UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 15 Probability

UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 15 Probability (प्रायिकता)

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Exercise 15.1 (NCERT Page 337)

Question 1. निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिएः
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं' की प्रायिकता = \(\underline{1}\) है।
(it) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती \(\underline{0}\) है। ऐसी घटना \(\underline{असम्भव घटना}\) कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है \(\underline{1}\) है। ऐसी घटना \(\underline{निश्चित घटना}\) कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग \(\underline{1}\) है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता \(\underline{0}\) से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा \(\underline{1}\) से छोटी या उसके बराबर होती है।
Answer: (i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं' की प्रायिकता = 1 है। (ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती 0 है। ऐसी घटना असम्भव घटना कहलाती है। (iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है 1 है। ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है। (iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है। (v) किसी घटना की प्रायिकता 0 से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा 1 से छोटी या उसके बराबर होती है।
In simple words: यह प्रश्न प्रायिकता के मूल सिद्धांतों और परिभाषाओं को समझने के लिए है। किसी घटना के होने और न होने की प्रायिकताओं का योग हमेशा 1 होता है, असम्भव घटना की प्रायिकता 0 होती है, निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है, और किसी भी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है।

🎯 Exam Tip: प्रायिकता के बुनियादी नियमों और शर्तों को याद रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि ये अक्सर एक अंक वाले प्रश्नों में पूछे जाते हैं।

Question 2. निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं? स्पष्ट कीजिए ।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।
Answer: (i) जब एक ड्राइवर एक कार को चलाने का प्रयत्न करता है तो कार चलना प्रारंभ करती है या नहीं भी चलती है। अतः इस प्रयोग का परिणाम समप्रायिक नहीं है। (ii) खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डाल भी सकती है या नहीं भी डाल पाती है। अतः यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है। (iii) एक सत्य या असत्य प्रश्न के उत्तर के विषय मे हमें पहले ही पता है कि परिणाम दो में से एक का ‘उत्तर के रूप में आना निश्चित है। अतः इस प्रयोग का परिणाम समप्रायिक है। (iv) किसी बच्चे के जन्म के विषय में लड़का या लड़की का होना निश्चित होता है। अतः इस परिणाम को समप्रायिक कहते हैं।
In simple words: समप्रायिक परिणाम वे होते हैं जिनकी होने की संभावना समान होती है। एक ड्राइवर के कार चलाने या खिलाड़ी के बास्केटबॉल डालने की घटनाएँ समप्रायिक नहीं होतीं क्योंकि उनकी क्षमता परिणाम को प्रभावित करती है, जबकि सत्य-असत्य प्रश्न और बच्चे के लिंग का निर्धारण समप्रायिक घटनाएँ हैं क्योंकि दोनों परिणामों की संभावना बराबर होती है।

🎯 Exam Tip: समप्रायिक घटनाओं को पहचानने की क्षमता सैद्धांतिक प्रायिकता की गणना के लिए महत्वपूर्ण है। सुनिश्चित करें कि आप उन स्थितियों को समझते हैं जहां प्रत्येक परिणाम की संभावना बराबर होती है।

Question 3. फुटबॉल के खेल को प्रारंभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?
Answer: जब 'एक सिक्का उछाला जाता है, तो यह दो में से केवल एक संभावित दशा में धरती पर गिरेगा (चित या पट)। प्रत्येक दशा में परिणाम (चित या पट) ही संभावित है। अर्थात् परिणाम (चित या पट) समप्रायिक है। अतः सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि मानी जाती है।
In simple words: सिक्के को उछालना एक निष्पक्ष तरीका है क्योंकि चित (head) और पट (tail) आने की संभावनाएँ बिल्कुल बराबर (समप्रायिक) होती हैं, जिससे किसी भी टीम को कोई पूर्व लाभ नहीं मिलता।

🎯 Exam Tip: निष्पक्षता (fairness) का सिद्धांत और समप्रायिक घटनाएँ इस प्रकार के प्रश्नों के मुख्य उत्तर हैं। यह अवधारणा प्रायिकता के व्यवहारिक अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 4. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(A) \(\frac{2}{3}\)
(B) -1.5
(C) 15%
(D) 0.7
Answer: (B) -1.5
हलः चूंकि किसी घटना E की प्रायिकता P(E) सदैव
\(0 \le P(E) \le 1\)
(A) \(0 < \frac{2}{3} < 1\) है अर्थात् किसी घटना की प्रायिकता हो सकती है। (B) \(0 > (-1.5)\) अर्थात् – 1.5, शून्य से छोटा है। यह किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है । (C) चूंकि \(0 < 15\% < 1\) अर्थात् \(0 < 0.15 < 1\), किसी घटना की प्रायिकता हो सकती है। (D) \(0 < 0.7 < 1\) है। यह किसी घटना की प्रायिकता हो सकती है।
In simple words: प्रायिकता का मान हमेशा 0 और 1 के बीच होता है, जिसमें 0 असम्भव घटना और 1 निश्चित घटना को दर्शाता है; नकारात्मक मान प्रायिकता के दायरे से बाहर होते हैं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि प्रायिकता का मान कभी भी 0 से कम या 1 से अधिक नहीं हो सकता। विकल्पों को दशमलव या भिन्न में बदलकर तुलना करें।

Question 5. यदि P(E) = 0.05 है, तो 'E नहीं' की प्रायिकता क्या है?
Answer: हलः चूंकि \(P(E) + P(E नहीं) = 1\)
\(0.05 + P(E नहीं) = 1\)
\(P(E नहीं) = 1 - 0.05 = 0.95\)
अतः (E नहीं) की प्रायिकता 0.95 है।
In simple words: यदि किसी घटना (E) के होने की प्रायिकता दी गई है, तो उसके न होने की प्रायिकता (E नहीं) को 1 में से घटना E की प्रायिकता घटाकर ज्ञात किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: यह सूत्र \(P(E) + P(E') = 1\) एक मौलिक सिद्धांत है जिसे याद रखना चाहिए। सरल गणना करके ऐसे प्रश्नों के पूरे अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।

Question 6. एक थैले में केवल नीबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है। कि वह निकाली गई गोली
(i) संतरे की महक वाली है?
(ii) नीबू की महक वाली है?
Answer: हलः (i) चूंकि थैले में सभी गोलियाँ नींबू की महक वाली हैं अर्थात् थैले में से एक संतरे की महक वाली गोली निकालना एक असंभव घटना है। \(P(\text{सन्तरे की महक वाली गोली}) = 0\) (ii) चूंकि थैले में सभी गोलियाँ नींबू की महक वाली हैं। थैले में से एक नींबू की महक वाली गोली निकालना एक निश्चित घटना है । \(P(\text{नीबू की महक वाली गोली}) = 1\)
In simple words: क्योंकि थैले में केवल नींबू की महक वाली गोलियाँ हैं, संतरे की महक वाली गोली निकालने की प्रायिकता 0 (असम्भव) है, और नींबू की महक वाली गोली निकालने की प्रायिकता 1 (निश्चित) है।

🎯 Exam Tip: असंभव और निश्चित घटनाओं की प्रायिकता का यह सीधा अनुप्रयोग है। ऐसे प्रश्नों में, संभावनाओं को स्पष्ट रूप से 0 या 1 के रूप में पहचानें।

Question 7. यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन में होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?
Answer: हलः माना 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन नहीं होने की घटना E है। चूंकि \(P(E) + P(E नहीं) = 1\). परन्तु \(P(E नहीं) = 0.992\)
\(P(E नहीं) + 0.992 = 1\)
\(P(E नहीं) = 1 - 0.992 = 0.008\)
अतः 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन होने की घटना की प्रायिकता 0.008 है।
In simple words: यदि दो छात्रों का जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है, तो उनके जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता को 1 में से इस मान को घटाकर (1 - 0.992 = 0.008) ज्ञात किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: "न होने की प्रायिकता" दिए जाने पर "होने की प्रायिकता" निकालने का यह एक सीधा उदाहरण है। यह सूत्र \(P(A) = 1 - P(A')\) को सही ढंग से लागू करने का अभ्यास करें।

Question 8. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद
(i) लाल हो?
(ii) लाल नहीं हो?
Answer: हलः थैले में गेंदों की कुल संख्या = \(3 + 5 = 8\)
थैले में से एक गेंद निकालने की घटना के सभी संभव परिणामों की संख्या = 8
(i) चूंकि लाल गेंदों की संख्या = 3
अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
\[P(\text{लाल गेंद निकालना}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{8}\]
अतः \(P(\text{लाल गेंद निकालना}) = \frac{3}{8}\)
(ii) चूंकि काली गेंदों की संख्या = 5

\( \implies \) लाल गेंद नहीं वाले परिणामों की संख्या = 5
अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
\[P(\text{लाल गेंद नहीं निकालना}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{8}\]
In simple words: थैले में कुल 8 गेंदें हैं। लाल गेंद की प्रायिकता अनुकूल लाल गेंदों की संख्या (3) को कुल गेंदों की संख्या (8) से विभाजित करके \(\frac{3}{8}\) है। लाल न होने की प्रायिकता काली गेंदों की संख्या (5) को कुल गेंदों की संख्या (8) से विभाजित करके \(\frac{5}{8}\) है।

🎯 Exam Tip: प्रायिकता निकालने के लिए, पहले कुल संभव परिणामों की संख्या और फिर घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या की पहचान करें। सूत्र \(P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}}\) का उपयोग करें।

Question 9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है?
(ii) सफेद है?
(iii) हरा नहीं है?
Answer: हलः डिब्बे में कंचों की कुल संख्या = 5 लाल कंचे + 8 सफेद कंचे + 4 हरे कंचे = 17 कंचे।
डिब्बे में से एक कंचा निकालने की घटना के सम्भव परिणामों की संख्या = 17
(i) लाल गेंदों की संख्या = 5
डिब्बे में से निकाली गई गेंद का लाल होने की घटना के परिणामों की संख्या = 5
अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
\[P(\text{लाल गेंद}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{17}\]
(ii) सफेद गेंदों की संख्या = 8
डिब्बे में से सफेद गेंद निकाली जाने की घटना के परिणामों की संख्या = 8
अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
\[P(\text{सफेद गेंद}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{8}{17}\]
(iii) डिब्बे में हरी गेंदों की संख्या = 4
डिब्बे में 'हरी गेंद नहीं' की संख्या \(17 - 4 = 13\)
डिब्बे में से निकाली गई गेंद का 'हरा नहीं' होने की घटना के परिणामों की संख्या = 13
अर्थात् अनुकूल परिणामों की संख्या = 13
\[P(\text{हरा गेंद नहीं निकालना}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{13}{17}\]
In simple words: डिब्बे में कुल 17 कंचे हैं। लाल कंचे निकालने की प्रायिकता \(\frac{5}{17}\), सफेद कंचे निकालने की प्रायिकता \(\frac{8}{17}\) है, और हरा कंचा न निकालने की प्रायिकता (जो कि लाल या सफेद कंचा निकालने के समान है) अनुकूल कंचों की संख्या (13) को कुल कंचों (17) से विभाजित करके \(\frac{13}{17}\) है।

🎯 Exam Tip: कुल परिणामों की संख्या सही ढंग से निकालना महत्वपूर्ण है। फिर, प्रत्येक विशेष घटना के लिए अनुकूल परिणामों की पहचान करें और भागफल के रूप में प्रायिकता की गणना करें।

Question 10. एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के हैं, 1 के पचास सिक्के हैं, 2 के बीस सिक्के और 5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होगा?
(ii) Rs. 5 का नहीं होगा?
Answer: हलः पिग्गी-बैंक में कुल सिक्कों की संख्या = 50 पैसे के सिक्के + Rs. 1 के सिक्के + Rs. 2 के सिक्के + Rs. 5 के सिक्के
\( = 100 + 50 + 20 + 10 = 180\)
पिग्गी बैंक से सिक्का निकलने की घटना के परिणामों की संख्या = 180
(i) 50 पै. के सिक्कों की संख्या = 100
पिग्गी बैंक से 50 पैसे का सिक्का गिरने की घटना की संख्या = 100
\[P(\text{50 पैसे का सिक्का होना}) = \frac{100}{180} = \frac{5}{9}\]
(ii) Rs. 5 के सिक्कों की संख्या = 10
Rs. 5 के अतिरिक्त सिक्कों की संख्या \( = 180 - 10 = 170\)
पिग्गी बैंक से गिरने वाले सिक्कों का 'Rs. 5 का सिक्का नहीं' होने की घटना के परिणामों की संख्या = 170
\[P(\text{Rs. 5 का सिक्का नहीं}) = \frac{170}{180} = \frac{17}{18}\]
In simple words: पिग्गी बैंक में कुल 180 सिक्के हैं। 50 पैसे का सिक्का गिरने की प्रायिकता \(\frac{100}{180}\) या \(\frac{5}{9}\) है। Rs. 5 का सिक्का न गिरने की प्रायिकता, Rs. 5 के सिक्कों को छोड़कर अन्य सभी सिक्कों की संख्या (170) को कुल सिक्कों की संख्या (180) से विभाजित करने पर \(\frac{170}{180}\) या \(\frac{17}{18}\) है।

🎯 Exam Tip: विभिन्न श्रेणियों के लिए अनुकूल परिणामों की सही गणना करना और फिर प्रायिकता सूत्र में प्रतिस्थापित करना महत्वपूर्ण है। 'नहीं' वाले प्रश्नों को हल करने के लिए कुल में से प्रतिकूल परिणाम घटाएं।

Question 11. गोपी अपने जल-जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?
Answer: हलः मछलियों की कुल संख्या = (नर मछलियों की संख्या) + (मादा मछलियों की संख्या) = \(5 + 8 = 13\)
कुंड में से मछली निकालने की घटना के परिणामों की कुल संख्या = 13
संभव परिणामों की संख्या = 13
चूंकि नर मछलियों की संख्या = 5
अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
\[P(\text{नर मछली का निकलना}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{13}\]
In simple words: टंकी में कुल 13 मछलियाँ (5 नर और 8 मादा) हैं। यदि एक मछली यादृच्छया निकाली जाती है, तो उसके नर होने की प्रायिकता नर मछलियों की संख्या (5) को कुल मछलियों की संख्या (13) से विभाजित करके \(\frac{5}{13}\) है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले कुल संभावित outcomes की गणना करें, फिर विशेष घटना (जैसे नर मछली) के अनुकूल outcomes की संख्या ज्ञात करें।

Question 12. संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्ताकार डिस्क है जिसे 8 समान खंडों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक खंड में 1 से 8 तक की संख्याएँ अंकित हैं, और केंद्र में एक तीर लगा हुआ है जो घूमने के बाद किसी एक संख्या पर रुकता है।
Answer: हलः चूंकि विश्राम में आने पर तीर 1 से 8 तक की किसी भी संख्या को इंगित करता है।
संभव परिणामों की संख्या = 8
(i) चूंकि चक्र पर 8 का एक अंक है।
अंक 8 को इंगित करने की घटना के परिणामों की संख्या = 1
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
\[P(\text{8 की ओर तीर इंगित होना}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{8}\]
(ii) चूंकि विषम संख्याएँ 1, 3, 5 और 7 हैं।
विषम संख्याओं की संख्या = 4

\( \implies \) अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
\[P(\text{विषम संख्या की ओर तीर इंगित होना}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\]
(iii) चूंकि 2 से बड़ी संख्याएँ: 3, 4, 5, 6, 7 और 8 हैं
2 से बड़ी संख्याओं की संख्या = 6

\( \implies \) अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
\[P(\text{2 से बड़ी संख्या की ओर तीर इंगित होना}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]
(iv) 9 से छोटी संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8

\( \implies \) अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
\[P(\text{9 से छोटी संख्या की ओर तीर इंगित होना}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{8}{8} = 1\]
In simple words: तीर के खेल में कुल 8 संभावित परिणाम हैं। 8 को इंगित करने की प्रायिकता \(\frac{1}{8}\) है। विषम संख्या (1, 3, 5, 7) को इंगित करने की प्रायिकता \(\frac{4}{8}\) या \(\frac{1}{2}\) है। 2 से बड़ी संख्या (3, 4, 5, 6, 7, 8) को इंगित करने की प्रायिकता \(\frac{6}{8}\) या \(\frac{3}{4}\) है। 9 से छोटी संख्या (सभी संख्याएँ) को इंगित करने की प्रायिकता \(\frac{8}{8}\) या 1 (निश्चित) है।

🎯 Exam Tip: परिणामों की सही गणना करने और उन्हें कुल संभव परिणामों से विभाजित करने पर ध्यान दें। 'से बड़ा', 'से छोटा', 'विषम' या 'सम' जैसी शर्तों को सावधानीपूर्वक पहचानें।

Question 13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिएः
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या
Answer: हलः
(i) एक पासे पर अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं।
माना कि घटना E” एक अभाज्य संख्या प्राप्त करना है।”
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
चूंकि पासे पर छः संख्याएँ [1, 2, 3, 4, 5 और 6] होती हैं।
E के संभावित परिणामों की संख्या = 6
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
(ii) माना घटना E, पासे पर 2 और 6 के बीच की कोई संख्या प्राप्त करना है।
2 और 6 के बीच की संख्याएँ 3, 4 और 5 हैं।
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
E के कुल संभव परिणामों की संख्या = 6
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
(iii) माना घटना E " पासे पर एक विषम संख्या प्राप्त करना है।"
चूंकि पासे पर विषम संख्याएँ 1, 3 और 5 है।
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3, E के सभी संभव परिणामों की संख्या = 6
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
In simple words: एक पासा फेंकने पर कुल 6 संभावित परिणाम (1 से 6) होते हैं। एक अभाज्य संख्या (2, 3, 5) प्राप्त करने की प्रायिकता \(\frac{3}{6}\) या \(\frac{1}{2}\) है। 2 और 6 के बीच की संख्या (3, 4, 5) प्राप्त करने की प्रायिकता \(\frac{3}{6}\) या \(\frac{1}{2}\) है। एक विषम संख्या (1, 3, 5) प्राप्त करने की प्रायिकता भी \(\frac{3}{6}\) या \(\frac{1}{2}\) है।

🎯 Exam Tip: पासे के प्रत्येक फलक पर लिखी संख्याओं को ध्यान से देखें। अभाज्य, विषम, या एक निश्चित सीमा के भीतर की संख्याओं को सही ढंग से वर्गीकृत करना महत्वपूर्ण है।

Question 14. 52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम को पत्ता
(vi) एक ईंट की बेगम
Answer: हलः चूंकि तास की एक गड्डी में 52 पत्ते होते हैं।
एक पत्ता 52 तरीकों से निकाला जा सकता है।
प्रत्येक अवस्था में सभी संभव परिणामों की संख्या = 52
(i) माना घटना E, “लाल रंग का बादशाह प्राप्त करना है।
चूंकि एक गड्डी में लाल रंग के 2 बादशाह [1 पान (hearts) का और 1 ईंट (diamond) का]
अनुकूल परिणामों की संख्या = 2,
सभी संभव परिणामों की संख्या = 52
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}\]
(ii) माना घटना E, "एक फेस कार्ड प्राप्त करना है"।
चूंकि एक गड्डी में 12 फेस कार्ड होते हैं।
[: एक रंग के तीन फेस कार्ड- बादशाह,
बेगम और गुलाम होते हैं।
चार रंगों के \(3 \times 4 = 12\) फेस कार्ड होते हैं।]
अनुकूल परिणामों की संख्या = 12;
कुल परिणामों की संख्या = 52
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}\]
(iii) माना घटना E, "लाल रंग की तस्वीर वाला पत्ता" प्राप्त करना है।
चूंकि एक रंग में 3 पत्ते तस्वीर वाले (बादशाह, बेगम,
गुलाम) होते हैं और ईंट तथा पान के पत्ते लाल रंग के होते हैं।
तस्वीर वाले लाल रंग के कुल पत्ते \( = 2 \times 3 = 6\)
अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{52} = \frac{3}{26}\]
(iv) माना घटना E, "पान का गुलाम" प्राप्त करना है। चूंकि
पान का केवल एक ही गुलाम होता है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{52}\]
(v) माना घटना E, “हुकम का पत्ता" प्राप्त करना है। चूंकि
एक गड्डी में हुकम के 13 पत्ते होते हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 13
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\]
(vi) माना घटना E, "एक ईंट की बेगम" प्राप्त करना है।
चूंकि तास की गड्डी में ईंट की बेगम एक होती है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{52}\]
In simple words: 52 पत्तों की गड्डी में: (i) लाल बादशाह की प्रायिकता \(\frac{2}{52}\) या \(\frac{1}{26}\) है। (ii) फेस कार्ड (तस्वीर वाला पत्ता) की प्रायिकता \(\frac{12}{52}\) या \(\frac{3}{13}\) है। (iii) लाल रंग के तस्वीर वाले पत्ते की प्रायिकता \(\frac{6}{52}\) या \(\frac{3}{26}\) है। (iv) पान के गुलाम की प्रायिकता \(\frac{1}{52}\) है। (v) हुकुम के पत्ते की प्रायिकता \(\frac{13}{52}\) या \(\frac{1}{4}\) है। (vi) ईंट की बेगम की प्रायिकता \(\frac{1}{52}\) है।

🎯 Exam Tip: ताश के पत्तों के विभिन्न प्रकारों (रंग, सूट, फेस कार्ड) और उनकी संख्या को याद रखना इन प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है। प्रत्येक घटना के लिए अनुकूल परिणामों की सही पहचान करें।

Question 15. ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का को पलट करके अच्छी प्रकार फेटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है?
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है।
इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता
(a) एक इक्का है?
(b) एक बेगम है?
Answer: हलः चूंकि कुल पत्ते (दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का) पाँच हैं।
(i) माना घटना, E“ निकाला गया पत्ता एक बेगम है” को प्रदर्शित करता है।
कुल परिणामों की संख्या = 5
चूंकि इन पत्तों में केवल एक ही बेगम है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{5}\]
(ii) चूंकि बेगम के पत्ते को निकालकर एक ओर रखने पर, हमारे पास केवल चार पत्ते बचते हैं।
सभी संभव परिणामों की संख्या = 4
(a) चूंकि चार पत्तों में केवल 1 इक्का है।
घटना, E“ निकाला गया पत्ता एक इक्का है” के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{4}\]
(b) माना घटना E, “निकाला गया पत्ता एक बेगम है” को दर्शाता है। \(P(E) = 0\)
In simple words: पाँच विशेष पत्तों में से: (i) बेगम निकालने की प्रायिकता \(\frac{1}{5}\) है क्योंकि केवल एक बेगम है। (ii) यदि बेगम को हटा दिया जाए, तो 4 पत्ते बचते हैं। तब (a) इक्का निकालने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) है और (b) बेगम निकालने की प्रायिकता 0 है क्योंकि बेगम पहले ही हटाई जा चुकी है।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न बिना प्रतिस्थापन के प्रायिकता (probability without replacement) के सिद्धांत को दर्शाता है। यह महत्वपूर्ण है कि दूसरी घटना के लिए कुल संभावित परिणामों को समायोजित किया जाए।

Question 16. किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः कुल पेन = [अच्छे पेनों की संख्या] + [खराब पेनों की संख्या] = [132] + [12] = 144
अतः एक अच्छा पेन निकाले जाने के 144 परिणाम हो सकते हैं।
संभावित परिणामों की संख्या = 144
माना घटना E, “एक अच्छे पेन का निकलना” है।
और अच्छे पेनों की संख्या = 132
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = 132
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{132}{144} = \frac{11}{12}\]
In simple words: कुल 144 पेन (132 अच्छे + 12 खराब) हैं। यदि एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है, तो उसके अच्छा होने की प्रायिकता अच्छे पेनों की संख्या (132) को कुल पेनों की संख्या (144) से विभाजित करके \(\frac{132}{144}\) या \(\frac{11}{12}\) है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले कुल वस्तुओं की संख्या और फिर विशेष प्रकार की वस्तुओं की संख्या की गणना करें। भिन्न को उसके सरलतम रूप में व्यक्त करना न भूलें।

Question 17. (i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब
खराब नहीं होगा?
Answer: हलः
(i) कुल बल्बों की संख्या = 20
सम्भावित परिणामों की संख्या = 20
खराब बल्बों की संख्या = 4
अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
माना घटना E, “निकाला गया बल्ब का खराब होना” है।
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}\]
(ii) चूंकि ऊपर निकाला गया बल्ब खराब नहीं है। और इसे दुबारा बल्बों के साथ नहीं मिलाया गया है।
शेष बल्बों की संख्या = \(20 - 1 = 19\);
खराब बल्बों की संख्या = 4
शेष बचे बल्बों में अच्छे बल्बों की संख्या = \(19 - 4 = 15\)
इस प्रकार, एक अच्छे बल्ब के निकलने के लिए। अनुकूल परिणामों की संख्या = 15
चूंकि शेष बचे कुल बल्ब 19 है, इसलिए सभी संभव परिणामों की संख्या = 19
माना घटना E, 'निकाला गया बल्ब खराब नहीं है' को प्रदर्शित करता है।
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{15}{19}\]
In simple words: (i) 20 बल्बों में से 4 खराब हैं, तो खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता \(\frac{4}{20}\) या \(\frac{1}{5}\) है। (ii) यदि पहला निकाला गया बल्ब अच्छा था और उसे अलग रख दिया गया, तो शेष 19 बल्बों में से 4 खराब और 15 अच्छे बचे। अब खराब न होने (अच्छा होने) की प्रायिकता \(\frac{15}{19}\) है।

🎯 Exam Tip: इस प्रश्न के दो भाग हैं, और दूसरे भाग के लिए, आपको पहले भाग के परिणाम (बल्ब का निकाला जाना) के आधार पर कुल और अनुकूल परिणामों की संख्या को अपडेट करना होगा। यह 'बिना प्रतिस्थापन' की अवधारणा का एक उदाहरण है।

Question 18. एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी;
(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या ।
Answer: हलः पेटी में डिस्कों की संख्या = 90
एक डिस्क निकालने के 90 सम्भव परिणाम हो सकते हैं।
(i) चूंकि प्रत्येक डिस्क पर एक अंक (1 से 90 तक) अंकित हैं।
ऐसी डिस्को की संख्या जिन पर 2 अंकों वाली संख्या अंकित हैं = \(90 - (\text{1 अंक वाली संख्याएँ}) = 90 - 9 = 81\)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9 एक अंक वाली संख्याएँ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 81
माना घटना E” निकाली गई डिस्क पर दो अंकों वाली संख्या का अंकित होना” है।
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{81}{90} = \frac{9}{10}\]
(ii) चूंकि 1 से 90 तक की संख्याओं में 9 पूर्ण वर्ग अर्थात् 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 और 81 है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 9
माना घटना E, 'निकाली गई डिस्क पर एक पूर्ण वर्ग अंकित होना है।
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}\]
(iii) चूंकि 1 से 90 तक की संख्याओं में 5 से विभाज्य संख्याएँ:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 और 90 हैं।
जिनकी संख्या 18 है। माना घटना E, “निकाली गई डिस्क पर अंकित संख्या 5 से विभाज्य” है।
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}\]
In simple words: 1 से 90 तक संख्यांकित 90 डिस्क हैं। (i) दो अंकों की संख्याएँ 10 से 90 तक 81 हैं, इसलिए प्रायिकता \(\frac{81}{90}\) या \(\frac{9}{10}\) है। (ii) पूर्ण वर्ग संख्याएँ (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81) कुल 9 हैं, तो प्रायिकता \(\frac{9}{90}\) या \(\frac{1}{10}\) है। (iii) 5 से विभाज्य संख्याएँ (5, 10,..., 90) कुल 18 हैं, तो प्रायिकता \(\frac{18}{90}\) या \(\frac{1}{5}\) है।

🎯 Exam Tip: संख्याओं को पहचानने और उनकी गणना करने में सटीकता महत्वपूर्ण है। पूर्ण वर्ग, अभाज्य या विभाज्यता जैसी शर्तों को सावधानी से लागू करें।

Question 19. एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं। इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो?
(ii) D प्राप्त हो?
Answer: हलः चूंकि पासे के 6 फलकों पर अंकित अक्षर इस प्रकार हैं:
फेंके जाने पर एक अक्षर छः प्रकार से प्राप्त होता है।
सम्भव परिणामों की कुल संख्या = 6
(i) चूंकि दो फलकों पर अक्षर A अंकित है।
अक्षर A दो प्रकार से प्राप्त हो सकता है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
माना घटना E “अक्षर A का प्राप्त होना” है,
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]
(ii) चूंकि केवल एक फलक पर अक्षर D अंकित है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
माना घटना E “अक्षर D वाला फलक प्राप्त हो” है,
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{6}\]
In simple words: एक विशेष पासे पर, कुल 6 फलक होते हैं। यदि अक्षर 'A' दो फलकों पर है, तो 'A' प्राप्त करने की प्रायिकता \(\frac{2}{6}\) या \(\frac{1}{3}\) है। यदि अक्षर 'D' केवल एक फलक पर है, तो 'D' प्राप्त करने की प्रायिकता \(\frac{1}{6}\) है।

🎯 Exam Tip: यह महत्वपूर्ण है कि आप पासे के फलकों पर प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति को सही ढंग से गिनें। कुल फलकों की संख्या हमेशा संभावित परिणामों की कुल संख्या होती है।

Question 20. मान लीजिए आप एक पासे को आकृति में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1m व्यास वाले वृत्त के अंदर गिरेगा?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक आयताकार क्षेत्र है जिसकी लंबाई 3 मीटर और चौड़ाई 2 मीटर है। इस आयत के अंदर एक वृत्त बना हुआ है जिसका व्यास 1 मीटर है।
Answer: हलः आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई \(\times\) चौड़ाई
\( = 3 \text{ मी. } \times 2 \text{ मी. } = 6 (\text{मी.})^2\)
वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi r^2\)
व्यास = 1 मी.

\( \implies \) अर्धव्यास \( = \frac{1}{2}\) मी.
\( = \pi (\frac{1}{2})^2 \text{ मी.}^2 = \frac{\pi}{4} \text{ मी.}^2\)
माना घटना E, 'पासे का वृत्त के अन्दर गिरना' है
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल क्षेत्र का क्षेत्रफल}}{\text{पूरे क्षेत्र का क्षेत्रफल}} = \frac{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}}{\text{आयत का क्षेत्रफल}}\]
\[ = \frac{\frac{\pi}{4}}{6} = \frac{\pi}{4 \times 6} = \frac{\pi}{24}\]
In simple words: पासे के वृत्त के अंदर गिरने की प्रायिकता वृत्त के क्षेत्रफल (अनुकूल क्षेत्र) को आयत के क्षेत्रफल (कुल क्षेत्र) से विभाजित करके ज्ञात की जाती है। आयत का क्षेत्रफल \(3 \times 2 = 6 \text{ वर्ग मी.}\) है, और 1 मीटर व्यास वाले वृत्त का क्षेत्रफल \(\pi (\frac{1}{2})^2 = \frac{\pi}{4} \text{ वर्ग मी.}\) है। इसलिए प्रायिकता \(\frac{\pi/4}{6} = \frac{\pi}{24}\) है।

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय प्रायिकता प्रश्नों में, आपको अक्सर विभिन्न आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना करनी होगी। सुनिश्चित करें कि आप आयत और वृत्त जैसे सामान्य आकृतियों के क्षेत्रफल के सूत्र जानते हैं।

Question 21. 144 बॉल पेनों के एक समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परंतु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि |
(i) आप वह पेन खरीदेंगे?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे?
Answer: हलः बॉल पेनों की कुल संख्या = 144
1 पेन निकालने के संभावित परिणामों की संख्या = 144
(i) चूंकि खराब पेनों की संख्या = 20
अच्छे पेनों की संख्या = \(144 - 20 = 124\)
अनुकूल परिणामों की संख्या = 124
माना घटना E, “अच्छा पेन खरीदना” है।
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{124}{144} = \frac{31}{36}\]
(ii) माना घटना E, "एक अच्छा पेन नहीं खरीदना" है
\[P(E) = 1 - P(E) = 1 - \frac{31}{36} = \frac{36 - 31}{36} = \frac{5}{36}\]
In simple words: कुल 144 पेनों में से 124 अच्छे और 20 खराब हैं। (i) अच्छा पेन खरीदने की प्रायिकता (जो कि अच्छा पेन प्राप्त करने की प्रायिकता है) \(\frac{124}{144}\) या \(\frac{31}{36}\) है। (ii) खराब पेन मिलने पर आप पेन नहीं खरीदेंगे, इसलिए खराब पेन प्राप्त करने की प्रायिकता \(\frac{20}{144}\) या \(\frac{5}{36}\) है।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न एक घटना के होने और न होने की पूरक प्रायिकताओं (complementary probabilities) का एक अच्छा उदाहरण है। गणना में सटीकता और भिन्न को सरल करना महत्वपूर्ण है।

Question 22. एक सलेटी पासे और एक नीले पासे को एक साथ फेंका जाता है। सभी संभावित परिणामों को लिखिए। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों पासों की संख्याओं का योग ।
(i) 8 है।
(ii) 13 है।
(iii) 12 से छोटी या उसके बराबर है।
(iv) उक्त की सहायता से निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिएः

(v) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि 'यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं।
अतः, प्रत्येक की प्रायिकता है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए ।
Answer: हलः जब नीला पासा ‘1' दर्शाता है, तो सलेटी पासे पर संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई भी संख्या हो सकती है। यही
तब भी होगा, जब नीले पासे पर '2', '3', '4', '5' या '6' होगा। इस प्रयोग के संभावित परिणामों को नीचे सारणी में दिया गया है। प्रत्येक क्रमित युग्म की पहली संख्या नीले पासे पर आने वाली संख्या है तथा
दूसरी संख्या सलेटी पासे पर आने वाली संख्या है।

ध्यान रहे कि युग्म (1, 4) और (4, 1) भिन्न है। इस प्रकार सभी संभव परिणाम \( = 6 \times 6 = 36\)
(i) दोनों पासों की संख्याओं का योग 8
घटना 'दोनों पासों की संख्याओं का योग 8 है' को E से प्रकट करें तो,
E के अनुकूल परिणाम हैं: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) और (6, 2) हैं। जैसा कि उक्त आकृति में दर्शाया गया है।
इन युग्मों की संख्या 5 है।
\[P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{36}\]
(ii) दोनों पासों की संख्याओं का योग 13
उक्त आकृति से स्पष्ट है कि ऐसा कोई भी परिणाम नहीं है जब दोनों पासों की संख्याओं का योग 13 हो।
यदि घटना "दोनों पासों की संख्याओं का 13 है" को F द्वारा व्यक्त किया जाता हो, तो
F के अनुकूल परिणामों की संख्या = 0
\[P(F) = \frac{0}{36} = 0\]
(iii) दोनों पासों की संख्याओं का योग \(\le\) 12
उक्त आकृति से स्पष्ट है कि दोनों पासों की संख्याओं के युग्मों की संख्याओं का योग 12 से कम है या 12 समान है। यदि उक्त
घटना, "दोनों पासों की संख्याओं का योग \(\le\) 12 है" को G व्यक्त करें, तो G के अनुकूल परिणामों की संख्या = 36
\[P(G) = \frac{36}{36} = 1\]
(iv) (a) दो पासों के अंकों का योग 3 होना
चूंकि (1, 2) और (2, 1) ऐसे युग्म हैं जिनकी संख्याओं का योग 3 है। इन युग्मों (परिणामों) की संख्या 2 है।
यदि उक्त घटना को H से प्रकट करें, तो H के अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
\[P(H) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{36}\]
(b) दोनों पासों की संख्याओं का योग 4 है
चूंकि (1, 3), (2, 2), (3, 1) ऐसे युग्म हैं जिनकी संख्याओं का योग 4 है। इनकी संख्या 3 है।
यदि उक्त घटना को J, से व्यक्त करें, तो J के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
\[P(J) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{36}\]
(c) दोनों पासों की संख्याओं का योग 5 है
स्पष्ट है कि ऐसे युग्मों की संख्या 4 है जिनमें संख्याओं का योग 5 है [: (1, 4), (2, 3), (3, 2) और (4, 1)] की
संख्याओं का योग 5 है।
यदि उक्त घटना को k से व्यक्त करें, तो k के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
\[P(k) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{36}\]
(d) दोनों पासों की संख्याओं का योग 6 है
माना उक्त घटना को (L) से व्यक्त करते हैं।
L के परिणाम हैं: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) और (5, 1)
L के अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
\[P(L) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{36}\]
(e) दोनों पासों की संख्याओं का योग 7 है
उक्त आकृति से स्पष्ट है कि (1, 6) (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) और (6, 1) ऐसे 6 युग्म हैं जिनमें संख्याओं का
योग 7 है:
यदि इस घटना को M से प्रकट करें, तो M के अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
\[P(M) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{36}\]
(f) दोनों पासों की संख्याओं का योग 9 है
स्पष्ट है किः (3, 6), (4, 5), (5, 4) और (6, 3) ऐसे 4 युग्म हैं जिनमें संख्याओं का योग 9 है।
यदि इस घटना को (N) से व्यक्त करें, तो N के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
\[P(N) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{36}\]
(g) दोनों पासों की संख्याओं का योग 10 है
चूंकि (4, 6), (5, 5), (6, 4) ऐसे 3 युग्म हैं जिनमें संख्याओं का योग 10 है।
इस घटना को यदि (p) से व्यक्त करें, तो p के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
\[P(p) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{36}\]
(h) दोनों पासों की संख्याओं का योग 11 है
स्पष्ट है किः (5, 6) और (6, 5) केवल दो ही ऐसे युग्म हैं जिनमें संख्याओं का योग 11 है। यदि इस घटना को (Q) से
व्यक्त करें, तो Q के अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
\[P(Q) = \frac{2}{36}\]
इस प्रकार दी गई तालिका को हम निम्नांकित रूप से पूरा करते हैं:

(v) नहीं। चूंकि सभी संभव परिणामों की संख्या 36 है, 11 नहीं।
यह तर्क सही नहीं है।
In simple words: दो पासों को एक साथ फेंकने पर कुल 36 संभावित परिणाम होते हैं (प्रत्येक पासे पर 6 संख्याएँ)। (i) संख्याओं का योग 8 होने के 5 तरीके हैं \((2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\), तो प्रायिकता \(\frac{5}{36}\) है। (ii) संख्याओं का योग 13 होने का कोई तरीका नहीं है, तो प्रायिकता 0 है। (iii) संख्याओं का योग 12 या उससे कम होने की प्रायिकता 1 है, क्योंकि सभी परिणाम इस शर्त को पूरा करते हैं। (iv) दी गई सारणी को भरते समय, प्रत्येक योग के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या का पता लगाएं और उसे 36 से विभाजित करें। (v) विद्यार्थी का यह तर्क गलत है कि प्रत्येक योग की प्रायिकता \(\frac{1}{11}\) है, क्योंकि विभिन्न योगों के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या अलग-अलग होती है।

🎯 Exam Tip: दो पासों के सभी 36 संभावित परिणामों की एक ग्रिड या तालिका बनाना ऐसे प्रश्नों को हल करने का सबसे अच्छा तरीका है। प्रत्येक योग के लिए अनुकूल परिणामों को गिनने में सावधानी बरतें।

 

Question 22. एक सलेटी पासे और एक नीले पासे को एक साथ फेंका जाता है। सभी संभावित परिणामों को लिखिए। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों पासों की संख्याओं का योग ।
(i) 8 है।
(ii) 13 है।
(iii) 12 से छोटी या उसके बराबर है।
(iv) उक्त की सहायता से निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिएः

(v) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि 'यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। अतः, प्रत्येक की प्रायिकता है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए ।
Answer: हलः जब नीला पासा ‘1' दर्शाता है, तो सलेटी पासे पर संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई भी संख्या हो सकती है। यही तब भी होगा, जब नीले पासे पर '2', '3', '4', '5' या '6' होगा। इस प्रयोग के संभावित परिणामों को नीचे सारणी में दिया गया है। प्रत्येक क्रमित युग्म की पहली संख्या नीले पासे पर आने वाली संख्या है तथा दूसरी संख्या सलेटी पासे पर आने वाली संख्या है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो पासे के फेंकने से प्राप्त संभावित परिणामों को दर्शाता है। एक नीला पासा (क्षैतिज अक्ष पर) और एक सलेटी पासा (ऊर्ध्वाधर अक्ष पर) है, दोनों पर 1 से 6 तक के अंक हैं। तालिका में हर खाने में दोनों पासों के अंकों का युग्म (नीला पासा, सलेटी पासा) दिखाया गया है, जैसे (1,1), (1,2), आदि, जो सभी 36 संभावित परिणामों को दर्शाता है।ध्यान रहे कि युग्म (1, 4) और (4, 1) भिन्न है। इस प्रकार सभी संभव परिणाम \( = 6 \times 6 = 36 \)
(i) दोनों पासों की संख्याओं का योग 8
घटना 'दोनों पासों की संख्याओं का योग 8 है' को E से प्रकट करें तो,
E के अनुकूल परिणाम हैं: (2,6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) और (6, 2) हैं। जैसा कि उक्त आकृति में दर्शाया गया है। इन युग्मों की संख्या 5 है।
\( \implies P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{36} \)
(ii) दोनों पासों की संख्याओं का योग 13
उक्त आकृति से स्पष्ट है कि ऐसा कोई भी परिणाम नहीं है जब दोनों पासों की संख्याओं का योग 13 हो। यदि घटना "दोनों पासों की संख्याओं का 13 है" को F द्वारा व्यक्त किया जाता हो, तो
F के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 0 \)
\( \implies P(F) = \frac{0}{36} = 0 \)
(iii) दोनों पासों की संख्याओं का योग \( \le 12 \)
उक्त आकृति से स्पष्ट है कि दोनों पासों की संख्याओं के युग्मों की संख्याओं का योग 12 से कम है या 12 समान है। यदि उक्त घटना, "दोनों पासों की संख्याओं का योग \( \le 12 \) है" को G व्यक्त करें, तो G के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 36 \)
\( \implies P(G) = \frac{36}{36} = 1 \)
(iv) (a) दो पासों के अंकों का योग 3 होना
चूंकि (1, 2) और (2, 1) ऐसे युग्म हैं जिनकी संख्याओं का योग 3 है। इन युग्मों (परिणामों) की संख्या 2 है। यदि उक्त घटना को H से प्रकट करें, तो H के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 2 \)
\(\implies P(H) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{36} \)
(b) दोनों पासों की संख्याओं का योग 4 है
चूंकि (1, 3), (2, 2), (3, 1) ऐसे युग्म हैं जिनकी संख्याओं का योग 4 है। इनकी संख्या 3 है। यदि उक्त घटना को J, से व्यक्त करें, तो J के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 3 \)
\(\implies P(J) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{36} \)
(c) दोनों पासों की संख्याओं का योग 5 है
स्पष्ट है कि ऐसे युग्मों की संख्या 4 है जिनमें संख्याओं का योग 5 है [(1, 4), (2, 3), (3, 2) और (4, 1)] की संख्याओं का योग 5 है। यदि उक्त घटना को k से व्यक्त करें, तो k के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 4 \)
\(\implies P(k) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{36} \)
(d) दोनों पासों की संख्याओं का योग 6 है
माना उक्त घटना को (L) से व्यक्त करते हैं।
L के परिणाम हैं: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) और (5, 1)
L के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 5 \)
\(\implies P(L) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{36} \)
(e) दोनों पासों की संख्याओं का योग 7 है
उक्त आकृति से स्पष्ट है कि (1, 6) (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) और (6, 1) ऐसे 6 युग्म हैं जिनमें संख्याओं का योग 7 है। यदि इस घटना को M से प्रकट करें, तो M के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 6 \)
\(\implies P(M) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{36} \)
(f) दोनों पासों की संख्याओं का योग 9 है
स्पष्ट है कि: (3, 6), (4, 5), (5, 4) और (6,3) ऐसे 4 युग्म हैं जिनमें संख्याओं का योग 9 है। यदि इस घटना को (N) से व्यक्त करें, तो N के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 4 \)
\(\implies P(N) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{36} \)
(g) दोनों पासों की संख्याओं का योग 10 है
चूंकि (4, 6), (5, 5), (6, 4) ऐसे 3 युग्म हैं जिनमें संख्याओं का योग 10 है। इस घटना को यदि (p) से व्यक्त करें, तो p के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 3 \)
\(\implies P(p) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{36} \)
(h) दोनों पासों की संख्याओं का योग 11 है
स्पष्ट है कि: (5, 6) और (6, 5) केवल दो ही ऐसे युग्म हैं जिनमें संख्याओं का योग 11 है। यदि इस घटना को (Q) से व्यक्त करें, तो Q के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 2 \)
\(\implies P(Q) = \frac{2}{36} \)
इस प्रकार दी गई तालिका को हम निम्नांकित रूप से पूरा करते हैं:(v) नहीं। चूंकि सभी संभव परिणामों की संख्या 36 है, 11 नहीं। यह तर्क सही नहीं है।
In simple words: When two dice are rolled, there are 36 possible outcomes. The question asks for probabilities of different sums, and if a student's argument about each sum having a probability of 1/11 is correct. We calculate the exact probabilities for each sum and confirm the student's argument is incorrect as the probabilities are not equal.

🎯 Exam Tip: Remember to list all possible outcomes systematically (e.g., using a table) when dealing with multiple dice to avoid errors in counting favorable outcomes for each sum.

 

Question 23. एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।
Answer: हलः एक सिक्के को उछालने पर, माना चित प्राप्त होना H और पट प्राप्त होना T है। एक सिक्के को तीन बार उछालने पर हमें निम्नांकित परिणाम प्राप्त हो सकते हैं:
HHH, HHT, HTH, THH
TTH, THT, HTT और TTT
\(\implies\) सभी संभव परिणामों की संख्या \( = 8 \)
यदि इस घटना को E से व्यक्त करें, तो E के अनुकूल परिणाम हैं:
HHT, HTH, THT, THH, TTH, HTT
चूंकि TTT या HHH प्राप्त होने पर वह जीतता है। शेष परिणाम हारने के अनुकूल हैं।
E के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 6 \)
\(\implies P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)
In simple words: Hanif plays a game where he flips a coin three times. He wins if all three outcomes are the same (HHH or TTT), otherwise he loses. We need to find the probability of him losing. By listing all 8 possible outcomes (HHH, HHT, HTH, THH, TTT, TTH, THT, HTT), we see that 6 of them result in a loss, so the probability of losing is 6/8 or 3/4.

🎯 Exam Tip: For multiple coin tosses, clearly list all possible outcomes to ensure accuracy. Identify winning and losing conditions carefully before counting favorable outcomes.

 

Question 24. एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा?,
(ii) 5 कम से कम एक बार आएगा?
संकेतः एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही प्रयोग माना जाता है।
Answer: हलः एक पासे को दो बार फेंकना या दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही घटना है। सभी संभव परिणाम इस प्रकार हैं:
(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6)
(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6)
(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6)
(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6)
(5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6)
(6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)
सभी संभव परिणामों की संख्या \( = 36 \)
(i) यदि घटना "5 किसी भी बार में नहीं आयेगा" को E से व्यक्त करें, तो
E के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 36 - [6 + 6 - 1] = 25 \)
\(\implies P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{25}{36} \)
(ii) यदि घटना "5 कम से कम एक बार आयेगा" को F से व्यक्त करें, तो
F के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 6 + 6 - 1 = 11 \)
\(\implies P(F) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{11}{36} \)
In simple words: When a die is rolled twice, there are 36 possible outcomes. For part (i), we find the probability that 5 does not appear on either roll. This means 5 is absent in both positions. There are 25 such outcomes. For part (ii), we find the probability that 5 appears at least once. This can be calculated directly by counting outcomes where 5 appears, or by subtracting the probability of 5 not appearing from 1. There are 11 outcomes where 5 appears at least once.

🎯 Exam Tip: When calculating "at least once" probabilities, consider using the complementary event (1 - probability of "not at all") as it can sometimes simplify calculations. Systematically listing all outcomes helps to count favorable events accurately.

 

Question 25. निम्नलिखित में से कौन से तर्क सत्य हैं और कौन से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए ।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन संभावित परिणाम-दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं। अतः, इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता हैं।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो संभावित परिणाम-एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता हैं।
Answer: हलः
(i) यह कथन असत्य है, [क्योंकि जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो 'प्रत्येक में से एक' दो प्रकार से परिणाम दे सकता है-पहले सिक्के से चित और दूसरे सिक्के पर पट या पहले सिके से पट और दूसरे से चित प्राप्त हो सकता है। इस प्रकार दो बार चित और दो बार पट आ सकता है] इस प्रकार प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता है। नहीं।
(ii) हाँ, यह कथन सत्य है।
In simple words: For statement (i), when two coins are tossed, the possible outcomes are HH, HT, TH, TT (4 outcomes), not just three, so the statement is false. For statement (ii), when a die is thrown, the outcomes are either odd (1, 3, 5) or even (2, 4, 6), and the probability of getting an odd number is 3/6 or 1/2, so the statement is true.

🎯 Exam Tip: Always list all elementary events (sample space) accurately to determine the total number of possible outcomes. Distinguish between 'events' and 'outcomes' to correctly assess probabilities.

Exercise 15.2 (ऐच्छिक)

 

Question 1. दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं (मंगलवार से शनिवार तक)। प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर
(i) एक ही दिन जाएँगे?
(ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे?
(iii) भिन्न-भिन्न दिनों में जाएँगे?
Answer: हलः यदि मंगलवार को T से, बुधवार को W से, वीरवार को Th से, तथा शनिवार को S से प्रकट करें, तो ग्राहकों श्याम और एकता द्वारा एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह (मंगलवार से शनिवार) में जाने के सभी संभव परिणाम निम्नांकित हो सकते हैं:

सभी संभव परिणामों की संख्या \( = 25 \)
(i) यदि घटना 'दो ग्राहक एक ही दिन जायेंगे' को E से व्यक्त करें तो
E के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 5 \)
[जो कि (T, T), (W, W), (Th, Th), (F, F), (S, S) हैं]
\(\implies P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \)
(ii) यदि घटना 'दो ग्राहक क्रमागत दिनों में जायेगें' को R से व्यक्त करें, तो
R के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 8 \)
[(T, W), (W, Th), (Th, F), (F, S),
(S, F), (W, T), (Th, W), (F, T)]
\(\implies P(R) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{8}{25} \)
(iii) यदि घटना दो ग्राहक भिन्न-भिन्न दिनों में जायेंगे' को Q से व्यक्त करें, तो
Q के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 20 \)
[25 - एक ही दिन वाले परिणाम \(\implies 25-5=20\)
अर्थात (T, T), (WW), (T, Th), (F, F) और (S, S) को छोड़कर]
\(\implies P(Q) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} \)
In simple words: Shyam and Ekta visit a shop between Tuesday and Saturday (5 days). We calculate the probabilities for three scenarios: (i) both visit on the same day (5 favorable outcomes out of 25 total), (ii) they visit on consecutive days (8 favorable outcomes, like T-W, W-Th, etc.), and (iii) they visit on different days (20 favorable outcomes, which is 25 total minus the 5 same-day outcomes).

🎯 Exam Tip: When dealing with two independent events over a set number of choices (like days of the week), a grid (table) can effectively list all possible outcomes and help count favorable events for various conditions (same day, consecutive, different).

 

Question 2. एक पासे के फलकों पर संख्याएँ 1, 2, 2, 3, 3 और 6 लिखी हुई हैं। इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं। दोनों बार फेंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ संभावित मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं इस सारणी को पूरा कीजिए।

पहली बार फेंकने के मान

इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग
(i) एक सम संख्या होगा?
(ii) 6 है?
(iii) कम से कम 6 है?
Answer: हलः पूरा करने पर सारणी इस प्रकार है:सभी संभावित परिणामों की संख्या \( = 36 \)
(i) यदि घटना 'कुल योग एक समसंख्या होगा' को E से व्यक्त करें, तो
E के अनुकूल परिणाम \( = 18 \)
[2, 4, 4, 4, 4, 8, 4, 4, 8, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8 सम संख्याएँ है]
\(\implies P(E) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \)
(ii) यदि घटना 'कुलयोग 6 है' को F' से व्यक्त करें, तो
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 4 \)
\(\implies P(F) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \)
(iii) यदि घटना 'कुल योग कम से कम 6 हैं' को G से व्यक्त करें, तो
G के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 15 \)
[7, 8, 8, 6, 6, 9, 6, 6, 9, 7, 8, 7, 9, 9, 12 अनुकूल परिणाम है]
\(\implies P(G) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \)
In simple words: A special die with faces 1, 2, 2, 3, 3, 6 is rolled twice. We first complete the table of sums of the two rolls, resulting in 36 total outcomes. Then, we find the probabilities for: (i) the sum being an even number (18 even sums out of 36), (ii) the sum being 6 (4 sums of 6 out of 36), and (iii) the sum being at least 6 (15 sums of 6 or more out of 36).

🎯 Exam Tip: When dealing with non-standard dice, always carefully construct the sum table to correctly identify all possible sums and their frequencies. This visual aid is crucial for accurate probability calculations.

 

Question 3. एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेंदें हैं। यदि इस थैले में से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दुगुनी है, तो थैले में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना थैले में नीली गेदों की संख्या x है।
सभी संभव परिणामों की संख्या \( = \) (लाल गेंदों की संख्या) \(+\) (नीली गेदों की संख्या) \( = (5 + x) \)
यदि घटना “ थैले में से नीली गेंद निकालना” को E से व्यक्त करें, तो
E के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = x \)
\(\implies P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{x}{x+5} \)
पुनः, यदि घटना "थैले में से लाल गेंद निकालना" को F से व्यक्त करें, तो
F के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 5 \)
\(\implies P(F) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{x+5} \)
चूंकि \( P(E) = 2P(F) \)
\(\implies \frac{x}{x+5} = 2 \frac{5}{x+5} \)
\(\implies x = 10 \)
नीली गेदों की संख्या \( = 10 \)
In simple words: We are given a bag with 5 red balls and an unknown number (x) of blue balls. The probability of drawing a blue ball is twice the probability of drawing a red ball. By setting up the probability equations for both events and using the given relationship, we solve for x, finding that there are 10 blue balls in the bag.

🎯 Exam Tip: When given a relationship between probabilities of two events, set up algebraic equations based on the definitions of probability (favorable outcomes / total outcomes) and solve for the unknown quantity.

 

Question 4. एक पेटी में 12 गेंदे हैं, जिनमें से गेंद काली है। यदि इसमें से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली है। यदि इस पेटी में 6 काली गेंद और डाल दी जाएँ, तो काली गेंद निकालने की प्रायिकता पहली प्रायिकता की दुगुनी हो जाती है। x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः पेटी में गेदों की कुल संख्या \( = 12 \)
सभी संभव परिणामों की संख्या \( = 12 \)
अवस्था- I: यदि घटना “निकाली गई गेंद काली है” को E से व्यक्त करें, तो
E के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = x \) [पेटी में x काली गेंदे हैं।]
\(\implies P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{x}{12} \)
अवस्था-II: पेटी में 6 काली गेंद और डालने पर,
गेंदों की कुल संख्या \( = 12 + 6 = 18 \)
\(\implies\) सभी संभव परिणामों की संख्या \( = 18 \)
अब काली गेदों की संख्या \( = x + 6 \)
यदि घटना "काली गेंद निकालना" को F से व्यक्त करें, तो
F के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = x + 6 \)
\(\implies P(F) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{x+6}{18} \)
अब शर्त के अनुसार, हमें प्राप्त है:
\( \frac{x+6}{18} = 2 \left(\frac{x}{12}\right) \)
\(\implies 12(x+6) = 36x \)
\(\implies 12x+72=36x \)
\(\implies 36x-12x = 72 \)
\(\implies 24x = 72 \)
\(\implies x = \frac{72}{24} = 3 \)
इस प्रकार, x का अभीष्ठ मान 3 है।
In simple words: Initially, a box has 12 balls, x of which are black. The probability of drawing a black ball is x/12. When 6 more black balls are added, the total balls become 18 and black balls become x+6. The new probability of drawing a black ball, (x+6)/18, is stated to be twice the initial probability. By setting up and solving the equation (x+6)/18 = 2 * (x/12), we find x=3, meaning there were initially 3 black balls.

🎯 Exam Tip: Carefully define the sample space and favorable outcomes for each scenario (before and after adding balls). The "twice the probability" relationship forms the core equation to solve for the unknown variable.

 

Question 5. एक जार में 24 कंचे हैं जिनमें कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं। यदि इस जार में से यादृच्छया एक कंचा निकाला जाता है तो इस कंचे के हरा होने की प्रायिकता है। जार में नीले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः चूंकि जार में 24 कंचे हैं।
सभी संभव परिणामों की संख्या \( = 24 \)
माना जार में नीले कंचे x हैं।
जार में हरे कंचों की संख्या \( = 24 - x \)
यदि घटना “निकाला गया कंचा हरा है” को E से व्यक्त करें, तो
E के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = (24 - x) \)
\(\implies P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}} = \frac{24-x}{24} \)
अब, शर्त के अनुसार, हमें प्राप्त है:
\( \frac{24-x}{24} = \frac{2}{3} \)
\(\implies 3(24-x) = 2 \times 24 \)
\(\implies 72-3x = 48 \)
\(\implies 3x = 72-48 \)
\(\implies 3x = 24 \)
\(\implies x = \frac{24}{3} = 8 \)
इस प्रकार, जार में नीले कंचों की संख्या 8 है।
In simple words: A jar contains 24 marbles, some green and some blue. The probability of drawing a green marble is given as 2/3. We need to find the number of blue marbles. If there are x blue marbles, then there are (24-x) green marbles. Using the given probability, we set up the equation (24-x)/24 = 2/3 and solve for x, which gives x=8 blue marbles.

🎯 Exam Tip: Clearly define variables for unknown quantities. Use the basic probability formula (favorable outcomes / total outcomes) to set up an equation, and then solve for the unknown.