UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers Ex 13

Ex 1.3 Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. जाँचिए कि \( \pi \) एक परिमेय संख्या है या अपरिमेय है।
Answer: \( \pi \) का मान एक ऐसा दशमलव होता है जो कभी खत्म नहीं होता और न ही इसमें कोई अंक बार-बार आता है. यह एक विशेष गणितीय स्थिरांक है जिसका उपयोग वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल की गणना में होता है. इसलिए, \( \pi \) एक अपरिमेय संख्या है.
In simple words: \( \pi \) एक ऐसी संख्या है जिसका दशमलव कभी समाप्त नहीं होता और पैटर्न भी दोहराता नहीं. इसलिए, यह एक अपरिमेय संख्या है.

🎯 Exam Tip: परिमेय और अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा और उनके दशमलव प्रसार को समझना महत्वपूर्ण है. अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार असांत (non-terminating) और अनावर्ती (non-repeating) होता है.

Question 2. जाँचिए कि \( \frac{22}{7} \) एक परिमेय संख्या है या अपरिमेय है।
Answer: \( \frac{22}{7} \) एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( q \neq 0 \) है. यह \( \pi \) का एक सामान्य सन्निकटन है, हालांकि \( \pi \) स्वयं अपरिमेय है. इसलिए, \( \frac{22}{7} \) एक परिमेय संख्या है.
In simple words: \( \frac{22}{7} \) को एक भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ नीचे वाला अंक शून्य नहीं है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है.

🎯 Exam Tip: भिन्न के रूप में लिखी जा सकने वाली संख्याएँ (जहाँ हर शून्य न हो) परिमेय संख्याएँ होती हैं.

Question 3. जाँचिए कि संख्या \( \frac{2 \sqrt{45}+3 \sqrt{20}}{2 \sqrt{5}} \), सरल करने पर परिमेय संख्या प्राप्त होगी या अपरिमेय है।
Answer: दी गई संख्या है: \( \frac{2 \sqrt{45}+3 \sqrt{20}}{2 \sqrt{5}} \)
पहले, वर्गमूलों को सरल करें:
\( \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \)
\( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \)
अब, इन मानों को व्यंजक में वापस रखें:
\( \frac{2 (3\sqrt{5}) + 3 (2\sqrt{5})}{2\sqrt{5}} \)
\( \frac{6\sqrt{5} + 6\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \)
\( \frac{12\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \)
अब, अंश और हर से \( \sqrt{5} \) को काट दें:
\( \frac{12}{2} = 6 \)
चूँकि 6 को \( \frac{6}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है, यह एक परिमेय संख्या है. अक्सर, अपरिमेय दिखने वाले व्यंजक सरल होने पर परिमेय बन सकते हैं, इसलिए सरलीकरण पहला कदम है.
In simple words: इस बड़े से सवाल को आसान बनाने के लिए, पहले वर्गमूल वाले नंबरों को छोटा करें. फिर, उन्हें समीकरण में वापस रखकर हल करें. अंत में, आपको 6 मिलेगा, जो एक सीधी-सादी संख्या है और इसलिए परिमेय है.

🎯 Exam Tip: हमेशा पहले वर्गमूलों को सरल करें और फिर भिन्नों को गुणा या भाग करें ताकि सही परिणाम मिल सके.

Question 4. संख्या \( \frac{14753}{1250} \) का दशमलव प्रसार, दशमलव के कितने स्थानों के बाद समाप्त होगा?
Answer: दी गई संख्या \( \frac{14753}{1250} \) है.
जब हम 14753 को 1250 से भाग करते हैं, तो हमें मिलता है:
\( \frac{14753}{1250} = 11.8024 \)
यह दशमलव प्रसार दशमलव बिंदु के बाद 4 स्थानों पर समाप्त होता है. किसी भिन्न के दशमलव प्रसार के स्थानों की संख्या हर के अभाज्य गुणनखंडों (2 और 5) की अधिकतम घात पर निर्भर करती है.
In simple words: जब हम 14753 को 1250 से भाग करते हैं, तो हमें 11.8024 मिलता है. इसमें दशमलव बिंदु के बाद चार अंक हैं, जिसका मतलब है कि यह चार स्थानों के बाद खत्म हो जाता है.

🎯 Exam Tip: दशमलव प्रसार कहाँ समाप्त होगा, यह जानने के लिए आप हर के अभाज्य गुणनखंड \(2^m \times 5^n\) के रूप में लिख सकते हैं और \(m\) या \(n\) में से जो बड़ी घात हो, वह दशमलव स्थानों की संख्या होगी.

Question 5. संख्या \( \frac{43}{2^{2} \times 5} \) का दशमलव प्रसार दशमलव के कितने स्थानों बाद समाप्त होगा?
Answer: दी गई संख्या \( \frac{43}{2^{2} \times 5} \) है.
हर \( 2^2 \times 5^1 \) है.
दशमलव प्रसार के सांत होने के लिए, हर \( 2^m \times 5^n \) के रूप में होना चाहिए.
यहां, घात \( m=2 \) और \( n=1 \) हैं.
दशमलव प्रसार \( m \) और \( n \) में से अधिकतम के बराबर स्थानों के बाद समाप्त होगा.
\( \max(2, 1) = 2 \)
तो, दशमलव प्रसार 2 दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होगा. यह नियम हमें बिना लंबी भाग किए ही दशमलव प्रसार की समाप्ति का पता लगाने में मदद करता है.
In simple words: इस भिन्न के नीचे वाले हिस्से में 2 की घात 2 और 5 की घात 1 है. दशमलव कितने अंकों बाद खत्म होगा, यह 2 और 1 में से जो सबसे बड़ी घात है, उस पर निर्भर करता है. यहाँ 2 सबसे बड़ी घात है, इसलिए दशमलव दो अंकों बाद खत्म होगा.

🎯 Exam Tip: किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब उसका हर \(2^m \times 5^n\) के रूप में हो. अधिकतम घात दशमलव स्थानों की संख्या बताती है.

Question 6. संख्या \( 1.23 \overline{48} \) की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई संख्या \( 1.23 \overline{48} \) है.
इसका मतलब है कि 48 अंक 1.23 के बाद दोहराते हैं: \( 1.23484848... \)
यह एक असांत (न खत्म होने वाला) लेकिन आवर्ती (दोहराने वाला) दशमलव प्रसार है.
असांत और आवर्ती दशमलव प्रसार वाली संख्याएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं. एक संख्या को परिमेय तभी कहा जाता है जब उसका दशमलव प्रसार या तो सांत हो या असांत आवर्ती हो.
In simple words: यह संख्या 1.23 के बाद 48 को बार-बार दोहराती है, यानी यह कभी खत्म नहीं होती लेकिन एक पैटर्न में दोहराती है. इसलिए, यह एक परिमेय संख्या है.

🎯 Exam Tip: एक संख्या परिमेय है यदि उसका दशमलव विस्तार या तो समाप्त हो जाता है या दोहराता है (आवर्ती होता है).

Question 7. संख्या \( 3.\overline{35} \) की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई संख्या \( 3.\overline{35} \) है.
इसका मतलब है कि 35 अंक दोहराते हैं: \( 3.353535... \)
यह एक असांत (न खत्म होने वाला) लेकिन आवर्ती (दोहराने वाला) दशमलव प्रसार है.
इसलिए, यह एक परिमेय संख्या है. ऐसी संख्याएँ जिन्हें \( p/q \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( q \neq 0 \), परिमेय कहलाती हैं.
In simple words: यह संख्या 3.353535... है, जिसमें '35' बार-बार आता है. यह कभी खत्म नहीं होती लेकिन एक खास तरीके से दोहराती है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है.

🎯 Exam Tip: किसी भी संख्या जिसका दशमलव प्रसार असांत (कभी न खत्म होने वाला) लेकिन आवर्ती (दोहराने वाला) हो, वह परिमेय संख्या कहलाती है.

Question 8. संख्या \( 2\sqrt{5} \) की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई संख्या \( 2\sqrt{5} \) है.
हम जानते हैं कि \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार (लगभग 2.236067977...) असांत और अनावर्ती होता है.
जब एक अशून्य परिमेय संख्या (जैसे 2) को एक अपरिमेय संख्या (जैसे \( \sqrt{5} \)) से गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है.
इसलिए, \( 2\sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है. अपरिमेय संख्याओं का गणित में महत्वपूर्ण स्थान है, खासकर ज्यामिति और बीजगणित में.
In simple words: हमें पता है कि \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव कभी खत्म नहीं होता और न ही दोहराता है. जब एक साधारण संख्या (जैसे 2) को एक अपरिमेय संख्या से गुणा किया जाता है, तो उत्तर भी हमेशा अपरिमेय ही आता है. इसलिए, \( 2\sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है.

🎯 Exam Tip: एक परिमेय संख्या (जो शून्य न हो) और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है.

Question 9. एक अशून्य परिमेय तथा अपरिमेय संख्या की गुणा की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
Answer: एक अशून्य परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है.
उदाहरण के लिए, यदि हम परिमेय संख्या 2 (जो शून्य नहीं है) और अपरिमेय संख्या \( \sqrt{5} \) लेते हैं, तो उनका गुणनफल \( 2\sqrt{5} \) होता है.
चूँकि \( \sqrt{5} \) अपरिमेय है, \( 2\sqrt{5} \) भी एक अपरिमेय संख्या है. यह गुणधर्म संख्याओं के प्रकारों को समझने में मदद करता है, खासकर जब हम विभिन्न प्रकार की संख्याओं के साथ संक्रियाएँ करते हैं.
In simple words: जब हम एक सामान्य संख्या (जो शून्य नहीं है) को एक अपरिमेय संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें हमेशा एक अपरिमेय संख्या ही मिलती है. जैसे, अगर आप 2 को \( \sqrt{5} \) से गुणा करें, तो आपको \( 2\sqrt{5} \) मिलेगा, जो कि अपरिमेय है.

🎯 Exam Tip: किसी अशून्य परिमेय संख्या को अपरिमेय संख्या से गुणा करने पर परिणाम हमेशा अपरिमेय ही होता है.

Ex 1.3 Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 10. किसी संख्या \( \frac{p}{q} \) में, वह प्रतिबंध ज्ञात कीजिए जिसके लिए इसका दशमलव प्रसार सांत हो।
Answer: एक परिमेय संख्या \( \frac{p}{q} \) (जहाँ \( q \neq 0 \) और \( p, q \) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं) का दशमलव प्रसार सांत होगा, यदि और केवल यदि हर \( q \) का अभाज्य गुणनखंड \( 2^m \times 5^n \) के रूप का हो, जहाँ \( m \) और \( n \) गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं. यह प्रतिबंध हमें बिना वास्तविक भाग किए ही किसी भिन्न के दशमलव प्रसार की प्रकृति का पता लगाने में सक्षम बनाता है.
In simple words: एक भिन्न \( \frac{p}{q} \) का दशमलव तब ही खत्म होगा, जब उसके नीचे वाले नंबर \( q \) के गुणनखंड केवल 2 और 5 हों, यानी \( q \) को \( 2^m \times 5^n \) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ \( m \) और \( n \) शून्य या कोई धनात्मक पूर्णांक हो सकते हैं.

🎯 Exam Tip: एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत होने के लिए हर का अभाज्य गुणनखंड \(2^m \times 5^n\) के रूप में होना अनिवार्य है.

Question 11. संख्या \( \frac{441}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{2}} \) का दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती है?
Answer: दी गई संख्या \( \frac{441}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{2}} \) है.
यह निर्धारित करने के लिए कि दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती, हम हर के अभाज्य गुणनखंडों को देखते हैं.
हर \( 2^{2} \times 5^{7} \times 7^{2} \) है.
चूँकि हर में 7 का एक अभाज्य गुणनखंड शामिल है (जो 2 या 5 नहीं है), दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा. हर में 2 और 5 के अलावा कोई भी अभाज्य गुणनखंड होने पर दशमलव प्रसार असांत और आवर्ती हो जाता है.
In simple words: दी गई संख्या के नीचे वाले भाग में 2 और 5 के अलावा एक और संख्या, 7, भी गुणनखंड के रूप में है. जब नीचे वाले भाग में 2 और 5 के अलावा कोई और गुणनखंड होता है, तो दशमलव कभी खत्म नहीं होता और दोहराता रहता है. इसलिए, इसका दशमलव असांत आवर्ती है.

🎯 Exam Tip: एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब उसका हर केवल 2 और 5 के गुणनखंडों से बना हो; अन्यथा, यह असांत आवर्ती होगा.

Question 12. सिद्ध कीजिए कि दो अपरिमेय संख्याएँ \( 7 + \sqrt{5} \) तथा \( 7 - \sqrt{5} \) का योग तथा गुणनफल, परिमेय संख्याएँ हैं।
Answer: माना दो अपरिमेय संख्याएँ \( A = 7 + \sqrt{5} \) और \( B = 7 - \sqrt{5} \) हैं.
**संख्याओं का योग:**
\( A + B = (7 + \sqrt{5}) + (7 - \sqrt{5}) \)
\( = 7 + \sqrt{5} + 7 - \sqrt{5} \)
\( \sqrt{5} \) पद कट जाते हैं:
\( = 7 + 7 = 14 \)
चूँकि 14 को \( \frac{14}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है, यह एक परिमेय संख्या है.
**संख्याओं का गुणनफल:**
\( A \times B = (7 + \sqrt{5})(7 - \sqrt{5}) \)
यह \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) के रूप में है.
\( = (7)^2 - (\sqrt{5})^2 \)
\( = 49 - 5 \)
\( = 44 \)
चूँकि 44 को \( \frac{44}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है, यह एक परिमेय संख्या है.
इसलिए, इन दो अपरिमेय संख्याओं का योग और गुणनफल दोनों ही परिमेय संख्याएँ हैं. कुछ अपरिमेय संख्याओं को इस तरह से बनाया जा सकता है कि उनका योग या गुणनफल परिमेय हो जाए, जिससे यह दर्शाता है कि अपरिमेय संख्याएँ हमेशा बंद नहीं होती हैं.
In simple words: हमारे पास दो अजीब सी संख्याएँ हैं: \( 7 + \sqrt{5} \) और \( 7 - \sqrt{5} \). जब हम इन्हें जोड़ते हैं, तो \( \sqrt{5} \) वाले हिस्से कट जाते हैं और सिर्फ 14 बचता है, जो एक परिमेय संख्या है. जब हम इन्हें गुणा करते हैं, तो \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) का सूत्र लगता है और हमें 44 मिलता है, जो भी एक परिमेय संख्या है. इस तरह, उनका जोड़ और गुणा दोनों ही सामान्य संख्याएँ हैं.

🎯 Exam Tip: यह दिखाने के लिए कि योग या गुणनफल परिमेय है, बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजकों को सरल करें. ध्यान दें कि \( (\sqrt{a})^2 = a \) होता है.

Ex 1.3 Real Numbers दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 13. संख्या \( 0.\overline{32} \) को इसके सरलतम रूप में लिखो।
Answer: माना \( x = 0.\overline{32} \)
इसका मतलब है \( x = 0.323232... \) (1)
क्योंकि दो अंक दोहरा रहे हैं (32), हम समीकरण (1) को 100 से गुणा करेंगे:
\( 100x = 32.323232... \) (2)
अब, समीकरण (1) को समीकरण (2) में से घटाएँ:
\( 100x - x = 32.323232... - 0.323232... \)
\( 99x = 32 \)
\( x = \frac{32}{99} \)
अतः, \( 0.\overline{32} \) का सरलतम भिन्न रूप \( \frac{32}{99} \) है. इस विधि का उपयोग किसी भी आवर्ती दशमलव संख्या को परिमेय भिन्न में बदलने के लिए किया जा सकता है.
In simple words: पहले, संख्या \( 0.\overline{32} \) को \( x \) मानें. क्योंकि '32' बार-बार आ रहा है (दो अंक), इसे 100 से गुणा करें. फिर, नए समीकरण से पहले वाले को घटा दें. इससे \( x \) का मान \( \frac{32}{99} \) मिलेगा, जो इसका सबसे सरल रूप है.

🎯 Exam Tip: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए, दोहराए जाने वाले अंकों की संख्या के आधार पर 10, 100, 1000 आदि से गुणा करें और फिर मूल समीकरण को घटा दें.

Question 14. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के, सिद्ध कीजिए कि निम्न में से प्रत्येक परिमेय संख्या का प्रसार सांत होगा।
(i) \( \frac{41}{1000} \)
(ii) \( \frac{33}{50} \)
Answer: लंबी विभाजन प्रक्रिया के बिना, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है या नहीं, उसके हर के अभाज्य गुणनखंडों की जांच करके. यदि हर के अभाज्य गुणनखंडों में केवल 2 और/या 5 हैं, तो दशमलव प्रसार सांत होगा.
(i) \( \frac{41}{1000} \)
हर 1000 है.
1000 का अभाज्य गुणनखंडन \( = 10 \times 10 \times 10 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 5^3 \).
चूँकि हर \( 2^m \times 5^n \) के रूप में है (यहाँ, \( m=3, n=3 \)), इसका दशमलव प्रसार सांत है.
(ii) \( \frac{33}{50} \)
हर 50 है.
50 का अभाज्य गुणनखंडन \( = 2 \times 25 = 2^1 \times 5^2 \).
चूँकि हर \( 2^m \times 5^n \) के रूप में है (यहाँ, \( m=1, n=2 \)), इसका दशमलव प्रसार सांत है. हर के अभाज्य गुणनखंडों की जांच, लंबी गणना के बिना दशमलव के व्यवहार को समझने का एक कुशल तरीका है.
In simple words: किसी भिन्न का दशमलव तब ही खत्म होता है जब उसके नीचे वाले नंबर (हर) के गुणनखंड में केवल 2 और 5 हों.
(i) \( \frac{41}{1000} \) में, 1000 को \( 2^3 \times 5^3 \) लिख सकते हैं. इसमें सिर्फ 2 और 5 हैं, इसलिए दशमलव खत्म होगा.
(ii) \( \frac{33}{50} \) में, 50 को \( 2^1 \times 5^2 \) लिख सकते हैं. इसमें भी सिर्फ 2 और 5 हैं, इसलिए दशमलव खत्म होगा.

🎯 Exam Tip: हर का अभाज्य गुणनखंडन करके यह निर्धारित करना कि दशमलव प्रसार सांत है या नहीं, एक महत्वपूर्ण कौशल है.

Question 15. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के, सिद्ध कीजिए कि निम्न में से प्रत्येक परिमेय संख्या का प्रसार असांत आवर्ती है।
(i) \( \frac{66}{180} \)
(ii) \( \frac{53}{343} \)
(iii) \( \frac{17}{90} \)
Answer: लंबी विभाजन प्रक्रिया के बिना, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है या नहीं, उसके हर के अभाज्य गुणनखंडों की जांच करके. यदि हर में 2 और 5 के अलावा अन्य अभाज्य गुणनखंड हैं, तो दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा.
(i) \( \frac{66}{180} \)
पहले, भिन्न को सरल करें: \( \frac{66}{180} = \frac{11 \times 6}{30 \times 6} = \frac{11}{30} \)
हर 30 है.
30 का अभाज्य गुणनखंडन \( = 2 \times 3 \times 5 \).
चूँकि हर में 3 का एक अभाज्य गुणनखंड शामिल है (जो 2 या 5 नहीं है), इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है.
(ii) \( \frac{53}{343} \)
भिन्न पहले से ही अपने सरलतम रूप में है.
हर 343 है.
343 का अभाज्य गुणनखंडन \( = 7 \times 7 \times 7 = 7^3 \).
चूँकि हर में 7 का एक अभाज्य गुणनखंड शामिल है, इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है.
(iii) \( \frac{17}{90} \)
भिन्न पहले से ही अपने सरलतम रूप में है.
हर 90 है.
90 का अभाज्य गुणनखंडन \( = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \).
चूँकि हर में 3 का एक अभाज्य गुणनखंड शामिल है, इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है. इस गुण का उपयोग बड़ी संख्याओं के दशमलव प्रसार की प्रकृति का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है, जिससे गणना सरल हो जाती है.
In simple words: किसी भिन्न का दशमलव तब ही असांत आवर्ती होता है जब उसके नीचे वाले नंबर (हर) के गुणनखंड में 2 और 5 के अलावा कोई और अभाज्य संख्या भी हो.
(i) \( \frac{66}{180} \) को सरल करने पर \( \frac{11}{30} \) मिलता है. 30 के गुणनखंड \( 2 \times 3 \times 5 \) हैं, जिसमें 3 भी है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा.
(ii) \( \frac{53}{343} \) में, 343 के गुणनखंड \( 7^3 \) हैं, जिसमें सिर्फ 7 है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा.
(iii) \( \frac{17}{90} \) में, 90 के गुणनखंड \( 2 \times 3^2 \times 5 \) हैं, जिसमें 3 भी है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा.

🎯 Exam Tip: असांत आवर्ती दशमलव प्रसार को पहचानने के लिए, हमेशा भिन्न को उसके सरलतम रूप में लाएँ, फिर हर के अभाज्य गुणनखंडों की जांच करें.

Question 16. बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया के, सिद्ध कीजिए कि निम्न परिमेय संख्यायें असांत-आवर्ती हैं।
(i) \( \frac{11}{2^{3} \times 3} \)
(ii) \( \frac{73}{2^{3} \times 3^{3} \times 5} \)
Answer: लंबी विभाजन प्रक्रिया के बिना यह सिद्ध करने के लिए कि इन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार असांत आवर्ती हैं, हम उनके हर के अभाज्य गुणनखंडों की जांच करेंगे. यदि हर में 2 या 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड है, तो दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा.
(i) \( \frac{11}{2^{3} \times 3} \)
हर \( 2^3 \times 3 \) है.
इस हर में 3 का एक अभाज्य गुणनखंड शामिल है, जो 2 या 5 नहीं है.
इसलिए, इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है.
(ii) \( \frac{73}{2^{3} \times 3^{3} \times 5} \)
हर \( 2^3 \times 3^3 \times 5 \) है.
इस हर में 3 का एक अभाज्य गुणनखंड शामिल है, जो 2 या 5 नहीं है.
इसलिए, इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है. यह नियम हमें बिना लंबी भाग किए यह समझने में मदद करता है कि दशमलव प्रसार कब असांत आवर्ती होगा.
In simple words: इन भिन्नों के दशमलव असांत आवर्ती होंगे अगर उनके नीचे वाले नंबर (हर) के गुणनखंड में 2 और 5 के अलावा कोई और अभाज्य संख्या हो.
(i) \( \frac{11}{2^{3} \times 3} \) में, हर में 3 भी है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा.
(ii) \( \frac{73}{2^{3} \times 3^{3} \times 5} \) में, हर में 3 भी है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा.

🎯 Exam Tip: हर का अभाज्य गुणनखंडन करके यह निर्धारित करना कि दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है या नहीं, एक महत्वपूर्ण कौशल है. यदि हर में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखंड हो तो वह असांत आवर्ती होता है.

Question 17. निम्न संख्याओं को जाँचिए कि ये परिमेय हैं या अपरिमेय ।
(i) 3.245
(ii) 1.03458
(iii) 2.121121112...
(iv) \( 43.\overline{123456789} \)
Answer:
(i) 3.245
यह संख्या एक सांत दशमलव प्रसार वाली है (यह दशमलव बिंदु के बाद 3 स्थानों पर समाप्त हो जाती है).
एक सांत दशमलव को हमेशा \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है. जैसे, \( 3.245 = \frac{3245}{1000} \).
इसलिए, 3.245 एक परिमेय संख्या है.
(ii) 1.03458
यह संख्या एक सांत दशमलव प्रसार वाली है (यह दशमलव बिंदु के बाद 5 स्थानों पर समाप्त हो जाती है).
इसे \( \frac{103458}{100000} \) के रूप में लिखा जा सकता है.
इसलिए, 1.03458 एक परिमेय संख्या है.
(iii) 2.121121112...
यह संख्या एक असांत (न खत्म होने वाला) और अनावर्ती (न दोहराने वाला) दशमलव प्रसार है. 1s के बढ़ने का पैटर्न (1, 11, 111) का मतलब है कि अंकों का कोई निश्चित खंड दोहरा नहीं रहा है.
असांत और अनावर्ती दशमलव प्रसार वाली संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ होती हैं.
इसलिए, 2.121121112... एक अपरिमेय संख्या है.
(iv) \( 43.\overline{123456789} \)
यह संख्या एक असांत (न खत्म होने वाला) लेकिन आवर्ती (दोहराने वाला) दशमलव प्रसार है. अंकों का खंड '123456789' दोहराता है.
असांत और आवर्ती दशमलव प्रसार वाली संख्याएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं.
इसलिए, \( 43.\overline{123456789} \) एक परिमेय संख्या है. दशमलव प्रसार की प्रकृति (सांत, असांत आवर्ती, या असांत अनावर्ती) संख्या के परिमेय या अपरिमेय होने का सबसे स्पष्ट संकेत है.
In simple words: यह जानने के लिए कि संख्या परिमेय है या अपरिमेय, हमें उसके दशमलव को देखना होगा.
(i) 3.245: यह दशमलव खत्म हो जाता है, इसलिए यह परिमेय है.
(ii) 1.03458: यह दशमलव भी खत्म हो जाता है, इसलिए यह परिमेय है.
(iii) 2.121121112...: यह दशमलव न तो खत्म होता है और न ही इसमें कोई अंक बार-बार आता है, इसलिए यह अपरिमेय है.
(iv) \( 43.\overline{123456789} \): यह दशमलव खत्म नहीं होता लेकिन '123456789' बार-बार आता है, इसलिए यह परिमेय है.

🎯 Exam Tip: सांत या असांत आवर्ती दशमलव प्रसार वाली संख्याएँ परिमेय होती हैं, जबकि असांत अनावर्ती दशमलव प्रसार वाली संख्याएँ अपरिमेय होती हैं.