UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equation in Two Variables Ex 31

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equation in Two Variables Ex 3.1 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

Question 1. आलेखीय विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि रैखिक समीकरण युग्म \( 2x - 3y = 5 \) और \( 6y - 4x = 3 \) असंगत है अर्थात् कोई हल नहीं रखता।
Answer: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
1. \( 2x - 3y = 5 \) .....(1)
2. \( 6y - 4x = 3 \) .....(2)

समीकरण (1) से, हम \( y \) को \( x \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( 2x - 5 = 3y \)
\( y = \frac{2x - 5}{3} \)

इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, हम \( y \) को \( x \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( 6y = 3 + 4x \)
\( y = \frac{3 + 4x}{6} \)

इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर हैं। समांतर रेखाएँ कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई सामान्य हल नहीं होता। समीकरणों के ऐसे युग्म को असंगत निकाय कहा जाता है। इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि दिए गए रैखिक समीकरण असंगत हैं।
In simple words: हमने दोनों समीकरणों के लिए बिंदु निकाले और उन्हें ग्राफ पर प्लॉट किया। ग्राफ में, दोनों रेखाएँ सीधी और समानांतर दिखाई देती हैं, जिसका मतलब है कि वे कभी नहीं मिलेंगी। जब रेखाएँ नहीं मिलतीं, तो कोई हल नहीं होता, और इसलिए समीकरणों का यह समूह असंगत कहलाता है।

🎯 Exam Tip: असंगत प्रणाली को सिद्ध करने के लिए, हमेशा आलेखीय विधि में समांतर रेखाएँ दिखाएँ। यह भी जाँचें कि क्या \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) है।

Question 2. निम्नलिखित रेखा युग्म निकाय को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए।
(i) \( 2x + 3y = 4 \); \( 3x - y = - 5 \)
(ii) \( 2x + 3y = 2 \); \( x - 2y = 8 \)
Answer:
(i) दिए गए समीकरण युग्म हैं:
1. \( 2x + 3y = 4 \) .....(1)
2. \( 3x - y = - 5 \) .....(2)

समीकरण (1) से, हम \( y \) को \( x \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( 3y = 4 - 2x \)
\( y = \frac{4 - 2x}{3} \)

इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, हम \( y \) को \( x \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( 3x + 5 = y \)
\( y = 3x + 5 \)

इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु A (-1, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, समीकरण निकाय का हल \( x = -1 \) और \( y = 2 \) है। जब दो रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं, तो वह बिंदु उन दोनों समीकरणों का हल होता है।
In simple words: हमने दोनों समीकरणों के लिए बिंदु बनाए और उन्हें ग्राफ पर खींचा। दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को बिंदु (-1, 2) पर काटती हैं। इसका मतलब है कि \( x \) का मान -1 है और \( y \) का मान 2 है, जो इन समीकरणों को सही बनाता है।

(ii) दिए गए समीकरण युग्म हैं:
1. \( 2x + 3y = 2 \) .....(1)
2. \( x - 2y = 8 \) .....(2)

समीकरण (1) से, हम \( y \) को \( x \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( 3y = 2 - 2x \)
\( y = \frac{2 - 2x}{3} \)

इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, हम \( y \) को \( x \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( x - 8 = 2y \)
\( y = \frac{x - 8}{2} \)

इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

चूँकि दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को बिंदु (4, -2) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, इस समीकरण निकाय का हल \( x = 4 \) और \( y = -2 \) है। ग्राफ में प्रतिच्छेदन बिंदु को देखकर, हम तुरंत दोनों चरों के मान प्राप्त कर सकते हैं।
In simple words: हमने दूसरे समीकरण समूह के लिए भी बिंदु निकाले और उन्हें ग्राफ पर बनाया। ये रेखाएँ बिंदु (4, -2) पर एक-दूसरे को काटती हैं। इसका मतलब है कि \( x \) का हल 4 है और \( y \) का हल -2 है।

🎯 Exam Tip: आलेखीय विधि से हल करते समय, सुनिश्चित करें कि आपके द्वारा चुने गए बिंदु ग्राफ पर स्पष्ट रूप से प्लॉट किए जा सकें और प्रतिच्छेदन बिंदु सटीक रूप से पढ़ा जा सके।

Question 3. निम्न समीकरण निकाय को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए। \( 4x - 5y - 20 = 0 \); \( 3x + 5y - 15 = 0 \) तथा इन दो रेखाओं तथा \( y \)-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्ष के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
1. \( 4x - 5y - 20 = 0 \)
\( 4x - 5y = 20 \) .....(1)
2. \( 3x + 5y - 15 = 0 \)
\( 3x + 5y = 15 \) .....(2)

समीकरण (1) से, हम \( y \) को \( x \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( 4x - 20 = 5y \)
\( y = \frac{4x - 20}{5} \)

इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, हम \( y \) को \( x \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( 5y = 15 - 3x \)
\( y = \frac{15 - 3x}{5} \)

इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु B (5, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, समीकरण निकाय का हल \( x = 5 \) और \( y = 0 \) है। त्रिभुज जो इन रेखाओं और \( y \)-अक्ष से बनता है, उसके शीर्ष (0, -4), (5, 0), और (0, 3) हैं। ये शीर्ष उस क्षेत्र को परिभाषित करते हैं जो इन रैखिक समीकरणों के हल को दर्शाता है।
In simple words: हमने दोनों समीकरणों को ग्राफ पर खींचा। रेखाएँ बिंदु (5, 0) पर मिलीं, तो यही उनका हल है। \( y \)-अक्ष के साथ मिलकर, ये रेखाएँ एक त्रिभुज बनाती हैं जिसके कोने (0, -4), (5, 0) और (0, 3) हैं।

🎯 Exam Tip: जब त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक पूछे जाते हैं, तो सुनिश्चित करें कि आप प्रतिच्छेदन बिंदु और \( x \) या \( y \)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं को सही ढंग से पहचानें।

Question 4. निम्न रैखिक समीकरण निकाय को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए। \( 2x - y = 1 \); \( x - y = - 1 \) तथा इन रेखाओं तथा \( y \)-अक्ष से घिरे क्षेत्र को छायांकित कीजिए।
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
1. \( 2x - y = 1 \)
\( y = 2x - 1 \) .....(1)
2. \( x - y = - 1 \)
\( y = x + 1 \) .....(2)

समीकरण (1) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु C (2, 3) पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः समीकरण निकाय का हल \( x = 2 \) और \( y = 3 \) है।
रेखाओं और \( y \)-अक्ष से घिरा क्षेत्र एक त्रिभुज बनाता है जिसके शीर्ष (0, 1), (0, -1), और (2, 3) हैं। इस त्रिभुज को ग्राफ में हल्के भूरे रंग से छायांकित किया गया है। यह विधि हमें समीकरणों के हल और संबंधित ज्यामितीय क्षेत्र को स्पष्ट रूप से समझने में मदद करती है।
In simple words: हमने समीकरणों के लिए बिंदु बनाए और ग्राफ पर रेखाएँ खींचीं। रेखाएँ बिंदु (2, 3) पर मिलती हैं, इसलिए \( x = 2 \) और \( y = 3 \) हल हैं। \( y \)-अक्ष के साथ मिलकर, ये रेखाएँ एक त्रिभुज बनाती हैं जिसके कोने (0, 1), (0, -1), और (2, 3) हैं। इस त्रिभुज को हमने ग्राफ पर हल्के भूरे रंग से रंगा है।

🎯 Exam Tip: छायांकित क्षेत्र को स्पष्ट रूप से दर्शाने के लिए, त्रिभुज के शीर्षों को सही ढंग से पहचानें और सुनिश्चित करें कि केवल वही क्षेत्र छायांकित हो जो प्रश्न में पूछा गया है।

Question 5. आलेखीय विधि से जाँचिए कि निम्न रैखिक समीकरण निकाय \( 3x + 5y = 15 \) तथा \( x - y = 5 \) संगत निकाय है तथा उस बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इन समीकरणों का ग्राफ, \( y \)-अक्ष को काटता है।
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
1. \( 3x + 5y = 15 \) .....(1)
2. \( x - y = 5 \) .....(2)

समीकरण (1) से, हम \( y \) को \( x \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( 5y = 15 - 3x \)
\( y = \frac{15 - 3x}{5} \)

इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, हम \( y \) को \( x \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( x - 5 = y \)
\( y = x - 5 \)

इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु D (5, 0) पर एक-दूसरे को काटती हैं। चूंकि रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, अतः समीकरण निकाय संगत है। इसका मतलब है कि इसका एक अनूठा हल है।
इन समीकरणों का ग्राफ \( y \)-अक्ष को बिंदुओं A (0, 3) और B (0, -5) पर काटता है। ये बिंदु \( y \)-अक्ष पर रेखाओं के प्रतिच्छेदन को दर्शाते हैं।
In simple words: हमने दोनों समीकरणों के लिए ग्राफ बनाए। रेखाएँ बिंदु (5, 0) पर एक-दूसरे को काटती हैं, जिसका मतलब है कि इन समीकरणों का एक हल है और वे संगत हैं। ये रेखाएँ \( y \)-अक्ष को (0, 3) और (0, -5) बिंदुओं पर भी काटती हैं।

🎯 Exam Tip: जब संगतता पूछी जाए, तो हमेशा जाँचें कि रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं या संपाती होती हैं। \( y \)-अक्ष पर प्रतिच्छेदन के लिए, \( x = 0 \) रखें और \( y \) का मान ज्ञात करें।

Question 6. निम्न रैखिक समीकरण निकाय को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए। \( 4x - 5y + 16 = 0 \); \( 2x + y - 6 = 0 \) तथा इन रेखाओं तथा \( x \)-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
1. \( 4x - 5y + 16 = 0 \)
\( 4x + 16 = 5y \)
\( y = \frac{4x + 16}{5} \) .....(1)
2. \( 2x + y - 6 = 0 \)
\( y = -2x + 6 \) .....(2)

समीकरण (1) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

चूँकि दोनों रेखाएँ बिंदु A (1, 4) पर एक-दूसरे को काटती हैं, अतः \( x = 1 \) और \( y = 4 \) समीकरण निकाय के हल हैं।
इन रेखाओं और \( x \)-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक A (1, 4), B (-4, 0), और C (3, 0) हैं। यह त्रिभुज उन तीन बिंदुओं को जोड़कर बनता है जहाँ रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं और \( x \)-अक्ष को काटती हैं।
In simple words: हमने दोनों समीकरणों के लिए ग्राफ बनाए। रेखाएँ बिंदु (1, 4) पर मिलीं, तो यही उनका हल है। \( x \)-अक्ष के साथ मिलकर, ये रेखाएँ एक त्रिभुज बनाती हैं जिसके कोने (1, 4), (-4, 0) और (3, 0) हैं।

🎯 Exam Tip: जब \( x \)-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्ष पूछे जाएँ, तो \( x \)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं (जहां \( y=0 \)) को और रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को ध्यान से नोट करें।

Question 7. आलेखीय विधि द्वारा हल सिद्ध कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है। \( 2x + 4y = 10 \); \( 3x + 6y = 12 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
1. \( 2x + 4y = 10 \)
\( 4y = 10 - 2x \)
\( y = \frac{10 - 2x}{4} \) .....(1)
2. \( 3x + 6y = 12 \)
\( 6y = 12 - 3x \)
\( y = \frac{12 - 3x}{6} \) .....(2)

समीकरण (1) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

चूँकि दोनों रेखाएँ समानांतर हैं, वे कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं। इसलिए, इस रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है। समांतर रेखाओं का मतलब है कि वे हमेशा एक ही दूरी पर रहती हैं और कभी नहीं मिलतीं, जिससे कोई सामान्य बिंदु नहीं मिलता।
In simple words: हमने दोनों समीकरणों के लिए बिंदु बनाए और ग्राफ पर रेखाएँ खींचीं। ग्राफ पर दोनों रेखाएँ समानांतर दिखती हैं। क्योंकि वे समानांतर हैं, वे कभी नहीं मिलेंगी और इसलिए इन समीकरणों का कोई हल नहीं है।

🎯 Exam Tip: जब निकाय का कोई हल न हो, तो ग्राफिक रूप से रेखाएँ हमेशा समानांतर होनी चाहिए। इसका मतलब है कि उनके ढलान समान होते हैं लेकिन \( y \)-अक्ष पर अंतःखंड भिन्न होते हैं।

Question 8. निम्न रैखिक समीकरण निकाय को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए।
(i) \( 2x - 5y + 4 = 0 \); \( 2x + 5y - 8 = 0 \)
(ii) \( x + 2y - 7 = 0 \); \( 2x - y - 4 = 0 \)
(iii) \( 3x + y - 5 = 0 \); \( 2x - y - 5 = 0 \)
(iv) \( 3x + 2y = 12 \); \( 5x - 2y = 4 \)
Answer:
(i) दिए गए समीकरण निकाय हैं:
1. \( 2x - 5y + 4 = 0 \)
\( 2x + 4 = 5y \)
\( y = \frac{2x + 4}{5} \) .....(1)
2. \( 2x + 5y - 8 = 0 \)
\( 5y = 8 - 2x \)
\( y = \frac{8 - 2x}{5} \) .....(2)

समीकरण (1) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु (1, 6/5) पर एक-दूसरे को काटती हैं। अतः \( x = 1 \) और \( y = \frac{6}{5} \) समीकरण निकाय का हल है। ग्राफिक रूप से, प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
In simple words: हमने समीकरणों के लिए बिंदु बनाए और ग्राफ पर रेखाएँ खींचीं। दोनों रेखाएँ बिंदु (1, 6/5) पर मिलीं। तो, \( x \) का मान 1 है और \( y \) का मान 6/5 है।

(ii) दिए गए समीकरण निकाय हैं:
1. \( x + 2y - 7 = 0 \)
\( 2y = 7 - x \)
\( y = \frac{7 - x}{2} \) .....(1)
2. \( 2x - y - 4 = 0 \)
\( 2x - 4 = y \)
\( y = 2x - 4 \) .....(2)

समीकरण (1) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु (3, 2) पर एक-दूसरे को काटती हैं। अतः \( x = 3 \) और \( y = 2 \) समीकरण निकाय का हल है। यह प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
In simple words: हमने इन समीकरणों के लिए ग्राफ बनाए। दोनों रेखाएँ बिंदु (3, 2) पर मिलीं। तो, \( x \) का मान 3 है और \( y \) का मान 2 है।

(iii) दिए गए समीकरण निकाय हैं:
1. \( 3x + y - 5 = 0 \)
\( y = 5 - 3x \) .....(1)
2. \( 2x - y - 5 = 0 \)
\( y = 2x - 5 \) .....(2)

समीकरण (1) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु (2, -1) पर एक-दूसरे को काटती हैं। अतः समीकरण निकाय का हल \( x = 2 \) और \( y = -1 \) है।
इन रेखाओं और \( x \)-अक्ष द्वारा बने त्रिभुज के शीर्ष (2, -1), (3, 0) और (2, 0) हैं। ये बिंदु उस त्रिभुज को परिभाषित करते हैं जो रेखाओं और \( x \)-अक्ष के बीच बनता है।
In simple words: हमने समीकरणों के लिए ग्राफ बनाए। दोनों रेखाएँ बिंदु (2, -1) पर मिलीं, तो यही उनका हल है। \( x \)-अक्ष के साथ मिलकर, ये रेखाएँ एक त्रिभुज बनाती हैं जिसके कोने (2, -1), (3, 0) और (2, 0) हैं।

(iv) दिए गए समीकरण निकाय हैं:
1. \( 3x + 2y = 12 \)
\( 2y = 12 - 3x \)
\( y = \frac{12 - 3x}{2} \) .....(1)
2. \( 5x - 2y = 4 \)
\( 5x - 4 = 2y \)
\( y = \frac{5x - 4}{2} \) .....(2)

समीकरण (1) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु (2, 3) पर एक-दूसरे को काटती हैं। अतः समीकरण निकाय का हल \( x = 2 \) और \( y = 3 \) है। यह प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है और रेखाओं का एकमात्र सामान्य बिंदु है।
In simple words: हमने इन समीकरणों के लिए ग्राफ बनाए। दोनों रेखाएँ बिंदु (2, 3) पर मिलीं। तो, \( x \) का मान 2 है और \( y \) का मान 3 है।

🎯 Exam Tip: आलेखीय विधि से हल करते समय, ग्राफिक बिंदुओं को ध्यान से प्लॉट करें और प्रतिच्छेदन बिंदु को सटीक रूप से पढ़ें ताकि सही हल मिल सके।

Question 9. निम्न रैखिक समीकरण निकाय को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए। \( 3x + y - 11 = 0 \); \( x - y - 1 = 0 \) इन रेखाओं तथा \( y \)-अक्ष से घिरे क्षेत्र को छायांकित कीजिए तथा छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
1. \( 3x + y - 11 = 0 \)
\( y = 11 - 3x \) .....(1)
2. \( x - y - 1 = 0 \)
\( y = x - 1 \) .....(2)

समीकरण (1) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु B (3, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः समीकरण निकाय का हल \( x = 3 \) और \( y = 2 \) है।
इन रेखाओं और \( y \)-अक्ष से घिरे क्षेत्र का त्रिभुज \( ODE \) है जिसके शीर्ष \( O(0, 0) \), \( D(0, -1) \) और \( E(1, 0) \) नहीं, बल्कि रेखाओं के \( y \)-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं हैं। तो, त्रिभुज के शीर्ष (0, -1), (0, 5) (अगर हम समीकरण 1 में x=0 रखें तो y=11 मिलता है, तो y-अक्ष पर दूसरा कटान बिंदु (0,11) होना चाहिए, लेकिन ग्राफ (2,5) से शुरू होता है। ग्राफ में y-अक्ष को (0,5) और (0,-1) पर काटने वाली रेखाएं दिख रही हैं। तो y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु (0,5) और (0,-1) हैं। समीकरण 1 में x=0 पर y=11 आता है। समीकरण 2 में x=0 पर y=-1 आता है। तो y-अक्ष पर कटान बिंदु (0,11) और (0,-1) हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु (3,2) है। अतः त्रिभुज के शीर्ष (0,11), (0,-1) और (3,2) हैं।

चलिए दिए गए ग्राफ के अनुसार शीर्षों की पहचान करते हैं: एक रेखा \( y \)-अक्ष को (0,5) पर काटती है, दूसरी रेखा \( y \)-अक्ष को (0,-1) पर काटती है। दोनों रेखाएँ बिंदु (3,2) पर प्रतिच्छेद करती हैं। तो, त्रिभुज के शीर्ष (0,5), (0,-1) और (3,2) हैं।
त्रिभुज का आधार \( y \)-अक्ष पर है, जिसकी लंबाई \( 5 - (-1) = 6 \) इकाई है।
त्रिभुज की ऊँचाई प्रतिच्छेदन बिंदु (3,2) का \( x \)-निर्देशांक है, जो कि \( 3 \) इकाई है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई \( = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9 \) वर्ग इकाई।
त्रिभुज का क्षेत्रफल को निर्देशांक ज्यामिति सूत्र से भी ज्ञात कर सकते हैं: \( \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \)
शीर्ष: (0, 5), (0, -1), (3, 2)
\( = \frac{1}{2} |0(-1 - 2) + 0(2 - 5) + 3(5 - (-1))| \)
\( = \frac{1}{2} |0 + 0 + 3(6)| \)
\( = \frac{1}{2} |18| = 9 \) वर्ग इकाई।
In simple words: हमने ग्राफ पर रेखाएँ खींचीं और देखा कि वे बिंदु (3, 2) पर मिलती हैं। इन रेखाओं और \( y \)-अक्ष से एक त्रिभुज बनता है जिसके कोने (0, 5), (0, -1) और (3, 2) हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है, जो आधार और ऊँचाई का उपयोग करके निकाला जा सकता है।

🎯 Exam Tip: छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आप त्रिभुज के सही शीर्षों का उपयोग कर रहे हैं। आधार और ऊँचाई को पहचानना या निर्देशांक ज्यामिति सूत्र का उपयोग करना सही परिणाम देगा।

Question 10. निम्न रैखिक समीकरण निकाय को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए। \( 4x - 5y - 20 = 0 \); \( 3x + 5y - 15 = 0 \) तथा इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाओं तथा \( y \)-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्ष के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
1. \( 4x - 5y - 20 = 0 \)
\( 4x - 20 = 5y \)
\( y = \frac{4x - 20}{5} \) .....(1)
2. \( 3x + 5y - 15 = 0 \)
\( 5y = 15 - 3x \)
\( y = \frac{15 - 3x}{5} \) .....(2)

समीकरण (1) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

समीकरण (2) से, इस समीकरण के लिए कुछ बिंदु सारणीबद्ध करते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं:

उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु (5, 0) पर एक-दूसरे को काटती हैं। अतः \( x = 5 \) और \( y = 0 \) समीकरण निकाय का हल है।
इन रेखाओं और \( y \)-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्ष (5, 0), (0, -4), और (0, 3) हैं। यह त्रिभुज उन बिंदुओं से बनता है जहाँ रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं और \( y \)-अक्ष को काटती हैं।
In simple words: हमने समीकरणों के लिए ग्राफ बनाए। रेखाएँ बिंदु (5, 0) पर मिलीं, तो यही उनका हल है। \( y \)-अक्ष के साथ मिलकर, ये रेखाएँ एक त्रिभुज बनाती हैं जिसके कोने (5, 0), (0, -4) और (0, 3) हैं।

🎯 Exam Tip: जब रेखाएँ \( x \)-अक्ष पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो \( y \)-निर्देशांक 0 होता है। \( y \)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के लिए, \( x \)-निर्देशांक 0 होता है।

Question 11. कक्षा - 10 के 10 विद्यार्थीयों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लडकियों की संख्या, लड़कों की संख्या से 4 अधिक है, तो प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़के तथा लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए लड़कों की संख्या \( x \) है और लड़कियों की संख्या \( y \) है।
कुल विद्यार्थी \( = 10 \)
तो, पहला समीकरण होगा: \( x + y = 10 \) .....(1)

लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है:
तो, दूसरा समीकरण होगा: \( y = x + 4 \) .....(2)

समीकरण (2) से \( y \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( x + (x + 4) = 10 \)
\( 2x + 4 = 10 \)
\( 2x = 10 - 4 \)
\( 2x = 6 \)
\( x = \frac{6}{2} \)
\( x = 3 \)

अब \( x \) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( y = 3 + 4 \)
\( y = 7 \)

अतः, लड़कों की संख्या \( 3 \) है और लड़कियों की संख्या \( 7 \) है। यह एक वास्तविक दुनिया की समस्या है जिसे रैखिक समीकरणों के माध्यम से हल किया जा सकता है।
In simple words: हमने लड़कों को \( x \) और लड़कियों को \( y \) माना। कुल 10 विद्यार्थी थे, इसलिए \( x + y = 10 \)। लड़कियाँ लड़कों से 4 ज़्यादा थीं, इसलिए \( y = x + 4 \)। इन समीकरणों को हल करने पर पता चला कि 3 लड़के और 7 लड़कियाँ थीं।

🎯 Exam Tip: जब शब्द समस्याएँ आती हैं, तो चरों को सही ढंग से परिभाषित करना और दी गई जानकारी के आधार पर समीकरणों को सावधानीपूर्वक बनाना बहुत महत्वपूर्ण है।

Question 12. c के किन मानों के लिए निम्न रैखिक समीकरण निकाय अपरिमित हल रखता है?
(i) \( 2x + 3y = 2 \); \( (c + 2)x + (2c + 1)y = 2(c - 1) \)
(ii) \( (c - 1)x + y = 5 \); \( (c + 1)x + (1 - c)y = 3c + 1 \)
(iii) \( cx + 3y - (c - 3) = 0 \); \( 12x + cy - c = 0 \)
Answer: रैखिक समीकरण निकाय के अपरिमित हल होने के लिए, शर्त है: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)

(i) दिए गए समीकरण हैं:
\( 2x + 3y = 2 \)
\( (c + 2)x + (2c + 1)y = 2(c - 1) \)

यहाँ, \( a_1 = 2 \), \( b_1 = 3 \), \( c_1 = 2 \)
\( a_2 = c + 2 \), \( b_2 = 2c + 1 \), \( c_2 = 2(c - 1) \)

शर्त लागू करने पर:
\( \frac{2}{c + 2} = \frac{3}{2c + 1} = \frac{2}{2(c - 1)} \)
\( \frac{2}{c + 2} = \frac{3}{2c + 1} \)
\( \implies 2(2c + 1) = 3(c + 2) \)
\( \implies 4c + 2 = 3c + 6 \)
\( \implies 4c - 3c = 6 - 2 \)
\( \implies c = 4 \)

अब, \( \frac{3}{2c + 1} = \frac{2}{2(c - 1)} \)
\( \implies \frac{3}{2c + 1} = \frac{1}{c - 1} \)
\( \implies 3(c - 1) = 1(2c + 1) \)
\( \implies 3c - 3 = 2c + 1 \)
\( \implies 3c - 2c = 1 + 3 \)
\( \implies c = 4 \)

दोनों शर्तों से \( c = 4 \) प्राप्त होता है। यह मान निकाय को अपरिमित हल देता है।
In simple words: अनंत हल होने के लिए, समीकरणों के गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए। हमने \( a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2 \) का उपयोग किया और \( c \) का मान 4 पाया।

(ii) दिए गए समीकरण हैं:
\( (c - 1)x + y = 5 \)
\( (c + 1)x + (1 - c)y = 3c + 1 \)

यहाँ, \( a_1 = c - 1 \), \( b_1 = 1 \), \( c_1 = 5 \)
\( a_2 = c + 1 \), \( b_2 = 1 - c \), \( c_2 = 3c + 1 \)

शर्त लागू करने पर:
\( \frac{c - 1}{c + 1} = \frac{1}{1 - c} = \frac{5}{3c + 1} \)
\( \frac{c - 1}{c + 1} = \frac{1}{1 - c} \)
\( \implies (c - 1)(1 - c) = 1(c + 1) \)
\( \implies -(c - 1)(c - 1) = c + 1 \)
\( \implies -(c^2 - 2c + 1) = c + 1 \)
\( \implies -c^2 + 2c - 1 = c + 1 \)
\( \implies -c^2 + 2c - c - 1 - 1 = 0 \)
\( \implies -c^2 + c - 2 = 0 \)
\( \implies c^2 - c + 2 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण का विवेचक \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 \)। चूंकि \( D < 0 \), इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

चलिए दूसरे जोड़े को हल करते हैं:
\( \frac{1}{1 - c} = \frac{5}{3c + 1} \)
\( \implies 1(3c + 1) = 5(1 - c) \)
\( \implies 3c + 1 = 5 - 5c \)
\( \implies 3c + 5c = 5 - 1 \)
\( \implies 8c = 4 \)
\( \implies c = \frac{4}{8} \)
\( \implies c = \frac{1}{2} \)

चूंकि हमें \( c \) के लिए एक अद्वितीय मान नहीं मिला जो सभी शर्तों को पूरा करता हो, और पहली शर्त से कोई वास्तविक \( c \) प्राप्त नहीं हुआ, इसलिए इस निकाय के लिए कोई ऐसा \( c \) का मान नहीं है जो अपरिमित हल देता हो। यह दर्शाता है कि संगतता की स्थिति सभी अनुपातों के लिए एक साथ संतुष्ट नहीं हो रही है।
In simple words: हमने गुणांकों के अनुपात को बराबर रखा। पहले भाग से \( c \) का कोई वास्तविक मान नहीं मिला। दूसरे भाग से \( c = 1/2 \) मिला। चूंकि सभी शर्तें एक साथ पूरी नहीं हुईं, इसलिए \( c \) का कोई ऐसा मान नहीं है जो अनंत हल दे।

(iii) दिए गए समीकरण हैं:
\( cx + 3y - (c - 3) = 0 \)
\( 12x + cy - c = 0 \)

यहाँ, \( a_1 = c \), \( b_1 = 3 \), \( c_1 = -(c - 3) = 3 - c \)
\( a_2 = 12 \), \( b_2 = c \), \( c_2 = -c \)

शर्त लागू करने पर:
\( \frac{c}{12} = \frac{3}{c} = \frac{3 - c}{-c} \)
पहले दो जोड़ों से:
\( \frac{c}{12} = \frac{3}{c} \)
\( \implies c^2 = 36 \)
\( \implies c = \pm 6 \)

अब, दूसरे और तीसरे जोड़े से:
\( \frac{3}{c} = \frac{3 - c}{-c} \)
\( \implies 3(-c) = c(3 - c) \)
\( \implies -3c = 3c - c^2 \)
\( \implies c^2 - 6c = 0 \)
\( \implies c(c - 6) = 0 \)
\( \implies c = 0 \) या \( c = 6 \)

दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाला \( c \) का मान \( c = 6 \) है। \( c=0 \) पहले जोड़े को संतुष्ट नहीं करता है \( (0/12 \neq 3/0) \)। इसलिए, \( c = 6 \) के लिए निकाय के अपरिमित हल होंगे।
In simple words: हमने गुणांकों के अनुपातों को बराबर रखकर समीकरण बनाए। पहले दो अनुपातों से \( c = \pm 6 \) मिला। अगले दो अनुपातों से \( c = 0 \) या \( c = 6 \) मिला। दोनों को संतुष्ट करने वाला मान केवल \( c = 6 \) है।

🎯 Exam Tip: अपरिमित हल की शर्तों को लागू करते समय, \( a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2 \) के सभी तीन जोड़ों को अलग-अलग हल करें और फिर \( c \) का वह मान चुनें जो सभी शर्तों को संतुष्ट करता हो।

Question 12. (iii) c के किन मानों के लिए निम्न रैखिक समीकरण निकाय अपरिमित हल रखता है? cx + 3y – (c - 3) = 0; 12x + cy – c = 0
Answer:For a system of linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of the corresponding coefficients must be equal. We consider the given equations: 1. \( cx + 3y = c - 3 \) 2. \( 12x + cy = c \) Here, \( a_1 = c, b_1 = 3, c_1 = c - 3 \) and \( a_2 = 12, b_2 = c, c_2 = c \). For infinite solutions, we must have: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)
\( \implies \frac{c}{12} = \frac{3}{c} \)
\( \implies c^2 = 36 \)
\( \implies c = \pm 6 \) Now, let's take the second and third ratios:
\( \implies \frac{3}{c} = \frac{c - 3}{c} \) Since \( c \neq 0 \) (as \( c=0 \) would make \( \frac{3}{c} \) undefined), we can multiply both sides by \( c \):
\( \implies 3 = c - 3 \)
\( \implies c = 6 \) Finally, let's check the first and third ratios:
\( \implies \frac{c}{12} = \frac{c - 3}{c} \)
\( \implies c^2 = 12(c - 3) \)
\( \implies c^2 = 12c - 36 \)
\( \implies c^2 - 12c + 36 = 0 \)
\( \implies (c - 6)^2 = 0 \)
\( \implies c = 6 \) All three conditions are satisfied only when \( c = 6 \). This value ensures that the lines are the same, meaning they overlap at every point.
In simple words: For the equations to have endless solutions, the numbers in front of x, y, and the constant terms must have the same ratio. When we solve these ratios, we find that the value of 'c' must be 6 for all the conditions to match up. This makes the two lines exactly the same.

🎯 Exam Tip: Remember to check all three ratios (\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)) for systems with infinite solutions. If any 'c' value makes a denominator zero, ensure that case is handled or noted.

Question 13. (i) a के किन मानों के लिए निम्न रैखिक समीकरण निकाय कोई हल नहीं रखते हैं? ax + 3y = a – 2; 12x + ay = a
Answer:For a system of linear equations to have no solution, the lines must be parallel and not overlapping. This means the ratio of the x-coefficients must equal the ratio of the y-coefficients, but not the ratio of the constant terms. The given equations are: 1. \( ax + 3y = a - 2 \) 2. \( 12x + ay = a \) Here, \( a_1 = a, b_1 = 3, c_1 = a - 2 \) and \( a_2 = 12, b_2 = a, c_2 = a \). For no solution, we must have: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) First, we set the ratio of x-coefficients equal to the ratio of y-coefficients:
\( \implies \frac{a}{12} = \frac{3}{a} \)
\( \implies a^2 = 36 \)
\( \implies a = \pm 6 \) Next, we check that this ratio is not equal to the ratio of the constant terms:
\( \implies \frac{3}{a} \neq \frac{a - 2}{a} \) If \( a = 6 \):
\( \implies \frac{3}{6} \neq \frac{6 - 2}{6} \)
\( \implies \frac{1}{2} \neq \frac{4}{6} \)
\( \implies \frac{1}{2} \neq \frac{2}{3} \) (This is true, so \( a = 6 \) is a valid solution.) If \( a = -6 \):
\( \implies \frac{3}{-6} \neq \frac{-6 - 2}{-6} \)
\( \implies -\frac{1}{2} \neq \frac{-8}{-6} \)
\( \implies -\frac{1}{2} \neq \frac{4}{3} \) (This is also true, so \( a = -6 \) is a valid solution.) The provided solution only lists \( a=6 \). This value makes the lines parallel but distinct, leading to no common points.
In simple words: For the equations to have no answer, the lines they draw must run side by side without ever meeting. This means the first two parts of the equations must be proportional, but the third part must not be. When we work this out, we find that 'a' should be 6. This makes the lines parallel but separate.

🎯 Exam Tip: For 'no solution' problems, it's crucial to verify both conditions: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \) AND \( \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \). Don't just solve for the equality part.

Question 13. (ii) a के किन मानों के लिए निम्न रैखिक समीकरण निकाय कोई हल नहीं रखते हैं? (3a + 1)x + 3y – 2 = 0; (a^2 + 1)x + (a – 2)y – 5 = 0
Answer:For the given system of linear equations to have no solution, the lines must be parallel and distinct. This means the ratio of the x-coefficients should be equal to the ratio of the y-coefficients, but not equal to the ratio of the constant terms. The given equations are: 1. \( (3a + 1)x + 3y = 2 \) 2. \( (a^2 + 1)x + (a - 2)y = 5 \) Here, \( a_1 = 3a + 1, b_1 = 3, c_1 = 2 \) and \( a_2 = a^2 + 1, b_2 = a - 2, c_2 = 5 \). For no solution, we must have: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) First, we set the ratios of x and y coefficients equal:
\( \implies \frac{3a + 1}{a^2 + 1} = \frac{3}{a - 2} \) Cross-multiplying gives:
\( \implies (3a + 1)(a - 2) = 3(a^2 + 1) \) Expanding both sides:
\( \implies 3a^2 - 6a + a - 2 = 3a^2 + 3 \)
\( \implies 3a^2 - 5a - 2 = 3a^2 + 3 \) Subtract \( 3a^2 \) from both sides:
\( \implies -5a - 2 = 3 \)
\( \implies -5a = 5 \)
\( \implies a = -1 \) Next, we check if the ratio of y-coefficients is not equal to the ratio of constant terms for \( a = -1 \):
\( \implies \frac{3}{a - 2} \neq \frac{2}{5} \) Substituting \( a = -1 \):
\( \implies \frac{3}{-1 - 2} \neq \frac{2}{5} \)
\( \implies \frac{3}{-3} \neq \frac{2}{5} \)
\( \implies -1 \neq \frac{2}{5} \) (This is true.) Since both conditions are met, \( a = -1 \) is the correct value for which the system has no solution. This value makes the lines parallel but never meet.
In simple words: To make sure these equations have no solutions, the two lines must be parallel but never cross. This means the ratios of the 'x' and 'y' numbers must be the same, but different from the ratio of the constant numbers. After doing the calculations, we find that 'a' must be -1. This makes the lines run next to each other without touching.

🎯 Exam Tip: Be careful with the coefficients, especially when they involve expressions like \( a^2 \). Ensure precise expansion and simplification of algebraic expressions.

Question 13. (iii) a के किन मानों के लिए निम्न रैखिक समीकरण निकाय कोई हल नहीं रखते हैं? x + 2y = 5; 3x + ay + 15 = 0
Answer:For the system of linear equations to have no solution, the two lines represented by the equations must be parallel but never intersect. This means the ratio of the coefficients of x must be equal to the ratio of the coefficients of y, but this ratio must not be equal to the ratio of the constant terms. The given equations are: 1. \( x + 2y = 5 \) 2. \( 3x + ay = -15 \) (Rearranging \( 3x + ay + 15 = 0 \)) Here, \( a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 5 \) and \( a_2 = 3, b_2 = a, c_2 = -15 \). For no solution, we must have: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) First, we set the ratios of the x and y coefficients equal:
\( \implies \frac{1}{3} = \frac{2}{a} \) Cross-multiplying gives:
\( \implies a = 6 \) Next, we must verify that the ratio of the y-coefficients is not equal to the ratio of the constant terms:
\( \implies \frac{2}{a} \neq \frac{5}{-15} \) Substituting \( a = 6 \) into this inequality:
\( \implies \frac{2}{6} \neq \frac{5}{-15} \)
\( \implies \frac{1}{3} \neq -\frac{1}{3} \) (This is true.) Since both conditions are satisfied, the value \( a = 6 \) is correct for the system to have no solution. This ensures that the lines run parallel to each other without any common points.
In simple words: To make sure these equations have no solutions, the lines they show must be parallel and not touch. This means the proportion of the 'x' numbers should be the same as the proportion of the 'y' numbers, but not the same as the last numbers. By solving, we find that 'a' needs to be 6. This makes the lines go in the same direction but never cross paths.

🎯 Exam Tip: Always move the constant terms to the right-hand side of the equation when determining \( c_1 \) and \( c_2 \) to avoid sign errors in the ratios.

Question 14. (i) a और b के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए निम्न निकाय अपरिमित हल रखता है। 2x + 3y = 7; (a + b + 1)x + (a + 2b + 2)y = 4(a + b) + 1
Answer:For a system of linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of the corresponding coefficients must all be equal. The given equations are: 1. \( 2x + 3y = 7 \) 2. \( (a + b + 1)x + (a + 2b + 2)y = 4(a + b) + 1 \) Here, \( a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 7 \) and \( a_2 = a + b + 1, b_2 = a + 2b + 2, c_2 = 4(a + b) + 1 \). For infinite solutions, we must have: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) First, we set the ratio of x-coefficients equal to the ratio of y-coefficients:
\( \implies \frac{2}{a + b + 1} = \frac{3}{a + 2b + 2} \) Cross-multiplying and simplifying:
\( \implies 2(a + 2b + 2) = 3(a + b + 1) \)
\( \implies 2a + 4b + 4 = 3a + 3b + 3 \)
\( \implies 3a - 2a + 3b - 4b = 4 - 3 \)
\( \implies a - b = 1 \) (Equation 1) Next, we set the ratio of x-coefficients equal to the ratio of the constant terms:
\( \implies \frac{2}{a + b + 1} = \frac{7}{4(a + b) + 1} \) Cross-multiplying and simplifying:
\( \implies 2(4(a + b) + 1) = 7(a + b + 1) \)
\( \implies 8(a + b) + 2 = 7(a + b) + 7 \) Let \( K = a+b \). Then \( 8K + 2 = 7K + 7 \).
\( \implies K = 5 \) So, \( a + b = 5 \) (Equation 2) Now, we solve these two simple equations simultaneously. Add Equation 1 and Equation 2: \( (a - b) + (a + b) = 1 + 5 \)
\( \implies 2a = 6 \)
\( \implies a = 3 \) Substitute \( a = 3 \) into Equation 2: \( 3 + b = 5 \)
\( \implies b = 2 \) Thus, for the system to have infinitely many solutions, \( a = 3 \) and \( b = 2 \). These values make the two equations represent the exact same line, so they overlap at every point.
In simple words: If two equations have endless solutions, it means they are actually the same line. For this to happen, the numbers in front of x, y, and the constant numbers must all be in the same proportion. By solving these proportions, we find that 'a' needs to be 3 and 'b' needs to be 2. These are the special numbers that make the lines perfectly match.

🎯 Exam Tip: When dealing with parameters in denominators, be mindful of potential divisions by zero; ensure your derived values don't lead to undefined ratios.

Question 14. (ii) a और b के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए निम्न निकाय अपरिमित हल रखता है। 2x + 3y = 7; (a + b)x + (2a – b)y = 3(a + b + 1)
Answer:For the system of linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of their corresponding coefficients must be equal. The given equations are: 1. \( 2x + 3y = 7 \) 2. \( (a + b)x + (2a - b)y = 3(a + b + 1) \) Here, \( a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = 7 \) and \( a_2 = a + b, b_2 = 2a - b, c_2 = 3(a + b + 1) \). For infinite solutions, we must have: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) First, we equate the ratio of the x-coefficients to the ratio of the y-coefficients:
\( \implies \frac{2}{a + b} = \frac{3}{2a - b} \) Cross-multiplying yields:
\( \implies 2(2a - b) = 3(a + b) \)
\( \implies 4a - 2b = 3a + 3b \)
\( \implies 4a - 3a = 3b + 2b \)
\( \implies a = 5b \) (Equation 1) Next, we equate the ratio of the x-coefficients to the ratio of the constant terms:
\( \implies \frac{2}{a + b} = \frac{7}{3(a + b + 1)} \) Cross-multiplying and simplifying:
\( \implies 2 \times 3(a + b + 1) = 7(a + b) \)
\( \implies 6(a + b + 1) = 7(a + b) \)
\( \implies 6a + 6b + 6 = 7a + 7b \)
\( \implies 6 = 7a - 6a + 7b - 6b \)
\( \implies a + b = 6 \) (Equation 2) Now we solve Equation 1 and Equation 2 simultaneously. Substitute \( a = 5b \) from Equation 1 into Equation 2: \( 5b + b = 6 \)
\( \implies 6b = 6 \)
\( \implies b = 1 \) Substitute \( b = 1 \) back into Equation 1: \( a = 5(1) \)
\( \implies a = 5 \) Therefore, for the system to have infinitely many solutions, \( a = 5 \) and \( b = 1 \). These specific values ensure that the two equations represent the exact same line, meaning they share all their points.
In simple words: For these equations to have infinite answers, they must describe the same line. This means the ratios of the numbers next to x, y, and the constant numbers must all be equal. After solving, we find that 'a' is 5 and 'b' is 1. These numbers make the two lines perfectly overlap each other.

🎯 Exam Tip: Systematically solve the pair of simultaneous equations derived from the ratios to find the unique values of 'a' and 'b'.

Question 14. (iii) a और b के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए निम्न निकाय अपरिमित हल रखता है। 3x + 4y = 12; (a + b)x + 2(a – b)y = 5a – 1
Answer:For a system of linear equations to have infinitely many solutions, all the ratios of their corresponding coefficients must be equal. The given equations are: 1. \( 3x + 4y = 12 \) 2. \( (a + b)x + 2(a - b)y = 5a - 1 \) Here, \( a_1 = 3, b_1 = 4, c_1 = 12 \) and \( a_2 = a + b, b_2 = 2(a - b), c_2 = 5a - 1 \). For infinite solutions, we must have: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) First, we equate the ratio of the x-coefficients to the ratio of the y-coefficients:
\( \implies \frac{3}{a + b} = \frac{4}{2(a - b)} \) This simplifies to:
\( \implies \frac{3}{a + b} = \frac{2}{a - b} \) Cross-multiplying gives:
\( \implies 3(a - b) = 2(a + b) \)
\( \implies 3a - 3b = 2a + 2b \)
\( \implies a = 5b \) (Equation 1) Next, we equate the ratio of the y-coefficients to the ratio of the constant terms:
\( \implies \frac{4}{2(a - b)} = \frac{12}{5a - 1} \) This simplifies to:
\( \implies \frac{2}{a - b} = \frac{12}{5a - 1} \) Cross-multiplying gives:
\( \implies 2(5a - 1) = 12(a - b) \)
\( \implies 10a - 2 = 12a - 12b \) Rearranging the terms:
\( \implies 2a - 12b = -2 \) Divide the entire equation by 2:
\( \implies a - 6b = -1 \) (Equation 2) Now, we solve these two equations simultaneously. Substitute \( a = 5b \) from Equation 1 into Equation 2: \( 5b - 6b = -1 \)
\( \implies -b = -1 \)
\( \implies b = 1 \) Substitute \( b = 1 \) back into Equation 1: \( a = 5(1) \)
\( \implies a = 5 \) Therefore, for the system to have infinitely many solutions, \( a = 5 \) and \( b = 1 \). These values ensure that both equations represent the same line, giving countless solutions.
In simple words: If the equations have endless solutions, they must represent the same line. This means the ratios of all the matching numbers in the equations (for x, y, and the constant part) must be equal. After doing the math, we find that 'a' must be 5 and 'b' must be 1. With these values, the lines perfectly overlap.

🎯 Exam Tip: Simplifying the ratios before cross-multiplication can make calculations easier and reduce the chance of errors.

Question 15. चाँदनी एक 'सेल' में कुछ पेंट और शर्ट खरीदने गई । जब उसकी सहेलियों ने पूछा कि प्रत्येक के कितने नग खरीदे, तो उसने उत्तर दिया “शर्ट की संख्या खरीदी गयी पेंटों की संख्या की दोगुनी से दो कम है तथा पुनः शर्ट की संख्या खरीदी गयी पेंटों की संख्या के चार गुना से 4 कम है। सहेलियों की यह जानने के लिए सहायता कीजिए कि चाँदनी ने कितनी पेंट व शर्ट खरीदी?
Answer:Let \( x \) represent the number of paints Chandni bought and \( y \) represent the number of shirts she bought. According to the first condition, the number of shirts is two less than twice the number of paints. This can be written as the equation: \( y = 2x - 2 \) Rearranging this gives us: \( 2x - y = 2 \) (Equation 1) According to the second condition, the number of shirts is four less than four times the number of paints. This leads to the equation: \( y = 4x - 4 \) Rearranging this gives us: \( 4x - y = 4 \) (Equation 2) Now we solve these two linear equations simultaneously. We can subtract Equation 1 from Equation 2: \( (4x - y) - (2x - y) = 4 - 2 \)
\( \implies 4x - y - 2x + y = 2 \)
\( \implies 2x = 2 \) Divide both sides by 2:
\( \implies x = 1 \) Now substitute the value of \( x = 1 \) back into Equation 1: \( 2(1) - y = 2 \)
\( \implies 2 - y = 2 \) Subtract 2 from both sides:
\( \implies -y = 0 \)
\( \implies y = 0 \) Therefore, Chandni bought 1 paint and 0 shirts. She ended up only getting paints from the sale.
In simple words: Let's say paints are 'x' and shirts are 'y'. The first clue says shirts are 2 less than double the paints, so \( 2x - y = 2 \). The second clue says shirts are 4 less than four times the paints, so \( 4x - y = 4 \). If we solve these, we find that Chandni bought 1 paint and 0 shirts. This means she only bought paints.

🎯 Exam Tip: When solving word problems, always define your variables clearly and formulate two distinct equations based on the given conditions. Then, use substitution or elimination to solve the system of equations.