UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 14 Statistics

UP Board Solutions For Class 10 Maths Chapter 14 Statistics (सांख्यिकी)

Statistics Class 10 प्रश्नावली 14.1 (NCERT Page 296)

Question 1. विधार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए | प्रति घर पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ?

Answer: हलः निम्नांकित विधि से हम माध्य ज्ञात कर सकते हैं:माध्य \( \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \)
\( \implies \) माध्य \( \bar{x} = \frac{162}{20} = 8.1\) इस प्रकार, प्रतिघर माध्य पौधों की संख्या = 8.1
In simple words: हमने पौधों की संख्या के लिए प्रत्यक्ष विधि (direct method) का उपयोग करके माध्य ज्ञात किया है क्योंकि वर्ग चिह्न (\(x_i\)) और बारंबारता (\(f_i\)) के मान अपेक्षाकृत छोटे थे, जिससे गणना सीधी हो गई।

🎯 Exam Tip: प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग तब करें जब संख्याएँ छोटी हों। माध्य की गणना करते समय वर्गों और चिह्नों की सावधानीपूर्वक जांच करें।

 

Barambarta Formula प्र. 2.

Question 2. किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों मज़दूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्ट्री के श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी ज्ञात कीजिए |

Answer: हलः माना कि कल्पित माध्य \(a = 150\) चूँकि वर्ग अन्तराल \((h) = 20\)
\( \implies u_i = \frac{x_i - a}{h} = \frac{x_i - 150}{20}\) अब, हमें निम्नांकित तालिका प्राप्त होती है:अब, \( \bar{x} = a + h \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\)
\( \implies \bar{x} = 150 + 20 \times \left(\frac{-12}{50}\right)\)
\( \implies \bar{x} = 150 - \frac{24}{5} = \frac{750 - 24}{5} = \frac{726}{5}\)
\( \implies \bar{x} = 145.2\) इस प्रकार, इस फैक्ट्री के श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी Rs. 145.2 है।
In simple words: हमने कल्पित माध्य विधि (assumed mean method) का उपयोग करके श्रमिकों की औसत दैनिक मजदूरी की गणना की। इस विधि का उपयोग तब किया जाता है जब संख्याएँ बड़ी होती हैं, जिससे गणनाएँ आसान हो जाती हैं, क्योंकि यह डेटा को एक कल्पित माध्य से घटाकर और वर्ग अंतराल से भाग देकर सरल करता है।

🎯 Exam Tip: कल्पित माध्य विधि का उपयोग अक्सर बड़े डेटा सेट के लिए किया जाता है ताकि गणना को सरल बनाया जा सके। गणना करते समय कल्पित माध्य और वर्ग माप के मानों को सही ढंग से चुनना महत्वपूर्ण है।

 

Question 3. निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है। माध्य जेबखर्च 18 Rs. है | लुप्त बारंबारता \(f\) ज्ञात कीजिए :

Answer: हलः माना कि कल्पित माध्य, \(a = 16\) वर्ग अन्तराल, \(h = 2\)
\( \implies u_i = \frac{x_i - a}{h} = \frac{x_i - 16}{2}\) इस प्रकार, हमें निम्नांकित तालिका प्राप्त होती है:चूँकि \( \bar{x} = 18, a = 16 \) और \( h = 2\)
\( \implies \bar{x} = a + h \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\)
\( \implies 18 = 16 + 2 \left[\frac{2f + 24}{f + 44}\right]\)
\( \implies 18 - 16 = 2 \left[\frac{2f + 24}{f + 44}\right]\)
\( \implies 2 = 2 \left[\frac{2f + 24}{f + 44}\right]\)
\( \implies 1 = \frac{2f + 24}{f + 44}\)
\( \implies f + 44 = 2f + 24\)
\( \implies f = 44 - 24\)
\( \implies f = 20\) इस प्रकार अज्ञात बारंबारता 20 है।
In simple words: हमने माध्य जेबखर्च और दिए गए डेटा का उपयोग करके लुप्त बारंबारता \(f\) का मान ज्ञात करने के लिए पद-विचलन विधि (step-deviation method) का उपयोग किया। यह विधि डेटा को सामान्य करके और फिर अज्ञात बारंबारता के लिए हल करने के लिए माध्य के सूत्र को लागू करके बड़ी संख्या में गणना को सरल बनाती है।

🎯 Exam Tip: लुप्त बारंबारता वाले प्रश्नों में, माध्य के सूत्र को सही ढंग से सेट करना और बीजगणितीय समीकरणों को सावधानीपूर्वक हल करना महत्वपूर्ण है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई त्रुटि न हो, अपनी गणनाओं को दोबारा जांचें।

 

Question 4. किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए :

Answer: हलः माना कल्पित माध्य, \(a = 75.5\) वर्ग-अन्तराल \(h = 3\)
\( \implies u_i = \frac{x_i - a}{h} = \frac{x_i - 75.5}{3}\) अब हमें निम्नांकित सारणी प्राप्त है:\( \bar{x} = a + h \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\)
\( \implies \bar{x} = 75.5 + 3 \times \frac{4}{30}\)
\( \implies \bar{x} = 75.5 + \frac{4}{10} = \frac{755 + 4}{10} = \frac{759}{10}\)
\( \implies \bar{x} = 75.9\) इस प्रकार, हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या 75.9 है।
In simple words: हमने महिलाओं की हृदय स्पंदन की माध्य संख्या ज्ञात करने के लिए पद-विचलन विधि का उपयोग किया। चूंकि वर्ग अंतराल और डेटा मान अपेक्षाकृत बड़े थे, इसलिए इस विधि ने गणनाओं को सरल बनाने में मदद की।

🎯 Exam Tip: हृदय स्पंदन डेटा जैसे बड़े वर्ग अंतरालों वाले प्रश्नों में, गणना को कुशल बनाने के लिए पद-विचलन विधि का उपयोग करें। यह सुनिश्चित करने के लिए कि वर्ग चिह्न और \(u_i\) मान सही ढंग से प्राप्त किए गए हैं, सावधान रहें।

 

Question 5. किसी फुटकर बाज़ार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहें थे | इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थी| पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था :

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए | आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है ?

Answer: हलः माना कल्पित माध्य, \(a = 60\) यहाँ, वर्ग अन्तराल, \(h = 3\)
\( \implies u_i = \frac{x_i - a}{h} = \frac{x_i - 60}{3}\) अब, हमें निम्नांकित तालिका प्राप्त होती है:\( \bar{x} = a + h \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\)
\( \implies \bar{x} = 60 + 3 \left[\frac{-375}{400}\right]\)
\( \implies \bar{x} = 60 + 3 \left[\frac{-15}{16}\right]\)
\( \implies \bar{x} = 60 - \frac{45}{16} = \frac{960 - 45}{16} = \frac{915}{16}\)
\( \implies \bar{x} = 57.1875 \approx 57.19\) (लगभग) इस प्रकार, प्रति पेटी आमों की माध्य संख्या 57.19 है।
In simple words: हमने आमों की माध्य संख्या ज्ञात करने के लिए पद-विचलन विधि का उपयोग किया। यह विधि बड़े डेटा सेट के लिए गणनाओं को सरल बनाती है, जिससे आंकड़ों को समझना आसान हो जाता है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि वर्ग अंतराल निरंतर हैं, डेटा को ध्यान से देखें। यदि नहीं, तो माध्य की गणना करने से पहले उन्हें समायोजित करें। कल्पित माध्य और वर्ग माप की सही पसंद गणना को आसान बनाएगी।

 

Question 6. निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है:

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए |

Answer: हलः माना कि कल्पित माध्य, \(a = 225\) वर्ग अन्तराल, \(h = 50\) और इसलिए, \(u_i = \frac{x_i - a}{h} = \frac{x_i - 225}{50}\) अब, हमें निम्नांकित तालिका प्राप्त होती है:\( \bar{x} = a + h \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\)
\( \implies \bar{x} = 225 + 50 \left[\frac{-7}{25}\right]\)
\( \implies \bar{x} = 225 + 2(-7) = 225 - 14 = 211\) इस प्रकार, दैनिक माध्य व्यय Rs. 211 है।
In simple words: हमने परिवारों के दैनिक भोजन व्यय की माध्य गणना के लिए पद-विचलन विधि का उपयोग किया। यह विधि डेटा मानों को सरल बनाने में मदद करती है, जिससे गणनाएँ अधिक प्रबंधनीय हो जाती हैं, खासकर जब वर्ग अंतराल बड़े हों।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि कल्पित माध्य (\(a\)) और वर्ग माप (\(h\)) का चयन गणना को सरल करता है। इस विधि का उपयोग करते समय सभी \(f_i u_i\) मानों के योग को सावधानीपूर्वक करें।

 

Question 7. वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड (SO2) की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गये, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

वायु में SO2 की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए |

Answer: हलः माना कल्पित माध्य, \(a = 0.14\) यहाँ, वर्ग अन्तराल, \(h = 0.04\)
\( \implies u_i = \frac{x_i - a}{h} = \frac{x_i - 0.14}{0.04}\) हमें निम्नांकित तालिका प्राप्त होती है:\( \bar{x} = a + h \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\)
\( \implies \bar{x} = 0.14 + 0.04 \left[\frac{-31}{30}\right]\)
\( \implies \bar{x} = 0.14 - 0.04 \times \frac{31}{30} = 0.14 - 0.04133... \approx 0.14 - 0.041 = 0.099\) इस प्रकार, वायु में SO₂ की सांद्रता का माध्य 0.099 प्रति मिलियन है।
In simple words: हमने वायु में SO2 की सांद्रता की माध्य गणना के लिए पद-विचलन विधि का उपयोग किया। दशमलव मानों वाले डेटा सेट के लिए यह विधि गणना को सरल बनाती है, जिससे आंकड़ों को समझना आसान हो जाता है।

🎯 Exam Tip: जब डेटा में दशमलव मान होते हैं, तो वर्ग चिह्न और \(u_i\) मानों की गणना करते समय सटीक रहें। दशमलव स्थानों में त्रुटियों से बचने के लिए गणनाओं को ध्यान से करें।

 

Question 8. किसी कक्षा अध्यापिका ने पुरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विधार्थियों कि अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (record) की| एक विधार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए:

Answer: हलः प्रत्येक्ष विधि से माध्य ज्ञात करने के लिए हमें निम्नांकित तालिका प्राप्त होती है:\( \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{499}{40} = 12.47\) (लगभग) इस प्रकार, एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उसका माध्य = 12.47 (लगभग)
In simple words: हमने विद्यार्थियों की अनुपस्थिति के दिनों की माध्य संख्या की गणना के लिए प्रत्यक्ष विधि का उपयोग किया। यह विधि उपयुक्त है क्योंकि वर्ग चिह्न (\(x_i\)) और बारंबारता (\(f_i\)) के मान अपेक्षाकृत छोटे थे, जिससे गणना सीधी हो गई।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि वर्ग चिह्न सही ढंग से गणना किए गए हैं, वर्ग अंतरालों की सीमाएँ देखें। प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करते समय, \(f_i x_i\) के योग और \(f_i\) के योग को सावधानीपूर्वक करें।

 

Question 9. निम्नलिखित सारणी 35 नगरों कि साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :

Answer: हलः माना कि कल्पित माध्य, \(a = 70\) यहाँ, वर्ग अन्तराल, \(h = 10\)
\( \implies u_i = \frac{x_i - a}{h} = \frac{x_i - 70}{10}\) अब, हमें निम्नांकित तालिका प्राप्त होती है:\( \bar{x} = a + h \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\)
\( \implies \bar{x} = 70 + 10 \left[\frac{-2}{35}\right]\)
\( \implies \bar{x} = 70 - \frac{20}{35} = 70 - \frac{4}{7} = \frac{490 - 4}{7} = \frac{486}{7}\)
\( \implies \bar{x} = 69.4285 \approx 69.43\) (लगभग) इस प्रकार, माध्य साक्षरता दर 69.43 (लगभग) है।
In simple words: हमने नगरों की माध्य साक्षरता दर ज्ञात करने के लिए पद-विचलन विधि का उपयोग किया। यह विधि डेटा मानों को सरल बनाती है, जिससे गणनाएँ अधिक प्रबंधनीय हो जाती हैं, खासकर जब वर्ग अंतराल बड़े हों।

🎯 Exam Tip: साक्षरता दर जैसे डेटा में, वर्ग चिह्नों और \(u_i\) मानों की गणना सही ढंग से सुनिश्चित करें। बड़े डेटा सेट के लिए पद-विचलन विधि का उपयोग करने से गणना त्रुटियों की संभावना कम हो जाती है।

प्रश्नावली 14.2 (NCERT Page 302)

 

Question 1. निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है।

उपरोक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केंद्रीय प्रवृत्ति की मापों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए।

Answer: हलः बहुलकः यहाँ अधिकतम बारंबारता 23 है। बारंबारता 23 के संगत वर्ग अंतराल 35-45 है।
\( \implies \) बहुलक वर्ग 35-45 है। अब, वर्ग माप \((h) = 10\) निम्न सीमा \((l) = 35\) बहुलक वर्ग की बारंबारता \((f_1) = 23\) बहुलक वर्ग के ठीक पूर्व वर्ग की बारंबारता \(f_0 = 21\) बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता \(f_2 = 14\)
\( \implies \) बहुलक \( = l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h\)
\( \implies \) बहुलक \( = 35 + \frac{23 - 21}{2 \times 23 - 21 - 14} \times 10\)
\( \implies \) बहुलक \( = 35 + \frac{2}{46 - 35} \times 10\)
\( \implies \) बहुलक \( = 35 + \frac{2}{11} \times 10\)
\( \implies \) बहुलक \( = 35 + \frac{20}{11} \approx 35 + 1.8\) (लगभग)
\( \implies \) बहुलक \( \approx 36.8\) वर्ष (लगभग) माध्यः माना कल्पित माध्य, \(a = 40\) \(h = 10\)\( \bar{x} = a + h \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\)
\( \implies \bar{x} = 40 + 10 \left[\frac{-37}{80}\right]\)
\( \implies \bar{x} = 40 - \frac{37}{8} = \frac{320 - 37}{8} = \frac{283}{8}\)
\( \implies \bar{x} = 35.375\) अभीष्ठ माध्य = 35.37 वर्ष
In simple words: हमने अस्पताल में भर्ती रोगियों की बहुलक और माध्य आयु की गणना की। बहुलक 36.8 वर्ष दर्शाता है कि सबसे अधिक रोगी 35-45 वर्ष की आयु वर्ग में आते हैं, जबकि माध्य आयु 35.37 वर्ष है। दोनों मान केंद्रीय प्रवृत्ति की समान माप के करीब हैं, जो यह दर्शाता है कि डेटा एक विशेष आयु वर्ग के आसपास केंद्रित है।

🎯 Exam Tip: बहुलक और माध्य दोनों की गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि आप डेटा को सही ढंग से वर्गीकृत करते हैं और प्रत्येक माप के लिए सही सूत्र लागू करते हैं। तुलना में प्रत्येक मान की व्याख्या करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 2. निम्नलिखित आँकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (पंटों में) की सूचना देते हैं।

उपकरणों का बहुलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।

Answer: हलः यहाँ, अधिकतम बारंबारता = 61
\( \implies \) बारंबारता 61 के संगत वर्ग अन्तराल = 60 - 80
\( \implies \) बहुलक वर्ग = 60-80
\( \implies l = 60, h = 20, f_1 = 61, f_0 = 52, f_2 = 38\)
\( \implies \) बहुलक \( = l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h\)
\( \implies \) बहुलक \( = 60 + \frac{61 - 52}{(2 \times 61) - 52 - 38} \times 20\)
\( \implies \) बहुलक \( = 60 + \frac{9}{122 - 90} \times 20\)
\( \implies \) बहुलक \( = 60 + \frac{9}{32} \times 20\)
\( \implies \) बहुलक \( = 60 + \frac{180}{32} = 60 + 5.625\)
\( \implies \) बहुलक \( = 65.625\) इस प्रकार, बहुलक जीवन काल = 65.625 घंटे
In simple words: हमने बिजली उपकरणों के बहुलक जीवनकाल की गणना की, जो 65.625 घंटे है। यह दर्शाता है कि 60-80 घंटे की सीमा में आने वाले उपकरणों का जीवनकाल सबसे अधिक बार होता है, जो इन उपकरणों के लिए सबसे सामान्य जीवनकाल को इंगित करता है।

🎯 Exam Tip: बहुलक की गणना करते समय, सबसे अधिक बारंबारता वाले वर्ग को सही ढंग से पहचानें। सूत्र के सभी मानों को सावधानीपूर्वक लागू करें, खासकर हर में, ताकि गणना त्रुटियों से बचा जा सके।

 

Question 3. निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।

Answer: हलः बहुलकः चूँकि 40 परिवारों का मासिक घरेलू व्यय 1500 - 2000 Rs. अंतराल में है।
\( \implies \) बहुलक वर्ग = 1500-2000
\( \implies l = 1500, h = 500, f_1 = 40, f_0 = 24, f_2 = 33\)
\( \implies \) बहुलक \( = l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h\)
\( \implies \) बहुलक \( = 1500 + \frac{40 - 24}{(2 \times 40) - 24 - 33} \times 500\)
\( \implies \) बहुलक \( = 1500 + \frac{16}{80 - 57} \times 500\)
\( \implies \) बहुलक \( = 1500 + \frac{16}{23} \times 500\)
\( \implies \) बहुलक \( = 1500 + \frac{8000}{23}\)
\( \implies \) बहुलक \( = 1500 + 347.83\)
\( \implies \) बहुलक \( = 1847.83\) इस प्रकार, अभीष्ठ मासिक प्रति परिवार व्यय = Rs. 1847.83 माध्यः माना कि कल्पित माध्य, \(a = 3250\) और \(h = 500\) अब, हमें निम्नांकित तालिका प्राप्त होती है:माध्य \( \bar{x} = a + h \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\)
\( \implies \bar{x} = 3250 + 500 \times \left[\frac{-235}{200}\right]\)
\( \implies \bar{x} = 3250 - \frac{500 \times 235}{200}\)
\( \implies \bar{x} = 3250 - \frac{117500}{200}\)
\( \implies \bar{x} = 3250 - 587.50 = 2662.5\) अतः अभीष्ठ औसत मासिक व्यय = Rs. 2662.50
In simple words: हमने परिवारों के बहुलक और माध्य मासिक घरेलू व्यय दोनों की गणना की। बहुलक 1847.83 Rs. है, जो 1500-2000 Rs. के वर्ग अंतराल में अधिकतम बारंबारता को दर्शाता है, जबकि माध्य व्यय 2662.50 Rs. है। यह परिवारों के बीच आय और व्यय में विविधता का सुझाव देता है।

🎯 Exam Tip: बहुलक और माध्य दोनों की गणना करते समय, डेटा को सही ढंग से वर्गीकृत करना महत्वपूर्ण है। सुनिश्चित करें कि आप बहुलक वर्ग और संबंधित मानों की सही पहचान करते हैं, और माध्य की गणना के लिए सभी गणनाओं को ध्यान से करते हैं।

 

Question 4. निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।

Answer: हलः बहुलकः चूँकि वर्ग 30-35 की बारंबारता अधिकतम है।
\( \implies h = 5, l = 30, f_1 = 10, f_0 = 9, f_2 = 3\)
\( \implies \) बहुलक \( = l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h\)
\( \implies \) बहुलक \( = 30 + \frac{10 - 9}{(2 \times 10) - 9 - 3} \times 5\)
\( \implies \) बहुलक \( = 30 + \frac{1}{20 - 12} \times 5\)
\( \implies \) बहुलक \( = 30 + \frac{1}{8} \times 5\)
\( \implies \) बहुलक \( = 30 + \frac{5}{8} = 30 + 0.625 = 30.625\) माध्यः\( \bar{x} = a + h \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\)
\( \implies \bar{x} = 37.5 + 5 \times \left[\frac{-58}{35}\right]\)
\( \implies \bar{x} = 37.5 - \frac{58}{7} = 37.5 - 8.2857 \approx 29.2143\)
\( \implies \) अभीष्ठ माध्य = 29.2
In simple words: हमने उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात का बहुलक और माध्य ज्ञात किया। बहुलक 30.625 दर्शाता है कि अधिकांश राज्यों में प्रति शिक्षक लगभग 30-35 विद्यार्थी हैं, जबकि माध्य 29.21 का अर्थ है कि औसत पर, प्रत्येक शिक्षक के पास 29 विद्यार्थी हैं। यह डेटा के मध्य पर एक केंद्रित वितरण का सुझाव देता है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि वर्ग अंतराल समावेशी हैं, डेटा को ध्यान से देखें। बहुलक और माध्य दोनों केंद्रीय प्रवृत्ति की माप हैं, और उनकी तुलना करने से डेटा वितरण की समग्र समझ मिलती है।

 

Question 5. दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एकदिवसीय अंतर्राष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है।

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

Answer: हलः यहाँ, वर्ग अन्तराल 4000-5000 की बारंबारता सर्वाधिक 18 है।
\( \implies h = 1000, l = 4000, f_1 = 18, f_0 = 4, f_2 = 9\)
\( \implies \) बहुलक \( = l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h\)
\( \implies \) बहुलक \( = 4000 + \frac{18 - 4}{(2 \times 18) - 4 - 9} \times 1000\)
\( \implies \) बहुलक \( = 4000 + \frac{14}{36 - 13} \times 1000\)
\( \implies \) बहुलक \( = 4000 + \frac{14}{23} \times 1000\)
\( \implies \) बहुलक \( = 4000 + \frac{14000}{23}\)
\( \implies \) बहुलक \( = 4000 + 608.695\)
\( \implies \) बहुलक \( = 4608.695 \approx 4608.7\) (लगभग) इस प्रकार, अभीष्ठ बहुलक 4608.7 (लगभग) है।
In simple words: हमने बल्लेबाजों द्वारा बनाए गए रनों के बहुलक की गणना की, जो लगभग 4608.7 रन है। यह इंगित करता है कि 4000-5000 रन के वर्ग अंतराल में आने वाले रनों की संख्या सबसे अधिक बार होती है, जो इन एकदिवसीय मैचों में बल्लेबाजों के लिए सबसे सामान्य स्कोरिंग रेंज को दर्शाता है।

🎯 Exam Tip: बहुलक वर्ग की सही पहचान करना महत्वपूर्ण है। बहुलक के सूत्र में सभी मानों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करें और गणना करते समय सावधान रहें, खासकर बड़े संख्याओं के साथ गुणा करते समय।

 

Question 6. एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट की और उन्हें नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण मिनट के अंतराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से संबंधित है। ऐसे 100 अंतरालों पर प्रेक्षण लिए। गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

Answer: हलः चूँकि सर्वाधिक बारंबारता वाला वर्ग अन्तराल 40-50 है।
\( \implies f_1 = 20, f_0 = 12, f_2 = 11, h = 10\) तथा \(l = 40\)
\( \implies \) बहुलक \( = l + h \times \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right]\)
\( \implies \) बहुलक \( = 40 + 10 \times \left[\frac{20 - 12}{(2 \times 20) - 12 - 11}\right]\)
\( \implies \) बहुलक \( = 40 + 10 \times \left[\frac{8}{40 - 23}\right]\)
\( \implies \) बहुलक \( = 40 + 10 \times \frac{8}{17}\)
\( \implies \) बहुलक \( = 40 + \frac{80}{17}\)
\( \implies \) बहुलक \( = 40 + 4.705 \approx 44.7\) इस प्रकार अभीष्ठ बहुलक 44.7 है।
In simple words: हमने सड़क पर कारों की संख्या के बहुलक की गणना की, जो 44.7 है। यह इंगित करता है कि 40-50 कारों की संख्या के वर्ग अंतराल में आने वाली कारों की संख्या सबसे अधिक बार होती है, जो उस स्थान से होकर गुजरने वाली कारों की सबसे सामान्य संख्या को दर्शाता है।

🎯 Exam Tip: जब आप बहुलक की गणना करते हैं, तो डेटा में अधिकतम बारंबारता और संबंधित वर्ग अंतराल को सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है। सूत्र में मानों को सावधानीपूर्वक लागू करें, खासकर हर के लिए।

प्रश्नावली 14.3 (NCERT Page 314)

 

Question 1. निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली कि मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए | इनकी तुलना कीजिए|

Answer: हलः माध्यकः संचयी बारंबारता सारणी बनाने पर हमें प्राप्त होता है:अब, हमें प्राप्त है कि \(n = 68 \implies \frac{n}{2} = \frac{68}{2} = 34\) चूँकि उक्त संचयी बारंबारता, वर्ग 125-145 में स्थित है।
\( \implies \) 125-145 माध्यक-वर्ग है।
\( \implies l = 125, cf = 22, f = 20\) और \(h = 20\) सूत्र की सहायता से, माध्यक \( = l + h \times \left[\frac{\frac{n}{2} - cf}{f}\right]\)
\( \implies \) माध्यक \( = 125 + 20 \times \left[\frac{34 - 22}{20}\right]\)
\( \implies \) माध्यक \( = 125 + 20 \times \frac{12}{20}\)
\( \implies \) माध्यक \( = 125 + 12 = 137\) इकाई माध्यः कल्पित माध्य, \(a = 135\) चूँकि वर्ग अन्तराल, \(h = 20\)
\( \implies u_i = \frac{x_i - A}{h} = \frac{x_i - 135}{20}\) अब, हमें निम्नांकित तालिका प्राप्त होती है:\( \bar{x} = a + h \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\)
\( \implies \bar{x} = 135 + 20 \times \left[\frac{7}{68}\right]\)
\( \implies \bar{x} = 135 + \frac{140}{68} = 135 + 2.0588 \approx 137.05\) इकाई बहुलकः चूँकि सर्वाधिक बारंबारता वाला वर्ग अन्तराल 125-145 है।
\( \implies \) बहुलक वर्ग = 125 - 145
\( \implies h = 20, l = 125, f_1 = 20, f_0 = 13, f_2 = 14\)
\( \implies \) बहुलक \( = l + h \times \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right]\)
\( \implies \) बहुलक \( = 125 + 20 \times \left[\frac{20 - 13}{(2 \times 20) - 13 - 14}\right]\)
\( \implies \) बहुलक \( = 125 + 20 \times \left[\frac{7}{40 - 27}\right]\)
\( \implies \) बहुलक \( = 125 + 20 \times \frac{7}{13}\)
\( \implies \) बहुलक \( = 125 + \frac{140}{13}\)
\( \implies \) बहुलक \( = 125 + 10.769 \approx 135.76\) इकाई तुलना करने पर पाते हैं, कि केन्द्रीय माप के तीनों अंग लगभग समान हैं।
In simple words: हमने बिजली खपत का माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात किया। माध्यक 137 इकाई है, माध्य 137.05 इकाई है, और बहुलक 135.76 इकाई है। इन तीनों मानों का एक-दूसरे के बहुत करीब होना बताता है कि डेटा लगभग सममित रूप से वितरित है।

🎯 Exam Tip: माध्यक, माध्य और बहुलक की तुलना करते समय, गणनाओं में परिशुद्धता सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है। तीनों मानों का एक-दूसरे के करीब होना अक्सर एक सममित वितरण का संकेत देता है, जो केंद्रीय प्रवृत्ति को समझना आसान बनाता है।

 

Question 2. यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो \(x\) और \(y\) के मान ज्ञात कीजिए :

Answer: हलः जहाँ प्रेक्षणों की संख्या \(n = 60\) \( \implies \sum f = 60\) संचयी बारंबारता सारणी इस प्रकार है:चूंकि, माध्यक = 28.5 माध्यक वर्ग = 20-30 यहाँ, चूँकि \(l = 20, h = 10, f = 20, cf = 5 + x\)
\( \implies \) माध्यक \( = l + h \times \left[\frac{\frac{n}{2} - cf}{f}\right]\)
\( \implies 28.5 = 20 + 10 \times \left[\frac{30 - (5 + x)}{20}\right]\)
\( \implies 28.5 = 20 + \frac{25 - x}{2}\)
\( \implies 28.5 - 20 = \frac{25 - x}{2}\)
\( \implies 8.5 = \frac{25 - x}{2}\)
\( \implies 8.5 \times 2 = 25 - x\)
\( \implies 17 = 25 - x\)
\( \implies x = 25 - 17 = 8\) चूँकि \(45 + x + y = 60\)
\( \implies 45 + 8 + y = 60\) (समीकरण (1) से \(x = 8\) रखने पर)
\( \implies 53 + y = 60\)
\( \implies y = 60 - 53 = 7\) इस प्रकार, \(x = 8, y = 7\)
In simple words: हमने दिए गए बंटन का माध्यक 28.5 का उपयोग करके अज्ञात बारंबारताओं \(x\) और \(y\) के मान ज्ञात किए। संचयी बारंबारता सारणी बनाने और माध्यक सूत्र को लागू करने से हमें \(x=8\) और \(y=7\) प्राप्त हुआ। यह दर्शाता है कि डेटा में कुल 60 प्रेक्षण हैं, और अज्ञात मानों के लिए, इन विशिष्ट मानों से माध्यक 28.5 प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: अज्ञात बारंबारताओं वाले प्रश्नों में, माध्यक वर्ग की सही पहचान करना और संचयी बारंबारता की गणना सावधानीपूर्वक करना महत्वपूर्ण है। माध्यक सूत्र में मानों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करें और बीजगणितीय समीकरणों को सटीक रूप से हल करें।

 

Question 3. एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों कि आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है| माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, 60 वर्ष से कम हो।

Answer: हलः संचयी बारंबारता सारणी इस प्रकार है:यहाँ, \( \sum f_i = n = 100 \implies \frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50\) चूँकि संचयी बारंबारता \(\frac{n}{2}\) से ठीक अधिक है अर्थात् 50 से ठीक अधिक वाली संचयी बारंबारता 78 है। चूँकि 78, वर्ग अंतराल 35-40 की संचयी बारंबारता है।
\( \implies \) माध्यक वर्ग 35-40 की निम्नसीमा \(l = 35\)
\( \implies l = 35, cf = 45, f = 33\) और \(h = 5\) यहाँ \(\frac{n}{2} = 50\) है।
\( \implies \) माध्यक \( = l + \left[\frac{\frac{n}{2} - cf}{f}\right] \times h\)
\( \implies \) माध्यक \( = 35 + \left[\frac{50 - 45}{33}\right] \times 5\)
\( \implies \) माध्यक \( = 35 + \frac{5}{33} \times 5\)
\( \implies \) माध्यक \( = 35 + \frac{25}{33}\)
\( \implies \) माध्यक \( = 35 + 0.7575 \approx 35.76\) अतः माध्यक आयु = 35.76 वर्ष
In simple words: हमने पॉलिसी धारकों की माध्यक आयु की गणना की, जो 35.76 वर्ष है। यह दर्शाता है कि 100 पॉलिसी धारकों में से आधे 35.76 वर्ष से कम आयु के हैं और आधे 35.76 वर्ष से अधिक आयु के हैं, जिससे यह आयु वितरण का मध्य बिंदु बन जाता है।

🎯 Exam Tip: "से कम" प्रकार के डेटा के लिए, पहले सामान्य वर्ग अंतराल और बारंबारता सारणी में परिवर्तित करना महत्वपूर्ण है। माध्यक वर्ग को सही ढंग से पहचानें और संचयी बारंबारता (\(cf\)), वर्ग की बारंबारता (\(f\)), और निचली सीमा (\(l\)) के मानों को सही ढंग से लागू करें।

 

Question 4. एक पौधे कि 40 पत्तियों कि लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरुपित किया जाता है :

पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए। संकेत : माध्यक ज्ञात करने के लिए, आँकड़ों को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना पड़ेगा, क्योंकि सूत्र में वर्ग अंतरालों को सतत मन गया है। तब ये वर्ग 117.5 – 126.5, 126.5 – 135.5, ..., 171.5 - 180.5 में बदल जाते हैं।

Answer: हलः सतत वर्ग अंतरालों में बदलने पर संचयी बारंबारता सारणी इस प्रकार प्राप्त होती है:\( \sum f_i = 40 \implies n = 40\)
\( \implies \frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20\) चूँकि अर्थात् 20 से ठीक अधिक संचयी बारंबारता 29 है जो कि वर्ग अन्तराल 144.5-153.5 में है।
\( \implies \) माध्यक वर्ग = 144.5-153.5
\( \implies l = 144.5\) चूँकि \(\frac{n}{2} = 20, f = 12, cf = 17\) और \(h = 9\) है।
\( \implies \) माध्यक \( = l + \left[\frac{\frac{n}{2} - cf}{f}\right] \times h\)
\( \implies \) माध्यक \( = 144.5 + \left[\frac{20 - 17}{12}\right] \times 9\)
\( \implies \) माध्यक \( = 144.5 + \frac{3}{12} \times 9\)
\( \implies \) माध्यक \( = 144.5 + \frac{1}{4} \times 9\)
\( \implies \) माध्यक \( = 144.5 + \frac{9}{4}\)
\( \implies \) माध्यक \( = 144.5 + 2.25 = 146.75\) मिमी.
In simple words: हमने पत्तियों की माध्यक लंबाई की गणना की, जो 146.75 मिमी है। यह दर्शाता है कि 40 पत्तियों में से आधे की लंबाई 146.75 मिमी से कम है और आधे की लंबाई इससे अधिक है। डेटा को पहले सतत वर्ग अंतरालों में बदलना महत्वपूर्ण था क्योंकि मूल वर्ग अंतराल असतत थे।

🎯 Exam Tip: यदि वर्ग अंतराल निरंतर नहीं हैं तो पहले उन्हें निरंतर बनाना सुनिश्चित करें (जैसे 118-126 को 117.5-126.5 में)। माध्यक वर्ग की सही पहचान करना और माध्यक सूत्र में सभी मानों को सावधानीपूर्वक लागू करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 5. निम्नलिखित सारणी 400 नियाँन लैंपों के जीवनकालों (life time) को प्रदर्शित करती है :

Answer: हलः माध्यक ज्ञात करने के लिए हम निम्नांकित संचयी बारंबारता सारणी प्राप्त करते हैं:यहाँ, \( \sum f_i = 400 \implies n = 400\) और \( \frac{n}{2} = \frac{400}{2} = 200\) चूँकि \(\frac{n}{2}\) अर्थात् 200 से ठीक अधिक संचयी बारंबारता 216 है जो कि वर्ग अन्तराल 3000 - 3500 में है।
\( \implies \) माध्यक वर्ग 3000 - 3500 है। अब, \(l = 3000, cf = 130, f = 86, h = 500\) और \(\frac{n}{2} = 200\) अब, माध्यक \( = l + \left[\frac{\frac{n}{2} - cf}{f}\right] \times h\)
\( \implies \) माध्यक \( = 3000 + \left[\frac{200 - 130}{86}\right] \times 500\)
\( \implies \) माध्यक \( = 3000 + \frac{70}{86} \times 500\)
\( \implies \) माध्यक \( = 3000 + \frac{35000}{86}\)
\( \implies \) माध्यक \( = 3000 + 406.976 \approx 3406.98\) अतः माध्यक जीवनकाल = 3406.98 घंटे
In simple words: हमने नियॉन लैंपों के माध्यक जीवनकाल की गणना की, जो लगभग 3406.98 घंटे है। यह इंगित करता है कि कुल 400 लैंपों में से आधे लैंप 3406.98 घंटे से कम जलते हैं, और आधे इससे अधिक जलते हैं। यह माध्यक मूल्य लैंपों के जीवनकाल के वितरण के मध्य बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है।

🎯 Exam Tip: माध्यक की गणना करते समय, पहले संचयी बारंबारता तालिका बनाना सुनिश्चित करें। माध्यक वर्ग को सही ढंग से पहचानें, और माध्यक सूत्र में \(l, \frac{n}{2}, cf, f,\) और \(h\) के मानों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करें।

 

Question 6. एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ :

कुलनामों में माध्यक अक्षरों कि संख्या ज्ञात कीजिए| कुलनामों में माध्य अक्षरों कि संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए |

Statistics Class 10 प्रश्नावली 14.3 (NCERT Page 314)

Answer:माध्यकः संचयी बारंबारता सारणी बनाने पर हमें प्राप्त होता है:

अब, हमें प्राप्त है कि \( n = 68 \implies \frac{n}{2} = \frac{68}{2} = 34 \) चूँकि उक्त संचयी बारंबारता, वर्ग 125-145 में स्थित है।
∴ 125-145 माध्यक-वर्ग हैं।
\( l = 125, cf = 22, f = 20 \) और \( h = 20 \) सूत्र की सहायता से, माध्यक \( = l + h \times \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \)
\( = 125 + 20 \times \frac{34 - 22}{20} \)
\( = 125 + 20 \times \frac{12}{20} \)
\( = 125 + 12 = 137 \) इकाई माध्यः कल्पित माध्य, \( a = 135 \) चूँकि वर्ग अन्तराल, \( h = 20 \)
\( \implies u_i = \frac{x_i - A}{h} = \frac{x_i - 135}{20} \) अब, हमें निम्नांकित तालिका प्राप्त होती है:

\( \bar{x} = a + h \left( \frac{\Sigma f_iu_i}{\Sigma f_i} \right) \)
\( = 135 + 20 \times \frac{7}{68} \)
\( = 135 + 2.05 \)
\( = 137.05 \) इकाई बहुलकः चूँकि सर्वाधिक बारंबारता वाला वर्ग अन्तराल 125-145 है।
∴ बहुलक वर्ग = 125-145 अब, \( h = 20, l = 125, f_1 = 20, f_0 = 13, f_2 = 14 \)
बहुलक \( = l + h \times \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \)
\( = 125 + 20 \times \left( \frac{20 - 13}{2 \times 20 - 13 - 14} \right) \)
\( = 125 + 20 \times \left( \frac{7}{40 - 27} \right) \)
\( = 125 + 20 \times \frac{7}{13} \)
\( = 125 + \frac{140}{13} \)
\( = 125 + 10.76 \)
\( = 135.76 \) इकाई तुलना करने पर पाते हैं, कि केन्द्रीय माप के तीनों अंग लगभग समान हैं।
In simple words: The median, mean, and mode for the electricity consumption data are approximately 137.05, 137.05, and 135.76 units respectively. All three measures of central tendency are very close, indicating a fairly symmetrical distribution of data.

🎯 Exam Tip: Remember to calculate all three measures - mean, median, and mode - as required, and always include a concluding statement comparing them if asked. Accuracy in table calculations is key for scoring.

 

Question 2. यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :

Answer:हलः जहाँ प्रेक्षणों की संख्या \( n = 60 \)
[∴ \( \Sigma f = 60 \)]
∴ संचयी बारंबारता सारणी इस प्रकार है:

चूंकि, माध्यक = 28.5 माध्यक वर्ग = 20-30 यहाँ, चूँकि \( l = 20, h = 10, f = 20, cf = 5 + x \) माध्यक \( = l + h \times \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \)
\( \implies 28.5 = 20 + 10 \times \frac{30 - (5 + x)}{20} \)
\( \implies 28.5 = 20 + \frac{25 - x}{2} \)
\( (28.5) \times 2 = 2(20) + 25 - x \implies 57 = 40 + 25 - x \)
\( \implies x = 40 + 25 - 57 = 8 \) चूँकि \( 45 + x + y = 60 \)
\( \implies 45 + 8 + y = 60 \)
[ (1) से x = 8 रखने पर]
\( \implies y = 60 - 45 - 8 = 7 \) इस प्रकार, \( x = 8, y = 7 \)
In simple words: Given a median of 28.5 and a total frequency of 60, by constructing the cumulative frequency table and applying the median formula, we calculate the values of the missing frequencies as x = 8 and y = 7.

🎯 Exam Tip: When solving for missing frequencies, always ensure the sum of frequencies matches the given total. Carefully apply the median formula using the correct lower limit, cumulative frequency, and frequency of the median class.

 

Question 3. एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों कि आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है| माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, 60 वर्ष से कम हो।

Answer:हलः संचयी बारंबारता सारणी इस प्रकार है:

यहाँ, \( \Sigma f_i = n = 100 \implies \frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50 \) चूँकि संचयी बारंबारता \( \frac{n}{2} \) से ठीक अधिक है अर्थात् 50 से ठीक अधिक वाली संचयी बारंबारता 78 है। चूँकि 78, वर्ग अंतराल 35-40 की संचयी बारंबारता है।
∴ माध्यक वर्ग 35-40 की निम्नसीमा \( l = 35 \)
\( \implies l = 35, cf = 45, f = 33 \) और \( h = 5 \) यहाँ \( \frac{n}{2} = 50 \) है।
माध्यक \( = l + \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \times h \)
\( = 35 + \left[ \frac{50 - 45}{33} \right] \times 5 \)
\( = 35 + \frac{5}{33} \times 5 = 35 + 0.76 = 35.76 \) अतः माध्यक आयु = 35.76 वर्ष
In simple words: The median age for policyholders, calculated from the cumulative frequency distribution, is 35.76 years. This indicates that half of the policyholders are younger than 35.76 years and half are older.

🎯 Exam Tip: Always convert "less than" or "more than" type distributions into exclusive class intervals before calculating the median. Correctly identifying the median class and its corresponding \( l, cf, f \), and \( h \) values is crucial.

 

Question 4. एक पौधे कि 40 पत्तियों कि लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरुपित किया जाता है :

पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए। संकेत : माध्यक ज्ञात करने के लिए, आँकड़ों को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना पड़ेगा, क्योंकि सूत्र में वर्ग अंतरालों को सतत मन गया है। तब ये वर्ग 117.5 - 126.5, 126.5 - 135.5, ..., 171.5 - 180.5 में बदल जाते हैं।
Answer:हलः सतत वर्ग अंतरालों में बदलने पर संचयी बारंबारता सारणी इस प्रकार प्राप्त होती है:

\( \Sigma f_i = 40 \implies n = 40 \)
\( n = 40 \implies \frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20 \) चूँकि \( \frac{n}{2} \) अर्थात् 20 से ठीक अधिक संचयी बारंबारता 29 है जो कि वर्ग अन्तराल 144.5-153.5 में है।
∴ माध्यक वर्ग = 144.5-153.5
\( \implies l = 144.5 \) चूँकि \( \frac{n}{2} = 20, f = 12, cf = 17 \) और \( h = 9 \) है।
माध्यक \( = l + \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \times h \)
\( \implies \) माध्यक \( = 144.5 + \left[ \frac{20 - 17}{12} \right] \times 9 = 144.5 + \frac{3}{12} \times 9 \)
\( = 144.5 + \frac{9}{4} = 144.5 + 2.25 = 146.75 \) मिमी.
In simple words: To find the median length of the leaves, the discontinuous class intervals are first converted into continuous ones. Then, using the median formula, the median length is calculated as 146.75 mm, meaning half of the leaves are shorter and half are longer than this value.

🎯 Exam Tip: Always remember to convert discontinuous class intervals into continuous ones by subtracting 0.5 from the lower limit and adding 0.5 to the upper limit before calculating the median. This is a common pitfall students face.

 

Question 5. निम्नलिखित सारणी 400 नियाँन लैंपों के जीवनकालों (life time) को प्रदर्शित करती है :

Answer:हलः माध्यक ज्ञात करने के लिए हम निम्नांकित संचयी बारंबारता सारणी प्राप्त करते हैं:

यहाँ, \( \Sigma f_i = 400 \implies n = 400 \) और \( n = 400 \implies \frac{n}{2} = \frac{400}{2} = 200 \) चूँकि \( \frac{n}{2} \) अर्थात् 200 से ठीक अधिक संचयी बारंबारता 216 है जो कि वर्ग अन्तराल 3000 - 3500 में है। ∴ माध्यक वर्ग 3000 - 3500 है। अब, \( l = 3000, cf = 130, f = 86, h = 500 \) और \( \frac{n}{2} = 200 \) अब, माध्यक \( = l + \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \times h \)
\( = 3000 + \left[ \frac{200 - 130}{86} \right] \times 500 \)
\( = 3000 + \frac{70}{86} \times 500 = 3000 + \frac{35000}{86} \)
\( = 3000 + 406.98 = 3406.98 \) अतः माध्यक जीवनकाल = 3406.98 घंटे
In simple words: The median lifetime of the 400 neon lamps is found to be 3406.98 hours. This means that half of the lamps are expected to last less than 3406.98 hours, and half are expected to last longer.

🎯 Exam Tip: For large datasets, organizing the data into a cumulative frequency table is the first critical step. Ensure the calculation of \( n/2 \) is accurate, as it determines the median class and subsequent formula values.

 

Question 6. एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ : कुलनामों में माध्यक अक्षरों कि संख्या ज्ञात कीजिए| कुलनामों में माध्य अक्षरों कि संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए |

Answer:हलः माध्यक

\( n = 100 \implies \frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50 \) चूँकि \( \frac{n}{2} \) अर्थात् 50 से ठीक अधिक वाली संचयी बारंबारता 76 है, जो कि वर्ग अन्तराल 7-10 में स्थित है। अब, \( \frac{n}{2} = 50, l = 7, cf = 36, f = 40 \) और \( h = 3 \)
माध्यक \( = l + \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \times h \)
\( = 7 + \frac{50 - 36}{40} \times 3 \)
\( = 7 + \frac{14}{40} \times 3 = 7 + \frac{42}{40} \)
\( = 7 + 1.05 = 8.05 \)

माध्य:

माध्य, \( \bar{x} = \frac{\Sigma f_ix_i}{\Sigma f_i} = \frac{832}{100} = 8.32 \)

बहुलकः चूँकि सर्वाधिक बारंबारता वाला वर्ग अन्तराल 7 - 10 है
∴ बहुलक वर्ग = 7-10
हमें प्राप्त है: \( l = 7, h = 3, f_1 = 40, f_0 = 30, f_2 = 16 \) अतः बहुलक \( = l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h \)
\( = 7 + \frac{40 - 30}{2 \times 40 - 30 - 16} \times 3 \)
\( = 7 + \frac{10}{80 - 30 - 16} \times 3 \)
\( = 7 + \frac{10}{34} \times 3 \)
\( = 7 + \frac{30}{34} \)
\( = 7 + 0.88 = 7.88 \) इस प्रकार, अभीष्ठ माध्यक = 8.05, माध्य = 8.32 और बहुलक = 7.88
In simple words: For the given data of surnames, the median number of letters is 8.05, the mean number of letters is 8.32, and the mode is 7.88. These measures of central tendency are all quite close, suggesting a relatively symmetrical distribution of letter counts in surnames.

🎯 Exam Tip: When calculating all three measures (mean, median, mode) for the same dataset, organize your work clearly with separate tables or steps for each. Double-check the identification of the modal class and median class to avoid errors in the formulas.

 

Question 7. नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विधार्थियों के भार दर्शा रहा है। विधार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए |

Answer:हलः हमें प्राप्त है:

\( n = 30 \)
\( \frac{n}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)
या उससे ठीक ऊपर (अर्थात् 15 से ठीक ऊपर) वाली संचयी बारंबारता 19 है, जो वर्ग 55-60 में स्थित है
\( l = 55 \) चूँकि \( \frac{n}{2} = 15, f = 6, cf = 13 \) और \( h = 5 \)
माध्यक \( = l + \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \times h \)
\( = 55 + \left[ \frac{15 - 13}{6} \right] \times 5 \)
\( = 55 + \frac{2}{6} \times 5 = 55 + \frac{10}{6} \)
\( = 55 + 1.67 = 56.67 \) इस प्रकार अभीष्ठ माध्यक भार = 56.67 किग्रा.
In simple words: The median weight for the 30 students is calculated as 56.67 kg. This means that half of the students have a weight less than 56.67 kg, and the other half have a weight greater than 56.67 kg.

🎯 Exam Tip: Correctly identifying the median class based on \( n/2 \) and then using the corresponding values for \( l, cf, f, \) and \( h \) in the median formula is essential for an accurate result.

 

Exercise 14.4 (NCERT Page 320)

Question 1. निम्नलिखित बंटन किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों कि दैनिक आय दर्शाता है: 'उपरोक्त बंटन को एक कम प्रकार ' के संचयी बारंबारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खीचिए ।

Answer:हलः हमें निम्नांकित संचयी बारंबारता सारणी प्राप्त होती है:

उक्त तालिका से,

अब क्रमित-युग्मों (120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40) और (200, 50) को एक ग्राफ पेपर पर अंकित कर मुक्त हस्त वक्र खींचते हैं:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख 'से कम प्रकार' के तोरण को दर्शाता है, जहाँ X-अक्ष पर ऊपरी सीमाएँ (दैनिक आय) और Y-अक्ष पर संचयी बारंबारता (श्रमिकों की संख्या) प्रदर्शित की गई है। इसमें विभिन्न बिंदुओं को प्लॉट करके एक चिकना वक्र बनाया गया है, जो आय वितरण की संचयी प्रवृत्ति को दर्शाता है।
In simple words: To convert the given frequency distribution into a "less than type" cumulative frequency distribution, we list the upper class limits along with their cumulative frequencies. This data is then plotted on a graph to draw an ogive (toren), which visually represents the cumulative distribution of daily income.

🎯 Exam Tip: When drawing a "less than type" ogive, remember to plot the upper class limits on the x-axis and the corresponding cumulative frequencies on the y-axis. The curve should always be increasing.

 

Question 2. किसी कक्षा के 35 विधार्थियों कि मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए : उपरोक्त आँकड़ों के 'लिए कम प्रकार का तोरण' खीचिए | इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः यहाँ ऊपरी सीमाएँ 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50 व 52 हैं। इनके संगत संचयी बारंबारताएँ क्रमशः 0, 3, 5, 9, 14, 28, 32 और 35 हैं।
हम क्रमित युग्मों: (38,0), (40, 3), (42, 5), (44, 9) (46, 14), (48, 28), (50, 32) और (52, 35) को एक ग्राफ पेपर पर अंकित करके मुक्त-हस्त-वक्र खींचते हैं, जैसा कि निम्नांकित आकृति में दर्शाया गया है। इस प्रकार प्राप्त वक्र एक "से कम प्रकार" की तोरण है। चूंकि \( n = 35 \) है।
\( \frac{n}{2} = \frac{35}{2} = 17.5 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख विद्यार्थियों के भार के लिए 'से कम प्रकार' के तोरण को दर्शाता है। X-अक्ष पर ऊपरी सीमाएँ (भार किलोग्राम में) और Y-अक्ष पर संचयी बारंबारता (विद्यार्थियों की संख्या) प्रदर्शित की गई है। माध्यक भार ज्ञात करने के लिए, Y-अक्ष पर 17.5 से एक क्षैतिज रेखा खींची गई है जो तोरण को बिंदु P पर काटती है, और P से X-अक्ष पर लंब खींचने पर माध्यक (47.5 किग्रा) प्राप्त होता है। अब एक बिन्दु y-अक्ष पर 17.5 पर अंकित करके x-अक्ष के समान्तर एक रेखा खींचे जो उक्त वक्र (तोरण) को P पर काटे। बिन्दु P से x-अक्ष पर एक लम्ब खींचो जो इसे Q पर काटे। Q, माध्यक को दर्शाता है जो कि 47.5 है। जाँचः परिणाम की जाँच सूत्र द्वारा करने के लिए पहले निम्नांकित तालिका बनाते हैं:

यहाँ, \( n = 35 \implies \frac{n}{2} = \frac{35}{2} = 17.5 \) चूँकि 17.5 माध्यम, वर्ग अन्तराल 46-48 में स्थित है। चूँकि माध्यक वर्ग 46-48 है।
\( l = 46, h = 2, f = 14 \) और \( cf = 14 \) [\( 28 - 14 = 14 \)]
माध्यक \( = l + \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \times h \)
\( = 46 + \left[ \frac{17.5 - 14}{14} \right] \times 2 = 46 + \left[ \frac{3.5}{14} \right] \times 2 \)
\( = 46 + 0.5 = 46.5 \) इस प्रकार, माध्यक भार = 46.5 किग्रा. जो कि लगभग (ग्राफ द्वारा प्राप्त) माध्यक भार के लगभग समान है।
In simple words: The "less than type" ogive for student weights is constructed by plotting cumulative frequencies against upper class limits. From the ogive, the median weight is found graphically to be 47.5 kg. Using the median formula, the calculated median weight is 46.5 kg, which is approximately consistent with the graphical result.

🎯 Exam Tip: When using an ogive to find the median, draw a horizontal line from \( n/2 \) on the y-axis to the ogive, then drop a vertical line from that intersection to the x-axis. The value on the x-axis is the median. Always compare graphical results with formula-based calculations for verification.

 

Question 3. निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रति हेक्टेयर (ha) गेंहूँ का उत्पादन दर्शाते हैं : इस बंटन को 'अधिक के प्रकार के ' बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खीचिए|

Answer:हलः "अधिक के प्रकार" के बंटन के लिए, हम दिए गए आंकड़ों को निम्नांकित तालिका में व्यक्त करते हैं:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख 'से अधिक प्रकार' के तोरण को दर्शाता है, जहाँ X-अक्ष पर निचली सीमाएँ (गेहूं का उत्पादन) और Y-अक्ष पर संचयी बारंबारता (फार्मों की संख्या) प्रदर्शित की गई है। इसमें विभिन्न बिंदुओं को प्लॉट करके एक चिकना वक्र बनाया गया है, जो उत्पादन वितरण की संचयी प्रवृत्ति को दर्शाता है।
In simple words: To convert the given frequency distribution into a "more than type" cumulative frequency distribution, we list the lower class limits with the number of farms having production "more than or equal to" that limit. This data is then used to plot an ogive, which visually represents the cumulative distribution of wheat production.

🎯 Exam Tip: For a "more than type" ogive, always plot the lower class limits on the x-axis and the corresponding cumulative frequencies (starting from the total and decreasing) on the y-axis. The curve should be decreasing.