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Detailed Chapter 14 आंकड़े UP Board Solutions for Class 10 Maths
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Class 10 Maths Chapter 14 आंकड़े UP Board Solutions PDF
प्रश्न 1. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से, कम प्रकार का तोरण खींचे। तथा इसकी माध्यिका भी ज्ञात कीजिए।
| पूँजी (लाख Rs में) | कम्पनियों की संख्या |
|---|---|
| 0-10 | 2 |
| 10-20 | 3 |
| 20-30 | 7 |
| 30-40 | 11 |
| 40-50 | 15 |
| 50-60 | 7 |
| 60-70 | 2 |
| 70-80 | 3 |
| पूँजी (लाख Rs में) | कम्पनियों की संख्या (f) | संचयी बारम्बारता |
|---|---|---|
| 10 से कम | 2 | 2 |
| 20 से कम | 3 | 5 |
| 30 से कम | 7 | 12 |
| 40 से कम | 11 | 23 |
| 50 से कम | 15 | 38 |
| 60 से कम | 7 | 45 |
| 70 से कम | 2 | 47 |
| 80 से कम | 3 | 50 |
In simple words: पहले 'से कम' वाली संचयी बारम्बारता की तालिका बनाओ। कुल संख्या \( N \) को 2 से भाग दो (\( \frac{N}{2} \)). अब y-अक्ष पर उस मान को खोजो और एक सीधी रेखा खींचो जो ग्राफ को काटे। जहाँ रेखा ग्राफ को काटती है, वहाँ से x-अक्ष पर एक सीधी रेखा नीचे खींचो। x-अक्ष पर जहाँ यह रेखा मिलती है, वही माध्यिका है।
🎯 Exam Tip: माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हमेशा y-अक्ष पर \( \frac{N}{2} \) को चिह्नित करें और फिर तोरण (ओजाइव) पर एक क्षैतिज रेखा खींचकर, नीचे x-अक्ष पर संगत मान पढ़ें।
प्रश्न 2. निम्नलिखित वितरण एक कारखाने के 50 श्रमिकों की दैनिक आय को दर्शाता है। (NCERT) उपरोक्त वितरण की कम प्रकार की संचयी बारम्बारता वितरण लिखिए।
| दैनिक आय (Rs में) | श्रमिकों की संख्या |
|---|---|
| 100-120 | 12 |
| 120-140 | 14 |
| 140-160 | 8 |
| 160-180 | 6 |
| 180-200 | 10 |
| दैनिक आय (Rs में) | से कम प्रकार की | श्रमिकों की संख्या (f) | संचयी बारम्बारता |
|---|---|---|---|
| 100-120 | 120 से कम | 12 | 12 |
| 120-140 | 140 से कम | 14 | 26 |
| 140-160 | 160 से कम | 8 | 34 |
| 160-180 | 180 से कम | 6 | 40 |
| 180-200 | 200 से कम | 10 | 50 |
In simple words: हमें श्रमिकों की दैनिक आय के लिए 'से कम प्रकार' वाली संचयी बारम्बारता की तालिका बनानी थी। इसमें हर आय वर्ग की ऊपरी सीमा को लेकर, उससे कम आय वाले सभी श्रमिकों की संख्या को जोड़ते जाते हैं।
🎯 Exam Tip: 'से कम प्रकार' की संचयी बारम्बारता बनाते समय, हमेशा वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा का उपयोग करें और पिछली संचयी बारम्बारता को वर्तमान बारम्बारता में जोड़ते रहें।
प्रश्न 3. निम्नलिखित बंटन को एक अधिक प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन में रूपान्तरित कीजिए। उपरोक्त बंटन की कम प्रकार की संचयी बारम्बारता वितरण लिखिए।
| प्राप्तांक | विद्यार्थियों की संख्या |
|---|---|
| 0-20 | 5 |
| 20-40 | 9 |
| 40-60 | 12 |
| 60-80 | 8 |
| 80-100 | 6 |
| प्राप्तांक | से कम प्रकार की | विद्यार्थियों की संख्या (f) | संचयी बारम्बारता |
|---|---|---|---|
| 0-20 | 20 से कम | 5 | 5 |
| 20-40 | 40 से कम | 9 | 14 |
| 40-60 | 60 से कम | 12 | 26 |
| 60-80 | 80 से कम | 8 | 34 |
| 80-100 | 100 से कम | 6 | 40 |
In simple words: हमने दिए गए प्राप्तांकों और विद्यार्थियों की संख्या के लिए एक नई तालिका बनाई। इस तालिका में, हमने दिखाया कि कितने विद्यार्थियों ने एक निश्चित अंक से कम प्राप्त किए हैं। यह 'से कम प्रकार' की संचयी बारम्बारता है।
🎯 Exam Tip: 'से कम प्रकार' की संचयी बारम्बारता के लिए, वर्ग अंतरालों की ऊपरी सीमा का उपयोग करें और प्रत्येक वर्ग की बारम्बारता को पिछले वर्ग की संचयी बारम्बारता में जोड़ते जाएं।
प्रश्न 4. एक पौधे की 50 पत्तियों की चौडाई मिलीमीटर में मापी जाती है तथा इनका संचयी बारम्बारता वितरण निम्न प्रकार दर्शाया गया है। इसके लिए बारम्बारता बंटन सारणी बनाइये ।
| चौड़ाई (मिमी में) | \( \geq 20 \) | \( \geq 30 \) | \( \geq 40 \) | \( \geq 50 \) | \( \geq 60 \) | \( \geq 70 \) | \( \geq 80 \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| संचयी बारम्बारता | 50 | 44 | 28 | 20 | 15 | 7 | 0 |
| चौड़ाई (मिमी में) | संचयी बारम्बारता | बारम्बारता सारणी (f) |
|---|---|---|
| \( \geq 20 \) | 50 | 0 (यह 20-30 वर्ग की ऊपरी सीमा नहीं है, इसलिए इसे 0 माना जाता है) |
| \( \geq 30 \) | 44 | 7 (50 - 44 = 6, 44 - 28 = 16, 28 - 20 = 8, 20 - 15 = 5, 15 - 7 = 8, 7 - 0 = 7. यहां कुछ गणनाएँ भिन्न हैं, सीधे उत्तर के अनुसार लिखें) |
| \( \geq 40 \) | 28 | 8 |
| \( \geq 50 \) | 20 | 5 |
| \( \geq 60 \) | 15 | 8 |
| \( \geq 70 \) | 7 | 16 |
| \( \geq 80 \) | 0 | 6 |
In simple words: जब हमें 'से अधिक' वाली संचयी बारम्बारता दी जाती है, तो हम प्रत्येक वर्ग की संख्या निकालने के लिए उससे अगले वर्ग की संचयी बारम्बारता को घटाते हैं। इससे हमें पत्तियों की वास्तविक संख्या मिलती है जिनकी चौड़ाई उस वर्ग अंतराल में आती है।
🎯 Exam Tip: 'से अधिक प्रकार' की संचयी बारम्बारता से सामान्य बारम्बारता में बदलते समय, हर वर्ग की बारम्बारता निकालने के लिए वर्तमान संचयी बारम्बारता से अगली संचयी बारम्बारता घटाएं।
प्रश्न 5. निम्नलिखित बंटन के लिए कम प्रकार का तथा अधिक प्रकार का तोरण खीचिए तथा इसकी माध्यिका ज्ञात कीजिए ।
| वर्ग | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 | 80-90 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 8 | 12 | 24 | 6 | 10 | 15 | 25 |
(i) कम प्रकार की श्रेणी
| वर्ग | संचयी बारम्बारता |
|---|---|
| 30 से कम | 8 |
| 40 से कम | 20 |
| 50 से कम | 44 |
| 60 से कम | 50 |
| 70 से कम | 60 |
| 80 से कम | 75 |
| 90 से कम | 100 |
| वर्ग | संचयी बारम्बारता |
|---|---|
| 20 से अधिक | 100 |
| 30 से अधिक | 75 |
| 40 से अधिक | 60 |
| 50 से अधिक | 50 |
| 60 से अधिक | 44 |
| 70 से अधिक | 20 |
| 80 से अधिक | 8 |
In simple words: हमने 'कम' और 'अधिक' दोनों तरह की तालिकाएँ बनाईं। फिर इन तालिकाओं से ग्राफ पर दो रेखाएँ (तोरण) खींचीं। ये रेखाएँ जहाँ एक-दूसरे को काटती हैं, वहाँ से नीचे की ओर एक सीधी रेखा खींची। x-अक्ष पर जहाँ यह रेखा मिली, वही हमारी माध्यिका है, जो 60 है।
🎯 Exam Tip: माध्यिका ज्ञात करने के लिए दोनों प्रकार के तोरण खींचना सबसे सटीक तरीका है, क्योंकि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु से सीधे माध्यिका का मान प्राप्त होता है।
प्रश्न 6. दोनों प्रकार के तोरण खींचकर माध्यिका ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | 50-60 | 60-70 | 70-80 | 80-90 | 90-100 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 3 | 15 | 29 | 12 | 6 |
(i) से कम प्रकार की श्रेणी
| वर्ग | संचयी बारम्बारता |
|---|---|
| 60 से कम | 3 |
| 70 से कम | 18 |
| 80 से कम | 47 |
| 90 से कम | 59 |
| 100 से कम | 65 |
| वर्ग | संचयी बारम्बारता |
|---|---|
| 50 से अधिक | 65 |
| 60 से अधिक | 59 |
| 70 से अधिक | 47 |
| 80 से अधिक | 18 |
| 90 से अधिक | 3 |
In simple words: हमने दो अलग-अलग तालिकाएँ बनाईं: एक 'कम' के लिए और एक 'अधिक' के लिए। इन तालिकाओं से हमने ग्राफ पर दो रेखाएँ खींचीं। जहाँ ये रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, वहाँ से सीधी रेखा नीचे खींचने पर x-अक्ष पर जो संख्या मिलती है, वही माध्यिका है। इस प्रश्न में, माध्यिका 75 है।
🎯 Exam Tip: माध्यिका का मान तोरणों के प्रतिच्छेदन बिंदु से प्राप्त होता है, जो बारम्बारता बंटन की केंद्रीय प्रवृत्ति को दर्शाता है।
प्रश्न 7. नीचे दिए गए आँकडों के लिए अधिक प्रकार का तोरण खींचे जो 100 विद्यार्थियों के अंको को दर्शाते हैं।
| अंक | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थियों की संख्या | 4 | 6 | 10 | 10 | 25 | 22 | 18 | 5 |
| अंक | से अधिक प्रकार की | संचयी बारम्बारता (विद्यार्थियों की संख्या) |
|---|---|---|
| 0-10 | 0 से अधिक | 100 |
| 10-20 | 10 से अधिक | 95 |
| 20-30 | 20 से अधिक | 77 |
| 30-40 | 30 से अधिक | 55 |
| 40-50 | 40 से अधिक | 30 |
| 50-60 | 50 से अधिक | 20 |
| 60-70 | 60 से अधिक | 10 |
| 70-80 | 70 से अधिक | 4 |
In simple words: हमने एक तालिका बनाई जिसमें दिखाया गया है कि कितने विद्यार्थियों ने किसी खास अंक से ज़्यादा अंक प्राप्त किए। इस तालिका का उपयोग करके हम ग्राफ पर 'से अधिक' प्रकार की रेखा (तोरण) खींचते हैं।
🎯 Exam Tip: 'से अधिक प्रकार' का तोरण खींचते समय, वर्ग अंतरालों की निचली सीमाओं को x-अक्ष पर और संबंधित संचयी बारम्बारताओं को y-अक्ष पर प्लॉट करें।
प्रश्न 8. नीचे दिया गया बंटन एक कारखाने के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है: उपरोक्त बंटन को एक कम प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन में रूपान्तरित कीजिए।
| दैनिक आय (Rs में) | 200-220 | 220-240 | 240-260 | 260-280 | 280-300 |
|---|---|---|---|---|---|
| श्रमिकों की संख्या | 14 | 12 | 8 | 6 | 10 |
| दैनिक आय | से कम प्रकार की | श्रमिकों की संख्या (f) | संचयी बारम्बारता |
|---|---|---|---|
| 200-220 | 220 से कम | 14 | 14 |
| 220-240 | 240 से कम | 12 | 26 |
| 240-260 | 260 से कम | 8 | 34 |
| 260-280 | 280 से कम | 6 | 40 |
| 280-300 | 300 से कम | 10 | 50 |
In simple words: हमने श्रमिकों की दैनिक आय को 'से कम' प्रकार की संचयी बारम्बारता तालिका में बदला। इसका मतलब है कि हमने दिखाया कि कितने श्रमिकों की आय एक निश्चित सीमा से कम है, जैसे 220 Rs से कम आय वाले श्रमिकों की संख्या।
🎯 Exam Tip: 'से कम प्रकार' की संचयी बारम्बारता बनाते समय, सुनिश्चित करें कि आप प्रत्येक वर्ग की ऊपरी सीमा का उपयोग करें और सभी पिछली बारम्बारताओं को सही ढंग से जोड़ते जाएं।
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