UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials

प्रश्नावली 2.1 (NCERT Page 31)

 

Question 1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है | प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए |
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ (i) x-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को दर्शाता है। यह x-अक्ष को किसी भी बिंदु पर नहीं काटता है, जिससे शून्यांकों की संख्या शून्य हो जाती है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ (ii) एक परवलयिक वक्र को दर्शाता है जो x-अक्ष को एक बिंदु पर काटता है। यह दर्शाता है कि बहुपद का एक अद्वितीय शून्यांक है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ (iii) एक घन वक्र को दर्शाता है जो x-अक्ष को तीन अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है। इससे पता चलता है कि बहुपद के तीन भिन्न शून्यांक हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ (iv) एक परवलयिक वक्र को दर्शाता है जो x-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं पर काटता है। यह इंगित करता है कि बहुपद के दो शून्यांक हैं जहाँ वक्र x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ (v) एक वक्र को दर्शाता है जो x-अक्ष को चार भिन्न बिंदुओं पर काटता है। यह दर्शाता है कि बहुपद के चार शून्यांक हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ (vi) एक घन वक्र को दर्शाता है जो x-अक्ष को तीन भिन्न बिंदुओं पर काटता है। यह इंगित करता है कि बहुपद के तीन शून्यांक हैं जहाँ वक्र x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
Answer:
(i) दिया गया ग्राफ x-अक्ष के समानांतर है। यह x-अक्ष को किसी भी बिन्दु पर प्रतिच्छेद नहीं करता है। शून्यकों की संख्या = 0
(ii) दिया गया p(x) का ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर काटता है । p(x) के शून्यांकों की संख्या = 1
(iii) p(x) का ग्राफ x-अक्ष को तीन बिन्दुओं पर काटता है । p(x) के शून्यांकों की संख्या = 3
(iv) p(x) का ग्राफ x-अक्ष को दो बिन्दुओं पर काटता है । p(x) के शून्यांकों की संख्या = 2
(v) p(x) का ग्राफ x-अक्ष को चार बिन्दुओं पर काटता है । p(x) के शून्यांकों की संख्या = 4
(vi) p(x) का ग्राफ x-अक्ष को तीन बिन्दुओं पर काटता है । p(x) के शून्यांकों की संख्या = 3
In simple words: शून्यांकों की संख्या ग्राफ द्वारा x-अक्ष को काटने वाले बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है। ग्राफ को देखकर, हम प्रत्येक स्थिति में x-अक्ष को प्रतिच्छेद करने वाले बिंदुओं को गिनकर शून्यांकों की संख्या निर्धारित कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: शून्यांकों की संख्या ग्राफ के x-अक्ष को प्रतिच्छेद करने वाले बिंदुओं की संख्या से सीधे संबंधित होती है। प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदु एक शून्यांक को दर्शाता है, जो x-अक्ष पर बहुपद का मूल है।

 

किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध

 

प्रश्नावली 2.2 (NCERT Page 36)

 

Question 1. निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए |
(i) \(x^2 - 2x - 8\)
(ii) \(4s^2 - 4s + 1\)
(iii) \(6x^2 - 3-7x\)
(iv) \(4u^2 +8u\)
(v) \(t^2 - 15\)
(vi) \(3x^2 - x - 4\)
Answer:
(i) \(x^2-2x-8\)
माना \(p(x) = x^2-2x-8\)
\(p(x) = x^2 + 2x - 4x - 8\)
\(= x(x + 2)-4(x + 2)\)
\(= (x - 4) (x + 2)\)
\(p(x) = 0\) के लिए \((x + 2) (x - 4) = 0\)
या तो \((x + 2) = 0 \implies x=-2\)
या \((x-4) = 0 \implies x = 4\)
अतः \(p(x)\) के शून्यक \(4\) और \(-2\) हैं।
सत्यता की जाँचः
शून्यकों का योगफल \( = \frac{- x \text{ का गुणाक}}{x^2 \text{ का गुणाक}}\)
\(4+(-2) = \frac{-(-2)}{1} = \frac{2}{1} = 2\)

\(\implies 2 = 2\) अर्थात् LHS = RHS ...(1)
शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणाक}}\)
\(4 \times (-2) = \frac{-8}{1}\)

\(\implies - 8 = -8\) अर्थात् LHS = RHS ...(2)
(1) और (2) से शून्यकों और गुणांकों के संबंधों की सत्यता प्राप्त होती है।
(ii) \(4s^2-4s + 1\)
माना \(p(s) = 4s^2 - 4s + 1\)
\(= 4s^2-2s-2s +1\)
\(= 2s(2s-1) - 1(2s -1)\)
\(= (2s-1) (2s - 1)\)
\(\therefore p(x) = 0\) हो, तो \((2s - 1) = 0\)

\(\implies s= \frac{1}{2}\)
\(\therefore 4s^2 - 4s + 1\) के शून्यक \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{2}\) हैं।
सत्यता की जाँचः
शून्यकों का योगफल \( = \frac{- s \text{ का गुणाक}}{s^2 \text{ का गुणाक}}\)
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{-(-4)}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

\(\implies 1 = 1\) अर्थात् LHS = RHS ...(1)
शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{\text{अचर पद}}{s^2 \text{ का गुणाक}}\)
\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

\(\implies \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\) अर्थात् LHS = RHS ...(2)
(1) और (2) से शून्यकों और गुणांकों के संबंधों की सत्यता प्राप्त होती है।
(iii) \(6x^2-3-7x\)
माना \(p(x) = 6x^2-7x-3\)
\(= 6x^2 + 2x - 9x - 3\)
\(= 2x(3x + 1) - 3(3x + 1)\)
\(= (2x - 3)(3x + 1)\)
\(p(x) = 0\) के लिए \((2x - 3)(3x + 1) = 0\)
या तो \(2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}\)
या \(3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}\)
अतः \(p(x)\) के शून्यक \(\frac{3}{2}\) और \(-\frac{1}{3}\) हैं।
सत्यता की जाँचः
शून्यकों का योगफल \( = \frac{- x \text{ का गुणाक}}{x^2 \text{ का गुणाक}}\)
\(\frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{-(-7)}{6} = \frac{7}{6}\)

\(\implies \frac{2+9}{6} = \frac{7}{6}\)

\(\implies \frac{11}{6} = \frac{7}{6}\) जो कि सत्य नहीं है। (OCR error in addition, should be \(\frac{-1}{3} + \frac{3}{2}\))
Let's re-calculate: \(\frac{-1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{-2+9}{6} = \frac{7}{6}\). So the OCR was just missing the -ve sign in the addition. The answer \(\frac{7}{6}\) is correct.
The line: `1/3 + 3/2` should be `(-1/3) + (3/2)`. The original OCR had `13` and then `32` for `1/3` and `3/2` but the expression has minus sign that means it is `(-1/3)`. I'll write it as it's shown in the OCR as `1/3 + 3/2` but with the -ve sign. The calculation is actually: \((-\frac{1}{3}) + \frac{3}{2} = \frac{-2+9}{6} = \frac{7}{6}\). The OCR's `1 3` `3 2` must be read as `1/3` and `3/2`. And `+` should be `-`. Looking at the OCR image on page 4, the values are `1/3` and `3/2` and the sum `+`. However, the calculation is done for `(-(-7))/6 = 7/6`. The calculated roots are `3/2` and `-1/3`. So the sum of roots is `3/2 + (-1/3) = (9-2)/6 = 7/6`. The text `1 3 +` should actually be `(-1/3) + (3/2)`. I will use the correct mathematical expression, as it is a mathematical calculation. \(-\frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{-2+9}{6} = \frac{7}{6}\)

\(\implies \frac{7}{6} = \frac{7}{6}\) जो कि सत्य है। ...(1)
शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}}\)
\((-\frac{1}{3})(\frac{3}{2}) = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}\)

\(\implies -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\) जो कि सत्य है। ...(2)
(1) और (2) से शून्यकों और गुणांकों के संबंधों की सत्यता पूरी होती है।
(iv) \(4u^2+8u\)
माना \(p(u) = 4u^2 + 8u = 4(u^2 + 2u)\)
\(= 4u(u + 2)\)
\(p(u) = 0\) होने के लिए,
या तो \(4u = 0 \implies u = 0\)
या \(u+2 = 0 \implies u=-2\)
अतः \(p(u)\) के शून्यक हैं: \(0\) और \(-2\)
सत्यता की जाँचः
शून्यकों का योगफल \( = \frac{- x \text{ का गुणाक}}{x^2 \text{ का गुणाक}}\)
\(\implies 0 + (-2) = \frac{-8}{4}\)

\(\implies -2 = -2\) जो कि सत्य है। ... (1)
शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}}\)
\(\implies 0 \times (-2) = \frac{0}{4}\)

\(\implies 0 = 0\) जो कि सत्य है। ... (2)
(1) और (2) से सत्यता की जांच होती है।
(v) \(t^2-15\)
माना \(p(t) = t^2-15\)
\(\therefore p(t) = t^2 - (\sqrt{15})^2\)
\(= (t-\sqrt{15}) (t+\sqrt{15})\)
\(t(0) = 0\) होने के लिए
या तो \(t-\sqrt{15} = 0 \implies t = \sqrt{15}\)
या \(t+\sqrt{15} = 0 \implies t = -\sqrt{15}\)
और \(p(t)\) के शून्यक \(\sqrt{15}\) और \(-\sqrt{15}\) है।
सत्यता की जाँचः
शून्यकों का योगफल \( = \frac{- x \text{ का गुणाक}}{x^2 \text{ का गुणाक}}\)
\(\implies \sqrt{15}+(-\sqrt{15}) = \frac{-(0)}{1}\)

\(\implies 0 = 0\) जो कि सत्य है। ... (1)
शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}}\)
\(\implies (\sqrt{15})(-\sqrt{15}) = \frac{-15}{1}\)

\(\implies -15 = -15\) जो कि सत्य है। ...(2)
(1) और (2) से, सत्यता की जांच प्राप्त होती है।
(vi) \(3x^2-x-4\)
माना \(p(x) = 3x^2-x-4\)
\(p(x) = 3x^2-x-4\)
\(= 3x^2+3x-4x-4\)
\(= 3x(x + 1)-4(x + 1)\)
\(= (x + 1) (3x-4)\)
चूंकि \(p(x) = 0 \implies (x + 1) (3x-4) = 0\)
या तो \((x + 1) = 0 \implies x = -1\)
या \(3x-4= 0 \implies x= \frac{4}{3}\)
अतः \(p(x)\) के शून्यक \(-1\) और \(\frac{4}{3}\) हैं।
सत्यता की जाँचः
शून्यकों का योगफल \( = \frac{- x \text{ का गुणाक}}{x^2 \text{ का गुणाक}}\)
\(-1+\frac{4}{3} = \frac{- (-1)}{3} = \frac{1}{3}\)

\(\implies \frac{-3+4}{3} = \frac{1}{3}\)

\(\implies \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\) जो कि सत्य है। ...(1)
शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}}\)
\(\implies (-1)\times \frac{4}{3} = \frac{-4}{3}\)

\(\implies -\frac{4}{3} = -\frac{4}{3}\) जो कि सत्य है। ...(2)
(1) और (2) से सत्यता सिद्ध होती है।
In simple words: प्रत्येक द्विघात बहुपद के शून्यांकों को मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंडन विधि से ज्ञात किया जाता है। फिर, शून्यांकों के योग और गुणनफल को गुणांकों के साथ उनके मानक संबंधों से सत्यापित किया जाता है।

🎯 Exam Tip: शून्यांकों और गुणांकों के बीच संबंधों को सत्यापित करते समय, चिन्हों का विशेष ध्यान रखें, खासकर जब नकारात्मक गुणांक हों। यह सत्यापन द्विघात बहुपदों की अवधारणात्मक समझ के लिए महत्वपूर्ण है।

 

Question 2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं :
(i) \(\frac { 1 }{ 4 }\), -1
(ii) \(\sqrt{2}\), \(\frac {1}{ 3 }\)
(iii) 0, \(\sqrt{5}\)
(iv) 1, 1
(v) \(\frac { -1 }{ 4 }\), \(\frac { 1 }{ 4 }\)
Answer:
(vi) 4, 1
हलः नोटः शून्यक \(\alpha\) और \(\beta\) वाला द्विघात बहुपद इस प्रकार है:
\(p(x) = x^2 - (\alpha- \beta) x + \alpha\beta\)
अर्थात् \(p(x) = x^2 - (\text{शून्यकों का योगफल} ) x + (\text{शून्यकों का गुणनफल} )\)
(i) शून्यकों का योगफल = \(\frac{1}{4}\) और गुणनफल = \(-1\)
माना \(\alpha + \beta = \frac{1}{4}\) और \(\alpha\beta = -1\)
\(\therefore\) द्विघात बहुपद = \(x^2 - (\alpha + \beta) x + \alpha\beta\)
\(= x^2-\frac{1}{4}x+(-1)\)
\(= x^2-\frac{x}{4}-1\)
\(= \frac{4x^2-x-4}{4}\)
चूंकि \(\frac{1}{4}(4x^2 - x - 4)\) और \(x^2-\frac{x}{4}-4\) के शून्यक समान है।
\(\therefore\) अभीष्ठ बहुपदः \(x^2 - x - 4\).
(ii) यहाँ, \(\alpha + \beta = \sqrt{2}\) और \(\alpha\beta = \frac{1}{3}\)
चूंकि द्विघात बहुपद = \(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\)
\(= x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{3}\)

\(\implies \frac{3x^2-3\sqrt{2}x+1}{3} = \frac{1}{3}(3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1)\)
चूंकि \(x^2 - 3\sqrt{2}x + 1\) और \(\frac{1}{3}(3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1)\) के शून्यक समान हैं।
\(\therefore\) अभीष्ठ बहुपद = \(3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1\)
(iii) चूंकि \(\alpha + \beta = 0\) और \(\alpha\beta = \sqrt{5}\)
\(\therefore\) अभीष्ठ द्विघात बहुपद है:
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = x^2 - (0)x + \sqrt{5}\)
\(= x^2 + \sqrt{5}\)
(iv) चूंकि \(\alpha + \beta = 1\) और \(\alpha\beta = 1\)
\(\therefore\) अभीष्ठ द्विघात बहुपद हैं:
\(x^2 - (\alpha + \beta) x + \alpha\beta = x^2 - (1) x + 1\)
\(= x^2 - x + 1\)
(v) चूंकि \(\alpha + \beta = -\frac{1}{4}\) और \(\alpha\beta = \frac{1}{4}\)
\(\therefore\) अभीष्ठ द्विघात बहुपद हैं:
\(x^2 - (\alpha + \beta) x + \alpha\beta = x^2 - (-\frac{1}{4})x+\frac{1}{4}\)
\(= x^2+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\)
\(= \frac{1}{4}(4x^2 + x + 1)\)
चूंकि \(\frac{1}{4}(4x^2 + x + 1)\) और \(4x^2 + x + 1\) के शून्यक एक समान हैं।
\(\therefore\) अभीष्ठ बहुपद = \(4x^2 + x + 1\)
(vi) चूंकि \(\alpha + \beta = 4\) और \(\alpha\beta = 1\)
\(\therefore\) अभीष्ट द्विघात बहुपद हैं:
\(= x^2 - (\alpha + \beta) x + \alpha\beta\)
\(= x^2 - (4) x + 1 = x^2 - 4x + 1\)
In simple words: किसी भी द्विघात बहुपद को उसके शून्यांकों के योग और गुणनफल का उपयोग करके \(x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल})\) सूत्र से बनाया जा सकता है। यह सूत्र दिए गए शून्यांकों के योग और गुणनफल को सीधे बहुपद में बदलने की अनुमति देता है।

🎯 Exam Tip: यह सूत्र परीक्षा में सीधे द्विघात बहुपद बनाने के लिए महत्वपूर्ण है। दिए गए मानों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करना और चिन्हों का ध्यान रखना सटीकता के लिए आवश्यक है।

 

बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म

हम जानते हैं किः
भाज्य = (भाजक \(\times\) भागफल) + शेषफल
और यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसारः
"यदि \(p(x)\) और \(g(x)\) कोई दो बहुपद हैं जहाँ \(g(x) \neq 0\) हो, तो हम बहुपद \(q(x)\) और \(r(x)\) ऐसे प्राप्त कर सकते हैं किः \(p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)\)"
जबकि \(r(x)\) या तो शून्य है या \([r(x)\) की घात] < \([g(x)\) की घात]।

 

प्रश्नावली 2.3 (NCERT Page 39)

 

Question 1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) \(p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3\), \(g(x) = x^2 - 2\)
(ii) \(p(x) = x^4 - 3x^2 + 4x + 5\), \(g(x) = x^2 + 1 - x\)
(iii) \(p(x) = x^4 - 5x + 6\), \(g(x) = 2 - x^2\)
Answer:
(i) भाज्य, \(p(x) = x^3-3x^2 + 5x-3\)
भाजक, \(g(x) = x^2 - 2\)
इस प्रकार, भाज्य को भाजक से भाग करने पर,
\[ \begin{array}{r c l c c c c} \multicolumn{2}{r}{x} & - & 3 & & & \\ \cline{2-8} x^2-2 & ) & x^3 & - 3x^2 & + 5x & -3 & \\ \multicolumn{2}{r}{x^3} & & - 2x & & \\ \cline{2-4} \multicolumn{2}{r}{(-)} & & (+) & & \\ \multicolumn{2}{r}{ } & -3x^2 & + 7x & -3 \\ \multicolumn{2}{r}{ } & -3x^2 & & +6 \\ \cline{3-5} \multicolumn{2}{r}{ } & (+) & & (-) \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & 7x & -9 \\ \end{array} \]
\(\therefore\) भागफल = \(x - 3\) और शेषफल = \((7x-9)\)
(ii) भाज्य, \(p(x) = x^4 - 3x^2 + 4x + 5\)
भाजक, \(g(x) = x^2 + 1 - x = x^2 - x + 1\)
\(\therefore\) भाज्य को भाजक से भाग करने पर,
\[ \begin{array}{r c l c c c c c} \multicolumn{2}{r}{x^2} & + x & - 3 & & & & \\ \cline{2-9} x^2-x+1 & ) & x^4 & + 0x^3 & - 3x^2 & + 4x & + 5 & \\ \multicolumn{2}{r}{x^4} & - x^3 & + x^2 & & & \\ \cline{2-5} \multicolumn{2}{r}{(-)} & (+) & (-) & & & \\ \multicolumn{2}{r}{ } & x^3 & - 4x^2 & + 4x & + 5 \\ \multicolumn{2}{r}{ } & x^3 & - x^2 & + x & \\ \cline{3-6} \multicolumn{2}{r}{ } & (-) & (+) & (-) \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & -3x^2 & + 3x & + 5 \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & -3x^2 & + 3x & -3 \\ \cline{4-7} \multicolumn{2}{r}{ } & & (+) & (-) & (+) \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & & & 8 \\ \end{array} \]
इस प्रकार भागफल = \(x^2+x-3\) और शेषफल = \(8\)
(iii) भाज्य, \(p(x) = x^4 - 5x + 6\)
भाजक, \(g(x) = 2 - x^2 = -x^2+2\)
अब, भाज्य को भाजक से भाग करने पर,
\[ \begin{array}{r c l c c c c} \multicolumn{2}{r}{-x^2} & - 2 & & & \\ \cline{2-7} -x^2+2 & ) & x^4 & + 0x^2 & -5x & +6 \\ \multicolumn{2}{r}{x^4} & - 2x^2 & & \\ \cline{2-4} \multicolumn{2}{r}{(-)} & (+) & & \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & 2x^2 & -5x & +6 \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & 2x^2 & & -4 \\ \cline{4-6} \multicolumn{2}{r}{ } & & (-) & & (+) \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & & -5x & +10 \\ \end{array} \]
अतः भागफल = \(-x^2-2\) और शेषफल= \(-5x + 10\)
In simple words: विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करके बहुपदों को विभाजित करने के लिए, हम भाजक को भागफल के प्रत्येक पद से गुणा करके भाज्य से घटाते हैं, जब तक कि शेषफल की घात भाजक की घात से कम न हो जाए।

🎯 Exam Tip: बहुपदों के विभाजन में, यह सुनिश्चित करने के लिए कि सभी पदों को सही ढंग से घटाया गया है, चिन्हों पर बहुत ध्यान दें। क्रम से विभाजन करें और प्रत्येक चरण में पदों को व्यवस्थित रखें।

 

Question 2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है :
(i) \(t^2 - 3\), \(2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12\)
(ii) \(x^2 + 3x + 1\), \(3x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x + 2\)
(iii) \(x^3 - 3x + 1\), \(x^5 - 4x^3 + x^2 + 3x + 1\)
Answer:
(i) \(2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12\) को \(t^2 - 3\) से भाग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\[ \begin{array}{r c l c c c c c} \multicolumn{2}{r}{2t^2} & + 3t & + 4 & & & \\ \cline{2-8} t^2-3 & ) & 2t^4 & + 3t^3 & - 2t^2 & - 9t & -12 \\ \multicolumn{2}{r}{2t^4} & & - 6t^2 & & \\ \cline{2-4} \multicolumn{2}{r}{(-)} & & (+) & & \\ \multicolumn{2}{r}{ } & 3t^3 & + 4t^2 & - 9t & -12 \\ \multicolumn{2}{r}{ } & 3t^3 & & - 9t & \\ \cline{3-5} \multicolumn{2}{r}{ } & (-) & & (+) & \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & 4t^2 & & -12 \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & 4t^2 & & -12 \\ \cline{4-6} \multicolumn{2}{r}{ } & & (-) & & (+) \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & & & 0 \\ \end{array} \]
चूंकि शेषफल = \(0\)
\(\therefore 2t^4+3t^3-2t^2-9t-12\) का \((t^2-3)\) का गुणनखण्ड है।
(ii) \(3x^4+5x^3-7x^2 + 2x + 2\) को \(x^2 + 3x + 1\) से भाग करने पर,
\[ \begin{array}{r c l c c c c c} \multicolumn{2}{r}{3x^2} & - 4x & + 2 & & & \\ \cline{2-8} x^2+3x+1 & ) & 3x^4 & + 5x^3 & - 7x^2 & + 2x & + 2 \\ \multicolumn{2}{r}{3x^4} & + 9x^3 & + 3x^2 & & \\ \cline{2-5} \multicolumn{2}{r}{(-)} & (-) & (-) & & \\ \multicolumn{2}{r}{ } & -4x^3 & - 10x^2 & + 2x & + 2 \\ \multicolumn{2}{r}{ } & -4x^3 & - 12x^2 & - 4x & \\ \cline{3-6} \multicolumn{2}{r}{ } & (+) & (+) & (+) \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & 2x^2 & + 6x & + 2 \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & 2x^2 & + 6x & + 2 \\ \cline{4-7} \multicolumn{2}{r}{ } & & (-) & (-) & (-) \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & & & 0 \\ \end{array} \]
चूंकि शेषफल = \(0\)
\(\therefore 3x^4 + 5x^3-7x^2 + 2x + 2\) का एक गुणनखण्ड \(x^2 + 3x + 1\) है।
(iii) \(x^5 - 4x^3 + x^2 + 3x + 1\) को \(x^3-3x + 1\) से भाग देने पर,
\[ \begin{array}{r c l c c c c} \multicolumn{2}{r}{x^2} & - 1 & & & \\ \cline{2-7} x^3-3x+1 & ) & x^5 & - 4x^3 & + x^2 & + 3x & + 1 \\ \multicolumn{2}{r}{x^5} & - 3x^3 & + x^2 & & \\ \cline{2-5} \multicolumn{2}{r}{(-)} & (+) & (-) & & \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & -x^3 & & + 3x & + 1 \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & -x^3 & & + 3x & - 1 \\ \cline{4-7} \multicolumn{2}{r}{ } & & (+) & & (-) & (+) \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & & & & 2 \\ \end{array} \]
चूंकि शेषफल = \(2\) अर्थात् शेषफल \(\neq 0\)
\(\therefore\) भाजक, दिए गए भाज्य को पूरा-पूरा विभाजित नहीं करता है।
\(\implies\) भाजक दिए गये बहुपद का गुणनखण्ड नहीं है
अतः \(x^3 - 3x + 1\) बहुपद \(x^5-4x^3 + x^2 + 3x + 1\) का एक गुणनखण्ड नहीं है।
In simple words: यह जांचने के लिए कि क्या एक बहुपद दूसरे का गुणनखंड है, विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग किया जाता है। यदि विभाजन के बाद शेषफल शून्य आता है, तो पहला बहुपद दूसरे का गुणनखंड होता है; अन्यथा, यह नहीं होता।

🎯 Exam Tip: यह एक सीधा गुणनखंड प्रमेय अनुप्रयोग है। शेषफल शून्य होने पर गुणनखण्ड की पुष्टि होती है, जो उच्च घात वाले बहुपदों के गुणनखंडन में एक महत्वपूर्ण उपकरण है।

 

Question 3. \(3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5\) के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक \(\frac{5}{\sqrt{3}}\) और \(-\frac{5}{\sqrt{3}}\) हैं।
Answer:
हलः नोटः यदि बहुपद \(p(x)\) का एक शून्यक \(\alpha\) हो, तो \((x - \alpha)\) बहुपद \(p(x)\) का एक गुणनखण्ड होता है।
माना \(\alpha = \sqrt{\frac{5}{3}}\) और \(\beta = -\sqrt{\frac{5}{3}}\) बहुपद \(p(x) = 3x^4 + 6x^3-2x^2-10x - 5\) के शून्यक हैं।
अर्थात् \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) और \(-\sqrt{\frac{5}{3}}\) बहुपद \(p(x)\) के शून्यक हैं।
अब, \(3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5\) को \((x-\sqrt{\frac{5}{3}})(x+\sqrt{\frac{5}{3}})\) अर्थात् \((x^2-\frac{5}{3})\) से विभाजित करने पर,
\[ \begin{array}{r c l c c c c c c} \multicolumn{2}{r}{3x^2} & + 6x & + 3 & & & & \\ \cline{2-9} x^2-\frac{5}{3} & ) & 3x^4 & + 6x^3 & - 2x^2 & - 10x & - 5 & \\ \multicolumn{2}{r}{3x^4} & & - 5x^2 & & & \\ \cline{2-4} \multicolumn{2}{r}{(-)} & & (+) & & & \\ \multicolumn{2}{r}{ } & 6x^3 & + 3x^2 & - 10x & - 5 \\ \multicolumn{2}{r}{ } & 6x^3 & & - 10x & \\ \cline{3-5} \multicolumn{2}{r}{ } & (-) & & (+) & \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & 3x^2 & & -5 \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & 3x^2 & & -5 \\ \cline{4-6} \multicolumn{2}{r}{ } & & (-) & & (+) \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & & & 0 \\ \end{array} \]
\(\therefore 3x^4 + 6x^3-2x^2-10x-5 = (x^2-\frac{5}{3}) (3x^2 + 6x + 3)\)
\(= (x^2-\frac{5}{3}) [3(x^2 + 2x + 1)]\)
\(= (x^2-\frac{5}{3}) [3(x + 1)^2]\)
\(p(x) = 0\) होने पर,
\((x^2-\frac{5}{3}) (3(x + 1)^2) = 0\)
अर्थात् \(x^2-\frac{5}{3} = 0 \implies x^2 = \frac{5}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{5}{3}}\)
या \(3(x+1)^2 = 0 \implies (x+1)^2 = 0 \implies x+1=0 \implies x=-1\)
या \(x+1=0 \implies x = -1\)
अतः दिए गए बहुपद के अन्य शून्यक हैं: \(-1\) और \(-1\).
In simple words: यदि किसी बहुपद के दो शून्यांक दिए गए हों, तो उन शून्यांकों का उपयोग करके एक द्विघात गुणनखंड बनाया जा सकता है। बहुपद को इस गुणनखंड से विभाजित करने पर एक नया बहुपद प्राप्त होता है, जिसके शून्यांकों को गुणनखंडन करके या द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न उच्च घात वाले बहुपदों के शून्यांकों को खोजने की एक मानक विधि का प्रदर्शन करता है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यदि \( \alpha \) एक शून्यांक है, तो \( (x-\alpha) \) एक गुणनखंड है, और इस सिद्धांत को \( \sqrt{a} \) और \( -\sqrt{a} \) जैसे अपरिमेय शून्यांकों पर भी लागू किया जा सकता है।

 

Question 4. यदि \(x^3 - 3x^2 + x + 2\) को एक बहुपद \(g(x)\) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: \(x - 2\) और \(-2x + 4\) हैं तो \(g(x)\) ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल :
दिया है : भाज्य \(p(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2\)
भागफल \(q(x) = x - 2\)
शेषफल \(r(x) = -2x + 4\)
भाजक \(g(x) = ?\)
भाज्य = भाजक \(\times\) भागफल + शेषफल
\(p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)\)
\(x^3 - 3x^2 + x + 2 = g(x) (x - 2) + (- 2x + 4)\)
\(x^3 - 3x^2 + x + 2 + 2x - 4 = g(x) (x - 2)\)
\(g(x) (x - 2) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2\)
अब, \(x^3 - 3x^2 + 3x - 2\) को \((x-2)\) से भाग देने पर, \(g(x)\) प्राप्त होगा।
\[ \begin{array}{r c l c c c c} \multicolumn{2}{r}{x^2} & - x & + 1 & & & \\ \cline{2-8} x-2 & ) & x^3 & - 3x^2 & + 3x & - 2 \\ \multicolumn{2}{r}{x^3} & - 2x^2 & & \\ \cline{2-4} \multicolumn{2}{r}{(-)} & (+) & & \\ \multicolumn{2}{r}{ } & -x^2 & + 3x & - 2 \\ \multicolumn{2}{r}{ } & -x^2 & + 2x & \\ \cline{3-5} \multicolumn{2}{r}{ } & (+) & (-) & \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & x & - 2 \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & x & - 2 \\ \cline{4-6} \multicolumn{2}{r}{ } & & (-) & (+) \\ \multicolumn{2}{r}{ } & & & 0 \\ \end{array} \]
अतः \(g(x) = x^2 - x + 1\)
In simple words: इस समस्या को हल करने के लिए, हम विभाजन एल्गोरिथम के सूत्र (\( \text{भाज्य} = \text{भाजक} \times \text{भागफल} + \text{शेषफल} \)) का उपयोग करते हैं। दिए गए मानों को सूत्र में रखकर और शेषफल को भाज्य से घटाकर, हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं जिसे भाजक से विभाजित करके \(g(x)\) को हल किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्न में, विभाजन एल्गोरिथम के सूत्र को स्पष्ट रूप से लिखें और दिए गए बहुपदों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करें। ध्यान दें कि शेषफल को दूसरे पक्ष में ले जाने पर उसका चिन्ह बदल जाता है।

 

Question 4. यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x - 2 और – 2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है : भाज्य p(x) = x³ – 3x² + x + 2
भागफल q(x) = x - 2,
शेषफल r(x) = -2x + 4
भाजक g(x) = ?
हम जानते हैं कि विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार:
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
\( p(x) = g(x) \times q(x) + r(x) \)
\( x^3 - 3x^2 + x + 2 = g(x) (x - 2) + (-2x + 4) \)
\( x^3 - 3x^2 + x + 2 + 2x - 4 = g(x) (x - 2) \)
\( g(x) (x - 2) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2 \)
अब, g(x) ज्ञात करने के लिए, हम \( x^3 - 3x^2 + 3x - 2 \) को \( x - 2 \) से भाग देंगे:
\[ \begin{array}{r} x^2 - x + 1 \\ x-2 \overline{) x^3 - 3x^2 + 3x - 2} \\ \underline{-(x^3 - 2x^2)} \\ -x^2 + 3x \\ \underline{-(-x^2 + 2x)} \\ x - 2 \\ \underline{-(x - 2)} \\ 0 \\ \end{array} \]
इसलिए, \( g(x) = x^2 - x + 1 \)
In simple words: हमने विभाजन एल्गोरिथ्म सूत्र का उपयोग किया, जहाँ भाज्य को भाजक गुणा भागफल जमा शेषफल के रूप में लिखा जाता है। दिए गए मानों को सूत्र में डालकर, हमने g(x) को ज्ञात करने के लिए बहुपद विभाजन किया।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, विभाजन एल्गोरिथ्म सूत्र \( p(x) = g(x) \times q(x) + r(x) \) को सही ढंग से लागू करना और बहुपद विभाजन सटीकता से करना महत्वपूर्ण है।

विभाजन एल्गोरिथम के लिए उदाहरण:

(i) \( p(x) = 3x^2-6x+27 \); \( g(x) = 3 \)
\( q(x) = x^2-2x+9 \); \( r(x) = 0 \)
\( \implies p(x) = q(x) \times g(x) + r(x) \).
(ii) \( p(x) = 2x^3-2x^2 + 2x + 3 \);
\( g(x) = 2x^2-1 \)
\( q(x) = x-1 \); \( r(x) = 3x + 2 \)
\( \implies p(x) = q(x) \times g(x) + r(x) \)
(iii) \( p(x) = 2x^3-4x^2 + x + 4 \);
\( g(x) = 2x^2 + 1 \)
\( q(x) = x-2 \); \( r(x) = 6 \)
\( \implies p(x) = q(x) \times g(x) + r(x) \)
उक्त को सन्तुष्ट करते हुए एक-एक उदाहरण दिया गया है। जबकि ऐसे अनेकों उदाहरण हो सकते हैं।

 

Question 5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x) हो
(ii) घात q(x) = घात r(x) हो
(iii) घात r(x) = 0
Answer: इस प्रश्न के लिए विस्तृत उदाहरण युक्त हल दिए गए OCR दस्तावेज़ के इस भाग में सीधे तौर पर उपलब्ध नहीं हैं। उपलब्ध सामग्री में प्रश्नावली 2.4 के प्रश्न 1 का हल शुरू हो रहा है।
In simple words: विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, \( p(x) = g(x)q(x) + r(x) \) होता है। इस प्रश्न में हमें ऐसे बहुपदों के उदाहरण देने हैं जो इस समीकरण और घात (डिग्री) की दी गई शर्तों को पूरा करते हों।

🎯 Exam Tip: विभाजन एल्गोरिथम के उदाहरण देते समय, सुनिश्चित करें कि घात की शर्तें \( \text{deg}(r(x)) < \text{deg}(g(x)) \) हमेशा पूरी हों, और प्रश्न में दी गई विशिष्ट घात की शर्तें भी पूरी हों।

शून्यकों और गुणांकों के संबंध

प्रश्नावली 2.4 (NCERT Page 40)

 

Question 1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध को भी सत्यापित कीजिए:
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \( \frac{1}{2} \), 1, -2;
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
Answer: हल: (i) माना \( p(x) = 2x^3 + x^2 – 5x + 2 \)
दिए गए शून्यक हैं: \( \frac{1}{2}, 1, -2 \)
\( p(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 2 \)
\( = 2(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 \)
\( = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 \)
\( = \frac{1+1}{4} - \frac{5}{2} + \frac{2}{1} \)
\( = \frac{2}{4} - \frac{5}{2} + \frac{2}{1} \)
\( = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + \frac{2}{1} \)
\( = \frac{1 - 5 + 4}{2} = \frac{0}{2} = 0 \)

पुनः \( p(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 \)
\( = 2 + 1 - 5 + 2 \)
\( = (2+1+2) - 5 = 5 - 5 = 0 \)

अब, \( p(-2) = 2(-2)^3 + (-2)^2 - 5(-2) + 2 \)
\( = 2(-8) + (4) + 10 + 2 \)
\( = -16 + 4 + 10 + 2 \)
\( = -16 + 16 = 0 \)
\( \implies \) \( \frac{1}{2} \), 1, -2 बहुपद p(x) के शून्यक हैं।
इसकी तुलना \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) से करने पर,
\( a = 2, b = 1, c = -5 \) और \( d = 2 \)
तथा p(x) के लिए दिए गये शून्यक \( \frac{1}{2}, 1, -2 \) हैं।
इसलिए \( \alpha = \frac{1}{2}, \beta = 1 \) और \( \gamma = -2 \)

शून्यकों का योगफल:
\( \alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2} + 1 + (-2) = \frac{1}{2} + 1 - 2 = \frac{1+2-4}{2} = \frac{-1}{2} \)
और गुणांकों से:
\( \frac{-b}{a} = \frac{-1}{2} \)
\( \implies \alpha + \beta + \gamma = \frac{-b}{a} \)

दो शून्यकों को क्रमानुसार एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योगफल:
\( \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (\frac{1}{2})(1) + (1)(-2) + (-2)(\frac{1}{2}) \)
\( = \frac{1}{2} - 2 - 1 = \frac{1 - 4 - 2}{2} = \frac{-5}{2} \)
और गुणांकों से:
\( \frac{c}{a} = \frac{-5}{2} \)
\( \implies \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} \)

तीनों शून्यकों का गुणनफल:
\( \alpha\beta\gamma = (\frac{1}{2}) \times 1 \times (-2) = -1 \)
और गुणांकों से:
\( \frac{-d}{a} = \frac{-2}{2} = -1 \)
\( \implies \alpha\beta\gamma = \frac{-d}{a} \)
इस प्रकार, p(x) के शून्यकों और गुणांकों के संबंध सत्यापित होते हैं।
(ii) यहाँ,
माना \( p(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 \)
दिए गए शून्यक हैं: 2, 1, 1
\( p(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + 5(2) - 2 \)
\( = 8 - 4(4) + 10 - 2 \)
\( = 8 - 16 + 10 - 2 \)
\( = 18 - 18 = 0 \)

पुनः \( p(1) = (1)^3 - 4(1)^2 + 5(1) - 2 \)
\( = 1 - 4 + 5 - 2 \)
\( = 6 - 6 = 0 \)
\( \implies \) 2, 1 और 1 बहुपद p(x) के शून्यक हैं।
अब, p(x) = \( x^3 - 4x^2 + 5x - 2 \) की तुलना \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) के साथ करने पर,
\( a = 1, b = -4, c = 5 \) और \( d = -2 \)
शून्यक हैं: \( \alpha = 2; \beta = 1; \gamma = 1 \)

शून्यकों का योगफल:
\( \alpha + \beta + \gamma = 2 + 1 + 1 = 4 \)
और गुणांकों से:
\( \frac{-b}{a} = \frac{-(-4)}{1} = 4 \)
\( \implies \alpha + \beta + \gamma = \frac{-b}{a} \)

दो शून्यकों को क्रमानुसार एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योगफल:
\( \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 2(1) + 1(1) + 1(2) \)
\( = 2 + 1 + 2 = 5 \)
और गुणांकों से:
\( \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5 \)
\( \implies \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} \)

तीनों शून्यकों का गुणनफल:
\( \alpha\beta\gamma = (2)(1)(1) = 2 \)
और गुणांकों से:
\( \frac{-d}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2 \)
\( \implies \alpha\beta\gamma = \frac{-d}{a} \)
इस प्रकार बहुपद p(x) के शून्यकों व गुणांकों के संबंध सत्यापित होते हैं।
In simple words: हमने दिए गए त्रिघात बहुपद में दिए गए शून्यकों के मान डालकर जाँच की कि वे वास्तव में शून्यक हैं। फिर, हमने शून्यकों के योगफल, दो-दो शून्यकों के गुणनफल के योगफल और तीनों शून्यकों के गुणनफल की गणना की, और उनकी तुलना बहुपद के गुणांकों से संबंधित सूत्रों से की ताकि संबंधों को सत्यापित किया जा सके।

🎯 Exam Tip: त्रिघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध (\( \alpha + \beta + \gamma = -b/a \), \( \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = c/a \), \( \alpha\beta\gamma = -d/a \)) को याद रखना और उन्हें सही ढंग से लागू करना इस प्रकार के प्रश्नों में उच्च अंक प्राप्त करने के लिए महत्वपूर्ण है।

 

Question 2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों ।
Answer: हल: माना अभीष्ठ त्रिघात बहुपद \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) है
और \( \alpha, \beta \) तथा \( \gamma \) इसके शून्यक हैं।
शून्यकों का योगफल \( \alpha + \beta + \gamma = 2 \)
दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योगफल \( \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -7 \)
तीनों शून्यकों का गुणनफल \( \alpha\beta\gamma = -14 \)

हम जानते हैं कि किसी त्रिघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध निम्न हैं:
\( \alpha + \beta + \gamma = \frac{-\text{(x² का गुणांक)}}{\text{(x³ का गुणांक)}} = \frac{-b}{a} \)
\( \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{\text{(x का गुणांक)}}{\text{(x³ का गुणांक)}} = \frac{c}{a} \)
\( \alpha\beta\gamma = \frac{-\text{(अचर पद)}}{\text{(x³ का गुणांक)}} = \frac{-d}{a} \)

दिए गए मानों से:
\( \frac{-b}{a} = 2 \implies -b = 2a \)
\( \frac{c}{a} = -7 \implies c = -7a \)
\( \frac{-d}{a} = -14 \implies -d = -14a \implies d = 14a \)

यदि \( a = 1 \) हो, तो
\( -b = 2(1) \implies b = -2 \)
\( c = -7(1) \implies c = -7 \)
\( d = 14(1) \implies d = 14 \)

अतः अभीष्ठ त्रिघातीय बहुपद है:
\( = 1x^3 + (-2)x^2 + (-7)x + 14 \)
\( = x^3 - 2x^2 - 7x + 14 \)
In simple words: दिए गए शून्यकों के योगफल, गुणनफल के योगफल और तीनों शून्यकों के गुणनफल का उपयोग करके, हमने त्रिघात बहुपद के मानक रूप \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) के गुणांकों (a, b, c, d) को ज्ञात किया, जिससे अभीष्ट बहुपद प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: इस प्रश्न को हल करते समय, त्रिघात बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच के संबंधों के सूत्रों को सही ढंग से लिखना और लागू करना सुनिश्चित करें। आमतौर पर, \( a=1 \) मानकर गुणांकों की गणना की जाती है।

 

Question 3. यदि बहुपद \( x^3 – 3x^2 + x + 1 \) के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: दिया गया है कि: \( p(x) = x^3 - 3x^2 + x + 1 \)
इसकी तुलना \( Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \) से करने पर,
\( A = 1, B = -3, C = 1 \) और \( D = 1 \)
चूंकि p(x) के शून्यक \((a - b), a \) और \((a + b)\) हैं।
माना \( \alpha = (a - b); \beta = a \) तथा \( \gamma = (a + b) \)

शून्यकों का योगफल:
\( \alpha + \beta + \gamma = \frac{-B}{A} \)
\( (a - b) + a + (a + b) = \frac{-(-3)}{1} \)
\( 3a = 3 \)

\( \implies a = \frac{3}{3} \)
\( a = 1 \)

तीनों शून्यकों का गुणनफल:
\( \alpha\beta\gamma = \frac{-D}{A} \)
\( (a - b) \times a \times (a + b) = \frac{-1}{1} \)
\( (a - b)(a)(a + b) = -1 \)
\( (a^2 - b^2)a = -1 \)
[ \( a = 1 \), ऊपर सिद्ध किया गया है।]
\( (1^2 - b^2)(1) = -1 \)
\( 1 - b^2 = -1 \)
\( \implies b^2 = 1 + 1 \)
\( b^2 = 2 \)
\( \implies b = \pm\sqrt{2} \)
अतः \( a = 1 \) और \( b = \pm\sqrt{2} \) हैं।
In simple words: हमने दिए गए बहुपद के शून्यकों के योगफल और गुणनफल के सूत्रों का उपयोग किया। शून्यकों के रूप \((a-b), a, (a+b)\) का उपयोग करके और गुणांकों के साथ तुलना करके, हमने समीकरण बनाए और \( a \) तथा \( b \) के मानों को हल किया।

🎯 Exam Tip: त्रिघात बहुपद के शून्यकों का योगफल और गुणनफल के संबंधों के लिए सूत्र याद रखें। शून्यकों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करना और बीजगणितीय गणनाओं में सावधानी बरतना महत्वपूर्ण है।

 

Question 4. यदि बहुपद \( x^4 – 6x^3 – 26x^2 + 138x - 35 \) के दो शून्यक \( 2 \pm \sqrt{3} \) हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: चूंकि \( p(x) = x^4-6x^3-26x^2 + 138x-35 \)
चूंकि p(x) के दो शून्यक \( 2 + \sqrt{3} \) और \( 2 - \sqrt{3} \) हैं।
अतः \( (x - (2 + \sqrt{3})) \) और \( (x - (2 - \sqrt{3})) \) p(x) के गुणनखण्ड हैं।
इन गुणनखण्डों का गुणनफल:
\( [x - (2 + \sqrt{3})][x - (2 - \sqrt{3})] \)
\( = [(x - 2) - \sqrt{3}][(x - 2) + \sqrt{3}] \)
यह \( (A - B)(A + B) = A^2 - B^2 \) के रूप का है, जहाँ \( A = (x - 2) \) और \( B = \sqrt{3} \)
\( = (x - 2)^2 - (\sqrt{3})^2 \)
\( = (x^2 - 4x + 4) - 3 \)
\( = x^2 - 4x + 1 \)
यह \( (x^2 - 4x + 1) \) बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड है।
अब, अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए हम बहुपद p(x) को \( (x^2 - 4x + 1) \) से भाग देंगे।
\[ \begin{array}{r} x^2 - 2x - 35 \\ x^2-4x+1 \overline{) x^4 - 6x^3 - 26x^2 + 138x - 35} \\ \underline{-(x^4 - 4x^3 + x^2)} \\ -2x^3 - 27x^2 + 138x \\ \underline{-(-2x^3 + 8x^2 - 2x)} \\ -35x^2 + 140x - 35 \\ \underline{-(-35x^2 + 140x - 35)} \\ 0 \\ \end{array} \]
भागफल \( x^2 - 2x - 35 \) है।
अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए, भागफल को 0 के बराबर करें:
\( x^2 - 2x - 35 = 0 \)
मध्य पद को तोड़कर:
\( x^2 - 7x + 5x - 35 = 0 \)
\( x(x - 7) + 5(x - 7) = 0 \)
\( (x - 7)(x + 5) = 0 \)
\( \implies x - 7 = 0 \) या \( x + 5 = 0 \)
\( \implies x = 7 \) या \( x = -5 \)
अतः अन्य शून्यक 7 और -5 हैं।
In simple words: दिए गए दो शून्यकों का उपयोग करके, हमने एक द्विघात गुणनखण्ड बनाया। फिर, मूल बहुपद को इस गुणनखण्ड से विभाजित किया। प्राप्त भागफल को शून्य के बराबर करके हमने अन्य दो शून्यकों को ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: जब दो अपरिमेय शून्यक दिए जाते हैं, तो हमेशा \( (x - \alpha)(x - \beta) \) का उपयोग करके एक द्विघात गुणनखण्ड बनाएं। बहुपद विभाजन में सावधानी बरतें और गुणनखंडन करके शेष शून्यक ज्ञात करें।

 

Question 5. यदि बहुपद \( x^4 – 6x^3 + 16x^2 – 25x + 10 \) को एक अन्य बहुपद \( x^2 – 2x + k \) से भाग दिया जाए और शेषफल \( x + a \) आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: दिया गया बहुपद (भाज्य) \( p(x) = x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 25x + 10 \)
भाजक \( g(x) = x^2 - 2x + k \)
शेषफल \( r(x) = x + a \)
विभाजन एल्गोरिथम से, हमें प्राप्त होता है:
\[ \begin{array}{r} x^2 - 4x + (8 - k) \\ x^2-2x+k \overline{) x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 25x + 10} \\ \underline{-(x^4 - 2x^3 + kx^2)} \\ -4x^3 + (16-k)x^2 - 25x \\ \underline{-(-4x^3 + 8x^2 - 4kx)} \\ (16 - k - 8)x^2 + (-25 + 4k)x + 10 \\ (8 - k)x^2 + (4k - 25)x + 10 \\ \underline{-((8 - k)x^2 - 2(8 - k)x + k(8 - k))} \\ (-25 + 4k + 2(8 - k))x + (10 - k(8 - k)) \\ (-25 + 4k + 16 - 2k)x + (10 - 8k + k^2) \\ (-9 + 2k)x + (k^2 - 8k + 10) \\ \end{array} \]
इस प्रकार, भागफल \( q(x) = x^2 - 4x + (8 - k) \) और शेषफल \( r(x) = (-9 + 2k)x + (k^2 - 8k + 10) \)
परन्तु दिया गया है कि शेषफल \( x + a \) है।
दोनों शेषफलों की तुलना करने पर:
\( (-9 + 2k)x + (k^2 - 8k + 10) = 1x + a \)
x के गुणांकों की तुलना करने पर:
\( -9 + 2k = 1 \)
\( 2k = 1 + 9 \)
\( 2k = 10 \)
\( k = \frac{10}{2} \)
\( k = 5 \)
अचर पदों की तुलना करने पर:
\( a = k^2 - 8k + 10 \)
k का मान 5 प्रतिस्थापित करने पर:
\( a = (5)^2 - 8(5) + 10 \)
\( a = 25 - 40 + 10 \)
\( a = 35 - 40 \)
\( a = -5 \)
अतः \( k = 5 \) और \( a = -5 \)
In simple words: हमने दिए गए बहुपदों का विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करके भाग दिया, जिससे एक शेषफल प्राप्त हुआ जिसमें \( k \) शामिल था। इस प्राप्त शेषफल को दिए गए शेषफल \( x + a \) से तुलना करके, हमने \( x \) के गुणांकों और अचर पदों को बराबर करके \( k \) और \( a \) के मानों को हल किया।

🎯 Exam Tip: बहुपद विभाजन करते समय सावधानीपूर्वक गणना करें, खासकर जब गुणांकों में चर शामिल हों। शेषफल की तुलना करते समय, \( x \) के गुणांकों और अचर पदों को अलग-अलग बराबर करना सुनिश्चित करें।