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Detailed Chapter 14 आंकड़े UP Board Solutions for Class 10 Maths
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Class 10 Maths Chapter 14 आंकड़े UP Board Solutions PDF
Question 1. निम्नलिखित सारणी के लिए, प्रत्येक घर के व्यय (Rs में) का माध्य, लघु विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
| व्यय (Rs में) | 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 | 45-50 | 50-55 | 55-60 | 60-65 | 65-70 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| घरों की संख्या | 7 | 5 | 7 | 8 | 9 | 11 | 7 | 5 | 4 | 4 | 3 |
Answer: माध्य ज्ञात करने के लिए, हम लघु विधि का उपयोग करेंगे। पहले दिए गए डेटा से एक आवृत्ति वितरण तालिका बनाते हैं, जिसमें वर्ग अंतराल, मध्यमान (x), घरों की संख्या (f), कल्पित माध्य (A), विचलन (d), और \(f \times d\) शामिल होते हैं। कल्पित माध्य वह मान होता है जिसे हम माध्य के पास का एक अनुमान मानते हैं, जिससे गणनाएँ आसान हो जाती हैं।
| वर्ग अन्तराल | मध्यमान \(x\) | घरों की संख्या \(f\) | कल्पित माध्य \(A\) | विचलन \(d = x - A\) | \(f \times d\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 15-20 | 17.5 | 7 | -25 | -175 | |
| 20-25 | 22.5 | 5 | -20 | -100 | |
| 25-30 | 27.5 | 7 | -15 | -105 | |
| 30-35 | 32.5 | 8 | -10 | -80 | |
| 35-40 | 37.5 | 9 | -5 | -45 | |
| 40-45 | 42.5 | 11 | 42.5 | 0 | 0 |
| 45-50 | 47.5 | 7 | 5 | 35 | |
| 50-55 | 52.5 | 5 | 10 | 50 | |
| 55-60 | 57.5 | 4 | 15 | 60 | |
| 60-65 | 62.5 | 4 | 20 | 80 | |
| 65-70 | 67.5 | 3 | 25 | 75 | |
| योग \(n = 70\) | \( \Sigma fd = -505 + 300 = -205 \) |
\( \implies 42.5 + \frac{-205}{70} \)
\( \implies 42.5 - 2.93 \)
\( \implies 39.57 \) अतः, प्रत्येक घर का माध्य व्यय 39.57 रुपये है। यह विधि गणनाओं को सरल बनाती है, खासकर जब संख्याएँ बड़ी हों।
In simple words: माध्य निकालने के लिए, हमने एक अंदाज़ा लगाया (कल्पित माध्य), फिर सभी अंतरों को जोड़ा और कुल संख्या से भाग दिया। अंत में, हमने अंदाज़े को इसमें जोड़ दिया, जिससे हमें 39.57 रुपये का सही माध्य मिल गया।
🎯 Exam Tip: लघु विधि का उपयोग करते समय, कल्पित माध्य (A) को बीच के वर्ग अंतराल के मध्यमान के रूप में चुनें ताकि विचलन (d) के मान छोटे रहें और गणनाएँ आसान हों।
Question 2. निम्नलिखित सारणी का समान्तर माध्य, पद विचलन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए ।
| वर्ग अन्तराल | 0-8 | 8-16 | 16-24 | 24-32 | 32-40 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 9 | 10 | 15 | 8 | 8 |
Answer: समान्तर माध्य को पद विचलन विधि से ज्ञात करने के लिए, हम पहले मध्यमान (x), बारम्बारता (f), कल्पित माध्य (A) का चयन करते हैं, और फिर विचलन (d) और वर्ग माप (h) का उपयोग करके \(u_i = \frac{d_i}{h}\) निकालते हैं। यह विधि बड़ी संख्याओं के साथ काम करते समय गणनाओं को और भी सरल बनाती है।
| वर्ग अन्तराल | मध्यमान \(x\) | बारम्बारता \(f\) | कल्पित माध्य \(A\) | विचलन \(d = x - A\) | \(f \times d\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0-8 | 4 | 9 | -16 | -144 | |
| 8-16 | 12 | 10 | -8 | -80 | |
| 16-24 | 20 | 15 | 20 | 0 | 0 |
| 24-32 | 28 | 8 | 8 | 64 | |
| 32-40 | 36 | 8 | 16 | 128 | |
| योग \(n = 50\) | \( \Sigma fd = -224 + 192 = -32 \) |
पद विचलन विधि का सूत्र है: \( \text{समान्तर माध्य} = A + \frac{\Sigma fd}{n} \)
\( \implies 20 + \left( \frac{-32}{50} \right) \)
\( \implies 20 - 0.64 \)
\( \implies 19.36 \) अतः, सारणी का समान्तर माध्य 19.36 है।
In simple words: हमने बीच की संख्या को अंदाज़ा (A) माना, फिर हर डेटा पॉइंट के अंतर (d) को ढूँढा। उन अंतरों को बारम्बारता से गुणा किया, सभी को जोड़ा, और कुल संख्या से भाग दिया। फिर, उस परिणाम को अंदाज़े में जोड़ा, जिससे हमें 19.36 का औसत मिला।
🎯 Exam Tip: पद विचलन विधि में, वर्ग माप (h) का सही निर्धारण महत्वपूर्ण है। यह सभी वर्ग अंतरालों के बीच का अंतर होता है। यदि वर्ग माप अलग-अलग हों, तो इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है।
Question 3. निम्नलिखित सारणी का समान्तर माध्य, पद विचलन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
| अंक | 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थियों की संख्या | 8 | 12 | 15 | 10 | 5 | 5 |
Answer: पद विचलन विधि का उपयोग करके समान्तर माध्य ज्ञात करने के लिए, हमें एक सहायक तालिका बनाने की आवश्यकता होती है। इस तालिका में वर्ग अंतराल, मध्यमान (x), विद्यार्थियों की संख्या (f), कल्पित माध्य (A), विचलन (d), और \(f \times d\) के कॉलम शामिल होते हैं। मध्यमान प्रत्येक वर्ग अंतराल के औसत को दर्शाता है।
| वर्ग अन्तराल | मध्यमान \(x\) | विद्यार्थियों की संख्या \(f\) | कल्पित माध्य \(A\) | विचलन \(d = x - A\) | \(f \times d\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0-5 | 2.5 | 8 | -10 | -80 | |
| 5-10 | 7.5 | 12 | -5 | -60 | |
| 10-15 | 12.5 | 15 | 12.5 | 0 | 0 |
| 15-20 | 17.5 | 10 | 5 | 50 | |
| 20-25 | 22.5 | 5 | 10 | 50 | |
| 25-30 | 27.5 | 5 | 15 | 75 | |
| योग \(n = 55\) | \( \Sigma fd = -140 + 175 = 35 \) |
सूत्र का उपयोग करके: \( \text{समान्तर माध्य} = A + \frac{\Sigma fd}{n} \)
\( \implies 12.5 + \frac{35}{55} \)
\( \implies 12.5 + 0.64 \)
\( \implies 13.14 \) अतः, सारणी का समान्तर माध्य 13.14 है।
In simple words: हमने डेटा के बीच से एक संख्या (A) चुनी, फिर हर नंबर और उस चुनी हुई संख्या के बीच का अंतर निकाला। उन अंतरों को बारम्बारता से गुणा किया और सभी को जोड़ दिया। फिर, इस जोड़ को कुल संख्याओं से भाग दिया और अंत में A को वापस जोड़ दिया, जिससे हमें 13.14 का औसत मिला।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि वर्ग अंतराल का मध्यमान (x) सही ढंग से परिकलित किया गया है, क्योंकि यह पूरी गणना का आधार होता है। कल्पित माध्य को बीच के मान के रूप में चुनने से गणनाएँ अधिक सुविधाजनक हो जाती हैं।
Question 4. निम्नलिखित आँकडों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए । (NCERT Exemplar)
| अंक | 10 से कम | 20 से कम | 30 से कम | 40 से कम | 50 से कम | 60 से कम | 70 से कम | 80 से कम | 90 से कम | 100 से कम |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थियों की संख्या | 5 | 9 | 17 | 29 | 45 | 60 | 70 | 78 | 83 | 85 |
Answer: समान्तर माध्य ज्ञात करने के लिए, हमें पहले "से कम" प्रकार की संचयी बारम्बारता वितरण को एक सामान्य बारम्बारता वितरण में बदलना होगा। इसके लिए, हम प्रत्येक वर्ग अंतराल की वास्तविक बारम्बारता निकालने के लिए संचयी बारम्बारताओं को घटाते हैं। फिर, हम पद विचलन विधि का उपयोग करके माध्य की गणना कर सकते हैं। संचयी बारम्बारता वितरण को ध्यान से बदलना बहुत ज़रूरी है।
| वर्ग अन्तराल | मध्यमान \(x\) | विद्यार्थियों की संख्या \(f\) | कल्पित माध्य \(A\) | विचलन \(d = x - A\) | \(f \times d\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0-10 | 5 | 5 | -40 | -200 | |
| 10-20 | 15 | 9-5=4 | -30 | -120 | |
| 20-30 | 25 | 17-9=8 | -20 | -160 | |
| 30-40 | 35 | 29-17=12 | -10 | -120 | |
| 40-50 | 45 | 45-29=16 | 45 | 0 | 0 |
| 50-60 | 55 | 60-45=15 | 10 | 150 | |
| 60-70 | 65 | 70-60=10 | 20 | 200 | |
| 70-80 | 75 | 78-70=8 | 30 | 240 | |
| 80-90 | 85 | 83-78=5 | 40 | 200 | |
| 90-100 | 95 | 85-83=2 | 50 | 100 | |
| योग \(n = 85\) | \( \Sigma fd = -600 + 890 = 290 \) |
सूत्र का उपयोग करके: \( \text{समान्तर माध्य} = A + \frac{\Sigma fd}{n} \)
\( \implies 45 + \frac{290}{85} \)
\( \implies 45 + 3.41 \)
\( \implies 48.41 \) अतः, आँकड़ों का समान्तर माध्य 48.41 है।
In simple words: सबसे पहले, हमने "से कम" वाले डेटा को सामान्य गिनती (बारम्बारता) में बदला। फिर, हमने एक अनुमानित औसत (A) चुना और बाकी गणना पहले की तरह ही की। अंत में, हमें सभी अंकों का औसत 48.41 मिला।
🎯 Exam Tip: जब "से कम" या "से अधिक" प्रकार के आँकड़े दिए गए हों, तो सबसे पहले उन्हें सही वर्ग अंतरालों और बारम्बारताओं में बदलना सुनिश्चित करें। यह माध्य की गणना का सबसे पहला और महत्वपूर्ण कदम है।
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