UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 15 Probability Ex 151

Ex 15.1 Probability अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं तो अधिक-से-अधिक एक चित् प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: जब दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं, तो सभी संभव परिणाम ये होते हैं: HH, HT, TH, TT.
कुल संभव परिणामों की संख्या \( = 4 \) है।
यदि 'अधिक से अधिक एक चित्' प्राप्त होने की घटना E है, तो अनुकूल परिणाम वे होंगे जहाँ या तो कोई चित् नहीं है, या केवल एक चित् है।
अनुकूल परिणाम \( = \) HT, TH, TT.
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 3 \) है।
अतः, 'अधिक से अधिक एक चित्' आने की प्रायिकता \( P(E) = \frac{3}{4} \) होगी। एक चित्त की संभावना को समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह हमें सिक्के उछालने जैसे खेलों के परिणाम की भविष्यवाणी करने में मदद करता है।
In simple words: जब आप दो सिक्के उछालते हैं, तो कुल चार नतीजे हो सकते हैं। अगर हम चाहते हैं कि ज़्यादा से ज़्यादा एक 'चित्' आए, तो ऐसे तीन ही नतीजे हो सकते हैं। इसलिए, इसकी संभावना \( \frac{3}{4} \) है।

🎯 Exam Tip: "अधिक-से-अधिक एक" (at most one) का अर्थ है "एक या एक से कम", जिसमें शून्य भी शामिल है। "कम-से-कम एक" (at least one) का अर्थ है "एक या एक से अधिक"। शब्दों पर ध्यान दें।

Question 2. एक बार एक पाँसा फेंका जाता है तो प्राप्त संख्या के 3 से छोटी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: जब एक पाँसा एक बार फेंका जाता है, तो कुल संभव परिणाम 1, 2, 3, 4, 5, 6 होते हैं।
कुल संभव परिणामों की संख्या \( = 6 \) है।
यदि 3 से छोटी संख्या प्राप्त होने की घटना E है, तो अनुकूल परिणाम 1, 2 होंगे।
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 2 \) है।
प्रायिकता \( P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभव परिणाम}} \)
\( P(E) = \frac{2}{6} \)
\( P(E) = \frac{1}{3} \)। यह हमें बताता है कि पासे के खेल में छोटे नंबर आने की संभावना कितनी है।
In simple words: पासे पर 1 से 6 तक के नंबर होते हैं। 3 से छोटे नंबर केवल 1 और 2 हैं। इसलिए, 3 से छोटा नंबर आने की संभावना 6 में से 2 है, यानी \( \frac{1}{3} \)।

🎯 Exam Tip: पासे के प्रश्नों में, हमेशा कुल संभावित परिणामों (1 से 6) को सूचीबद्ध करें और फिर पहचानें कि प्रश्न के लिए कौन से परिणाम अनुकूल हैं।

Question 3. एक थैले में 3 से 20 तक की संख्याओं के कार्ड हैं और इन्हें अच्छी तरह से फेंटा गया है। थैले से यादृच्छया एक कार्ड निकाला जाता है। तो निकाले गये कार्ड पर एक सम संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: एक थैले में 3 से 20 तक की संख्याओं के कार्ड हैं।
कुल संभव परिणाम (कार्डों की संख्या) \( = 20 - 3 + 1 = 18 \) हैं।
यदि कार्ड पर एक सम संख्या होने की घटना E है, तो अनुकूल परिणाम (सम संख्याएँ) 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 होंगी।
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 9 \) है।
तब, प्रायिकता \( P(E) = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \) होगी। यह प्रायिकता दर्शाती है कि सम संख्या वाले कार्डों की संख्या कुल कार्डों का ठीक आधा है।
In simple words: 3 से 20 तक कुल 18 कार्ड हैं। इनमें से 9 कार्डों पर सम संख्याएँ लिखी हैं (जैसे 4, 6, 8 आदि)। इसलिए, एक सम संख्या वाला कार्ड निकलने की संभावना \( \frac{9}{18} \), यानी \( \frac{1}{2} \) है।

🎯 Exam Tip: संख्याओं की एक श्रृंखला में कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, 'अंतिम संख्या - पहली संख्या + 1' सूत्र का उपयोग करें। सम और विषम संख्याओं की पहचान सावधानी से करें।

Question 4. एक बक्से में, 6, 7, 8,..., 15 तक की अंकित संख्याओं के कार्ड हैं तथा इन्हें अच्छी तरह से फेंट दिया गया है। बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है। तो निकाले गये कार्ड पर 10 से छोटी संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: एक बक्से में 6 से 15 तक की संख्याओं के कार्ड हैं।
कुल संभव परिणाम (कार्डों की संख्या) \( = 15 - 6 + 1 = 10 \) हैं।
यदि कार्ड पर 10 से छोटी संख्या आने की घटना E है, तो अनुकूल परिणाम (10 से छोटी संख्याएँ) 6, 7, 8, 9 होंगी।
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 4 \) है।
तब, प्रायिकता \( P(E) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \) होगी। इस तरह की गणनाएं हमें किसी समूह से विशिष्ट संख्याएँ चुनने की संभावना को समझने में मदद करती हैं।
In simple words: बक्से में 6 से 15 तक कुल 10 कार्ड हैं। 10 से छोटे नंबर वाले कार्ड केवल 6, 7, 8, 9 हैं (कुल 4 कार्ड)। तो, 10 से छोटा नंबर वाला कार्ड निकलने की संभावना \( \frac{4}{10} \), यानी \( \frac{2}{5} \) है।

🎯 Exam Tip: जब 'से छोटी' (less than) या 'से बड़ी' (greater than) कहा जाए, तो उस संख्या को शामिल न करें। 'से छोटी या बराबर' (less than or equal to) होने पर उस संख्या को शामिल करें।

Question 5. एक बक्से में 3 नीले, 2 सफेद तथा 4 लाल कंचे हैं। यदि बक्से से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह कंचा सफेद नहीं होगा?
Answer: यहाँ, नीले कंचों की संख्या \( = 3 \) है।
सफेद कंचों की संख्या \( = 2 \) है।
लाल कंचों की संख्या \( = 4 \) है।
कुल कंचों की संख्या \( = 3 + 2 + 4 = 9 \) है।
माना एक सफेद कंचा आने की घटना E है।
सफेद कंचा आने के परिणामों की संख्या \( = 2 \) है।
तब, सफेद कंचा आने की प्रायिकता \( P(E) = \frac{2}{9} \) होगी।
एक सफेद कंचा नहीं आने की प्रायिकता \( P(\overline{E}) = 1 - P(E) \)
\( P(\overline{E}) = 1 - \frac{2}{9} \)
\( P(\overline{E}) = \frac{9-2}{9} \)
\( P(\overline{E}) = \frac{7}{9} \)। पूरक घटनाओं की यह अवधारणा हमें उन घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात करने में मदद करती है जो किसी वांछित घटना के विपरीत होती हैं।
In simple words: कुल 9 कंचे हैं (3 नीले, 2 सफेद, 4 लाल)। सफेद कंचे 2 हैं, तो सफेद कंचा निकलने की संभावना \( \frac{2}{9} \) है। सफेद कंचा न निकलने की संभावना \( 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \) है।

🎯 Exam Tip: किसी घटना के 'न होने' की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, '1' में से उस घटना के 'होने' की प्रायिकता घटा दें।

Question 6. एक थैले में 4 लाल और 6 काली गेंदे हैं। थैले से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। तो गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ लाल गेंदों की संख्या \( = 4 \) है।
काली गेंदों की संख्या \( = 6 \) है।
कुल गेंदों की संख्या \( = 4 + 6 = 10 \) है।
यदि एक काली गेंद आने की घटना E है, तो अनुकूल परिणामों की संख्या (काली गेंदें) \( = 6 \) है।
तब, प्रायिकता \( P(E) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \) होगी। यह प्रायिकता खेल और आंकड़ों में बहुत उपयोगी होती है।
In simple words: थैले में कुल 10 गेंदें हैं (4 लाल + 6 काली)। काली गेंदें 6 हैं। तो, काली गेंद निकलने की संभावना \( \frac{6}{10} \), यानी \( \frac{3}{5} \) है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, हमेशा पहले कुल परिणामों और फिर अनुकूल परिणामों की संख्या स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 7. 52 पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी हुई गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। तो निकाले गये पत्ते के एक काला बादशाह होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकालने के कुल संभव परिणाम \( = 52 \) हैं।
माना E 'एक काला बादशाह होने' की घटना है।
52 पत्तों में से कुल काले बादशाहों की संख्या \( = 2 \) (एक हुकुम का बादशाह और एक चिड़ी का बादशाह) होती है।
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 2 \) है।
तब, प्रायिकता \( P(E) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26} \) होगी। ताश के पत्तों के खेल में इस तरह की प्रायिकता गणनाएँ महत्वपूर्ण होती हैं।
In simple words: कुल 52 ताश के पत्ते हैं। इनमें से केवल 2 पत्ते काले बादशाह होते हैं। तो, एक काला बादशाह निकलने की संभावना \( \frac{2}{52} \), यानी \( \frac{1}{26} \) है।

🎯 Exam Tip: ताश के पत्तों के बारे में अपनी बुनियादी जानकारी को ताज़ा करें (जैसे सूट, संख्या, फेस कार्ड) ताकि ऐसे प्रश्नों को आसानी से हल किया जा सके।

Question 8. दो मित्र, वर्ष 2000 में जन्में हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनका जन्मदिन समान है।
Answer: चूँकि वर्ष 2000 लीप वर्ष है, इसलिए वर्ष 2000 में कुल दिनों की संख्या \( = 366 \) है।
दोनों मित्रों के जन्मदिनांकों के कुल प्रकार \( = 366 \times 366 \) हैं।
यदि दोनों मित्रों का जन्मदिन एक ही है, तो अनुकूल स्थितियों की संख्या \( = 366 \) है (यानी, पहला मित्र किसी भी दिन पैदा हो सकता है, और दूसरा मित्र उसी दिन पैदा होता है)।
तब, अभीष्ट प्रायिकता \( = \frac{366}{366 \times 366} = \frac{1}{366} \) होगी। यह दर्शाता है कि एक ही दिन जन्मदिन होने की संभावना बहुत कम होती है।
In simple words: वर्ष 2000 लीप वर्ष था, इसलिए 366 दिन थे। दो दोस्तों का जन्मदिन एक ही दिन होने की संभावना \( \frac{1}{366} \) है।

🎯 Exam Tip: जन्मदिन संबंधी समस्याओं में, हमेशा पहले यह जांच लें कि वर्ष लीप वर्ष है या सामान्य वर्ष, क्योंकि इससे दिनों की कुल संख्या बदल जाती है।

Question 9. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दो मित्रों के जन्मदिन भिन्न-भिन्न हैं । (लीप वर्ष नहीं)।
Answer: चूँकि संबंधित वर्ष लीप वर्ष नहीं है, इसलिए कुल दिनों की संख्या \( = 365 \) है।
दोनों मित्रों के जन्मदिनांकों के कुल प्रकार \( = 365 \times 365 \) हैं।
जब दोनों मित्रों के जन्मदिनांक समान होने पर, कुल अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 365 \) है।
दोनों मित्रों के जन्मदिन समान होने की प्रायिकता \( = \frac{365}{365 \times 365} = \frac{1}{365} \) होगी।
इसलिए दोनों मित्रों के जन्मदिन भिन्न-भिन्न होने की प्रायिकता \( = 1 - \frac{1}{365} \)
\( = \frac{365 - 1}{365} \)
\( = \frac{364}{365} \)। यह हमें दिखाता है कि दो लोगों के जन्मदिन अलग-अलग होने की संभावना बहुत अधिक होती है।
In simple words: एक सामान्य वर्ष में 365 दिन होते हैं। जन्मदिन एक ही होने की संभावना \( \frac{1}{365} \) है। तो, जन्मदिन अलग-अलग होने की संभावना \( 1 - \frac{1}{365} = \frac{364}{365} \) है।

🎯 Exam Tip: किसी घटना के विपरीत (complementary) घटना की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए '1' में से मूल घटना की प्रायिकता घटाना एक कुशल तरीका है।

Question 10. यदि एक घटना के होने की प्रायिकता p है तब इसके विपरीत घटना के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि एक घटना के घटित होने की प्रायिकता P(E) \( = p \) है।
तब घटना के नहीं होने की प्रायिकता \( P(\overline{E}) = 1 - P(E) \) होगी।
\( P(\overline{E}) = 1 - p \)। यह प्रायिकता का एक मौलिक सिद्धांत है जो घटनाओं के विश्लेषण में मदद करता है।
In simple words: अगर किसी घटना के होने की संभावना 'p' है, तो उसके न होने की संभावना \( 1 - p \) होगी।

🎯 Exam Tip: यह प्रायिकता का एक बुनियादी नियम है। याद रखें कि किसी घटना के होने और न होने की प्रायिकताओं का योग हमेशा 1 होता है।

Ex 15.1 Probability लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-l)

Question 11. एक असंभव घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि किसी एक परीक्षण के 'n' संभव परिणाम हैं।
यदि A एक असंभव घटना है, तो 'n' संभव परिणामों में से कोई भी इसका समर्थन नहीं करेगा।
अर्थात् कुल अनुकूल परिणाम 'm' \( = 0 \) है।
अतः, \( P(A) = \frac{m}{n} = \frac{0}{n} \)
\( P(A) = 0 \)। एक असंभव घटना की प्रायिकता हमेशा शून्य होती है क्योंकि यह कभी घटित नहीं हो सकती।
In simple words: एक असंभव घटना वह है जो कभी नहीं हो सकती। इसलिए, इसकी संभावना 0 होती है।

🎯 Exam Tip: असंभव घटनाएँ वे होती हैं जिनकी अनुकूल परिणामों की संख्या शून्य होती है, जैसे 7 का अंक प्राप्त करना जब केवल 6-मुखी पासे को एक बार फेंका जाए।

Question 12. एक निश्चित घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि किसी एक परीक्षण के 'n' संभव परिणाम हैं।
यदि A एक निश्चित घटना है, तब सभी 'n' संभव परिणाम इसका समर्थन करेंगे।
अर्थात् कुल अनुकूल परिणाम 'm' \( = n \) है।
अतः,
\( P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल संभव परिणाम}} \)
\( P(A) = \frac{m}{n} \)
\( P(A) = \frac{n}{n} \)
\( P(A) = 1 \)। एक निश्चित घटना की प्रायिकता हमेशा 1 होती है क्योंकि यह हमेशा घटित होती है।
In simple words: एक निश्चित घटना वह है जो हमेशा होगी। इसलिए, इसकी संभावना 1 होती है।

🎯 Exam Tip: एक निश्चित घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या हमेशा कुल संभव परिणामों की संख्या के बराबर होती है।

Question 13. दो पाँसे एक साथ फेंके जाते हैं तो दो संख्याओं के प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जिनका योग 10 है।
Answer: हम जानते हैं कि जब दो पाँसे एक साथ फेंके जाते हैं, तब कुल संभव परिणामों की संख्या \( = 6 \times 6 = 36 \) होती है।
माना कि, दोनों पाँसों पर प्राप्त संख्याओं का योगफल 10 होने की घटना E है।
तब कुल अनुकूल परिणाम (जिनका योग 10 है) \( = (4, 6), (6, 4), (5, 5) \) होंगे।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 3 \) है।
तब अभीष्ट प्रायिकता \( P(E) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \) होगी। यह प्रायिकता बताती है कि पासे के खेल में एक विशिष्ट योग प्राप्त करने की संभावना कितनी है।
In simple words: जब दो पासे उछाले जाते हैं, तो कुल 36 अलग-अलग नतीजे हो सकते हैं। उन नतीजों में जहाँ दोनों नंबरों का जोड़ 10 आता है, वे केवल 3 हैं: (4 और 6), (6 और 4), (5 और 5)। इसलिए, संभावना \( \frac{3}{36} \), यानी \( \frac{1}{12} \) है।

🎯 Exam Tip: दो पासे वाले प्रश्नों में, हमेशा 36 संभावित परिणामों की सूची को ध्यान में रखें। अनुकूल परिणामों की पहचान करते समय, क्रम (जैसे (4,6) और (6,4)) का ध्यान रखें।

Question 14. एक लॉटरी में, 8 उपहार तथा 16 खाली हैं। तब एक उपहार प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ एक लॉटरी में, उपहारों की संख्या \( = 8 \) है।
खाली टिकटों की संख्या \( = 16 \) है।
कुल संभव परिणाम (कुल टिकटों की संख्या) \( = 8 + 16 = 24 \) है।
एक उपहार प्राप्त होने की प्रायिकता \( = \frac{\text{उपहार की संख्या}}{\text{कुल संभव परिणाम}} \)
\( = \frac{8}{24} \)
\( = \frac{1}{3} \)। यह प्रायिकता बताती है कि आपके पास इस लॉटरी में उपहार जीतने का कितना अच्छा मौका है।
In simple words: लॉटरी में कुल 24 टिकट हैं (8 उपहार वाले और 16 खाली)। 8 टिकटों में उपहार हैं। तो, उपहार जीतने की संभावना \( \frac{8}{24} \), यानी \( \frac{1}{3} \) है।

🎯 Exam Tip: प्रायिकता की गणना करते समय, हमेशा कुल संभावित परिणामों को हर में और अनुकूल परिणामों को अंश में रखें।

Question 15. यहाँ एक लॉटरी में, 10 उपहार तथा 25 खाली हैं। तो एक उपहार प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ एक लॉटरी में, उपहारों की संख्या \( = 10 \) है।
खाली टिकटों की संख्या \( = 25 \) है।
कुल संभव परिणाम (कुल टिकटों की संख्या) \( = 10 + 25 = 35 \) है।
माना एक उपहार प्राप्त होने की घटना A है।
अनुकूल परिणामों की संख्या (उपहारों की संख्या) \( = 10 \) है।
तब, अभीष्ट प्रायिकता \( P(A) = \frac{10}{35} = \frac{2}{7} \) होगी। यह उदाहरण प्रायिकता के सिद्धांतों को वास्तविक जीवन के परिदृश्यों में लागू करने में मदद करता है।
In simple words: कुल 35 लॉटरी टिकट हैं (10 उपहार वाले + 25 खाली)। 10 टिकटों में उपहार हैं। तो, उपहार जीतने की संभावना \( \frac{10}{35} \), यानी \( \frac{2}{7} \) है।

🎯 Exam Tip: जब आप प्रायिकता की गणना करते हैं, तो अंश और हर को उनके सबसे सरल रूप में कम करना हमेशा अच्छा होता है।

Question 16. क्या प्रायिकता है कि एक सामान्य वर्ष में 53 रविवार हैं?
Answer: एक सामान्य वर्ष में दिनों की संख्या \( = 365 \) होती है।
365 दिन \( = 52 \) हफ्ते और 1 दिन होते हैं।
एक सामान्य वर्ष में 52 रविवार तो निश्चित होते हैं।
तब, शेष 1 दिन इनमें से कुछ भी हो सकता है:
• रविवार
• सोमवार
• मंगलवार
• बुधवार
• बृहस्पतिवार
• शुक्रवार
• शनिवार
कुल संभव परिणाम \( = 7 \) हैं।
एक सामान्य वर्ष में 53 रविवार होने के लिए, शेष 1 दिन 'रविवार' होना चाहिए।
अनुकूल परिणाम \( = 1 \) है।
तब, एक सामान्य वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता \( = \frac{1}{7} \) होगी। यह दिखाता है कि 53 रविवार होने की संभावना हर सात साल में एक बार होती है।
In simple words: एक साल में 52 पूरे हफ्ते और 1 अतिरिक्त दिन होता है। वह अतिरिक्त दिन कोई भी दिन हो सकता है (सोमवार से रविवार)। 53 रविवार होने के लिए, वह अतिरिक्त दिन रविवार होना चाहिए। ऐसा होने की संभावना 7 में से 1 है, यानी \( \frac{1}{7} \)।

🎯 Exam Tip: लीप वर्ष और सामान्य वर्ष के बीच के अंतर को ध्यान में रखें। लीप वर्ष में 366 दिन (52 हफ्ते और 2 दिन) होते हैं, जो प्रायिकता को बदल देते हैं।

Question 17. एक सिक्का, एक बार उछाला जाता है तो एक चित् प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है?
Answer: एक सिक्का एक बार उछालने में कुल संभव परिणाम \( = \) H (चित्), T (पट) होते हैं।
कुल संभव परिणामों की संख्या \( = 2 \) है।
एक चित् प्राप्त होने के अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 1 \) (H) है।
तब अभीष्ट प्रायिकता \( = \frac{1}{2} \) होगी। यह प्रायिकता एक सिक्के के परिणाम के लिए एक बुनियादी उदाहरण है।
In simple words: जब एक सिक्का उछालते हैं, तो या तो चित् आता है या पट। चित् आने की संभावना 2 में से 1 है, यानी \( \frac{1}{2} \)।

🎯 Exam Tip: सिक्के उछालने वाले प्रश्नों में, संभावित परिणामों (चित् या पट) की गिनती करना सीधा होता है।

Question 18. ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता न तो लाल और न ही एक बेगम है।
Answer: 52 पत्तों में से एक पत्ता निकालने में, कुल संभव परिणाम \( = 52 \) हैं।
हमें ऐसे पत्तों की संख्या ज्ञात करनी है जो 'न तो लाल' हों और 'न ही बेगम' हों। इसका मतलब है कि पत्ता काला होना चाहिए और बेगम नहीं होना चाहिए।
कुल काले पत्तों की संख्या \( = 26 \) है।
काली बेगमों की संख्या \( = 2 \) है (एक हुकुम की बेगम और एक चिड़ी की बेगम)।
तो, ऐसे काले पत्ते जो बेगम नहीं हैं उनकी संख्या \( = 26 - 2 = 24 \) है।
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 24 \) है।
तब, अभीष्ट प्रायिकता \( P(E) = \frac{24}{52} = \frac{6}{13} \) होगी। यह प्रायिकता हमें ताश के खेल में विशिष्ट संयोजनों को पहचानने में मदद करती है।
In simple words: कुल 52 ताश के पत्ते हैं। अगर पत्ता न तो लाल हो और न ही बेगम, तो इसका मतलब है कि पत्ता काला होना चाहिए और बेगम नहीं होनी चाहिए। 26 काले पत्तों में से 2 काली बेगम होती हैं। तो 26 - 2 = 24 पत्ते ऐसे हैं जो काले हैं और बेगम नहीं हैं। इसलिए, इसकी संभावना \( \frac{24}{52} \), यानी \( \frac{6}{13} \) है।

🎯 Exam Tip: 'न तो... और न ही...' (neither... nor...) वाले प्रश्नों में, हमेशा 'कुल संभावित' परिणामों में से उन परिणामों को घटाएँ जो 'या तो... या...' (either... or...) की शर्त को पूरा करते हों।

Question 19. 52 पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी हुई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है तो निकाले गये पत्ते के एक बादशाह होने की क्या प्रायिकता है?
Answer: 52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता निकालने में कुल संभव परिणाम \( = 52 \) हैं।
माना, निकाले गए एक पत्ते के बादशाह होने की घटना A है।
कुल बादशाहों की संख्या \( = 4 \) होती है (हुकुम, चिड़ी, पान और ईंट)।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 4 \) है।
तब एक बादशाह आने की प्रायिकता \( P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \) होगी। यह प्रायिकता ताश के खेल में बादशाह कार्डों के महत्व को दर्शाती है।
In simple words: 52 ताश के पत्तों में से 4 बादशाह होते हैं। तो, एक बादशाह निकलने की संभावना \( \frac{4}{52} \), यानी \( \frac{1}{13} \) है।

🎯 Exam Tip: ताश के पत्तों के प्रश्नों में, हमेशा कार्डों के प्रकार (सूट, रैंक) और उनकी संख्या को ध्यान में रखें।

Question 20. यदि एक खेल के जीतने की प्रायिकता 0.7 है तो इसे हारने की क्या प्रायिकता है?
Answer: माना एक खेल के जीतने की प्रायिकता \( P(A) = 0.7 \) है।
हम जानते हैं कि किसी घटना के जीतने और हारने की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
तब, खेल हारने की प्रायिकता \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \) होगी।
\( P(\overline{A}) = 1 - 0.7 \)
\( P(\overline{A}) = 0.3 \)। यह प्रायिकता दिखाती है कि अगर जीतने की संभावना अधिक है, तो भी हारने की कुछ संभावना हमेशा बनी रहती है।
In simple words: अगर कोई खेल जीतने की संभावना 0.7 है, तो उसे हारने की संभावना \( 1 - 0.7 = 0.3 \) होगी।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है, और किसी घटना के होने और न होने की प्रायिकताओं का योग हमेशा 1 होता है।

Ex 15.1 Probability लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

Question 21. अंग्रेजी वर्णमाला से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया अक्षर व्यंजन है।
Answer: अंग्रेजी वर्णमाला में कुल अक्षर \( = 26 \) होते हैं।
26 अक्षरों में से एक अक्षर चुनने में, कुल संभव परिणाम \( = 26 \) हैं।
अंग्रेजी वर्णमाला में कुल व्यंजनों की संख्या \( = 21 \) है (कुल 5 स्वर होते हैं: A, E, I, O, U)।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 21 \) है।
तब, अभीष्ट प्रायिकता \( P = \frac{21}{26} \) होगी। यह प्रायिकता भाषाई विश्लेषण और बच्चों की शिक्षा में भी उपयोगी हो सकती है।
In simple words: अंग्रेजी वर्णमाला में कुल 26 अक्षर होते हैं। इनमें से 21 व्यंजन होते हैं। तो, एक व्यंजन चुनने की संभावना \( \frac{21}{26} \) है।

🎯 Exam Tip: स्वरों (A, E, I, O, U) की संख्या को याद रखें, क्योंकि इससे व्यंजनों की गणना करना आसान हो जाता है।

Question 22. एक बक्से में, 1 से 20 तक की अंकित संख्याओं के 20 कार्ड हैं बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है तो निकाले गये पत्ते पर संख्या के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए- (i) 2 और 3 से विभाजित (ii) एक अभाज्य संख्या
Answer: 1 से 20 तक अंकित संख्या के कार्डों से 1 कार्ड निकालने में, कुल संभव परिणाम \( = 20 \) हैं।
(i) 2 और 3 से विभाजित:
इसका अर्थ है कि संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए, यानी 6 से विभाज्य होनी चाहिए।
1 से 20 तक 6 से विभाज्य संख्याएँ हैं: 6, 12, 18।
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 3 \) है।
अभीष्ट प्रायिकता \( P(A) = \frac{3}{20} \) होगी।
(ii) एक अभाज्य संख्या:
1 से 20 तक की अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19।
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 8 \) है।
अभीष्ट प्रायिकता \( P(B) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} \) होगी। इन गणनाओं से विभिन्न प्रकार की संख्याओं की प्रायिकता को समझा जा सकता है।
In simple words: कुल 20 कार्ड हैं (1 से 20 तक)।
(i) 2 और 3 दोनों से विभाजित होने का मतलब 6 से विभाजित होना है। 1 से 20 तक 6 से विभाजित होने वाली संख्याएँ 6, 12, 18 हैं (कुल 3)। तो, संभावना \( \frac{3}{20} \) है।
(ii) 1 से 20 तक की अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 हैं (कुल 8)। तो, संभावना \( \frac{8}{20} \), यानी \( \frac{2}{5} \) है।

🎯 Exam Tip: 'और' (AND) का मतलब है कि दोनों शर्तें पूरी होनी चाहिए (जैसे 2 और 3 से विभाज्य होने का अर्थ है 6 से विभाज्य)। 'या' (OR) का मतलब है कि कोई भी एक शर्त पूरी हो सकती है।

Question 23. एक थैले में समान आकार के 30 कार्ड हैं जिन पर 1 से 30 तक की संख्याएँ लिखी हुई हैं। थैले से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गये कार्ड पर, 3 से विभाजित संख्या नहीं है।
Answer: 1 से 30 तक अंकित संख्या वाले कार्डों से एक कार्ड निकालने पर, कुल संभव परिणाम \( = 30 \) हैं।
1 से 30 तक 3 से विभाजित होने वाली संख्याएँ: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30।
इन संख्याओं की कुल संख्या \( = 10 \) है।
इसलिए, 3 से विभाजित नहीं होने वाली संख्याओं की संख्या \( = 30 - 10 = 20 \) है।
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 20 \) है।
तब अभीष्ट प्रायिकता \( P(B) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \) होगी। यह प्रायिकता यह समझने में मदद करती है कि कितनी बार हम एक विशिष्ट विशेषता वाले कार्ड को चुनने से बच सकते हैं।
In simple words: कुल 30 कार्ड हैं। इनमें से 10 कार्ड ऐसे हैं जो 3 से भाग होते हैं (जैसे 3, 6, 9 आदि)। तो, 3 से भाग न होने वाले कार्ड \( 30 - 10 = 20 \) हैं। इसकी संभावना \( \frac{20}{30} \), यानी \( \frac{2}{3} \) है।

🎯 Exam Tip: 'नहीं' (not) वाले प्रश्नों में, पहले उस घटना के 'होने' की प्रायिकता ज्ञात करें और फिर उसे 1 में से घटा दें।

Question 24. एक बक्से में, 11 से 60 तक की संख्याओं के कार्ड रखे गये हैं। यदि बक्से से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गये पत्ते पर संख्या है- (i) एक विषम संख्या (ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या (iii) 5 से विभाजित (iv) 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या
Answer: 11 से 60 तक की संख्याओं के कार्डों से एक कार्ड निकालने पर, कुल संभव परिणाम \( = 60 - 11 + 1 = 50 \) हैं।
(i) एक विषम संख्या:
अनुकूल परिणाम (विषम संख्याएँ) \( = \) 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59 हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 25 \) है।
प्रायिकता \( P = \frac{25}{50} = \frac{1}{2} \) होगी।
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या:
अनुकूल परिणाम (पूर्ण वर्ग संख्याएँ) \( = \) 16, 25, 36, 49 हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 4 \) है।
प्रायिकता \( P = \frac{4}{50} = \frac{2}{25} \) होगी।
(iii) 5 से विभाजित:
अनुकूल परिणाम (5 से विभाजित संख्याएँ) \( = \) 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 10 \) है।
प्रायिकता \( P = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \) होगी।
(iv) 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या:
अनुकूल परिणाम (11 से 60 की सीमा में 20 से छोटी अभाज्य संख्याएँ) \( = \) 11, 13, 17, 19 हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 4 \) है।
प्रायिकता \( P = \frac{4}{50} = \frac{2}{25} \) होगी। यह विभिन्न संख्यात्मक गुणों के आधार पर प्रायिकता की गणना के लिए एक व्यापक उदाहरण है।
In simple words: 11 से 60 तक कुल 50 कार्ड हैं।
(i) विषम संख्याएँ (11, 13, ..., 59) कुल 25 हैं। संभावना \( \frac{25}{50} = \frac{1}{2} \)।
(ii) पूर्ण वर्ग संख्याएँ (16, 25, 36, 49) कुल 4 हैं। संभावना \( \frac{4}{50} = \frac{2}{25} \)।
(iii) 5 से विभाजित संख्याएँ (15, 20, ..., 60) कुल 10 हैं। संभावना \( \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \)।
(iv) 20 से छोटी अभाज्य संख्याएँ (11, 13, 17, 19) कुल 4 हैं। संभावना \( \frac{4}{50} = \frac{2}{25} \)।

🎯 Exam Tip: संख्याओं की सीमा का ध्यान रखें (जैसे 11 से 60 तक) और प्रत्येक भाग के लिए अनुकूल परिणामों की सही गणना करें।

Question 25. संख्याओं 1, 2, 3,..., 25 में से एक अभाज्य संख्या चुनने की क्या प्रायिकता है जब प्रत्येक संख्या का चुना जाना समप्रायिक है?
Answer: संख्या 1 से 25 तक में से एक संख्या चुनने में, कुल संभव परिणाम \( = 25 \) हैं।
माना चुनी गयी संख्या एक अभाज्य होने की घटना A है।
तब अनुकूल परिणाम (अभाज्य संख्याएँ) \( = \) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 होंगी।
अनुकूल स्थितियों की कुल संख्या \( = 9 \) है।
तब अभीष्ट प्रायिकता \( P(A) = \frac{9}{25} \) होगी। अभाज्य संख्याएँ गणित में महत्वपूर्ण होती हैं, और उनकी प्रायिकता की गणना एक बुनियादी कौशल है।
In simple words: 1 से 25 तक कुल 25 संख्याएँ हैं। इनमें से 9 अभाज्य संख्याएँ हैं (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23)। तो, एक अभाज्य संख्या चुनने की संभावना \( \frac{9}{25} \) है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि 1 एक अभाज्य संख्या नहीं है। अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और वह संख्या स्वयं।

Question 26. 1000 टिकटों की एक लॉटरी में, 5 उपहार हैं। यदि किसी एक द्वारा लॉटरी का एक टिकट खरीदा जाता है तो, उसके एक उपहार जीतने की क्या प्रायिकता है?
Answer: 1000 टिकटों की एक लॉटरी में से एक टिकट चुनने में, कुल संभव परिणाम \( = 1000 \) हैं।
यहाँ उपहारों की संख्या \( = 5 \) है।
तब एक उपहार जीतने की प्रायिकता \( = \frac{5}{1000} = \frac{1}{200} \) होगी।
\( = 0.005 \)। यह दर्शाता है कि इतनी बड़ी लॉटरी में उपहार जीतने की संभावना बहुत कम होती है।
In simple words: कुल 1000 लॉटरी टिकट हैं और उनमें से 5 में उपहार हैं। तो, उपहार जीतने की संभावना \( \frac{5}{1000} \), यानी \( \frac{1}{200} \) या 0.005 है।

🎯 Exam Tip: जब प्रायिकता बहुत कम हो, तो दशमलव या भिन्न दोनों रूपों में उत्तर दे सकते हैं, लेकिन आमतौर पर सरलतम भिन्न पसंदीदा होता है।

Question 27. यदि संख्याओं -2, -1, 0, 1, 2 में से एक संख्या x यादृच्छया चुनी जाती है तो क्या प्रायिकता है कि x² < 2?
Answer: संख्याओं -2, -1, 0, 1, 2 में से एक संख्या x चुनने में,
कुल संभव परिणाम \( = 5 \) हैं।
माना एक संख्या \( x^2 < 2 \) आने की घटना A है।
आइए प्रत्येक संख्या के वर्ग की जाँच करें:
\( (-2)^2 = 4 \), जो 2 से छोटा नहीं है।
\( (-1)^2 = 1 \), जो 2 से छोटा है।
\( (0)^2 = 0 \), जो 2 से छोटा है।
\( (1)^2 = 1 \), जो 2 से छोटा है।
\( (2)^2 = 4 \), जो 2 से छोटा नहीं है।
तब अनुकूल परिणाम \( = -1, 0, 1 \) होंगे।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 3 \) है।
तब अभीष्ट प्रायिकता \( P(A) = \frac{3}{5} \) होगी। यह दर्शाता है कि गणितीय शर्तों के साथ प्रायिकता कैसे काम करती है।
In simple words: दिए गए नंबर -2, -1, 0, 1, 2 हैं (कुल 5)। हमें वह नंबर चुनना है जिसका वर्ग 2 से कम हो। केवल -1, 0 और 1 के वर्ग 2 से कम हैं। ये 3 नंबर हैं। तो, संभावना \( \frac{3}{5} \) है।

🎯 Exam Tip: \( x^2 \) जैसे व्यंजकों वाले प्रश्नों में, प्रत्येक संभावित मान के लिए गणना करें और फिर शर्तों को पूरा करने वाले परिणामों की संख्या गिनें।

Question 28. संख्याओं 1, 2, 3 में से एक संख्या x चुनी गई तथा संख्याओं 1, 4, 9 में से यादृच्छया एक संख्या y चुनी गई तो क्या प्रायिकता है कि दो संख्याओं की xy गुणा, 9 से छोटी होगी?
Answer: संख्या 1, 2, 3 में से एक संख्या x चुनने में कुल परिणाम \( = 3 \) हैं।
संख्या 1, 4, 9 में से एक संख्या y चुनने में कुल परिणाम \( = 3 \) हैं।
इसलिए एक संख्या xy चुनने के कुल संभव परिणाम \( = 3 \times 3 = 9 \) हैं।
माना दो संख्याओं की xy गुणा, 9 से छोटी होने की घटना A है।
संभावित xy मान हैं:
\( 1 \times 1 = 1 \)
\( 1 \times 4 = 4 \)
\( 1 \times 9 = 9 \) (9 से छोटा नहीं)
\( 2 \times 1 = 2 \)
\( 2 \times 4 = 8 \)
\( 2 \times 9 = 18 \) (9 से छोटा नहीं)
\( 3 \times 1 = 3 \)
\( 3 \times 4 = 12 \) (9 से छोटा नहीं)
\( 3 \times 9 = 27 \) (9 से छोटा नहीं)
तब, अनुकूल परिणाम (जहाँ \( xy < 9 \)) \( = (1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 1) \) होंगे।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 5 \) है।
अभीष्ट प्रायिकता \( P(A) = \frac{5}{9} \) होगी। यह प्रायिकता विभिन्न संयोजनों के बीच संख्यात्मक संबंधों को समझने में मदद करती है।
In simple words: x के लिए 3 और y के लिए 3 विकल्प हैं, तो कुल \( 3 \times 3 = 9 \) संभावित जोड़ियाँ बन सकती हैं। अगर हम xy का गुणा करें और वह 9 से छोटा हो, तो ऐसी 5 जोड़ियाँ हैं: (1,1), (1,4), (2,1), (2,4), (3,1)। तो, संभावना \( \frac{5}{9} \) है।

🎯 Exam Tip: 'xy गुणा' जैसे प्रश्नों में, सभी संभावित जोड़ियों (जैसे कार्टेशियन उत्पाद) को सूचीबद्ध करना और फिर शर्त को पूरा करने वाली जोड़ियों की पहचान करना सबसे अच्छा तरीका है।

Question 29. एक थैले में 6 लाल, 8 काली तथा 4 सफेद गेंदे हैं। इनमें से, एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है तो क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद काली नहीं है?
Answer: दिया है, लाल गेंदों की संख्या \( = 6 \) है।
काली गेंदों की संख्या \( = 8 \) है।
सफेद गेंदों की संख्या \( = 4 \) है।
एक गेंद थैले में से निकालने पर, कुल संभव परिणाम (कुल गेंदें) \( = 6 + 8 + 4 = 18 \) हैं।
अब, ऐसी गेंदें जो काली नहीं हैं, वे लाल और सफेद गेंदें हैं।
गैर-काली गेंदों की संख्या \( = 6 + 4 = 10 \) है।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 10 \) है।
इसलिए, प्रायिकता P (काली गेंद नहीं है) \( = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \) होगी। यह प्रायिकता पूरक घटनाओं के महत्व को दर्शाती है।
In simple words: थैले में कुल 18 गेंदें हैं (6 लाल + 8 काली + 4 सफेद)। अगर गेंद काली नहीं है, तो वह या तो लाल होगी या सफेद। लाल और सफेद गेंदों की कुल संख्या \( 6 + 4 = 10 \) है। तो, काली गेंद न निकलने की संभावना \( \frac{10}{18} \), यानी \( \frac{5}{9} \) है।

🎯 Exam Tip: 'नहीं' वाले प्रश्नों में, आप या तो अनुकूल परिणामों को सीधे गिन सकते हैं (जो घटना को पूरा नहीं करते हैं) या 'होने' की प्रायिकता को 1 में से घटा सकते हैं।

Question 30. एक थैले में 2 से 90 तक की लिखी संख्याओं के कार्ड हैं थैले से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है। तो निकाले गये कार्ड पर होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए- (i) एक दो अंकों की संख्या (ii) एक संख्या जो एक पूर्ण वर्ग है।
Answer: 2 से 90 तक की संख्याओं के कार्डों में से एक कार्ड निकालने पर, कुल संभव परिणाम (कार्डों की संख्या) \( = 90 - 2 + 1 = 89 \) हैं।
(i) एक दो अंकों की संख्या:
दो अंकों की संख्याएँ 10 से शुरू होकर 90 तक होती हैं।
दी गई श्रेणी (2 से 90) में दो अंकों की संख्याएँ \( = \) 10, 11, ..., 90 हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 90 - 10 + 1 = 81 \) है।
प्रायिकता \( P = \frac{81}{89} \) होगी।
(ii) एक संख्या जो एक पूर्ण वर्ग है:
दी गई श्रेणी (2 से 90) में पूर्ण वर्ग संख्याएँ \( = 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 \) हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 8 \) है।
प्रायिकता \( P = \frac{8}{89} \) होगी। इस प्रश्न के भाग विभिन्न संख्यात्मक गुणों के आधार पर प्रायिकता की गणना करने की विधि को स्पष्ट करते हैं।
In simple words: 2 से 90 तक कुल 89 कार्ड हैं।
(i) दो अंकों की संख्याएँ (10 से 90 तक) कुल 81 हैं। तो, संभावना \( \frac{81}{89} \) है।
(ii) पूर्ण वर्ग संख्याएँ (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81) कुल 8 हैं। तो, संभावना \( \frac{8}{89} \) है।

🎯 Exam Tip: पूर्ण वर्ग संख्याओं को पहचानना और उनकी गणना करना सीखें। साथ ही, दो अंकों या तीन अंकों की संख्याओं की गणना करते समय सीमा का ध्यान रखें।

Ex 15.1 Probability दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 31. 52 पत्तों की एक गड्डी में से सभी गुलाम, बेगम और बादशाह निकाल दिये जाते हैं। शेष बचे पत्तों को अच्छी तरह से फेंट दिया गया है तब इनमें से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, निकाला गया पत्ता है- (i) एक काली तस्वीर वाला पत्ता (ii) एक लाल पत्ता
Answer: हम जानते हैं कि 52 पत्तों की गड्डी में चार गुलाम, चार बेगम और चार बादशाह होते हैं।
कुल निकाले गए पत्ते \( = 4 (\text{गुलाम}) + 4 (\text{बेगम}) + 4 (\text{बादशाह}) = 12 \) हैं।
शेष बचे पत्तों की संख्या \( = 52 - 12 = 40 \) है।
40 पत्तों में से एक पत्ता निकालने पर, कुल संभव परिणाम \( = 40 \) हैं।
(i) एक काली तस्वीर वाला पत्ता:
सभी गुलाम, बेगम और बादशाह निकालने के बाद, कोई भी तस्वीर वाला पत्ता नहीं बचता है।
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 0 \) है।
अभीष्ट प्रायिकता \( P(A) = \frac{0}{40} = 0 \) होगी।
(ii) एक लाल पत्ता:
कुल लाल पत्ते शुरू में 26 थे।
निकाले गए पत्तों में से लाल गुलाम, लाल बेगम और लाल बादशाह (2 + 2 + 2 = 6 पत्ते) थे।
शेष लाल पत्तों की संख्या \( = 26 - 6 = 20 \) है।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 20 \) है।
प्रायिकता \( P (\text{एक लाल पत्ता}) = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} \) होगी। इस प्रश्न से हमें समझ आता है कि पत्तों के डेक से कुछ कार्ड निकालने पर प्रायिकता कैसे बदलती है।
In simple words: 52 पत्तों की गड्डी से सभी गुलाम, बेगम और बादशाह (कुल 12 पत्ते) हटा दिए गए हैं। तो, अब 40 पत्ते बचे हैं।
(i) कोई भी तस्वीर वाला पत्ता नहीं बचा है, इसलिए काली तस्वीर वाले पत्ते निकलने की संभावना 0 है।
(ii) शुरू में 26 लाल पत्ते थे, और उनमें से 6 लाल तस्वीर वाले पत्ते हटा दिए गए। तो, 20 लाल पत्ते बचे हैं। इसलिए, लाल पत्ता निकलने की संभावना \( \frac{20}{40} \), यानी \( \frac{1}{2} \) है।

🎯 Exam Tip: जब पत्तों को हटाया जाता है, तो सुनिश्चित करें कि आप कुल संभावित परिणामों की संख्या और साथ ही अनुकूल परिणामों की संख्या दोनों को तदनुसार समायोजित करें।

Question 32. ताश के पत्तों की एक गड्डी में से सभी लाल तस्वीर वाले पत्ते निकाल दिये जाते हैं। शेष बचे पत्तों को अच्छी तरह से फेंट दिया गया है तथा तब इनमें से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता है- (i) एक लाल पत्ता (ii) एक तस्वीर वाला पत्ता (iii) एक चिड़ी का पत्ता
Answer: कुल ताश के पत्तों की संख्या \( = 52 \) है।
लाल तस्वीर वाले पत्ते \( = 2 \) (लाल गुलाम) \( + 2 \) (लाल बेगम) \( + 2 \) (लाल बादशाह) \( = 6 \) हैं।
52 पत्तों में से लाल तस्वीर वाले पत्ते निकालने पर, शेष बचे पत्ते \( = 52 - 6 = 46 \) हैं।
46 पत्तों में से एक पत्ता निकालने पर, कुल संभव परिणाम \( = 46 \) हैं।
(i) एक लाल पत्ता:
शुरू में 26 लाल पत्ते थे। लाल तस्वीर वाले 6 पत्ते हटा दिए गए हैं।
46 पत्तों में कुल लाल पत्तों की संख्या \( = 26 - 6 = 20 \) है।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 20 \) है।
प्रायिकता \( P (\text{एक लाल पत्ता}) = \frac{20}{46} = \frac{10}{23} \) होगी।
(ii) एक तस्वीर वाला पत्ता:
शुरू में कुल तस्वीर वाले पत्ते 12 थे (4 गुलाम, 4 बेगम, 4 बादशाह)।
लाल तस्वीर वाले 6 पत्ते हटा दिए गए हैं, तो अब केवल काले तस्वीर वाले पत्ते बचे हैं (6 पत्ते)।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 6 \) है।
अभीष्ट प्रायिकता \( P = \frac{6}{46} = \frac{3}{23} \) होगी।
(iii) एक चिड़ी का पत्ता:
चिड़ी के पत्तों की कुल संख्या \( = 13 \) होती है।
कोई भी चिड़ी का पत्ता नहीं हटाया गया है क्योंकि हटाए गए पत्ते केवल लाल तस्वीर वाले थे।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 13 \) है।
अभीष्ट प्रायिकता \( P = \frac{13}{46} \) होगी। यह प्रायिकता विभिन्न स्थितियों में ताश के पत्तों के वितरण और संभावनाओं को समझने में मदद करती है।
In simple words: कुल 52 पत्ते थे, जिनमें से 6 लाल तस्वीर वाले पत्ते (लाल गुलाम, बेगम, बादशाह) हटा दिए गए हैं। अब 46 पत्ते बचे हैं।
(i) शुरू में 26 लाल पत्ते थे। 6 लाल तस्वीर वाले पत्ते हटा दिए गए, तो 20 लाल पत्ते बचे हैं। इसकी संभावना \( \frac{20}{46} \), यानी \( \frac{10}{23} \) है।
(ii) शुरू में 12 तस्वीर वाले पत्ते थे। 6 लाल तस्वीर वाले पत्ते हटा दिए गए, तो 6 काले तस्वीर वाले पत्ते बचे हैं। इसकी संभावना \( \frac{6}{46} \), यानी \( \frac{3}{23} \) है।
(iii) चिड़ी के 13 पत्ते होते हैं। कोई चिड़ी का पत्ता नहीं हटाया गया। तो, चिड़ी का पत्ता निकलने की संभावना \( \frac{13}{46} \) है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणनाएँ सही हैं, हमेशा पहले स्पष्ट रूप से लिखें कि कितने पत्ते हटाए गए हैं और कितने पत्ते अब डेक में बचे हैं।

Question 33. 12 व्यक्तियों के एक समूह में, 3 बहुत अधिक बीमार हैं, 6 बहुत अधिक ईमानदार व शेष बहुत अधिक दयालु हैं। समूह से एक व्यक्ति चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया व्यक्ति- (i) बहुत अधिक बीमार (ii) बहुत अधिक दयालु या ईमानदार हो।
Answer: दिया है, कुल व्यक्तियों की संख्या \( = 12 \) है।
बहुत अधिक बीमार व्यक्तियों की संख्या \( = 3 \) है।
बहुत अधिक ईमानदार व्यक्तियों की संख्या \( = 6 \) है।
शेष बहुत अधिक दयालु व्यक्तियों की संख्या \( = 12 - 3 - 6 = 3 \) है।
12 व्यक्तियों में से एक व्यक्ति चुनने में, कुल संभव परिणाम \( = 12 \) हैं।
(i) बहुत अधिक बीमार:
बहुत अधिक बीमार व्यक्तियों की संख्या \( = 3 \) है।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 3 \) है।
अभीष्ट प्रायिकता \( P = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \) होगी।
(ii) बहुत अधिक दयालु या ईमानदार हो:
बहुत अधिक दयालु व्यक्तियों की संख्या \( = 3 \) है।
बहुत अधिक ईमानदार व्यक्तियों की संख्या \( = 6 \) है।
चूंकि दयालु और ईमानदार होने के समूह अलग-अलग हैं, इसलिए 'दयालु या ईमानदार' होने के अनुकूल परिणाम दोनों समूहों का योग होंगे।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = 3 + 6 = 9 \) है।
प्रायिकता \( P = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \) होगी। इस प्रकार के प्रश्न हमें विभिन्न श्रेणियों में व्यक्तियों के अनुपात के आधार पर प्रायिकता की गणना करना सिखाते हैं।
In simple words: कुल 12 लोग हैं। 3 बहुत बीमार हैं, 6 ईमानदार हैं, और बाकी 3 दयालु हैं।
(i) एक बहुत बीमार व्यक्ति चुनने की संभावना \( \frac{3}{12} \), यानी \( \frac{1}{4} \) है।
(ii) एक दयालु या ईमानदार व्यक्ति चुनने की संभावना \( \frac{3 (\text{दयालु}) + 6 (\text{ईमानदार})}{12} = \frac{9}{12} \), यानी \( \frac{3}{4} \) है।

🎯 Exam Tip: 'या' (OR) वाले प्रश्नों में, अनुकूल परिणामों की संख्या ज्ञात करने के लिए विभिन्न श्रेणियों के अनुकूल परिणामों को जोड़ें, बशर्ते वे परस्पर अनन्य (mutually exclusive) हों।

Question 34. एक पाँसे को दो बार उछाला गया है। तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) किसी भी बार 5 ऊपर नहीं आयेगा । (ii) ठीक एक बार ही 5 ऊपर आयेगा।
Answer: हम जानते हैं कि एक पाँसे को दो बार उछालने पर कुल संभव परिणाम \( = 6 \times 6 = 36 \) होते हैं।
(i) किसी भी बार 5 ऊपर नहीं आयेगा:
'5' आने की संभावना वाले परिणाम (कम से कम एक बार 5): (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)।
इन परिणामों की संख्या \( = 11 \) है।
यदि '5' आने की प्रायिकता \( P(5) = \frac{11}{36} \) है।
तो, '5' नहीं आने की प्रायिकता \( P(\text{कोई } 5 \text{ नहीं}) = 1 - P(5) \)
\( = 1 - \frac{11}{36} \)
\( = \frac{36 - 11}{36} = \frac{25}{36} \) होगी।
(ii) ठीक एक बार ही 5 ऊपर आयेगा:
वे परिणाम जहाँ ठीक एक बार 5 आता है: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)।
यहां, (5,5) को बाहर कर दिया गया है क्योंकि इसमें 5 दो बार आता है।
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 10 \) है।
प्रायिकता \( P(\text{ठीक एक बार } 5) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \) होगी। यह पासा फेंकने के खेल में विशिष्ट परिणामों की संभावनाओं को दर्शाता है।
In simple words: दो पासे उछालने पर कुल 36 नतीजे हो सकते हैं।
(i) अगर कोई भी 5 न आए, तो इसका मतलब है कि 5 कम से कम एक बार भी न आए। कम से कम एक बार 5 आने वाले 11 नतीजे होते हैं। तो, 5 न आने की संभावना \( 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36} \) है।
(ii) ठीक एक बार 5 आने का मतलब है कि एक पासे पर 5 हो और दूसरे पर न हो। ऐसे 10 नतीजे होते हैं। तो, संभावना \( \frac{10}{36} \), यानी \( \frac{5}{18} \) है।

🎯 Exam Tip: "किसी भी बार नहीं" (never) के लिए, "कम से कम एक बार" (at least once) की प्रायिकता निकालें और उसे 1 में से घटा दें। "ठीक एक बार" (exactly once) के लिए, उन सभी परिणामों को सावधानी से गिनें जहाँ शर्त सिर्फ एक बार पूरी होती है।

Question 35. दो पाँसे एक साथ उछाले जाते हैं तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) दोनों पर कभी भी 5 ऊपर नहीं आये । (ii) कम-से-कम एक पर 5 आये । (iii) दोनों पाँसों के ऊपर 5 आये।
Answer: हम जानते हैं कि दो पाँसे उछालने पर, कुल संभव परिणाम \( = 6 \times 6 = 36 \) होते हैं।
(i) दोनों पाँसों पर कभी भी 5 ऊपर न आने पर:
कुल अनुकूल परिणाम (जहाँ कोई 5 नहीं आता) \( = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,6) \) हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 25 \) है।
अतः अभीष्ट प्रायिकता \( = \frac{25}{36} \) होगी।
(ii) कम-से-कम एक पर 5 आये:
कुल अनुकूल परिणाम (जहाँ कम से कम एक 5 आता है) \( = (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) \) हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 11 \) है।
अतः अभीष्ट प्रायिकता \( = \frac{11}{36} \) होगी।
(iii) दोनों पाँसों के ऊपर 5 आये:
कुल अनुकूल परिणाम (जहाँ दोनों पर 5 आता है) \( = (5,5) \) है।
अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 1 \) है।
अतः अभीष्ट प्रायिकता \( = \frac{1}{36} \) होगी। यह हमें दिखाता है कि पासे फेंकने के खेल में विभिन्न प्रकार की घटनाओं की प्रायिकताएँ कैसे बदलती हैं।
In simple words: दो पासे फेंकने पर कुल 36 नतीजे हो सकते हैं।
(i) अगर किसी भी पासे पर 5 न आए, तो ऐसे 25 नतीजे होते हैं। संभावना \( \frac{25}{36} \) है।
(ii) अगर कम से कम एक पासे पर 5 आए, तो ऐसे 11 नतीजे होते हैं। संभावना \( \frac{11}{36} \) है।
(iii) अगर दोनों पासे पर 5 आए, तो ऐसा केवल 1 ही नतीजा होता है ((5,5))। संभावना \( \frac{1}{36} \) है।

🎯 Exam Tip: इन तीन प्रकार के प्रश्नों के बीच के अंतर को समझें: 'कोई नहीं' (none), 'कम से कम एक' (at least one), और 'दोनों' (both)। उनकी गणना करने के तरीके अलग-अलग होते हैं।

Question 36. एक बक्से में 90 डिस्क हैं, जिन पर 1 से 90 संख्याएँ अंकित हैं यदि इस बक्से से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी- (i) एक दो अंकों की संख्या (ii) एक पूर्ण-वर्ग संख्या (iii) 5 से विभाज्य एक संख्या
Answer: कुल अंकित संख्याएँ \( = 90 \) हैं (1 से 90 तक)।
अतः कुल संभव परिणाम \( = 90 \) हैं।
(i) एक दो अंकों की संख्या:
दो अंकों की संख्याएँ 10 से 90 तक होती हैं।
दो अंकों की संख्याओं की संख्या \( = 90 - 9 = 81 \) है। (कुल 90 संख्याओं में से 1 से 9 तक की 9 एक अंकों की संख्याओं को घटाने पर)।
कुल अनुकूल परिणाम \( = 81 \) हैं।
दो अंकों की एक संख्या आने की प्रायिकता \( = \frac{81}{90} = \frac{9}{10} \) होगी।
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या:
1 से 90 के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ \( = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 \) हैं।
पूर्ण वर्ग संख्याओं की कुल संख्या \( = 9 \) है।
प्रायिकता (एक पूर्ण वर्ग संख्या) \( = \frac{9}{90} = \frac{1}{10} \) होगी।
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या:
1 से 90 के बीच 5 से विभाज्य संख्याएँ \( = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90 \) हैं।
कुल 5 से विभाज्य संख्याओं की संख्या \( = 18 \) है।
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या \( = 18 \) है।
अतः अभीष्ट प्रायिकता \( = \frac{18}{90} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \) होगी। यह प्रायिकता की गणना के लिए संख्याओं के विभिन्न गुणों को लागू करने का एक विस्तृत उदाहरण है।
In simple words: कुल 90 डिस्क हैं जिन पर 1 से 90 तक नंबर लिखे हैं।
(i) दो अंकों की संख्याएँ (10 से 90 तक) कुल 81 हैं। तो, संभावना \( \frac{81}{90} \), यानी \( \frac{9}{10} \) है।
(ii) पूर्ण वर्ग संख्याएँ (जैसे 1, 4, 9, ..., 81) कुल 9 हैं। तो, संभावना \( \frac{9}{90} \), यानी \( \frac{1}{10} \) है।
(iii) 5 से भाग होने वाली संख्याएँ (जैसे 5, 10, ..., 90) कुल 18 हैं। तो, संभावना \( \frac{18}{90} \), यानी \( \frac{1}{5} \) है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के बहु-भाग वाले प्रश्नों को हल करते समय, प्रत्येक भाग के लिए अनुकूल परिणामों की गणना अलग-अलग करें और सुनिश्चित करें कि आपने संख्या की सीमा को ठीक से समझा है।