UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers Ex 12

Ex 1.2 Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. यदि HCF (26, 169) = 13 तब LCM (26, 169) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि संख्याओं 26 और 169 का HCF 13 है। हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके LCM और HCF के गुणनफल के बराबर होता है।
इसलिए, \( \mathrm{LCM} \times \mathrm{HCF} = \text{दोनों संख्याओं का गुणनफल} \)
\( \mathrm{LCM} \times 13 = 26 \times 169 \)
\( \mathrm{LCM} = \frac{26 \times 169}{13} \)
\( \mathrm{LCM} = 26 \times 13 \)
\( \mathrm{LCM} = 338 \)
अतः, 26 और 169 का LCM 338 है। दो संख्याओं का HCF उनके सभी उभयनिष्ठ गुणनखंडों का गुणनफल होता है, जबकि LCM सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है।
In simple words: HCF 13 और दो संख्याओं 26, 169 का LCM निकालने के लिए, हमने LCM को HCF से गुणा किया और इसे दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर रखा। इससे हमें LCM 338 मिला।

🎯 Exam Tip: यह सूत्र, "दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF", बहुत महत्वपूर्ण है और इसे अच्छी तरह से याद रखना चाहिए। यह विभिन्न प्रकार के संख्या-आधारित प्रश्नों को हल करने में मदद करता है।

Question 2. दो संख्याओं का HCF 16 तथा गुणनफल 3072 है। उनका LCM ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि दो संख्याओं का HCF 16 है और उनका गुणनफल 3072 है। हमें उनका LCM ज्ञात करना है। हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके LCM और HCF के गुणनफल के बराबर होता है।
इसलिए, \( \mathrm{LCM} \times \mathrm{HCF} = \text{दोनों संख्याओं का गुणनफल} \)
\( \mathrm{LCM} \times 16 = 3072 \)
\( \mathrm{LCM} = \frac{3072}{16} \)
\( \mathrm{LCM} = 192 \)
अतः, उन दोनों संख्याओं का LCM 192 है। इस सिद्धांत का उपयोग बड़ी संख्याओं के लिए भी किया जा सकता है, जिससे गणना आसान हो जाती है।
In simple words: दो संख्याओं का HCF 16 और उनका गुणनफल 3072 है। उनका LCM निकालने के लिए, हमने गुणनफल को HCF से भाग दिया, जिससे हमें LCM 192 मिला।

🎯 Exam Tip: जब भी दो संख्याओं का HCF और गुणनफल दिया हो, तो LCM ज्ञात करने के लिए हमेशा सूत्र "LCM = संख्याओं का गुणनफल / HCF" का प्रयोग करें।

Question 3. संख्या 144 के अभाज्य गुणनखण्डन में 2 की घात ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें संख्या 144 के अभाज्य गुणनखण्डन में 2 की घात ज्ञात करनी है।
इसके लिए हम 144 का अभाज्य गुणनखण्ड करते हैं:
\( 144 = 2 \times 72 \)
\( = 2 \times 2 \times 36 \)
\( = 2 \times 2 \times 2 \times 18 \)
\( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 9 \)
\( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
इसे घातांक रूप में लिखने पर: \( 144 = 2^4 \times 3^2 \)
अतः, संख्या 144 के अभाज्य गुणनखण्डन में 2 की घात 4 होगी। अभाज्य गुणनखण्डन किसी संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने का एक तरीका है।
In simple words: 144 को उसके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ने पर, हम देखते हैं कि 2 चार बार आता है। इसलिए, 2 की घात 4 है।

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंड करते समय, हमेशा सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंड से शुरू करें और तब तक भाग देते रहें जब तक भागफल 1 न आ जाए।

Question 4. संख्या 196 के अभाज्य गुणनखण्डन में घातों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें संख्या 196 के अभाज्य गुणनखण्डन में घातों का योग ज्ञात करना है।
पहले हम 196 का अभाज्य गुणनखण्ड करते हैं:
\( 196 = 2 \times 98 \)
\( = 2 \times 2 \times 49 \)
\( = 2 \times 2 \times 7 \times 7 \)
इसे घातांक रूप में लिखने पर: \( 196 = 2^2 \times 7^2 \)
यहां, 2 की घात 2 है और 7 की घात 2 है।
इन घातों का योग \( = 2 + 2 = 4 \)
अतः, संख्या 196 के अभाज्य गुणनखण्डन में घातों का योग 4 है। अभाज्य गुणनखंड किसी संख्या की संरचना को समझने में मदद करते हैं।
In simple words: 196 को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ने पर, हमें \( 2^2 \times 7^2 \) मिलता है। इसमें घातें 2 और 2 हैं, जिनका योग 4 होता है।

🎯 Exam Tip: घातों का योग ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आपने सभी अभाज्य गुणनखंडों की सही घातें ली हैं, भले ही वे संख्या में केवल एक बार ही क्यों न हों (जैसे कि \( 5^1 \))।

Question 5. यदि a व 18 का LCM 36 तथा HCF 2 है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि दो संख्याएँ a और 18 हैं। इन संख्याओं का LCM 36 है और HCF 2 है। हमें a का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके LCM और HCF के गुणनफल के बराबर होता है।
इसलिए, \( \mathrm{LCM} \times \mathrm{HCF} = \text{पहली संख्या} \times \text{दूसरी संख्या} \)
\( 36 \times 2 = a \times 18 \)
\( 72 = 18a \)
दोनों तरफ 18 से भाग देने पर:
\( a = \frac{72}{18} \)
\( a = 4 \)
अतः, a का मान 4 है। यह सूत्र अज्ञात संख्याओं को ज्ञात करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है।
In simple words: दो संख्याओं (a और 18) का LCM 36 और HCF 2 है। हमने \( \mathrm{LCM} \times \mathrm{HCF} = \text{दोनों संख्याओं का गुणनफल} \) सूत्र का उपयोग किया और a का मान 4 पाया।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, अज्ञात संख्या को सही ढंग से सूत्र में रखें और बीजगणितीय गणनाओं में सावधानी बरतें ताकि सही उत्तर मिल सके।

Question 6. यदि p व q धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार है कि \( p = ab^2 \), \( q = a^2b \) जहाँ a तथा b अभाज्य संख्याएँ हैं। तब LCM (p, q) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दो धनात्मक पूर्णांक p और q दिए गए हैं, जहाँ \( p = ab^2 \) और \( q = a^2b \) है। a और b अभाज्य संख्याएँ हैं। हमें LCM (p, q) का मान ज्ञात करना है।
दी गई संख्याएँ हैं:
\( p = ab^2 = a \times b \times b \)
\( q = a^2b = a \times a \times b \)
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेते हैं जो संख्याओं में आता है।
यहां, अभाज्य गुणनखंड a और b हैं।
a की उच्चतम घात \( a^2 \) है (जो q में है)।
b की उच्चतम घात \( b^2 \) है (जो p में है)।
इसलिए, \( \mathrm{LCM}(p, q) = a^2b^2 \)
अतः, LCM (p, q) का मान \( a^2b^2 \) है। LCM वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाती है।
In simple words: p और q दो संख्याएँ हैं, जिनमें \( p = ab^2 \) और \( q = a^2b \) है। इन दोनों का LCM निकालने के लिए, हमने 'a' और 'b' की सबसे बड़ी घातों को चुना, जिससे हमें \( a^2b^2 \) मिला।

🎯 Exam Tip: LCM ज्ञात करते समय, सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों को गुणा करना सुनिश्चित करें जो किसी भी संख्या के अभाज्य गुणनखण्डन में दिखाई देते हैं।

Question 7. वह निम्नतम संख्या ज्ञात कीजिए जो 1 व 10 तथा इनके बीच की सभी प्राकृत संख्याओं से विभाजित है। (NCERT Exemplar)
Answer: हमें वह निम्नतम संख्या ज्ञात करनी है जो 1 से 10 तक की सभी प्राकृत संख्याओं (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) से विभाजित हो। ऐसी निम्नतम संख्या इन सभी संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) होती है।
सबसे पहले, हम 1 से 10 तक की प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखण्ड करते हैं:
\( 1 = 1 \)
\( 2 = 2^1 \)
\( 3 = 3^1 \)
\( 4 = 2^2 \)
\( 5 = 5^1 \)
\( 6 = 2^1 \times 3^1 \)
\( 7 = 7^1 \)
\( 8 = 2^3 \)
\( 9 = 3^2 \)
\( 10 = 2^1 \times 5^1 \)
अब, LCM ज्ञात करने के लिए, हम इन सभी अभाज्य गुणनखण्डों में प्रत्येक अभाज्य संख्या की उच्चतम घात लेते हैं:
2 की उच्चतम घात \( 2^3 \) (जो 8 में है)
3 की उच्चतम घात \( 3^2 \) (जो 9 में है)
5 की उच्चतम घात \( 5^1 \) (जो 5 और 10 में है)
7 की उच्चतम घात \( 7^1 \) (जो 7 में है)
इसलिए, \( \mathrm{LCM}(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 \)
\( = 8 \times 9 \times 5 \times 7 \)
\( = 72 \times 35 \)
\( = 2520 \)
अतः, वह निम्नतम संख्या 2520 है जो 1 से 10 तक की सभी प्राकृत संख्याओं से विभाजित होती है। यह संख्या इन सभी संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज है।
In simple words: 1 से 10 तक की सभी संख्याओं से पूरी तरह भाग होने वाली सबसे छोटी संख्या निकालने के लिए, हमने उन सभी संख्याओं का LCM निकाला। प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घातों को गुणा करने पर हमें 2520 मिला।

🎯 Exam Tip: 1 से किसी दी गई संख्या तक के सभी पूर्णांकों का LCM निकालने के लिए, प्रत्येक अभाज्य संख्या की उच्चतम घात को गुणा करें जो उन पूर्णांकों में से किसी एक के अभाज्य गुणनखण्डन में आती है।

Question 8. \( (2^3 \times 3 \times 5) \) तथा \( (2^4 \times 5 \times 7) \) का LCM ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दो संख्याएँ दी गई हैं: \( 2^3 \times 3 \times 5 \) और \( 2^4 \times 5 \times 7 \)। हमें इनका LCM ज्ञात करना है।
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात करने के लिए, हम सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घात लेते हैं जो इन संख्याओं में आते हैं।
यहां, अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5 और 7 हैं।
2 की उच्चतम घात \( 2^4 \) है।
3 की उच्चतम घात \( 3^1 \) है।
5 की उच्चतम घात \( 5^1 \) है।
7 की उच्चतम घात \( 7^1 \) है।
इसलिए, \( \mathrm{LCM} = 2^4 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 \)
\( = 16 \times 3 \times 5 \times 7 \)
\( = 48 \times 35 \)
\( = 1680 \)
अतः, दी गई संख्याओं का LCM 1680 है। LCM वह सबसे छोटी संख्या होती है जो दी गई सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाती है।
In simple words: दो संख्याओं \( (2^3 \times 3 \times 5) \) और \( (2^4 \times 5 \times 7) \) का LCM निकालने के लिए, हमने उन सभी अभाज्य संख्याओं (2, 3, 5, 7) की सबसे बड़ी घातों को चुना और उन्हें गुणा किया, जिससे हमें 1680 मिला।

🎯 Exam Tip: जब संख्याएँ पहले से ही अभाज्य गुणनखण्डन के रूप में दी गई हों, तो LCM ज्ञात करने के लिए प्रत्येक अभाज्य कारक की उच्चतम घात को चुनें।

Ex 1.2 Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 9. दो संख्याओं का HCF 27 तथा LCM 162 है। यदि एक संख्या 54 है तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि दो संख्याओं का HCF 27 है और LCM 162 है। यदि एक संख्या 54 है, तो हमें दूसरी संख्या ज्ञात करनी है।
हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके LCM और HCF के गुणनफल के बराबर होता है।
सूत्र है: \( \mathrm{HCF} \times \mathrm{LCM} = \text{पहली संख्या} \times \text{दूसरी संख्या} \)
मान लीजिए दूसरी संख्या x है।
\( 27 \times 162 = 54 \times x \)
अब, x का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों तरफ 54 से भाग दें:
\( x = \frac{27 \times 162}{54} \)
\( x = \frac{162}{2} \)
\( x = 81 \)
अतः, दूसरी संख्या 81 है। इस सूत्र का उपयोग करके हम आसानी से अज्ञात संख्याओं को ज्ञात कर सकते हैं।
In simple words: HCF 27, LCM 162 और एक संख्या 54 दी गई थी। हमने \( \mathrm{HCF} \times \mathrm{LCM} = \text{दोनों संख्याओं का गुणनफल} \) सूत्र का उपयोग करके दूसरी संख्या 81 ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, अज्ञात संख्या को अलग करने के लिए बीजगणितीय चरणों का सावधानीपूर्वक पालन करें। हमेशा अपने उत्तर की जाँच करें कि क्या यह दिए गए HCF और LCM के साथ संगत है।

Question 10. दो संख्याओं का HCF 23 तथा LCM 1449 है। यदि एक संख्या 161 है तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि दो संख्याओं का HCF 23 है और LCM 1449 है। यदि एक संख्या 161 है, तो हमें दूसरी संख्या ज्ञात करनी है।
हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके LCM और HCF के गुणनफल के बराबर होता है।
सूत्र है: \( \mathrm{HCF} \times \mathrm{LCM} = \text{पहली संख्या} \times \text{दूसरी संख्या} \)
मान लीजिए दूसरी संख्या x है।
\( 23 \times 1449 = 161 \times x \)
अब, x का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों तरफ 161 से भाग दें:
\( x = \frac{23 \times 1449}{161} \)
\( x = \frac{1449}{7} \)
\( x = 207 \)
अतः, दूसरी संख्या 207 है। यह विधि बड़ी संख्याओं के लिए भी उतनी ही प्रभावी है।
In simple words: HCF 23, LCM 1449 और एक संख्या 161 दी गई थी। हमने सूत्र \( \mathrm{HCF} \times \mathrm{LCM} = \text{पहली संख्या} \times \text{दूसरी संख्या} \) का उपयोग करके दूसरी संख्या 207 ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणना सही है, यह जाँच लें कि HCF हमेशा दी गई संख्याओं से और LCM हमेशा दी गई संख्याओं से पूरी तरह विभाजित होता है।

Question 11. दो संख्याओं का HCF 11 तथा LCM 7700 है। यदि एक संख्या 275 है तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि दो संख्याओं का HCF 11 है और LCM 7700 है। यदि एक संख्या 275 है, तो हमें दूसरी संख्या ज्ञात करनी है।
हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके LCM और HCF के गुणनफल के बराबर होता है।
सूत्र है: \( \mathrm{HCF} \times \mathrm{LCM} = \text{पहली संख्या} \times \text{दूसरी संख्या} \)
मान लीजिए दूसरी संख्या x है।
\( 11 \times 7700 = 275 \times x \)
अब, x का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों तरफ 275 से भाग दें:
\( x = \frac{11 \times 7700}{275} \)
पहले 11 से 275 को भाग दें: \( 275 \div 11 = 25 \)
\( x = \frac{7700}{25} \)
\( x = 308 \)
अतः, दूसरी संख्या 308 है। गणित में, एक ही सिद्धांत को बार-बार लागू करके विभिन्न समस्याओं को हल किया जा सकता है।
In simple words: HCF 11, LCM 7700 और एक संख्या 275 दी गई थी। हमने दूसरी संख्या को x मानकर और सूत्र का उपयोग करके, \( \mathrm{HCF} \times \mathrm{LCM} = \text{पहली संख्या} \times \text{दूसरी संख्या} \) से x का मान 308 निकाला।

🎯 Exam Tip: गणनाओं को सरल बनाने के लिए, संख्याओं को गुणा करने से पहले भिन्नों को सरल बनाने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, \( \frac{11 \times 7700}{275} \) में, आप 11 से 275 को काट सकते हैं।

Question 12. संख्या 20570 का अभाज्य गुणनखण्डन ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें संख्या 20570 का अभाज्य गुणनखण्डन ज्ञात करना है।
हम 20570 को उसके अभाज्य गुणनखंडों से भाग देते हैं:
20570 को 2 से भाग देने पर: \( 20570 = 2 \times 10285 \)
10285 को 5 से भाग देने पर: \( 10285 = 5 \times 2057 \)
2057 को 11 से भाग देने पर: \( 2057 = 11 \times 187 \)
187 को 11 से भाग देने पर: \( 187 = 11 \times 17 \)
17 को 17 से भाग देने पर: \( 17 = 17 \times 1 \)
इस प्रकार, 20570 के अभाज्य गुणनखंड हैं: 2, 5, 11, 11, 17।
अतः, 20570 का अभाज्य गुणनखण्डन \( 2 \times 5 \times 11^2 \times 17 \) है। अभाज्य गुणनखण्डन प्रत्येक संख्या का एक अनूठा प्रतिनिधित्व है।
In simple words: 20570 का अभाज्य गुणनखंड निकालने के लिए, हमने उसे सबसे छोटे अभाज्य संख्या से शुरू करके लगातार भाग दिया। अंत में, हमें \( 2 \times 5 \times 11^2 \times 17 \) मिला।

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखण्डन करते समय, विभाज्यता नियमों का उपयोग करें (जैसे 2, 3, 5, 7, 11 आदि से विभाज्यता) ताकि प्रक्रिया तेज और सही हो।

Question 13. अभाज्य गुणनखण्ड विधि से निम्न संख्याओं का LCM तथा HCF ज्ञात कीजिए।
(i) 12, 15, 21
(ii) 8, 9, 25 (NCERT)
Answer:
(i) संख्याएँ हैं: 12, 15, 21
इनका अभाज्य गुणनखण्ड करने पर:
\( 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1 \)
\( 15 = 3 \times 5 = 3^1 \times 5^1 \)
\( 21 = 3 \times 7 = 3^1 \times 7^1 \)
HCF (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करने के लिए, हम सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घात लेते हैं। यहां, 3 एकमात्र उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड है, जिसकी निम्नतम घात \( 3^1 \) है।
अतः, \( \mathrm{HCF} = 3 \)
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात करने के लिए, हम सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घात लेते हैं।
\( 2^2 \), \( 3^1 \), \( 5^1 \), \( 7^1 \)
अतः, \( \mathrm{LCM} = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 \)
\( = 4 \times 3 \times 5 \times 7 \)
\( = 12 \times 35 \)
\( = 420 \)
(ii) संख्याएँ हैं: 8, 9, 25
इनका अभाज्य गुणनखण्ड करने पर:
\( 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \)
\( 9 = 3 \times 3 = 3^2 \)
\( 25 = 5 \times 5 = 5^2 \)
HCF (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करने के लिए, हम सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घात लेते हैं। यहां कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए HCF 1 होगा।
अतः, \( \mathrm{HCF} = 1 \)
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात करने के लिए, हम सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घात लेते हैं।
\( 2^3 \), \( 3^2 \), \( 5^2 \)
अतः, \( \mathrm{LCM} = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 \)
\( = 8 \times 9 \times 25 \)
\( = 72 \times 25 \)
\( = 1800 \)
HCF और LCM दोनों ही संख्याओं के गुणनखंडों पर आधारित होते हैं, लेकिन उनका उपयोग अलग-अलग उद्देश्यों के लिए किया जाता है।
In simple words: हमने अभाज्य गुणनखण्ड विधि से (i) 12, 15, 21 का HCF 3 और LCM 420 निकाला। (ii) 8, 9, 25 का HCF 1 और LCM 1800 निकाला। HCF के लिए उभयनिष्ठ गुणनखंडों की सबसे छोटी घात लेते हैं, जबकि LCM के लिए सभी गुणनखंडों की सबसे बड़ी घात लेते हैं।

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखण्डन विधि का उपयोग करते समय, HCF के लिए केवल उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घातों को गुणा करें, और LCM के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों को गुणा करें।

Question 14. वह निम्नतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसको 35, 56 तथा 91 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 7 आता है।
Answer: हमें वह निम्नतम संख्या ज्ञात करनी है जिसको 35, 56 तथा 91 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 7 आता है।
सबसे पहले, हम 35, 56 और 91 का LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात करेंगे।
35, 56, 91 का LCM निकालने के लिए, हम अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करेंगे:
\( 35 = 5 \times 7 \)
\( 56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^3 \times 7 \)
\( 91 = 7 \times 13 \)
LCM के लिए, हम सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातें लेते हैं:
\( 2^3, 5^1, 7^1, 13^1 \)
\( \mathrm{LCM}(35, 56, 91) = 2^3 \times 5 \times 7 \times 13 \)
\( = 8 \times 5 \times 7 \times 13 \)
\( = 40 \times 91 \)
\( = 3640 \)
वह निम्नतम संख्या जो 35, 56 और 91 से पूरी तरह विभाजित होती है, वह 3640 है।
चूंकि प्रत्येक स्थिति में शेषफल 7 आता है, इसलिए हमें LCM में 7 जोड़ना होगा।
अभीष्ट संख्या \( = \mathrm{LCM} + \text{शेषफल} \)
\( = 3640 + 7 \)
\( = 3647 \)
अतः, वह निम्नतम संख्या 3647 है। यह दर्शाता है कि LCM का उपयोग विभिन्न प्रकार की व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में कैसे किया जाता है।
In simple words: 35, 56, और 91 से भाग देने पर हर बार 7 शेष बचे, ऐसी सबसे छोटी संख्या निकालने के लिए, हमने पहले इन संख्याओं का LCM (3640) निकाला। फिर, उसमें शेषफल 7 जोड़ दिया, जिससे हमें 3647 मिला।

🎯 Exam Tip: जब भी "निम्नतम संख्या" और "प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल" वाले प्रश्न आते हैं, तो हमेशा दी गई संख्याओं का LCM ज्ञात करें और फिर उस शेषफल को LCM में जोड़ दें।

Question 15. वह निम्नतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसको 28 तथा 32 से विभाजित करने पर शेषफल क्रमशः 8 व 12 प्राप्त होते हैं।
Answer: हमें वह निम्नतम संख्या ज्ञात करनी है जिसको 28 से विभाजित करने पर शेषफल 8 आता है और 32 से विभाजित करने पर शेषफल 12 आता है।
यहां, भाजक और शेषफल के बीच का अंतर समान है:
\( 28 - 8 = 20 \)
\( 32 - 12 = 20 \)
चूंकि अंतर समान है (20), अभीष्ट संख्या 28 और 32 के LCM में से इस अंतर को घटाकर प्राप्त की जा सकती है।
पहले हम 28 और 32 का LCM ज्ञात करेंगे:
28 का अभाज्य गुणनखण्ड: \( 28 = 2 \times 2 \times 7 = 2^2 \times 7 \)
32 का अभाज्य गुणनखण्ड: \( 32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 \)
LCM के लिए, हम सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातें लेते हैं:
\( 2^5, 7^1 \)
\( \mathrm{LCM}(28, 32) = 2^5 \times 7 \)
\( = 32 \times 7 \)
\( = 224 \)
अभीष्ट संख्या \( = \mathrm{LCM} - \text{समान अंतर} \)
\( = 224 - 20 \)
\( = 204 \)
अतः, वह निम्नतम संख्या 204 है। यह विधि ऐसे प्रश्नों को हल करने का एक सामान्य तरीका है जहाँ शेषफल भाजक से भिन्न होते हैं लेकिन अंतर समान रहता है।
In simple words: 28 से भाग देने पर 8 और 32 से भाग देने पर 12 शेष बचने वाली सबसे छोटी संख्या निकालने के लिए, हमने देखा कि भाजक और शेषफल का अंतर (20) समान है। फिर, 28 और 32 का LCM (224) निकालकर उसमें से 20 घटा दिया, जिससे हमें 204 मिला।

🎯 Exam Tip: जब भाजक और शेषफल के बीच का अंतर समान हो, तो वांछित संख्या ज्ञात करने के लिए LCM में से उस सामान्य अंतर को घटा दें।

Question 16. सिद्ध कीजिए कि \( 2 - \sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है।
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( 2 - \sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है।
इसके लिए हम विरोधाभास विधि का उपयोग करेंगे।
मान लीजिए, इसके विपरीत, कि \( 2 - \sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है।
यदि \( 2 - \sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है, तो हम इसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और \( q \ne 0 \)।
\( 2 - \sqrt{3} = \frac{p}{q} \)
अब, \( \sqrt{3} \) को एक तरफ अलग करें:
\( 2 - \frac{p}{q} = \sqrt{3} \)
\( \frac{2q - p}{q} = \sqrt{3} \)
चूंकि p और q पूर्णांक हैं, तो \( (2q - p) \) भी एक पूर्णांक होगा और q भी एक पूर्णांक है।
इसलिए, \( \frac{2q - p}{q} \) एक परिमेय संख्या होगी।
इस समीकरण से यह पता चलता है कि \( \sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है।
लेकिन हम जानते हैं कि \( \sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है। यह एक ज्ञात तथ्य है। यह एक विरोधाभास है।
यह विरोधाभास हमारी प्रारंभिक गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि \( 2 - \sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है।
अतः, हमारी धारणा गलत है। इसलिए, \( 2 - \sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है। अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
In simple words: हमने माना कि \( 2 - \sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि इसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में लिखा जा सकता है। इसे हल करने पर, हमें \( \sqrt{3} = \frac{2q - p}{q} \) मिला। चूंकि \( \frac{2q - p}{q} \) एक परिमेय संख्या है, तो \( \sqrt{3} \) भी परिमेय होनी चाहिए, लेकिन हम जानते हैं कि \( \sqrt{3} \) अपरिमेय है। यह एक गलती है, इसलिए हमारी शुरुआती धारणा गलत थी और \( 2 - \sqrt{3} \) वास्तव में अपरिमेय है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, हमेशा विरोधाभास विधि का उपयोग करें। एक अपरिमेय संख्या को अलग करें और दिखाएं कि यह एक परिमेय संख्या के बराबर है, जिससे विरोधाभास उत्पन्न होता है।

Question 17. सिद्ध कीजिए कि \( \sqrt{5}+\sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है। (NCERT Exemplar)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( \sqrt{5}+\sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है।
इसके लिए हम विरोधाभास विधि का उपयोग करेंगे।
मान लीजिए, इसके विपरीत, कि \( \sqrt{5}+\sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है।
यदि \( \sqrt{5}+\sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है, तो हम इसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और \( q \ne 0 \)।
\[ \sqrt{5}+\sqrt{3}=\frac{p}{q} \]
एक वर्गमूल पद को एक तरफ अलग करें:
\[ \sqrt{5} = \frac{p}{q} - \sqrt{3} \]
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\[ (\sqrt{5})^2 = \left(\frac{p}{q} - \sqrt{3}\right)^2 \]
\[ 5 = \left(\frac{p}{q}\right)^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \times \frac{p}{q} \times \sqrt{3} \]
\[ 5 = \frac{p^2}{q^2} + 3 - \frac{2p}{q}\sqrt{3} \]
अब, \( \sqrt{3} \) वाले पद को अलग करें:
\[ \frac{2p}{q}\sqrt{3} = \frac{p^2}{q^2} + 3 - 5 \]
\[ \frac{2p}{q}\sqrt{3} = \frac{p^2}{q^2} - 2 \]
\[ \frac{2p}{q}\sqrt{3} = \frac{p^2 - 2q^2}{q^2} \]
अंत में, \( \sqrt{3} \) को पूरी तरह अलग करें:
\[ \sqrt{3} = \frac{q}{2p} \times \frac{p^2 - 2q^2}{q^2} \]
\[ \sqrt{3} = \frac{p^2 - 2q^2}{2pq} \]
चूंकि p और q पूर्णांक हैं, तो \( (p^2 - 2q^2) \) और \( 2pq \) भी पूर्णांक होंगे।
इसलिए, \( \frac{p^2 - 2q^2}{2pq} \) एक परिमेय संख्या है।
इस समीकरण से यह पता चलता है कि \( \sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है।
लेकिन हम जानते हैं कि \( \sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है। यह एक विरोधाभास है।
यह विरोधाभास हमारी प्रारंभिक गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि \( \sqrt{5}+\sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है।
अतः, हमारी धारणा गलत है। इसलिए, \( \sqrt{5}+\sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है। यह विधि, जिसमें एक ज्ञात अपरिमेय संख्या को अलग किया जाता है, ऐसे सिद्ध करने के लिए मानक है।
In simple words: हमने माना कि \( \sqrt{5}+\sqrt{3} \) परिमेय है, जिसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों तरफ वर्ग करके और फिर समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके, हमें \( \sqrt{3} = \frac{p^2 - 2q^2}{2pq} \) मिला। चूंकि दाहिनी ओर एक परिमेय संख्या है, इसका मतलब है कि \( \sqrt{3} \) भी परिमेय है, जो कि गलत है क्योंकि \( \sqrt{3} \) अपरिमेय है। इस विरोधाभास के कारण, \( \sqrt{5}+\sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है।

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{a}+\sqrt{b} \) के अपरिमेय होने को सिद्ध करते समय, एक वर्गमूल पद को अलग करें, वर्ग करें, फिर दूसरे वर्गमूल पद को अलग करें और अंत में विरोधाभास दिखाएं।

Ex 1.2 Real Numbers दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 18. एक गोलाकार क्षेत्र की परिमाप 360 किमी है। तीन साइकिल सवार इस प्रकार चलना प्रारम्भ करते हैं कि वे एक दिन में 48, 60 तथा 72 किमी की यात्रा करते हैं। वे दोबारा कब एक-दूसरे से मिलेंगे?
Answer: हमें दिया गया है कि एक गोलाकार क्षेत्र की परिमाप 360 किमी है। तीन साइकिल सवार एक दिन में क्रमशः 48 किमी, 60 किमी और 72 किमी की दूरी तय करते हैं। हमें यह पता लगाना है कि वे दोबारा कब एक-दूसरे से मिलेंगे।
इस समस्या को हल करने के लिए, हमें तीनों सवारों द्वारा एक दिन में तय की गई दूरी का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना होगा। यह HCF उनकी सबसे बड़ी समान दूरी होगी जिसे वे एक दिन में तय करते हैं।
हम 48, 60 और 72 का अभाज्य गुणनखण्ड करते हैं:
\( 48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3 \)
\( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
\( 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2 \)
HCF ज्ञात करने के लिए, हम उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घात लेते हैं।
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
2 की निम्नतम घात \( 2^2 \) है।
3 की निम्नतम घात \( 3^1 \) है।
इसलिए, \( \mathrm{HCF}(48, 60, 72) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12 \)
इसका मतलब है कि तीनों सवार एक दिन में 12 किमी की दूरी के साझा अंतराल पर यात्रा करते हैं।
अब, वे कितनी दूरी पर दोबारा मिलेंगे, यह पता लगाने के लिए, हम कुल परिमाप को इस HCF से भाग देंगे:
जितने दिन में वे दोबारा एक साथ मिलेंगे \( = \frac{\text{कुल परिमाप}}{\mathrm{HCF}} \)
\( = \frac{360}{12} \)
\( = 30 \)
अतः, तीनों साइकिल सवार 30 दिन में दोबारा एक-दूसरे से मिलेंगे। यह विधि किसी दिए गए मार्ग पर साझा बिंदुओं की गणना करने में उपयोगी है।
In simple words: गोलाकार क्षेत्र 360 किमी का है। तीन सवार रोज़ 48, 60 और 72 किमी चलते हैं। वे कब दोबारा मिलेंगे, यह जानने के लिए, हमने उनकी रोज़ की दूरियों का HCF (12 किमी) निकाला। फिर, कुल रास्ते (360 किमी) को इस HCF से भाग दिया, जिससे हमें 30 दिन मिले।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहां एक ही बिंदु पर दोबारा मिलने का समय पूछा जाता है, HCF या LCM का उपयोग समस्या की सटीक व्याख्या पर निर्भर करता है। यदि वे एक साझा दूरी के अंतराल पर मिलते हैं, तो HCF का उपयोग किया जाता है।

Question 19. यदि p व q धनात्मक अभाज्य पूर्णांक है तो सिद्ध कीजिए कि \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \) एक अपरिमेय संख्या है। (NCERT Exemplar)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \) एक अपरिमेय संख्या है, जहाँ p और q धनात्मक अभाज्य पूर्णांक हैं।
हम विरोधाभास विधि का उपयोग करेंगे।
मान लीजिए, इसके विपरीत, कि \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \) एक परिमेय संख्या है।
यदि \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \) एक परिमेय संख्या है, तो हम इसे \( r \) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ r एक परिमेय संख्या है।
\[ \sqrt{p}+\sqrt{q} = r \]
एक वर्गमूल पद को एक तरफ अलग करें:
\[ \sqrt{p} = r - \sqrt{q} \]
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\[ (\sqrt{p})^2 = (r - \sqrt{q})^2 \]
\[ p = r^2 + (\sqrt{q})^2 - 2r\sqrt{q} \]
\[ p = r^2 + q - 2r\sqrt{q} \]
अब, \( \sqrt{q} \) वाले पद को अलग करें:
\[ 2r\sqrt{q} = r^2 + q - p \]
अंत में, \( \sqrt{q} \) को पूरी तरह अलग करें:
\[ \sqrt{q} = \frac{r^2 + q - p}{2r} \]
चूंकि r, p और q परिमेय संख्याएँ हैं (p और q अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए ये पूर्णांक भी हैं), तो दाहिनी ओर का व्यंजक \( \frac{r^2 + q - p}{2r} \) भी एक परिमेय संख्या होगी।
इस समीकरण से यह पता चलता है कि \( \sqrt{q} \) एक परिमेय संख्या है।
लेकिन हमें दिया गया है कि q एक अभाज्य पूर्णांक है। हम जानते हैं कि किसी भी अभाज्य संख्या का वर्गमूल (जैसे \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} \) आदि) एक अपरिमेय संख्या होता है।
इसलिए, \( \sqrt{q} \) एक अपरिमेय संख्या है।
यह एक विरोधाभास है।
यह विरोधाभास हमारी प्रारंभिक गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \) एक परिमेय संख्या है।
अतः, हमारी धारणा गलत है। इसलिए, \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \) एक अपरिमेय संख्या है। इस प्रकार की संख्याओं को सिद्ध करना वास्तविक संख्याओं की गहन समझ पर आधारित है।
In simple words: हमने माना कि \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \) परिमेय है। इसे r मानकर, हमने \( \sqrt{p} = r - \sqrt{q} \) प्राप्त किया और दोनों तरफ वर्ग किया। समीकरण को हल करने पर, हमें \( \sqrt{q} = \frac{r^2 + q - p}{2r} \) मिला। चूंकि दाहिनी तरफ का हिस्सा परिमेय है, इसका मतलब है कि \( \sqrt{q} \) भी परिमेय है। लेकिन q एक अभाज्य संख्या है, इसलिए \( \sqrt{q} \) अपरिमेय होनी चाहिए। यह एक गलती है, इसलिए \( \sqrt{p}+\sqrt{q} \) वास्तव में अपरिमेय है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी भी अभाज्य संख्या का वर्गमूल हमेशा अपरिमेय होता है। इस तथ्य का उपयोग ऐसे proofs में विरोधाभास उत्पन्न करने के लिए किया जाता है।

Question 20. सिद्ध कीजिए कि \( 4 - 5\sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है।
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( 4 - 5\sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है।
हम विरोधाभास विधि का उपयोग करेंगे।
मान लीजिए, इसके विपरीत, कि \( 4 - 5\sqrt{2} \) एक परिमेय संख्या है।
यदि \( 4 - 5\sqrt{2} \) एक परिमेय संख्या है, तो हम इसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और \( q \ne 0 \)।
\[ 4 - 5\sqrt{2} = \frac{p}{q} \]
अब, \( \sqrt{2} \) वाले पद को अलग करें:
\[ 4 - \frac{p}{q} = 5\sqrt{2} \]
\[ \frac{4q - p}{q} = 5\sqrt{2} \]
दोनों तरफ 5 से भाग देने पर:
\[ \frac{4q - p}{5q} = \sqrt{2} \]
चूंकि p और q पूर्णांक हैं, तो \( (4q - p) \) और \( 5q \) भी पूर्णांक होंगे।
इसलिए, \( \frac{4q - p}{5q} \) एक परिमेय संख्या है।
इस समीकरण से यह पता चलता है कि \( \sqrt{2} \) एक परिमेय संख्या है।
लेकिन हम जानते हैं कि \( \sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है। यह एक ज्ञात तथ्य है। यह एक विरोधाभास है।
यह विरोधाभास हमारी प्रारंभिक गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि \( 4 - 5\sqrt{2} \) एक परिमेय संख्या है।
अतः, हमारी धारणा गलत है। इसलिए, \( 4 - 5\sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है। यह एक रैखिक संयोजन की अपरिमेयता का एक उदाहरण है।
In simple words: हमने मान लिया कि \( 4 - 5\sqrt{2} \) परिमेय है और इसे \( \frac{p}{q} \) के बराबर रखा। इसे हल करते हुए, हमने \( \sqrt{2} = \frac{4q - p}{5q} \) पाया। चूंकि दाहिनी तरफ एक परिमेय संख्या है, इसका मतलब है कि \( \sqrt{2} \) भी परिमेय है, जो गलत है। इस विरोधाभास के कारण, \( 4 - 5\sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग या अंतर हमेशा अपरिमेय होता है (जब तक परिमेय संख्या शून्य न हो)।

Question 21. सिद्ध कीजिए कि निम्न संख्याएँ अपरिमेय हैं।
(i) \( 3 + \sqrt{2} \)
(ii) \( 5 + 3\sqrt{2} \)
(iii) \( \sqrt{2}+\sqrt{3} \)
(iv) \( 4 - \sqrt{3} \)
Answer: हम प्रत्येक भाग को विरोधाभास विधि का उपयोग करके सिद्ध करेंगे।
(i) सिद्ध कीजिए कि \( 3 + \sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है।
मान लीजिए, इसके विपरीत, कि \( 3 + \sqrt{2} \) एक परिमेय संख्या है।
यदि \( 3 + \sqrt{2} \) एक परिमेय संख्या है, तो इसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और \( q \ne 0 \)।
\[ 3 + \sqrt{2} = \frac{p}{q} \]
\( \sqrt{2} \) को अलग करें:
\[ \sqrt{2} = \frac{p}{q} - 3 \]
\[ \sqrt{2} = \frac{p - 3q}{q} \]
चूंकि p और q पूर्णांक हैं, तो \( (p - 3q) \) और q भी पूर्णांक होंगे। इसलिए, \( \frac{p - 3q}{q} \) एक परिमेय संख्या है।
इससे यह पता चलता है कि \( \sqrt{2} \) एक परिमेय संख्या है। लेकिन हम जानते हैं कि \( \sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है। यह एक विरोधाभास है।
अतः, हमारी धारणा गलत है। इसलिए, \( 3 + \sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है।
(ii) सिद्ध कीजिए कि \( 5 + 3\sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है।
मान लीजिए, इसके विपरीत, कि \( 5 + 3\sqrt{2} \) एक परिमेय संख्या है।
यदि \( 5 + 3\sqrt{2} \) एक परिमेय संख्या है, तो इसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और \( q \ne 0 \)।
\[ 5 + 3\sqrt{2} = \frac{p}{q} \]
\( 3\sqrt{2} \) को अलग करें:
\[ 3\sqrt{2} = \frac{p}{q} - 5 \]
\[ 3\sqrt{2} = \frac{p - 5q}{q} \]
\( \sqrt{2} \) को अलग करें:
\[ \sqrt{2} = \frac{p - 5q}{3q} \]
चूंकि p और q पूर्णांक हैं, तो \( (p - 5q) \) और \( 3q \) भी पूर्णांक होंगे। इसलिए, \( \frac{p - 5q}{3q} \) एक परिमेय संख्या है।
इससे यह पता चलता है कि \( \sqrt{2} \) एक परिमेय संख्या है। लेकिन हम जानते हैं कि \( \sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है। यह एक विरोधाभास है।
अतः, हमारी धारणा गलत है। इसलिए, \( 5 + 3\sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है।
(iii) सिद्ध कीजिए कि \( \sqrt{2}+\sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है।
मान लीजिए, इसके विपरीत, कि \( \sqrt{2}+\sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है।
यदि \( \sqrt{2}+\sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है, तो इसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और \( q \ne 0 \)।
\[ \sqrt{2}+\sqrt{3} = \frac{p}{q} \]
एक वर्गमूल पद को अलग करें:
\[ \sqrt{2} = \frac{p}{q} - \sqrt{3} \]
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\[ (\sqrt{2})^2 = \left(\frac{p}{q} - \sqrt{3}\right)^2 \]
\[ 2 = \frac{p^2}{q^2} + 3 - 2\frac{p}{q}\sqrt{3} \]
\( \sqrt{3} \) वाले पद को अलग करें:
\[ 2\frac{p}{q}\sqrt{3} = \frac{p^2}{q^2} + 3 - 2 \]
\[ 2\frac{p}{q}\sqrt{3} = \frac{p^2}{q^2} + 1 \]
\[ 2\frac{p}{q}\sqrt{3} = \frac{p^2 + q^2}{q^2} \]
\( \sqrt{3} \) को अलग करें:
\[ \sqrt{3} = \frac{q}{2p} \times \frac{p^2 + q^2}{q^2} \]
\[ \sqrt{3} = \frac{p^2 + q^2}{2pq} \]
चूंकि p और q पूर्णांक हैं, तो \( (p^2 + q^2) \) और \( 2pq \) भी पूर्णांक होंगे। इसलिए, \( \frac{p^2 + q^2}{2pq} \) एक परिमेय संख्या है।
इससे यह पता चलता है कि \( \sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है। लेकिन हम जानते हैं कि \( \sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है। यह एक विरोधाभास है।
अतः, हमारी धारणा गलत है। इसलिए, \( \sqrt{2}+\sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है।
(iv) सिद्ध कीजिए कि \( 4 - \sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है।
मान लीजिए, इसके विपरीत, कि \( 4 - \sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है।
यदि \( 4 - \sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है, तो इसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और \( q \ne 0 \)।
\[ 4 - \sqrt{3} = \frac{p}{q} \]
\( \sqrt{3} \) को अलग करें:
\[ 4 - \frac{p}{q} = \sqrt{3} \]
\[ \frac{4q - p}{q} = \sqrt{3} \]
चूंकि p और q पूर्णांक हैं, तो \( (4q - p) \) और q भी पूर्णांक होंगे। इसलिए, \( \frac{4q - p}{q} \) एक परिमेय संख्या है।
इससे यह पता चलता है कि \( \sqrt{3} \) एक परिमेय संख्या है। लेकिन हम जानते हैं कि \( \sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है। यह एक विरोधाभास है।
अतः, हमारी धारणा गलत है। इसलिए, \( 4 - \sqrt{3} \) एक अपरिमेय संख्या है। यह सभी प्रमाण दर्शाते हैं कि अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्या प्रणाली में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।
In simple words: हमने इन सभी संख्याओं को परिमेय मानकर \( \frac{p}{q} \) के बराबर रखा। हर मामले में, हमने समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके एक ज्ञात अपरिमेय संख्या (जैसे \( \sqrt{2} \) या \( \sqrt{3} \)) को एक परिमेय संख्या के बराबर दिखाया। चूंकि यह गलत है, हमारी शुरुआती धारणा गलत थी, और इसलिए ये सभी संख्याएँ अपरिमेय हैं।

🎯 Exam Tip: अपरिमेयता के प्रमाण में, मुख्य चरण हमेशा अपरिमेय पद को समीकरण के एक तरफ अलग करना होता है, यह दिखाना होता है कि यह परिमेय है, और फिर इस विरोधाभास को उजागर करना होता है।

Question 22. 6 गेंदों को 2, 4, 6, 8, 10, 12 मिनट के अन्तराल पर क्रमशः घुमाया जाता है। 30 घण्टे में कितनी बार वे एक साथ घूमेंगी।
Answer: हमें दिया गया है कि 6 गेंदें 2, 4, 6, 8, 10 और 12 मिनट के अंतराल पर घूमती हैं। हमें यह पता लगाना है कि 30 घंटे में वे कितनी बार एक साथ घूमेंगी।
सबसे पहले, हमें यह ज्ञात करना होगा कि वे सभी कितने समय बाद पहली बार एक साथ घूमेंगी। यह इन सभी अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) होगा।
संख्याएँ हैं: 2, 4, 6, 8, 10, 12
इनका अभाज्य गुणनखण्ड करते हैं:
\( 2 = 2^1 \)
\( 4 = 2^2 \)
\( 6 = 2 \times 3 \)
\( 8 = 2^3 \)
\( 10 = 2 \times 5 \)
\( 12 = 2^2 \times 3 \)
LCM के लिए, हम सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातें लेते हैं:
2 की उच्चतम घात \( 2^3 \) है।
3 की उच्चतम घात \( 3^1 \) है।
5 की उच्चतम घात \( 5^1 \) है।
इसलिए, \( \mathrm{LCM}(2, 4, 6, 8, 10, 12) = 2^3 \times 3 \times 5 \)
\( = 8 \times 3 \times 5 \)
\( = 24 \times 5 \)
\( = 120 \) मिनट
तो, सभी गेंदें हर 120 मिनट में एक साथ घूमेंगी।
120 मिनट को घंटों में बदलने पर: \( 120 \text{ मिनट} = \frac{120}{60} \text{ घंटे} = 2 \text{ घंटे} \)
इसका मतलब है कि गेंदें हर 2 घंटे में एक साथ घूमेंगी।
हमें 30 घंटे में यह ज्ञात करना है कि वे कितनी बार एक साथ घूमेंगी। यदि वे शुरुआत में एक साथ घूमना शुरू करती हैं (जो कि समय = 0 पर एक साथ घूमना माना जाता है), तो वे हर 2 घंटे के बाद दोबारा मिलेंगी।
कुल बार जब वे एक साथ घूमेंगी \( = \frac{\text{कुल समय}}{\text{एक साथ घूमने का अंतराल}} + 1 \)
\( = \frac{30 \text{ घंटे}}{2 \text{ घंटे}} + 1 \)
\( = 15 + 1 \)
\( = 16 \)
अतः, 30 घंटे में वे 16 बार एक साथ घूमेंगी। यह गणना LCM के व्यावहारिक अनुप्रयोग को दर्शाती है।
In simple words: 6 गेंदें 2, 4, 6, 8, 10, 12 मिनट के अंतराल पर घूमती हैं। हमने पहले इन अंतरालों का LCM (120 मिनट या 2 घंटे) निकाला। फिर, 30 घंटों में वे कितनी बार एक साथ घूमेंगी, यह जानने के लिए, हमने कुल समय को LCM से भाग दिया और शुरुआती समय को गिनने के लिए 1 जोड़ा, जिससे हमें कुल 16 बार मिला।

🎯 Exam Tip: "एक साथ कब मिलेंगे/घूमेंगे" वाले प्रश्नों में, हमेशा दिए गए अंतरालों का LCM ज्ञात करें। यदि वे शुरुआत में एक साथ शुरू होते हैं, तो कुल बार की गणना करते समय परिणाम में 1 जोड़ना न भूलें।