UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials Ex 21

Ex 2.1 Polynomials अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. यदि बहुपद \(x^2 + x + 1\) के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं तब \(\alpha + \beta\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम जानते हैं कि, किसी द्विघात बहुपद \(ax^2 + bx + c\) के मूलों का योगफल \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\) होता है। दिए गए बहुपद \(x^2 + x + 1\) में, \(a=1\), \(b=1\), और \(c=1\) है। इसलिए, मूलों का योगफल इस प्रकार होगा:
\( \alpha + \beta = -\frac{1}{1} \)
\( \implies \alpha + \beta = -1 \) इस प्रकार, मूलों का योग -1 है, जो बहुपद के गुणांकों से सीधा प्राप्त होता है।
In simple words: दिए गए समीकरण \(x^2 + x + 1\) के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। मूलों का योगफल हमेशा \(-b/a\) होता है। यहाँ \(b=1\) और \(a=1\) है, तो योग \(-1/1 = -1\) होगा।

🎯 Exam Tip: द्विघात समीकरण के मूलों का योग ज्ञात करने के लिए हमेशा सूत्र \(-b/a\) का उपयोग करें, जहाँ \(a\) और \(b\) गुणांक हैं।

Question 2. यदि \(\alpha\), \(\beta\) बहुपद \(x^2 + x + 1\) के मूल हैं तब \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: दिए गए बहुपद \(x^2 + x + 1\) के लिए, हम मूलों का योगफल और गुणनफल ज्ञात करेंगे। गुणांक हैं: \(a=1\), \(b=1\), \(c=1\) मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1 \) मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 \) अब, हमें \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) का मान ज्ञात करना है:
\( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta} \)
\( \implies \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{-1}{1} \)
\( \implies \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = -1 \) यह परिणाम दर्शाता है कि मूलों के व्युत्क्रमों का योग भी बहुपद के गुणांकों से संबंधित है।
In simple words: पहले \(\alpha+\beta\) और \(\alpha\beta\) निकालें। फिर \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) को \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) में बदलें और मान रखें। इस बहुपद के लिए, उत्तर \(-1\) आता है।

🎯 Exam Tip: जब भी व्युत्क्रम मूलों का योग या गुणनफल ज्ञात करना हो, तो दिए गए मूलों के योग और गुणनफल के सूत्रों का उपयोग करें। यह गणना को सरल बनाता है।

Question 3. यदि \(\alpha\), \(\beta\) बहुपद \(4x^2 + 3x + 7\) के मूल हैं तब \(\alpha\beta\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम जानते हैं कि, किसी द्विघात बहुपद \(ax^2 + bx + c\) के मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\) होता है। दिए गए बहुपद \(4x^2 + 3x + 7\) में, \(a=4\), \(b=3\), और \(c=7\) है। इसलिए, मूलों का गुणनफल इस प्रकार होगा:
\( \alpha\beta = \frac{7}{4} \) यह मान सीधे बहुपद के गुणांकों से प्राप्त होता है।
In simple words: बहुपद \(4x^2 + 3x + 7\) में, \(a=4\) और \(c=7\) है। मूलों का गुणनफल निकालने का सूत्र \(c/a\) है। तो, \(\alpha\beta\) का मान \(7/4\) होगा।

🎯 Exam Tip: मूलों का गुणनफल ज्ञात करने के लिए हमेशा सूत्र \(c/a\) का उपयोग करें, जहाँ \(c\) अचर पद और \(a\) \(x^2\) का गुणांक है।

Question 4. यदि \(\alpha\), \(\beta\) बहुपद \(4x^2 + 3x + 7\) के मूल हैं तब \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए बहुपद \(4x^2 + 3x + 7\) के लिए, हम मूलों का योगफल और गुणनफल ज्ञात करेंगे। गुणांक हैं: \(a=4\), \(b=3\), \(c=7\) मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{4} \) मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{7}{4} \) अब, हमें \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) का मान ज्ञात करना है:
\( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta} \)
\( \implies \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{7}{4}} \)
\( \implies \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = -\frac{3}{7} \) इस प्रकार, मूलों के व्युत्क्रमों का योग ज्ञात करने के लिए हम सीधे मूलों के योगफल और गुणनफल का उपयोग कर सकते हैं।
In simple words: पहले बहुपद \(4x^2 + 3x + 7\) के मूलों का योग (\(-\frac{3}{4}\)) और गुणनफल (\(\frac{7}{4}\)) ज्ञात करें। फिर सूत्र \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) का उपयोग करके \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) का मान \(\frac{-3/4}{7/4}\) जो कि \(\frac{-3}{7}\) है, प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, सबसे पहले \(\alpha+\beta\) और \(\alpha\beta\) के मानों की गणना करें। फिर दिए गए व्यंजक को \(\alpha+\beta\) और \(\alpha\beta\) के पदों में व्यक्त करें।

Question 5. यदि \(\alpha\), \(\beta\) बहुपद \(x^2 + 6x + 2\) के मूल हैं तब \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: दिए गए बहुपद \(x^2 + 6x + 2\) के लिए, हम मूलों का योगफल और गुणनफल ज्ञात करेंगे। गुणांक हैं: \(a=1\), \(b=6\), \(c=2\) मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{1} = -6 \) मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2 \) अब, हमें \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) का मान ज्ञात करना है:
\( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta} \)
\( \implies \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{-6}{2} \)
\( \implies \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = -3 \) यह दिखाता है कि मूलों के व्युत्क्रमों का योग भी बहुपद के गुणांकों से संबंधित है।
In simple words: बहुपद \(x^2 + 6x + 2\) में, \(\alpha+\beta = -6\) और \(\alpha\beta = 2\) है। \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) का मान \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) सूत्र से मिलेगा, जो \(\frac{-6}{2} = -3\) है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप \(\alpha+\beta\) और \(\alpha\beta\) के मानों की सही गणना करें, क्योंकि ये आगे की गणना के लिए आधार हैं।

Question 6. यदि \(\alpha\), \(\beta\) बहुपद \(f(x) = x^2 + x - 2\) के मूल हैं तो \(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}\) का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: दिए गए बहुपद \(f(x) = x^2 + x - 2\) के लिए, हम मूलों का योगफल और गुणनफल ज्ञात करेंगे। गुणांक हैं: \(a=1\), \(b=1\), \(c=-2\) मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1 \) मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta = \frac{c}{a} = -\frac{2}{1} = -2 \) हमें \(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}\) का मान ज्ञात करना है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( \frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta} = \frac{\beta - \alpha}{\alpha \beta} \) अब हमें \(\beta - \alpha\) का मान ज्ञात करना होगा। हम जानते हैं कि:
\( (\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \)
\( \implies (\beta - \alpha)^2 = (-1)^2 - 4(-2) \)
\( \implies (\beta - \alpha)^2 = 1 + 8 \)
\( \implies (\beta - \alpha)^2 = 9 \)
\( \implies \beta - \alpha = \sqrt{9} \)
\( \implies \beta - \alpha = 3 \) (हम धनात्मक मान ले रहे हैं) अब \(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}\) का मान ज्ञात करते हैं:
\( \frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta} = \frac{3}{-2} \)
\( \implies \frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta} = -\frac{3}{2} \) इस प्रकार, मूलों के अंतर से संबंधित व्यंजकों को हल करने के लिए वर्ग के सूत्र का उपयोग किया जाता है।
In simple words: पहले \(\alpha+\beta = -1\) और \(\alpha\beta = -2\) निकालें। फिर \(\beta-\alpha\) निकालने के लिए \(( \beta - \alpha )^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\) सूत्र का उपयोग करें, जिससे \(\beta-\alpha = 3\) मिलेगा। अंत में, \(\frac{\beta-\alpha}{\alpha\beta}\) में मान रखकर \(\frac{3}{-2}\) या \(\frac{-3}{2}\) प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: जब \(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}\) जैसे व्यंजक हों, तो \(\beta-\alpha\) या \(\alpha-\beta\) के लिए \((x-y)^2=(x+y)^2-4xy\) सूत्र का उपयोग करें। यह मूलों के बीच के अंतर को कुशलता से निकालने में मदद करता है।

Question 7. यदि \(\alpha\), \(\beta\) द्विघात बहुपद \(f(x) = 6x^2 + x - 2\) के मूल हैं तो \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए बहुपद \(f(x) = 6x^2 + x - 2\) के लिए, हम मूलों का योगफल और गुणनफल ज्ञात करेंगे। गुणांक हैं: \(a=6\), \(b=1\), \(c=-2\) मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{6} \) मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta = \frac{c}{a} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \) हमें \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}\) का मान ज्ञात करना है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} \) अब हमें \(\alpha^2 + \beta^2\) का मान ज्ञात करना होगा। हम जानते हैं कि:
\( \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \)
\( \implies \alpha^2 + \beta^2 = \left(-\frac{1}{6}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{3}\right) \)
\( \implies \alpha^2 + \beta^2 = \frac{1}{36} + \frac{2}{3} \)
\( \implies \alpha^2 + \beta^2 = \frac{1}{36} + \frac{2 \times 12}{3 \times 12} \)
\( \implies \alpha^2 + \beta^2 = \frac{1}{36} + \frac{24}{36} \)
\( \implies \alpha^2 + \beta^2 = \frac{25}{36} \) अब \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}\) का मान ज्ञात करते हैं:
\( \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\frac{25}{36}}{-\frac{1}{3}} \)
\( \implies \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha} = \frac{25}{36} \times \left(-\frac{3}{1}\right) \)
\( \implies \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha} = -\frac{25}{12} \) यह व्यंजक मूलों के वर्गों के योग और गुणनफल पर आधारित होता है।
In simple words: सबसे पहले \(\alpha+\beta = -\frac{1}{6}\) और \(\alpha\beta = -\frac{1}{3}\) निकालें। फिर \(\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) सूत्र का उपयोग करें। \(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\) होता है। मान रखने पर \(\alpha^2+\beta^2 = \frac{25}{36}\) मिलेगा। अंत में, \(\frac{25/36}{-1/3}\) को हल करने पर \(\frac{-25}{12}\) प्राप्त होगा।

🎯 Exam Tip: \(\alpha^2 + \beta^2\) जैसे व्यंजकों को हल करने के लिए हमेशा इसे \((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta\) के रूप में लिखें, क्योंकि इससे सीधे \(\alpha+\beta\) और \(\alpha\beta\) के ज्ञात मानों का उपयोग किया जा सकता है।

Question 8. यदि द्विघात बहुपद \(f(x) = 4x^2 - 5x - 1\) के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं, तो \(\alpha^2\beta + \alpha\beta^2\) का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: दिए गए बहुपद \(f(x) = 4x^2 - 5x - 1\) के लिए, हम मूलों का योगफल और गुणनफल ज्ञात करेंगे। गुणांक हैं: \(a=4\), \(b=-5\), \(c=-1\) मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{(-5)}{4} = \frac{5}{4} \) मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta = \frac{c}{a} = -\frac{1}{4} \) हमें \(\alpha^2\beta + \alpha\beta^2\) का मान ज्ञात करना है। इस व्यंजक को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है:
\( \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta) \) अब हम ज्ञात मानों को इस व्यंजक में रखेंगे:
\( \implies \alpha\beta(\alpha + \beta) = \left(-\frac{1}{4}\right)\left(\frac{5}{4}\right) \)
\( \implies \alpha\beta(\alpha + \beta) = -\frac{5}{16} \) यह विधि, सामान्य गुणनखंडन के सिद्धांत का उपयोग करके, व्यंजकों को हल करने में सहायक है।
In simple words: पहले बहुपद \(4x^2 - 5x - 1\) के लिए \(\alpha+\beta = 5/4\) और \(\alpha\beta = -1/4\) ज्ञात करें। फिर \(\alpha^2\beta + \alpha\beta^2\) को \(\alpha\beta(\alpha + \beta)\) के रूप में लिखें। मान रखने पर \((-1/4) \times (5/4) = -5/16\) प्राप्त होगा।

🎯 Exam Tip: जब भी \(\alpha^2\beta + \alpha\beta^2\) जैसा व्यंजक मिले, तो सबसे पहले सामान्य पद \(\alpha\beta\) को उभयनिष्ठ लेकर गुणनखंडित करें, ताकि गणना सरल हो जाए।

Question 9. यदि \(\alpha\), \(\beta\) बहुपद \(f(x) = x^2 - p(x + 1) - c\) के मूल हैं तब \((\alpha + 1)(\beta + 1)\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: सबसे पहले, दिए गए बहुपद \(f(x) = x^2 - p(x + 1) - c\) को मानक द्विघात रूप \(Ax^2 + Bx + C\) में पुनर्व्यवस्थित करें।
\( f(x) = x^2 - px - p - c \)
\( f(x) = x^2 - px - (p + c) \) अब, गुणांकों की तुलना करने पर: \(A=1\), \(B=-p\), \(C=-(p+c)\) मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta = -\frac{B}{A} = -\frac{(-p)}{1} = p \) मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta = \frac{C}{A} = \frac{-(p+c)}{1} = -(p+c) \) अब हमें \((\alpha + 1)(\beta + 1)\) का मान ज्ञात करना है। इसे विस्तारित करने पर:
\( (\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 \) ज्ञात मानों को इस व्यंजक में रखेंगे:
\( \implies (\alpha + 1)(\beta + 1) = -(p+c) + p + 1 \)
\( \implies (\alpha + 1)(\beta + 1) = -p - c + p + 1 \)
\( \implies (\alpha + 1)(\beta + 1) = 1 - c \) इस तरह के प्रश्नों में, बहुपद को मानक रूप में बदलना पहला महत्वपूर्ण कदम है।
In simple words: पहले बहुपद \(x^2 - p(x + 1) - c\) को \(x^2 - px - (p+c)\) में बदलें। फिर \(\alpha+\beta = p\) और \(\alpha\beta = -(p+c)\) निकालें। अब \((\alpha+1)(\beta+1)\) को \(\alpha\beta + \alpha + \beta + 1\) के रूप में विस्तारित करें। मान रखने पर \(1-c\) उत्तर मिलेगा।

🎯 Exam Tip: जब बहुपद मानक रूप में न दिया गया हो, तो हमेशा उसे पहले \(ax^2 + bx + c\) के रूप में व्यवस्थित करें ताकि \(a, b, c\) के मान सही ढंग से पहचाने जा सकें।

Question 10. यदि \(\alpha\), \(\beta\) बहुपद \(x^2 - p(x + 1) - c\) के मूल हैं तथा \((\alpha + 1)(\beta + 1) = 0\), तब \(c\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: प्रश्न 9 से, हम पहले ही \((\alpha + 1)(\beta + 1)\) का मान ज्ञात कर चुके हैं:
\( (\alpha + 1)(\beta + 1) = 1 - c \) प्रश्न के अनुसार, दिया गया है कि \((\alpha + 1)(\beta + 1) = 0\)। अब, हम इन दोनों समीकरणों को बराबर रखेंगे:
\( 1 - c = 0 \)
\( \implies c = 1 \) यह दर्शाता है कि एक अतिरिक्त शर्त का उपयोग करके एक अज्ञात गुणांक का मान कैसे ज्ञात किया जा सकता है।
In simple words: हमने पिछले प्रश्न में देखा कि \((\alpha + 1)(\beta + 1)\) का मान \(1-c\) होता है। इस प्रश्न में दिया है कि \((\alpha + 1)(\beta + 1) = 0\)। तो, \(1-c = 0\), जिसका मतलब है \(c = 1\)।

🎯 Exam Tip: यदि किसी प्रश्न में पिछले प्रश्न का परिणाम उपयोग किया जाना है, तो सीधे उस परिणाम का संदर्भ लें, बजाय पूरी गणना दोहराने के। यह समय बचाता है।

Question 11. बहुपद \(x^2 + \frac{1}{6} x - 2\) के मूल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए बहुपद के मूल ज्ञात करने के लिए, हम इसे शून्य के बराबर रखेंगे और \(x\) के लिए हल करेंगे। बहुपद है: \( x^2 + \frac{1}{6} x - 2 \) मूल ज्ञात करने के लिए: \( x^2 + \frac{1}{6} x - 2 = 0 \) भिन्न को हटाने के लिए, पूरे समीकरण को 6 से गुणा करें:
\( 6x^2 + x - 12 = 0 \) अब, हम मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंडन करेंगे। हमें ऐसे दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल \(6 \times (-12) = -72\) हो और योग 1 हो। ये संख्याएँ 9 और -8 हैं।
\( 6x^2 + 9x - 8x - 12 = 0 \)
पहले दो पदों में से \(3x\) और अगले दो पदों में से \(-4\) उभयनिष्ठ लें:
\( 3x(2x + 3) - 4(2x + 3) = 0 \)
अब, \((2x + 3)\) को उभयनिष्ठ लें:
\( (2x + 3)(3x - 4) = 0 \) मूल ज्ञात करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें:
\( 2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2} \)
\( 3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} \) इस प्रकार, बहुपद के मूल \(-\frac{3}{2}\) और \(\frac{4}{3}\) हैं। गुणनखंडन विधि बहुपद के मूल ज्ञात करने का एक प्रभावी तरीका है।
In simple words: पहले समीकरण को \(6x^2 + x - 12 = 0\) में बदलें। फिर इसे गुणनखंडित करें: \(3x(2x+3) - 4(2x+3) = 0\), जो \((2x+3)(3x-4)=0\) बनता है। इससे मूल \(x = -3/2\) और \(x = 4/3\) मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: भिन्नों वाले द्विघात समीकरण को हल करते समय, पहले पूरी समीकरण को उपयुक्त संख्या से गुणा करके भिन्नों को हटा दें ताकि गणना आसान हो जाए।

Question 12. यदि एक द्विघातीय बहुपद \(kx^2 + 3x + k\) का एक मूल 2 है तब \(k\) का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: यदि किसी बहुपद का एक मूल दिया गया हो, तो उस मूल को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है। दिए गए बहुपद \(f(x) = kx^2 + 3x + k\) का एक मूल 2 है। इसलिए, हम \(x\) के स्थान पर 2 रखेंगे और समीकरण को शून्य के बराबर करेंगे:
\( k(2)^2 + 3(2) + k = 0 \)
\( \implies 4k + 6 + k = 0 \)
\( \implies 5k + 6 = 0 \)
\( \implies 5k = -6 \)
\( \implies k = -\frac{6}{5} \) इस विधि का उपयोग करके, हम दिए गए मूल के आधार पर किसी अज्ञात गुणांक का मान ज्ञात कर सकते हैं।
In simple words: क्योंकि 2 एक मूल है, \(x\) की जगह 2 रखने पर समीकरण शून्य हो जाएगी। \(k(2)^2 + 3(2) + k = 0\) को हल करें, जिससे \(4k + 6 + k = 0\), \(5k = -6\) और अंत में \(k = -6/5\) मिलेगा।

🎯 Exam Tip: जब भी किसी बहुपद का एक मूल दिया हो और किसी गुणांक का मान पूछा जाए, तो उस मूल के मान को बहुपद में सीधे प्रतिस्थापित करके समीकरण को शून्य के बराबर रखें।

Question 13. एक द्विघातीय बहुपद \(x^2 + kx + k\), \(k >0\) के मूलों का चिह्न ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए बहुपद \(x^2 + kx + k\) के मूलों का चिह्न ज्ञात करने के लिए, हमें विविक्तकर (discriminant) और मूलों के योगफल और गुणनफल का विश्लेषण करना होगा। यहाँ, \(a=1\), \(b=k\), \(c=k\) है। विविक्तकर \(D = b^2 - 4ac\)
\( D = k^2 - 4(1)(k) \)
\( D = k^2 - 4k \)
\( D = k(k-4) \) चूंकि \(k>0\) है: 1. **यदि \(0 < k < 4\)**: \(k\) धनात्मक है, लेकिन \((k-4)\) ऋणात्मक है। इसलिए, \(D = k(k-4) < 0\)। इस स्थिति में, मूल अवास्तविक (complex) होते हैं। 2. **यदि \(k = 4\)**: \(D = 4(4-4) = 0\)। इस स्थिति में, मूल वास्तविक और समान होते हैं। मूल होंगे: \(x = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2(1)} = -2\)। दोनों मूल ऋणात्मक हैं। 3. **यदि \(k > 4\)**: \(k\) धनात्मक है और \((k-4)\) भी धनात्मक है। इसलिए, \(D = k(k-4) > 0\)। इस स्थिति में, मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{k}{1} = -k \) मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{k}{1} = k \) चूंकि \(k>0\), तो \(\alpha\beta > 0\) (मूलों का गुणनफल धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि दोनों मूलों का चिह्न समान है)। चूंकि \(k>0\), तो \(\alpha + \beta = -k < 0\) (मूलों का योगफल ऋणात्मक है)। दोनों स्थितियों से पता चलता है कि दोनों मूल ऋणात्मक होंगे। अतः, यदि \(0 < k < 4\), तो मूल अवास्तविक होंगे। यदि \(k \ge 4\), तो मूल वास्तविक और ऋणात्मक होंगे। यह मूलों की प्रकृति को समझने में मदद करता है।
In simple words: मूलों का चिह्न जानने के लिए विविक्तकर \(D = k(k-4)\) देखें। अगर \(00\) हैं), जिसका मतलब है कि मूल वास्तविक और ऋणात्मक होंगे।

🎯 Exam Tip: मूलों का चिह्न और प्रकृति ज्ञात करने के लिए, हमेशा विविक्तकर (\(D=b^2-4ac\)), मूलों का योगफल (\(-b/a\)), और मूलों का गुणनफल (\(c/a\)) इन तीनों का विश्लेषण करें।

Ex 2.1 Polynomials लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 14. बहुपद \(f(x) = 2x^2 + 5x - 12\) के मूल ज्ञात कीजिए तथा इसके मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए।
Answer: दिए गए बहुपद \(f(x) = 2x^2 + 5x - 12\) के मूल ज्ञात करने के लिए, हम इसे शून्य के बराबर करेंगे और गुणनखंडन विधि का उपयोग करेंगे। \( 2x^2 + 5x - 12 = 0 \) मध्य पद को विभाजित करें: हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल \(2 \times (-12) = -24\) हो और योग 5 हो। ये संख्याएँ 8 और -3 हैं।
\( 2x^2 + 8x - 3x - 12 = 0 \)
\( 2x(x + 4) - 3(x + 4) = 0 \)
\( (x + 4)(2x - 3) = 0 \) मूल ज्ञात करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें:
\( x + 4 = 0 \implies x = -4 \)
\( 2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \) इस प्रकार, बहुपद के मूल -4 और \(\frac{3}{2}\) हैं। **सत्यापन:** मूलों और गुणांकों के बीच संबंध का सत्यापन करते हैं। बहुपद \(2x^2 + 5x - 12\) में, \(a=2\), \(b=5\), \(c=-12\)। मूल \(\alpha = -4\) और \(\beta = \frac{3}{2}\) हैं। 1. **मूलों का योगफल:** \( \alpha + \beta = -4 + \frac{3}{2} = -\frac{8}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{5}{2} \) सूत्र से मूलों का योगफल: \( -\frac{b}{a} = -\frac{5}{2} \) दोनों मान समान हैं, अतः सत्यापन सही है। 2. **मूलों का गुणनफल:** \( \alpha \beta = (-4) \times \left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{12}{2} = -6 \) सूत्र से मूलों का गुणनफल: \( \frac{c}{a} = \frac{-12}{2} = -6 \) दोनों मान समान हैं, अतः सत्यापन सही है। सत्यापन से पुष्टि होती है कि मूल सही हैं और गुणांकों के साथ उनके संबंध भी सही हैं।
In simple words: पहले बहुपद \(2x^2 + 5x - 12\) को गुणनखंडित करें, जिससे मूल \(-4\) और \(\frac{3}{2}\) मिलेंगे। फिर, मूलों के योगफल (\(-\frac{5}{2}\)) और गुणनफल (\(-6\)) की गणना करें। गुणांकों से प्राप्त सूत्र \(-b/a\) और \(c/a\) के मानों से इनकी तुलना करें। यदि दोनों बराबर हैं, तो सत्यापन सही है।

🎯 Exam Tip: मूलों को ज्ञात करने के बाद, हमेशा मूलों के योगफल और गुणनफल का उपयोग करके अपने उत्तर का सत्यापन करें। यह सुनिश्चित करता है कि आपकी गणना सही है।

Question 15. यदि बहुपद \(f(x) = ax^2 - 6x + 4\) के मूलों का गुणनफल 4 है तो \(a\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए बहुपद \(f(x) = ax^2 - 6x + 4\) के लिए, मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\) होता है। यहाँ, \(a\) \(x^2\) का गुणांक है, \(b=-6\) \(x\) का गुणांक है, और \(c=4\) अचर पद है। प्रश्न के अनुसार, मूलों का गुणनफल 4 दिया गया है। तो, हम सूत्र का उपयोग करके \(a\) का मान ज्ञात कर सकते हैं:
\( \alpha\beta = \frac{c}{a} \)
\( \implies 4 = \frac{4}{a} \)
\( \implies 4a = 4 \)
\( \implies a = \frac{4}{4} \)
\( \implies a = 1 \) इस प्रकार, अज्ञात गुणांक \(a\) का मान 1 है। यह विधि अज्ञात गुणांकों को ज्ञात करने में उपयोगी है।
In simple words: बहुपद \(ax^2 - 6x + 4\) में, मूलों का गुणनफल \(c/a = 4/a\) होता है। क्योंकि गुणनफल 4 दिया गया है, \(4/a = 4\) होगा। इसे हल करने पर \(a = 1\) मिलेगा।

🎯 Exam Tip: मूलों के योगफल या गुणनफल से संबंधित अज्ञात गुणांकों वाले प्रश्नों में, बस दिए गए सूत्र में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें और अज्ञात चर के लिए हल करें।

Question 16. द्विघात बहुपद \(f(x) = 6x^2 - 3\) के मूल ज्ञात कीजिए तथा मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए।
Answer: दिए गए बहुपद \(f(x) = 6x^2 - 3\) के मूल ज्ञात करने के लिए, हम इसे शून्य के बराबर करेंगे। \( 6x^2 - 3 = 0 \)
\( \implies 6x^2 = 3 \)
\( \implies x^2 = \frac{3}{6} \)
\( \implies x^2 = \frac{1}{2} \)
\( \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \)
\( \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \) इस प्रकार, बहुपद के मूल \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) और \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) हैं। **सत्यापन:** मूलों और गुणांकों के बीच संबंध का सत्यापन करते हैं। बहुपद \(6x^2 - 3\) में, \(a=6\), \(b=0\) (क्योंकि \(x\) का कोई पद नहीं है), \(c=-3\)। मूल \(\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}\) और \(\beta = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) हैं। 1. **मूलों का योगफल:** \( \alpha + \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 0 \) सूत्र से मूलों का योगफल: \( -\frac{b}{a} = -\frac{0}{6} = 0 \) दोनों मान समान हैं, अतः सत्यापन सही है। 2. **मूलों का गुणनफल:** \( \alpha \beta = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{2} \) सूत्र से मूलों का गुणनफल: \( \frac{c}{a} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \) दोनों मान समान हैं, अतः सत्यापन सही है। सत्यापन से पुष्टि होती है कि मूल सही हैं और गुणांकों के साथ उनके संबंध भी सही हैं।
In simple words: बहुपद \(6x^2 - 3 = 0\) को हल करने पर, \(x^2 = 1/2\) मिलता है, जिससे मूल \(\pm 1/\sqrt{2}\) होते हैं। सत्यापन के लिए, मूलों का योग (\(0\)) और गुणनफल (\(-1/2\)) ज्ञात करें। फिर सूत्र \(-b/a\) और \(c/a\) के मानों (जो \(0\) और \(-1/2\) हैं) से तुलना करें।

🎯 Exam Tip: ऐसे बहुपदों में जहाँ \(x\) का पद अनुपस्थित हो (\(b=0\)), मूल हमेशा एक दूसरे के ऋणात्मक होते हैं (जैसे \(\pm p\))।

Question 17. निम्न प्रत्येक बहुपदों के मूल ज्ञात कीजिए तथा इनके मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए।
(i) \(f_1(x) = x^2 - 2x - 8\)
(ii) \(f_2(x) = 4x^2 - 4x + 1\)
(iii) \(f_3(x) = x^2 - 15\)
Answer:**(i) बहुपद \(f_1(x) = x^2 - 2x - 8\)** मूल ज्ञात करने के लिए, \(x^2 - 2x - 8 = 0\) को गुणनखंडित करें। हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल \(-8\) हो और योग \(-2\) हो। ये संख्याएँ \(-4\) और \(2\) हैं।
\( x^2 - 4x + 2x - 8 = 0 \)
\( x(x - 4) + 2(x - 4) = 0 \)
\( (x - 4)(x + 2) = 0 \) मूल हैं: \( x - 4 = 0 \implies x = 4 \)
\( x + 2 = 0 \implies x = -2 \) तो, मूल 4 और -2 हैं। **सत्यापन:** बहुपद \(x^2 - 2x - 8\) में, \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-8\)। मूल \(\alpha = 4\) और \(\beta = -2\) हैं। **मूलों का योगफल:** \( \alpha + \beta = 4 + (-2) = 2 \) सूत्र से: \( -\frac{b}{a} = -\frac{(-2)}{1} = 2 \) **मूलों का गुणनफल:** \( \alpha \beta = 4 \times (-2) = -8 \) सूत्र से: \( \frac{c}{a} = \frac{-8}{1} = -8 \) दोनों संबंध सही हैं। **(ii) बहुपद \(f_2(x) = 4x^2 - 4x + 1\)** मूल ज्ञात करने के लिए, \(4x^2 - 4x + 1 = 0\) को गुणनखंडित करें। यह एक पूर्ण वर्ग है: \((2x)^2 - 2(2x)(1) + (1)^2 = (2x - 1)^2\)
\( (2x - 1)(2x - 1) = 0 \) मूल हैं: \( 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \) (दो बार) तो, मूल \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{2}\) हैं। **सत्यापन:** बहुपद \(4x^2 - 4x + 1\) में, \(a=4\), \(b=-4\), \(c=1\)। मूल \(\alpha = \frac{1}{2}\) और \(\beta = \frac{1}{2}\) हैं। **मूलों का योगफल:** \( \alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \) सूत्र से: \( -\frac{b}{a} = -\frac{(-4)}{4} = 1 \) **मूलों का गुणनफल:** \( \alpha \beta = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \) सूत्र से: \( \frac{c}{a} = \frac{1}{4} \) दोनों संबंध सही हैं। **(iii) बहुपद \(f_3(x) = x^2 - 15\)** मूल ज्ञात करने के लिए, \(x^2 - 15 = 0\) को हल करें।
\( x^2 = 15 \)
\( x = \pm \sqrt{15} \) तो, मूल \(\sqrt{15}\) और \(-\sqrt{15}\) हैं। **सत्यापन:** बहुपद \(x^2 - 15\) में, \(a=1\), \(b=0\), \(c=-15\)। मूल \(\alpha = \sqrt{15}\) और \(\beta = -\sqrt{15}\) हैं। **मूलों का योगफल:** \( \alpha + \beta = \sqrt{15} + (-\sqrt{15}) = 0 \) सूत्र से: \( -\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0 \) **मूलों का गुणनफल:** \( \alpha \beta = \sqrt{15} \times (-\sqrt{15}) = -15 \) सूत्र से: \( \frac{c}{a} = \frac{-15}{1} = -15 \) दोनों संबंध सही हैं। ये तीनों उदाहरण दिखाते हैं कि मूलों की प्रकृति और उनके गुणांकों से संबंध को कैसे सत्यापित किया जा सकता है।
In simple words: तीनों बहुपदों के लिए, पहले उन्हें गुणनखंडित करके (या सीधे हल करके) मूल ज्ञात करें। फिर, प्रत्येक के लिए मूलों का योग और गुणनफल निकालें। अंत में, इन मानों की तुलना \( -b/a \) और \( c/a \) सूत्रों से करें ताकि सत्यापन हो सके।

🎯 Exam Tip: गुणनखंडन विधि का उपयोग तब करें जब द्विघात बहुपद आसानी से गुणनखंडित हो सके। यदि यह एक पूर्ण वर्ग है, तो उसे पहचानें। यदि अचर पद नहीं है, तो \(x\) को उभयनिष्ठ लें।

Question 18. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूल बहुपद \(f(x) = ax^2 + bx + c\), \(a \ne 0, c \ne 0\) के मूलों के व्युत्क्रम हैं।
Answer: मान लीजिए दिए गए बहुपद \(f(x) = ax^2 + bx + c\) के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। तो, मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \) और मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \) हमें एक नया द्विघात बहुपद ज्ञात करना है जिसके मूल दिए गए बहुपद के मूलों के व्युत्क्रम हैं, यानी \(\frac{1}{\alpha}\) और \(\frac{1}{\beta}\)। नए बहुपद के मूलों का योगफल: \( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta} \) ज्ञात मानों को रखने पर:
\( \implies \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} \)
\( \implies \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = -\frac{b}{c} \) नए बहुपद के मूलों का गुणनफल: \( \frac{1}{\alpha} \times \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} \) ज्ञात मान को रखने पर:
\( \implies \frac{1}{\alpha} \times \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\frac{c}{a}} \)
\( \implies \frac{1}{\alpha} \times \frac{1}{\beta} = \frac{a}{c} \) एक द्विघात बहुपद का सामान्य रूप है: \( x^2 - (\text{मूलों का योगफल})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0 \) नए बहुपद के लिए:
\( x^2 - \left(-\frac{b}{c}\right)x + \frac{a}{c} = 0 \)
\( \implies x^2 + \frac{b}{c}x + \frac{a}{c} = 0 \) पूरे समीकरण को \(c\) से गुणा करने पर (चूंकि \(c \ne 0\)):
\( cx^2 + bx + a = 0 \) इस प्रकार, नए बहुपद के गुणांक पुराने बहुपद के गुणांकों के विपरीत क्रम में होते हैं।
In simple words: यदि मूल \(\alpha, \beta\) हैं, तो व्युत्क्रम मूल \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\) होंगे। नए मूलों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-b/a}{c/a} = -b/c\) होगा। गुणनफल \(\frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{c/a} = a/c\) होगा। तो, नया बहुपद \(x^2 - (-b/c)x + a/c = 0\) या \(cx^2 + bx + a = 0\) होगा।

🎯 Exam Tip: जब मूल व्युत्क्रम हों, तो नए बहुपद के गुणांक मूल बहुपद के गुणांकों के विपरीत क्रम में होते हैं। यानि यदि मूल बहुपद \(ax^2+bx+c\) है, तो व्युत्क्रम मूलों वाला बहुपद \(cx^2+bx+a\) होगा।

Ex 2.1 Polynomials दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 19. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके मूलों का योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं-
(i) 1, 1
(ii) \(\frac{1}{4}\), -1
(iii) 4, 1
Answer: एक द्विघात बहुपद ज्ञात करने का सामान्य सूत्र है: \( x^2 - (\text{मूलों का योगफल})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0 \) इस सूत्र का उपयोग करके हम प्रत्येक स्थिति के लिए बहुपद ज्ञात करेंगे। **(i) मूलों का योगफल = 1, मूलों का गुणनफल = 1**
\( x^2 - (1)x + 1 = 0 \)
\( \implies x^2 - x + 1 = 0 \) यह बहुपद दिए गए योगफल और गुणनफल के साथ संगत है। **(ii) मूलों का योगफल = \(\frac{1}{4}\), मूलों का गुणनफल = -1**
\( x^2 - \left(\frac{1}{4}\right)x + (-1) = 0 \)
\( \implies x^2 - \frac{1}{4}x - 1 = 0 \) पूरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर, हमें एक पूर्णांक गुणांकों वाला बहुपद मिल सकता है:
\( 4x^2 - x - 4 = 0 \) यह बहुपद दिए गए योगफल और गुणनफल के साथ संगत है। **(iii) मूलों का योगफल = 4, मूलों का गुणनफल = 1**
\( x^2 - (4)x + 1 = 0 \)
\( \implies x^2 - 4x + 1 = 0 \) यह बहुपद भी दिए गए योगफल और गुणनफल के साथ संगत है। इन सभी मामलों में, मूलों के योगफल और गुणनफल का सीधा उपयोग करके द्विघात बहुपद प्राप्त किया जा सकता है।
In simple words: द्विघात बहुपद का सूत्र \(x^2 - (\text{योगफल})x + (\text{गुणनफल}) = 0\) होता है। हर भाग में दिए गए योगफल और गुणनफल को सूत्र में रखें और बहुपद प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: इस सूत्र को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है। यदि आपको भिन्नात्मक गुणांक मिलते हैं, तो आप समीकरण को उचित संख्या से गुणा करके पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपद में बदल सकते हैं, जैसा कि भाग (ii) में किया गया है।

Question 20. द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूलों का योग 8 तथा गुणनफल 12 है। यहाँ बहुपद के मूलों को ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें मूलों का योगफल और गुणनफल दिया गया है। मूलों का योगफल \((\alpha + \beta) = 8\) मूलों का गुणनफल \((\alpha \beta) = 12\) पहले द्विघात बहुपद ज्ञात करते हैं। इसका सूत्र है: \( x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 \) मान रखने पर:
\( x^2 - (8)x + 12 = 0 \)
\( \implies x^2 - 8x + 12 = 0 \) यह बहुपद है। अब, हम इस बहुपद के मूल ज्ञात करेंगे। मूल ज्ञात करने के लिए, हम इसे गुणनखंडित करेंगे। हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल 12 हो और योग -8 हो। ये संख्याएँ -6 और -2 हैं।
\( x^2 - 6x - 2x + 12 = 0 \)
\( x(x - 6) - 2(x - 6) = 0 \)
\( (x - 6)(x - 2) = 0 \) मूल ज्ञात करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें:
\( x - 6 = 0 \implies x = 6 \)
\( x - 2 = 0 \implies x = 2 \) इस प्रकार, बहुपद \(x^2 - 8x + 12\) के मूल 6 और 2 हैं। यह दर्शाता है कि बहुपद से मूलों को कैसे प्राप्त किया जा सकता है।
In simple words: मूलों का योग 8 और गुणनफल 12 है। इससे बहुपद \(x^2 - 8x + 12 = 0\) बनता है। इसे गुणनखंडित करके \((x-6)(x-2)=0\) मिलता है, जिससे मूल \(x=6\) और \(x=2\) होते हैं।

🎯 Exam Tip: जब आपको बहुपद ज्ञात करने और फिर उसके मूल निकालने के लिए कहा जाए, तो हमेशा पहले बहुपद को सही ढंग से लिखें, फिर गुणनखंडन या अन्य उपयुक्त विधि से मूलों की गणना करें।

Question 21. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके मूलों का योग -5 तथा गुणनफल 6 है। यहाँ बहुपद के मूलों को ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें मूलों का योगफल और गुणनफल दिया गया है। मूलों का योगफल \((\alpha + \beta) = -5\) मूलों का गुणनफल \((\alpha \beta) = 6\) पहले द्विघात बहुपद ज्ञात करते हैं। इसका सूत्र है: \( x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 \) मान रखने पर:
\( x^2 - (-5)x + 6 = 0 \)
\( \implies x^2 + 5x + 6 = 0 \) यह बहुपद है। अब, हम इस बहुपद के मूल ज्ञात करेंगे। मूल ज्ञात करने के लिए, हम इसे गुणनखंडित करेंगे। हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल 6 हो और योग 5 हो। ये संख्याएँ 3 और 2 हैं।
\( x^2 + 3x + 2x + 6 = 0 \)
\( x(x + 3) + 2(x + 3) = 0 \)
\( (x + 3)(x + 2) = 0 \) मूल ज्ञात करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें:
\( x + 3 = 0 \implies x = -3 \)
\( x + 2 = 0 \implies x = -2 \) इस प्रकार, बहुपद \(x^2 + 5x + 6\) के मूल -3 और -2 हैं। यह दर्शाता है कि बहुपद से मूलों को कैसे प्राप्त किया जा सकता है।
In simple words: मूलों का योग -5 और गुणनफल 6 है। इससे बहुपद \(x^2 - (-5)x + 6 = 0\) यानी \(x^2 + 5x + 6 = 0\) बनता है। इसे गुणनखंडित करने पर \((x+3)(x+2)=0\) मिलता है, जिससे मूल \(x=-3\) और \(x=-2\) होते हैं।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक योगफल वाले बहुपदों को गुणनखंडित करते समय, ध्यान दें कि मध्य पद को विभाजित करने वाली संख्याएँ भी ऋणात्मक हो सकती हैं या उनके चिह्न विपरीत हो सकते हैं।

Question 22. एक द्विघातीय बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूल 5 और -3 हैं।
Answer: हमें मूल दिए गए हैं: \(\alpha = 5\) और \(\beta = -3\)। पहले मूलों का योगफल और गुणनफल ज्ञात करेंगे। मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta = 5 + (-3) = 2 \) मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta = 5 \times (-3) = -15 \) अब, द्विघात बहुपद के सूत्र का उपयोग करेंगे: \( x^2 - (\text{मूलों का योगफल})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0 \) मान रखने पर:
\( x^2 - (2)x + (-15) = 0 \)
\( \implies x^2 - 2x - 15 = 0 \) यह बहुपद है जिसके मूल 5 और -3 हैं। इस प्रकार, मूलों से सीधे बहुपद बनाना संभव है।
In simple words: दिए गए मूल 5 और -3 हैं। उनका योग \(5+(-3)=2\) है और गुणनफल \(5 \times (-3)=-15\) है। बहुपद का सूत्र \(x^2 - (\text{योगफल})x + (\text{गुणनफल})=0\) में मान रखने पर \(x^2 - 2x - 15 = 0\) मिलेगा।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि मूलों के योगफल और गुणनफल की गणना करते समय चिह्नों का ध्यान रखें, खासकर जब मूलों में ऋणात्मक संख्याएँ हों।

Question 23. एक द्विघातीय बहुपद के मूलों का योगफल तथा मूलों का गुणनफल क्रमशः 3 और -10 हैं तब द्विघातीय बहुपद ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें मूलों का योगफल और गुणनफल दिया गया है। मूलों का योगफल \((\alpha + \beta) = 3\) मूलों का गुणनफल \((\alpha \beta) = -10\) द्विघात बहुपद के सूत्र का उपयोग करेंगे: \( x^2 - (\text{मूलों का योगफल})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0 \) मान रखने पर:
\( x^2 - (3)x + (-10) = 0 \)
\( \implies x^2 - 3x - 10 = 0 \) यह आवश्यक बहुपद है। यह दर्शाता है कि दिए गए योगफल और गुणनफल से सीधे बहुपद का निर्माण कैसे किया जाता है।
In simple words: मूलों का योग 3 और गुणनफल -10 है। द्विघात बहुपद के सूत्र \(x^2 - (\text{योगफल})x + (\text{गुणनफल})=0\) में ये मान रखने पर \(x^2 - 3x - 10 = 0\) मिलेगा।

🎯 Exam Tip: मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होने पर, बहुपद में अचर पद भी ऋणात्मक होता है। हमेशा चिह्नों पर विशेष ध्यान दें।

Question 24. यदि \(\alpha\), \(\beta\) एक बहुपद के मूल हैं तथा \(\alpha + \beta = 6\) और \(\alpha\beta = 4\) है तो बहुपद लिखिए ।
Answer: हमें मूलों का योगफल और गुणनफल सीधे दिया गया है। मूलों का योगफल \((\alpha + \beta) = 6\) मूलों का गुणनफल \((\alpha \beta) = 4\) द्विघात बहुपद के सूत्र का उपयोग करेंगे: \( x^2 - (\text{मूलों का योगफल})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0 \) मान रखने पर:
\( x^2 - (6)x + 4 = 0 \)
\( \implies x^2 - 6x + 4 = 0 \) यह आवश्यक बहुपद है। इस प्रकार, योगफल और गुणनफल के सीधे मानों से बहुपद प्राप्त किया जा सकता है।
In simple words: मूलों का योग 6 और गुणनफल 4 दिया गया है। बहुपद का सूत्र \(x^2 - (\text{योगफल})x + (\text{गुणनफल})=0\) होता है। इसमें मान रखने पर \(x^2 - 6x + 4 = 0\) प्राप्त होगा।

🎯 Exam Tip: यह सूत्र बहुपद से संबंधित कई समस्याओं को हल करने का आधार है, जिसमें मूलों के गुण दिए गए होते हैं। इसे अच्छी तरह याद रखें।