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Detailed Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल UP Board Solutions for Class 10 Maths
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Class 10 Maths Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल UP Board Solutions PDF
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 12 Area Related to Circles Ex 12.1 वृत्तों से सम्बन्धित क्षेत्रफल
Question 1. एक वृत्त की त्रिज्या 8.4 सेमी है। वृत्त की परिधि तथा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:माना वृत्त की त्रिज्या \( r = 8.4 \) सेमी है।
वृत्त की परिधि ज्ञात करने के लिए सूत्र \( 2\pi r \) का उपयोग करेंगे।
परिधि \( = 2 \times \frac{22}{7} \times 8.4 \)
\( = 44 \times 1.2 \)
\( = 52.8 \) सेमी
वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र \( \pi r^2 \) का उपयोग करेंगे।
क्षेत्रफल \( = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 \)
\( = 22 \times 1.2 \times 8.4 \)
\( = 221.76 \) सेमी\(^2\)
अतः वृत्त की परिधि \( = 52.8 \) सेमी और क्षेत्रफल \( = 221.76 \) सेमी\(^2\) है।
In simple words: हमें एक वृत्त की त्रिज्या दी गई है। हमें उसका घेरा (परिधि) और जगह (क्षेत्रफल) निकालना है। हमने सही सूत्रों का इस्तेमाल करके दोनों मान निकाले हैं।
🎯 Exam Tip: वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल के सूत्र याद रखना बहुत ज़रूरी है; ध्यान रखें कि परिधि की इकाई सेमी और क्षेत्रफल की इकाई सेमी\(^2\) होती है।
Question 2. एक अर्द्धवृत्त आकार के प्रोटैक्टर का परिमाप 108 सेमी है। प्रोटैक्टर का व्यास ज्ञात कीजिए। [\( \pi = \frac{22}{7} \)]
Answer:माना अर्द्धवृत्त की त्रिज्या \( r \) सेमी है।
अर्द्धवृत्त का परिमाप उसके घुमावदार हिस्से (आधे वृत्त की परिधि) और सीधी लाइन (व्यास) को जोड़कर मिलता है।
अर्द्धवृत्त का परिमाप \( = \pi r + 2r \)
दिया गया है कि परिमाप \( = 108 \) सेमी
तो, \( 2r + \pi r = 108 \)
\( r(2 + \pi) = 108 \)
\( r(2 + \frac{22}{7}) = 108 \)
\( r(\frac{14+22}{7}) = 108 \)
\( r(\frac{36}{7}) = 108 \)
\( r = \frac{108 \times 7}{36} \)
\( r = 3 \times 7 \)
\( r = 21 \) सेमी
प्रोटैक्टर का व्यास \( = 2r \)
\( = 2 \times 21 \)
\( = 42 \) सेमी
In simple words: एक प्रोटेक्टर एक आधा-वृत्त होता है। उसका कुल किनारा (परिमाप) दिया गया है। हमने पहले उसकी त्रिज्या निकाली, फिर उस त्रिज्या का दोगुना करके उसका व्यास निकाला।
🎯 Exam Tip: अर्द्धवृत्त के परिमाप का सूत्र याद रखें, जिसमें सीधी भुजा (व्यास) को भी जोड़ा जाता है; यह अक्सर केवल आधे वृत्त की परिधि से भ्रमित हो जाता है।
Question 3. दो वृत्तों की परिधि 2:3 के अनुपात में है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
Answer:माना पहले वृत्त की त्रिज्या \( r_1 \) और दूसरे वृत्त की त्रिज्या \( r_2 \) है।
पहले वृत्त की परिधि \( = 2\pi r_1 \) और दूसरे वृत्त की परिधि \( = 2\pi r_2 \) है।
दिया गया है कि परिधियों का अनुपात \( = 2:3 \)
इसलिए, \( \frac{2\pi r_1}{2\pi r_2} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3} \)
अब, हमें उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करना है।
पहले वृत्त का क्षेत्रफल \( = \pi r_1^2 \)
दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल \( = \pi r_2^2 \)
क्षेत्रफलों का अनुपात \( = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} \)
\( = (\frac{r_1}{r_2})^2 \)
\( = (\frac{2}{3})^2 \)
\( = \frac{4}{9} \)
इसलिए, क्षेत्रफलों का अनुपात \( = 4:9 \) है। जब त्रिज्याओं का अनुपात 2:3 होता है, तो क्षेत्रफलों का अनुपात हमेशा उनके वर्ग के अनुपात में होता है।
In simple words: दो गोलों के घेरों का अनुपात दिया गया है। घेरों के अनुपात से हमने उनकी त्रिज्याओं का अनुपात निकाला। फिर उस त्रिज्या के अनुपात का वर्ग करके हमने उनके क्षेत्रफलों का अनुपात पाया।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि यदि दो वृत्तों की त्रिज्याओं का अनुपात \( a:b \) है, तो उनकी परिधियों का अनुपात भी \( a:b \) होगा, लेकिन उनके क्षेत्रफलों का अनुपात \( a^2:b^2 \) होगा।
Question 4. एक समबाहु त्रिभुज के अन्तर्गत वृत्त का क्षेत्रफल 154 सेमी है। त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए। (\( \pi = \frac{22}{7} \), \( \sqrt{3} = 1.73 \))
Answer:माना समबाहु त्रिभुज ABC की प्रत्येक भुजा \( a \) सेमी है और उसके अन्तर्गत वृत्त की त्रिज्या \( r \) सेमी है।
वृत्त का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
दिया गया है कि वृत्त का क्षेत्रफल \( = 154 \) सेमी\(^2\)
\( \frac{22}{7} r^2 = 154 \)
\( r^2 = \frac{154 \times 7}{22} \)
\( r^2 = 7 \times 7 \)
\( r = \sqrt{49} \)
\( r = 7 \) सेमी
एक समबाहु त्रिभुज में, केन्द्र से किसी भी भुजा पर डाला गया लम्ब उस भुजा को आधा कर देता है और शीर्ष कोण को भी आधा कर देता है।
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण \( 60^\circ \) होता है।
त्रिभुज OBN में, \( \angle OBN = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ \)
यहां \( ON = r \) और \( BN = \frac{a}{2} \)
\( \tan 30^\circ = \frac{ON}{BN} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{r}{a/2} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2r}{a} \)
\( a = 2r\sqrt{3} \)
\( a = 2 \times 7 \times \sqrt{3} \)
\( a = 14\sqrt{3} \) सेमी
त्रिभुज का परिमाप \( = 3a \)
\( = 3 \times 14\sqrt{3} \)
\( = 42\sqrt{3} \)
\( = 42 \times 1.73 \)
\( = 72.66 \approx 72.7 \) सेमी
अतः समबाहु त्रिभुज का परिमाप लगभग \( 72.7 \) सेमी है। यह दिखाता है कि कैसे ज्यामितीय आकृतियों के विभिन्न मापों को एक-दूसरे से संबंधित किया जा सकता है।
In simple words: एक समबाहु त्रिभुज के अंदर एक गोला है। हमें गोले का क्षेत्रफल पता है। पहले हमने गोले की त्रिज्या निकाली। फिर उस त्रिज्या की मदद से हमने त्रिभुज की भुजा की लंबाई निकाली। आखिर में, त्रिभुज की तीनों भुजाओं को जोड़कर उसका परिमाप ज्ञात किया।
🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के अंदर बने वृत्त की त्रिज्या (\( r \)) और त्रिभुज की भुजा (\( a \)) के बीच संबंध (\( a = 2r\sqrt{3} \)) को याद रखना ऐसे प्रश्नों को हल करने में बहुत मददगार होता है।
Question 5. एक वृत्त के अन्दर एक वर्ग खींचा गया है। वृत्त व वर्ग के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer:माना वृत्त का केंद्र O है और त्रिज्या \( r \) इकाई है।
माना वृत्त के अंदर खींचे गए वर्ग ABCD की भुजा \( a \) इकाई है।
वृत्त के अंदर बने वर्ग का विकर्ण वृत्त का व्यास होता है।
वर्ग का विकर्ण \( = a\sqrt{2} \)
वृत्त का व्यास \( = 2r \)
तो, \( a\sqrt{2} = 2r \)
\( a = \frac{2r}{\sqrt{2}} \)
\( a = \sqrt{2}r \) इकाई
वृत्त का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
वर्ग का क्षेत्रफल \( = a^2 \)
\( = (\sqrt{2}r)^2 \)
\( = 2r^2 \)
वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफलों का अनुपात \( = \frac{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}}{\text{वर्ग का क्षेत्रफल}} \)
\( = \frac{\pi r^2}{2r^2} \)
\( = \frac{\pi}{2} \)
यह अनुपात \( \pi : 2 \) के बराबर है। यह दर्शाता है कि वृत्त का क्षेत्रफल हमेशा अंदर बने वर्ग के क्षेत्रफल से अधिक होता है।
In simple words: एक वृत्त के अंदर एक चौकोर आकृति (वर्ग) बनाई गई है। हमने वृत्त की त्रिज्या और वर्ग की भुजा के बीच का रिश्ता पता किया। फिर वृत्त और वर्ग दोनों का क्षेत्रफल निकालकर उनका अनुपात निकाला।
🎯 Exam Tip: जब कोई वर्ग वृत्त के अंदर हो, तो वर्ग का विकर्ण हमेशा वृत्त के व्यास के बराबर होता है; यह संबंध ही इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने की कुंजी है।
Question 6. एक वलय के आकार का दौड़ने वाला पथ है। जिसकी आन्तरिक परिधि 352 मीटर तथा बाह्य परिधि 396 मीटर है। पथ की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer:माना वलय की बाह्य त्रिज्या \( R \) मीटर है और आन्तरिक त्रिज्या \( r \) मीटर है।
वलय की बाह्य परिधि \( = 2\pi R \)
दिया गया है कि बाह्य परिधि \( = 396 \) मीटर
\( 2 \times \frac{22}{7} \times R = 396 \)
\( \frac{44}{7} R = 396 \)
\( R = \frac{396 \times 7}{44} \)
\( R = 9 \times 7 \)
\( R = 63 \) मीटर
वलय की आन्तरिक परिधि \( = 2\pi r \)
दिया गया है कि आन्तरिक परिधि \( = 352 \) मीटर
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r = 352 \)
\( \frac{44}{7} r = 352 \)
\( r = \frac{352 \times 7}{44} \)
\( r = 8 \times 7 \)
\( r = 56 \) मीटर
पथ की चौड़ाई \( = R - r \)
\( = 63 - 56 \)
\( = 7 \) मीटर
अतः दौड़ने वाले पथ की चौड़ाई \( 7 \) मीटर है। यह दर्शाता है कि परिधि के माप से हम आसानी से ऐसे वलय की चौड़ाई ज्ञात कर सकते हैं।
In simple words: एक दौड़ने के रास्ते का बाहरी और भीतरी किनारा (परिधि) दिया गया है। पहले हमने बाहरी परिधि से रास्ते की बाहरी त्रिज्या निकाली। फिर भीतरी परिधि से भीतरी त्रिज्या निकाली। दोनों त्रिज्याओं के अंतर से हमें रास्ते की चौड़ाई मिल गई।
🎯 Exam Tip: वलय की चौड़ाई ज्ञात करने के लिए हमेशा बड़ी त्रिज्या में से छोटी त्रिज्या को घटाएँ, और गणना में पाई (\( \pi \)) का मान सही ढंग से उपयोग करें।
Question 7. एक तार को 28 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में मोड़ा गया है। दोबारा इससे एक वर्ग बनाया जाता है। वर्ग की भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:तार को पहले \( 28 \) सेमी त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में मोड़ा गया है।
इस वृत्त की परिधि तार की कुल लम्बाई होगी।
वृत्त की परिधि \( = 2\pi r \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 28 \)
\( = 2 \times 22 \times 4 \)
\( = 176 \) सेमी
अब, इसी तार से एक वर्ग बनाया जाता है।
वर्ग का परिमाप तार की लम्बाई के बराबर होगा।
माना वर्ग की भुजा की लम्बाई \( a \) सेमी है।
वर्ग का परिमाप \( = 4a \)
तो, \( 4a = 176 \)
\( a = \frac{176}{4} \)
\( a = 44 \) सेमी
अतः वर्ग की भुजा की लम्बाई \( 44 \) सेमी है। यह दर्शाता है कि समान तार से बनी आकृतियों का परिमाप समान होता है।
In simple words: एक तार को पहले गोल आकार (वृत्त) दिया गया, जिसकी त्रिज्या हमें पता है। फिर उसी तार को मोड़कर चौकोर आकार (वर्ग) बनाया गया। हमने पहले वृत्त का घेरा (परिधि) निकाला, जो तार की कुल लंबाई है। फिर उसी लंबाई को वर्ग के परिमाप के बराबर रखकर वर्ग की एक भुजा की लंबाई निकाली।
🎯 Exam Tip: जब एक आकृति को दूसरी आकृति में बदला जाता है, तो तार की कुल लंबाई या सामग्री की मात्रा समान रहती है; इसलिए, परिमाप या आयतन को बराबर रखें।
Question 8. एक बस के पहिए का व्यास 140 सेमी है। 66 किमी/घण्टा की चाल प्राप्त करने के लिए पहिये को एक मिनट में कितने चक्कर काटने पड़ेंगे?
Answer:पहिए का व्यास \( = 140 \) सेमी
पहिए की त्रिज्या \( r = \frac{140}{2} = 70 \) सेमी
बस की चाल \( = 66 \) किमी/घण्टा
चाल को सेमी/मिनट में बदलते हैं:
\( 1 \) घण्टा \( = 60 \) मिनट
\( 1 \) किमी \( = 100000 \) सेमी
\( 66 \) किमी/घण्टा \( = \frac{66 \times 100000}{60} \) सेमी/मिनट
\( = 11 \times 10000 = 110000 \) सेमी/मिनट
तो, बस \( 1 \) मिनट में \( 110000 \) सेमी की दूरी तय करती है।
पहिए द्वारा \( 1 \) चक्कर में तय की गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है।
पहिए की परिधि \( = 2\pi r \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 70 \)
\( = 2 \times 22 \times 10 \)
\( = 440 \) सेमी
चक्करों की संख्या \( = \frac{\text{1 मिनट में तय की गई कुल दूरी}}{\text{1 चक्कर में तय की गई दूरी}} \)
\( = \frac{110000}{440} \)
\( = \frac{11000}{44} \)
\( = 250 \)
अतः बस के पहिए को \( 1 \) मिनट में \( 250 \) चक्कर काटने पड़ेंगे। यह गति और दूरी के बीच के संबंध को दर्शाता है।
In simple words: एक बस के पहिए का व्यास और बस की गति दी गई है। हमने पहले पहिए की त्रिज्या निकाली और फिर एक चक्कर में पहिया कितनी दूर चलता है, यह ज्ञात किया। उसके बाद, बस एक मिनट में कितनी दूर चलती है, यह निकाला। आखिर में, एक मिनट में तय की गई कुल दूरी को एक चक्कर में तय की गई दूरी से भाग करके कुल चक्करों की संख्या निकाली।
🎯 Exam Tip: चाल और दूरी से संबंधित प्रश्नों में, सभी इकाइयों को एक समान (जैसे सेमी और मिनट) में बदलना सुनिश्चित करें, ताकि गणना सही हो।
Question 9. एक कागज की शीट आयत ABCD के रूप की इस प्रकार है कि AB = 40 सेमी और AD = 28 सेमी। एक अर्द्ध वृत्ताकार भाग जिसका व्यास BC है, इसमें से काटा गया है। शेष बची शीट का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:आयताकार शीट ABCD की लंबाई \( AB = 40 \) सेमी और चौड़ाई \( AD = 28 \) सेमी है।
आयताकार शीट का कुल क्षेत्रफल \( = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\( = 40 \times 28 \)
\( = 1120 \) सेमी\(^2\)
एक अर्द्ध वृत्ताकार भाग काटा गया है जिसका व्यास \( BC \) है।
क्योंकि यह एक आयत है, \( BC = AD = 28 \) सेमी।
अर्द्धवृत्त का व्यास \( = 28 \) सेमी
अर्द्धवृत्त की त्रिज्या \( r = \frac{28}{2} = 14 \) सेमी
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \pi r^2 \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \)
\( = 11 \times 14 \times 2 \)
\( = 308 \) सेमी\(^2\)
शेष बची शीट का क्षेत्रफल \( = \text{आयताकार शीट का कुल क्षेत्रफल} - \text{अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल} \)
\( = 1120 - 308 \)
\( = 812 \) सेमी\(^2\)
अतः शेष बची शीट का क्षेत्रफल \( 812 \) सेमी\(^2\) है। यह एक व्यावहारिक समस्या का उदाहरण है, जहाँ हम जटिल आकृतियों को सरल आकृतियों में तोड़कर क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।
In simple words: हमारे पास एक आयताकार कागज की शीट है, जिसकी लंबाई और चौड़ाई पता है। इसमें से एक आधा-वृत्त काटा गया है, जिसका व्यास आयत की एक भुजा है। पहले हमने पूरे आयत का क्षेत्रफल निकाला। फिर उस कटे हुए आधे-वृत्त का क्षेत्रफल निकाला। आखिर में, आयत के कुल क्षेत्रफल में से आधे-वृत्त का क्षेत्रफल घटाकर बचे हुए कागज का क्षेत्रफल पता किया।
🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले कुल क्षेत्रफल की गणना करें, फिर काटे गए या हटाए गए भाग का क्षेत्रफल निकालें, और अंत में दोनों को घटाकर शेष क्षेत्रफल प्राप्त करें।
Question 10. एक लड़का 140 प्रति मिनट चक्करों के हिसाब से साइकिल चलाता है। यदि पहिये का व्यास 60 सेमी है। तो लड़के द्वारा चलायी गयी साइकिल की चाल प्रति घण्टा ज्ञात कीजिए।
Answer:पहिये का व्यास \( = 60 \) सेमी
पहिये की त्रिज्या \( r = \frac{60}{2} = 30 \) सेमी
पहिए द्वारा \( 1 \) चक्कर में चली गई दूरी उसकी परिधि के बराबर होती है।
परिधि \( = 2\pi r \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 30 \)
\( = \frac{1320}{7} \) सेमी
लड़का प्रति मिनट \( 140 \) चक्कर लगाता है।
तो, \( 1 \) मिनट में चली गई कुल दूरी \( = 140 \times \frac{1320}{7} \)
\( = 20 \times 1320 \)
\( = 26400 \) सेमी
हमें चाल किमी/घण्टा में ज्ञात करनी है, इसलिए दूरी को किमी में और समय को घण्टा में बदलते हैं।
\( 26400 \) सेमी \( = \frac{26400}{100 \times 1000} \) किमी
\( = 0.264 \) किमी
तो, \( 1 \) मिनट में चली गई दूरी \( = 0.264 \) किमी
\( 1 \) घण्टा \( = 60 \) मिनट
\( 60 \) मिनट में चली गई दूरी \( = 0.264 \times 60 \)
\( = 15.84 \) किमी
साइकिल की चाल \( = 15.84 \) किमी/घण्टा है। यह दर्शाता है कि एक मिनट में तय की गई दूरी को घंटे में बदलकर हम चाल की गणना कैसे कर सकते हैं।
In simple words: हमें साइकिल के पहिए का व्यास और एक मिनट में पहिए के घूमने की संख्या दी गई है। पहले हमने पहिए की त्रिज्या से एक चक्कर में तय की गई दूरी निकाली। फिर एक मिनट में कितने चक्कर लगे, उससे एक मिनट में कुल कितनी दूरी तय हुई, यह निकाला। आखिर में, इस दूरी को किलोमीटर प्रति घंटे में बदलकर साइकिल की चाल ज्ञात की।
🎯 Exam Tip: गति के प्रश्नों में इकाइयों का सही रूपांतरण (सेमी को किमी में, मिनट को घण्टा में) बहुत महत्वपूर्ण है; छोटी सी गलती पूरे उत्तर को बदल सकती है।
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