UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 14 Statistics Ex 143

Ex 14.3 Statistics अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

 

Question 1. यदि प्रेक्षणों की संख्या (n) विषम है तब माध्यिका ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि प्रेक्षणों की संख्या \(n\) विषम है, तो माध्यिका ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
माध्यिका \( = \left(\frac{n+1}{2}\right)\) वाँ पद
यह सूत्र हमें सीधा उस पद की स्थिति बताता है जो माध्यिका होगी जब आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। आँकड़ों की संख्या विषम होने पर एक ही मध्य पद होता है।
In simple words: जब आँकड़ों की कुल संख्या \(n\) विषम होती है, तो माध्यिका वह मान होता है जो \( \frac{n+1}{2} \)वें स्थान पर आता है, बशर्ते आँकड़ों को क्रम से लगाया गया हो।

🎯 Exam Tip: माध्यिका ज्ञात करने के लिए हमेशा पहले दिए गए आँकड़ों को आरोही (बढ़ते) या अवरोही (घटते) क्रम में व्यवस्थित करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 2. एक टैस्ट परीक्षा में 10 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्तांक है : 35, 12, 18, 22, 32, 11, 14, 41, 26, 30 तब प्राप्त प्राप्तांक की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए प्राप्तांक हैं: 35, 12, 18, 22, 32, 11, 14, 41, 26, 30।
इन आँकड़ों को आरोही क्रम (बढ़ते क्रम) में व्यवस्थित करने पर हमें मिलता है:
11, 12, 14, 18, 22, 26, 30, 32, 35, 41
यहां, प्रेक्षणों की कुल संख्या \(n = 10\) है, जो एक सम संख्या है। इसलिए, माध्यिका को ज्ञात करने के लिए हम मध्य के दो पदों का औसत लेंगे।
माध्यिका \( = \frac{(\frac{n}{2})\text{ वाँ पद} + (\frac{n}{2}+1)\text{ वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{(\frac{10}{2})\text{ वाँ पद} + (\frac{10}{2}+1)\text{ वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{5\text{ वाँ पद} + 6\text{ वाँ पद}}{2} \)
आरोही क्रम में 5वाँ पद 22 है और 6वाँ पद 26 है।
\( = \frac{22+26}{2} \)
\( = \frac{48}{2} \)
\( = 24 \)
अतः, प्राप्त प्राप्तांकों की माध्यिका 24 है। यह औसत हमें डेटा के मध्य बिंदु को समझने में मदद करता है।
In simple words: पहले अंकों को छोटे से बड़े क्रम में लगाएँ. कुल 10 अंक हैं, जो एक सम संख्या है. इसलिए, बीच के दो अंकों (5वें और 6वें) का औसत निकालना होगा. 5वाँ अंक 22 है और 6वाँ अंक 26 है. उनका औसत 24 है, जो माध्यिका है.

🎯 Exam Tip: यदि \(n\) एक सम संख्या है, तो माध्यिका हमेशा दो मध्य पदों का औसत होगी। ध्यान रखें कि माध्यिका सूत्र का उपयोग करने से पहले डेटा को हमेशा क्रमबद्ध करें।

 

Question 3. आँकड़ों 3, 13, 9, 0, 5, 18, 7 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए आँकड़े हैं: 3, 13, 9, 0, 5, 18, 7।
इन आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर हमें मिलता है:
0, 3, 5, 7, 9, 13, 18
यहां, प्रेक्षणों की कुल संख्या \(n = 7\) है, जो एक विषम संख्या है।
इसलिए, माध्यिका को ज्ञात करने के लिए हम इस सूत्र का उपयोग करेंगे:
माध्यिका \( = \left(\frac{n+1}{2}\right)\text{ वाँ पद} \)
\( = \left(\frac{7+1}{2}\right)\text{ वाँ पद} \)
\( = \left(\frac{8}{2}\right)\text{ वाँ पद} \)
\( = 4\text{ वाँ पद} \)
आरोही क्रम में 4वाँ पद 7 है। यह मध्य पद होता है, जिसमें इसके दोनों ओर बराबर संख्या में प्रेक्षण होते हैं।
अतः, आँकड़ों की माध्यिका 7 है।
In simple words: पहले दिए गए अंकों को छोटे से बड़े क्रम में लगाएँ. कुल 7 अंक हैं, जो विषम हैं. इसलिए, ठीक बीच वाला अंक माध्यिका होगा. \( \frac{7+1}{2} = 4 \)वाँ अंक 7 है, जो माध्यिका है.

🎯 Exam Tip: विषम संख्या वाले प्रेक्षणों में, माध्यिका ठीक बीच का मान होता है। बस यह सुनिश्चित करें कि आप उन्हें पहले सही क्रम में व्यवस्थित करें।

 

Question 4. आँकड़ों 0, 1, 0, 2, 3, 2, 3, 4 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए आँकड़े हैं: 0, 1, 0, 2, 3, 2, 3, 4।
इन आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर हमें मिलता है:
0, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 4
यहां, प्रेक्षणों की कुल संख्या \(n = 8\) है, जो एक सम संख्या है।
माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हम मध्य के दो पदों का औसत लेंगे:
माध्यिका \( = \frac{(\frac{n}{2})\text{ वाँ पद} + (\frac{n}{2}+1)\text{ वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{(\frac{8}{2})\text{ वाँ पद} + (\frac{8}{2}+1)\text{ वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{4\text{ वाँ पद} + 5\text{ वाँ पद}}{2} \)
आरोही क्रम में 4वाँ पद 2 है और 5वाँ पद भी 2 है। सम संख्या के लिए माध्यिका हमेशा दो केंद्रीय मानों के बीच आती है।
\( = \frac{2+2}{2} \)
\( = \frac{4}{2} \)
\( = 2 \)
अतः, आँकड़ों की माध्यिका 2 है।
In simple words: अंकों को छोटे से बड़े क्रम में लगाएँ. कुल 8 अंक हैं, जो सम संख्या है. इसलिए, बीच के दो अंकों (4वें और 5वें) का औसत निकालना होगा. 4वाँ अंक 2 है और 5वाँ अंक भी 2 है. उनका औसत 2 है, जो माध्यिका है.

🎯 Exam Tip: जब मध्य के दो पद समान हों, तो उनका औसत वही मान होगा। यह दिखाता है कि डेटा में एक मजबूत केंद्रीय प्रवृत्ति है।

Ex 14.3 Statistics दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

 

Question 5. एक कक्षा में 41 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्तांक का विवरण निम्नलिखित सारणी में दर्शाया गया है। तब माध्यिका ज्ञात कीजिए ।
Answer: दिए गए आँकड़े निम्न प्रकार हैं। पहले हम उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करेंगे और संचयी बारम्बारता (cumulative frequency) ज्ञात करेंगे।

यहां, प्रेक्षणों की कुल संख्या \(n = 41\) है, जो एक विषम संख्या है।
माध्यिका का पद \( = \left(\frac{n+1}{2}\right)\text{ वाँ पद} \)
\( = \left(\frac{41+1}{2}\right)\text{ वाँ पद} \)
\( = \left(\frac{42}{2}\right)\text{ वाँ पद} \)
\( = 21\text{ वाँ पद} \)
संचयी बारम्बारता तालिका में, 21वाँ पद उस श्रेणी में आता है जिसकी संचयी बारम्बारता 29 है, और इस श्रेणी के संगत प्राप्तांक 22 है। संचयी बारम्बारता यह दर्शाती है कि उस मान तक कितने प्रेक्षण मौजूद हैं।
अतः, प्राप्तांकों की माध्यिका 22 है।
In simple words: पहले अंकों को छोटे से बड़े क्रम में लगाएँ और संचयी बारम्बारता (कितने अंक उस मान तक पहुँच गए) ज्ञात करें. कुल 41 विद्यार्थी हैं. माध्यिका 21वें पद पर होगी. संचयी बारम्बारता तालिका देखने पर पता चलता है कि 21वाँ पद 22 अंक के समूह में आता है.

🎯 Exam Tip: वर्गीकृत डेटा के लिए, माध्यिका पद की पहचान करने के बाद, संचयी बारम्बारता तालिका का उपयोग करके सीधे संबंधित मूल्य ढूंढें।

 

Question 6. निम्नलिखित बंटन की माध्यिका ज्ञात कीजिए। (UP 2010, 13)
Answer: दिए गए व्यय और लड़कों की संख्या का बंटन इस प्रकार है:

आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने और संचयी बारम्बारता ज्ञात करने पर:

यहां, प्रेक्षणों की कुल संख्या \(n = 61\) है, जो एक विषम संख्या है।
माध्यिका का पद \( = \left(\frac{n+1}{2}\right)\text{ वाँ पद} \)
\( = \left(\frac{61+1}{2}\right)\text{ वाँ पद} \)
\( = \left(\frac{62}{2}\right)\text{ वाँ पद} \)
\( = 31\text{ वाँ पद} \)
संचयी बारम्बारता तालिका में, 31वाँ पद उस श्रेणी में आता है जिसकी संचयी बारम्बारता 33 है (जो 20 से बड़ा और 33 तक है)। इस श्रेणी के संगत व्यय 15 है। यह माध्यिका है क्योंकि यह डेटा को दो बराबर हिस्सों में बांटती है।
अतः, व्यय की माध्यिका 15 है।
In simple words: पहले व्यय और लड़कों की संख्या को बढ़ते क्रम में लिखें और संचयी बारम्बारता पता करें. कुल 61 लड़के हैं, जो विषम संख्या है. माध्यिका 31वें पद पर होगी. तालिका देखने पर पता चलता है कि 31वाँ पद 15 रुपये के व्यय वाले समूह में आता है.

🎯 Exam Tip: असंबद्ध डेटा को सारणीबद्ध करने और संचयी बारम्बारता की गणना करते समय बहुत सावधान रहें ताकि माध्यिका पद को सही ढंग से पहचाना जा सके।

 

Question 7. निम्नलिखित बंटन के लिए माध्यिका ज्ञात कीजिए । (UP 2009, 10)
Answer: दिए गए बंटन के लिए, हम पहले संचयी बारम्बारता तालिका बनाएंगे:

यहां, प्रेक्षणों की कुल संख्या \(n = 100\) है, जो एक सम संख्या है।
माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हम मध्य के दो पदों का औसत लेंगे:
माध्यिका \( = \frac{(\frac{n}{2})\text{ वाँ पद} + (\frac{n}{2}+1)\text{ वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{(\frac{100}{2})\text{ वाँ पद} + (\frac{100}{2}+1)\text{ वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{50\text{ वाँ पद} + 51\text{ वाँ पद}}{2} \)
संचयी बारम्बारता तालिका में, 50वाँ पद 24 अंक के साथ संचयी बारम्बारता 64 में आता है। इसी तरह, 51वाँ पद भी 24 अंक के साथ 64 की संचयी बारम्बारता में आता है। जब \(n\) सम होता है, तो माध्यिका इन दो मध्य पदों के बीच होती है।
\( = \frac{24+24}{2} \)
\( = \frac{48}{2} \)
\( = 24 \)
अतः, बंटन की माध्यिका 24 है।
In simple words: पहले अंकों और विद्यार्थियों की संख्या का प्रयोग करके संचयी बारम्बारता तालिका बनाओ. कुल 100 विद्यार्थी हैं (सम संख्या). माध्यिका 50वें और 51वें पद का औसत होगी. तालिका में दोनों पद 24 अंक पर आते हैं, इसलिए माध्यिका 24 है.

🎯 Exam Tip: सम संख्या वाले प्रेक्षणों के लिए, माध्यिका की गणना करते समय दो मध्य पदों की सही पहचान करना महत्वपूर्ण है। संचयी बारम्बारता का उपयोग करके उन्हें खोजें।

 

Question 8. निम्नलिखित बंटन के लिए माध्यिका ज्ञात कीजिए। (UP 2009, 13, 14)
Answer: दिए गए बंटन के लिए, हम संचयी बारम्बारता तालिका बनाएंगे:

यहां, प्रेक्षणों की कुल संख्या \(n = 50\) है।
हम \( \frac{n}{2} \) की गणना करते हैं:
\( \frac{n}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
संचयी बारम्बारता तालिका में, 25वाँ पद उस श्रेणी में आता है जिसकी संचयी बारम्बारता 36 है (जो 21 से बड़ा और 36 तक है)। इस श्रेणी का वर्ग अन्तराल 25-30 है। इसे माध्यिका वर्ग कहते हैं।
अब, हम माध्यिका के सूत्र का उपयोग करेंगे:
माध्यिका \( = L_1 + \frac{L_2-L_1}{f}(\frac{n}{2}-F) \)
जहां:
\(L_1\) = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा = 25
\(L_2\) = माध्यिका वर्ग की ऊपरी सीमा = 30
\(f\) = माध्यिका वर्ग की बारम्बारता = 15
\(F\) = माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता = 21
\(h\) = वर्ग अन्तराल की चौड़ाई \( = L_2 - L_1 = 30 - 25 = 5 \)
\(n/2 = 25 \)
सूत्र में मान रखने पर:
माध्यिका \( = 25 + \frac{30-25}{15}(25-21) \)
\( = 25 + \frac{5}{15}(4) \)
\( = 25 + \frac{1}{3} \times 4 \)
\( = 25 + \frac{4}{3} \)
\( = 25 + 1.33 \)
\( = 26.33 \)
अतः, बंटन की माध्यिका 26.33 है। माध्यिका वर्ग की पहचान करना और सही सूत्र का उपयोग करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: पहले संचयी बारम्बारता तालिका बनाएँ. कुल संख्या \(n = 50\) है, इसलिए \( \frac{n}{2} = 25 \). 25वाँ पद संचयी बारम्बारता 36 वाले वर्ग (25-30) में आता है, यह माध्यिका वर्ग है. अब माध्यिका के सूत्र (निचली सीमा + वर्ग चौड़ाई * \( (\frac{n}{2} - ) \) पिछले वर्ग की संचयी बारम्बारता / माध्यिका वर्ग की बारम्बारता) का उपयोग करके गणना करें, जिससे 26.33 आता है.

🎯 Exam Tip: वर्गीकृत डेटा में माध्यिका ज्ञात करते समय, माध्यिका वर्ग की पहचान करना और सूत्र के सभी घटकों (L, f, F, h) को सही ढंग से निकालना सबसे महत्वपूर्ण चरण है।

 

Question 9. निम्नलिखित आँकडों की माध्यिका 525 है। x तथा y ज्ञात कीजिए यदि सभी बारम्बारताओं का योग 100 है।
Answer: दिए गए आँकड़ों के लिए, हम संचयी बारम्बारता तालिका बनाएंगे:

सभी बारम्बारताओं का योग 100 दिया गया है, इसलिए:
\( 16 + x + 17 + 20 + 15 + y = 100 \)
\( x + y + 68 = 100 \)
\( x + y = 100 - 68 \)
\( x + y = 32 \)...(1)

हमें दिया गया है कि माध्यिका 525 है। चूंकि 525 वर्ग अन्तराल 500-600 में आता है, तो माध्यिका वर्ग 500-600 होगा।
माध्यिका वर्ग के लिए मान हैं:
निचली सीमा \( L_1 = 500 \)
ऊपरी सीमा \( L_2 = 600 \)
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता \( f = 20 \)
माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता \( F = 33 + x \)
कुल बारम्बारता \( n = 100 \)
वर्ग चौड़ाई \( h = L_2 - L_1 = 600 - 500 = 100 \)

माध्यिका का सूत्र है:
माध्यिका \( = L_1 + \frac{h}{f}(\frac{n}{2}-F) \)
माध्यिका \( = L_1 + \frac{L_2-L_1}{f}(\frac{n}{2}-F) \)
मान रखने पर:
\( 525 = 500 + \frac{600-500}{20}(\frac{100}{2}-(33+x)) \)
\( 525 = 500 + \frac{100}{20}(50-33-x) \)
दोनों तरफ से 500 घटाने पर:
\( 525 - 500 = 5(17-x) \)
\( 25 = 5(17-x) \)
दोनों तरफ 5 से भाग देने पर:
\( \frac{25}{5} = 17-x \)
\( 5 = 17-x \)
\( x = 17 - 5 \)
\( x = 12 \)

अब \( x \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 12 + y = 32 \)
\( y = 32 - 12 \)
\( y = 20 \)
अतः, \( x = 12 \) और \( y = 20 \) है। यह एक महत्वपूर्ण गणना है, जो गुम हुई बारम्बारताओं को खोजने में मदद करती है।
In simple words: पहले एक संचयी बारम्बारता तालिका बनाओ. कुल बारम्बारता 100 है, जिससे \( x + y = 32 \) मिलता है. दी गई माध्यिका 525 है, जिसका मतलब है कि माध्यिका वर्ग 500-600 है. अब माध्यिका के सूत्र में सभी मान (निचली सीमा, वर्ग चौड़ाई, माध्यिका वर्ग की बारम्बारता, पिछले वर्ग की संचयी बारम्बारता, \( \frac{n}{2} \)) डालकर \( x \) का मान 12 ज्ञात करें. फिर \( x \) का मान समीकरण \( x + y = 32 \) में रखकर \( y \) का मान 20 ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: गुम हुई बारम्बारताओं को हल करते समय, कुल बारम्बारता से एक समीकरण बनाना और फिर माध्यिका के सूत्र का उपयोग करके दूसरा समीकरण बनाना महत्वपूर्ण है। इन दोनों समीकरणों को हल करके अज्ञात मानों को ज्ञात करें।