UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers Ex 11

Ex 1.1 Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. 1152 व 1664 को पूर्णतया विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ हमें 1152 और 1664 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है। हम यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।
चूंकि \( 1664 > 1152 \), हम 1664 को 1152 से विभाजित करते हैं:
\( 1664 = 1152 \times 1 + 512 \) (यहाँ शेषफल \( 512 \neq 0 \))
अब, हम 1152 को 512 से विभाजित करते हैं:
\( 1152 = 512 \times 2 + 128 \) (यहाँ शेषफल \( 128 \neq 0 \))
फिर, हम 512 को 128 से विभाजित करते हैं:
\( 512 = 128 \times 4 + 0 \) (यहाँ शेषफल \( 0 \) है)
चूंकि इस चरण में शेषफल शून्य है, इसलिए भाजक 128 ही हमारा HCF है। यूक्लिड एल्गोरिथम बड़ी संख्याओं के HCF को खोजने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करता है।
अतः, 1152 और 1664 को पूर्णतया विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या 128 है।
In simple words: हमें 1152 और 1664 का HCF निकालना है। हम 1664 को 1152 से भाग देंगे, फिर बचे हुए शेषफल से पिछले भाजक को भाग देंगे, और यह तब तक करते रहेंगे जब तक शेषफल 0 न आ जाए। अंतिम भाजक ही सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों को पूरा-पूरा भाग कर सकती है।

🎯 Exam Tip: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम के चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें, हर चरण में भाजक, भागफल और शेषफल दिखाएँ, और अंतिम भाजक को HCF के रूप में पहचानें जहाँ शेषफल 0 हो जाता है।

Question 2. किसी धनात्मक पूर्णांक m के लिए, वह रूप ज्ञात कीजिए, जिसमें प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक को लिखा जा सकता है।
Answer: कोई भी धनात्मक सम पूर्णांक हमेशा \( 2m \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( m \) एक धनात्मक पूर्णांक है।
उदाहरण के लिए, यदि हम \( m \) के स्थान पर \( 1, 2, 3, \ldots \) रखते हैं, तो हमें संख्याएँ \( 2 \times 1 = 2 \), \( 2 \times 2 = 4 \), \( 2 \times 3 = 6 \), आदि प्राप्त होती हैं। ये सभी धनात्मक सम पूर्णांक हैं। एक सम संख्या वह संख्या होती है जिसे दो से पूरा-पूरा विभाजित किया जा सकता है।
In simple words: एक सम संख्या वह संख्या होती है जिसे 2 से भाग देने पर कोई शेष नहीं बचता। इसलिए, किसी भी सम संख्या को \( 2 \) गुणा कोई पूर्णांक (\( m \)) के रूप में लिखा जा सकता है, यानी \( 2m \)।

🎯 Exam Tip: सम पूर्णांक की परिभाषा को याद रखें कि वह 2 से विभाज्य होता है, इसलिए \( 2m \) इसका सबसे सरल रूप है।

Question 3. किसी धनात्मक पूर्णांक m के लिए वह रूप ज्ञात कीजिए, जिसमें प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक को लिखा जा सकता है।
Answer: कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक हमेशा \( 2m + 1 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( m \) एक धनात्मक पूर्णांक है (या \( m \) एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, जिसके आधार पर संदर्भ है)।
उदाहरण के लिए, यदि हम \( m \) के स्थान पर \( 1, 2, 3, \ldots \) रखते हैं, तो हमें संख्याएँ \( 2 \times 1 + 1 = 3 \), \( 2 \times 2 + 1 = 5 \), \( 2 \times 3 + 1 = 7 \), आदि प्राप्त होती हैं। ये सभी धनात्मक विषम पूर्णांक हैं। एक विषम संख्या वह संख्या होती है जिसे दो से भाग देने पर 1 शेष बचता है।
In simple words: एक विषम संख्या वह संख्या होती है जिसे 2 से भाग देने पर 1 शेष बचता है। इसलिए, किसी भी विषम संख्या को \( 2 \) गुणा कोई पूर्णांक (\( m \)) और फिर उसमें 1 जोड़ने के रूप में लिखा जा सकता है, यानी \( 2m + 1 \)।

🎯 Exam Tip: विषम पूर्णांक की परिभाषा को याद रखें कि उसे 2 से भाग देने पर 1 शेषफल बचता है, इसलिए \( 2m + 1 \) इसका सबसे सरल रूप है।

Question 4. संख्या 405 व 2520 का HCF ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें 405 और 2520 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है। हम यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।
चूंकि \( 2520 > 405 \), हम 2520 को 405 से विभाजित करते हैं:
\( 2520 = 405 \times 6 + 90 \) (यहाँ शेषफल \( 90 \neq 0 \))
अब, हम 405 को 90 से विभाजित करते हैं:
\( 405 = 90 \times 4 + 45 \) (यहाँ शेषफल \( 45 \neq 0 \))
फिर, हम 90 को 45 से विभाजित करते हैं:
\( 90 = 45 \times 2 + 0 \) (यहाँ शेषफल \( 0 \) है)
चूंकि इस चरण में शेषफल शून्य है, इसलिए भाजक 45 ही हमारा HCF है। इस प्रक्रिया में, प्रत्येक चरण में भाजक और शेषफल का उपयोग करके हम HCF की ओर बढ़ते हैं।
अतः, 405 और 2520 का HCF 45 है।
In simple words: 405 और 2520 का HCF निकालने के लिए, हम बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग करते हैं। फिर शेषफल से भाजक को भाग करते हैं, और यह तब तक करते हैं जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। अंतिम भाजक ही हमारा HCF होगा, जो 45 है।

🎯 Exam Tip: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम में, शेषफल हमेशा पिछले भाजक से छोटा होता है। गणना में सटीकता के लिए विभाज्यता के नियमों का उपयोग करना सहायक हो सकता है।

Question 5. संख्या 960 व 1575 का HCF ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें 960 और 1575 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है। हम यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।
चूंकि \( 1575 > 960 \), हम 1575 को 960 से विभाजित करते हैं:
\( 1575 = 960 \times 1 + 615 \) (यहाँ शेषफल \( 615 \neq 0 \))
अब, हम 960 को 615 से विभाजित करते हैं:
\( 960 = 615 \times 1 + 345 \) (यहाँ शेषफल \( 345 \neq 0 \))
फिर, हम 615 को 345 से विभाजित करते हैं:
\( 615 = 345 \times 1 + 270 \) (यहाँ शेषफल \( 270 \neq 0 \))
अगले चरण में, हम 345 को 270 से विभाजित करते हैं:
\( 345 = 270 \times 1 + 75 \) (यहाँ शेषफल \( 75 \neq 0 \))
इसके बाद, हम 270 को 75 से विभाजित करते हैं:
\( 270 = 75 \times 3 + 45 \) (यहाँ शेषफल \( 45 \neq 0 \))
फिर, हम 75 को 45 से विभाजित करते हैं:
\( 75 = 45 \times 1 + 30 \) (यहाँ शेषफल \( 30 \neq 0 \))
अब, हम 45 को 30 से विभाजित करते हैं:
\( 45 = 30 \times 1 + 15 \) (यहाँ शेषफल \( 15 \neq 0 \))
अंत में, हम 30 को 15 से विभाजित करते हैं:
\( 30 = 15 \times 2 + 0 \) (यहाँ शेषफल \( 0 \) है)
चूंकि इस चरण में शेषफल शून्य है, इसलिए भाजक 15 ही हमारा HCF है। यूक्लिड एल्गोरिथम बड़ी संख्याओं के लिए HCF निकालने का एक प्रभावी तरीका है, जो बिना गुणनखंड किए समाधान देता है।
अतः, 960 और 1575 का HCF 15 है।
In simple words: 960 और 1575 का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड (HCF) निकालने के लिए, हम लगातार भाग की प्रक्रिया करते हैं। हम बड़ी संख्या को छोटी से भाग करते हैं, फिर शेषफल से पुराने भाजक को। यह तब तक चलता है जब तक शेषफल 0 न हो जाए। जिस भाजक पर शेषफल 0 आता है, वही हमारा HCF होता है, जो 15 है।

🎯 Exam Tip: लंबी गणनाओं में, प्रत्येक चरण को ध्यान से लिखें और सुनिश्चित करें कि आप शेषफल को सही ढंग से नए भाजक के रूप में उपयोग कर रहे हैं।

Question 6. संख्या 135 व 225 का HCF ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें 135 और 225 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है। हम यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।
चूंकि \( 225 > 135 \), हम 225 को 135 से विभाजित करते हैं:
\( 225 = 135 \times 1 + 90 \) (यहाँ शेषफल \( 90 \neq 0 \))
अब, हम 135 को 90 से विभाजित करते हैं:
\( 135 = 90 \times 1 + 45 \) (यहाँ शेषफल \( 45 \neq 0 \))
फिर, हम 90 को 45 से विभाजित करते हैं:
\( 90 = 45 \times 2 + 0 \) (यहाँ शेषफल \( 0 \) है)
चूंकि इस चरण में शेषफल शून्य है, इसलिए भाजक 45 ही हमारा HCF है। यह विधि हमेशा दो संख्याओं के HCF को सफलतापूर्वक खोज लेती है।
अतः, 135 और 225 का HCF 45 है।
In simple words: 135 और 225 का HCF निकालने के लिए, हम बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग करते हैं। फिर शेषफल से भाजक को भाग करते हैं, और यह तब तक करते हैं जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। अंतिम भाजक ही हमारा HCF होता है, जो 45 है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप हमेशा यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका \( a = bq + r \) का सही सूत्र उपयोग कर रहे हैं।

Question 7. यूक्लिड प्रमेयिका के अनुसार धनात्मक पूर्णांक a व b के लिए अद्वितीय पूर्णांक q व r का अस्तित्व इस प्रकार है कि \( a = bq + r \), तब r द्वारा सन्तुष्ट असमिका ज्ञात कीजिए।
Answer: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार, यदि दो धनात्मक पूर्णांक \( a \) और \( b \) दिए गए हों, तो ऐसे अद्वितीय पूर्णांक \( q \) (भागफल) और \( r \) (शेषफल) मौजूद होते हैं कि \( a = bq + r \) होता है। इस प्रमेयिका में, शेषफल \( r \) एक निश्चित असमिका को संतुष्ट करता है।
\( r \) द्वारा संतुष्ट असमिका है: \( 0 \le r < b \)।
इसका मतलब है कि शेषफल \( r \) या तो शून्य के बराबर हो सकता है या शून्य से बड़ा, लेकिन यह हमेशा भाजक \( b \) से छोटा होना चाहिए। यदि शेषफल \( b \) से बड़ा या बराबर होता, तो विभाजन की प्रक्रिया जारी रखी जा सकती थी।
In simple words: जब हम किसी संख्या \( a \) को किसी दूसरी संख्या \( b \) से भाग देते हैं, तो जो शेषफल \( r \) बचता है, वह या तो 0 होता है या 0 से बड़ा, लेकिन हमेशा \( b \) से छोटा होता है। इसे \( 0 \le r < b \) लिखते हैं।

🎯 Exam Tip: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की शर्त \( 0 \le r < b \) को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह शेषफल की मान्य सीमा को परिभाषित करता है।

Ex 1.1 Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 8. वह संख्या ज्ञात कीजिए जिसको 61 से विभाजित करने पर भागफल 27 तथा शेषफल 32 आता है।
Answer: हम जानते हैं कि यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार, भाज्य \( a \), भाजक \( b \), भागफल \( q \) और शेषफल \( r \) के बीच संबंध \( a = bq + r \) होता है।
यहाँ हमें दिया गया है:
भाजक \( b = 61 \)
भागफल \( q = 27 \)
शेषफल \( r = 32 \)
संख्या \( a \) ज्ञात करने के लिए, हम मानों को सूत्र में रखेंगे:
\( a = 61 \times 27 + 32 \)
पहले गुणा करें: \( 61 \times 27 = 1647 \)
फिर जोड़ें: \( a = 1647 + 32 \)
\( a = 1679 \)
अतः, वह संख्या 1679 है। यह विभाजन एल्गोरिथम का सीधा अनुप्रयोग है।
In simple words: संख्या निकालने के लिए, हम भाजक को भागफल से गुणा करते हैं और फिर उसमें शेषफल जोड़ देते हैं। यहाँ \( 61 \times 27 + 32 \) करने पर 1679 आता है, जो वह संख्या है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( a = bq + r \) सूत्र का सही उपयोग करें और गणना करते समय गुणा और जोड़ के क्रम पर ध्यान दें।

Question 9. संख्या 1365 को किस संख्या से विभाजित किया जाये कि भागफल 31 तथा शेषफल 32 आये?
Answer: हम यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करेंगे: \( a = bq + r \)।
यहाँ हमें दिया गया है:
भाज्य \( a = 1365 \)
भागफल \( q = 31 \)
शेषफल \( r = 32 \)
हमें भाजक \( b \) ज्ञात करना है।
सूत्र में मान रखने पर:
\( 1365 = b \times 31 + 32 \)
अब, समीकरण को \( b \) के लिए हल करें:
\( 1365 - 32 = b \times 31 \)
\( 1333 = b \times 31 \)
\( b = \frac{1333}{31} \)
\( b = 43 \)
अतः, संख्या 1365 को 43 से विभाजित करने पर भागफल 31 और शेषफल 32 आएगा। यह प्रश्न विभाजन एल्गोरिथम के घटकों को समझने में मदद करता है।
In simple words: हमें यह पता लगाना है कि 1365 को किस संख्या से भाग दें ताकि भागफल 31 और शेषफल 32 आए। इसके लिए, हम 1365 में से 32 घटाकर 31 से भाग कर देंगे। इससे हमें भाजक \( b \) मिल जाएगा, जो 43 है।

🎯 Exam Tip: जब भाजक ज्ञात करना हो, तो पहले शेषफल को भाज्य से घटाएँ, फिर बचे हुए मान को भागफल से विभाजित करें।

Question 10. यदि 408 तथा 1032 के HCF को \( 1032m - 408 \times 5 \) के रूप में प्रकट किया जाता है तो m का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: सबसे पहले, हम 408 और 1032 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।
\( 1032 = 408 \times 2 + 216 \)
\( 408 = 216 \times 1 + 192 \)
\( 216 = 192 \times 1 + 24 \)
\( 192 = 24 \times 8 + 0 \)
इस प्रकार, 408 और 1032 का HCF 24 है।
अब, प्रश्न के अनुसार, HCF को \( 1032m - 408 \times 5 \) के रूप में प्रकट किया गया है।
तो, \( 24 = 1032m - 408 \times 5 \)
\( 24 = 1032m - 2040 \)
अब \( 2040 \) को बाईं ओर ले जाएँ:
\( 24 + 2040 = 1032m \)
\( 2064 = 1032m \)
\( m = \frac{2064}{1032} \)
\( m = 2 \)
इस तरह, हमने \( m \) का मान 2 ज्ञात किया। इस विधि को यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग के रूप में जाना जाता है, जहाँ HCF को संख्याओं के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जाता है।
In simple words: पहले, हमने 408 और 1032 का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड (HCF) निकाला, जो 24 आया। फिर, हमने 24 को दिए गए सूत्र \( 1032m - 408 \times 5 \) के बराबर रखा। इस समीकरण को हल करके, हमें \( m \) का मान 2 मिला।

🎯 Exam Tip: HCF को संख्याओं के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने के लिए, यूक्लिड एल्गोरिथम के चरणों को पीछे की ओर उपयोग करें।

Question 11. यदि 657 तथा 963 के HCF को \( 657x + 963 \times ( - 15) \) के रूप में प्रकट किया जाता है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: सबसे पहले, हम 657 और 963 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।
\( 963 = 657 \times 1 + 306 \)
\( 657 = 306 \times 2 + 45 \)
\( 306 = 45 \times 6 + 36 \)
\( 45 = 36 \times 1 + 9 \)
\( 36 = 9 \times 4 + 0 \)
इस प्रकार, 657 और 963 का HCF 9 है।
अब, प्रश्न के अनुसार, HCF को \( 657x + 963 \times ( - 15) \) के रूप में प्रकट किया गया है।
तो, \( 9 = 657x + 963 \times ( - 15) \)
\( 9 = 657x - 14445 \)
अब \( -14445 \) को बाईं ओर ले जाएँ:
\( 9 + 14445 = 657x \)
\( 14454 = 657x \)
\( x = \frac{14454}{657} \)
\( x = 22 \)
अतः, \( x \) का मान 22 है। यह यूक्लिड एल्गोरिथम का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है, जो HCF को दो संख्याओं के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करता है।
In simple words: पहले हमने 657 और 963 का HCF निकाला, जो 9 आया। फिर, हमने 9 को दिए गए सूत्र \( 657x + 963 \times (-15) \) के बराबर रखा। समीकरण को हल करने पर, हमें \( x \) का मान 22 मिला।

🎯 Exam Tip: HCF ज्ञात करने के बाद, बीजगणितीय समीकरण को सावधानी से हल करें, खासकर जब ऋणात्मक संख्याएँ शामिल हों।

Question 12. वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जो 245 तथा 1029 को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 देती है।
Answer: यदि कोई संख्या 245 और 1029 को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 देती है, तो इसका मतलब है कि वह संख्या \( (245 - 5) \) और \( (1029 - 5) \) को पूर्णतया विभाजित करेगी।
नई संख्याएँ हैं:
\( 245 - 5 = 240 \)
\( 1029 - 5 = 1024 \)
अब हमें 240 और 1024 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है। हम गुणनखंड विधि का उपयोग कर सकते हैं:
\( 240 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^4 \times 3 \times 5 \)
\( 1024 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{10} \)
दोनों में उभयनिष्ठ गुणनखंड \( 2^4 \) है।
HCF \( (240, 1024) = 2^4 = 16 \)
अतः, वह महत्तम संख्या 16 है जो 245 तथा 1029 को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 देती है। यह विधि उन समस्याओं के लिए उपयोगी है जहाँ शेषफल एक निश्चित मान होता है।
In simple words: अगर किसी संख्या से 245 और 1029 को भाग देने पर हमेशा 5 बचता है, तो वह संख्या 245-5 (यानी 240) और 1029-5 (यानी 1024) को पूरा-पूरा भाग देगी। हमें 240 और 1024 का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड (HCF) निकालना होगा, जो 16 है।

🎯 Exam Tip: जब एक ही शेषफल दिया गया हो, तो शेषफल को मूल संख्याओं से घटाकर उन नई संख्याओं का HCF ज्ञात करें।

Question 13. वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 285 तथा 1249 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 9 व 7 प्राप्त होते हैं।
Answer: यदि कोई संख्या 285 और 1249 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 9 और 7 देती है, तो इसका मतलब है कि वह संख्या \( (285 - 9) \) और \( (1249 - 7) \) को पूर्णतया विभाजित करेगी।
नई संख्याएँ हैं:
\( 285 - 9 = 276 \)
\( 1249 - 7 = 1242 \)
अब हमें 276 और 1242 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है। हम गुणनखंड विधि का उपयोग कर सकते हैं:
\( 276 = 2 \times 2 \times 3 \times 23 = 2^2 \times 3 \times 23 \)
\( 1242 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 23 = 2 \times 3^3 \times 23 \)
दोनों में उभयनिष्ठ गुणनखंड \( 2 \times 3 \times 23 \) है।
HCF \( (276, 1242) = 2 \times 3 \times 23 = 6 \times 23 = 138 \)
अतः, वह महत्तम संख्या 138 है जो 285 तथा 1249 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 9 व 7 देती है। यह विधि अलग-अलग शेषफल के लिए भी उतनी ही उपयोगी है।
In simple words: हमें ऐसी सबसे बड़ी संख्या खोजनी है जिससे 285 को भाग देने पर 9 बचे और 1249 को भाग देने पर 7 बचे। इसके लिए, हम 285 में से 9 घटाकर 276 प्राप्त करते हैं, और 1249 में से 7 घटाकर 1242 प्राप्त करते हैं। फिर 276 और 1242 का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड (HCF) निकालते हैं, जो 138 है।

🎯 Exam Tip: जब अलग-अलग शेषफल दिए गए हों, तो प्रत्येक शेषफल को उसकी संबंधित संख्या से घटाएँ और फिर प्राप्त हुई नई संख्याओं का HCF ज्ञात करें।

Question 14. संख्या 65 तथा 117 का HCF ज्ञात कीजिए तथा इसे \( 65x + 117y \) के रूप में प्रकट कीजिए।
Answer: सबसे पहले, हम 65 और 117 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।
\( 117 = 65 \times 1 + 52 \) (यहाँ शेषफल \( 52 \neq 0 \))
\( 65 = 52 \times 1 + 13 \) (यहाँ शेषफल \( 13 \neq 0 \))
\( 52 = 13 \times 4 + 0 \) (यहाँ शेषफल \( 0 \) है)
इस प्रकार, 65 और 117 का HCF 13 है।
अब, हमें 13 को \( 65x + 117y \) के रूप में व्यक्त करना है। हम यूक्लिड एल्गोरिथम के चरणों को पीछे की ओर उपयोग करेंगे:
चरण 2 से: \( 13 = 65 - 52 \times 1 \)
चरण 1 से, हम \( 52 \) का मान प्राप्त कर सकते हैं: \( 52 = 117 - 65 \times 1 \)
\( 52 \) के इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
\( 13 = 65 - (117 - 65 \times 1) \times 1 \)
\( 13 = 65 - 117 + 65 \times 1 \)
\( 13 = 65 \times (1 + 1) - 117 \times 1 \)
\( 13 = 65 \times 2 - 117 \times 1 \)
इसे \( 13 = 65x + 117y \) के रूप में लिखने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( x = 2 \) और \( y = -1 \)
इस प्रकार, हमने HCF ज्ञात किया और उसे दिए गए रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया। यह बेज़ौट की सर्वसमिका का एक उदाहरण है।
In simple words: पहले हमने 65 और 117 का HCF निकाला, जो 13 आया। फिर, हमने 13 को \( 65x + 117y \) के रूप में लिखने के लिए विभाजन के चरणों को उल्टी दिशा में उपयोग किया। ऐसा करने पर हमें \( x = 2 \) और \( y = -1 \) प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: HCF को रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने के लिए, यूक्लिड एल्गोरिथम के प्रत्येक चरण को लिखें और फिर शेषफल को भाजक और भाज्य के संदर्भ में प्रतिस्थापित करते हुए पीछे की ओर कार्य करें।

Question 15. यदि 56 तथा 72 का HCF, \( d \) है तो x व y के वे मान ज्ञात कीजिए जो \( d = 56x + 72y \) को सन्तुष्ट करते हैं। यह भी सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त x व y अद्वितीय नहीं है।
Answer: सबसे पहले, हम 56 और 72 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।
\( 72 = 56 \times 1 + 16 \) (यहाँ शेषफल \( 16 \neq 0 \))
\( 56 = 16 \times 3 + 8 \) (यहाँ शेषफल \( 8 \neq 0 \))
\( 16 = 8 \times 2 + 0 \) (यहाँ शेषफल \( 0 \) है)
इस प्रकार, 56 और 72 का HCF \( d = 8 \) है।
अब, हमें 8 को \( 56x + 72y \) के रूप में व्यक्त करना है। यूक्लिड एल्गोरिथम के चरणों को पीछे की ओर उपयोग करेंगे:
चरण 2 से: \( 8 = 56 - 16 \times 3 \)
चरण 1 से, हम \( 16 \) का मान प्राप्त कर सकते हैं: \( 16 = 72 - 56 \times 1 \)
\( 16 \) के इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
\( 8 = 56 - (72 - 56 \times 1) \times 3 \)
\( 8 = 56 - 72 \times 3 + 56 \times 3 \)
\( 8 = 56 \times (1 + 3) - 72 \times 3 \)
\( 8 = 56 \times 4 + 72 \times ( - 3) \)
इसे \( d = 56x + 72y \) के रूप में लिखने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( x = 4 \) और \( y = -3 \)
**\( x \) और \( y \) की अद्वितीयता (Non-uniqueness):**
बेज़ौट की सर्वसमिका के अनुसार, \( x \) और \( y \) के मान अद्वितीय नहीं होते हैं। यदि \( (x_0, y_0) \) एक हल है, तो \( (x_0 + \frac{b}{d}k, y_0 - \frac{a}{d}k) \) भी एक हल होगा जहाँ \( k \) कोई पूर्णांक है।
यहाँ \( a = 56, b = 72, d = 8 \)। तो \( \frac{b}{d} = \frac{72}{8} = 9 \) और \( \frac{a}{d} = \frac{56}{8} = 7 \)।
इसलिए, \( x \) और \( y \) के अन्य मान \( (4 + 9k, -3 - 7k) \) के रूप में हो सकते हैं।
उदाहरण के लिए, यदि \( k = 1 \), तो \( x = 4 + 9 = 13 \) और \( y = -3 - 7 = -10 \)।
\( 56 \times 13 + 72 \times (-10) = 728 - 720 = 8 \)।
इससे सिद्ध होता है कि \( x \) और \( y \) के मान अद्वितीय नहीं हैं।
In simple words: पहले हमने 56 और 72 का HCF \( d \) निकाला, जो 8 आया। फिर हमने 8 को \( 56x + 72y \) के रूप में लिखा, जिससे हमें \( x = 4 \) और \( y = -3 \) मिला। लेकिन ऐसे \( x \) और \( y \) के और भी जोड़े हो सकते हैं जो इस समीकरण को सही करें, क्योंकि यह एक रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण है जिसके असीमित हल हो सकते हैं।

🎯 Exam Tip: यह दिखाने के लिए कि \( x \) और \( y \) अद्वितीय नहीं हैं, यह उल्लेख करें कि एक हल के साथ, आप \( \pm \frac{b}{d}k \) और \( \mp \frac{a}{d}k \) का उपयोग करके अन्य हल उत्पन्न कर सकते हैं।

Question 16. वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 2053 तथा 967 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 5 तथा 7 आता है।
Answer: यदि कोई संख्या 2053 और 967 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 5 और 7 देती है, तो इसका मतलब है कि वह संख्या \( (2053 - 5) \) और \( (967 - 7) \) को पूर्णतया विभाजित करेगी।
नई संख्याएँ हैं:
\( 2053 - 5 = 2048 \)
\( 967 - 7 = 960 \)
अब हमें 2048 और 960 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है। हम गुणनखंड विधि का उपयोग कर सकते हैं:
\( 2048 = 2^{11} \) (क्योंकि \( 2^{10} = 1024 \), तो \( 2^{11} = 2048 \))
\( 960 = 96 \times 10 = (2^5 \times 3) \times (2 \times 5) = 2^6 \times 3 \times 5 \)
दोनों में उभयनिष्ठ गुणनखंड \( 2^6 \) है।
HCF \( (2048, 960) = 2^6 = 64 \)
अतः, वह महत्तम संख्या 64 है जो 2053 तथा 967 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 5 तथा 7 देती है। इन प्रकार के प्रश्नों में, शेषफल को पहले घटाकर नई संख्याओं का HCF ज्ञात करना होता है।
In simple words: हमें वह सबसे बड़ी संख्या खोजनी है जिससे 2053 को भाग देने पर 5 बचे और 967 को भाग देने पर 7 बचे। इसके लिए, हम 2053 में से 5 घटाकर 2048 प्राप्त करते हैं, और 967 में से 7 घटाकर 960 प्राप्त करते हैं। फिर 2048 और 960 का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड (HCF) निकालते हैं, जो 64 है।

🎯 Exam Tip: जब दो संख्याओं के लिए अलग-अलग शेषफल दिए गए हों, तो प्रत्येक शेषफल को उसकी संबंधित संख्या से घटाकर HCF ज्ञात करें।

Question 17. वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 398, 436 तथा 542 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 7, 11 तथा 15 आता है।
Answer: यदि कोई संख्या 398, 436 और 542 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 7, 11 तथा 15 देती है, तो इसका मतलब है कि वह संख्या \( (398 - 7) \), \( (436 - 11) \) और \( (542 - 15) \) को पूर्णतया विभाजित करेगी।
नई संख्याएँ हैं:
\( 398 - 7 = 391 \)
\( 436 - 11 = 425 \)
\( 542 - 15 = 527 \)
अब हमें 391, 425 और 527 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है। हम गुणनखंड विधि का उपयोग करेंगे:
\( 391 = 17 \times 23 \)
\( 425 = 5 \times 5 \times 17 = 5^2 \times 17 \)
\( 527 = 17 \times 31 \)
तीनों संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल 17 है।
HCF \( (391, 425, 527) = 17 \)
अतः, वह महत्तम संख्या 17 है जो 398, 436 तथा 542 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 7, 11 तथा 15 देती है। तीन या अधिक संख्याओं के लिए HCF ज्ञात करने के लिए, आप किन्हीं दो का HCF निकाल सकते हैं, फिर उस परिणाम का HCF तीसरी संख्या के साथ निकाल सकते हैं।
In simple words: हमें ऐसी सबसे बड़ी संख्या खोजनी है जिससे 398, 436 और 542 को भाग देने पर क्रमशः 7, 11 और 15 शेषफल बचता है। इसके लिए, हम प्रत्येक संख्या में से उसका शेषफल घटाते हैं: 391, 425 और 527। फिर हम इन तीनों नई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड (HCF) निकालते हैं, जो 17 है।

🎯 Exam Tip: तीन संख्याओं के HCF के लिए, प्रत्येक संख्या से उसके शेषफल को घटाना न भूलें। फिर अभाज्य गुणनखंड विधि से HCF आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।

Ex 1.1 Real Numbers दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 18. वह महत्तम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 546 तथा 764 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 6 तथा 8 प्राप्त होते हैं।
Answer: यदि कोई संख्या 546 और 764 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 6 और 8 देती है, तो इसका मतलब है कि वह संख्या \( (546 - 6) \) और \( (764 - 8) \) को पूर्णतया विभाजित करेगी।
नई संख्याएँ हैं:
\( 546 - 6 = 540 \)
\( 764 - 8 = 756 \)
अब हमें 540 और 756 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना है। हम गुणनखंड विधि का उपयोग कर सकते हैं:
\( 540 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^3 \times 5 \)
\( 756 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3^3 \times 7 \)
दोनों में उभयनिष्ठ गुणनखंड \( 2^2 \times 3^3 \) है।
HCF \( (540, 756) = 2^2 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108 \)
अतः, वह महत्तम संख्या 108 है जो 546 तथा 764 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 6 तथा 8 देती है। यह विधि अलग-अलग शेषफल के लिए भी उतनी ही उपयोगी है।
In simple words: हमें वह सबसे बड़ी संख्या खोजनी है जिससे 546 को भाग देने पर 6 बचे और 764 को भाग देने पर 8 बचे। इसके लिए, हम 546 में से 6 घटाकर 540 प्राप्त करते हैं, और 764 में से 8 घटाकर 756 प्राप्त करते हैं। फिर 540 और 756 का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड (HCF) निकालते हैं, जो 108 है।

🎯 Exam Tip: जब अलग-अलग शेषफल दिए गए हों, तो प्रत्येक शेषफल को उसकी संबंधित संख्या से घटाएँ और फिर प्राप्त हुई नई संख्याओं का HCF ज्ञात करें।

Question 19. किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए सिद्ध कीजिए कि \( n^3 - n \), 6 से विभाजित है।
Answer: हमें यह सिद्ध करना है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक \( n \) के लिए, \( n^3 - n \) हमेशा 6 से विभाज्य होता है।
सबसे पहले, हम \( n^3 - n \) को गुणनखंडित करेंगे:
\( n^3 - n = n(n^2 - 1) \)
हम जानते हैं कि \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) होता है, तो \( n^2 - 1 = (n-1)(n+1) \)।
इसलिए, \( n^3 - n = (n-1)n(n+1) \)
यह तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है: \( (n-1), n, (n+1) \)।
हम जानते हैं कि:
1. **दो से विभाज्यता:** किन्हीं भी दो क्रमागत पूर्णांकों में से एक हमेशा सम होता है, इसलिए उनका गुणनफल हमेशा 2 से विभाज्य होता है। यहाँ तीन क्रमागत पूर्णांक हैं, तो यह निश्चित रूप से 2 से विभाज्य होगा।
2. **तीन से विभाज्यता:** किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों में से एक हमेशा 3 का गुणज होता है, इसलिए उनका गुणनफल हमेशा 3 से विभाज्य होता है।
चूंकि \( (n-1)n(n+1) \) 2 से भी विभाज्य है और 3 से भी विभाज्य है, और 2 तथा 3 सह-अभाज्य संख्याएँ (coprime numbers) हैं, तो यह उनके गुणनफल \( 2 \times 3 = 6 \) से भी विभाज्य होगा। यह क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल का एक महत्वपूर्ण गुण है।
Alternatively, हम यूक्लिड विभाजन लेम्मा का उपयोग करके \( n \) को \( 6q, 6q+1, \ldots, 6q+5 \) के रूप में मानकर भी सिद्ध कर सकते हैं:
* यदि \( n = 6q \), तो \( (6q-1)(6q)(6q+1) \) 6 से विभाज्य है।
* यदि \( n = 6q+1 \), तो \( (6q)(6q+1)(6q+2) \) 6 से विभाज्य है।
* यदि \( n = 6q+2 \), तो \( (6q+1)(6q+2)(6q+3) = (6q+1) \times 2(3q+1) \times 3(2q+1) = 6(6q+1)(3q+1)(2q+1) \) 6 से विभाज्य है।
* इसी प्रकार, \( n = 6q+3, 6q+4, 6q+5 \) के लिए भी यह 6 से विभाज्य होगा।
अतः, \( n^3 - n \) हमेशा 6 से विभाज्य है।
In simple words: \( n^3 - n \) का मतलब है \( (n-1) \), \( n \), और \( (n+1) \) का गुणा। ये तीन लगातार संख्याएँ हैं। जब हम तीन लगातार संख्याओं को गुणा करते हैं, तो उस गुणनफल में हमेशा एक संख्या ऐसी होती है जो 2 से भाग हो जाती है, और एक संख्या ऐसी होती है जो 3 से भाग हो जाती है। क्योंकि वह 2 और 3 दोनों से भाग हो जाती है, तो वह 6 से भी भाग हो जाएगी।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रमाणों में, संख्यात्मक गुणनखंड (जैसे \( n(n-1)(n+1) \)) को पहचानना और 2 और 3 से विभाज्यता के नियमों को लागू करना महत्वपूर्ण है।

Question 20. किसी पूर्णांक q के लिए सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग \( 5q \), \( 5q + 1 \) तथा \( 5q + 4 \) के रूप का होता है।
Answer: हमें यह सिद्ध करना है कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग \( 5q \), \( 5q + 1 \) या \( 5q + 4 \) के रूप का होता है।
यूक्लिड विभाजन लेम्मा के अनुसार, किसी भी धनात्मक पूर्णांक \( n \) को 5 से भाग देने पर शेषफल \( 0, 1, 2, 3 \) या \( 4 \) हो सकता है।
इसलिए, \( n \) को \( 5m, 5m+1, 5m+2, 5m+3 \), या \( 5m+4 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( m \) कोई पूर्णांक है।
हम प्रत्येक स्थिति में \( n^2 \) ज्ञात करेंगे:
**स्थिति 1: जब \( n = 5m \)**
\( n^2 = (5m)^2 = 25m^2 = 5(5m^2) \)
यदि हम \( q = 5m^2 \) मानें, तो \( n^2 = 5q \) के रूप का है।
**स्थिति 2: जब \( n = 5m + 1 \)**
\( n^2 = (5m + 1)^2 = (5m)^2 + 2(5m)(1) + 1^2 = 25m^2 + 10m + 1 \)
\( n^2 = 5(5m^2 + 2m) + 1 \)
यदि हम \( q = 5m^2 + 2m \) मानें, तो \( n^2 = 5q + 1 \) के रूप का है।
**स्थिति 3: जब \( n = 5m + 2 \)**
\( n^2 = (5m + 2)^2 = (5m)^2 + 2(5m)(2) + 2^2 = 25m^2 + 20m + 4 \)
\( n^2 = 5(5m^2 + 4m) + 4 \)
यदि हम \( q = 5m^2 + 4m \) मानें, तो \( n^2 = 5q + 4 \) के रूप का है।
**स्थिति 4: जब \( n = 5m + 3 \)**
\( n^2 = (5m + 3)^2 = (5m)^2 + 2(5m)(3) + 3^2 = 25m^2 + 30m + 9 \)
\( n^2 = 25m^2 + 30m + 5 + 4 = 5(5m^2 + 6m + 1) + 4 \)
यदि हम \( q = 5m^2 + 6m + 1 \) मानें, तो \( n^2 = 5q + 4 \) के रूप का है।
**स्थिति 5: जब \( n = 5m + 4 \)**
\( n^2 = (5m + 4)^2 = (5m)^2 + 2(5m)(4) + 4^2 = 25m^2 + 40m + 16 \)
\( n^2 = 25m^2 + 40m + 15 + 1 = 5(5m^2 + 8m + 3) + 1 \)
यदि हम \( q = 5m^2 + 8m + 3 \) मानें, तो \( n^2 = 5q + 1 \) के रूप का है।
सभी संभावित स्थितियों में, हमने देखा कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग \( 5q \), \( 5q + 1 \), या \( 5q + 4 \) के रूप में ही होता है। यह परिणाम यूक्लिड विभाजन लेम्मा का उपयोग करके संख्या सिद्धांत की एक मौलिक अवधारणा को दर्शाता है।
In simple words: किसी भी संख्या को 5 से भाग देने पर 0, 1, 2, 3 या 4 शेष बच सकता है। हमने हर मामले में संख्या का वर्ग किया। हमने पाया कि हर बार, वर्ग या तो \( 5q \), \( 5q + 1 \), या \( 5q + 4 \) जैसा ही होता है। इसका मतलब है कि किसी भी पूरी संख्या का वर्ग इन तीन रूपों में से ही एक में आएगा।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, यूक्लिड विभाजन लेम्मा का उपयोग करके सभी संभावित शेषफलों के लिए प्रत्येक केस को स्पष्ट रूप से दिखाना और अंत में निष्कर्ष प्रस्तुत करना महत्वपूर्ण है।