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Detailed Chapter 14 आंकड़े UP Board Solutions for Class 10 Maths
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Class 10 Maths Chapter 14 आंकड़े UP Board Solutions PDF
Ex 14.4 Statistics अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)
Question 1. यदि आँकडों 64, 60, 48, x, 43, 48, 43, 34 का बहुलक 43 है, तब x ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए आँकड़ों में, संख्या 43 तीन बार आई है, जो कि सबसे ज़्यादा है। क्योंकि बहुलक वह संख्या होती है जो आँकड़ों में सबसे ज़्यादा बार आती है, इसलिए x का मान 43 होगा ताकि 43 ही सबसे ज़्यादा बार आए।
In simple words: आँकड़ों में 43 सबसे अधिक बार आया है (तीन बार), इसलिए x का मान 43 है क्योंकि 43 ही बहुलक है।
🎯 Exam Tip: बहुलक ज्ञात करने के लिए, संख्याओं को बढ़ते या घटते क्रम में व्यवस्थित करना सहायक होता है, जिससे सबसे अधिक बार आने वाली संख्या को आसानी से पहचाना जा सके।
Question 2. यदि आँकडों 16, 15, 17, 16, 15, x, 19, 17, 14 का बहुलक 15 है, तब x ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए आँकड़ों में, संख्या 15 दो बार और 16, 17 भी दो-दो बार आए हैं। क्योंकि प्रश्न में बहुलक 15 दिया गया है, इसका मतलब है कि 15 की आवृत्ति सबसे अधिक होनी चाहिए। इसलिए, x का मान 15 होना चाहिए ताकि 15 सबसे ज़्यादा बार आए (कुल तीन बार)।
In simple words: आँकड़ों में 15 सबसे अधिक बार आया है (तीन बार), इसलिए x का मान 15 है क्योंकि 15 ही बहुलक है।
🎯 Exam Tip: जब बहुलक पहले से दिया हो, तो अज्ञात पद को निर्धारित करने के लिए यह देखें कि कौन सा मान सबसे अधिक बार आना चाहिए।
Question 3. एक बारम्बारता का बहुलक, किस ग्राफीय निरूपण द्वारा निकाल सकते हैं?
Answer: एक बारम्बारता बंटन का बहुलक हम आयत चित्र (Histogram) का उपयोग करके निकाल सकते हैं। आयत चित्र एक तरह का ग्राफ होता है जहाँ डेटा को बार (आयतों) के रूप में दिखाया जाता है और सबसे ऊँचा बार बहुलक वर्ग को दर्शाता है।
In simple words: बहुलक को आयत चित्र (Histogram) नामक ग्राफ से पता कर सकते हैं।
🎯 Exam Tip: आयत चित्र में सबसे ऊँचे आयत के ऊपरी कोने से तिरछी रेखाएं खींचकर बहुलक बिंदु को ज्ञात किया जाता है।
Ex 14.4 Statistics लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)
Question 4. एक कक्षा में 15 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्तांक का बहुलक ज्ञात कीजिए। अंक : 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 4, 7, 6, 5, 9, 8, 7, 7
Answer: दिए गए प्राप्तांकों में, 7 चार बार आया है जो कि किसी भी अन्य अंक से अधिक है। इसलिए, इन प्राप्तांकों का बहुलक 7 है। बहुलक वह मान होता है जो किसी डेटा सेट में सबसे ज़्यादा बार दोहराया जाता है।
In simple words: इन अंकों में 7 सबसे ज़्यादा बार आया है (4 बार), इसलिए बहुलक 7 है।
🎯 Exam Tip: जब डेटा सेट छोटा हो, तो बहुलक को आसानी से पहचानने के लिए सभी मानों को एक क्रम में लिखना या उनकी गिनती करना सबसे अच्छा तरीका है।
Question 5. बारम्बारता सारणी तैयार करके, निम्नलिखित श्रेणी का बहुलक ज्ञात कीजिए (i) 3, 4, 6, 8, 2, 3, 4, 2, 9, 3, 4, 7, 6, 2, 4, 2, 5, 7, 9, 7, 4 (ii) 24, 25, 28, 24, 30, 25, 28, 25, 26, 25
Answer:
(i)
| अंक | टेली चिन्ह | बारम्बारता |
|---|---|---|
| 2 | |||| | 4 |
| 3 | ||| | 3 |
| 4 | NH | 5 |
| 5 | | | 1 |
| 6 | || | 2 |
| 7 | ||| | 3 |
| 8 | | | 1 |
| 9 | || | 2 |
(ii)
| अंक | टेली चिन्ह | बारम्बारता |
|---|---|---|
| 24 | || | 2 |
| 25 | |||| | 4 |
| 26 | | | 1 |
| 28 | || | 2 |
| 30 | | | 1 |
In simple words: पहले एक सारणी बनाएं और हर अंक कितनी बार आया है, यह गिनें। जिस अंक की गिनती सबसे ज़्यादा होगी, वही बहुलक होगा। पहले भाग में 4 और दूसरे भाग में 25 बहुलक हैं।
🎯 Exam Tip: टेली चिन्हों का उपयोग करते समय, हर पाँचवें चिन्ह को चार तिरछी रेखाओं के पार खींचकर एक बंडल बनाना गिनती को आसान बनाता है।
Question 6. निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
| x | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 3 | 7 | 16 | 12 | 9 | 5 | 3 |
Answer: दिए गए वितरण में, सबसे अधिक बारम्बारता (f) 16 है, जो x के मान 20 के लिए है। इसलिए, इस डेटा सेट का बहुलक 20 है। बहुलक वह मान होता है जिसकी आवृत्ति सबसे ज़्यादा होती है।
In simple words: इस टेबल में, 20 की गिनती (बारम्बारता) सबसे ज़्यादा है (16 बार), इसलिए बहुलक 20 है।
🎯 Exam Tip: असतत बारम्बारता बंटन में बहुलक ज्ञात करने के लिए, बस बारम्बारता (f) कॉलम में सबसे बड़ी संख्या को देखें और उससे संबंधित x मान को पहचानें।
Question 7. निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
| x | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 12 | 24 | 36 | 38 | 37 | 6 |
Answer: दिए गए वितरण में, बारम्बारता (f) कॉलम में सबसे बड़ी संख्या 38 है, जो x के मान 24 के लिए है। इसलिए, इस डेटा सेट का बहुलक 24 है। बहुलक हमें बताता है कि डेटा सेट में कौन सा मान सबसे आम है।
In simple words: इस टेबल में, 24 की गिनती (बारम्बारता) सबसे ज़्यादा है (38 बार), इसलिए बहुलक 24 है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप सबसे बड़ी बारम्बारता के संगत 'x' मान को ही बहुलक के रूप में चुनें, न कि स्वयं बारम्बारता को।
Ex 14.4 Statistics दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)
Question 8. निम्नलिखित बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।
| वर्ग अन्तराल | 10-14 | 14-18 | 18-22 | 22-26 | 26-30 | 30-34 | 34-38 | 38-42 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 8 | 6 | 11 | 20 | 25 | 22 | 10 | 4 |
Answer: इस बंटन में, सबसे बड़ी बारम्बारता 25 है, जो वर्ग अन्तराल 26-30 में है। इसलिए, 26-30 बहुलक वर्ग है।
यहां, बहुलक वर्ग की निचली सीमा \( l = 26 \), वर्ग माप \( h = 4 \), बहुलक वर्ग की बारम्बारता \( f = 25 \), बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की बारम्बारता \( f_1 = 20 \), और बहुलक वर्ग के बाद वाले वर्ग की बारम्बारता \( f_2 = 22 \) है।
बहुलक का सूत्र है:
\( \text{बहुलक} = l + \frac { f - f_1 }{ 2f - f_1 - f_2 } \times h \)
अब हम मानों को सूत्र में रखेंगे:
\( = 26 + \frac { 25 - 20 }{ 2(25) - 20 - 22 } \times 4 \)
\( = 26 + \frac { 5 }{ 50 - 20 - 22 } \times 4 \)
\( = 26 + \frac { 5 }{ 8 } \times 4 \)
\( = 26 + \frac { 20 }{ 8 } \)
\( = 26 + 2.5 \)
\( = 28.5 \)
इस प्रकार, दिए गए बंटन का बहुलक 28.5 है। यह हमें बताता है कि किस मान के आसपास सबसे अधिक डेटा बिंदु केंद्रित हैं।
In simple words: सबसे ज़्यादा बारम्बारता वाला वर्ग 26-30 है। सूत्र का उपयोग करके, हम बहुलक को 28.5 पाते हैं।
🎯 Exam Tip: बहुलक वर्ग की पहचान सबसे बड़ी बारम्बारता देखकर की जाती है, और बहुलक का मान हमेशा बहुलक वर्ग के भीतर होता है।
Question 9. निम्नलिखित आँकडों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
| आयु (वर्षो में) | 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| रोगियों की संख्या | 6 | 11 | 18 | 24 | 17 | 13 | 5 |
Answer: इस बंटन में, सबसे ज़्यादा बारम्बारता 24 है, जो वर्ग अन्तराल 15-20 में है। इसलिए, 15-20 बहुलक वर्ग है।
यहां, बहुलक वर्ग की निचली सीमा \( l = 15 \), वर्ग माप \( h = 5 \), बहुलक वर्ग की बारम्बारता \( f = 24 \), बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की बारम्बारता \( f_1 = 18 \), और बहुलक वर्ग के बाद वाले वर्ग की बारम्बारता \( f_2 = 17 \) है।
बहुलक का सूत्र है:
\( \text{बहुलक} = l + \frac { f - f_1 }{ 2f - f_1 - f_2 } \times h \)
अब हम मानों को सूत्र में रखेंगे:
\( = 15 + \frac { 24 - 18 }{ 2(24) - 18 - 17 } \times 5 \)
\( = 15 + \frac { 6 }{ 48 - 18 - 17 } \times 5 \)
\( = 15 + \frac { 6 }{ 13 } \times 5 \)
\( = 15 + \frac { 30 }{ 13 } \)
\( = 15 + 2.307... \)
\( \approx 15 + 2.3 \)
\( = 17.3 \) वर्ष
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों का बहुलक 17.3 वर्ष है। यह दर्शाता है कि मरीजों की सबसे आम उम्र इस श्रेणी के करीब है।
In simple words: सबसे ज़्यादा बारम्बारता वाला वर्ग 15-20 है। सूत्र का उपयोग करके, हम बहुलक को लगभग 17.3 वर्ष पाते हैं।
🎯 Exam Tip: गणना करते समय दशमलव के बाद के स्थानों को ध्यान से देखें और उचित गोलाई करें, खासकर जब अंतिम उत्तर में भिन्न आता हो।
Question 10. निम्नलिखित बंटन से एक फैक्ट्री के 181 श्रमिकों की आयु का बहुलक ज्ञात कीजिए।
| आयु (वर्षो में) | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 |
|---|---|---|---|---|---|
| श्रमिकों की संख्या | 25 | 47 | 62 | 37 | 10 |
Answer: इस बंटन में, सबसे ज़्यादा बारम्बारता 62 है, जो वर्ग अन्तराल 40-50 में है। इसलिए, 40-50 बहुलक वर्ग है।
यहां, बहुलक वर्ग की निचली सीमा \( l = 40 \), वर्ग माप \( h = 10 \), बहुलक वर्ग की बारम्बारता \( f = 62 \), बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की बारम्बारता \( f_1 = 47 \), और बहुलक वर्ग के बाद वाले वर्ग की बारम्बारता \( f_2 = 37 \) है।
बहुलक का सूत्र है:
\( \text{बहुलक} = l + \frac { f - f_1 }{ 2f - f_1 - f_2 } \times h \)
अब हम मानों को सूत्र में रखेंगे:
\( = 40 + \frac { 62 - 47 }{ 2(62) - 47 - 37 } \times 10 \)
\( = 40 + \frac { 15 }{ 124 - 47 - 37 } \times 10 \)
\( = 40 + \frac { 15 }{ 40 } \times 10 \)
\( = 40 + \frac { 150 }{ 40 } \)
\( = 40 + \frac { 15 }{ 4 } \)
\( = 40 + 3.75 \)
\( = 43.75 \) वर्ष
इस प्रकार, श्रमिकों की आयु का बहुलक 43.75 वर्ष है। यह दर्शाता है कि इस फैक्ट्री में सबसे ज़्यादा श्रमिक 43.75 वर्ष की आयु के आसपास हैं।
In simple words: सबसे ज़्यादा बारम्बारता वाला वर्ग 40-50 है। सूत्र का उपयोग करके, हम बहुलक को 43.75 वर्ष पाते हैं।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप बहुलक वर्ग के ठीक पहले और ठीक बाद की बारम्बारता का सही ढंग से चयन करें, क्योंकि सूत्र में \( f_1 \) और \( f_2 \) की भूमिका महत्वपूर्ण होती है।
Question 11. निम्नलिखित श्रेणी का बहुलक ज्ञात कीजिए।
| आकार | 45-55 | 55-65 | 65-75 | 75-85 | 85-95 | 95-105 | 105-115 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 7 | 12 | 17 | 30 | 32 | 6 | 10 |
Answer: इस श्रेणी में, सबसे ज़्यादा बारम्बारता 32 है, जो वर्ग अन्तराल 85-95 में है। इसलिए, 85-95 बहुलक वर्ग है।
यहां, बहुलक वर्ग की निचली सीमा \( l = 85 \), वर्ग माप \( h = 10 \), बहुलक वर्ग की बारम्बारता \( f = 32 \), बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की बारम्बारता \( f_1 = 30 \), और बहुलक वर्ग के बाद वाले वर्ग की बारम्बारता \( f_2 = 6 \) है।
बहुलक का सूत्र है:
\( \text{बहुलक} = l + \frac { f - f_1 }{ 2f - f_1 - f_2 } \times h \)
अब हम मानों को सूत्र में रखेंगे:
\( = 85 + \frac { 32 - 30 }{ 2(32) - 30 - 6 } \times 10 \)
\( = 85 + \frac { 2 }{ 64 - 30 - 6 } \times 10 \)
\( = 85 + \frac { 2 }{ 28 } \times 10 \)
\( = 85 + \frac { 20 }{ 28 } \)
\( = 85 + \frac { 5 }{ 7 } \)
\( = 85 + 0.714... \)
\( \approx 85 + 0.7 \)
\( = 85.7 \)
इस प्रकार, दी गई श्रेणी का बहुलक 85.7 है। यह मान हमें बताता है कि डेटा का सबसे घना बिंदु कहां है।
In simple words: सबसे ज़्यादा बारम्बारता वाला वर्ग 85-95 है। सूत्र का उपयोग करके, हम बहुलक को लगभग 85.7 पाते हैं।
🎯 Exam Tip: भिन्नों को दशमलव में बदलने के बाद अंतिम उत्तर को निकटतम एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करना अक्सर पर्याप्त होता है, जब तक कि प्रश्न में अन्यथा निर्दिष्ट न किया गया हो।
Question 12. निम्नांकित बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 | 45-50 | 50-55 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 25 | 34 | 50 | 42 | 38 | 14 |
Answer: इस बंटन में, सबसे ज़्यादा बारम्बारता 50 है, जो वर्ग अन्तराल 35-40 में है। इसलिए, 35-40 बहुलक वर्ग है।
यहां, बहुलक वर्ग की निचली सीमा \( l = 35 \), वर्ग माप \( h = 5 \), बहुलक वर्ग की बारम्बारता \( f = 50 \), बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की बारम्बारता \( f_1 = 34 \), और बहुलक वर्ग के बाद वाले वर्ग की बारम्बारता \( f_2 = 42 \) है।
बहुलक का सूत्र है:
\( \text{बहुलक} = l + \frac { f - f_1 }{ 2f - f_1 - f_2 } \times h \)
अब हम मानों को सूत्र में रखेंगे:
\( = 35 + \frac { 50 - 34 }{ 2(50) - 34 - 42 } \times 5 \)
\( = 35 + \frac { 16 }{ 100 - 34 - 42 } \times 5 \)
\( = 35 + \frac { 16 }{ 24 } \times 5 \)
\( = 35 + \frac { 80 }{ 24 } \)
\( = 35 + \frac { 10 }{ 3 } \)
\( = 35 + 3.333... \)
\( \approx 35 + 3.33 \)
\( = 38.33 \)
इस प्रकार, दिए गए बंटन का बहुलक 38.33 है। यह मान हमें बताता है कि डेटा सेट में सबसे अधिक घनत्व किस बिंदु के आसपास है।
In simple words: सबसे ज़्यादा बारम्बारता वाला वर्ग 35-40 है। सूत्र का उपयोग करके, हम बहुलक को लगभग 38.33 पाते हैं।
🎯 Exam Tip: जब गणना में दशमलव मान आते हैं, तो सुनिश्चित करें कि आप सभी आवश्यक गणना चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाएं और अंतिम उत्तर को उचित परिशुद्धता तक प्रस्तुत करें।
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