}{2} \)
अतः द्विघात समीकरण \( 2x^2+x-6 = 0 \) के दो मूल हैं:
\( x=-2; x = 3/2 \)
(iii) √2x2 + 7x + 5√2 = 0
Answer:
हमें प्राप्त है किः \( \sqrt{2}x^2 + 7x+5\sqrt{2} = 0 \)

\( \implies \sqrt{2}x^2+2x+5x + 5\sqrt{2} = 0 \)

\( \implies \sqrt{2}x^2+(\sqrt{2}\times\sqrt{2})x+5x+5\sqrt{2} = 0 \)

\( \implies \sqrt{2}x[x+\sqrt{2}]+5[x + \sqrt{2}] = 0 \)

\( \implies (x+\sqrt{2}) (\sqrt{2}x+5) = 0 \)
या तो \( x + \sqrt{2} = 0 \)

\( \implies x=-\sqrt{2} \)
या \( \sqrt{2}x + 5 = 0 \)

\( \implies x = -\frac{5}{\sqrt{2}} \)
अतः दिए गये द्विघात समीकरण के दो मूल हैं:
\( x = -\sqrt{2}; x = -\frac{5}{\sqrt{2}} \)
(iv) 2x2 - x + 1/8 = 0
Answer:
हमें प्राप्त है किः
\( 2x^2-x+\frac{1}{8} = 0 \)

\( \implies 16x^2-8x + 1 = 0 \)

\( \implies 16x^2-4x-4x + 1 = 0 \)

\( \implies 4x(4x-1)-1(4x-1) = 0 \)

\( \implies (4x-1) (4x-1) = 0 \)

\( \implies x = \frac{1}{4} \) और \( x = \frac{1}{4} \)
अतः दिए गये द्विघात समीकरण के दो मूल हैं:
\( x=\frac{1}{4}; x = \frac{1}{4} \)
(v) 100×2 – 20x + 1 = 0
Answer:
हमें प्राप्त है किः
\( 100x^2-20x + 1 = 0 \)

\( \implies 100x^2-10x-10x + 1 = 0 \)

\( \implies 10x[10x-1]-1[10x-1] = 0 \)

\( \implies (10x-1) (10x-1) = 0 \)

\( \implies 10x-1=0 \)

\( \implies x = \frac{1}{10} \) और \( 10x - 1 = 0 \)

\( \implies x = \frac{1}{10} \)
अतः दिए गये द्विघात समीकरण के दो मूल हैं:
\( x=\frac{1}{10}; x = \frac{1}{10} \)
In simple words: गुणनखंड विधि में, हम एक द्विघात समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) को दो रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करते हैं। इसके लिए, मध्य पद \( bx \) को ऐसे दो पदों में विभाजित किया जाता है जिनका योग \( bx \) हो और गुणनफल \( ac \) के बराबर हो। फिर, उभयनिष्ठ गुणनखंड लेकर मूल ज्ञात किए जाते हैं।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड विधि में, मध्य पद को विभाजित करते समय, उन दो संख्याओं को खोजना महत्वपूर्ण है जिनका योग \( b \) के बराबर हो और गुणनफल \( ac \) के बराबर हो। यदि ऐसी संख्याएँ नहीं मिलतीं, तो अन्य विधियों (जैसे द्विघाती सूत्र) का उपयोग करें।

 

Question 2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए |
(i) x2 - 45x + 324 = 0
Answer:
हलः (i) \( x^2-45x + 324 = 0 \)
हमें प्राप्त है किः
\( x^2-45x+324 = 0 \)

\( \implies x^2-9x-36x + 324 = 0 \)

\( \implies x(x-9)-36(x - 9) = 0 \)

\( \implies (x-9) (x-36) = 0 \)
|: \( (-9) \times (-36) = 324 \)
या तो \( x-9=0 \)

\( \implies x = 9 \)
या \( x-36=0 \)

\( \implies x = 36 \)
अतः अभीष्ठ मूल हैं: \( x = 9; x = 36 \)
(ii) x2 - 55x + 750 = 0
Answer:
हमें प्राप्त है किः
\( x^2-55x + 750 = 0 \)

\( \implies x^2-30x-25x-750 = 0 \)

\( \implies x(x-30)-25(x-30) = 0 \)

\( \implies (x-30) (x-25) = 0 \)
|: \( (-25) \times (-30) = 750 \)
या तो \( x-30 = 0 \)

\( \implies x = 30 \)
या \( x-25 = 0 \)

\( \implies x = 25 \)
अतः अभीष्ठ मूल हैं: \( x = 30; x = 25 \)
In simple words: उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल करने के लिए, हमें द्विघात समीकरणों के गुणनखंड करने होंगे। इसमें मध्य पद को दो भागों में विभाजित करके उभयनिष्ठ गुणनखंड लेना शामिल है, जिससे समीकरण को दो रैखिक गुणनखंडों के रूप में लिखा जा सके और फिर प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर मूल ज्ञात किए जा सकें।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड विधि का प्रयोग करते समय, यदि बड़े गुणांक वाली संख्याएँ हों, तो \( ac \) के गुणनखंडों का सही युग्म खोजना महत्वपूर्ण है जो \( b \) के बराबर योग दे। संकेतों (धनात्मक/ऋणात्मक) पर विशेष ध्यान दें।

 

Question 3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो |
Answer:
हलः माना वांछित संख्याएँ \( x \) और \( (27-x) \) हैं।
प्रश्न की शर्त के अनुसार,
\( x(27-x) = 182 \)

\( \implies 27x-x^2 = 182 \)

\( \implies -x^2+27x-182 = 0 \)

\( \implies x^2-27x+182 = 0 \)

\( \implies x^2-13x-14x-182 = 0 \)

\( \implies x(x-13)-14(x-13) = 0 \)

\( \implies (x-13) (x-14) = 0 \)
|: \( (-13)\times(-14) = 182 \)
जब \( x - 13 = 0 \) हो, तो \( x = 13 \) और जब
\( x - 14 = 0 \) हो, तो \( x = 14 \)
अतः अभीष्ठ संख्याएँ \( 13 \) और \( 14 \) हैं।
जाँचः
संख्याओं का गुणनफल \( = 182 \)
\( 13 \times 14 = 182 \)
जो कि सत्य है।
In simple words: यदि दो संख्याओं का योग और गुणनफल दिया गया हो, तो हम एक संख्या को चर \( x \) मानकर और दूसरी को \( \text{योग}-x \) मानकर एक द्विघात समीकरण बना सकते हैं। इस समीकरण को हल करने से दोनों संख्याएँ प्राप्त हो जाती हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, समीकरण को सही ढंग से स्थापित करना महत्वपूर्ण है। संख्याओं को \( x \) और \( \text{योग}-x \) के रूप में मानने से समस्या को द्विघात समीकरण के रूप में सरल करना आसान हो जाता है।

 

Question 4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो |
Answer:
हलः माना दो धन पूर्णांक \( x \) और \( (x + 1) \) हैं।
चूंकि इन संख्याओं के वर्गों का योगफल \( 365 \) है।
\( x^2 + (x + 1)^2 = 365 \)

\( \implies x^2 + [x^2 + 2x + 1] = 365 \)

\( \implies x^2 + x^2 + 2x + 1 = 365 \)

\( \implies 2x^2+2x+1-365 = 0 \)

\( \implies 2x^2+2x-364 = 0 \)

\( \implies x^2+x-182 = 0 \)

\( \implies x^2 + 14x-13x-182 = 0 \)

\( \implies x(x + 14) -13(x + 14) = 0 \)

\( \implies (x+14) (x-13) = 0 \)
|: \( +14-13 = -1 \) and \( 14 \times (-13) = -182 \)
या तो \( x + 14 = 0 \)

\( \implies x = -14 \)
या \( x-13= 0 \)

\( \implies x = 13 \)
चूंकि \( x \) एक धन पूर्णांक है।
.. \( x = 13 \)

\( \implies x + 1 = 13 + 1 = 14 \)
अतः अभीष्ठ धन पूर्णांक \( 13 \) और \( 14 \) हैं।
In simple words: क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों का योग ज्ञात करने के लिए, हम पहले पूर्णांक को \( x \) और दूसरे को \( x+1 \) मानते हैं। फिर, दी गई शर्त के अनुसार, उनके वर्गों का योग करके एक द्विघात समीकरण बनाते हैं, जिसे हल करने पर पूर्णांकों के मान प्राप्त होते हैं।

🎯 Exam Tip: क्रमागत पूर्णांकों को \( x, x+1 \) (धनात्मक) या \( x, x-1 \) (धनात्मक) के रूप में परिभाषित करना सुनिश्चित करें। ऋणात्मक मानों को अक्सर वास्तविक-विश्व की समस्याओं में अनदेखा किया जाता है यदि प्रश्न धनात्मक पूर्णांकों की मांग करता है।

 

Question 5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7cm कम है| यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए|
Answer:
हलः
माना आधार = \( x \) सेमी.
ऊँचाई = \( x - 7 \) सेमी.
चूंकि समकोण त्रिभुज में, पायथागोरस प्रमेय से:
कर्ण \( = \sqrt{(\text{आधार})^2 + (\text{ऊँचाई})^2} \)
\( 13 = \sqrt{x^2 + (x - 7)^2} \)
[: कर्ण = \( 13 \) सेमी.]
अब दोनों ओर वर्ग करने पर
\( 169=x^2 + (x - 7)^2 \)
\( 169=x^2+x^2 - 14x + 49 \)
\( \implies 2x^2-14x + 49-169 = 0 \)

\( \implies 2x^2-14x-120 = 0 \)

\( \implies x^2-7x-60 = 0 \)

\( \implies x^2-12x + 5x-60 = 0 \)

\( \implies x(x-12) + 5(x-12) = 0 \)
|: \( (-12)\times5=-60 \) और \( (-12) + 5 = -7 \)

\( \implies (x-12) (x + 5) = 0 \)
अब, या तो \( x - 12 = 0 \)

\( \implies x = 12 \)
या \( x+5 = 0 \)

\( \implies x=-5 \)
परन्तु एक त्रिभुज की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती।
.. \( x = -5 \), अवांछनीय है।

\( \implies x = 12 \)
अतः समकोण त्रिभुज का आधार = \( 12 \) सेमी.
.. ऊँचाई \( (x - 7) = 12-7 \) सेमी. \( = 5 \) सेमी.
In simple words: समकोण त्रिभुज के भुजाओं को ज्ञात करने के लिए, हम आधार को \( x \) और ऊँचाई को \( x-7 \) मानते हैं। फिर, पायथागोरस प्रमेय \( (\text{आधार}^2 + \text{ऊँचाई}^2 = \text{कर्ण}^2) \) का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण बनाते हैं। इस समीकरण को हल करके हम त्रिभुज की अज्ञात भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: पायथागोरस प्रमेय का सही अनुप्रयोग महत्वपूर्ण है। भुजाओं की लंबाई कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए समीकरण के ऋणात्मक मूलों को अनदेखा करें।

 

Question 6. एक कुटीर उधोग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नाग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी| यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 Rs. थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नाग की लागत ज्ञात कीजिए |
Answer:
हलः माना 1 दिन में निर्मित बर्तनों की संख्या = \( x \)
चूंकि प्रत्येक बर्तन का लागत मूल्य = \( 2(x) + 3 \)
= \( (2x+3) \) Rs.
.. \( x \) बर्तनों का लागत मूल्य = \( x(2x + 3) \) Rs.
परन्तु लागत मूल्य = \( 90 \) Rs.
अतः \( x(2x+3) = 90 \)

\( \implies 2x^2+3x = 90 \)

\( \implies 2x^2+3x-90 = 0 \)

\( \implies 2x^2-12x + 15x-90 = 0 \)

\( \implies 2x(x-6) + 15(x-6) = 0 \)

\( \implies (x-6) (2x + 15) = 0 \)
या तो \( 2x+15=0 \)

\( \implies x = -\frac{15}{2} \)
या \( x-6=0 \)

\( \implies x = 6 \)
परन्तु \( x = -\frac{15}{2} \) अवांछनीय है।
[ वस्तुओं की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती]
..\( x = 6 \)

\( \implies \) प्रत्येक वस्तु का मूल्य = \( (2 \times 6) + 3\text{ Rs.} = 15\text{ Rs.} \)
अतः उत्पादित वस्तुओं की संख्या = \( 6 \)
और प्रत्येक वस्तु का निर्मित मूल्य = \( 15\text{ Rs.} \)
In simple words: निर्मित बर्तनों की संख्या को \( x \) मानकर और प्रत्येक बर्तन की लागत को \( 2x+3 \) मानकर, कुल लागत के साथ एक द्विघात समीकरण बनाया जाता है। इस समीकरण को हल करने पर बर्तनों की संख्या और प्रत्येक बर्तन की लागत ज्ञात की जा सकती है, ध्यान रहे कि वस्तुओं की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती।

🎯 Exam Tip: व्यावसायिक समस्याओं में, मात्रा (जैसे बर्तनों की संख्या) या लागत कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती। ऐसे प्रश्नों में, समीकरण हल करने के बाद केवल धनात्मक मूलों पर विचार करें।

 

प्रश्नावली 4.3 (NCERT Page 97)

 

Question 1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाए की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
(i) 2x2 - 7x + 3 = 0
Answer:
हल: (i) \( 2x^2-7x + 3 = 0 \)
हमें प्राप्त है: \( 2x^2-7x + 3 = 0 \) के प्रत्येक पद को \( x^2 \) के गुणांक से भाग करने पर,
\( \frac{2x^2}{2} - \frac{7x}{2} + \frac{3}{2} = 0 \)

\( \implies x^2-\frac{7}{2}x+\frac{3}{2} = 0 \)

\( \implies \left(x-\frac{7}{4}\right)^2 - \left(\frac{7}{4}\right)^2 + \frac{3}{2} = 0 \)

\( \implies \left(x-\frac{7}{4}\right)^2 - \frac{49}{16} + \frac{24}{16} = 0 \)

\( \implies \left(x-\frac{7}{4}\right)^2 - \frac{25}{16} = 0 \)

\( \implies \left(x-\frac{7}{4}\right)^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2 \)

\( \implies x-\frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4} \)
Case I: जब \( \frac{5}{4} \) धनात्मक है, तो
\( x-\frac{7}{4} = \frac{5}{4} \)

\( \implies x = \frac{5}{4} + \frac{7}{4} \)

\( \implies x = \frac{12}{4}=3 \)
Case II: जब \( \frac{5}{4} \) ऋणात्मक है, तो
\( x-\frac{7}{4} = -\frac{5}{4} \)

\( \implies x = -\frac{5}{4} + \frac{7}{4} \)

\( \implies x = \frac{2}{4} \)

\( \implies x = \frac{1}{2} \)
इस प्रकार दिए गये समीकरण के मूल हैं: \( x = \frac{1}{2}; x = 3 \)
(ii) 2x2 + x − 4 = 0
Answer:
हमें प्राप्त है कि
\( 2x^2+x-4 = 0 \)
सभी पदों को \( 2 \) से भाग करने पर,
\( x^2+\frac{x}{2}-2=0 \)

\( \implies \left(x+\frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 - 2 = 0 \)

\( \implies \left(x+\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{16} - 2 = 0 \)

\( \implies \left(x+\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} + 2 \)

\( \implies \left(x+\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1+32}{16} \)

\( \implies \left(x+\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{33}{16} \)

\( \implies \left(x+\frac{1}{4}\right) = \pm\sqrt{\frac{33}{16}} \)

\( \implies \left(x+\frac{1}{4}\right) = \pm\frac{\sqrt{33}}{4} \)
Case I: जब \( \frac{\sqrt{33}}{4} \) एक धनात्मक है, तो
\( x+\frac{1}{4} = \frac{\sqrt{33}}{4} \)

\( \implies x = \frac{\sqrt{33}}{4} - \frac{1}{4} \)

\( \implies x = \frac{\sqrt{33}-1}{4} \)
Case II: जब \( \frac{\sqrt{33}}{4} \) एक ऋणात्मक है
\( x+\frac{1}{4} = -\frac{\sqrt{33}}{4} \)

\( \implies x = -\frac{\sqrt{33}}{4} - \frac{1}{4} \)

\( \implies x = -\frac{\sqrt{33}-1}{4} \)
इस प्रकार वांछित मूल है:
\( x = \frac{\sqrt{33}-1}{4} \) और \( x = -\frac{\sqrt{33}-1}{4} \)
(iii) 4x2 + 4√3x + 3 = 0
Answer:
हमें प्राप्त है किः
\( 4x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0 \)
सभी पदों को \( 4 \) से भाग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( x^2 + \sqrt{3}x + \frac{3}{4} = 0 \)

\( \implies \left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = 0 \)

\( \implies \left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 0 \)

\( \implies \left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 0 \)

\( \implies x+\frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \)

\( \implies x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) और \( x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
इस प्रकार वांछित मूल हैं:
\( x=-\frac{\sqrt{3}}{2}; x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
(iv) 2x2 + x + 4 = 0
Answer:
हमें प्राप्त है किः
\( 2x^2+x+4=0 \)...(1)
(1) के प्रत्येक पद को \( 2 \) से भाग करने पर,
\( x^2+\frac{x}{2}+2 = 0 \)

\( \implies \left(x+\frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 2 = 0 \)

\( \implies \left(x+\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{16} + 2 = 0 \)

\( \implies \left(x+\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{-1+32}{16} = 0 \)

\( \implies \left(x+\frac{1}{4}\right)^2 = -\frac{31}{16} \)
परन्तु किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
.. \( \left(x+\frac{1}{4}\right)^2 \) एक वास्तविक संख्या नहीं है।
इस प्रकार, दिए गये समीकरण के वास्तविक मूल नहीं है।
In simple words: पूर्ण वर्ग विधि में, हम एक द्विघात समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) को \( (x+k)^2 = d \) के रूप में बदलते हैं। इसके लिए, पहले \( x^2 \) के गुणांक को \( 1 \) बनाते हैं, फिर \( x \) के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ते हैं। यह विधि हमेशा काम करती है और वास्तविक मूलों का पता लगाती है। यदि \( d \) ऋणात्मक आता है, तो कोई वास्तविक मूल नहीं होते।

🎯 Exam Tip: पूर्ण वर्ग विधि में \( x \) के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ना और घटाना महत्वपूर्ण है। \( \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \) को समीकरण में जोड़ने और घटाने से पूर्ण वर्ग बनता है। यदि हल करते समय वर्ग का मान ऋणात्मक आ जाए, तो वास्तविक मूलों का अस्तित्व नहीं होगा।

 

Case II: जब \( \frac{5}{4} \) ऋणात्मक है, तो \( x - \frac{7}{4} = -\frac{5}{4} \)
\( \implies x = -\frac{5}{4} + \frac{7}{4} \)
\( \implies x = \frac{2}{4} \implies x = \frac{1}{2} \) इस प्रकार दिए गये समीकरण के मूल हैं: \( x = \frac{1}{2}; x = 3 \)
Answer: \( x = 3, x = \frac{1}{2} \)
In simple words: The roots of the quadratic equation are found by solving for x in both positive and negative cases after completing the square.

🎯 Exam Tip: Always check both positive and negative square roots when solving equations by the completing the square method to find all possible roots.

 

Question 1. (ii) 2x² + x - 4 = 0
Answer: हमें प्राप्त है कि \( 2x^2 + x - 4 = 0 \) सभी पदों को 2 से भाग करने पर, \( x^2 + \frac{x}{2} - 2 = 0 \)
\( \implies \left\{ x + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) \right\}^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 = 0 \)
\( \implies \left( x + \frac{1}{4} \right)^2 - \frac{1}{16} - 2 = 0 \)
\( \implies \left( x + \frac{1}{4} \right)^2 - \frac{1+32}{16} = 0 \)
\( \implies \left( x + \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{33}{16} \)
\( \implies x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{\frac{33}{16}} \)
\( \implies x + \frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{33}}{4} \) Case I: जब \( \frac{\sqrt{33}}{4} \) एक धनात्मक है \( x + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{33}}{4} \)
\( \implies x = \frac{\sqrt{33}}{4} - \frac{1}{4} \)
\( \implies x = \frac{\sqrt{33}-1}{4} \) Case II: जब \( \frac{\sqrt{33}}{4} \) एक ऋणात्मक है \( x + \frac{1}{4} = -\frac{\sqrt{33}}{4} \)
\( \implies x = -\frac{\sqrt{33}}{4} - \frac{1}{4} \)
\( \implies x = \frac{-\sqrt{33}-1}{4} \) इस प्रकार वांछित मूल है: \( x = \frac{\sqrt{33}-1}{4} \) और \( x = \frac{-\sqrt{33}-1}{4} \)
In simple words: The roots are found by using the completing the square method, which involves rearranging the equation to isolate a perfect square term and then taking the square root of both sides.

🎯 Exam Tip: When dealing with square roots that cannot be simplified further, express the answer in terms of these radicals. Remember to simplify fractions if possible.

 

Question 1. (iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
Answer: हमें प्राप्त है कि: \( 4x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0 \) सभी पदों को 4 से भाग करने पर, हमें प्राप्त होता है: \( x^2 + \sqrt{3}x + \frac{3}{4} = 0 \)
\( \implies \left( x + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} = 0 \)
\( \implies \left( x + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 0 \)
\( \implies \left( x + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 0 \)
\( \implies x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \)
\( \implies x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) और \( x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) इस प्रकार वांछित मूल हैं: \( x = -\frac{\sqrt{3}}{2}; x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
In simple words: This quadratic equation simplifies to a perfect square, resulting in two identical real roots.

🎯 Exam Tip: Recognizing perfect square trinomials can significantly simplify the process of finding roots. For repeated roots, write the root twice for clarity.

 

Question 1. (iv) 2x² + x + 4 = 0
Answer: हमें प्राप्त है कि: \( 2x^2 + x + 4 = 0 \) ...(1) (1) के प्रत्येक पद को 2 से भाग करने पर, \( x^2 + \frac{x}{2} + 2 = 0 \)
\( \implies \left\{ x + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) \right\}^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 = 0 \)
\( \implies \left( x + \frac{1}{4} \right)^2 - \frac{1}{16} + 2 = 0 \)
\( \implies \left( x + \frac{1}{4} \right)^2 - \frac{1-32}{16} = 0 \)
\( \implies \left( x + \frac{1}{4} \right)^2 = -\frac{31}{16} \) परन्तु किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
\( \therefore \left( x + \frac{1}{4} \right)^2 \) एक वास्तविक संख्या नहीं है। इस प्रकार, दिए गये समीकरण के वास्तविक मूल नहीं है।
In simple words: When the square of a real number expression is equal to a negative number, there are no real roots for the equation.

🎯 Exam Tip: Always check if the term (x + a)² equals a negative number. If it does, the equation has no real roots, and you should conclude that without proceeding further to complex numbers unless specified.

 

Question 2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात कीजिए।
Answer:

 

Question 2. (i) 2x² - 7x + 3 = 0
Answer: हमें प्राप्त है कि \( 2x^2 - 7x + 3 = 0 \) ...(1) (1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) के साथ करने पर, \( a = 2, b = -7, c = 3 \) \( b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 \) चूंकि \( b^2 - 4ac > 0 \)
\( \therefore \) दी गई समीकरण के मूल वास्तविक हैं। अतः मूल हैं: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( \implies x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{7 \pm 5}{4} \) धनात्मक चिन्ह लेने पर, \( x = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3 \) ऋणात्मक चिन्ह लेने पर, \( x = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) अतः \( x = 3, x = \frac{1}{2} \)
In simple words: Using the quadratic formula, we substitute the coefficients and simplify to find two distinct real roots.

🎯 Exam Tip: The quadratic formula is a universal method. Remember to calculate the discriminant \( b^2 - 4ac \) first to determine the nature of the roots before proceeding.

 

Question 2. (ii) 2x² + x - 4 = 0
Answer: हमें प्राप्त है कि: \( 2x^2 + x - 4 = 0 \) ...(1) (1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर, \( a = 2, b = 1, c = -4 \) \( b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(2)(-4) = 1 + 32 = 33 \) चूंकि \( b^2 - 4ac > 0 \) है।
\( \therefore \) दिए गये समीकरण के मूल वास्तविक हैं। अब, \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( \implies x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4} \)
\( \implies x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4} \) और \( x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4} \) इस प्रकार, दिए गये समीकरण के मूल हैं: \( x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}; x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4} \)
In simple words: The quadratic formula is used to directly calculate the two distinct real roots involving a square root since the discriminant is positive.

🎯 Exam Tip: Be careful with signs when substituting values into the quadratic formula. Ensure the square root of the discriminant is correctly simplified or left in its radical form.

 

Question 2. (iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
Answer: हमें प्राप्त है कि: \( 4x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0 \) ...(1) (1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर, \( a = 4, b = 4\sqrt{3}, c = 3 \)
\( \therefore b^2 - 4ac = (4\sqrt{3})^2 - 4(4)(3) \) \( = (16 \times 3) - 48 = 48 - 48 = 0 \) चूंकि \( b^2 - 4ac = 0 \)
\( \therefore \) दिए गये समीकरण के मूल वास्तविक हैं: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( \implies x = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{2(4)} \) \( = \frac{-4\sqrt{3} \pm 0}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \implies x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) और \( x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) अतः मूल हैं: \( x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
In simple words: Since the discriminant is zero, the quadratic equation has two identical real roots, which are found directly using the quadratic formula.

🎯 Exam Tip: When the discriminant is zero, the roots are real and equal. This means the quadratic is a perfect square. Make sure to simplify the radical terms properly.

 

Question 2. (iv) 2x² + x + 4 = 0
Answer: हमें प्राप्त है कि: \( 2x^2 + x + 4 = 0 \) ...(1) (1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर, \( a = 2, b = 1, c = 4 \) \( b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(2)(4) = 1 - 32 = -31 \) चूंकि \( b^2 - 4ac < 0 \) हैं,
\( \therefore \) दिए गये समीकरण के मूल वास्तविक नहीं हैं।
In simple words: Because the discriminant is negative, the quadratic equation has no real roots.

🎯 Exam Tip: If the discriminant is negative, immediately state that there are no real roots. No further calculations are needed for real roots.

 

Question 3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :

 

Question 3. (i) \( x - \frac{1}{x} = 3, x \ne 0 \)
Answer: हमें प्राप्त है कि: \( x - \frac{1}{x} = 3 \)
\( \implies x^2 - 1 = 3x \)
\( \implies x^2 - 3x - 1 = 0 \) ...(1) (1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर, \( a = 1, b = -3, c = -1 \)
\( \therefore b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-1) \) \( = 9 + 4 = 13 > 0 \) \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( \implies x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{13}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} \) धनात्मक चिन्ह लेने पर, \( x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \) ऋणात्मक चिन्ह लेने पर, \( x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \) इस प्रकार दिए गये समीकरण के अभीष्ठ मूल हैं: \( x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}; x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \)
In simple words: First, convert the given equation into a standard quadratic form, then apply the quadratic formula to find its roots.

🎯 Exam Tip: Always clear denominators and rearrange the equation into \( ax^2 + bx + c = 0 \) form before applying the quadratic formula. Remember to handle negative signs carefully.

 

Question 3. (ii) \( \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-7} = \frac{11}{30}, x \ne -4, 7 \)
Answer: हमें प्राप्त है कि: \( \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-7} = \frac{11}{30} \)
\( \implies \frac{x-7-(x+4)}{(x+4)(x-7)} = \frac{11}{30} \)
\( \implies \frac{x-7-x-4}{x^2 - 7x + 4x - 28} = \frac{11}{30} \)
\( \implies \frac{-11}{x^2 - 3x - 28} = \frac{11}{30} \)
\( \implies -11 \times 30 = 11(x^2 - 3x - 28) \)
\( \implies -30 = x^2 - 3x - 28 \)
\( \implies x^2 - 3x - 28 + 30 = 0 \)
\( \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \) ...(1) (1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से तुलना करने पर, \( a = 1, b = -3, c = 2 \)
\( \therefore b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 > 0 \) समीकरण (1) के वास्तविक मूल हैं, जो कि इस प्रकार हैं: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( \implies x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 \pm 1}{2} \) + का चिन्ह लेने पर \( x = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) - का चिन्ह लेने पर \( x = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) इस प्रकार, दी गई समीकरण के मूल इस प्रकार हैं: \( x = 2; x = 1 \)
In simple words: Combine the fractional terms, simplify the resulting equation into a quadratic form, and then use the quadratic formula to find the two distinct real roots.

🎯 Exam Tip: When solving equations with fractions, always find a common denominator and combine terms carefully. Ensure all domain restrictions for x are maintained throughout the solution process.

 

Question 4. 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षो में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग [latex]\frac { 1 }{ 3 }[/latex] है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: माना रहमान की वर्तमान आयु = \( x \) वर्ष
\( \therefore \) 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = \( (x - 3) \) वर्ष 5 वर्ष बाद रहमान की आयु = \( (x + 5) \) वर्ष अब शर्त के अनुसार, \( \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{3} \)
\( \implies \frac{(x+5) + (x-3)}{(x-3)(x+5)} = \frac{1}{3} \)
\( \implies 3[x+5+x-3] = (x-3)(x+5) \)
\( \implies 3[2x+2] = x^2 + 5x - 3x - 15 \)
\( \implies 6x + 6 = x^2 + 2x - 15 \)
\( \implies x^2 + 2x - 6x - 15 - 6 = 0 \)
\( \implies x^2 - 4x - 21 = 0 \) ...(1) अब, (1) की \( ax^2 + bx + c = 0 \) से तुलना करने पर, \( a = 1, b = -4, c = -21 \)
\( \therefore b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-21) \) \( = 16 + 84 = 100 \) चूंकि \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( \implies x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{100}}{2(1)} \) \( x = \frac{4 \pm 10}{2} \) + ve चिन्ह लेने पर, \( x = \frac{4+10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) - ve चिन्ह लेने पर, \( x = \frac{4-10}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) चूंकि आयु -ve नहीं हो सकती
\( \implies x = 7 \) अतः रहमान की वर्तमान आयु = 7 वर्ष
In simple words: Represent Rahman's age at different points in time, set up an equation based on the given reciprocal sum, and solve the resulting quadratic equation for the valid age.

🎯 Exam Tip: Always check the validity of your roots in word problems. Age cannot be negative, so discard any negative solutions. Formulate the equation carefully to avoid errors.

 

Question 5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए|
Answer: हल: माना शेफाली के गणित में प्राप्त अंक = \( x \) चूंकि गणित और अंग्रेजी के अंकों का योग = 30
\( \therefore \) अंग्रेजी में प्राप्त अंक = \( (30-x) \) अब, शर्त के अनुसार, \( (x+2) \times [(30-x)-3] = 210 \)
\( \implies (x+2) \times (30-x-3) = 210 \)
\( \implies (x+2) \times (27-x) = 210 \)
\( \implies 27x - x^2 + 54 - 2x = 210 \)
\( \implies -x^2 + 25x + 54 = 210 \)
\( \implies -x^2 + 25x + 54 - 210 = 0 \)
\( \implies -x^2 + 25x - 156 = 0 \)
\( \implies x^2 - 25x + 156 = 0 \) ...(1) अब, (1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर, \( a = 1, b = -25, c = 156 \)
\( \therefore b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4(1)(156) \) \( = 625 - 624 = 1 \) चूंकि \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( \implies x = \frac{-(-25) \pm \sqrt{1}}{2(1)} \) \( x = \frac{25 \pm 1}{2} \) + ve चिन्ह लेने पर \( x = \frac{25+1}{2} = \frac{26}{2} = 13 \) - ve चिन्ह लेने पर \( x = \frac{25-1}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) जब, \( x = 12 \) हो, तो \( 30 - 12 = 18 \) (अंग्रेजी के अंक) जब \( x = 13 \) हो, तो \( 30 - 13 = 17 \) (अंग्रेजी के अंक) इस प्रकार, गणित के अंक 13 और अंग्रेजी के अंक = 17 या गणित के अंक = 12 और अंग्रेजी के अंक = 18
In simple words: Formulate an equation based on the given conditions about marks and their product, then solve the quadratic equation to find the possible marks in each subject.

🎯 Exam Tip: Define variables clearly. When multiple solutions arise from a quadratic, ensure both are considered for the context of the problem, and present both sets of marks if applicable.

 

Question 6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए |
Answer: हल: माना खेत की छोटी भुजा (चौड़ाई) = \( x \) मी.
\( \therefore \) खेत की लम्बी भुजा (लम्बाई) = \( (x + 30) \) मी. चूंकि एक आयत = \( \sqrt{(\text{लम्बाई})^2 + (\text{चौड़ाई})^2} \) \( x + 60 = \sqrt{x^2 + (x+30)^2} \) दोनों ओर वर्ग करने पर, \( (x + 60)^2 = x^2 + (x+30)^2 \)
\( \implies x^2 + 120x + 3600 = x^2 + x^2 + 60x + 900 \)
\( \implies x^2 + 120x + 3600 = 2x^2 + 60x + 900 \)
\( \implies 2x^2 - x^2 + 60x - 120x + 900 - 3600 = 0 \)
\( \implies x^2 - 60x - 2700 = 0 \) ...(1) (1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर, \( a = 1, b = -60, c = -2700 \)
\( \therefore b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4(1)(-2700) \) \( = 3600 + 10800 = 14400 \) चूंकि \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( \implies x = \frac{-(-60) \pm \sqrt{14400}}{2(1)} \) \( x = \frac{60 \pm 120}{2} \) अब, + ve चिन्ह लेने पर, \( x = \frac{60+120}{2} = \frac{180}{2} = 90 \) - ve चिन्ह लेने पर, \( x = \frac{60-120}{2} = \frac{-60}{2} = -30 \) परन्तु (चौड़ाई) अर्थात् खेत की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
\( \implies x = 90 \)
\( \implies \) खेत की चौड़ाई = 90 मी.
\( \implies \) खेत की लम्बाई = \( x + 30 = 90 + 30 = 120 \) मी. अतः छोटी भुजा = 90 मी. और बड़ी भुजा = 120 मी.
In simple words: Define the sides of the rectangle using a variable, apply the Pythagorean theorem for the diagonal, form a quadratic equation, and solve for the valid dimensions.

🎯 Exam Tip: In geometric problems, always discard negative solutions for lengths or dimensions as they are not physically possible. Clearly state the dimensions of the object in the final answer.

 

Question 7. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुणा है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: माना छोटी संख्या = \( x \) चूंकि (छोटी संख्या)\(^2\) = 8 (बड़ी संख्या)
\( \implies x^2 = 8 \times \) (बड़ी संख्या)
\( \implies \) बड़ी संख्या = \( \frac{x^2}{8} \) अब, शर्त के अनुसार, \( \left(\frac{x^2}{8}\right)^2 - x^2 = 180 \) (बड़ी संख्या का वर्ग - छोटी संख्या का वर्ग = 180)
\( \implies \frac{x^4}{64} - x^2 = 180 \) Let \( y = x^2 \). Then the equation becomes: \( \frac{y^2}{64} - y = 180 \) \( y^2 - 64y = 180 \times 64 \) \( y^2 - 64y = 11520 \) \( y^2 - 64y - 11520 = 0 \) Wait, the provided solution uses a different approach. Let's follow the provided one. माना छोटी संख्या = \( x \) चूंकि (छोटी संख्या)\(^2\) = 8 (बड़ी संख्या)
\( \implies \) बड़ी संख्या = \( \frac{x^2}{8} \) अब, शर्त के अनुसार, \( (\text{बड़ी संख्या})^2 - (\text{छोटी संख्या})^2 = 180 \) \( \left(\frac{x^2}{8}\right)^2 - x^2 = 180 \) \( \frac{x^4}{64} - x^2 = 180 \) Let's re-read the original OCR. It says: छोटी संख्या = x (छोटी संख्या)2 = 8(बड़ी संख्या) (छोटी संख्या)2 = 8x छोटी संख्या = √8x This implies that `छोटी संख्या` is `y`, and `बड़ी संख्या` is `x`, or they are setting up some temporary assumption that `छोटी संख्या^2` is 8 times *some* x. Let's assume the solution means `छोटी संख्या = x` and `बड़ी संख्या = y`. Then \( x^2 = 8y \implies y = \frac{x^2}{8} \). This is one relation. And \( y^2 - x^2 = 180 \). (वर्गों का अन्तर 180 है, छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुणा है।) So, big number's square minus small number's square is 180. Let the larger number be Y and the smaller number be X. Given: \( Y^2 - X^2 = 180 \) ...(1) Given: \( X^2 = 8Y \) ...(2) Substitute (2) into (1): \( Y^2 - 8Y = 180 \) \( Y^2 - 8Y - 180 = 0 \) Compare with \( ax^2 + bx + c = 0 \): \( a = 1, b = -8, c = -180 \)
\( \therefore b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(-180) \) \( = 64 + 720 = 784 \) चूंकि \( Y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( \implies Y = \frac{-(-8) \pm \sqrt{784}}{2(1)} \) \( Y = \frac{8 \pm 28}{2} \) + ve चिन्ह लेने पर, \( Y = \frac{8+28}{2} = \frac{36}{2} = 18 \) - ve चिन्ह लेने पर, \( Y = \frac{8-28}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \) परन्तु \( Y = -10 \), अवांछनीय है (as Y is a number from \( X^2=8Y \), Y must be positive, or at least \( Y^2 \) must be positive, and a square root needs positive for real roots).
\( \therefore \) बड़ी संख्या = 18 अब, \( X^2 = 8Y = 8 \times 18 = 144 \)
\( \implies X = \pm \sqrt{144} = \pm 12 \)
\( \therefore \) छोटी संख्या = \( \pm 12 \) अतः बड़ी संख्या = 12 या -12 (This seems like a mistake, the solution states Badi Sankhya = 12 or -12, which should be choti sankhya). Let's use the solution's exact variables. हल: माना छोटी संख्या = \( x \) चूंकि (छोटी संख्या)\(^2\) = 8 (बड़ी संख्या) This line means, if 'choti sankhya' is x, then \( x^2 = 8 \times \text{Badi Sankhya} \). So Badi Sankhya \( = x^2/8 \). The next line in the OCR is `(छोटी संख्या)2 = 8x`. This is a contradiction if 'x' is the chhoti sankhya. It implies that `बड़ी संख्या` is also `x`. This is what's used. Let's re-interpret the OCR's text for `छोटी संख्या = x` and then `(छोटी संख्या)2 = 8x`. This implies `बड़ी संख्या` is also taken as `x` for the `8x` part. This is confusing. Let's stick to the interpretation that leads to the result shown in the PDF's working. The PDF's working seems to interpret `छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुणा है` as `(छोटी संख्या)^2 = 8 * (छोटी संख्या)` if `x` is `छोटी संख्या`. No, that's not right. The PDF says: छोटी संख्या = x (छोटी संख्या)\(^2\) = 8(बड़ी संख्या)
\( \implies (\text{छोटी संख्या})^2 = 8x \) This `8x` implies `x` is `बड़ी संख्या`. This is a very common source of confusion in Hindi text if the variable names are not explicit. So, let's assume from the PDF working that: `बड़ी संख्या = x` (as used in 8x) `छोटी संख्या = \sqrt{8x}` (from `(छोटी संख्या)^2 = 8 \times (\text{बड़ी संख्या}) \implies (\text{छोटी संख्या})^2 = 8x`) Now, difference of squares is 180. `बड़ी संख्या का वर्ग - छोटी संख्या का वर्ग = 180` \( x^2 - (\sqrt{8x})^2 = 180 \)
\( \implies x^2 - 8x = 180 \)
\( \implies x^2 - 8x - 180 = 0 \) ...(1) (1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर, \( a = 1, b = -8, c = -180 \)
\( \therefore b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(-180) \) \( = 64 + 720 = 784 \) चूंकि \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( \implies x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{784}}{2(1)} \) \( x = \frac{8 \pm 28}{2} \) (as \( \sqrt{784} = 28 \)) + ve चिन्ह लेने पर, \( x = \frac{8+28}{2} = \frac{36}{2} = 18 \) - ve चिन्ह लेने पर, \( x = \frac{8-28}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \) परन्तु \( x = -10 \), अवांछनीय है। (क्योंकि बड़ी संख्या के वर्ग में से छोटी संख्या का वर्ग घटाने पर 180 आता है, तो बड़ी संख्या सकारात्मक होनी चाहिए, और छोटी संख्या का वर्ग भी सकारात्मक होना चाहिए, जो बड़ी संख्या के सकारात्मक मान से ही संभव है।)
\( \therefore \) बड़ी संख्या = 18 अब, छोटी संख्या = \( \sqrt{8x} = \sqrt{8 \times 18} = \sqrt{144} = \pm 12 \) अतः बड़ी संख्या = 18 और छोटी संख्या = 12 या -12 इस प्रकार दो संख्याएँ हैं: (18, 12) या (18, -12)
In simple words: Define the two numbers based on the given relationships, set up a quadratic equation from the difference of their squares, and solve it to find the possible pairs of numbers.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to how variables are defined for "छोटी संख्या" and "बड़ी संख्या" from the problem statement. Always discard solutions that are not consistent with physical or mathematical constraints (e.g., a square root must lead to non-negative values for quantities like lengths, but for numbers, negative values are possible if their square is positive). In this case, since \( X^2=8Y \), if Y is negative, then \( X^2 \) would be negative, which has no real solution for X.

 

Question 8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दुरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती | रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए |
Answer: हल: माना रेलगाड़ी की चाल = \( x \) किमी./घं. चूंकि समय = \( \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} \)
\( \therefore \) समय = \( \frac{360}{x} \) घं. जब गाड़ी की चाल 5 किमी./घं. अधिक हो, तो समय 1 घं. कम लगता है। \( \frac{360}{x+5} = \frac{360}{x} - 1 \)
\( \implies \frac{360}{x+5} - \frac{360}{x} = -1 \)
\( \implies 360 \left( \frac{1}{x+5} - \frac{1}{x} \right) = -1 \)
\( \implies 360 \left( \frac{x - (x+5)}{x(x+5)} \right) = -1 \)
\( \implies 360 \left( \frac{x - x - 5}{x^2 + 5x} \right) = -1 \)
\( \implies 360(-5) = -1(x^2 + 5x) \)
\( \implies -1800 = -x^2 - 5x \)
\( \implies x^2 + 5x - 1800 = 0 \) ...(1) (1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर, \( a = 1, b = 5, c = -1800 \)
\( \therefore b^2 - 4ac = (5)^2 - 4(1)(-1800) \) \( = 25 + 7200 = 7225 \) चूंकि \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( \implies x = \frac{-5 \pm \sqrt{7225}}{2(1)} \) \( x = \frac{-5 \pm 85}{2} \) (as \( \sqrt{7225} = 85 \)) + ve चिन्ह लेने पर, \( x = \frac{-5+85}{2} = \frac{80}{2} = 40 \) - ve चिन्ह लेने पर, \( x = \frac{-5-85}{2} = \frac{-90}{2} = -45 \) चूंकि, चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती
\( \implies x = 40 \)
\( \therefore \) गाड़ी की अभीष्ठ चाल = 40 किमी/घंटा
In simple words: Set up expressions for time taken at original and increased speeds, then form an equation based on the time difference, leading to a quadratic equation for the train's speed.

🎯 Exam Tip: Remember the formula `Time = Distance / Speed`. When dealing with speed-time problems, always check that your final speed is positive. Clearly define initial and changed speeds.

 

Question 9. दो पानी के नल एक-साथ हौज को भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: माना छोटा नल हौज को \( x \) घंटों में भरता है।
\( \therefore \) बड़े हौज द्वारा लिया गया समय = \( (x - 10) \) घंटे
\( \implies \) 1 घंटे में बड़े नल से भरा गया हौज का भाग = \( \frac{1}{x-10} \) दोनों नल मिलकर हौज को 9 घंटे 3/8 घंटे में भरते हैं।
\( \implies 9 \frac{3}{8} = \frac{75}{8} \) घंटे अर्थात् \( \frac{75}{8} \) घंटों में बड़े नल से भरा गया हौज का भाग = \( \frac{1}{x-10} \times \frac{75}{8} \) इसी प्रकार, \( \frac{75}{8} \) घंटों में छोटे नल से हौज का भरा गया भाग = \( \frac{1}{x} \times \frac{75}{8} \) दोनों मिलकर पूरा हौज भरते हैं, इसलिए दोनों भागों का योग 1 होगा: \( \frac{75}{8(x-10)} + \frac{75}{8x} = 1 \)
\( \implies \frac{75}{8} \left( \frac{1}{x-10} + \frac{1}{x} \right) = 1 \)
\( \implies \frac{75}{8} \left( \frac{x + (x-10)}{x(x-10)} \right) = 1 \)
\( \implies \frac{75}{8} \left( \frac{2x-10}{x^2-10x} \right) = 1 \)
\( \implies 75(2x-10) = 8(x^2-10x) \)
\( \implies 150x - 750 = 8x^2 - 80x \)
\( \implies 8x^2 - 80x - 150x + 750 = 0 \)
\( \implies 8x^2 - 230x + 750 = 0 \) ...(1) (1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर \( a = 8, b = -230, c = 750 \)
\( \therefore b^2 - 4ac = (-230)^2 - 4(8)(750) \) \( = 52900 - 24000 = 28900 \) चूंकि \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( \implies x = \frac{-(-230) \pm \sqrt{28900}}{2(8)} \) \( x = \frac{230 \pm 170}{16} \) (as \( \sqrt{28900} = 170 \)) + ve sign लेने पर \( x = \frac{230+170}{16} = \frac{400}{16} = 25 \) - ve sign लेने पर, \( x = \frac{230-170}{16} = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} \) परन्तु \( x = \frac{15}{4} \) होने पर छोटे नल का समय = \( \frac{15}{4} = 3.75 \) घंटे बड़े नल का समय = \( x - 10 = \frac{15}{4} - 10 = \frac{15-40}{4} = -\frac{25}{4} \) जो कि अवांछनीय है। [समय ऋणात्मक नहीं हो सकता]
\( \therefore x = 25 \)
\( \implies x-10 = 25-10 = 15 \) इस प्रकार, हौज को पूरा भरने के लिए छोटे नल द्वारा लिया गया समय = 25 घं. और बड़े नल द्वारा लिया गया समय = 15 घं.
In simple words: Assign variables for the time taken by each pipe, set up an equation based on their combined work rate, solve the quadratic, and choose valid time values.

🎯 Exam Tip: For work-rate problems, always use the reciprocal of time for the rate (e.g., 1/x). Time cannot be negative, so discard any negative roots from your quadratic solution.

 

Question 10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)| यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना एक्सप्रेस रेलगाड़ी की चाल = x किमी./घं.

सवारी रेलगाड़ी की चाल = (x - 11) किमी./घं.
कुल तय की गई दूरी = 132 किमी.
एक्सप्रेस रेल द्वारा तय किया गया समय = \( \frac{132}{x} \) घं.
सवारी रेल द्वारा तय किया गया समय = \( \frac{132}{x - 11} \) घं.
शर्त के अनुसार,
\( \frac{132}{x - 11} - \frac{132}{x} = 1 \)
\( \implies 132 \left( \frac{1}{x - 11} - \frac{1}{x} \right) = 1 \)
\( \implies 132 \left( \frac{x - (x - 11)}{x(x - 11)} \right) = 1 \)
\( \implies 132 \left( \frac{-11}{x^2 + 11x} \right) = -1 \)
\( \implies -11(132) = -1(x^2 + 11x) \)
\( \implies -1452 = -1(x^2 + 11x) \)
\( \implies x^2 + 11x - 1452 = 0 \) ...(1)
(1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर,
\( a = 1, b = 11, c = -1452 \)
\( b^2 - 4ac = (11)^2 - 4(1)(-1452) \)
\( \implies b^2 - 4ac = 121 + 5808 = 5929 \)
चूंकि \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( x = \frac{-11 \pm \sqrt{5929}}{2(1)} \)
\( x = \frac{-11 \pm 77}{2} \) [\( \sqrt{5929} = 77 \)]
+ ve चिन्ह लेने पर,
\( x = \frac{-11 + 77}{2} = \frac{66}{2} = 33 \)
- ve चिन्ह लेने पर,
\( x = \frac{-11 - 77}{2} = \frac{-88}{2} = -44 \)
परन्तु चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती
\( \therefore x = -44 \) अवांछनीय है।
\( \implies x = 33 \) किमी./घं.
औसत चाल (साधारण रेलगाड़ी के लिए)
चूंकि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की चाल = (x + 11) किमी./घं
= (33 + 11) किमी./घं.
= 44 किमी./घं.
इस प्रकार, सवारी गाड़ी की चाल = 33 किमी./घं.
और एक्सप्रेस रेलगाड़ी की चाल = 44 किमी./घं.
In simple words: हमने एक्सप्रेस रेलगाड़ी की चाल x मानी, जिससे सवारी गाड़ी की चाल (x-11) हो गई। दिए गए समय के अंतर का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण \( x^2 + 11x - 1452 = 0 \) बनाया। इस समीकरण को हल करके x का मान 33 किमी/घंटा प्राप्त हुआ, जो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चालें निर्धारित करता है।

🎯 Exam Tip: चाल-दूरी-समय से संबंधित प्रश्नों में, हमेशा अलग-अलग स्थितियों के लिए समय के सूत्रों को सही ढंग से स्थापित करें और उन्हें दिए गए अंतर या योग के बराबर रखें। द्विघात सूत्र का उपयोग करके समीकरण को हल करें और नकारात्मक मानों को त्यागें क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।

 

Question 11. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m2 है| यदि उनके परिमापों का अन्तर 24m हो, तो दोनों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए |
Answer: हलः माना छोटे वर्ग की भुजा = x मी.
छोटे वर्ग का परिमाप = 4x मी.
\( \implies \) बड़े वर्ग का परिमाप = (4x + 24) मी.
चूंकि बड़े वर्ग की भुजा = \( \frac{\text{परिमाप}}{4} \)
= \( \frac{4x + 24}{4} \)
= \( \frac{4(x + 6)}{4} \)
= (x + 6) मी.
अब छोटे वर्ग का क्षेत्रफल = \( x \times x \) वर्ग मी.
= \( x^2 \) वर्ग मी.
बड़े वर्ग का क्षेत्रफल = \( (x + 6)^2 \) वर्ग मी.
शर्त के अनुसार \( x^2 + (x + 6)^2 = 468 \)
\( \implies x^2 + x^2 + 12x + 36 = 468 \)
\( \implies 2x^2 + 12x - 432 = 0 \)
\( \implies x^2 + 6x - 216 = 0 \) ...(1)
(1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर
\( a = 1, b = 6, c = -216 \)
\( b^2 - 4ac = (6)^2 - 4(1)(-216) \)
= \( 36 + 864 = 900 \)
चूंकि, \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( x = \frac{-6 \pm \sqrt{900}}{2(1)} \)
\( x = \frac{-6 \pm 30}{2} \)
+ ve चिन्ह लेने पर,
\( x = \frac{-6 + 30}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)
- ve चिन्ह लेने पर,
\( x = \frac{-6 - 30}{2} = \frac{-36}{2} = -18 \)
परन्तु, वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती
\( \therefore x = -18 \implies x = 12 \)
अतः छोटे वर्ग की भुजा = 12 मी.
बड़े वर्ग की भुजा = (x + 6) मी.
= (12 + 6) मी. = 18 मी.
In simple words: हमने छोटे वर्ग की भुजा को x मानकर और परिमाप के अंतर का उपयोग करके बड़े वर्ग की भुजा को (x+6) के रूप में व्यक्त किया। दोनों वर्गों के क्षेत्रफलों के योग का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण \( x^2 + 6x - 216 = 0 \) बनाया, जिसे हल करने पर छोटे वर्ग की भुजा 12 मी और बड़े वर्ग की भुजा 18 मी प्राप्त हुई।

🎯 Exam Tip: ज्यामिति संबंधी समस्याओं को हल करते समय, अज्ञात भुजाओं को चर के रूप में व्यक्त करें और दी गई शर्तों (जैसे क्षेत्रफल या परिमाप का अंतर) का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण बनाएं। सुनिश्चित करें कि आप ऋणात्मक मानों को त्यागें, क्योंकि भौतिक दूरियाँ ऋणात्मक नहीं हो सकतीं।

Exercise 4.4 (NCERT Page 100)

 

Question 1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए| यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
(i) 2x2 - 3x + 5 = 0
(ii) 3x2 - 4√3x + 4 = 0
(iii) 2×2 + 6x + 3 = 0
Answer: हल: (i) 2x2 - 3x + 5 = 0
हमें प्राप्त है \( 2x^2 - 3x + 5 = 0 \) ...(1)
(1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर,
\( a = 2, b = -3, c = 5 \)
विविक्तर = \( b^2 - 4ac \)
= \( (-3)^2 - 4(2)(5) \)
= \( 9 - 40 = -31 < 0 \)
चूंकि \( b^2 - 4ac \) ऋणात्मक है,
द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक नहीं है।
(ii) 3x2 - 4√3x + 4 = 0
हमें प्राप्त है किः \( 3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 0 \) ...(1)
(1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर,
\( a = 3, b = -4\sqrt{3}, c = 4 \)
\( b^2 - 4ac = [-4\sqrt{3}]^2 - 4(3)(4) \)
= \( (16 \times 3) - 48 = 48 - 48 = 0 \)
इस प्रकार, दी गई द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक हैं
और समान हैं। जो कि \( \frac{-b}{2a} \) और \( \frac{-b}{2a} \) के रूप में हैं।
i.e., \( x = \frac{-(-4\sqrt{3})}{2 \times 3} \) और \( x = \frac{-(-4\sqrt{3})}{2 \times 3} \)
\( \implies x = \frac{4\sqrt{3}}{6} \) और \( x = \frac{4\sqrt{3}}{6} \)
\( \implies x = \frac{2\sqrt{3}}{3} \) और \( x = \frac{2\sqrt{3}}{3} \)
\( \implies x = \frac{2}{\sqrt{3}} \) और \( x = \frac{2}{\sqrt{3}} \) [\( 3 = \sqrt{3} \times \sqrt{3} \)]
इस प्रकार, \( x = \frac{2}{\sqrt{3}} \) और \( x = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
(iii) 2x2 - 6x + 3 = 0
हमें प्राप्त है किः \( 2x^2 - 6x + 3 = 0 \) ...(1)
(1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर,
\( a = 2, b = -6, c = 3 \)
\( b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(2)(3) \)
= \( 36 - 24 = 12 > 0 \)
दी गई द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और
भिन्न-भिन्न होते हैं जो इस प्रकार हैं:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( \implies x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2 \times 2} \)
\( x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2} \)
इस प्रकार, वांछित मूल इस प्रकार हैं,
\( x = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \) ; \( x = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \)
In simple words: मूलों की प्रकृति जानने के लिए हमने प्रत्येक द्विघात समीकरण के विविक्तर (D = \( b^2 - 4ac \)) की गणना की। यदि D < 0, तो वास्तविक मूल नहीं होते हैं; यदि D = 0, तो वास्तविक और समान मूल होते हैं; और यदि D > 0, तो वास्तविक और भिन्न मूल होते हैं। फिर द्विघात सूत्र का उपयोग करके मूलों की गणना की।

🎯 Exam Tip: मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए सबसे पहले विविक्तर (discriminant) \( b^2 - 4ac \) की गणना करें। यह आपको बताएगा कि मूल वास्तविक हैं, समान हैं, या भिन्न हैं। उसके बाद ही यदि आवश्यक हो, तो द्विघात सूत्र का उपयोग करके मूलों की गणना करें।

 

Question 2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।
(i) 2x2 + kx + 3 = 0
(ii) kx (x - 2) + 6 = 0
Answer: हल: (i) 2x2 + kx + 3 = 0
हमें प्राप्त है किः
\( 2x^2 + kx + 3 = 0 \) ...(1)
(1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर
\( a = 2, b = k, c = 3 \)
समान मूलों के लिए, \( b^2 - 4ac = 0 \)
\( \implies (k)^2 - 4(2)(3) = 0 \)
\( \implies k^2 - 24 = 0 \)
\( \implies k^2 = 24 \)
\( \implies k = \pm \sqrt{24} \)
\( \implies k = \pm 2\sqrt{6} \)
इस प्रकार k का अभीष्ठ मूल्य है: \( -2\sqrt{6} \) और \( 2\sqrt{6} \)
(ii) kx(x - 2) + 6 = 0
हमें प्राप्त है किः
\( kx(x - 2) + 6 = 0 \)
या \( kx^2 - 2kx + 6 = 0 \) ...(1)
(1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर,
\( a = k, b = -2k, c = 6 \)
चूंकि मूल एक समान हैं,
\( b^2 - 4ac = 0 \)
\( \implies (-2k)^2 - 4(k)(6) = 0 \)
\( \implies 4k^2 - 24k = 0 \)
\( \implies 4k(k - 6) = 0 \)
\( \implies 4k = 0 \) या \( k - 6 = 0 \)
\( \implies k = 0 \) या \( k = 6 \)
परन्तु, यहाँ \( k \neq 0 \)
[ \( k = 0 \) होने पर दी गई समीकरण द्विघात नहीं होगी।]
अतः \( k = 6 \) , k का अभीष्ठ मूल्य है।
In simple words: बराबर मूलों के लिए, हमने प्रत्येक द्विघात समीकरण के विविक्तर (\( b^2 - 4ac \)) को शून्य के बराबर सेट किया। पहले समीकरण में, \( k^2 - 24 = 0 \) को हल करके \( k = \pm 2\sqrt{6} \) मिला। दूसरे समीकरण में, \( 4k^2 - 24k = 0 \) को हल करके \( k=0 \) या \( k=6 \) मिला; चूंकि \( k \neq 0 \) होना चाहिए (अन्यथा यह द्विघात समीकरण नहीं रहता), इसलिए \( k=6 \) हमारा उत्तर है।

🎯 Exam Tip: "बराबर मूलों" के लिए, हमेशा विविक्तर \( b^2 - 4ac \) को शून्य के बराबर सेट करें। सुनिश्चित करें कि आप k के उन मानों की जाँच करें जो समीकरण को द्विघात बनाए रखते हैं, खासकर जब k एक वर्ग के गुणांक के रूप में आता हो।

 

Question 3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m2 हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना कि चौड़ाई x मीटर है
लम्बाई = 2x मीटर
अब, क्षेत्रफल = लम्बाई \( \times \) चौड़ाई
= \( 2x \times x \) मी.² = \( 2x^2 \) मी.²
दी गई शर्त के अनुसार,
\( 2x^2 = 800 \)
\( \implies x^2 = \frac{800}{2} \)
\( \implies x^2 = 400 \)
\( \implies x = \pm \sqrt{400} \)
\( \implies x = \pm 20 \)
इसलिए, \( x = 20 \) और \( x = -20 \)
परन्तु \( x = -20 \) संभव नहीं है।
\( \therefore \) चौड़ाई ऋणात्मक नहीं होती है।
\( \therefore x = 20 \)
\( \implies 2x = 2 \times 20 = 40 \)
इस प्रकार, लम्बाई = 40 मी. और चौड़ाई = 20 मी.
In simple words: हमने चौड़ाई को x और लंबाई को 2x मान लिया, फिर क्षेत्रफल के सूत्र (\( \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \)) का उपयोग करके एक समीकरण \( 2x^2 = 800 \) बनाया। इसे हल करने पर x का मान 20 मीटर प्राप्त हुआ, जो संभव है। अतः, बगिया की चौड़ाई 20 मीटर और लंबाई 40 मीटर होगी।

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय समस्याओं में, अज्ञात आयामों को चरों के रूप में व्यक्त करें और दिए गए क्षेत्रफल या परिमाप की शर्तों का उपयोग करके एक समीकरण बनाएं। हमेशा ऋणात्मक समाधानों को त्यागें क्योंकि भौतिक दूरियाँ ऋणात्मक नहीं हो सकतीं।

 

Question 4. क्या निम्न स्थिति संभव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था |
Answer: हलः माना एक मित्र की आयु = x वर्ष
दूसरे मित्र की आयु = (20-x) वर्ष
[दोनों मित्रों की आयु का योग = 20 वर्ष]
4 वर्ष पूर्वः एक मित्र की आयु = (x - 4) वर्ष
दूसरे मित्र की आयु = (20-x-4) वर्ष
= (16-x) वर्ष
शर्त के अनुसार,
\( (x - 4) \times (16 - x) = 48 \)
\( \implies 16x - x^2 - 64 + 4x = 48 \)
\( \implies -x^2 + 20x - 64 - 48 = 0 \)
\( \implies -x^2 + 20x - 112 = 0 \)
\( \implies x^2 - 20x + 112 = 0 \) ...(1)
यहाँ, \( a = 1, b = -20 \) और \( c = 112 \)
\( b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(1)(112) \)
= \( 400 - 448 = -48 < 0 \)
चूंकि, \( b^2 - 4ac < 0 \) है।
द्विघात समीकरण (1) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
अतः दी गई द्विघात समीकरण के कोई मूल नहीं है।
In simple words: हमने एक मित्र की आयु को x और दूसरे की (20-x) माना। चार वर्ष पूर्व की आयु को लेकर उनके गुणनफल को 48 के बराबर रखा, जिससे \( x^2 - 20x + 112 = 0 \) समीकरण बना। इस समीकरण का विविक्तर (-48) ऋणात्मक आया, जिसका अर्थ है कि कोई वास्तविक मूल संभव नहीं है। इसलिए, यह स्थिति संभव नहीं है।

🎯 Exam Tip: आयु संबंधी समस्याओं में, वर्तमान आयु को चर के रूप में व्यक्त करें और विभिन्न समय अवधियों के लिए आयु को सही ढंग से समायोजित करें। समीकरण बनाने के बाद, विविक्तर की जाँच करें ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि स्थिति गणितीय रूप से संभव है या नहीं।

 

Question 5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400m2 के एक पार्क को बनाना संभव है ? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : माना पार्क का लंबाई = x m
परिमाप = 80 m
\( \implies 2[\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}] = 80 \) मी.
\( \implies 2[\text{लम्बाई} + x] = 80 \) मी.
\( \implies \text{लम्बाई} + x = \frac{80}{2} \) मी. = 40 मी.
\( \implies \text{लम्बाई} = (40 - x) \) मी.
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई \( \times \) चौड़ाई
= \( (40 - x) \times x \) वर्ग मी.
= \( 40x - x^2 \) वर्ग मी.
अब, दी गई शर्त के अनुसार,
चूंकि आयत का क्षे. = \( 400 \) m²
\( \implies 40x - x^2 = 400 \)
\( \implies -x^2 + 40x - 400 = 0 \)
\( \implies x^2 - 40x + 400 = 0 \) ...(1)
(1) की तुलना \( ax^2 + bx + c = 0 \) से करने पर
\( a = 1, b = -40, c = 400 \)
\( b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(1)(400) \)
= \( 1600 - 1600 = 0 \)
इस प्रकार, समीकरण (1) के दो वास्तविक मूल हैं और वे
इस प्रकार हैं:
\( x = \frac{-b}{2a} \) और \( x = \frac{-b}{2a} \)
\( \implies x = \frac{-(-40)}{2(1)} \)
\( x = \frac{40}{2} = 20 \)
चौड़ाई (x) = 20 मी.
और चौड़ाई = (40-x) मी.
= (40-20) = 20 मी.
इस प्रकार, लम्बाई = 20 मी. और चौड़ाई = 20 मी.
In simple words: हमने पार्क की चौड़ाई को x और लंबाई को (40-x) माना क्योंकि परिमाप 80 मी था। फिर क्षेत्रफल के सूत्र (\( \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \)) का उपयोग करके \( x^2 - 40x + 400 = 0 \) समीकरण बनाया। इस समीकरण का विविक्तर शून्य आया, जिसका अर्थ है कि मूल वास्तविक और समान हैं। हल करने पर, लंबाई और चौड़ाई दोनों 20 मी मिली, जो एक वर्ग पार्क के लिए संभव है।

🎯 Exam Tip: जब परिमाप और क्षेत्रफल दिए हों, तो अज्ञात भुजाओं (लंबाई और चौड़ाई) को चरों के रूप में व्यक्त करें और दो समीकरण बनाएं। फिर इन समीकरणों को हल करके एक द्विघात समीकरण प्राप्त करें। विविक्तर की जाँच करें ताकि यह निर्धारित हो सके कि भौतिक आयामों के साथ ऐसी स्थिति संभव है या नहीं।