UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 2 Polynomials Ex 22

Ex 2.2 Polynomials अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. यदि \( \alpha, \beta, \gamma \) बहुपद \( 2x^3 + x^2 – 13x + 16 \) के मूल हैं, तब \( \alpha \beta \gamma \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि \( 2x^3 + x^2 – 13x + 16 \) के मूल \( \alpha, \beta, \gamma \) हैं, तो मूलों का गुणनफल \( ( \alpha \cdot \beta \cdot \gamma ) \) \( = \frac{-d}{a} \)
यहां \( a = 2, b = 1, c = -13, d = 16 \) है।
इसलिए, \( \alpha \cdot \beta \cdot \gamma = \frac{-16}{2} = -8 \)
In simple words: किसी बहुपद के मूलों का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम अंतिम पद को पहले पद के गुणांक से भाग देते हैं और ऋणात्मक चिन्ह लगाते हैं. यह एक आसान तरीका है मूलों को गुणा करने का.

🎯 Exam Tip: त्रिघात बहुपद के मूलों के गुणनफल का सूत्र \( \frac{-d}{a} \) याद रखें, जहां d अचर पद और a \( x^3 \) का गुणांक है।

Question 2. यदि त्रिघात बहुपद \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) के दो मूल 0 हैं तब तीसरा मूल ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि त्रिघात बहुपद \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) के दो मूल \( \alpha \) और \( \beta \) शून्य हैं (यानी \( \alpha = 0, \beta = 0 \)), तो तीसरा मूल \( \gamma \) ज्ञात करने के लिए, हम मूलों के योगफल का सूत्र उपयोग करेंगे।
मूलों का योगफल \( ( \alpha + \beta + \gamma ) = \frac{-b}{a} \)
यहाँ, \( 0 + 0 + \gamma = \frac{-b}{a} \)
\( \implies \gamma = \frac{-b}{a} \)
अतः, तीसरा मूल \( \gamma = \frac{-b}{a} \) है। एक बहुपद के गुणांकों से उसके मूलों के बारे में कई जानकारी मिलती है।
In simple words: अगर एक बहुपद के दो मूल शून्य हैं, तो तीसरा मूल पता करने के लिए हम मूलों के योगफल का सूत्र इस्तेमाल करते हैं. योगफल का सूत्र \( \frac{-b}{a} \) होता है, और क्योंकि दो मूल शून्य हैं, तीसरा मूल सीधे \( \frac{-b}{a} \) के बराबर हो जाता है.

🎯 Exam Tip: जब दो मूल शून्य हों, तो \( x^2 \) और \( x \) वाले पद शून्य हो जाते हैं, जिससे \( x^3 \) और अचर पद बचते हैं, लेकिन यहां \( x^2 \) का गुणांक \( b \) ही तीसरे मूल का संकेत देता है।

Question 3. यदि बहुपद \( 3x^3 + 5x^2 – 7x – 27 \) के दो मूलों का गुणनफल 3 है, तब तीसरा मूल ज्ञात कीजिए।
Answer: बहुपद \( 3x^3 + 5x^2 – 7x – 27 \) के दो मूलों का गुणनफल 3 दिया गया है।
माना बहुपद के मूल \( \alpha, \beta, \gamma \) हैं।
हमें दिया गया है कि \( \alpha \cdot \beta = 3 \)। हमें तीसरा मूल \( \gamma \) ज्ञात करना है।
त्रिघात बहुपद के मूलों के गुणनफल का सूत्र है: \( \alpha \cdot \beta \cdot \gamma = \frac{-d}{a} \)
यहां बहुपद में \( a = 3, b = 5, c = -7, d = -27 \) है।
इसलिए, \( \alpha \cdot \beta \cdot \gamma = \frac{-(-27)}{3} \)
\( 3 \times \gamma = \frac{27}{3} \)
\( 3 \gamma = 9 \)
\( \gamma = \frac{9}{3} \)
\( \implies \gamma = 3 \)
अतः, तीसरा मूल 3 है। यह बहुपद के गुणांकों और मूलों के बीच के संबंध को दर्शाता है।
In simple words: एक बहुपद के सभी मूलों का गुणा करके हमें \( \frac{-d}{a} \) मिलता है. अगर हमें दो मूलों का गुणा पहले से पता है, तो हम इस सूत्र का उपयोग करके तीसरे मूल को आसानी से ढूंढ सकते हैं.

🎯 Exam Tip: त्रिघात बहुपद के मूलों और गुणांकों के बीच के संबंधों को याद रखना महत्वपूर्ण है, खासकर गुणनफल \( \alpha \beta \gamma = -d/a \) का सूत्र।

Question 4. यदि बहुपद \( 2x^3 – x^2 – 5x – 2 \) के दो मूल -1 और 2 हैं तब इसका तीसरा मूल ज्ञात कीजिए। (NCERT)
Answer: दिया गया बहुपद \( 2x^3 – x^2 – 5x – 2 \) है।
माना बहुपद के दो दिए गए मूल \( \alpha = -1 \) और \( \beta = 2 \) हैं। हमें तीसरा मूल \( \gamma \) ज्ञात करना है।
त्रिघात बहुपद के मूलों के योगफल का सूत्र है: \( \alpha + \beta + \gamma = \frac{-b}{a} \)
यहां बहुपद में \( a = 2, b = -1, c = -5, d = -2 \) है।
तो, \( (-1) + 2 + \gamma = \frac{-(-1)}{2} \)
\( 1 + \gamma = \frac{1}{2} \)
\( \gamma = \frac{1}{2} - 1 \)
\( \gamma = \frac{1 - 2}{2} \)
\( \implies \gamma = -\frac{1}{2} \)
अतः, बहुपद का तीसरा मूल \( -\frac{1}{2} \) है। यह दिखाता है कि कैसे ज्ञात मूलों और गुणांकों का उपयोग करके अज्ञात मूल पाया जा सकता है।
In simple words: हम बहुपद के मूलों के योगफल का सूत्र इस्तेमाल करके तीसरा मूल निकालते हैं. इसमें पहले से दिए गए दो मूलों को सूत्र में डालकर तीसरे मूल का मान निकल जाता है.

🎯 Exam Tip: जब कुछ मूल दिए हों, तो मूलों के योगफल और गुणनफल के सूत्रों का उपयोग करें। यह अक्सर तीसरा मूल या अज्ञात गुणांक खोजने का सबसे सीधा तरीका होता है।

Question 5. यदि बहुपद \( x^3 – 4x^2 – 7x + 10 \) के दो मूल 1 और -2 हैं, तो इसका तीसरा मूल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया बहुपद \( x^3 – 4x^2 – 7x + 10 \) है।
माना बहुपद के दो मूल \( \alpha = 1 \) और \( \beta = -2 \) हैं। हमें तीसरा मूल \( \gamma \) ज्ञात करना है।
त्रिघात बहुपद के मूलों के योगफल का सूत्र है: \( \alpha + \beta + \gamma = \frac{-b}{a} \)
यहां बहुपद में \( a = 1, b = -4, c = -7, d = 10 \) है।
तो, \( 1 + (-2) + \gamma = \frac{-(-4)}{1} \)
\( 1 - 2 + \gamma = 4 \)
\( -1 + \gamma = 4 \)
\( \gamma = 4 + 1 \)
\( \implies \gamma = 5 \)
अतः, बहुपद का तीसरा मूल 5 है। मूलों के योगफल का सूत्र अज्ञात मूलों को खोजने में बहुत उपयोगी होता है।
In simple words: बहुपद के दिए गए दो मूलों को और मूलों के योगफल के सूत्र \( \frac{-b}{a} \) का उपयोग करके, हम तीसरा मूल ज्ञात कर सकते हैं. बस मानों को सही जगह पर रखें और हल करें.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप \( -b/a \) सूत्र में \( b \) और \( a \) के चिन्हों को सही ढंग से संभालते हैं, विशेषकर जब वे ऋणात्मक हों।

Question 6. यदि बहुपद \( x^3 – 4x^2 + x + 6 \) का एक मूल -1 है तो अन्य मूल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया बहुपद \( f(x) = x^3 – 4x^2 + x + 6 \) है।
हमें दिया गया है कि एक मूल \( \alpha = -1 \) है। हमें अन्य दो मूल \( \beta \) और \( \gamma \) ज्ञात करने हैं।
मूलों के योगफल का सूत्र: \( \alpha + \beta + \gamma = \frac{-b}{a} \)
यहां \( a = 1, b = -4, c = 1, d = 6 \) है।
\( -1 + \beta + \gamma = \frac{-(-4)}{1} \)
\( -1 + \beta + \gamma = 4 \)
\( \beta + \gamma = 5 \) ... (1)
मूलों के गुणनफल का सूत्र: \( \alpha \cdot \beta \cdot \gamma = \frac{-d}{a} \)
\( (-1) \cdot \beta \cdot \gamma = \frac{-6}{1} \)
\( -\beta \gamma = -6 \)
\( \beta \gamma = 6 \)
\( \implies \gamma = \frac{6}{\beta} \) ... (2)
समीकरण (2) से \( \gamma \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \beta + \frac{6}{\beta} = 5 \)
दोनों तरफ \( \beta \) से गुणा करने पर:
\( \beta^2 + 6 = 5\beta \)
\( \beta^2 - 5\beta + 6 = 0 \)
यह एक द्विघात समीकरण है। इसे गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\( \beta^2 - 3\beta - 2\beta + 6 = 0 \)
\( \beta(\beta - 3) - 2(\beta - 3) = 0 \)
\( (\beta - 3)(\beta - 2) = 0 \)
इसलिए, \( \beta - 3 = 0 \) या \( \beta - 2 = 0 \)
\( \implies \beta = 3 \) या \( \beta = 2 \)
यदि \( \beta = 3 \) है, तो समीकरण (2) से \( \gamma = \frac{6}{3} = 2 \)
यदि \( \beta = 2 \) है, तो समीकरण (2) से \( \gamma = \frac{6}{2} = 3 \)
अतः, बहुपद के अन्य मूल 3 और 2 हैं। मूलों और गुणांकों के संबंधों का उपयोग करके हम बहुपद के सभी मूल ज्ञात कर सकते हैं।
In simple words: एक मूल दिया होने पर, हम योगफल और गुणनफल के सूत्रों से दो समीकरण बनाते हैं. फिर उन समीकरणों को हल करके बाकी दो मूलों को पता कर सकते हैं.

🎯 Exam Tip: त्रिघात बहुपद के मूलों को खोजने के लिए, पहले दिए गए मूल का उपयोग करके बहुपद को विभाजित करें, या फिर मूलों के योगफल और गुणनफल के संबंधों का उपयोग करके द्विघात समीकरण बनाएं।

Question 7. यदि त्रिघात बहुपद \( x^3 + ax^2 + bx + c \) का एक मूल -1 है तब अन्य दो मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया त्रिघात बहुपद \( x^3 + ax^2 + bx + c \) है।
हमें दिया गया है कि एक मूल \( \alpha = -1 \) है। हमें अन्य दो मूलों का गुणनफल \( \beta \gamma \) ज्ञात करना है।
त्रिघात बहुपद के मूलों के गुणनफल का सूत्र है: \( \alpha \cdot \beta \cdot \gamma = \frac{-d}{A} \)
यहां बहुपद में \( A = 1 \) ( \( x^3 \) का गुणांक), \( d = c \) (अचर पद) है।
तो, \( (-1) \cdot \beta \cdot \gamma = \frac{-c}{1} \)
\( -\beta \gamma = -c \)
\( \implies \beta \gamma = c \)
अतः, अन्य दो मूलों का गुणनफल \( c \) है। यह सूत्र हमें सीधे मूलों के बीच संबंध जानने में मदद करता है।
In simple words: एक त्रिघात बहुपद के सभी मूलों का गुणा, अंतिम पद (जिसे \( c \) कहते हैं) को \( x^3 \) के गुणांक (जिसे यहाँ \( 1 \) कहते हैं) से भाग देने और ऋणात्मक चिन्ह लगाने से मिलता है. अगर एक मूल \( -1 \) है, तो बाकी दो मूलों का गुणा बस \( c \) के बराबर हो जाएगा.

🎯 Exam Tip: बहुपद के मूलों के गुणनफल का सूत्र \( \frac{-d}{a} \) (या \( \frac{-c}{a} \) यदि \( d \) अंतिम पद है) याद रखें। यह दिए गए मूलों के साथ अज्ञात मूलों के गुणनफल को खोजने में सहायक होता है।

Question 8. यदि त्रिघात बहुपद \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) का एक मूल 0 है तब अन्य दो मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया त्रिघात बहुपद \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) है।
हमें दिया गया है कि एक मूल \( \alpha = 0 \) है। हमें अन्य दो मूलों का गुणनफल \( \beta \gamma \) ज्ञात करना है।
मूलों के गुणनफल का सूत्र है: \( \alpha \cdot \beta \cdot \gamma = \frac{-d}{a} \)
चूँकि एक मूल \( \alpha = 0 \) है, तो समीकरण बन जाता है:
\( 0 \cdot \beta \cdot \gamma = \frac{-d}{a} \)
\( 0 = \frac{-d}{a} \)
\( \implies d = 0 \)
यह दर्शाता है कि यदि एक मूल शून्य है, तो अचर पद \( d \) भी शून्य होना चाहिए।
अब, दो-दो मूलों के गुणनफलों का योगफल का सूत्र है: \( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} \)
चूँकि \( \alpha = 0 \) है, तो:
\( (0) \beta + \beta \gamma + \gamma (0) = \frac{c}{a} \)
\( 0 + \beta \gamma + 0 = \frac{c}{a} \)
\( \implies \beta \gamma = \frac{c}{a} \)
अतः, अन्य दो मूलों का गुणनफल \( \frac{c}{a} \) है। यह महत्वपूर्ण है कि जब एक मूल शून्य हो, तो अचर पद भी शून्य हो जाता है।
In simple words: अगर एक त्रिघात बहुपद का एक मूल शून्य है, तो उसका आखिरी नंबर (स्थिर पद) भी शून्य होगा. बाकी दो मूलों का गुणा निकालने के लिए, हम \( x \) के साथ वाले नंबर (गुणांक) को \( x^3 \) के गुणांक से भाग देते हैं.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि यदि किसी बहुपद का अचर पद शून्य है, तो \( x=0 \) हमेशा एक मूल होता है। मूलों के गुणांक संबंधों का सावधानी से उपयोग करें।

Question 9. यदि बहुपद \( f (x) = x^3 – 3px^2 + qx – r \) के मूल समान्तर श्रेणी में हैं तब p, q और r के बीच में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया बहुपद \( f(x) = x^3 – 3px^2 + qx – r \) है।
इसके मूल समान्तर श्रेणी में हैं। माना मूल \( a - d, a, a + d \) हैं।
यहां बहुपद में \( A = 1, B = -3p, C = q, D = -r \) है।
मूलों के योगफल का सूत्र: \( (a - d) + a + (a + d) = \frac{-B}{A} \)
\( 3a = \frac{-(-3p)}{1} \)
\( 3a = 3p \)
\( \implies a = p \)
दो-दो मूलों के गुणनफलों का योगफल: \( (a - d)a + a(a + d) + (a + d)(a - d) = \frac{C}{A} \)
\( a^2 - ad + a^2 + ad + a^2 - d^2 = \frac{q}{1} \)
\( 3a^2 - d^2 = q \)
\( 3p^2 - d^2 = q \) (चूँकि \( a = p \))
\( \implies d^2 = 3p^2 - q \) ... (1)
मूलों के गुणनफल का सूत्र: \( (a - d)a(a + d) = \frac{-D}{A} \)
\( a(a^2 - d^2) = \frac{-(-r)}{1} \)
\( a(a^2 - d^2) = r \)
\( a = p \) और \( d^2 = 3p^2 - q \) का मान रखने पर:
\( p[p^2 - (3p^2 - q)] = r \)
\( p[p^2 - 3p^2 + q] = r \)
\( p[-2p^2 + q] = r \)
\( -2p^3 + pq = r \)
\( \implies 2p^3 - pq + r = 0 \)
यह p, q और r के बीच का संबंध है। यह दिखाता है कि कैसे समांतर श्रेणी में मूल होने पर गुणांकों के बीच एक विशिष्ट संबंध बनता है।
In simple words: जब बहुपद के मूल समांतर श्रेणी में होते हैं, तो हम उन्हें \( a-d, a, a+d \) मानकर योगफल, दो-दो के गुणनफल के योगफल, और गुणनफल के सूत्रों का इस्तेमाल करते हैं. इससे \( p, q, r \) के बीच एक संबंध मिलता है जो \( 2p^3 - pq + r = 0 \) होता है.

🎯 Exam Tip: समांतर श्रेणी में मूलों को \( a-d, a, a+d \) मानना बीजगणितीय गणनाओं को बहुत सरल बनाता है।

Question 10. p का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बहुपद \( x^3 + 4x^2 – px + 8, (x – 2) \) से पूरी तरह विभाजित है।
Answer: यदि बहुपद \( f(x) = x^3 + 4x^2 – px + 8 \), \( (x – 2) \) से पूरी तरह विभाजित है, तो शेषफल शून्य होगा।
शेषफल प्रमेय के अनुसार, \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \)।
इसलिए, \( f(2) = 0 \)
\( (2)^3 + 4(2)^2 – p(2) + 8 = 0 \)
\( 8 + 4(4) – 2p + 8 = 0 \)
\( 8 + 16 – 2p + 8 = 0 \)
\( 32 – 2p = 0 \)
\( 32 = 2p \)
\( \implies p = \frac{32}{2} = 16 \)
अतः, \( p \) का मान 16 है। यह शेषफल प्रमेय का सीधा अनुप्रयोग है, जो हमें बिना विभाजन किए p का मान ज्ञात करने में मदद करता है।
In simple words: जब एक बहुपद दूसरे बहुपद से पूरी तरह भाग हो जाता है, तो शेषफल शून्य आता है. हम शेषफल प्रमेय का उपयोग करके \( x \) का मान भाजक से निकालते हैं और उसे बहुपद में डालकर शून्य के बराबर रखते हैं. इससे \( p \) का मान मिल जाता है.

🎯 Exam Tip: शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) एक शक्तिशाली उपकरण है: यदि \( f(x) \) को \( (x-a) \) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल \( f(a) \) होता है। यदि \( (x-a) \) एक गुणनखंड है, तो \( f(a) = 0 \) होता है।

Question 11. एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूल -2, -3 और 1 हैं।
Answer: हमें त्रिघात बहुपद ज्ञात करना है जिसके मूल \( \alpha = -2, \beta = -3 \) और \( \gamma = 1 \) हैं।
त्रिघात बहुपद का सामान्य रूप है: \( x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma \)
सबसे पहले, मूलों का योगफल ज्ञात करें:
\( \alpha + \beta + \gamma = (-2) + (-3) + 1 = -2 - 3 + 1 = -4 \)
फिर, दो-दो मूलों के गुणनफलों का योगफल ज्ञात करें:
\( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = (-2)(-3) + (-3)(1) + (1)(-2) \)
\( = 6 - 3 - 2 = 1 \)
अंत में, मूलों का गुणनफल ज्ञात करें:
\( \alpha \beta \gamma = (-2)(-3)(1) = 6 \)
इन मानों को सामान्य रूप में रखने पर:
अभीष्ट बहुपद \( = x^3 - (-4)x^2 + (1)x - (6) \)
\( = x^3 + 4x^2 + x - 6 \)
अतः, आवश्यक त्रिघात बहुपद \( x^3 + 4x^2 + x - 6 \) है। यह सूत्र दिए गए मूलों से बहुपद बनाने का सबसे सीधा तरीका है।
In simple words: जब हमें बहुपद के मूल पता होते हैं, तो हम एक खास सूत्र का इस्तेमाल करके बहुपद बना सकते हैं. सूत्र में मूलों का जोड़, दो-दो मूलों का गुणा और सभी मूलों का गुणा शामिल होता है.

🎯 Exam Tip: त्रिघात बहुपद के लिए सूत्र \( x^3 - (\text{मूलों का योगफल})x^2 + (\text{दो-दो मूलों के गुणनफलों का योगफल})x - (\text{मूलों का गुणनफल}) \) को याद रखना आवश्यक है।

Question 12. एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूल 3, \( \frac{1}{2} \) और -1 हैं।
Answer: हमें त्रिघात बहुपद ज्ञात करना है जिसके मूल \( \alpha = 3, \beta = \frac{1}{2} \) और \( \gamma = -1 \) हैं।
त्रिघात बहुपद का सामान्य रूप है: \( x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma \)
सबसे पहले, मूलों का योगफल ज्ञात करें:
\( \alpha + \beta + \gamma = 3 + \frac{1}{2} + (-1) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{4+1}{2} = \frac{5}{2} \)
फिर, दो-दो मूलों के गुणनफलों का योगफल ज्ञात करें:
\( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = (3)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)(-1) + (-1)(3) \)
\( = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 3 = \frac{2}{2} - 3 = 1 - 3 = -2 \)
अंत में, मूलों का गुणनफल ज्ञात करें:
\( \alpha \beta \gamma = (3)\left(\frac{1}{2}\right)(-1) = -\frac{3}{2} \)
इन मानों को सामान्य रूप में रखने पर:
अभीष्ट बहुपद \( = x^3 - \left(\frac{5}{2}\right)x^2 + (-2)x - \left(-\frac{3}{2}\right) \)
\( = x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 2x + \frac{3}{2} \)
यह बहुपद सभी दिए गए मूलों को संतुष्ट करता है।
In simple words: अगर हमें बहुपद के सभी मूल पता हैं, तो हम एक मानक सूत्र का इस्तेमाल करके बहुपद बना सकते हैं. सूत्र में मूलों के योगफल, दो-दो मूलों के गुणनफल और सभी मूलों के गुणनफल का उपयोग होता है.

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक मूलों के साथ गणना करते समय, भिन्न और चिन्हों का ध्यान रखें ताकि कोई गलती न हो।

Question 13. एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके मूलों का योगफल, दो-दो करके मूलों के गुणनफल का योगफल और इसके मूलों का गुणनफल क्रमशः 3, -1 और -3 है। (NCERT)
Answer: माना त्रिघात बहुपद के मूल क्रमशः \( \alpha, \beta \) तथा \( \gamma \) हैं।
प्रश्नानुसार, हमें दिया गया है:
मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta + \gamma = 3 \)
दो-दो मूलों के गुणनफलों का योगफल: \( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -1 \)
मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta \gamma = -3 \)
त्रिघात बहुपद का सामान्य रूप है: \( x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma \)
दिए गए मानों को इस सूत्र में रखने पर:
अभीष्ट त्रिघात बहुपद \( = x^3 - (3)x^2 + (-1)x - (-3) \)
\( = x^3 - 3x^2 - x + 3 \)
अतः, त्रिघात बहुपद \( x^3 - 3x^2 - x + 3 \) है। यह सीधे दिए गए संबंधों से बहुपद बनाने का एक सरल तरीका है।
In simple words: जब हमें मूलों का योगफल, दो-दो मूलों के गुणनफलों का योगफल, और सभी मूलों का गुणनफल पहले से पता होता है, तो हम एक सीधा सूत्र लगाकर बहुपद को बना सकते हैं.

🎯 Exam Tip: यह सूत्र बहुपद के निर्माण के लिए बहुत महत्वपूर्ण है जब योगफल और गुणनफल के संबंध दिए गए हों। चिन्हों पर ध्यान दें।

Question 14. यदि \( \alpha, \beta, \gamma \) बहुपद \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) के मूल हैं तब \( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि \( \alpha, \beta, \gamma \) बहुपद \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) के मूल हैं, तो मूलों और गुणांकों के बीच निम्नलिखित संबंध होते हैं:
1. मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \)
2. दो-दो मूलों के गुणनफलों का योगफल: \( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} \)
3. मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} \)
हमें \( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} \) का मान ज्ञात करना है। इसे एक सामान्य हर पर लाएँ:
\( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\beta \gamma + \gamma \alpha + \alpha \beta}{\alpha \beta \gamma} \)
अब, मूलों और गुणांकों के संबंधों का उपयोग करके अंश और हर में मान प्रतिस्थापित करें:
\( = \frac{\frac{c}{a}}{-\frac{d}{a}} \)
\( = \frac{c}{a} \times \frac{a}{-d} \)
\( = -\frac{c}{d} \)
अतः, \( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = -\frac{c}{d} \) है। यह संबंध दिखाता है कि कैसे व्युत्क्रम मूलों का योगफल भी बहुपद के गुणांकों से संबंधित होता है।
In simple words: जब हमें बहुपद के मूलों के उल्टे मानों का जोड़ निकालना होता है, तो हम पहले उन्हें एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखते हैं. फिर हम मूलों के योगफल और गुणनफल के सूत्रों का इस्तेमाल करते हैं. आखिर में हमें \( -\frac{c}{d} \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: इस तरह के व्युत्क्रम मूलों के प्रश्नों को हल करने के लिए, पहले व्यंजक को एक सामान्य भिन्न में बदलें, फिर मूलों और गुणांकों के संबंधों का उपयोग करें।

Question 15. यदि \( \alpha, \beta, \gamma \) बहुपद \( f(x) = x^3 – ax^2 + bx – c \) के मूल हैं तब \( \frac{1}{\alpha \beta}+\frac{1}{\beta \gamma}+\frac{1}{\gamma \alpha} \) का मान ज्ञातकीजिए।
Answer: यदि \( \alpha, \beta, \gamma \) बहुपद \( f(x) = x^3 – ax^2 + bx – c \) के मूल हैं, तो मूलों और गुणांकों के बीच निम्नलिखित संबंध होते हैं:
1. मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta + \gamma = -(-a)/1 = a \)
2. दो-दो मूलों के गुणनफलों का योगफल: \( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b/1 = b \)
3. मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta \gamma = -(-c)/1 = c \)
हमें \( \frac{1}{\alpha \beta}+\frac{1}{\beta \gamma}+\frac{1}{\gamma \alpha} \) का मान ज्ञात करना है। इसे एक सामान्य हर पर लाएँ:
\( \frac{1}{\alpha \beta}+\frac{1}{\beta \gamma}+\frac{1}{\gamma \alpha} = \frac{\gamma + \alpha + \beta}{\alpha \beta \gamma} \)
अब, मूलों और गुणांकों के संबंधों का उपयोग करके अंश और हर में मान प्रतिस्थापित करें:
\( = \frac{a}{c} \)
अतः, \( \frac{1}{\alpha \beta}+\frac{1}{\beta \gamma}+\frac{1}{\gamma \alpha} = \frac{a}{c} \) है। यह भी मूलों के व्युत्क्रम से संबंधित एक महत्वपूर्ण संबंध है।
In simple words: बहुपद के मूलों के गुणनफलों के उल्टे मानों का जोड़ निकालने के लिए, हम पहले उन्हें एक सामान्य भिन्न के रूप में बदलते हैं. फिर, मूलों के योगफल और गुणनफल के सूत्रों का उपयोग करते हैं, जिससे हमें \( \frac{a}{c} \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, व्यंजक को सरल बनाने के लिए सामान्य हर लेना पहला कदम होता है, जिसके बाद मूलों और गुणांकों के संबंधों का अनुप्रयोग किया जाता है।

Question 16. \( 5x^3 – 13x^2 + 21x – 14 \) को \( 3 – 2x + x^2 \) द्वारा विभाजित करो और विभाजन एल्गोरिथम का सत्यापन करो।
Answer: भाज्य \( f(x) = 5x^3 – 13x^2 + 21x – 14 \)
भाजक \( g(x) = x^2 – 2x + 3 \) (मानक रूप में व्यवस्थित)
बहुपद के विभाजन करने पर:
भागफल \( = 5x - 3 \)
शेषफल \( = -5 \)
विभाजन एल्गोरिथम का सत्यापन:
विभाजन एल्गोरिथम कहता है कि: भाज्य = भाजक \( \times \) भागफल + शेषफल
दायाँ पक्ष \( = (x^2 – 2x + 3) \times (5x – 3) + (-5) \)
\( = x^2(5x - 3) - 2x(5x - 3) + 3(5x - 3) - 5 \)
\( = (5x^3 - 3x^2) - (10x^2 - 6x) + (15x - 9) - 5 \)
\( = 5x^3 - 3x^2 - 10x^2 + 6x + 15x - 9 - 5 \)
\( = 5x^3 + (-3x^2 - 10x^2) + (6x + 15x) + (-9 - 5) \)
\( = 5x^3 - 13x^2 + 21x - 14 \)
यह बायाँ पक्ष (भाज्य) के बराबर है।
अतः, विभाजन एल्गोरिथम सत्यापित हो गया। यह सत्यापन दर्शाता है कि गणनाएँ सही थीं।
In simple words: हम एक बहुपद को दूसरे से भाग देते हैं और फिर जाँचते हैं कि हमारा उत्तर सही है या नहीं. जाँच करने के लिए, हम भाजक और भागफल को गुणा करके उसमें शेषफल जोड़ते हैं. अगर यह वापस मूल बहुपद के बराबर आता है, तो हमारा भाग सही है.

🎯 Exam Tip: विभाजन एल्गोरिथम का सत्यापन करते समय, सभी पदों को सावधानी से गुणा और जोड़ें, और समान पदों को एक साथ समूहबद्ध करें ताकि अंतिम बहुपद प्राप्त हो सके।

Question 17. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि \( 3x^2 + 5, 6x^5 + 15x^4 + 16x^3 + 4x^2 + 10x – 35 \) का एक गुणनखण्ड है।
Answer: माना \( f(x) = 6x^5 + 15x^4 + 16x^3 + 4x^2 + 10x – 35 \) और \( g(x) = 3x^2 + 5 \) है।
हमें यह सिद्ध करना है कि \( g(x) \), \( f(x) \) का एक गुणनखंड है, जिसका अर्थ है कि \( f(x) \) को \( g(x) \) से विभाजित करने पर शेषफल शून्य होना चाहिए।
बहुपद के विभाजन करने पर:
\( (6x^5 + 15x^4 + 16x^3 + 4x^2 + 10x – 35) \div (3x^2 + 5) \)
भागफल \( = 2x^3 + 5x^2 + 2x - 7 \)
शेषफल \( = 0 \)
चूँकि शेषफल शून्य है, इसलिए \( g(x) \), \( f(x) \) का एक गुणनखंड है। यह गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके सत्यापित किया जा सकता है।
In simple words: अगर एक बहुपद दूसरे बहुपद का गुणनखंड है, तो उसे भाग देने पर शेषफल हमेशा शून्य आता है. हम विभाजन करके इसे साबित करते हैं.

🎯 Exam Tip: गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) कहता है कि \( (x-a) \) बहुपद \( f(x) \) का एक गुणनखंड है यदि और केवल यदि \( f(a)=0 \) हो। विभाजन में, शेषफल शून्य होना चाहिए।

Question 18. यदि बहुपद \( f(x) = x^3 – 3x^2 + x + 1 \) के मूल \( a – b, a, a + b \) हैं तो a और b के मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
Answer: दिया गया बहुपद \( f(x) = x^3 – 3x^2 + x + 1 \) है।
इसके मूल \( a - b, a, a + b \) हैं।
यहां बहुपद के गुणांक हैं: \( A = 1, B = -3, C = 1, D = 1 \)।
मूलों के योगफल का सूत्र: \( (a - b) + a + (a + b) = -\frac{B}{A} \)
\( 3a = -\frac{(-3)}{1} \)
\( 3a = 3 \)
\( \implies a = 1 \)
मूलों के गुणनफल का सूत्र: \( (a - b) \cdot a \cdot (a + b) = -\frac{D}{A} \)
\( a(a^2 - b^2) = -\frac{1}{1} \)
\( a(a^2 - b^2) = -1 \)
चूँकि \( a = 1 \) है, इसे समीकरण में रखने पर:
\( 1(1^2 - b^2) = -1 \)
\( 1 - b^2 = -1 \)
\( -b^2 = -1 - 1 \)
\( -b^2 = -2 \)
\( b^2 = 2 \)
\( \implies b = \pm \sqrt{2} \)
अतः, \( a = 1 \) और \( b = \pm \sqrt{2} \) हैं। यह दिखाता है कि कैसे मूलों और गुणांकों के संबंध अज्ञात मानों को खोजने में सहायक होते हैं।
In simple words: जब हमें पता होता है कि बहुपद के मूल \( a-b, a, a+b \) के रूप में हैं, तो हम मूलों के योगफल और गुणनफल के सूत्रों का इस्तेमाल करके \( a \) और \( b \) के मान निकाल सकते हैं.

🎯 Exam Tip: अंकगणितीय प्रगति में मूलों को \( a-d, a, a+d \) के रूप में व्यक्त करना अक्सर गणना को सरल बनाता है, जैसा कि इस मामले में \( a-b, a, a+b \) का उपयोग करके दिखाया गया है।

Question 19. यदि \( x = 1 \) बहुपद \( f(x) = x^3 – 2x^2 + 4x + k \) का एक मूल है तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया बहुपद \( f(x) = x^3 – 2x^2 + 4x + k \) है।
यदि \( x = 1 \) बहुपद का एक मूल है, तो शेषफल प्रमेय के अनुसार \( f(1) = 0 \) होगा।
\( f(1) = (1)^3 – 2(1)^2 + 4(1) + k = 0 \)
\( 1 – 2(1) + 4 + k = 0 \)
\( 1 – 2 + 4 + k = 0 \)
\( 3 + k = 0 \)
\( \implies k = -3 \)
अतः, \( k \) का मान -3 है। यह शेषफल प्रमेय का एक सीधा अनुप्रयोग है, जो अज्ञात गुणांकों को खोजने में बहुत उपयोगी होता है।
In simple words: अगर कोई संख्या एक बहुपद का मूल है, तो जब हम उस संख्या को बहुपद में रखते हैं, तो उत्तर शून्य आता है. इस नियम का उपयोग करके, हम \( k \) के अज्ञात मान को पता कर सकते हैं.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि यदि \( (x-a) \) एक मूल है, तो \( x=a \) को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर परिणाम शून्य होगा। यह अज्ञात गुणांकों को खोजने की एक मानक विधि है।

Question 20. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके यह जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद, दूसरे बहुपद का एक गुणनखण्ड है? (i) \( g(x) = x^2 – 3, f (x) = 2x^4 + 3x^3 – 2x^2 – 9x – 12 \) (NCERT)
Answer: प्रथम बहुपद \( g(x) = x^2 – 3 \)
दूसरा बहुपद \( f(x) = 2x^4 + 3x^3 – 2x^2 – 9x – 12 \)
यदि \( g(x) \), \( f(x) \) का एक गुणनखंड है, तो \( f(x) \) को \( g(x) \) से विभाजित करने पर शेषफल शून्य होना चाहिए।
बहुपद के विभाजन करने पर:
भागफल \( = 2x^2 + 3x + 4 \)
शेषफल \( = 0 \)
चूँकि शेषफल शून्य है, अतः \( g(x) \), \( f(x) \) का एक गुणनखंड है। यह हमें बताता है कि \( f(x) \) को \( g(x) \) से पूरी तरह से विभाजित किया जा सकता है।
In simple words: हम यह देखने के लिए भाग करते हैं कि क्या एक बहुपद दूसरे का गुणनखंड है. अगर भाग देने पर कोई शेष नहीं बचता (शून्य शेषफल), तो हाँ, वह उसका गुणनखंड है.

🎯 Exam Tip: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि किसी बहुपद को किसी अन्य बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल शून्य आता है, तो भाजक एक गुणनखंड होता है।

Question 20. (ii) \( g(x) = 2x^2 − x + 3, f(x) = 6x^5 – x^4 + 4x^3 – 5x^2 − x − 15 \)
Answer: प्रथम बहुपद \( g(x) = 2x^2 − x + 3 \)
दूसरा बहुपद \( f(x) = 6x^5 – x^4 + 4x^3 – 5x^2 − x − 15 \)
यदि \( g(x) \), \( f(x) \) का एक गुणनखंड है, तो \( f(x) \) को \( g(x) \) से विभाजित करने पर शेषफल शून्य होना चाहिए।
बहुपद के विभाजन करने पर:
भागफल \( = 3x^3 + x^2 - 2x - 5 \)
शेषफल \( = 0 \)
चूँकि शेषफल शून्य है, अतः \( g(x) \), \( f(x) \) का एक गुणनखंड है। यह दर्शाता है कि बहुपद पूरी तरह से विभाजित होता है।
In simple words: यह जाँचने के लिए कि क्या एक बहुपद दूसरे का गुणनखंड है, हम भाग देते हैं. अगर शेषफल शून्य आता है, तो इसका मतलब है कि वह बहुपद दूसरे का गुणनखंड है.

🎯 Exam Tip: लंबी भाग प्रक्रिया में, प्रत्येक चरण पर पदों को सही ढंग से घटाना और चिन्हों का ध्यान रखना महत्वपूर्ण है।

Ex 2.2 Polynomials दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 21. सत्यापित कीजिए कि 3, -1 और \( \frac{-1}{3} \) बहुपद \( f (x) = 3x^3 – 5x^2 – 11x – 3 \) के मूल हैं और तब इसके मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए। (NCERT)
Answer: दिया गया बहुपद \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 – 11x – 3 \) है।
गुणांक हैं: \( a = 3, b = -5, c = -11, d = -3 \)।
हमें सत्यापित करना है कि 3, -1 और \( -\frac{1}{3} \) इसके मूल हैं। हम प्रत्येक मान को बहुपद में प्रतिस्थापित करके देखते हैं कि क्या \( f(x) = 0 \) आता है।
1. \( x = 3 \) के लिए:
\( f(3) = 3(3)^3 – 5(3)^2 – 11(3) – 3 \)
\( = 3(27) – 5(9) – 33 – 3 \)
\( = 81 – 45 – 33 – 3 \)
\( = 81 – 81 = 0 \)
अतः, 3 एक मूल है।
2. \( x = -1 \) के लिए:
\( f(-1) = 3(-1)^3 – 5(-1)^2 – 11(-1) – 3 \)
\( = 3(-1) – 5(1) + 11 – 3 \)
\( = -3 – 5 + 11 – 3 \)
\( = -11 + 11 = 0 \)
अतः, -1 एक मूल है।
3. \( x = -\frac{1}{3} \) के लिए:
\( f(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^3 – 5(-\frac{1}{3})^2 – 11(-\frac{1}{3}) – 3 \)
\( = 3(-\frac{1}{27}) – 5(\frac{1}{9}) + \frac{11}{3} – 3 \)
\( = -\frac{1}{9} – \frac{5}{9} + \frac{11}{3} – 3 \)
\( = \frac{-1 - 5}{9} + \frac{11}{3} – 3 \)
\( = -\frac{6}{9} + \frac{11}{3} – 3 \)
\( = -\frac{2}{3} + \frac{11}{3} – 3 \)
\( = \frac{-2 + 11}{3} – 3 \)
\( = \frac{9}{3} – 3 \)
\( = 3 – 3 = 0 \)
अतः, \( -\frac{1}{3} \) एक मूल है।
इस प्रकार, 3, -1 और \( -\frac{1}{3} \) बहुपद के मूल हैं।

मूलों एवं गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच:
माना \( \alpha = 3, \beta = -1, \gamma = -\frac{1}{3} \)
1. मूलों का योगफल: \( \alpha + \beta + \gamma = 3 + (-1) + (-\frac{1}{3}) = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6-1}{3} = \frac{5}{3} \)
गुणांकों से: \( -\frac{b}{a} = -\frac{(-5)}{3} = \frac{5}{3} \)
दोनों मान बराबर हैं।
2. दो-दो मूलों के गुणनफलों का योगफल: \( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = (3)(-1) + (-1)(-\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3})(3) \)
\( = -3 + \frac{1}{3} - 1 = -4 + \frac{1}{3} = \frac{-12+1}{3} = -\frac{11}{3} \)
गुणांकों से: \( \frac{c}{a} = \frac{-11}{3} \)
दोनों मान बराबर हैं।
3. मूलों का गुणनफल: \( \alpha \beta \gamma = (3)(-1)(-\frac{1}{3}) = 1 \)
गुणांकों से: \( -\frac{d}{a} = -\frac{(-3)}{3} = \frac{3}{3} = 1 \)
दोनों मान बराबर हैं।
सभी संबंध सत्य हैं। यह पुष्टि करता है कि दिए गए मान वास्तव में बहुपद के मूल हैं और बहुपद की संरचना के साथ संगत हैं।
In simple words: पहले हम यह जाँचते हैं कि दिए गए मान बहुपद के मूल हैं या नहीं, उन्हें बहुपद में डालकर. अगर उत्तर शून्य आता है, तो वे मूल हैं. फिर, हम मूलों और गुणांकों के बीच के संबंधों (योगफल, दो-दो का गुणा, और सभी का गुणा) को सूत्र से और दिए गए मूलों से निकालते हैं. अगर दोनों मान बराबर आते हैं, तो संबंध सही है.

🎯 Exam Tip: मूलों को सत्यापित करने के लिए, उन्हें बहुपद में प्रतिस्थापित करें। मूलों और गुणांकों के बीच संबंधों की जाँच करना भी महत्वपूर्ण है (विएटा के सूत्र)।

Question 22. बहुपद \( f (x) = x^3 + 3px^2 + 3qx + r \) के मूलों के समान्तर श्रेणी में होने के प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया बहुपद \( f(x) = x^3 + 3px^2 + 3qx + r \) है।
इसके मूल समान्तर श्रेणी में हैं। माना मूल \( A - D, A, A + D \) हैं।
यहां बहुपद के गुणांक हैं: \( a = 1, b = 3p, c = 3q, d = r \)।
मूलों के योगफल का सूत्र: \( (A - D) + A + (A + D) = -\frac{b}{a} \)
\( 3A = -\frac{3p}{1} \)
\( 3A = -3p \)
\( \implies A = -p \)
दो-दो मूलों के गुणनफलों का योगफल: \( (A - D)A + A(A + D) + (A + D)(A - D) = \frac{c}{a} \)
\( A^2 - AD + A^2 + AD + A^2 - D^2 = \frac{3q}{1} \)
\( 3A^2 - D^2 = 3q \)
\( A = -p \) का मान रखने पर:
\( 3(-p)^2 - D^2 = 3q \)
\( 3p^2 - D^2 = 3q \)
\( \implies D^2 = 3p^2 - 3q \) ... (1)
मूलों के गुणनफल का सूत्र: \( (A - D)A(A + D) = -\frac{d}{a} \)
\( A(A^2 - D^2) = -\frac{r}{1} \)
\( A(A^2 - D^2) = -r \)
\( A = -p \) और \( D^2 = 3p^2 - 3q \) का मान रखने पर:
\( (-p)((-p)^2 - (3p^2 - 3q)) = -r \)
\( (-p)(p^2 - 3p^2 + 3q) = -r \)
\( (-p)(-2p^2 + 3q) = -r \)
\( 2p^3 - 3pq = -r \)
\( \implies 2p^3 - 3pq + r = 0 \)
यह p, q और r के बीच का संबंध है जब मूल समान्तर श्रेणी में होते हैं। यह दिखाता है कि कैसे समांतर श्रेणी की स्थिति बहुपद के गुणांकों पर एक विशिष्ट प्रतिबंध लगाती है।
In simple words: जब बहुपद के मूल समांतर श्रेणी में होते हैं, तो हम मूलों को \( A-D, A, A+D \) मानकर योगफल, दो-दो के गुणनफल के योगफल, और गुणनफल के सूत्रों का इस्तेमाल करते हैं. इससे \( p, q, r \) के बीच एक संबंध मिलता है जो \( 2p^3 - 3pq + r = 0 \) होता है.

🎯 Exam Tip: यह संबंध मानक त्रिघात बहुपद \( x^3+Px^2+Qx+R \) के लिए \( 2P^3 - 9PQ + 27R = 0 \) के सामान्यीकरण के समान है।

Question 23. यदि बहुपद \( f (x) = ax^3 + 3bx^2 + 3cx + d \) के मूल समान्तर श्रेणी में है तब सिद्ध कीजिए \( 2b^3 – 3abc + a^2d = 0 \)
Answer: दिया गया बहुपद \( f(x) = ax^3 + 3bx^2 + 3cx + d \) है।
इसके मूल समान्तर श्रेणी में हैं। माना मूल \( A - D, A, A + D \) हैं।
मूलों के योगफल का सूत्र: \( (A - D) + A + (A + D) = -\frac{3b}{a} \)
\( 3A = -\frac{3b}{a} \)
\( \implies A = -\frac{b}{a} \)
दो-दो मूलों के गुणनफलों का योगफल: \( (A - D)A + A(A + D) + (A + D)(A - D) = \frac{3c}{a} \)
\( 3A^2 - D^2 = \frac{3c}{a} \)
\( A = -\frac{b}{a} \) का मान रखने पर:
\( 3\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - D^2 = \frac{3c}{a} \)
\( 3\frac{b^2}{a^2} - D^2 = \frac{3c}{a} \)
\( D^2 = \frac{3b^2}{a^2} - \frac{3c}{a} \)
\( \implies D^2 = \frac{3b^2 - 3ac}{a^2} \) ... (1)
मूलों के गुणनफल का सूत्र: \( (A - D)A(A + D) = -\frac{d}{a} \)
\( A(A^2 - D^2) = -\frac{d}{a} \)
\( A = -\frac{b}{a} \) और \( D^2 = \frac{3b^2 - 3ac}{a^2} \) का मान रखने पर:
\( -\frac{b}{a}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - \frac{3b^2 - 3ac}{a^2}\right) = -\frac{d}{a} \)
\( -\frac{b}{a}\left(\frac{b^2}{a^2} - \frac{3b^2 - 3ac}{a^2}\right) = -\frac{d}{a} \)
दोनों तरफ \( -a \) से गुणा करने पर:
\( b\left(\frac{b^2 - (3b^2 - 3ac)}{a^2}\right) = d \)
\( b\left(\frac{b^2 - 3b^2 + 3ac}{a^2}\right) = d \)
\( b\left(\frac{-2b^2 + 3ac}{a^2}\right) = d \)
\( b(-2b^2 + 3ac) = a^2d \)
\( -2b^3 + 3abc = a^2d \)
\( \implies 2b^3 - 3abc + a^2d = 0 \)
इस प्रकार यह सिद्ध होता है। यह एक महत्वपूर्ण प्रतिबंध है जो समान्तर श्रेणी में मूलों वाले बहुपद के गुणांकों को संतुष्ट करना चाहिए।
In simple words: जब एक बहुपद के मूल समांतर श्रेणी में होते हैं, तो उसके गुणांकों के बीच एक खास संबंध होता है. हम मूलों के योगफल, दो-दो मूलों के गुणनफल और सभी मूलों के गुणनफल के सूत्रों का उपयोग करके इस संबंध को सिद्ध करते हैं. अंत में, हमें \( 2b^3 – 3abc + a^2d = 0 \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: यह परिणाम एक मानक प्रमेय है जो अंकगणितीय प्रगति में मूलों वाले त्रिघात बहुपदों के लिए लागू होता है; इसे याद रखना या आवश्यकतानुसार व्युत्पन्न करना उपयोगी है।

Question 24. निम्न में विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, \( f(x) \) को \( g(x) \) द्वारा विभाजित करने पर, भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए। (i) \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 5x – 3; g(x) = x^2 – 2 \) (NCERT)
Answer: भाज्य \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 5x – 3 \)
भाजक \( g(x) = x^2 – 2 \) (मानक रूप में व्यवस्थित \( x^2 + 0x - 2 \))
बहुपद के विभाजन करने पर:
भागफल \( = x - 3 \)
शेषफल \( = 7x - 9 \)
In simple words: हम एक बहुपद को दूसरे से भाग देते हैं. भाग करने के बाद जो उत्तर आता है वह भागफल होता है और जो बच जाता है वह शेषफल होता है.

🎯 Exam Tip: लंबी भाग प्रक्रिया में, भाजक में छोड़े गए पदों (जैसे \( 0x \)) को ध्यान में रखें ताकि पदों का संरेखण सही रहे।

Question 24. (ii) \( f(x) = x^4 – 3x^2 + 4x + 5; g(x) = x^2 − x + 1 \) (NCERT)
Answer: भाज्य \( f(x) = x^4 – 3x^2 + 4x + 5 \) (मानक रूप में व्यवस्थित \( x^4 + 0x^3 – 3x^2 + 4x + 5 \))
भाजक \( g(x) = x^2 − x + 1 \)
बहुपद के विभाजन करने पर:
भागफल \( = x^2 + x - 3 \)
शेषफल \( = 8 \)
In simple words: जब हम एक बहुपद को दूसरे से भाग देते हैं, तो हमें भागफल और शेषफल मिलता है. यहाँ, भागफल \( x^2 + x - 3 \) है और शेषफल \( 8 \) है.

🎯 Exam Tip: बहुपद की लंबी भाग में, प्रत्येक चरण पर पदों को व्यवस्थित करना और घटाना सुनिश्चित करें, विशेषकर जब बहुपद में कुछ घात के पद अनुपस्थित हों।

Question 24. (iii) \( f(x) = x^4 – 5x + 6; g(x) = 2 – x^2 \) (NCERT)
Answer: भाज्य \( f(x) = x^4 – 5x + 6 \) (मानक रूप में व्यवस्थित \( x^4 + 0x^3 + 0x^2 – 5x + 6 \))
भाजक \( g(x) = -x^2 + 2 \) (मानक रूप में व्यवस्थित)
बहुपद के विभाजन करने पर:
भागफल \( = -x^2 - 2 \)
शेषफल \( = -5x + 10 \)
In simple words: हम दिए गए बहुपद \( f(x) \) को \( g(x) \) से भाग देते हैं. इस भाग की प्रक्रिया से हमें भागफल और शेषफल मिलते हैं.

🎯 Exam Tip: विभाजन करने से पहले भाजक को हमेशा अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें (उच्चतम घात से निम्नतम घात तक), जैसे \( -x^2 + 2 \)।

Question 25. यदि बहुपद \( x^4 – 6x^3 – 26x^2 + 138x – 35 \) के दो मूल \( 2 \pm \sqrt{3} \) हैं, तो अन्य मूल ज्ञात कीजिए। (NCERT)
Answer: दिया गया बहुपद \( f(x) = x^4 – 6x^3 – 26x^2 + 138x – 35 \) है।
दिए गए दो मूल \( 2 + \sqrt{3} \) और \( 2 - \sqrt{3} \) हैं।
यदि \( x = 2 + \sqrt{3} \) और \( x = 2 - \sqrt{3} \) मूल हैं, तो \( (x - (2 + \sqrt{3})) \) और \( (x - (2 - \sqrt{3})) \) बहुपद के गुणनखंड होंगे।
इन गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात करें:
\( (x - (2 + \sqrt{3}))(x - (2 - \sqrt{3})) \)
\( = ((x - 2) - \sqrt{3})((x - 2) + \sqrt{3}) \)
यह \( (A - B)(A + B) = A^2 - B^2 \) के रूप का है, जहाँ \( A = (x - 2) \) और \( B = \sqrt{3} \)।
\( = (x - 2)^2 - (\sqrt{3})^2 \)
\( = (x^2 - 4x + 4) - 3 \)
\( = x^2 - 4x + 1 \)
यह \( f(x) \) का एक गुणनखंड है। अन्य गुणनखंडों को खोजने के लिए, \( f(x) \) को \( (x^2 - 4x + 1) \) से विभाजित करें।
बहुपद के विभाजन करने पर:
भागफल \( = x^2 - 2x - 35 \)
शेषफल \( = 0 \)
तो, \( f(x) = (x^2 - 4x + 1)(x^2 - 2x - 35) \)
अन्य मूल ज्ञात करने के लिए, द्विघात गुणनखंड \( x^2 - 2x - 35 \) को शून्य के बराबर रखें:
\( x^2 - 2x - 35 = 0 \)
गुणनखंड करने पर:
\( x^2 - 7x + 5x - 35 = 0 \)
\( x(x - 7) + 5(x - 7) = 0 \)
\( (x - 7)(x + 5) = 0 \)
इसलिए, \( x - 7 = 0 \) या \( x + 5 = 0 \)
\( \implies x = 7 \) या \( x = -5 \)
अतः, अन्य दो मूल 7 और -5 हैं। एक बार जब आप ज्ञात मूलों से गुणनखंड बनाते हैं, तो विभाजन अन्य मूलों को खोजने में मदद करता है।
In simple words: जब हमें किसी बहुपद के कुछ मूल पता होते हैं, तो हम उन मूलों से एक गुणनखंड बनाते हैं. फिर, हम बहुपद को उस गुणनखंड से भाग देते हैं. जो भागफल मिलता है, उसे हल करके हम बाकी के मूल निकाल सकते हैं.

🎯 Exam Tip: हमेशा याद रखें कि यदि \( a + \sqrt{b} \) एक बहुपद का मूल है, तो \( a - \sqrt{b} \) भी एक मूल होगा (यदि गुणांक परिमेय हों)। यह आपको एक ही बार में दो मूलों से एक द्विघात गुणनखंड बनाने में मदद करता है।

Question 26. f(x) = \( 4x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 1 \) में क्या जोड़ें कि प्राप्त बहुपद g(x) = \( x^2 + 2x - 3 \) से विभाजित हो जाये?
Answer: यदि बहुपद \( f(x) \) को \( g(x) \) से पूरी तरह से विभाजित करना है, तो हमें विभाजन प्रक्रिया के दौरान प्राप्त शेषफल का ऋणात्मक मान बहुपद में जोड़ना होगा। इस विभाजन में, शेषफल \( -61x + 65 \) प्राप्त होता है। इसलिए, यदि हम \( -(-61x + 65) \) या \( 61x - 65 \) को बहुपद में जोड़ दें, तो शेषफल शून्य हो जाएगा और बहुपद पूरी तरह से विभाजित हो सकेगा।
In simple words: बहुपद को पूरी तरह भाग देने के लिए, जो शेषफल बचा है, उसका उल्टा जोड़ना होगा। यहाँ, \( -61x + 65 \) शेष बचा है, तो हमें \( 61x - 65 \) जोड़ना होगा।

🎯 Exam Tip: विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, यदि शेषफल शून्य नहीं है, तो बहुपद को पूरी तरह से विभाजित करने के लिए शेषफल का योज्य प्रतिलोम (negative) जोड़ा जाना चाहिए।

Question 27. बहुपद f (x) = \( x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 12x + 21 \) में क्या घटायें कि प्राप्त बहुपद \( x^2 - 4x + 3 \) से पूरी तरह विभाजित हो जाये।
Answer: दिए गए बहुपद \( f(x) = x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 12x + 21 \) को \( g(x) = x^2 - 4x + 3 \) से पूरी तरह विभाजित करने के लिए, हमें विभाजन प्रक्रिया से प्राप्त शेषफल को मूल बहुपद में से घटाना होगा। इस प्रश्न में, विभाजन पर शेषफल \( 2x - 3 \) आता है। इसलिए, यदि हम \( 2x - 3 \) को \( f(x) \) में से घटा दें, तो नया बहुपद \( g(x) \) से पूरी तरह विभाजित हो जाएगा।
In simple words: किसी बहुपद को पूरी तरह भाग करने के लिए, जो शेषफल बचता है, उसे बहुपद में से घटा देना चाहिए। यहाँ, शेषफल \( 2x - 3 \) है, तो इसे घटाना होगा।

🎯 Exam Tip: यदि किसी बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देने पर शेषफल बचता है, तो उसे पूरी तरह विभाजित करने के लिए शेषफल को मूल बहुपद से घटाया जाता है।

Question 28. \( x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 20x - 15 \) के अन्य सभी मूल ज्ञात कीजिए यदि इसके दो मूल \( \sqrt{5} \) और \( -\sqrt{5} \) हैं।
Answer: हमें बहुपद \( f(x) = x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 20x - 15 \) के दो मूल, \( \sqrt{5} \) और \( -\sqrt{5} \) दिए गए हैं। इसका मतलब है कि \( (x - \sqrt{5}) \) और \( (x + \sqrt{5}) \) इसके गुणनखंड हैं, जिनका गुणनफल \( (x^2 - 5) \) होता है। जब हम बहुपद को \( (x^2 - 5) \) से भाग देते हैं, तो हमें भागफल के रूप में \( (x^2 + 4x + 3) \) मिलता है। इस भागफल को गुणनखंडित करने पर हमें \( (x + 1) \) और \( (x + 3) \) मिलते हैं। इन गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर, हमें अन्य मूल \( x = -1 \) और \( x = -3 \) प्राप्त होते हैं। इस प्रकार, इस बहुपद के सभी चार मूल \( \sqrt{5}, -\sqrt{5}, -1 \) और \( -3 \) हैं।
In simple words: दो मूल \( \sqrt{5} \) और \( -\sqrt{5} \) दिए गए हैं। इनसे \( x^2 - 5 \) गुणनखंड बनता है। जब मूल बहुपद को इससे भाग देते हैं, तो दूसरा गुणनखंड \( x^2 + 4x + 3 \) मिलता है। इसे फिर से गुणनखंड करने पर \( (x+1)(x+3) \) मिलता है, जिससे दूसरे मूल \( -1 \) और \( -3 \) मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: यदि किसी बहुपद के कुछ मूल दिए गए हों, तो उन मूलों से बनने वाले गुणनखंड को बहुपद से भाग देकर बचे हुए भागफल से अन्य मूल ज्ञात किए जा सकते हैं।

Question 29. बहुपद f (x) = \( x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 1 \) में क्या जोड़ें कि प्राप्त बहुपद \( x^2 + 2x - 3 \) से पूरी तरह विभाजित हो जाये।
Answer: बहुपद \( f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 1 \) को \( x^2 + 2x - 3 \) से पूरी तरह विभाजित करने के लिए, हमें विभाजन के बाद प्राप्त शेषफल का ऋणात्मक मान जोड़ना होगा। इस विभाजन में, शेषफल \( -x + 2 \) प्राप्त होता है। इसलिए, हमें \( -(-x + 2) \) यानी \( x - 2 \) को बहुपद में जोड़ना पड़ेगा ताकि शेषफल शून्य हो जाए।
In simple words: बहुपद को पूरी तरह भाग करने के लिए, जो शेष बचता है, उसका उल्टा जोड़ना पड़ता है। यहाँ शेषफल \( -x + 2 \) है, तो हमें \( x - 2 \) जोड़ना होगा।

🎯 Exam Tip: किसी बहुपद को दूसरे बहुपद से पूरी तरह विभाजित करने के लिए, यदि कोई शेषफल बचता है, तो उस शेषफल के योज्य प्रतिलोम को मूल बहुपद में जोड़ना चाहिए।

Question 30. बहुपद \( 3x^3 + 10x^2 - 14x + 9 \) में से क्या वास्तविक संख्या घटायें कि यह \( (3x - 2) \) से पूरी तरह विभाजित हो जाये?
Answer: यदि बहुपद \( f(x) = 3x^3 + 10x^2 - 14x + 9 \) को \( g(x) = (3x - 2) \) से विभाजित किया जाता है, तो हमें विभाजन के अंत में 5 का शेषफल मिलता है। एक बहुपद को दूसरे से पूरी तरह विभाजित करने के लिए, शेषफल को मूल बहुपद में से घटाना आवश्यक है। इसलिए, यदि हम 5 को बहुपद \( f(x) \) में से घटा दें, तो यह \( (3x - 2) \) से पूरी तरह से विभाजित हो जाएगा।
In simple words: जब बहुपद को \( (3x-2) \) से भाग देते हैं, तो 5 शेष बचता है। पूरी तरह से भाग करने के लिए, इस बचे हुए 5 को बहुपद में से घटाना होगा।

🎯 Exam Tip: विभाजन के नियम के अनुसार, यदि किसी बहुपद को किसी अन्य बहुपद से भाग देने पर कोई शेषफल बचता है, तो पूर्ण विभाज्यता प्राप्त करने के लिए शेषफल को मूल बहुपद से घटाना चाहिए।