Download UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 सतही क्षेत्रफल और आयतन
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प्रश्न 1. एक घर्षण वलय जो एक शंकु के छिन्नक के आकार का है, और इसके सिरों के व्यास क्रमशः 8 सेमी और 10 सेमी हैं तथा इसकी ऊँचाई 8 सेमी है। इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
शंकु के छिन्नक के सिरों का व्यास क्रमशः 8 सेमी और 10 सेमी है।
इसलिए, बड़ी त्रिज्या \( R = \frac{10}{2} = 5 \) सेमी
छोटी त्रिज्या \( r = \frac{8}{2} = 4 \) सेमी
ऊँचाई \( h = 8 \) सेमी
शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई \( l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} \)
\( l = \sqrt{(8)^2 + (5-4)^2} \)
\( l = \sqrt{64 + (1)^2} \)
\( l = \sqrt{64 + 1} \)
\( l = \sqrt{65} \)
\( l \approx 8.06 \) सेमी
शंकु के छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \pi l(R + r) \)
\( = 3.14 \times 8.06 \times (5+4) \)
\( = 3.14 \times 8.06 \times 9 \)
\( = 227.78 \) सेमी\(^2\)
शंकु के छिन्नक का आयतन \( = \frac{1}{3} \pi h[R^2 + r^2 + Rr] \)
\( = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8[(5)^2 + (4)^2 + 5 \times 4] \)
\( = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8[25 + 16 + 20] \)
\( = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times 61 \)
\( = 510.77 \) सेमी\(^3\)
अतः, छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल लगभग 227.78 सेमी\(^2\) और आयतन 510.77 सेमी\(^3\) है। यह गणना किसी घर्षण वलय जैसे आकार की वस्तु को समझने में मदद करती है।
In simple words: शंकु के छिन्नक के लिए, पहले तिर्यक ऊँचाई निकालें, फिर पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्र का उपयोग करके मान ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: सूत्रों को सही ढंग से याद रखना और π का मान (3.14 या \( \frac{22}{7} \)) को सावधानी से उपयोग करना महत्वपूर्ण है।
प्रश्न 2. एक छिन्नक के सिरों के परिमाप 48 सेमी तथा 36 सेमी हैं। यदि इसकी ऊँचाई 11 सेमी है तो इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना, छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः R सेमी और r सेमी हैं।
बड़े सिरे का परिमाप \( = 2\pi R = 48 \) सेमी
\( 2 \times \frac{22}{7} \times R = 48 \)
\( R = \frac{48 \times 7}{2 \times 22} \)
\( R = \frac{336}{44} \)
\( R \approx 7.6 \) सेमी
छोटे सिरे का परिमाप \( = 2\pi r = 36 \) सेमी
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r = 36 \)
\( r = \frac{36 \times 7}{2 \times 22} \)
\( r = \frac{252}{44} \)
\( r \approx 5.7 \) सेमी
ऊँचाई \( h = 11 \) सेमी
छिन्नक का आयतन \( = \frac{1}{3} \pi h[R^2 + r^2 + Rr] \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 11[(7.6)^2 + (5.7)^2 + 7.6 \times 5.7] \)
\( = \frac{242}{21}[57.76 + 32.49 + 43.32] \)
\( = \frac{242}{21}[133.57] \)
\( = 1539.24 \) सेमी\(^3\)
अतः, छिन्नक का आयतन लगभग 1539.24 सेमी\(^3\) है। यह आयतन गणना किसी बर्तन की क्षमता को समझने में सहायक होती है।
In simple words: छिन्नक के सिरों के परिमाप से त्रिज्याएँ (R और r) निकालें। फिर ऊँचाई और इन त्रिज्याओं का उपयोग करके छिन्नक का आयतन ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: π का उचित मान (जैसे \( \frac{22}{7} \) या 3.14) चुनकर गणना में सटीकता बनाए रखें और दशमलव स्थानों का ध्यान रखें।
प्रश्न 3. 6 सेमी ऊँचे एक छिन्नक के दोनों वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याऐं क्रमशः 14 व 6 सेमी हैं। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा कुल सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
छिन्नक के वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ \( R = 14 \) सेमी और \( r = 6 \) सेमी हैं।
छिन्नक की ऊँचाई \( h = 6 \) सेमी है।
छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई \( l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} \)
\( l = \sqrt{(6)^2 + (14-6)^2} \)
\( l = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} \)
\( l = \sqrt{36 + 64} \)
\( l = \sqrt{100} \)
\( l = 10 \) सेमी
छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \pi l(R + r) \)
\( = \frac{22}{7} \times 10(14+6) \)
\( = \frac{22}{7} \times 10 \times 20 \)
\( = \frac{4400}{7} \)
\( \approx 628.57 \) सेमी\(^2\)
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \pi l(R + r) + \pi R^2 + \pi r^2 \)
\( = \pi [l(R + r) + R^2 + r^2] \)
\( = \frac{22}{7} [10(14+6) + (14)^2 + (6)^2] \)
\( = \frac{22}{7} [10 \times 20 + 196 + 36] \)
\( = \frac{22}{7} [200 + 196 + 36] \)
\( = \frac{22}{7} [432] \)
\( = \frac{9504}{7} \)
\( \approx 1357.71 \) सेमी\(^2\)
अतः, छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल लगभग 628.57 सेमी\(^2\) और सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1357.71 सेमी\(^2\) है। ये मान पेंटिंग या सामग्री की आवश्यकता को निर्धारित करने में मदद करते हैं।
In simple words: पहले तिर्यक ऊँचाई निकालें। फिर वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए \( \pi l(R+r) \) और सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए \( \pi [l(R+r) + R^2 + r^2] \) का उपयोग करें।
🎯 Exam Tip: सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते समय, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के साथ दोनों वृत्ताकार सिरों के क्षेत्रफल को जोड़ना न भूलें।
प्रश्न 4. एक ठोस शंकु के छिन्नक के सिरों की त्रिज्याऐं क्रमशः 33 सेमी और 27 सेमी हैं। इसकी तिरछी ऊँचाई 10 सेमी है। इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ \( R = 33 \) सेमी और \( r = 27 \) सेमी हैं।
तिरछी ऊँचाई \( l = 10 \) सेमी है।
छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \pi [l(R + r) + R^2 + r^2] \)
\( = \frac{22}{7} [10(33 + 27) + (33)^2 + (27)^2] \)
\( = \frac{22}{7} [10 \times 60 + 1089 + 729] \)
\( = \frac{22}{7} [600 + 1089 + 729] \)
\( = \frac{22}{7} [2418] \)
\( = \frac{53196}{7} \)
\( \approx 7599.42 \) सेमी\(^2\)
अतः, ठोस छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल लगभग 7599.42 सेमी\(^2\) है। यह ठोस वस्तु की बाहरी सतह का कुल माप है।
In simple words: छिन्नक के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए, तिरछी ऊँचाई और दोनों त्रिज्याओं का उपयोग करके सूत्र \( \pi [l(R+r) + R^2 + r^2] \) से गणना करें।
🎯 Exam Tip: वर्गों की गणना में सावधानी बरतें और गुणा-जोड़ में कोई त्रुटि न हो, यह सुनिश्चित करने के लिए सभी चरणों को ध्यान से करें।
प्रश्न 5. एक बाल्टी एक धातु के चादर की बनी है। इसका आकार शंकु के छिन्नक के रूप का है, इसकी गहराई 24 सेमी है और इसके ऊपरी सिरे का व्यास तथा पेंदी का व्यास क्रमशः 30 सेमी तथा 10 सेमी हैं। तो उस दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए जो इस बाल्टी को पूरा-पूरा भर सकता है। यदि दूध Rs. 20 प्रति लीटर की दर से मिलता हो और साथ ही धातु की चादरें जो बाल्टी बनाने में प्रयुक्त की गयी है, की कीमत ज्ञात कीजिए यदि चादरें Rs. 10 प्रति 100 वर्ग सेमी की दर से खरीदी गयी है।
Answer:
बाल्टी की गहराई \( h = 24 \) सेमी है।
ऊपरी सिरे का व्यास 30 सेमी, इसलिए \( R = \frac{30}{2} = 15 \) सेमी
पेंदी का व्यास 10 सेमी, इसलिए \( r = \frac{10}{2} = 5 \) सेमी
छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई \( l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2} \)
\( l = \sqrt{(24)^2 + (15-5)^2} \)
\( l = \sqrt{(24)^2 + (10)^2} \)
\( l = \sqrt{576 + 100} \)
\( l = \sqrt{676} \)
\( l = 26 \) सेमी
बाल्टी में दूध का आयतन \( = \frac{1}{3} \pi h[R^2 + r^2 + Rr] \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 24[(15)^2 + (5)^2 + 15 \times 5] \)
\( = \frac{176}{7}[225 + 25 + 75] \)
\( = \frac{176}{7}[325] \)
\( = \frac{57200}{7} \)
\( \approx 8171.43 \) सेमी\(^3\)
1 लीटर \( = 1000 \) घन सेमी
दूध का आयतन लीटर में \( = \frac{8171.43}{1000} = 8.17143 \) लीटर
1 लीटर दूध का मूल्य \( = \) Rs. 20
कुल दूध का मूल्य \( = 8.17143 \times 20 = \) Rs. 163.42
बाल्टी का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल (धातु की चादर के लिए - केवल वक्र भाग और पेंदी का क्षेत्रफल, क्योंकि ऊपरी भाग खुला होता है) \( = \pi l(R + r) + \pi r^2 \)
\( = \pi [l(R + r) + r^2] \)
\( = \frac{22}{7} [26(15+5) + (5)^2] \)
\( = \frac{22}{7} [26 \times 20 + 25] \)
\( = \frac{22}{7} [520 + 25] \)
\( = \frac{22}{7} [545] \)
\( = \frac{11990}{7} \)
\( \approx 1712.85 \) सेमी\(^2\)
100 सेमी\(^2\) चादर का खर्च \( = \) Rs. 10
1 सेमी\(^2\) चादर का खर्च \( = \frac{10}{100} = \) Rs. 0.1
कुल चादर का खर्च \( = 1712.85 \times 0.1 = \) Rs. 171.285
अतः, दूध का मूल्य Rs. 163.42 तथा चादर का मूल्य Rs. 171.28 है। यह गणना दूध और धातु की चादर दोनों के खर्च को दर्शाती है।
In simple words: बाल्टी के आयतन से दूध का मूल्य निकालें। फिर बाल्टी बनाने में लगी धातु की चादर का क्षेत्रफल (वक्र और पेंदी) ज्ञात करें और उससे चादर का मूल्य निकालें।
🎯 Exam Tip: बाल्टी जैसे खुले बर्तनों के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते समय, हमेशा याद रखें कि ऊपरी सिरे का क्षेत्रफल नहीं जोड़ा जाएगा।
प्रश्न 6. दूध का एक बर्तन जिसकी ऊँचाई 18 सेमी है, छिन्नक के आकार का है। इसके ऊपरी तथा निचले सिरों की त्रिज्याऐं क्रमशः 8 व 32 सेमी हैं। इसको Rs. 20 प्रति लीटर की दर से भरने में कुल कितने दूध की आवश्यकता है? हल:
Answer:
बर्तन के ऊपरी सिरे की त्रिज्या \( R = 32 \) सेमी
बर्तन के निचले सिरे की त्रिज्या \( r = 8 \) सेमी
बर्तन की ऊँचाई \( h = 18 \) सेमी
छिन्नक के आकार के बर्तन का आयतन \( = \frac{1}{3} \pi h[R^2 + r^2 + Rr] \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 18[(32)^2 + (8)^2 + 32 \times 8] \)
\( = \frac{22 \times 6}{7}[1024 + 64 + 256] \)
\( = \frac{132}{7}[1344] \)
\( = 132 \times \frac{1344}{7} \)
\( = 132 \times 192 \)
\( = 25344 \) सेमी\(^3\)
1 लीटर \( = 1000 \) घन सेमी
दूध का आयतन लीटर में \( = \frac{25344}{1000} = 25.344 \) लीटर
1 लीटर दूध का मूल्य \( = \) Rs. 20
कुल दूध का मूल्य \( = 25.344 \times 20 = \) Rs. 506.88
अतः, बर्तन को भरने के लिए 25.344 लीटर दूध की आवश्यकता होगी, और इसका कुल मूल्य Rs. 506.88 होगा। यह आयतन गणना हमें तरल पदार्थ की मात्रा और उसके खर्च को समझने में मदद करती है।
In simple words: बर्तन के आयतन का सूत्र उपयोग करके दूध की कुल मात्रा (सेमी\(^3\) में) निकालें। फिर इसे लीटर में बदलें और प्रति लीटर मूल्य से गुणा करके कुल खर्च ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: आयतन को लीटर में बदलते समय \( 1000 \) से भाग देना न भूलें और गुणा-भाग में सावधानी बरतें।
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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 सतही क्षेत्रफल और आयतन
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