UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 14 Statistics Ex 145

Ex 14.5 Statistics अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

 

Question 1. केन्द्रीय प्रवृत्ति मानों में से किसको आलेख द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता?
Answer: केन्द्रीय प्रवृत्ति के मानों में से, हम समांतर माध्य को किसी आलेख (ग्राफ) की मदद से सीधे प्राप्त नहीं कर सकते हैं। आलेखीय तरीकों से माध्यिका और बहुलक आसानी से निकाले जा सकते हैं।
In simple words: आलेख बनाकर आप माध्यिका और बहुलक तो पा सकते हैं, पर समांतर माध्य नहीं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि ग्राफ़िकल विधियाँ (जैसे ओगिव या हिस्टोग्राम) माध्यिका और बहुलक को दर्शाने के लिए उपयोगी हैं, लेकिन समांतर माध्य के लिए गणना आवश्यक है।

 

Question 2. आलेख विधि द्वारा माध्यिका को किसके द्वारा प्रदर्शित किया जाता है?
Answer: आलेख विधि से माध्यिका को दर्शाने के लिए संचयी बारंबारता वक्र का उपयोग किया जाता है। जब दो संचयी बारंबारता वक्र (एक 'से कम' और एक 'से अधिक') एक-दूसरे को काटते हैं, तो उनका प्रतिच्छेदन बिंदु माध्यिका को इंगित करता है।
In simple words: आलेख से माध्यिका जानने के लिए, हम संचयी बारंबारता वक्र बनाते हैं।

🎯 Exam Tip: संचयी बारंबारता वक्र को 'ओगिव' भी कहते हैं; इसके प्रतिच्छेदन बिंदु का x-अक्ष पर मान माध्यिका देता है।

 

Question 3. एक समुच्चय की संख्याओं का माध्य तथा माध्यिका क्रमशः 8.9 तथा 9 है, तब बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer:हमें दिया गया है: माध्य \( = 8.9 \) माध्यिका \( = 9 \) बहुलक \( = ? \) हम जानते हैं कि माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच एक अनुभवजन्य संबंध है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: बहुलक \( = 3 \times \) माध्यिका \( - 2 \times \) माध्य
\( \implies \) बहुलक \( = 3 \times 9 - 2 \times 8.9 \)
\( \implies \) बहुलक \( = 27 - 17.8 \)
\( \implies \) बहुलक \( = 9.2 \) इस सूत्र का उपयोग केंद्रीय प्रवृत्ति के मानों के बीच के संबंध को समझने में मदद करता है।
In simple words: माध्य 8.9 और माध्यिका 9 होने पर, बहुलक निकालने के लिए एक खास सूत्र का इस्तेमाल करते हैं. इससे बहुलक 9.2 आता है.

🎯 Exam Tip: बहुलक, माध्यिका और माध्य के बीच का संबंध याद रखें: बहुलक \( = 3 \) माध्यिका \( - 2 \) माध्य। यह सूत्र अक्सर ऐसे प्रश्नों को हल करने में मदद करता है।

 

Question 4. एक बारम्बारता बंटन की माध्यिका तथा बहुलक क्रमशः 26 तथा 29 है तब माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer:हमें दिया गया है: माध्यिका \( = 26 \) बहुलक \( = 29 \) माध्य \( = ? \) हम अनुभवजन्य संबंध सूत्र का उपयोग करते हैं: बहुलक \( = 3 \times \) माध्यिका \( - 2 \times \) माध्य
\( \implies 29 = 3 \times 26 - 2 \times \) माध्य
\( \implies 29 = 78 - 2 \times \) माध्य
\( \implies 2 \times \) माध्य \( = 78 - 29 \)
\( \implies 2 \times \) माध्य \( = 49 \)
\( \implies \) माध्य \( = \frac{49}{2} \)
\( \implies \) माध्य \( = 24.5 \) केंद्रीय प्रवृत्ति के इन तीनों मापों के बीच का संबंध गणितीय रूप से बहुत उपयोगी है।
In simple words: माध्यिका 26 और बहुलक 29 है. माध्य जानने के लिए, बहुलक वाले सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है. इससे माध्य 24.5 आता है.

🎯 Exam Tip: दिए गए दो मानों से तीसरा मान ज्ञात करने के लिए हमेशा बहुलक \( = 3 \) माध्यिका \( - 2 \) माध्य सूत्र का प्रयोग करें, लेकिन ध्यान से गुणा और घटाना करें।

 

Question 5. एक बारम्बारता बंटन का माध्य तथा बहुलक क्रमशः 28 तथा 16 है तब माध्यिका ज्ञात कीजिए।
Answer:हमें दिया गया है: माध्य \( = 28 \) बहुलक \( = 16 \) माध्यिका \( = ? \) हम अनुभवजन्य संबंध सूत्र का उपयोग करते हैं: बहुलक \( = 3 \times \) माध्यिका \( - 2 \times \) माध्य
\( \implies 16 = 3 \times \) माध्यिका \( - 2 \times 28 \)
\( \implies 16 = 3 \times \) माध्यिका \( - 56 \)
\( \implies 16 + 56 = 3 \times \) माध्यिका
\( \implies 72 = 3 \times \) माध्यिका
\( \implies \) माध्यिका \( = \frac{72}{3} \)
\( \implies \) माध्यिका \( = 24 \) यह संबंध डेटा के वितरण के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करता है।
In simple words: माध्य 28 और बहुलक 16 है. माध्यिका ज्ञात करने के लिए, बहुलक वाले सूत्र का इस्तेमाल करते हैं. गणना करने पर माध्यिका 24 मिलती है.

🎯 Exam Tip: केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मापों में से कोई भी दो दिए होने पर, तीसरे को निकालने के लिए हमेशा बहुलक \( = 3 \) माध्यिका \( - 2 \) माध्य का सूत्र याद रखें।

 

Question 6. एक सममित बारंबारता बंटन के लिए केन्द्रीय प्रवृत्ति के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।
Answer: एक सममित बारंबारता बंटन में, डेटा एक केंद्रीय बिंदु के चारों ओर समान रूप से वितरित होता है। इस तरह के बंटन के लिए, केंद्रीय प्रवृत्ति के तीनों माप (माध्य, माध्यिका और बहुलक) समान होते हैं। यह स्थिति डेटा के पूर्ण संतुलन को दर्शाती है।
In simple words: जब डेटा समान रूप से फैला होता है, तो माध्य, माध्यिका और बहुलक तीनों बराबर होते हैं.

🎯 Exam Tip: "सममित बंटन" शब्द का अर्थ है कि डेटा एक केंद्रीय बिंदु के दोनों ओर समान रूप से वितरित है, और इस स्थिति में तीनों केंद्रीय माप बराबर होंगे।

 

Question 7. प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer:प्रथम \( n \) विषम प्राकृतिक संख्याएँ हैं: \( 1, 3, 5, 7, \ldots, (2n-1) \). यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें पहला पद \( a = 1 \) और सार्व अंतर \( d = 2 \) है। प्रथम \( n \) विषम प्राकृतिक संख्याओं का योगफल (\( S_n \)) सूत्र द्वारा दिया जाता है: \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( \implies S_n = \frac{n}{2} [2 \times 1 + (n-1) \times 2] \)
\( \implies S_n = \frac{n}{2} [2 + 2n - 2] \)
\( \implies S_n = \frac{n}{2} [2n] \)
\( \implies S_n = n^2 \) अब, समांतर माध्य का सूत्र है: समांतर माध्य \( = \frac{\Sigma n}{n} = \frac{\text{संख्याओं का योगफल}}{\text{कुल संख्याओं की संख्या}} \)
\( \implies \) समांतर माध्य \( = \frac{n^2}{n} \)
\( \implies \) समांतर माध्य \( = n \) यह एक दिलचस्प परिणाम है कि प्रथम \( n \) विषम संख्याओं का माध्य स्वयं \( n \) होता है।
In simple words: पहली n विषम संख्याएँ जैसे 1, 3, 5... होती हैं. इन सभी संख्याओं को जोड़कर, जितनी संख्याएँ हैं (n), उससे भाग देने पर माध्य \( n \) ही आता है.

🎯 Exam Tip: हमेशा याद रखें कि प्रथम \( n \) विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग \( n^2 \) होता है, और उनका माध्य \( n \) होता है। यह एक सीधा संबंध है जिसे अक्सर प्रतियोगी परीक्षाओं में पूछा जाता है।

 

Question 8. यदि एक श्रेणी का बहुलक, उसके माध्य से 12 अधिक है, तो ज्ञात कीजिए कि बहुलक माध्यिका से कितना अधिक है?
Answer:माना एक श्रेणी का माध्य \( x \) है। प्रश्न के अनुसार, बहुलक उसके माध्य से 12 अधिक है: बहुलक \( = x + 12 \) हम जानते हैं कि माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध है: बहुलक \( = 3 \times \) माध्यिका \( - 2 \times \) माध्य
\( \implies x + 12 = 3 \times \) माध्यिका \( - 2x \)
\( \implies x + 12 + 2x = 3 \times \) माध्यिका
\( \implies 3x + 12 = 3 \times \) माध्यिका दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर: माध्यिका \( = \frac{3x + 12}{3} \)
\( \implies \) माध्यिका \( = x + 4 \) अब हमें यह ज्ञात करना है कि बहुलक माध्यिका से कितना अधिक है: बहुलक \( - \) माध्यिका \( = (x + 12) - (x + 4) \)
\( \implies = x + 12 - x - 4 \)
\( \implies = 8 \) इसलिए, बहुलक माध्यिका से 8 अधिक है। यह केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों के बीच एक महत्वपूर्ण गणितीय संबंध दर्शाता है।
In simple words: अगर बहुलक, माध्य से 12 ज़्यादा है, तो हम एक सूत्र का इस्तेमाल करके देखते हैं कि बहुलक, माध्यिका से कितना ज़्यादा है. गणना के बाद पता चलता है कि यह 8 ज़्यादा है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए बहुलक \( = 3 \) माध्यिका \( - 2 \) माध्य के सूत्र का उपयोग करें, और सभी चरों को एक ही आधार (जैसे माध्य \( x \)) में व्यक्त करें ताकि गणना आसान हो।

 

Question 9. एक आँकडे के बहुलक तथा माध्यिका का अन्तर 24 है तब माध्य का अन्तर ज्ञात कीजिए।
Answer:माना आँकड़े का बहुलक \( = x \) प्रश्न के अनुसार, बहुलक और माध्यिका का अंतर 24 है: बहुलक \( - \) माध्यिका \( = 24 \)
\( \implies x - \) माध्यिका \( = 24 \)
\( \implies \) माध्यिका \( = x - 24 \) अब हम केंद्रीय प्रवृत्ति के अनुभवजन्य संबंध सूत्र का उपयोग करते हैं: बहुलक \( = 3 \times \) माध्यिका \( - 2 \times \) माध्य
\( \implies x = 3(x - 24) - 2 \times \) माध्य
\( \implies x = 3x - 72 - 2 \times \) माध्य
\( \implies 2 \times \) माध्य \( = 3x - x - 72 \)
\( \implies 2 \times \) माध्य \( = 2x - 72 \)
\( \implies \) माध्य \( = \frac{2x - 72}{2} \)
\( \implies \) माध्य \( = x - 36 \) हमें माध्यिका और माध्य का अंतर ज्ञात करना है: माध्यिका \( - \) माध्य \( = (x - 24) - (x - 36) \)
\( \implies = x - 24 - x + 36 \)
\( \implies = 12 \) यह दर्शाता है कि माध्यिका और माध्य के बीच का अंतर 12 है।
In simple words: यदि बहुलक और माध्यिका का अंतर 24 है, तो हम एक खास सूत्र का इस्तेमाल करके माध्यिका और माध्य के बीच का अंतर निकालते हैं. गणना के बाद यह अंतर 12 आता है.

🎯 Exam Tip: अज्ञात मानों के लिए प्रतीकों का उपयोग करें और बहुलक \( = 3 \) माध्यिका \( - 2 \) माध्य सूत्र में सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करें। अंतर की गणना करते समय चिह्नों का ध्यान रखें।

 

Question 10. यदि 7, 8, x, 11, 14 का समान्तर माध्य x है तो x ज्ञात कीजिए।
Answer:हमें दी गई संख्याएँ हैं: \( 7, 8, x, 11, 14 \) कुल संख्याओं की संख्या \( n = 5 \) समान्तर माध्य का सूत्र है: समान्तर माध्य \( = \frac{\text{सभी प्रेक्षणों का योग}}{\text{प्रेक्षणों की कुल संख्या}} \) प्रश्न के अनुसार, समान्तर माध्य \( = x \)
\( \implies x = \frac{7 + 8 + x + 11 + 14}{5} \)
\( \implies 5x = 7 + 8 + x + 11 + 14 \)
\( \implies 5x = x + 40 \) अब, \( x \) को एक तरफ लाते हैं:
\( \implies 5x - x = 40 \)
\( \implies 4x = 40 \)
\( \implies x = \frac{40}{4} \)
\( \implies x = 10 \) इस प्रकार, अज्ञात मान \( x \) 10 है, जिससे संख्याओं का माध्य भी 10 हो जाता है।
In simple words: संख्याएँ 7, 8, x, 11, 14 हैं और उनका औसत (माध्य) x ही है. सभी संख्याओं को जोड़कर उनकी गिनती से भाग देने पर x का मान 10 आता है.

🎯 Exam Tip: समान्तर माध्य की गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि सभी मानों को सही ढंग से जोड़ा गया है और कुल प्रेक्षणों की संख्या से भाग दिया गया है, खासकर जब अज्ञात चर शामिल हो।

 

Ex 14.5 Statistics लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

 

Question 11. कल्पित माध्य विधि का प्रयोग करके, निम्नलिखित बंटन का माध्य ज्ञात करें।

Answer:कल्पित माध्य विधि से माध्य ज्ञात करने के लिए, हम एक सारणी बनाते हैं:कल्पित माध्य \( A = 25 \) बारम्बारताओं का योग \( \Sigma f_i = n = 50 \) \( \Sigma f_i d_i = 110 \) कल्पित माध्य विधि से माध्य का सूत्र है: माध्य \( \bar{x} = A + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} \)
\( \implies \bar{x} = 25 + \frac{110}{50} \)
\( \implies \bar{x} = 25 + 2.2 \)
\( \implies \bar{x} = 27.2 \) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके, हम बड़ी संख्याओं की गणना को सरल बना सकते हैं।
In simple words: पहले एक कल्पित माध्य (बीच का कोई मान) चुनते हैं. फिर, हर मान से कल्पित माध्य को घटाकर विचलन निकालते हैं. इन विचलनों को बारंबारता से गुणा करके जोड़ते हैं, और फिर कुल बारंबारता से भाग देते हैं. अंत में, इस परिणाम को कल्पित माध्य में जोड़ देते हैं, जिससे असली माध्य मिल जाता है.

🎯 Exam Tip: कल्पित माध्य विधि में, कल्पित माध्य \( A \) को मध्यमानों में से कोई एक चुनना गणना को सरल बनाता है, खासकर यदि \( d_i \) के मान छोटे हों।

 

Question 12. निम्नलिखित बंटन का माध्य पद-विचलन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए ।

Answer:पद-विचलन विधि से माध्य ज्ञात करने के लिए, हम एक विस्तृत सारणी बनाते हैं: यहां कल्पित माध्य \( A = 25 \) और वर्ग अंतराल की माप \( h = 10 \) है।यहाँ \( A = 25 \) और \( h = 10 \) है। माध्य \( \bar{x} = A + \frac{\Sigma f_i u_i}{N} \times h \)
\( \implies \bar{x} = 25 + \frac{30}{100} \times 10 \)
\( \implies \bar{x} = 25 + \frac{30}{10} \)
\( \implies \bar{x} = 25 + 3 \)
\( \implies \bar{x} = 28 \) पद-विचलन विधि लंबी गणनाओं को छोटे, अधिक प्रबंधनीय चरणों में विभाजित करने में मदद करती है।
In simple words: इस विधि में, पहले कल्पित माध्य और वर्ग माप \( h \) चुनते हैं. फिर \( u_i \) मान निकालते हैं और \( f_i u_i \) जोड़ते हैं. आखिर में, इस जोड़ को कुल बारंबारता से भाग करके \( h \) से गुणा करते हैं, और कल्पित माध्य में जोड़ देते हैं, जिससे सही माध्य मिल जाता है.

🎯 Exam Tip: पद-विचलन विधि में, वर्ग माप \( h \) को सही ढंग से पहचानना और गणनाओं में उसका उपयोग करना बहुत महत्वपूर्ण है। यह विधि बड़ी संख्याओं वाले डेटा के लिए सबसे कुशल है।

 

Question 13. यदि निम्नलिखित बारंबारता बंटन की माध्यिका 32.5 है, तो \( f_1 \) व \( f_2 \) ज्ञात कीजिए ।

Answer:हमें बारंबारता बंटन की माध्यिका 32.5 दी गई है। \( f_1 \) और \( f_2 \) ज्ञात करने के लिए, हम संचयी बारंबारता सारणी बनाते हैं:कुल बारंबारता \( n = 40 \) दी गई है। इसलिए, संचयी बारंबारता के अंतिम मान को कुल बारंबारता के बराबर होना चाहिए: \( f_1 + f_2 + 31 = 40 \)
\( \implies f_1 + f_2 = 40 - 31 \)
\( \implies f_1 + f_2 = 9 \) ...(1) माध्यिका 32.5 है, जो वर्ग अंतराल (30-40) में आता है। इसलिए, माध्यिका वर्ग है: 30-40 यहां, निम्न सीमा \( L_1 = 30 \) उच्च सीमा \( L_2 = 40 \) वर्ग माप \( h = L_2 - L_1 = 40 - 30 = 10 \) माध्यिका वर्ग की बारंबारता \( f = 12 \) माध्यिका वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की संचयी बारंबारता \( C = f_1 + 14 \) कुल बारंबारता का आधा \( \frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20 \) माध्यिका का सूत्र है: माध्यिका \( = L_1 + \left( \frac{\frac{n}{2} - C}{f} \right) \times h \)
\( \implies 32.5 = 30 + \left( \frac{20 - (f_1 + 14)}{12} \right) \times 10 \)
\( \implies 32.5 - 30 = \frac{20 - f_1 - 14}{12} \times 10 \)
\( \implies 2.5 = \frac{6 - f_1}{12} \times 10 \)
\( \implies 2.5 \times 12 = (6 - f_1) \times 10 \)
\( \implies 30 = 10(6 - f_1) \)
\( \implies \frac{30}{10} = 6 - f_1 \)
\( \implies 3 = 6 - f_1 \)
\( \implies f_1 = 6 - 3 \)
\( \implies f_1 = 3 \) अब, \( f_1 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर: \( 3 + f_2 = 9 \)
\( \implies f_2 = 9 - 3 \)
\( \implies f_2 = 6 \) इसलिए, \( f_1 = 3 \) और \( f_2 = 6 \) है। ये मान बारंबारता बंटन को पूरा करते हैं।
In simple words: हमें माध्यिका का मान दिया गया है, और दो अज्ञात बारंबारताएँ \( f_1 \) और \( f_2 \) हैं. पहले संचयी बारंबारता सारणी बनाते हैं. फिर माध्यिका सूत्र का उपयोग करके \( f_1 \) का मान ज्ञात करते हैं. उसके बाद, \( f_1 \) का मान कुल बारंबारता के समीकरण में रखकर \( f_2 \) का मान निकालते हैं. इससे \( f_1 = 3 \) और \( f_2 = 6 \) मिलते हैं.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले कुल बारंबारता से एक समीकरण बनाएँ। फिर माध्यिका सूत्र का उपयोग करें और माध्यिका वर्ग को सही ढंग से पहचानें, जिससे एक और समीकरण मिलेगा और आप अज्ञात बारंबारताओं को हल कर पाएंगे।

 

Question 14. निम्नलिखित आंकडों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

Answer:सबसे पहले, दिए गए असतत वर्ग अंतरालों को सतत वर्ग अंतरालों में परिवर्तित करते हैं। इसके लिए, हम निम्न सीमा से 0.5 घटाते हैं और उच्च सीमा में 0.5 जोड़ते हैं।यहां सबसे अधिक बारंबारता 28 है, जो वर्ग अंतराल (20.5-25.5) में है। इसलिए, बहुलक वर्ग 20.5-25.5 है। यहाँ, बहुलक वर्ग की निम्न सीमा \( l = 20.5 \) वर्ग माप \( h = 5 \) बहुलक वर्ग की बारंबारता \( f = 28 \) बहुलक वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की बारंबारता \( f_1 = 18 \) बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारंबारता \( f_2 = 20 \) बहुलक ज्ञात करने का सूत्र है: बहुलक \( = l + \left( \frac{f - f_1}{2f - f_1 - f_2} \right) \times h \)
\( \implies \) बहुलक \( = 20.5 + \left( \frac{28 - 18}{2 \times 28 - 18 - 20} \right) \times 5 \)
\( \implies \) बहुलक \( = 20.5 + \left( \frac{10}{56 - 18 - 20} \right) \times 5 \)
\( \implies \) बहुलक \( = 20.5 + \left( \frac{10}{18} \right) \times 5 \)
\( \implies \) बहुलक \( = 20.5 + \frac{50}{18} \)
\( \implies \) बहुलक \( = 20.5 + 2.777 \ldots \)
\( \implies \) बहुलक \( \approx 20.5 + 2.78 \)
\( \implies \) बहुलक \( = 23.28 \) बहुलक हमें डेटा में सबसे अधिक दोहराए जाने वाले मान या श्रेणी को दर्शाता है।
In simple words: बहुलक ज्ञात करने के लिए, पहले असतत वर्ग अंतरालों को सतत में बदलते हैं. फिर सबसे ज़्यादा बारंबारता वाला वर्ग चुनते हैं, जिसे बहुलक वर्ग कहते हैं. इसके बाद, एक खास सूत्र में मान रखकर गणना करते हैं, जिससे बहुलक 23.28 आता है.

🎯 Exam Tip: बहुलक ज्ञात करते समय, असतत वर्ग अंतरालों को सतत में बदलना न भूलें (0.5 जोड़ना/घटाना)। बहुलक वर्ग को सही ढंग से पहचानें, जो सबसे बड़ी बारंबारता वाला वर्ग होता है।

 

Question 15. निम्नलिखित आँकडों का माध्य, माध्यिका तथा बहुलक ज्ञात कीजिए ।

Answer:माध्य, माध्यिका और बहुलक ज्ञात करने के लिए, हम एक विस्तृत सारणी बनाते हैं:**1. माध्य की गणना:** माध्य \( = \frac{\Sigma fx}{n} \)
\( \implies \) माध्य \( = \frac{7490}{50} \)
\( \implies \) माध्य \( = 149.8 \) **2. माध्यिका की गणना:** कुल बारंबारता \( n = 50 \) \( \frac{n}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)वां पद। संचयी बारंबारता सारणी से, 25वां पद 150-160 वर्ग अंतराल में आता है, क्योंकि इसकी संचयी बारंबारता 42 है, जो 25 से बड़ी है। इसलिए, माध्यिका वर्ग = 150-160 यहां, माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा \( L_1 = 150 \) माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा \( L_2 = 160 \) वर्ग माप \( h = L_2 - L_1 = 160 - 150 = 10 \) माध्यिका वर्ग की बारंबारता \( f = 20 \) माध्यिका वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की संचयी बारंबारता \( C = 22 \) माध्यिका का सूत्र है: माध्यिका \( = L_1 + \left( \frac{\frac{n}{2} - C}{f} \right) \times h \)
\( \implies \) माध्यिका \( = 150 + \left( \frac{25 - 22}{20} \right) \times 10 \)
\( \implies \) माध्यिका \( = 150 + \left( \frac{3}{20} \right) \times 10 \)
\( \implies \) माध्यिका \( = 150 + \frac{30}{20} \)
\( \implies \) माध्यिका \( = 150 + 1.5 \)
\( \implies \) माध्यिका \( = 151.5 \) **3. बहुलक की गणना:** सारणी में सबसे अधिक बारंबारता 20 है, जो वर्ग अंतराल (150-160) में है। इसलिए, बहुलक वर्ग = 150-160 यहां, बहुलक वर्ग की निम्न सीमा \( l = 150 \) वर्ग माप \( h = 10 \) बहुलक वर्ग की बारंबारता \( f = 20 \) बहुलक वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की बारंबारता \( f_1 = 12 \) बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारंबारता \( f_2 = 8 \) बहुलक का सूत्र है: बहुलक \( = l + \left( \frac{f - f_1}{2f - f_1 - f_2} \right) \times h \)
\( \implies \) बहुलक \( = 150 + \left( \frac{20 - 12}{2 \times 20 - 12 - 8} \right) \times 10 \)
\( \implies \) बहुलक \( = 150 + \left( \frac{8}{40 - 12 - 8} \right) \times 10 \)
\( \implies \) बहुलक \( = 150 + \left( \frac{8}{20} \right) \times 10 \)
\( \implies \) बहुलक \( = 150 + \frac{80}{20} \)
\( \implies \) बहुलक \( = 150 + 4 \)
\( \implies \) बहुलक \( = 154 \) इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों का माध्य 149.8, माध्यिका 151.5 और बहुलक 154 है। तीनों केंद्रीय प्रवृत्ति के मानों को एक साथ देखना डेटा के वितरण की बेहतर समझ देता है।
In simple words: इस सवाल में हमें माध्य, माध्यिका और बहुलक तीनों निकालने हैं. हम एक सारणी बनाते हैं और फिर तीनों को निकालने के लिए उनके अलग-अलग सूत्रों का उपयोग करते हैं. गणना करने पर माध्य 149.8, माध्यिका 151.5, और बहुलक 154 आता है.

🎯 Exam Tip: जब आपको तीनों केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (माध्य, माध्यिका, बहुलक) ज्ञात करने हों, तो संचयी बारंबारता और \( fx \) कॉलम के साथ एक ही विस्तृत सारणी बनाना सबसे कुशल होता है। प्रत्येक गणना के लिए सही सूत्र का उपयोग करें और ध्यान से मानों को प्रतिस्थापित करें।

 

Question 16. निम्नलिखित आँकड़ों का माध्य 18.75 है तो p का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer:हमें आँकड़ों का माध्य 18.75 दिया गया है और हमें अज्ञात मान \( p \) ज्ञात करना है। हम \( f \times x \) कॉलम के साथ एक सारणी बनाते हैं:कुल बारंबारता \( n = \Sigma f = 5 + 10 + 7 + 8 + 2 = 32 \) \( \Sigma fx = 50 + 50 + 7p + 200 + 60 = 7p + 360 \) माध्य का सूत्र है: माध्य \( = \frac{\Sigma fx}{n} \) हमें माध्य 18.75 दिया गया है:
\( \implies 18.75 = \frac{7p + 360}{32} \)
\( \implies 18.75 \times 32 = 7p + 360 \)
\( \implies 600 = 7p + 360 \)
\( \implies 7p = 600 - 360 \)
\( \implies 7p = 240 \)
\( \implies p = \frac{240}{7} \)
\( \implies p \approx 34.28 \) अज्ञात मान \( p \) का पता लगाकर, हम डेटा के माध्य को दिए गए मान के बराबर कर सकते हैं।
In simple words: हमें माध्य का मान 18.75 दिया गया है और हमें एक गुम हुई संख्या \( p \) ढूंढनी है. हम सभी मानों को बारंबारता से गुणा करके जोड़ते हैं, और उसे कुल बारंबारता से भाग देते हैं. इस तरह, \( p \) का मान 240/7 मिलता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सभी \( fx \) मानों को ध्यान से जोड़ें, और अज्ञात \( p \) वाले पद को समीकरण में सही ढंग से रखें। माध्य के सूत्र का उपयोग करके \( p \) के लिए हल करें।