UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers

Exercise 1.1 (NCERT Page 8)

 

Question 1. निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:
(i) 135 और 225
(ii) 196 और 38220
(iii) 867 और 255
Answer:
(i) 135 और 225 का HCF: यूक्लिड प्रेमेयिका का 225 और 135 (जिसमें 225 > 135) पर प्रयोग करने पर, \[ 225 = (135 \times 1) + 90 \]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक भागफल विधि का चित्र है जिसमें 225 को 135 से विभाजित करने पर भागफल 1 और शेषफल 90 प्राप्त होता है। चूंकि \( 90 \neq 0 \)
135 और 90 पर यूक्लिड प्रेमेयिका का प्रयोग करने पर, \[ 135 = (90 \times 1) + 45 \]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह भागफल विधि का चित्र है जिसमें 135 को 90 से विभाजित करने पर भागफल 1 और शेषफल 45 प्राप्त होता है। चूंकि \( 45 \neq 0 \)
90 और 45 पर यूक्लिड प्रेमेयिका का प्रयोग करने पर, \[ 90 = (45 \times 2) + 0 \]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह भागफल विधि का चित्र है जिसमें 90 को 45 से विभाजित करने पर भागफल 2 और शेषफल 0 प्राप्त होता है। यहाँ, r = 0
हम इस क्रिया को यहाँ रोकते हैं। चूंकि अन्तिम चरण में भाजक 45 है। अतः 225 और 135 का HCF = 45.
(ii) 196 और 38220 का HCF
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह भागफल विधि का चित्र है जिसमें 38220 को 196 से विभाजित किया गया है। पहले चरण में 382 को 196 से भाग देने पर भागफल 1 और शेष 186 प्राप्त होता है। फिर 1862 को 196 से भाग देने पर 9 बार जाता है, शेष 98 बचता है। अंत में 980 को 196 से 5 बार भाग देने पर शेष 0 प्राप्त होता है। यहाँ, 38220 > 196 चूंकि \[ 38220 = (196 \times 195) + 0 \]
(यूक्लिड प्रेमेयिका से) r = 0
38220 और 196 का HCF = 196.
(iii) 867 और 255 का HCF यहाँ 867 > 255
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह भागफल विधि का चित्र है जिसमें 867 को 255 से विभाजित किया गया है। पहले चरण में 867 को 255 से 3 बार भाग देने पर शेष 102 प्राप्त होता है। \[ 867 = (255 \times 3) + 102 \] (यूक्लिड प्रेमेयिका से) और \( 102 \neq 0 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह भागफल विधि का चित्र है जिसमें 255 को 102 से विभाजित करने पर भागफल 2 और शेष 51 प्राप्त होता है।
255 और 102 पर यूक्लिड प्रमेयिका के प्रयोग से \[ 255 = (102 \times 2) + 51 \] \( 51 \neq 0 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह भागफल विधि का चित्र है जिसमें 102 को 51 से विभाजित करने पर भागफल 2 और शेष 0 प्राप्त होता है। 102 और 51 पर यूक्लिड प्रमेयिका से, \[ 102 = (51 \times 2) + 0 \] \( r=0 \)
867 और 255 का HCF = 51.In simple words: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करके दो संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए, हम बड़ी संख्या को छोटी संख्या से तब तक भाग देते हैं जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। अंतिम भाजक ही HCF होता है।

🎯 Exam Tip: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम में, शेषफल के शून्य होने तक भाजक को नए भाज्य के रूप में उपयोग करना और शेषफल को नए भाजक के रूप में उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक \( 6q +1 \) या \( 6q +3 \) या \( 6q + 5 \) के रूप का होता है, जहाँ \( q \) कोई पूर्णाक है।
Answer:हलः मान 'a' एक धनात्मक पूर्णाक है। को 6 से विभाजित करने पर भागफल q और शेष r प्राप्त होता है ।
यूक्लिड प्रमेयिका से, \[ a = 6q + r, \text{ जहाँ कि } 0 \leq r < 6 \] (अर्थात् \( r = 0, 1, 2, 3, 4 \) या \( 5 \)) \[ a = 6q+0 \implies a = 6q \] \[ a = 6q + 1 \] \[ a = 6q + 2 \] \[ a = 6q + 3 \] \[ a = 6q+4 \] \[ a = 6q+5 \] चूंकि \( a = 6q \), \( a = 6q + 2 \) और \( a = 6q + 4 \) से 'a' का मान एक सम-संख्या प्राप्त होता है। परन्तु a एक विषम-पूर्णांक है।
a के सम्भव मान निम्नांकित हैं: \[ a = 6q +1 \] \[ a = 6q + 3 \] \[ a = 6q + 5 \]In simple words: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करके, हम किसी धनात्मक पूर्णांक को 6 से भाग करके शेषफल (0, 1, 2, 3, 4, 5) के साथ विभिन्न रूप में लिखते हैं। चूंकि विषम पूर्णांक 2 से विभाज्य नहीं होते, इसलिए हम उन रूपों को हटा देते हैं जिनमें सम संख्याएँ आती हैं, और केवल विषम रूपों को रखते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में यूक्लिड विभाजन लेम्मा (\( a = bq + r, 0 \le r < b \)) का सही अनुप्रयोग और विषम/सम पूर्णांकों की परिभाषा को समझना महत्वपूर्ण है।

 

Question 3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे
मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
Answer:हलः दोनों समूहों के सदस्यों के समान-संख्या वाले दो स्तंभों की अधिकतम संख्या 616 और 32 के HCF के समान है।
616 और 32 का HCF ज्ञात करने के लिए \[ 616 = (32 \times 19) + 8 \] \( 8 \neq 0 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह भागफल विधि का चित्र है जिसमें 616 को 32 से विभाजित किया गया है। पहले चरण में 616 को 32 से 19 बार भाग देने पर शेष 8 प्राप्त होता है।
8 और 32 से \[ 32 = (8 \times 4) + 0 \] \( r = 0 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह भागफल विधि का चित्र है जिसमें 32 को 8 से विभाजित करने पर भागफल 4 और शेष 0 प्राप्त होता है। 32 और 616 का HCF = 8 अतः स्तंभों की अधिकतम संख्या = 8.In simple words: समान स्तंभों में अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें 616 (सेना के सदस्यों) और 32 (बैंड के सदस्यों) का महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालना होता है। यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके, हम पाते हैं कि HCF 8 है, जिसका अर्थ है कि वे 8 स्तंभों में मार्च कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: "अधिकतम संख्या" या "सबसे बड़ी संख्या" जैसे शब्दों से यह संकेत मिलता है कि प्रश्न में HCF ज्ञात करना है।

 

Question 4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए \( 3m \) या \( 3m +1 \) के रूप का होता है।
Answer:हलः माना x एक धनात्मक पूर्णांक \( 3q, 3q + 1 \) या \( 3q + 2 \) के रूप में है। माना x एक धनात्मक पूर्णांक \( 3q, 3q + 1 \) या \( 3q + 2 \) के रूप में है। यदि \( x = 3q \) है, तो \( x^2 = 9q^2 \)
\( \implies \) \[ x^2 = 3 \times 3q^2 \] (यहाँ \( m = 3q^2 \) एक पूर्णांक है।)
\( \implies \) \[ x^2 = 3m \] ...(1) यदि \( x = 3q + 1 \) है, तो \[ x^2 = (3q+1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 \] \[ = 3(3q^2+2q)+1 \]
\( \implies x^2 = 3(3q^2 + 2q) + 1 \) \[ x^2 = 3m + 1 \] (यहाँ \( m = 3q^2 + 2q \) एक पूर्णांक है।) ...(2) यदि \( x = 3q + 2 \) तो \[ x^2 = 9q^2 + 12q + 4 = (9q^2 + 12q + 3) + 1 \] \[ = 3(3q^2+4q+1)+1 \]
\( \implies \) \[ x^2 = 3m + 1 \] (यहाँ \( m = (3q^2 + 4q + 1) \) एक पूर्णांक है।) ...(3) (1), (2) और (3) से, \[ x^2 = 3m \text{ या } x^2 = 3m + 1 \] के रूप हैं। अतः किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए \( 3m \) या \( 3m + 1 \) के रूप में होता है।In simple words: यूक्लिड प्रमेयिका का उपयोग करके, हम किसी धनात्मक पूर्णांक को \( 3q, 3q+1 \) या \( 3q+2 \) के रूप में व्यक्त करते हैं। फिर, प्रत्येक रूप का वर्ग करके, हम दिखाते हैं कि परिणाम हमेशा \( 3m \) या \( 3m+1 \) के रूप में आता है, जहाँ \( m \) कोई पूर्णांक है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के वर्ग वाले प्रश्नों में \( b \) के रूप में 3 लेना और फिर \( r=0, 1, 2 \) के लिए पूर्णांक के वर्गों को \( 3m \) या \( 3m+1 \) के रूप में दिखाना मुख्य बिंदु है।

 

Question 5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन \( 9m, 9m + 1 \) या \( 9m +8 \) के रूप का होता है।
Answer:हलः एक धनात्मक पूर्ण x की कल्पना करें कि यह \( 3q, (3q + 1) \) या \( (3q + 2) \) के रूप में है। नोटः किसी धनात्मक पूर्णांक x के लिए: \[ x = 3q + r \text{ (जहाँ भागफल q और शेष r इस प्रकार है कि } 0 \leq r < 3) \]
यदि \( r = 0 \) हो, तो \( x = 3q \)
यदि \( r = 1 \) हो, तो \( x = 3q + 1 \)
यदि \( r = 2 \) हो, तो \( x = 3q + 2 \)
धनात्मक पूर्णांक x का रूप है: \( 3q, (3q + 1) \) या \( 3q + 2 \) यदि \( x = 3q \) \[ x^3 = (3q)^3 \]
\( \implies x^3 = 27q^3 \)
\( \implies x^3 = 9(3q^3) \)
\( \implies x^3 = 3m \) (यहाँ \( m = 3q^3 \) और m एक पूर्णांक है।) ...(1) यदि \( x = 3q + 1 \) \[ x^3 = (3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2+9q+1 \] \[ = 9(3q^3 + 3q^2+q) + 1 \]
\[ = 9m + 1 \] ...(2) (यहाँ \( m = 3q^3 + 3q^2 + 1 \) और m एक पूर्णांक है।) यदि \( x = 3q + 2 \) \[ x^3 = (3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 \] \[ = 9(3q^3 +6q^2 + 4q) + 8 \]
\[ =9m +8 \] ...(3) (यहाँ \( m = 3q^3 + 6q^2 + 4q \) और m एक धनात्मक पूर्णांक है।) (1), (2) और (3) से स्पष्ट है कि \[ x^3 = 9m; x^3 = 9m + 1; x^3 = 9m + 8 \] अतः धनात्मक पूर्णांक x का घन \( 9m, 9m + 1 \) या \( 9m + 8 \) के रूप में होता है।In simple words: हम यूक्लिड प्रमेयिका का उपयोग करके एक धनात्मक पूर्णांक को \( 3q, 3q+1 \) या \( 3q+2 \) के रूप में लिखते हैं। फिर, प्रत्येक रूप का घन करके, हम दिखाते हैं कि परिणाम हमेशा \( 9m, 9m+1 \) या \( 9m+8 \) के रूप में आता है।

🎯 Exam Tip: घन वाले प्रश्नों में \( (a+b)^3 \) के सूत्र का सही उपयोग करना और \( 9m, 9m+1, 9m+8 \) के रूप में परिणाम प्राप्त करने के लिए \( 9 \) को उभयनिष्ठ (common) लेना महत्वपूर्ण है।

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है तथा यह गुणनखण्डन अभाज्य गुणनखण्डों के आने वाले क्रम के बिना अद्वितीय होता है। जैसे:
\( 6 = 2 \times 3; \) \( 231 = 3 \times 7 \times 11 \) नोट :
I. विभिन्न अभाज्य संख्याओं के गुणन से हम अनगिनत धनात्मक पूर्णांक प्राप्त कर सकते हैं:
\( 5 \times 11 = 55 \)
\( 5 \times 23 \times 29 = 3335 \)
\( 2 \times 3 \times 7 \times 11 = 462 \)
\( 2^2 \times 3^3 \times 23 = 2484 \) आदि।
II. अभाज्य संख्याएँ असंख्य हैं।

Exercise 1.2 (NCERT Page 13)

 

Question 1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 140
(ii) 156
(iii) 3825
(iv) 5005
(v) 7429
Answer:हलः
(i) गुणनखण्ड वृक्ष से,
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह 140 का गुणनखंड वृक्ष है। 140 को 2 और 70 में तोड़ा गया है, फिर 70 को 2 और 35 में, और अंत में 35 को 5 और 7 में तोड़ा गया है। \[ 140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7 = 2^2 \times 5 \times 7 \]
(ii) गुणनखण्ड वृक्ष से,
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह 156 का गुणनखंड वृक्ष है। 156 को 2 और 78 में तोड़ा गया है, फिर 78 को 2 और 39 में, और अंत में 39 को 3 और 13 में तोड़ा गया है। इस प्रकार, \[ 156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13 \] \[ 156 = 2^2 \times 5 \times 13 \]
(iii) गुणनखण्ड वृक्ष की सहायता से,
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह 3825 का गुणनखंड वृक्ष है। 3825 को 3 और 1275 में तोड़ा गया है, फिर 1275 को 5 और 425 में, फिर 425 को 5 और 85 में, और अंत में 85 को 5 और 17 में तोड़ा गया है। अतः \[ 3825 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 \] \[ 3825 = 3^2 \times 5^2 \times 17 \]
(iv) गुणनखण्ड वृक्ष की सहायता से
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह 5005 का गुणनखंड वृक्ष है। 5005 को 5 और 1001 में तोड़ा गया है, फिर 1001 को 7 और 143 में, और अंत में 143 को 11 और 13 में तोड़ा गया है। अतः \[ 5005 = 5 \times 7 \times 11 \times 13 \]
(v) गुणनखण्ड वृक्ष की विधि से,
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह 7429 का गुणनखंड वृक्ष है। 7429 को 17 और 437 में तोड़ा गया है, फिर 437 को 19 और 23 में तोड़ा गया है। इस प्रकार, \[ 7429 = 17 \times 19 \times 23 \]In simple words: अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम दी गई संख्या को सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंडों से भाग करते रहते हैं जब तक कि सभी गुणनखंड अभाज्य न हों। फिर इन सभी अभाज्य गुणनखंडों को गुणा के रूप में लिखते हैं।

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंडन करते समय, हमेशा सबसे छोटी अभाज्य संख्या (2, 3, 5, 7, ...) से भाग देना शुरू करें और तब तक जारी रखें जब तक शेषफल 1 न हो जाए।

 

Question 2. पूर्णाकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि वो संख्याओं को गुणनफल \( = \text{HCF} \times \text{LCM} \) है।
(i) 28 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 64
Answer:हलः
(i) गुणनखण्ड वृक्ष की सहायता से
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह 26 और 91 के गुणनखंड वृक्ष हैं। 26 को 2 और 13 में, जबकि 91 को 7 और 13 में तोड़ा गया है। \[ 26 = 2 \times 13 \]
\[ 91 = 7 \times 13 \]
26 और 91 का LCM \( = 2 \times 7 \times 13 = 182 \) 26 और 91 का HCF \( = 13 \) अब, \[ \text{LCM} \times \text{HCF} = 182 \times 13 = 2366 \] ...(1) तथा संख्याओं का गुणनफल \( = 26 \times 91 = 2366 \) ...(2) (1) और (2) से, \( \text{LCM} \times \text{HCF} = \) संख्याओं का गुणनफल
(ii) गुणनखण्ड वृक्ष से,
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह 510 और 92 के गुणनखंड वृक्ष हैं। 510 को 2, 255 में, फिर 255 को 5, 51 में, और 51 को 3, 17 में तोड़ा गया है। 92 को 2, 46 में, और 46 को 2, 23 में तोड़ा गया है। अब \[ 510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17 \] \[ 92 = 2 \times 2 \times 23 \] \[ 510 \times 92 = 46920 \] ...(1) 510 और 92 का LCM \[ = 2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 2 \times 23 = 23460 \] 510 और 92 का HCF \( = 2 \) \[ \text{HCF} \times \text{LCM} = 2 \times 23460 = 46920 \] ...(2) (1) और (2) से,
HCF x LCM = 510 और 92 का गुणनफल अतः HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल
(iii) गुणनखण्ड वृक्ष की सहायता से,
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह 336 और 54 के गुणनखंड वृक्ष हैं। 336 को 2, 168 में, फिर 168 को 2, 84 में, 84 को 2, 42 में, 42 को 2, 21 में, और 21 को 3, 7 में तोड़ा गया है। 54 को 2, 27 में, 27 को 3, 9 में, और 9 को 3, 3 में तोड़ा गया है।
\[ 336 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7 \]
\[ 54 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \] 336 और 54 का LCM \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 = 3024 \) 336 और 54 का HCF \( = 2 \times 3 = 6 \) \[ \text{HCF} \times \text{LCM} = 6 \times 3024 = 18144 \] ...(1) संख्याओं का गुणनफल \( = 336 \times 54 = 18144 \) ...(2) (1) और (2) से, LCM × HCF = संख्याओं का गुणनफलIn simple words: किसी भी दो पूर्णांकों के लिए HCF और LCM ज्ञात करने के लिए, हम पहले उनके अभाज्य गुणनखंड करते हैं। HCF सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात का गुणनफल होता है, और LCM सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात का गुणनफल होता है। अंत में, हम सत्यापित करते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में संख्याओं के सही अभाज्य गुणनखंडन और HCF व LCM के सूत्रों को याद रखना महत्वपूर्ण है। जाँच सूत्र \( \text{संख्याओं का गुणनफल} = \text{HCF} \times \text{LCM} \) हर बार लागू होता है।

 

Question 3. अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
(i) 12, 15 और 21
(ii) 17, 23 और 29
(iii) 8, 9 और 25
Answer:हलः
(i) चूंकि
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह 12, 15 और 21 के गुणनखंड वृक्ष हैं। 12 को 2, 6 में फिर 2, 3 में तोड़ा गया है। 15 को 3, 5 में तोड़ा गया है। 21 को 3, 7 में तोड़ा गया है। \[ 12 = 2 \times 2 \times 3 \] \[ 15 = 3 \times 5 \] \[ 21 = 3 \times 7 \]
12, 15 और 21 का HCF \( = 3 \) 12, 15 और 21 का LCM \( = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420. \)
(ii) यहाँ 17 \( = 1 \times 17 \) 23 \( = 1 \times 23 \) और 29 \( = 1 \times 29 \) 17, 23 और 29 का HCF \( = 1 \) 17, 23 और 29 का LCM \( = 17 \times 23 \times 29 = 11339. \)
(iii) यहाँ
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह 8, 9 और 25 के गुणनखंड वृक्ष हैं। 8 को 2, 4 में फिर 2, 2 में तोड़ा गया है। 9 को 3, 3 में तोड़ा गया है। 25 को 5, 5 में तोड़ा गया है। \[ 8 = 2 \times 2 \times 2 \]
\( \implies \) \[ 9 = 3 \times 3 \] \[ 25 = 5 \times 5 \]
8,9 और 25 का HCF \( = 1 \) तथा 8,9 और 25 का LCM \( = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 1800. \)In simple words: अभाज्य गुणनखंडन विधि में, हम पहले प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ते हैं। HCF सभी संख्याओं के उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात का गुणनफल होता है, जबकि LCM सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घात का गुणनफल होता है।

🎯 Exam Tip: HCF ज्ञात करने के लिए उभयनिष्ठ गुणनखंडों पर ध्यान दें और LCM के लिए सभी अद्वितीय और उच्चतम घात वाले गुणनखंडों को शामिल करें। सह-अभाज्य संख्याओं का HCF हमेशा 1 होता है।

 

Question 4. HCF (306, 657) \( = 9 \) दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
Answer:हलः HCF (306, 657) अर्थात् 306 और 657 का HCF \( = 9 \) चूंकि LCM x HCF = संख्याओं का गुणनफल
LCM \( \times 9 = 306 \times 657 \)
LCM \( = \frac{306 \times 657}{9} \)
LCM \( = 34 \times 657 \)
LCM \( = 22338 \)In simple words: हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है। इस सूत्र का उपयोग करके, हम दी गई संख्याओं (306 और 657) और उनके दिए गए HCF (9) का मान रखते हैं, और फिर LCM ज्ञात करने के लिए समीकरण को हल करते हैं।

🎯 Exam Tip: दो संख्याओं के लिए \( \text{LCM} \times \text{HCF} = \text{संख्याओं का गुणनफल} \) सूत्र को याद रखें; यह दिए गए मानों का उपयोग करके अज्ञात LCM या HCF को तुरंत हल करने में मदद करता है।

 

Question 5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या \( 6^n \) अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
Answer:हुलः यहाँ n एक प्राकृत संख्या है और माना \( 6^n \) अंक 0 पर समाप्त होती है।
\( \implies \) \( 6^n \) संख्या 5 से विभाज्य है। परन्तु 6 के विभाज्य गुणनखण्ड 2 और 3 हैं।
\( \implies \) \[ 6^n = (2 \times 3)^n \]
चूंकि 5 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए अंकगणित की आधारभूत प्रमेयिका के अद्वितीयता गुण के अनुसार \( 6^n \) के अभाज्य गुणनखंडों में 5 नहीं होना चाहिए। अतः \( 6^n \) कभी भी अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती है।In simple words: कोई भी संख्या जो शून्य पर समाप्त होती है, उसके अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 दोनों होने चाहिए। चूंकि \( 6^n \) के गुणनखंड केवल 2 और 3 होते हैं (क्योंकि \( 6 = 2 \times 3 \)), इसलिए इसमें 5 नहीं होता। अतः, \( 6^n \) कभी भी अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या के 0 पर समाप्त होने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 दोनों का होना अनिवार्य है। यह अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का एक सीधा अनुप्रयोग है।

 

Question 6. व्याख्या कीजिए कि \( 7 \times 11 \times 13 + 13 \) और \( 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5 \) भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
Answer:हलः चूंकि \[ 7 \times 11 \times 13 + 13 = 13[(7 \times 11) + 1] = 13[77 + 1] = 13 \times 78 \] तथा \( 13 \times 78 \), एक अभाज्य संख्या नहीं हो सकती क्योंकि इसमें 13 एक गुणनखण्ड है।
\( \implies 13 \times 78 \) एक भाज्य संख्या है।
\( \implies 7 \times 11 \times 13 + 13 \) एक भाज्य संख्या है। इसी प्रकार, \[ 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5 = 5[7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1] = 5[1009] \]
\( 5 \times 1009 \) एक भाज्य संख्या है। अतः \( 7 \times 11 \times 13 + 13 \) और \( 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5 \) भाज्य संख्याएँ हैं।In simple words: एक भाज्य संख्या वह होती है जिसके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं। दिए गए व्यंजकों में से प्रत्येक में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड निकाला जा सकता है, जिससे यह पता चलता है कि वे दो या अधिक संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखे जा सकते हैं, इसलिए वे भाज्य हैं।

🎯 Exam Tip: यह दिखाने के लिए कि कोई संख्या भाज्य है, उसे दो या दो से अधिक गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना पर्याप्त होता है, जहाँ 1 और स्वयं संख्या के अतिरिक्त अन्य गुणनखंड भी हों। उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालकर यह आसानी से दिखाया जा सकता है।

 

Question 7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?
Answer:हलः एक चक्कर लगाने में सोनिया का समय \( = 18 \) मिनट एक चक्कर लगाने में रवि का समय \( = 12 \) मिनट 18 और 12 का LCM के समान समय के बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह 18 और 12 के गुणनखंड वृक्ष हैं। 18 को 2 और 9 में, फिर 9 को 3 और 3 में तोड़ा गया है। 12 को 2 और 6 में, फिर 6 को 2 और 3 में तोड़ा गया है। \[ 18=2 \times 3 \times 3 = 2^1 \times 3^2 \] \[ 12=2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1 \] \[ \text{LCM} = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36 \] अतः सोनिया और रवि पुनः प्रारंभिक स्थान पर 36 मिनट बाद मिलेंगे।In simple words: जब दो लोग अलग-अलग समय में एक ही पथ पर चक्कर लगाते हैं और पूछा जाता है कि वे कब पुनः प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे, तो हमें उनके समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होता है। 18 और 12 का LCM 36 है, इसलिए वे 36 मिनट बाद मिलेंगे।

🎯 Exam Tip: जब भी "एक साथ कब मिलेंगे", "एक साथ कब बजेंगी" जैसे प्रश्न हों, तो हमेशा LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) ज्ञात करें। यह सुनिश्चित करता है कि आप सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज ढूंढ रहे हैं जिस पर सभी घटनाएँ एक साथ घटित होंगी।

अपरिमेय संख्याओं का पुनभ्रमणः

एक संख्या 's' अपरिमेय संख्या कहलाती है यदि उसे \( \frac{P}{q} \) के रूप में नहीं लिखा जा सकता हो, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और \( q \neq 0 \) है। जैसे: \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{15}, \sqrt{1}, - \frac{\sqrt{2}}{3}, 0.101100111011110... \) इत्यादि।

Exercise 1.3 (NCERT Page 17)

 

Question 1. सिद्ध कीजिए कि \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है।
Answer:हलः माना \( \sqrt{5} \) एक परिमेय संख्या है।
\[ \frac{a}{b} = \sqrt{5} \] (जहाँ कि a और b पूर्णांक है, \( b \neq 0 \) तथा a और b सहअभाज्य है।) ...(1)
\( \implies \) \[ a = \sqrt{5} \cdot b \] दोनों ओर का वर्ग करने पर, \[ a^2 = 5b^2 \]
\( \implies a^2 \), 5 से विभाज्य है।
\( \implies a \) भी 5 से विभाज्य है।
\( \implies a = 5c \), जहाँ कि c एक पूर्णांक है।
(1) में \( a = 5c \) रखने पर \[ 5c = \sqrt{5}b \] या \[ (5c)^2 = 5b^2 \]
\( \implies 25c^2 = 5b^2 \)
\( \implies 5c^2 = b^2 \)
\( \implies b^2 \), 5 से विभाज्य है। ...(3) इस प्रकार 5, b को भी विभाजित करता है। (2) और (3) से हम प्राप्त करते हैं कि संख्या 5 दोनों संख्याओं a और b को विभाजित करता है।
\( \implies \) a और b का एक सांझा गुणनखण्ड 5 है। परन्तु ऊपर हमने माना है कि a और b सहअभाज्य हैं।
हमारी यह मान्यता है कि \( \sqrt{5} \) एक परिमेय संख्या है, गलत है। अतः \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है।In simple words: हम \( \sqrt{5} \) को एक परिमेय संख्या मानकर शुरू करते हैं, जिसे \( a/b \) के रूप में लिखा जा सकता है। फिर हम वर्ग करके दिखाते हैं कि 5, \( a \) और \( b \) दोनों को विभाजित करता है, जिसका अर्थ है कि उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है। यह इस धारणा का खंडन करता है कि \( a \) और \( b \) सहअभाज्य हैं, इसलिए हमारी मूल धारणा गलत थी, और \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है।

🎯 Exam Tip: अपरिमेयता सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, विरोधाभास द्वारा प्रमाण (Proof by Contradiction) विधि का उपयोग करें। यह मानकर शुरू करें कि दी गई संख्या परिमेय है, और फिर गणितीय चरणों का पालन करके एक विरोधाभास पर पहुँचें।

 

Question 2. सिद्ध कीजिए कि \( 3+2\sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है।
Answer:हलः माना \( 3+2\sqrt{5} \) एक परिमेय संख्या है।
इसे दो सहअभाज्य पूर्णांकों \( \frac{a}{b} \) के समान रखा जा सकता है जिनमें \( b \neq 0 \) अर्थात् \[ 3+2\sqrt{5} = \frac{a}{b} \]
\( \implies \) \[ \frac{a}{b} -3 = 2\sqrt{5} \]
\( \implies \) \[ \frac{a-3b}{b} = 2\sqrt{5} \]
\( \implies \) \[ \frac{a-3b}{2b} = \sqrt{5} \] चूंकि a, b, 3 और 2 सभी पूर्णांक हैं।
\( \frac{a-3b}{2b} \) एक पूर्णांक है।
\( \implies \sqrt{5} \) भी एक पूर्णांक है। परन्तु \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है।
\( \implies 3+2\sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है।In simple words: हम \( 3+2\sqrt{5} \) को एक परिमेय संख्या मानकर शुरू करते हैं, जिसे \( a/b \) के रूप में लिखा जा सकता है। फिर हम इसे पुनर्व्यवस्थित करके \( \sqrt{5} \) को \( a \) और \( b \) के परिमेय व्यंजक के रूप में दिखाते हैं। चूंकि हम जानते हैं कि \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है, यह एक विरोधाभास पैदा करता है, जिससे यह साबित होता है कि \( 3+2\sqrt{5} \) अपरिमेय है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, अपरिमेय भाग (जैसे \( \sqrt{5} \)) को समीकरण के एक तरफ अलग करना मुख्य रणनीति है, और फिर यह दिखाना है कि यह एक परिमेय संख्या के बराबर है, जो एक विरोधाभास होगा।

 

Question 3. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं।
(a) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
(b) \( 7\sqrt{5} \)
(c) \( 6+\sqrt{2} \)
Answer:हलः
(a) चूंकि
माना \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) एक परिमेय संख्या है।
\( \implies \) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \implies \frac{\sqrt{2}}{2} \) भी एक परिमेय संख्या है।
माना \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{b} \) जहाँ कि a और b सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \( b \neq 0 \)
\( \implies \) \[ \sqrt{2} = \frac{2a}{b} \] चूंकि दो पूर्णांकों का भागफल भी एक परिमेय होता है, \( \implies \frac{2a}{b} \) एक परिमेय है। ...(2) (1) और (2) से, \( \sqrt{2} \) एक परिमेय है। परन्तु यह इस तथ्य का विरोधाभासी है कि \( \sqrt{2} \) एक अपरिमेय है।
हमारी कल्पना कि \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) एक परिमेय है, गलत है। अतः \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) एक अपरिमेय है।
(b) माना \( 7\sqrt{5} \) एक परिमेय है। \[ 7\sqrt{5} = \frac{a}{b} \] [जबकि a और b सहअभाज्य पूर्णांक है और \( b \neq 0 \)]
\( \implies \) \[ \sqrt{5} = \frac{7a}{b} \] चूंकि 7, a और b पूर्णांक है।
\( \frac{7a}{b} \) एक परिमेय है। अतः \( \sqrt{5} \) एक परिमेय है। परन्तु \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय होता है।
हमारी कल्पना कि \( 7\sqrt{5} \) एक परिमेय है, गलत है। अतः \( 7\sqrt{5} \) एक अपरिमेय है।
(c) माना \( (6 + \sqrt{2}) \) एक परिमेय है। \[ 6+\sqrt{2} = \frac{a}{b} \] (जहाँ कि a और b सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \( b \neq 0 \))
\( \implies \) \[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} -6 \]
\( \implies \) \[ \sqrt{2} = \frac{a-6b}{b} \] चूंकि a, b और 6 पूर्णांक हैं।
\( \implies \frac{a-6b}{b} \) एक परिमेय है।
\( \implies \sqrt{2} \) भी एक परिमेय है। परन्तु यह इस तथ्य का विरोधाभासी है कि \( \sqrt{2} \) एक अपरिमेय होता है।
हमारी कल्पना कि \( (6+\sqrt{2}) \) एक परिमेय है, गलत है। अतः \( (6+ \sqrt{2}) \) एक अपरिमेय है।In simple words: प्रत्येक भाग में, हम दी गई संख्या को एक परिमेय संख्या मानकर शुरुआत करते हैं, जिसे \( a/b \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। फिर, हम बीजगणितीय रूप से उस भाग को अलग करते हैं जिसे हम जानते हैं कि वह अपरिमेय है (जैसे \( \sqrt{2} \) या \( \sqrt{5} \)) और दिखाते हैं कि यह एक परिमेय संख्या के बराबर है। चूंकि यह एक विरोधाभास है, हमारी मूल धारणा गलत साबित होती है, और इस प्रकार संख्या अपरिमेय होती है।

🎯 Exam Tip: जब भी \( \sqrt{p} \) या \( a\sqrt{p}+b \) जैसे संयोजन को अपरिमेय सिद्ध करना हो, तो हमेशा \( \sqrt{p} \) को एक तरफ अलग करके हल करें और विरोधाभास विधि का उपयोग करें। यह सुनिश्चित करता है कि आप मूल अपरिमेय संख्या की ज्ञात संपत्ति पर निर्भर करते हैं।

परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनर्भमण

याद रखें

I. परिमेय संख्याओं के या तो सांत दशमलव प्रसार (terminating decimal expansions) होते हैं या फिर असान्त-आवर्ती (non-terminating repeating) दशमलव प्रसार होते हैं।
II. एक \( \frac{p}{q} \) के रूप में किसी परिमेय संख्या, जिसका दशमलव प्रसार सांत होता है, में \( q \) का अभाज्य गुणनखंडन में \( 2^m \) और \( 5^n \) ही गुणनखण्ड के रूप में होते हैं। (जहां कि m और n ऋणोतर पूर्णांक होते हैं।)
III. किसी \( \frac{p}{q} \) के रूप की संख्या में यदि \( q \) के अभाज्य गुणनखण्डन में गुणनखण्ड \( 2^n 5^m \) (m और n ऋणोत्तर पूर्णांक हों) होते हैं तो \( \frac{p}{q} \) का दशमलव प्रसार सांत (terminating) होता है।
IV. यदि किसी परिमेय संख्या जो कि \( \frac{p}{q} \) के रूप में हो और \( q \) के अभाज्य गुणनखण्डन में केवल \( 2^m 5^n \) (m और n ऋणोतर पूर्णांक हों) के गुणनखण्ड न हो, तो इसका दशमलव प्रसार एक असांत-आवर्ती होता है।
V. यदि किसी वास्तविक संख्या का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती (non-terminating non-repeating) हो, तो वह एक अपरिमेय होती है।

Exercise 1.4 (NCERT Page 22)

 

Question 1. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं।
(i) \( \frac{13}{3125} \)
(ii) \( \frac{17}{8} \)
(iii) \( \frac{64}{455} \)
(iv) \( \frac{15}{1600} \)
(v) \( \frac{29}{343} \)
(vi) \( \frac{23}{2^3 5^2} \)
(vii) \( \frac{129}{2^2 5^7 7^5} \)
(viii) \( \frac{6}{15} \)
(ix) \( \frac{35}{50} \)
(x) \( \frac{77}{210} \)
Answer:हलः चूंकि किसी भी परिमेय संख्या के हर के अभाज्य गुणनखण्डन में \( 2^n, 5^m \) के अतिरिक्त गुणनखण्ड नहीं हैं तो इसका दशमलव प्रसार सांत-दशमलव होता है अन्यथा यह असांत-आवर्ती दशमलव प्रसार होता है।
(i) \( \frac{13}{3125} \) में, हर \( = 3125 \)

\[ 3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5 = 5^5 \cdot 2^0 \] जोकि \( 5^m \cdot 2^n \) के रूप में है।
3125 के अभाज्य गुणनखण्डन में केवल 5 है।
\( \implies \frac{13}{3125} \) का दशमलव प्रसार सांत है।
(ii) \( \frac{17}{8} \) में, हर \( = 8 \) चूंकि \[ 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \cdot 5^0 \] अर्थात् 8 के अभाज्य गुणनखण्ड में केवल \( 2^3 \cdot 5^0 \) है।
\( \implies \frac{17}{8} \) का दशमलव प्रसार सांत है।
(iii) \( \frac{64}{455} \) में, हर \( = 455 \)
\[ 455 = 5 \times 7 \times 13 = 5^1 \times 7^1 \times 13^1 \] जोकि केवल \( 5^m \times 2^n \) के रूप में नहीं है।
अतः \( \frac{64}{455} \) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(iv) \( \frac{15}{1600} \) में, हर \( = 320 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह 320 का अभाज्य गुणनखंडन दिखाने वाली भाग विधि का चित्र है। 320 को लगातार 6 बार 2 से विभाजित किया गया, जिससे 50, 25, 12.5 आदि प्राप्त हुए, और अंत में 5 से एक बार विभाजित किया गया। (नोट: चित्र में कुछ त्रुटियाँ हो सकती हैं, जैसे 320 को 2 से विभाजित करने पर 160, फिर 80, 40, 20, 10, 5, फिर 5 को 5 से 1। लेकिन OCR में 320 को 2 से 6 बार, फिर 5 से 1 बार किया गया है)\[ 320 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^6 \times 5^1 \] जोकि \( 2^m \cdot 5^n \) के रूप में है।
अतः \( \frac{15}{1600} \) का दशमलव प्रसार सांत है।
(v) \( \frac{29}{343} \) में, हर \( = 343 \) अब \[ 343 = 7 \times 7 \times 7 = 7^3 \times 5^0 \times 2^0 \] जो केवल \( 2^m \times 5^n \) के रूप में नहीं है।
अतः \( \frac{29}{343} \) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(vi) \( \frac{23}{2^3 5^2} \) में, हर \( = 2^3 5^2 \) चूंकि हर \( = 2^3 \times 5^2 \) जोकि \( 2^m \times 5^n \) के रूप में है।
\( \implies \frac{23}{2^3 \times 5^2} \) का दशमलव प्रसार सांत है।
(vii) \( \frac{129}{2^2 5^7 7^5} \) में, हर \( = 2^2 \times 5^7 \times 7^5 \) जो कि केवल \( 2^m \times 5^n \) के रूप में नहीं है। (\( \implies \) क्योंकि इसमें \( 7^5 \) भी है)
\( \implies \frac{129}{2^2 5^7 7^5} \) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(viii) \( \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \) में, हर \( = 5 \) चूंकि \[ \text{हर} = 5 = 5^1 \times 2^0 \]
हर \( 5^m \times 2^n \) के रूप में है।
\( \implies \frac{6}{15} \) का दशमलव प्रसार सांत है।
(ix) \( \frac{35}{50} = \frac{7}{10} \) में, हर \( = 10 \) चूंकि, \[ 10 = 2 \times 5 = 2^1 \times 5^1 \]
हर का अभाज्य गुणनखण्डन \( 2^m \times 5^n \) के रूप में है।
अतः \( \frac{35}{50} \) का दशमलव प्रसार सांत है।
(x) \( \frac{77}{210} = \frac{11}{30} \) में, हर \( = 30 \) चूंकि \[ 30 = 2 \times 5 \times 3 = 2^1 \times 5^1 \times 3^1 \]
हर के अभाज्य गुणनखण्डन में केवल \( 5^m \) और \( 2^n \) ही नहीं है, 3 भी है।
\( \implies \frac{77}{210} \) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।In simple words: किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि उसके हर (अंश और हर को सरल करने के बाद) के अभाज्य गुणनखंडों में केवल 2 की घातें, 5 की घातें, या दोनों हों। यदि हर में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड होता है, तो उसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रश्न में हर के अभाज्य गुणनखंडों की पहचान करना और उन्हें \( 2^n 5^m \) के रूप से तुलना करना महत्वपूर्ण है। अंश और हर को पहले सरल रूप में लाना न भूलें।

 

Question 2. ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं।
Answer:हलः
(i) \( \frac{13}{5^5} \) (1) को \( 2^5 \) से गुणा और भाग करने पर, \[ \frac{13}{5^5} \times \frac{2^5}{2^5} = \frac{13 \times 32}{(5 \times 2)^5} = \frac{416}{10^5} = \frac{416}{100000} = 0.00416 \]
(ii) \( \frac{17}{8} \) में,
\[ 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \] (1) को \( 5^3 \) से गुणा और भाग करने पर, \[ \frac{17}{8} = \frac{17}{2^3} \times \frac{5^3}{5^3} = \frac{17 \times 125}{(2 \times 5)^3} = \frac{2125}{10^3} = 2.125 \]
(iii) \( \frac{64}{455} \) का दशमलव प्रसार असांत-आवर्ती है।
(iv) \( \frac{15}{1600} \) में,
\[ 1600 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 10 \times 10 = 2^4 \times 10^2 \] \[ \frac{15}{1600} = \frac{15}{2^4 \times 10^2} \] (1) को \( 5^4 \) से गुणा और भाग करने पर \[ \frac{15}{1600} = \frac{15}{2^4 \times 10^2} \times \frac{5^4}{5^4} = \frac{15 \times 625}{10^4 \times 10^2} = \frac{9375}{10^6} = 0.009375 \]
(v) \( \frac{29}{343} \) का दशमलव प्रसार असांत-आवर्ती है।
(vi) \( \frac{23}{2^3 \times 5^2} \) में, 5 से भाग और गुणा करने पर \[ \frac{23}{2^3 \times 5^2} = \frac{23 \times 5}{2^3 \times 5^2 \times 5^1} = \frac{115}{2^3 \times 5^3} = \frac{115}{(10)^3} = \frac{115}{1000} = 0.115 \]
(vii) \( \frac{129}{2^2 5^7 7^5} \) का दशमलव प्रसार, असांत आवर्ती है।
(viii) \( \frac{6}{15} \) में, \[ \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \] (1) को 2 से भाग और गुणा करने पर, \[ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0.4 \]
(ix) \( \frac{35}{50} \) में, \[ \frac{35}{50} = \frac{7}{10} = 0.7 \]
(x) \( \frac{77}{210} \) का दशमलव प्रसार असांत-आवर्ती है।In simple words: सांत दशमलव प्रसार वाली परिमेय संख्याओं को बदलने के लिए, हम अंश और हर को इस तरह गुणा करते हैं कि हर 10 की घात बन जाए। फिर, हम दशमलव बिंदु को हर में शून्य की संख्या के अनुसार स्थानांतरित करके दशमलव मान लिखते हैं।

🎯 Exam Tip: सांत दशमलव में बदलने के लिए, हर में \( 2^n \times 5^m \) का रूप सुनिश्चित करें, जहाँ \( n=m \) हो। यदि \( n \neq m \) है, तो कम घात वाले गुणनखंड को बढ़ाकर बराबर करें (जैसे \( 2^3 5^2 \) को \( 2^3 5^3 \) बनाने के लिए 5 से गुणा)।

 

Question 3. कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि वह संख्या

 

Question 3. कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि वह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और \(\frac{P}{q}\) के रूप की है तो \(q\) के अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000
(iii) 43.123456789
Answer:
(i) 43.123456789
चूंकि उक्त दशमलव प्रसार सांत है ।
\( \implies \) इसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
\(43.123456789 = \frac{P}{q}\)
\( \implies \frac{43123456789}{1000000000} = \frac{P}{q}\)
\(q = 1000000000 = (2 \times 5)^9 = 2^9 \times 5^9\)
स्पष्ट है कि \(q\) के अभाज्य गुणनखण्ड \(2^n \times 5^m\) के रूप में हैं।
(ii) 0.120120012000120000...
यह दशमलव प्रसार असांत-अनावर्ती है।
\( \implies \) यह अपरिमेय संख्या को व्यक्त करता है।
(iii) 43.123456789...
दिया गया दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
\( \implies \) यह एक परिमेय संख्या को व्यक्त करता है।
माना \(x = 43.123456789...\) (1)
दोनों ओर 1000000000 से गुणा करने पर,
\(1000000000x = 43123456789.123456789...\) (2)
(2) में से (1) को घटाने पर,
\(1000000000x - x = (43123456789.123456789...)-(43.123456789...)\)
\( = 43123456746\)
\(x = \frac{43123456746}{999999999}\)
\( = \frac{14374485582}{333333333}\) (अंश और हर को 3 से विभाजित करने पर)
\( = \frac{4791495194}{111111111}\) (पुनः अंश और हर को 3 से विभाजित करने पर)
अतः \(\frac{P}{q} = \frac{4791495194}{111111111}\)
यहां \(q = 111111111\), जोकि केवल \(2^m \times 5^n\) के रूप में नहीं है।
In simple words: A terminating decimal can be written as p/q where q has only prime factors 2 and 5. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. A non-terminating but repeating decimal is rational, but its 'q' will have prime factors other than 2 and 5.

🎯 Exam Tip: Understanding the prime factors of the denominator (q) is crucial for classifying decimal expansions as terminating or non-terminating repeating. Pay attention to the type of decimal expansion given.