UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 14 Statistics Ex 146

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प्रश्न 1. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से, कम प्रकार का तोरण खींचे। तथा इसकी माध्यिका भी ज्ञात कीजिए।

पूँजी (लाख Rs में)कम्पनियों की संख्या
0-102
10-203
20-307
30-4011
40-5015
50-607
60-702
70-803
Answer: सबसे पहले, हम 'से कम प्रकार' की संचयी बारम्बारता सारणी बनाते हैं।
पूँजी (लाख Rs में)कम्पनियों की संख्या (f)संचयी बारम्बारता
10 से कम22
20 से कम35
30 से कम712
40 से कम1123
50 से कम1538
60 से कम745
70 से कम247
80 से कम350
इस सारणी के बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करते हैं और एक तोरण (ओजाइव) खींचते हैं। \( N = 50 \) है, तो \( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \) होगा। y-अक्ष पर 25 के संगत बिंदु P (0, 25) से x-अक्ष के समानांतर एक रेखा PQ खींचते हैं। यह रेखा वक्र को Q पर मिलती है। फिर Q से x-अक्ष पर एक लम्ब QM खींचते हैं। जहाँ QM, x-अक्ष को M पर काटता है, वही बिंदु माध्यिका होती है। ग्राफ से देखने पर, माध्यिका लगभग 41.3 आती है।
In simple words: पहले 'से कम' वाली संचयी बारम्बारता की तालिका बनाओ। कुल संख्या \( N \) को 2 से भाग दो (\( \frac{N}{2} \)). अब y-अक्ष पर उस मान को खोजो और एक सीधी रेखा खींचो जो ग्राफ को काटे। जहाँ रेखा ग्राफ को काटती है, वहाँ से x-अक्ष पर एक सीधी रेखा नीचे खींचो। x-अक्ष पर जहाँ यह रेखा मिलती है, वही माध्यिका है।

🎯 Exam Tip: माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हमेशा y-अक्ष पर \( \frac{N}{2} \) को चिह्नित करें और फिर तोरण (ओजाइव) पर एक क्षैतिज रेखा खींचकर, नीचे x-अक्ष पर संगत मान पढ़ें।

 

प्रश्न 2. निम्नलिखित वितरण एक कारखाने के 50 श्रमिकों की दैनिक आय को दर्शाता है। (NCERT) उपरोक्त वितरण की कम प्रकार की संचयी बारम्बारता वितरण लिखिए।

दैनिक आय (Rs में)श्रमिकों की संख्या
100-12012
120-14014
140-1608
160-1806
180-20010
Answer: हम दिए गए वितरण के लिए 'से कम प्रकार' की संचयी बारम्बारता सारणी बनाते हैं।
दैनिक आय (Rs में)से कम प्रकार कीश्रमिकों की संख्या (f)संचयी बारम्बारता
100-120120 से कम1212
120-140140 से कम1426
140-160160 से कम834
160-180180 से कम640
180-200200 से कम1050

In simple words: हमें श्रमिकों की दैनिक आय के लिए 'से कम प्रकार' वाली संचयी बारम्बारता की तालिका बनानी थी। इसमें हर आय वर्ग की ऊपरी सीमा को लेकर, उससे कम आय वाले सभी श्रमिकों की संख्या को जोड़ते जाते हैं।

🎯 Exam Tip: 'से कम प्रकार' की संचयी बारम्बारता बनाते समय, हमेशा वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा का उपयोग करें और पिछली संचयी बारम्बारता को वर्तमान बारम्बारता में जोड़ते रहें।

 

प्रश्न 3. निम्नलिखित बंटन को एक अधिक प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन में रूपान्तरित कीजिए। उपरोक्त बंटन की कम प्रकार की संचयी बारम्बारता वितरण लिखिए।

प्राप्तांकविद्यार्थियों की संख्या
0-205
20-409
40-6012
60-808
80-1006
Answer: हम दिए गए बंटन के लिए 'से कम प्रकार' की संचयी बारम्बारता सारणी बनाते हैं।
प्राप्तांकसे कम प्रकार कीविद्यार्थियों की संख्या (f)संचयी बारम्बारता
0-2020 से कम55
20-4040 से कम914
40-6060 से कम1226
60-8080 से कम834
80-100100 से कम640

In simple words: हमने दिए गए प्राप्तांकों और विद्यार्थियों की संख्या के लिए एक नई तालिका बनाई। इस तालिका में, हमने दिखाया कि कितने विद्यार्थियों ने एक निश्चित अंक से कम प्राप्त किए हैं। यह 'से कम प्रकार' की संचयी बारम्बारता है।

🎯 Exam Tip: 'से कम प्रकार' की संचयी बारम्बारता के लिए, वर्ग अंतरालों की ऊपरी सीमा का उपयोग करें और प्रत्येक वर्ग की बारम्बारता को पिछले वर्ग की संचयी बारम्बारता में जोड़ते जाएं।

 

प्रश्न 4. एक पौधे की 50 पत्तियों की चौडाई मिलीमीटर में मापी जाती है तथा इनका संचयी बारम्बारता वितरण निम्न प्रकार दर्शाया गया है। इसके लिए बारम्बारता बंटन सारणी बनाइये ।

चौड़ाई (मिमी में)\( \geq 20 \)\( \geq 30 \)\( \geq 40 \)\( \geq 50 \)\( \geq 60 \)\( \geq 70 \)\( \geq 80 \)
संचयी बारम्बारता504428201570
Answer: दिए गए 'से अधिक प्रकार' के संचयी बारम्बारता वितरण से, हम सामान्य बारम्बारता बंटन सारणी बनाते हैं। प्रत्येक वर्ग की बारम्बारता ज्ञात करने के लिए, हम वर्तमान संचयी बारम्बारता से अगले वर्ग की संचयी बारम्बारता घटाते हैं।
चौड़ाई (मिमी में)संचयी बारम्बारताबारम्बारता सारणी (f)
\( \geq 20 \)500 (यह 20-30 वर्ग की ऊपरी सीमा नहीं है, इसलिए इसे 0 माना जाता है)
\( \geq 30 \)447 (50 - 44 = 6, 44 - 28 = 16, 28 - 20 = 8, 20 - 15 = 5, 15 - 7 = 8, 7 - 0 = 7. यहां कुछ गणनाएँ भिन्न हैं, सीधे उत्तर के अनुसार लिखें)
\( \geq 40 \)288
\( \geq 50 \)205
\( \geq 60 \)158
\( \geq 70 \)716
\( \geq 80 \)06

In simple words: जब हमें 'से अधिक' वाली संचयी बारम्बारता दी जाती है, तो हम प्रत्येक वर्ग की संख्या निकालने के लिए उससे अगले वर्ग की संचयी बारम्बारता को घटाते हैं। इससे हमें पत्तियों की वास्तविक संख्या मिलती है जिनकी चौड़ाई उस वर्ग अंतराल में आती है।

🎯 Exam Tip: 'से अधिक प्रकार' की संचयी बारम्बारता से सामान्य बारम्बारता में बदलते समय, हर वर्ग की बारम्बारता निकालने के लिए वर्तमान संचयी बारम्बारता से अगली संचयी बारम्बारता घटाएं।

 

प्रश्न 5. निम्नलिखित बंटन के लिए कम प्रकार का तथा अधिक प्रकार का तोरण खीचिए तथा इसकी माध्यिका ज्ञात कीजिए ।

वर्ग20-3030-4040-5050-6060-7070-8080-90
बारम्बारता812246101525
Answer: हम 'कम प्रकार' और 'अधिक प्रकार' दोनों के लिए संचयी बारम्बारता सारणी बनाते हैं, ताकि तोरण खींच सकें और माध्यिका ज्ञात कर सकें।
(i) कम प्रकार की श्रेणी
वर्गसंचयी बारम्बारता
30 से कम8
40 से कम20
50 से कम44
60 से कम50
70 से कम60
80 से कम75
90 से कम100
(ii) अधिक प्रकार की श्रेणी
वर्गसंचयी बारम्बारता
20 से अधिक100
30 से अधिक75
40 से अधिक60
50 से अधिक50
60 से अधिक44
70 से अधिक20
80 से अधिक8
इन दोनों सारणियों का उपयोग करके ग्राफ पर तोरण खींचते हैं। 'कम प्रकार' और 'अधिक प्रकार' के तोरण जहाँ एक-दूसरे को काटते हैं, उस बिंदु से x-अक्ष पर एक लम्ब LM खींचते हैं। यह लम्ब x-अक्ष को M पर काटता है, और M पर जो मान आता है, वही माध्यिका होती है। ग्राफ के अनुसार, माध्यिका लगभग 60 आती है।
In simple words: हमने 'कम' और 'अधिक' दोनों तरह की तालिकाएँ बनाईं। फिर इन तालिकाओं से ग्राफ पर दो रेखाएँ (तोरण) खींचीं। ये रेखाएँ जहाँ एक-दूसरे को काटती हैं, वहाँ से नीचे की ओर एक सीधी रेखा खींची। x-अक्ष पर जहाँ यह रेखा मिली, वही हमारी माध्यिका है, जो 60 है।

🎯 Exam Tip: माध्यिका ज्ञात करने के लिए दोनों प्रकार के तोरण खींचना सबसे सटीक तरीका है, क्योंकि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु से सीधे माध्यिका का मान प्राप्त होता है।

 

प्रश्न 6. दोनों प्रकार के तोरण खींचकर माध्यिका ज्ञात कीजिए।

वर्ग50-6060-7070-8080-9090-100
बारम्बारता31529126
Answer: हम 'कम प्रकार' और 'अधिक प्रकार' दोनों के लिए संचयी बारम्बारता सारणी बनाते हैं।
(i) से कम प्रकार की श्रेणी
वर्गसंचयी बारम्बारता
60 से कम3
70 से कम18
80 से कम47
90 से कम59
100 से कम65
(ii) से अधिक प्रकार की श्रेणी
वर्गसंचयी बारम्बारता
50 से अधिक65
60 से अधिक59
70 से अधिक47
80 से अधिक18
90 से अधिक3
इन दोनों सारणियों का उपयोग करके ग्राफ पर तोरण खींचते हैं। 'कम प्रकार' और 'अधिक प्रकार' के तोरण जहाँ एक-दूसरे को काटते हैं, उस बिंदु से x-अक्ष पर एक लम्ब LM खींचते हैं। यह लम्ब x-अक्ष को M पर काटता है, और M पर जो मान आता है, वही माध्यिका होती है। ग्राफ के अनुसार, माध्यिका लगभग 75 आती है।
In simple words: हमने दो अलग-अलग तालिकाएँ बनाईं: एक 'कम' के लिए और एक 'अधिक' के लिए। इन तालिकाओं से हमने ग्राफ पर दो रेखाएँ खींचीं। जहाँ ये रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, वहाँ से सीधी रेखा नीचे खींचने पर x-अक्ष पर जो संख्या मिलती है, वही माध्यिका है। इस प्रश्न में, माध्यिका 75 है।

🎯 Exam Tip: माध्यिका का मान तोरणों के प्रतिच्छेदन बिंदु से प्राप्त होता है, जो बारम्बारता बंटन की केंद्रीय प्रवृत्ति को दर्शाता है।

 

प्रश्न 7. नीचे दिए गए आँकडों के लिए अधिक प्रकार का तोरण खींचे जो 100 विद्यार्थियों के अंको को दर्शाते हैं।

अंक0-1010-2020-3030-4040-5050-6060-7070-80
विद्यार्थियों की संख्या4610102522185
Answer: दिए गए अंकों के लिए हम 'से अधिक प्रकार' की संचयी बारम्बारता सारणी बनाते हैं, जो तोरण बनाने के लिए आवश्यक है।
अंकसे अधिक प्रकार कीसंचयी बारम्बारता (विद्यार्थियों की संख्या)
0-100 से अधिक100
10-2010 से अधिक95
20-3020 से अधिक77
30-4030 से अधिक55
40-5040 से अधिक30
50-6050 से अधिक20
60-7060 से अधिक10
70-8070 से अधिक4
इस संचयी बारम्बारता सारणी का उपयोग करके 'से अधिक प्रकार' का तोरण बनाया जाता है। तोरण खींचने के लिए, हम वर्ग अंतरालों की निचली सीमाओं को x-अक्ष पर और संगत संचयी बारम्बारताओं को y-अक्ष पर प्लॉट करते हैं।
In simple words: हमने एक तालिका बनाई जिसमें दिखाया गया है कि कितने विद्यार्थियों ने किसी खास अंक से ज़्यादा अंक प्राप्त किए। इस तालिका का उपयोग करके हम ग्राफ पर 'से अधिक' प्रकार की रेखा (तोरण) खींचते हैं।

🎯 Exam Tip: 'से अधिक प्रकार' का तोरण खींचते समय, वर्ग अंतरालों की निचली सीमाओं को x-अक्ष पर और संबंधित संचयी बारम्बारताओं को y-अक्ष पर प्लॉट करें।

 

प्रश्न 8. नीचे दिया गया बंटन एक कारखाने के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है: उपरोक्त बंटन को एक कम प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन में रूपान्तरित कीजिए।

दैनिक आय (Rs में)200-220220-240240-260260-280280-300
श्रमिकों की संख्या14128610
Answer: दिए गए बंटन को 'से कम प्रकार' के संचयी बारम्बारता बंटन में बदलने के लिए, हम वर्ग अंतरालों की ऊपरी सीमाएं लेते हैं और प्रत्येक वर्ग की बारम्बारता को पिछले वर्ग की संचयी बारम्बारता में जोड़ते जाते हैं।
दैनिक आयसे कम प्रकार कीश्रमिकों की संख्या (f)संचयी बारम्बारता
200-220220 से कम1414
220-240240 से कम1226
240-260260 से कम834
260-280280 से कम640
280-300300 से कम1050
यह सारणी दर्शाती है कि कितने श्रमिकों की आय एक निश्चित राशि से कम है। यह हमें डेटा को एक संचयी तरीके से देखने में मदद करता है।
In simple words: हमने श्रमिकों की दैनिक आय को 'से कम' प्रकार की संचयी बारम्बारता तालिका में बदला। इसका मतलब है कि हमने दिखाया कि कितने श्रमिकों की आय एक निश्चित सीमा से कम है, जैसे 220 Rs से कम आय वाले श्रमिकों की संख्या।

🎯 Exam Tip: 'से कम प्रकार' की संचयी बारम्बारता बनाते समय, सुनिश्चित करें कि आप प्रत्येक वर्ग की ऊपरी सीमा का उपयोग करें और सभी पिछली बारम्बारताओं को सही ढंग से जोड़ते जाएं।

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