Official UP Board Solutions for Class 10 Maths: Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
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Chapter-wise Solutions for Maths: Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
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प्रश्न 1. 21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त से एक त्रिज्यखण्ड काटा जाता है। त्रिज्यखण्ड का कोण 150° है। चाप की लम्बाई तथा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए वृत्त की त्रिज्या \( r = 21 \) सेमी है और त्रिज्यखण्ड का कोण \( \theta = 150^\circ \) है।
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( A = \frac{150^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \)
\( A = \frac{5}{12} \times 22 \times 3 \times 21 \)
\( A = 577.5 \) सेमी\(^2\)
चाप की लम्बाई \( l \) ज्ञात करने के लिए, हम क्षेत्रफल के सूत्र \( A = \frac{1}{2}lr \) का उपयोग करेंगे।
\( \frac{1}{2} \times l \times 21 = 577.5 \)
\( l = \frac{577.5 \times 2}{21} \)
\( l = 55 \) सेमी
अतः, चाप की लम्बाई 55 सेमी है और त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 577.5 सेमी\(^2\) है। त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल निकालने के लिए केंद्रीय कोण और त्रिज्या का उपयोग महत्वपूर्ण है।
In simple words: एक गोले का टुकड़ा, जिसका कोण 150 डिग्री और त्रिज्या 21 सेमी है, उसकी घुमावदार किनारे की लम्बाई 55 सेमी होगी। इस पूरे टुकड़े का क्षेत्रफल 577.5 वर्ग सेमी है।
🎯 Exam Tip: त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफल और चाप की लम्बाई के सूत्र हमेशा याद रखें। \( \pi \) का मान \( \frac{22}{7} \) या 3.14 का उपयोग प्रश्न के अनुसार करें।
प्रश्न 2. एक वृत्त की त्रिज्या 35 सेमी तथा एक चाप द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण 72° है। चाप की लम्बाई तथा त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए वृत्त की त्रिज्या \( r = 35 \) सेमी है और चाप द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण \( \theta = 72^\circ \) है।
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( A = \frac{72^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \)
\( A = \frac{1}{5} \times 22 \times 5 \times 35 \)
\( A = 22 \times 35 \)
\( A = 770 \) सेमी\(^2\)
चाप की लम्बाई \( l \) ज्ञात करने के लिए, हम क्षेत्रफल के सूत्र \( A = \frac{1}{2}lr \) का उपयोग करेंगे।
\( \frac{1}{2} \times l \times 35 = 770 \)
\( l = \frac{770 \times 2}{35} \)
\( l = \frac{1540}{35} \)
\( l = 44 \) सेमी
अतः, चाप की लम्बाई 44 सेमी है और त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 770 सेमी\(^2\) है। केंद्रीय कोण का उपयोग करके, हम वृत्त के किसी भी भाग का क्षेत्रफल और चाप की लम्बाई आसानी से निकाल सकते हैं।
In simple words: एक वृत्त की त्रिज्या 35 सेमी है और इसका एक टुकड़ा केंद्र पर 72 डिग्री का कोण बनाता है। इस टुकड़े की घुमावदार किनारे की लम्बाई 44 सेमी है, और इसका क्षेत्रफल 770 वर्ग सेमी है।
🎯 Exam Tip: चाप की लम्बाई का सीधा सूत्र \( l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \) भी है। आप दोनों में से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जो आपको सुविधाजनक लगे।
प्रश्न 3. 21 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त से एक त्रिज्यखण्ड काटा गया है। त्रिज्यखण्ड का कोण 120° है। चाप की लम्बाई तथा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए वृत्त की त्रिज्या \( r = 21 \) सेमी है और त्रिज्यखण्ड का कोण \( \theta = 120^\circ \) है।
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( A = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \)
\( A = \frac{1}{3} \times 22 \times 3 \times 21 \)
\( A = 22 \times 21 \)
\( A = 462 \) सेमी\(^2\)
चाप की लम्बाई \( l \) ज्ञात करने के लिए, हम क्षेत्रफल के सूत्र \( A = \frac{1}{2}lr \) का उपयोग करेंगे।
\( \frac{1}{2} \times l \times 21 = 462 \)
\( l = \frac{462 \times 2}{21} \)
\( l = \frac{924}{21} \)
\( l = 44 \) सेमी
अतः, चाप की लम्बाई 44 सेमी है और त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 462 सेमी\(^2\) है। त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफल को केंद्रीय कोण के अनुपात के रूप में देखा जा सकता है।
In simple words: 21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त से एक टुकड़ा काटा गया है जो केंद्र पर 120 डिग्री का कोण बनाता है। इस टुकड़े की घुमावदार किनारे की लम्बाई 44 सेमी है और इसका कुल क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी है।
🎯 Exam Tip: गणना करते समय, \( \theta/360^\circ \) भिन्न को पहले सरल कर लें, इससे आपकी गणना आसान हो जाएगी।
प्रश्न 4. वृत्त के एक चाप की लम्बाई 20 \( \pi \) सेमी है तथा जिसका केन्द्र पर कोण 144° है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए वृत्त के चाप की लम्बाई \( l = 20\pi \) सेमी है और केन्द्र पर बना कोण \( \theta = 144^\circ \) है। हमें वृत्त की त्रिज्या \( r \) ज्ञात करनी है।
चाप की लम्बाई का सूत्र है: \( l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \)
\( 20\pi = \frac{144^\circ}{360^\circ} \times 2\pi r \)
दोनों तरफ \( 2\pi \) से भाग देने पर:
\( 10 = \frac{144}{360} \times r \)
\( 10 = \frac{2}{5} \times r \)
\( r = 10 \times \frac{5}{2} \)
\( r = 25 \) सेमी
अतः, वृत्त की त्रिज्या 25 सेमी है। चाप की लम्बाई और केंद्रीय कोण के बीच का संबंध त्रिज्या ज्ञात करने में सहायक होता है।
In simple words: एक वृत्त के घुमावदार हिस्से की लम्बाई 20\( \pi \) सेमी है, और यह केंद्र पर 144 डिग्री का कोण बनाता है। इस वृत्त की त्रिज्या 25 सेमी है।
🎯 Exam Tip: जब भी चाप की लम्बाई दी गई हो, तो \( l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \) सूत्र का उपयोग करना सबसे सीधा तरीका होता है।
प्रश्न 5. एक वृत्त से 56° के कोण पर काटे गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 4.4 सेमी\(^2\) है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( A = 4.4 \) सेमी\(^2\) है और त्रिज्यखण्ड का कोण \( \theta = 56^\circ \) है। हमें वृत्त की त्रिज्या \( r \) ज्ञात करनी है।
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल का सूत्र है: \( A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( 4.4 = \frac{56^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times r^2 \)
\( 4.4 = \frac{7}{45} \times \frac{22}{7} \times r^2 \)
\( 4.4 = \frac{22}{45} \times r^2 \)
\( r^2 = \frac{4.4 \times 45}{22} \)
\( r^2 = \frac{44 \times 45}{220} \)
\( r^2 = \frac{2 \times 45}{10} \)
\( r^2 = 2 \times 4.5 \)
\( r^2 = 9 \)
\( r = \sqrt{9} \)
\( r = 3 \) सेमी
अतः, वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है। त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफल और कोण से त्रिज्या ज्ञात करना, वृत्तों से संबंधित समस्याओं को हल करने का एक सामान्य तरीका है।
In simple words: एक वृत्त का टुकड़ा जो 56 डिग्री का कोण बनाता है और जिसका क्षेत्रफल 4.4 वर्ग सेमी है, उस वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है।
🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं का उपयोग करते समय सावधानी बरतें। गणना को आसान बनाने के लिए, \( 4.4 \) को \( \frac{44}{10} \) के रूप में लिख सकते हैं।
प्रश्न 6. 5.2 सेमी की त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड की परिधि 16.4 सेमी है। त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए वृत्त की त्रिज्या \( r = 5.2 \) सेमी है और त्रिज्यखण्ड की परिधि \( P = 16.4 \) सेमी है।
त्रिज्यखण्ड की परिधि का सूत्र है: \( P = l + 2r \), जहाँ \( l \) चाप की लम्बाई है।
\( 16.4 = l + 2 \times 5.2 \)
\( 16.4 = l + 10.4 \)
\( l = 16.4 - 10.4 \)
\( l = 6 \) सेमी
अब, त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र \( A = \frac{1}{2}lr \) का उपयोग करेंगे।
\( A = \frac{1}{2} \times 6 \times 5.2 \)
\( A = 3 \times 5.2 \)
\( A = 15.6 \) सेमी\(^2\)
अतः, त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 15.6 सेमी\(^2\) है। परिधि से चाप की लम्बाई ज्ञात करके, हम आसानी से क्षेत्रफल निकाल सकते हैं।
In simple words: एक वृत्त के एक टुकड़े की त्रिज्या 5.2 सेमी है और उसकी कुल बाहरी लम्बाई (परिधि) 16.4 सेमी है। इस टुकड़े का क्षेत्रफल 15.6 वर्ग सेमी है।
🎯 Exam Tip: त्रिज्यखण्ड की परिधि के सूत्र को याद रखें, जिसमें चाप की लम्बाई और दोनों त्रिज्याएँ शामिल होती हैं।
प्रश्न 7. एक घड़ी की छोटी तथा बडी सुइयाँ क्रमशः 4 सेमी तथा 6 सेमी लम्बी हैं। दो दिन में इनके द्वारा चली गयी दूरियों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: घड़ी की छोटी सुई (घंटे की सुई) की लम्बाई \( r_1 = 4 \) सेमी है।
घड़ी की बड़ी सुई (मिनट की सुई) की लम्बाई \( r_2 = 6 \) सेमी है।
दो दिन में कुल घंटे \( = 2 \times 24 = 48 \) घंटे।
**छोटी सुई द्वारा चली गई दूरी:**
छोटी सुई 12 घंटे में एक चक्कर पूरा करती है।
तो, 48 घंटे में छोटी सुई द्वारा तय किए गए चक्करों की संख्या \( = \frac{48}{12} = 4 \) चक्कर।
एक चक्कर में चली गई दूरी \( = 2\pi r_1 \)
4 चक्करों में चली गई दूरी \( = 4 \times 2\pi r_1 = 8\pi r_1 \)
\( = 8 \times \frac{22}{7} \times 4 \)
\( = \frac{704}{7} \) सेमी
**बड़ी सुई द्वारा चली गई दूरी:**
बड़ी सुई 1 घंटे में एक चक्कर पूरा करती है।
तो, 48 घंटे में बड़ी सुई द्वारा तय किए गए चक्करों की संख्या \( = 48 \) चक्कर।
एक चक्कर में चली गई दूरी \( = 2\pi r_2 \)
48 चक्करों में चली गई दूरी \( = 48 \times 2\pi r_2 = 96\pi r_2 \)
\( = 96 \times \frac{22}{7} \times 6 \)
\( = \frac{12672}{7} \) सेमी
**दोनों सुईयों द्वारा चली गई दूरियों का कुल योग:**
कुल दूरी \( = \frac{704}{7} + \frac{12672}{7} \)
\( = \frac{704 + 12672}{7} \)
\( = \frac{13376}{7} \)
\( \approx 1910.857 \)
\( \approx 1910.86 \) सेमी
अतः, दोनों सुईयों द्वारा दो दिनों में चली गई दूरियों का कुल योग लगभग 1910.86 सेमी है। प्रत्येक सुई अपनी त्रिज्या के साथ एक वृत्ताकार पथ पर चलती है, जो उसके द्वारा तय की गई दूरी को निर्धारित करता है।
In simple words: एक घड़ी की छोटी सुई 4 सेमी और बड़ी सुई 6 सेमी लंबी है। दो दिनों में, छोटी सुई 4 चक्कर लगाती है और बड़ी सुई 48 चक्कर लगाती है। कुल मिलाकर, दोनों सुईयां मिलकर लगभग 1910.86 सेमी चलती हैं।
🎯 Exam Tip: घड़ी की सुईयों द्वारा तय की गई दूरी निकालते समय, उनके चक्करों की संख्या को सही ढंग से निर्धारित करना महत्वपूर्ण है। घंटे की सुई 12 घंटे में एक चक्कर, जबकि मिनट की सुई 1 घंटे में एक चक्कर पूरा करती है।
प्रश्न 8. एक वृत्त मे केन्द्र O तथा त्रिज्या 5 सेमी, एक जीवा AB की लम्बाई 5\( \sqrt{3} \) सेमी है। त्रिज्यखण्ड AOB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
Answer: दिए गए वृत्त की त्रिज्या \( r = 5 \) सेमी है और जीवा \( AB \) की लम्बाई \( 5\sqrt{3} \) सेमी है। हमें त्रिज्यखण्ड \( AOB \) का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। इसके लिए हमें केंद्रीय कोण \( \theta \) (अर्थात \( \angle AOB \)) ज्ञात करना होगा।
केन्द्र \( O \) से जीवा \( AB \) पर लंब \( OM \) डालें। यह जीवा को समद्विभाजित करता है।
तो, \( AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \) सेमी।
समकोण त्रिभुज \( \triangle AMO \) में:
\( \sin \alpha = \frac{AM}{AO} \)
\( \sin \alpha = \frac{5\sqrt{3}/2}{5} \)
\( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
क्योंकि \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), तो \( \alpha = 60^\circ \)।
केंद्रीय कोण \( \theta = \angle AOB = 2\alpha = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \)।
अब, त्रिज्यखण्ड \( AOB \) का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र \( A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \) का उपयोग करेंगे।
\( A = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (5)^2 \)
\( A = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \)
\( A = \frac{25\pi}{3} \) सेमी\(^2\)
अतः, त्रिज्यखण्ड \( AOB \) का क्षेत्रफल \( \frac{25\pi}{3} \) सेमी\(^2\) है। जीवा की लम्बाई से केंद्रीय कोण निकालना इस प्रकार के प्रश्नों में एक महत्वपूर्ण कदम है।
🎯 Exam Tip: ज्यामिति के प्रश्नों में आकृति बनाना बहुत महत्वपूर्ण है। इससे आपको समस्या को समझने और सही सूत्र लागू करने में मदद मिलती है। समकोण त्रिभुज के गुणों का उपयोग अक्सर किया जाता है।
प्रश्न 9. एक घड़ी की मिनट की सुई की लम्बाई \( \sqrt{21} \) सेमी है। घड़ी की मिनट की सुई द्वारा 7:00 A.M. तथा 7:05 A.M. के बीच में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
Answer: घड़ी की मिनट की सुई की लम्बाई \( r = \sqrt{21} \) सेमी है।
समय अवधि 7:00 A.M. से 7:05 A.M. तक है, जो कि 5 मिनट है।
मिनट की सुई 60 मिनट में \( 360^\circ \) का कोण बनाती है।
तो, 1 मिनट में बनाया गया कोण \( = \frac{360^\circ}{60} = 6^\circ \)।
5 मिनट में बनाया गया कोण \( \theta = 5 \times 6^\circ = 30^\circ \)।
मिनट की सुई द्वारा रचित क्षेत्रफल (त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल) का सूत्र है: \( A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( A = \frac{30^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (\sqrt{21})^2 \)
\( A = \frac{1}{12} \times \frac{22}{7} \times 21 \)
\( A = \frac{1}{12} \times 22 \times 3 \)
\( A = \frac{66}{12} \)
\( A = 5.5 \) सेमी\(^2\)
अतः, मिनट की सुई द्वारा 7:00 A.M. से 7:05 A.M. के बीच में रचित क्षेत्रफल 5.5 सेमी\(^2\) है। समय के साथ सुई की गति को कोण में बदलना इस गणना का आधार है।
In simple words: एक घड़ी की मिनट की सुई \( \sqrt{21} \) सेमी लंबी है। 7 बजे से 7:05 बजे तक, यह सुई 30 डिग्री घूमती है। इस दौरान यह 5.5 वर्ग सेमी का क्षेत्रफल तय करती है।
🎯 Exam Tip: घड़ी के कोणों की गणना करते समय, मिनट की सुई हर मिनट में 6° का कोण बनाती है, और घंटे की सुई हर मिनट में 0.5° का कोण बनाती है।
प्रश्न 10. 5 सेमी त्रिज्या की एक पुली के रिम पर प्रत्यास्थ (elastic) बेल्ट रखी है। बेल्ट के एक बिन्दु को केन्द्र O से 10 सेमी दूर बिन्दु P तक खींचा जाता है। पुली के रिम के सम्पर्क में आने वाली बेल्ट की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: पुली की त्रिज्या \( r = 5 \) सेमी है।
केन्द्र \( O \) से बिन्दु \( P \) की दूरी \( OP = 10 \) सेमी है।
जब बेल्ट को बिन्दु \( P \) तक खींचा जाता है, तो बेल्ट पुली के रिम को दो बिन्दुओं \( A \) और \( B \) पर स्पर्श करती है, जहाँ \( PA \) और \( PB \) वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
स्पर्श रेखा, स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या के लंबवत होती है। इसलिए, \( \triangle OAP \) और \( \triangle OBP \) समकोण त्रिभुज हैं, जहाँ \( \angle OAP = \angle OBP = 90^\circ \)।
समकोण त्रिभुज \( \triangle OAP \) में:
\( \sin(\angle OPA) = \frac{OA}{OP} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
इसका अर्थ है कि \( \angle OPA = 30^\circ \)।
तो, \( \angle AOP = 90^\circ - \angle OPA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)।
इसी प्रकार, \( \angle BOP = 60^\circ \)।
पुली के रिम के सम्पर्क में आने वाली बेल्ट का केंद्रीय कोण \( \theta = \angle AOB = \angle AOP + \angle BOP = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \)।
पुली के रिम के सम्पर्क में आने वाली बेल्ट की लम्बाई (चाप \( AB \) की लम्बाई) का सूत्र है:
\( l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \)
\( l = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 5 \)
\( l = \frac{1}{3} \times 10\pi \)
\( l = \frac{10\pi}{3} \) सेमी
अतः, पुली के रिम के सम्पर्क में आने वाली बेल्ट की लम्बाई \( \frac{10\pi}{3} \) सेमी है। यह समस्या स्पर्श रेखाओं और वृत्तों के गुणों का उपयोग करके हल की जाती है।
In simple words: 5 सेमी त्रिज्या वाली एक पुली से 10 सेमी दूर एक बिंदु से एक बेल्ट को खींचा जाता है। पुली के जिस हिस्से पर बेल्ट संपर्क में आती है, उसकी लम्बाई \( \frac{10\pi}{3} \) सेमी है।
🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखाओं से संबंधित समस्याओं में, त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच हमेशा 90° का कोण बनता है। इस गुण का उपयोग करके समकोण त्रिभुजों का निर्माण करें।
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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
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