UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 11 Height and Distance Ex 113

प्रश्न 1. 15 मीटर ऊँची एक इमारत के शीर्ष से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। तथा इस इमारत के पाद से उस मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई तथा इमारत व मीनार के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। \( \sqrt{{3}} \) = 1.732]
Answer: माना मीनार की ऊँचाई \( \text{BC} = \text{h} \) मीटर है और इमारत व मीनार के बीच की दूरी \( \text{AB} = \text{x} \) मीटर है। इमारत की ऊँचाई 15 मीटर है।

समकोण \( \triangle \text{ABC} \) में,
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} \)
\( \implies \tan 60^\circ = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{h} = \sqrt{3} \text{x} \) ...(1)

तथा समकोण \( \triangle \text{DEC} \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{EC}}{\text{DE}} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{\text{h}-15}{\text{x}} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{h}-15}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = \sqrt{3} (\text{h}-15) \) ...(2)

समीकरण (1) से \( \text{h} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \text{x} = \sqrt{3} (\sqrt{3} \text{x} - 15) \)
\( \implies \text{x} = 3\text{x} - 15\sqrt{3} \)
\( \implies 2\text{x} = 15\sqrt{3} \)
\( \implies \text{x} = \frac{15\sqrt{3}}{2} \)
\( \implies \text{x} = \frac{15 \times 1.732}{2} \)
\( \implies \text{x} = 15 \times 0.866 \)
\( \implies \text{x} = 12.99 \) मीटर

अब \( \text{x} \) का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\( \text{h} = \sqrt{3} \times 12.99 \)
\( \implies \text{h} = 1.732 \times 12.99 \)
\( \implies \text{h} = 22.47468 \approx 22.5 \) मीटर
इस तरह, मीनार की ऊँचाई लगभग 22.5 मीटर है, और यह इमारत से 12.99 मीटर दूर है। त्रिकोणमिति हमें ऊँचाई और दूरी जैसी अज्ञात मापें खोजने में मदद करती है।
In simple words: हमने त्रिकोणमिति का उपयोग करके मीनार की ऊँचाई 22.5 मीटर और इमारत से उसकी दूरी 12.99 मीटर निकाली।

🎯 Exam Tip: ऊँचाई और दूरी के प्रश्नों में, हमेशा एक स्पष्ट, लेबल वाला चित्र बनाना सुनिश्चित करें। यह समीकरणों को सही ढंग से सेट करने में मदद करता है।

 

प्रश्न 2. पानी की सतह से 16 मीटर ऊपर एक जहाज की छत पर खड़े एक व्यक्ति का एक पहाड़ी के शीर्ष एवं पाद से उन्नयन कोण एवं अवनमन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं। पहाड़ी की ऊँचाई व उसकी जहाज से दूरी ज्ञात कीजिए। \( \sqrt{{3}} \) = 1.732]
Answer: माना पहाड़ी की ऊँचाई \( \text{BE} = \text{h} \) मीटर है और पहाड़ी से जहाज की दूरी \( \text{AB} = \text{x} \) मीटर है। जहाज पर व्यक्ति की ऊँचाई \( \text{AC} = 16 \) मीटर है। जहाज पर व्यक्ति की स्थिति से पहाड़ी के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है और पहाड़ी के पाद का अवनमन कोण 30° है।

समकोण \( \triangle \text{CDB} \) में, (जहाँ \( \text{CD} \) क्षैतिज रेखा है)
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{DB}}{\text{CD}} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{16}{\text{x}} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = 16\sqrt{3} \) ...(1)

तथा समकोण \( \triangle \text{CDE} \) में,
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{ED}}{\text{CD}} \)
\( \implies \tan 60^\circ = \frac{\text{h}-16}{\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{\text{h}-16}{\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3}\text{x} = \text{h}-16 \) ...(2)

समीकरण (1) से \( \text{x} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \sqrt{3} (16\sqrt{3}) = \text{h}-16 \)
\( \implies 48 = \text{h}-16 \)
\( \implies \text{h} = 48 + 16 \)
\( \implies \text{h} = 64 \) मीटर

अब \( \text{x} \) का मान ज्ञात करने पर,
\( \text{x} = 16\sqrt{3} \)
\( \implies \text{x} = 16 \times 1.732 \)
\( \implies \text{x} = 27.712 \approx 27.71 \) मीटर
इसलिए, पहाड़ी की ऊँचाई 64 मीटर है, और जहाज से पहाड़ी की दूरी 27.71 मीटर है। इन मापों को निकालने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करना बहुत उपयोगी होता है।
In simple words: पहाड़ी की ऊँचाई 64 मीटर है और जहाज उससे 27.71 मीटर दूर है। हमने कोणों का उपयोग करके ये दूरियाँ निकालीं।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप उन्नयन और अवनमन कोणों को चित्र में सही ढंग से लेबल करते हैं, क्योंकि यह अक्सर छात्रों द्वारा की जाने वाली एक सामान्य गलती है।

 

प्रश्न 3. समुद्र तल से 100 मीटर ऊँचे प्रकाश ग्रह के शिखर से प्रकाश ग्रह की ओर जाते हुए जहाज का अवनमन कोण 30° से बढ़कर 60° हो जाता है। निरीक्षण काल में जहाज द्वारा तय की गयी दूरी ज्ञात कीजिए । \( \sqrt{{3}} \) = 1.732]
Answer: माना प्रकाश स्तंभ की ऊँचाई \( \text{BC} = 100 \) मीटर है। जहाज पहले बिंदु \( \text{A} \) पर था, फिर चलकर बिंदु \( \text{D} \) पर आ गया। जहाज द्वारा चली गई दूरी \( \text{AD} = \text{x} \) मीटर है। प्रकाश स्तंभ के आधार से बिंदु \( \text{D} \) की दूरी \( \text{DB} = \text{y} \) मीटर है।

समकोण \( \triangle \text{DBC} \) में,
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{BC}}{\text{DB}} \)
\( \implies \tan 60^\circ = \frac{100}{\text{y}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{100}{\text{y}} \)
\( \implies \text{y} = \frac{100}{\sqrt{3}} \) ...(1)

तथा समकोण \( \triangle \text{ABC} \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{100}{\text{x}+\text{y}} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{\text{x}+\text{y}} \)
\( \implies \text{x}+\text{y} = 100\sqrt{3} \) ...(2)

समीकरण (1) से \( \text{y} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \text{x} + \frac{100}{\sqrt{3}} = 100\sqrt{3} \)
\( \implies \text{x} = 100\sqrt{3} - \frac{100}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \text{x} = \frac{100 \times 3 - 100}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \text{x} = \frac{300 - 100}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \text{x} = \frac{200}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \text{x} = \frac{200 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \)
\( \implies \text{x} = \frac{200 \times 1.732}{3} \)
\( \implies \text{x} = \frac{346.4}{3} \)
\( \implies \text{x} = 115.466... \approx 115.47 \) मीटर
तो, निरीक्षण के दौरान जहाज ने 115.47 मीटर की दूरी तय की। यह दिखाता है कि कैसे दूरियों को कोणों के बदलाव से मापा जा सकता है।
In simple words: जहाज ने प्रकाश स्तंभ की ओर 115.47 मीटर की दूरी तय की, क्योंकि उसके देखने का कोण बदल गया था।

🎯 Exam Tip: जब जहाज प्रकाश स्तंभ की ओर बढ़ता है, तो अवनमन कोण बढ़ता है। चित्र में इस संबंध को सही ढंग से दर्शाना याद रखें।

 

प्रश्न 4. एक प्रकाश स्तम्भ के एक ओर दो जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 30° हैं। यदि दोनों जहाजों के बीच की दूरी 200 मीटर है तो प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। हलः माना प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई BC = h मीटर तथा BD = x मीटर समकोण △DBC में,
Answer: माना प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई \( \text{BC} = \text{h} \) मीटर है। जहाज \( \text{D} \) और \( \text{A} \) पर हैं। प्रकाश स्तम्भ के आधार से जहाज \( \text{D} \) की दूरी \( \text{BD} = \text{x} \) मीटर है। दोनों जहाजों के बीच की दूरी \( \text{AD} = 200 \) मीटर है।

समकोण \( \triangle \text{DBC} \) में,
\( \tan 45^\circ = \frac{\text{BC}}{\text{DB}} \)
\( \implies \tan 45^\circ = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies 1 = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = \text{h} \) ...(1)

तथा समकोण \( \triangle \text{ABC} \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{\text{h}}{\text{x}+200} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{h}}{\text{x}+200} \)
\( \implies \sqrt{3}\text{h} = \text{x}+200 \)
\( \implies \text{x} = \sqrt{3}\text{h} - 200 \) ...(2)

समीकरण (1) से \( \text{x} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \text{h} = \sqrt{3}\text{h} - 200 \)
\( \implies 200 = \sqrt{3}\text{h} - \text{h} \)
\( \implies 200 = \text{h}(\sqrt{3} - 1) \)
\( \implies \text{h} = \frac{200}{\sqrt{3} - 1} \)
हर का परिमेयकरण करने पर,
\( \text{h} = \frac{200 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} \)
\( \implies \text{h} = \frac{200 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - (1)^2} \)
\( \implies \text{h} = \frac{200 (\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} \)
\( \implies \text{h} = \frac{200 (1.732 + 1)}{2} \)
\( \implies \text{h} = 100 \times 2.732 \)
\( \implies \text{h} = 273.2 \) मीटर
तो, प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई 273.2 मीटर है। यह दिखाता है कि कैसे दूरियों को कोणों और जहाजों के बीच की दूरी का उपयोग करके मापा जा सकता है।
In simple words: प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई 273.2 मीटर है। हमने दो जहाजों के देखने के कोणों का उपयोग करके यह ऊँचाई निकाली।

🎯 Exam Tip: हर का परिमेयकरण करना गणितीय समीकरणों को सरल बनाने के लिए एक महत्वपूर्ण कदम है, खासकर जब हर में अपरिमेय संख्याएँ हों।

 

प्रश्न 5. एक मीनार के शीर्ष से सतह पर एक बिन्दु A से उन्नयन कोण 30° है। मीनार के पाद की ओर 20 मीटर चलने पर प्राप्त बिन्दु B से यह उन्नयन कोण 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई तथा इसकी बिन्दु A से दूरी ज्ञात कीजिए। हलः माना, मीनार की ऊँचाई CD = h मीटर तथा BC = x मीटर
Answer: माना मीनार की ऊँचाई \( \text{CD} = \text{h} \) मीटर है। मीनार के पाद \( \text{D} \) से बिंदु \( \text{B} \) की दूरी \( \text{BD} = \text{x} \) मीटर है। मीनार के पाद की ओर 20 मीटर चलने पर बिंदु \( \text{A} \) से \( \text{B} \) तक की दूरी \( \text{AB} = 20 \) मीटर है।

समकोण \( \triangle \text{BCD} \) में,
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{CD}}{\text{BD}} \)
\( \implies \tan 60^\circ = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{h} = \sqrt{3}\text{x} \) ...(1)

तथा समकोण \( \triangle \text{ACD} \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{CD}}{\text{AD}} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{\text{h}}{\text{x}+20} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{h}}{\text{x}+20} \)
\( \implies \text{x}+20 = \sqrt{3}\text{h} \) ...(2)

समीकरण (1) से \( \text{h} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \text{x}+20 = \sqrt{3} (\sqrt{3}\text{x}) \)
\( \implies \text{x}+20 = 3\text{x} \)
\( \implies 20 = 2\text{x} \)
\( \implies \text{x} = 10 \) मीटर

अब \( \text{x} \) का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\( \text{h} = \sqrt{3} \times 10 \)
\( \implies \text{h} = 1.732 \times 10 \)
\( \implies \text{h} = 17.32 \) मीटर

अतः मीनार की ऊँचाई 17.32 मीटर है और बिंदु \( \text{A} \) से मीनार के पाद तक की दूरी \( \text{AD} = \text{x}+20 = 10+20 = 30 \) मीटर है। यह एक व्यावहारिक उदाहरण है कि कैसे त्रिकोणमिति का उपयोग करके अज्ञात ऊँचाई और दूरियों को निर्धारित किया जा सकता है।
In simple words: मीनार की ऊँचाई 17.32 मीटर है। बिंदु A से मीनार 30 मीटर दूर है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप प्रश्न में दिए गए कोणों और दूरियों को चित्र में सही ढंग से रखते हैं, खासकर जब कोई वस्तु की ओर बढ़ रहा हो या उससे दूर जा रहा हो।

 

प्रश्न 6. 7 मीटर ऊँची एक इमारत के शीर्ष से, एक केबल टॉवर के शीर्ष पर उन्नयन कोण 60° है तथा टॉवर के पाद पर अवनमन कोण 30° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए । हलः माना टॉवर की ऊँचाई BC = h मीटर तथा AB = x मीटर समकोण △ABD में,
Answer: माना केबल टॉवर की ऊँचाई \( \text{BC} = \text{h} \) मीटर है। इमारत की ऊँचाई 7 मीटर है, जहाँ से प्रेक्षक टॉवर को देख रहा है। इमारत और टॉवर के बीच की दूरी \( \text{AB} = \text{x} \) मीटर है।

समकोण \( \triangle \text{ABD} \) में, (जहाँ \( \text{D} \) इमारत का शीर्ष है)
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{AD}}{\text{AB}} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{7}{\text{x}} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{7}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = 7\sqrt{3} \) ...(1)

तथा समकोण \( \triangle \text{DEC} \) में, (जहाँ \( \text{DE} \) क्षैतिज रेखा है)
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{EC}}{\text{DE}} \)
\( \implies \tan 60^\circ = \frac{\text{h}-7}{\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{\text{h}-7}{\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3}\text{x} = \text{h}-7 \) ...(2)

समीकरण (1) से \( \text{x} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \sqrt{3} (7\sqrt{3}) = \text{h}-7 \)
\( \implies 21 = \text{h}-7 \)
\( \implies \text{h} = 21 + 7 \)
\( \implies \text{h} = 28 \) मीटर

अतः टॉवर की ऊँचाई 28 मीटर है। इस तरह के प्रश्न हमें सिखाते हैं कि कैसे दूरियों और ऊँचाइयों को मापने के लिए कोणों का उपयोग किया जा सकता है।
In simple words: केबल टॉवर की ऊँचाई 28 मीटर है। हमने इमारत के शीर्ष से टॉवर को देखकर यह ऊँचाई पता लगाई।

🎯 Exam Tip: जब दो अलग-अलग ऊँचाई वाली वस्तुओं को देखा जाता है, तो दो समकोण त्रिभुज बनते हैं। प्रत्येक त्रिभुज के लिए सही त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करें।

 

प्रश्न 7. एक हवाई जहाज 210 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। किसी क्षण नदी के दोनों किनारों पर विपरीत दिशा में स्थित है दो बिन्दुओं से हवाई जहाज के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हैं। नदी की चौडाई ज्ञात कीजिए । \( \sqrt{{3}} \) = 1.73] हलः माना, नदी की चौड़ाई AD = x मीटर तथा BD = y मीटर समकोण △DBC में,
Answer: माना हवाई जहाज 210 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। बिंदु \( \text{C} \) पर हवाई जहाज की स्थिति है, और \( \text{B} \) नदी की सतह पर ठीक नीचे का बिंदु है। तो \( \text{BC} = 210 \) मीटर है। नदी के किनारे \( \text{A} \) और \( \text{D} \) पर हैं, जो \( \text{B} \) के विपरीत दिशाओं में हैं। नदी की चौड़ाई \( \text{AD} \) है।

समकोण \( \triangle \text{DBC} \) में, (जहाँ \( \text{D} \) एक किनारा है)
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{BC}}{\text{BD}} \)
\( \implies \tan 60^\circ = \frac{210}{\text{y}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{210}{\text{y}} \)
\( \implies \text{y} = \frac{210}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \text{y} = \frac{210\sqrt{3}}{3} \)
\( \implies \text{y} = 70\sqrt{3} \) मीटर ...(1)

तथा समकोण \( \triangle \text{ABC} \) में, (जहाँ \( \text{A} \) दूसरा किनारा है)
\( \tan 45^\circ = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} \)
\( \implies \tan 45^\circ = \frac{210}{\text{x}-\text{y}} \)
\( \implies 1 = \frac{210}{\text{x}-\text{y}} \)
\( \implies \text{x}-\text{y} = 210 \)
\( \implies \text{x} = 210 + \text{y} \) ...(2)

समीकरण (1) से \( \text{y} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \text{x} = 210 + 70\sqrt{3} \)
\( \implies \text{x} = 210 + 70 \times 1.73 \)
\( \implies \text{x} = 210 + 121.1 \)
\( \implies \text{x} = 331.1 \) मीटर

अतः नदी की चौड़ाई 331.1 मीटर है। यह दर्शाता है कि कैसे दूर के बिंदुओं के बीच की दूरी का अनुमान लगाया जा सकता है, भले ही वे सीधे सुलभ न हों।
In simple words: नदी की चौड़ाई 331.1 मीटर है। हमने हवाई जहाज से किनारे के कोणों को देखकर यह मापा।

🎯 Exam Tip: विपरीत किनारों पर बिंदुओं के लिए अवनमन कोणों का उपयोग करते समय, हमेशा सुनिश्चित करें कि आप नदी की कुल चौड़ाई की गणना करने के लिए दोनों दूरियों को जोड़ते हैं।

 

प्रश्न 8. सतह से 60 मीटर ऊपर एक घर की खिडकी का विपरीत दिशा में स्थित दसरे घर के शीर्ष व पाद से उन्नयन व अवनमन कोण क्रमशः 60° व 45° हैं। सिद्ध कीजिए कि विपरीत दिशा में स्थित घर की ऊँचाई 60(1 + \( \sqrt{{3}} \)) मीटर है। हलः माना, घर की ऊँचाई AE = h मीटर तथा AB = x मीटर समकोण △ ABC में,
Answer: माना पहला घर \( \text{CB} \) है जिसकी ऊँचाई 60 मीटर है, जहाँ \( \text{C} \) खिड़की है। दूसरा घर \( \text{AE} \) है जिसकी ऊँचाई \( \text{h} \) मीटर है। दोनों घरों के बीच की दूरी \( \text{AB} = \text{x} \) मीटर है।

समकोण \( \triangle \text{CAB} \) में, (जहाँ \( \text{C} \) खिड़की है)
\( \tan 45^\circ = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} \)
\( \implies \tan 45^\circ = \frac{60}{\text{x}} \)
\( \implies 1 = \frac{60}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = 60 \) मीटर ...(1)

तथा समकोण \( \triangle \text{CDE} \) में, (जहाँ \( \text{CD} \) क्षैतिज रेखा है)
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{DE}}{\text{CD}} \)
\( \implies \tan 60^\circ = \frac{\text{h}-60}{\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{\text{h}-60}{\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3}\text{x} = \text{h}-60 \) ...(2)

समीकरण (1) से \( \text{x} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \sqrt{3} (60) = \text{h}-60 \)
\( \implies 60\sqrt{3} = \text{h}-60 \)
\( \implies \text{h} = 60 + 60\sqrt{3} \)
\( \implies \text{h} = 60(1 + \sqrt{3}) \) मीटर

अतः विपरीत दिशा में स्थित घर की ऊँचाई \( 60(1 + \sqrt{3}) \) मीटर है। यह सिद्ध हो गया है। इस तरह के प्रश्न हमें सिखाते हैं कि कैसे दूरियों और ऊँचाइयों को मापने के लिए कोणों का उपयोग किया जा सकता है।
In simple words: दूसरे घर की ऊँचाई \( 60(1 + \sqrt{3}) \) मीटर है, जैसा कि हमें सिद्ध करना था।

🎯 Exam Tip: "सिद्ध कीजिए" वाले प्रश्नों में, आपको अंतिम उत्तर तक पहुँचने के लिए सभी चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाना होगा।

 

प्रश्न 9. दो स्तम्भों के बीच क्षैतिज दूरी 15 मीटर है। एक स्तम्भ के शीर्ष से दूसरे स्तम्भ के शीर्ष पर अवनमन कोण 30° है। यदि दूसरे स्तम्भ की ऊँचाई 24 मीटर है तो पहले स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए । हलः माना पहले स्तम्भ की ऊँचाई AD = h मीटर समकोण △ ABC में,
Answer: माना दूसरा स्तम्भ \( \text{BC} = 24 \) मीटर ऊँचा है। पहले स्तम्भ की ऊँचाई \( \text{AD} = \text{h} \) मीटर है। दोनों स्तम्भों के बीच क्षैतिज दूरी \( \text{AB} = 15 \) मीटर है।

समकोण \( \triangle \text{DEC} \) में, (जहाँ \( \text{D} \) पहले स्तम्भ का शीर्ष है और \( \text{E} \) \( \text{BC} \) पर बिंदु है)
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{CE}}{\text{DE}} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{24-\text{h}}{15} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{24-\text{h}}{15} \)
\( \implies 15 = \sqrt{3}(24-\text{h}) \)
\( \implies 15 = 24\sqrt{3} - \sqrt{3}\text{h} \)
\( \implies \sqrt{3}\text{h} = 24\sqrt{3} - 15 \)
\( \implies \text{h} = \frac{24\sqrt{3} - 15}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \text{h} = 24 - \frac{15}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \text{h} = 24 - \frac{15\sqrt{3}}{3} \)
\( \implies \text{h} = 24 - 5\sqrt{3} \)
\( \implies \text{h} = 24 - 5 \times 1.732 \)
\( \implies \text{h} = 24 - 8.66 \)
\( \implies \text{h} = 15.34 \) मीटर
इसलिए, पहले स्तम्भ की ऊँचाई 15.34 मीटर है। यह दर्शाता है कि कैसे अवनमन कोणों का उपयोग करके ऊँचाई का अंतर और एक वस्तु की ऊँचाई ज्ञात की जा सकती है।
In simple words: पहले स्तम्भ की ऊँचाई 15.34 मीटर है, क्योंकि यह दूसरे, ऊँचे स्तम्भ से 30 डिग्री के कोण पर नीचे दिखाई देता है।

🎯 Exam Tip: यह समझना महत्वपूर्ण है कि अवनमन कोण का उपयोग करके बनने वाले समकोण त्रिभुज को कैसे सेटअप किया जाए। क्षैतिज रेखा को प्रेक्षक की आँखों के स्तर पर खींचना याद रखें।

 

प्रश्न 10. एक प्रकाश स्तम्भ के शीर्ष व पाद से 60 मीटर ऊँची एक इमारत के शीर्ष पर उन्नयन व अवनमन कोण क्रमशः 30° व 60° हैं। निम्न के मान ज्ञात कीजिए- (i) इमारत व प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाईयों का अन्तर (ii) इमारत व प्रकाश स्तम्भ के बीच की दूरी । हलः माना, प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई AD = h मीटर तथा AB = x मीटर समकोण △ABC में,
Answer: माना इमारत की ऊँचाई \( \text{AE} = 60 \) मीटर है और प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई \( \text{BC} = \text{h} \) मीटर है। इमारत और प्रकाश स्तम्भ के बीच की दूरी \( \text{AB} = \text{x} \) मीटर है। प्रेक्षक इमारत के शीर्ष \( \text{E} \) पर है।

समकोण \( \triangle \text{ABE} \) में, (जहाँ \( \text{E} \) इमारत का शीर्ष है)
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{AE}}{\text{AB}} \)
\( \implies \tan 60^\circ = \frac{60}{\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{60}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = \frac{60}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \text{x} = \frac{60\sqrt{3}}{3} \)
\( \implies \text{x} = 20\sqrt{3} \) मीटर ...(1)

तथा समकोण \( \triangle \text{EDC} \) में, (जहाँ \( \text{ED} \) क्षैतिज रेखा है)
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{CD}}{\text{ED}} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{60-\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60-\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = \sqrt{3}(60-\text{h}) \) ...(2)

समीकरण (1) से \( \text{x} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( 20\sqrt{3} = \sqrt{3}(60-\text{h}) \)
\( \implies 20 = 60-\text{h} \)
\( \implies \text{h} = 60-20 \)
\( \implies \text{h} = 40 \) मीटर

(i) इमारत व प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाइयों का अन्तर \( = 60 - 40 = 20 \) मीटर
(ii) इमारत व प्रकाश स्तम्भ के बीच की दूरी \( = \text{x} = 20\sqrt{3} = 20 \times 1.732 = 34.64 \) मीटर
यह उदाहरण दिखाता है कि कैसे एक ही प्रेक्षण बिंदु से कई कोणों का उपयोग करके विभिन्न मापों को एक साथ निर्धारित किया जा सकता है।
In simple words: इमारत और प्रकाश स्तंभ की ऊँचाई में 20 मीटर का अंतर है, और उनके बीच की दूरी 34.64 मीटर है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप प्रश्न में दिए गए संदर्भ के आधार पर सही ऊँचाई (जैसे h या 60-h) का उपयोग करते हैं। यह उत्तर को सही ढंग से निकालने के लिए महत्वपूर्ण है।

 

प्रश्न 11. एक चिमनी के शीर्ष से एक स्तम्भ के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° हो जाता है तथा चिमनी के पाद से, स्तम्भ के शीर्ष का अवनमन कोण 45° है। यदि स्तम्भ की ऊँचाई 40 मीटर है तो चिमनी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। हलः माना, चिमनी की ऊँचाई AE = h मीटर तथा AB = x मीटर समकोण △ABC में,
Answer: माना स्तम्भ की ऊँचाई \( \text{BC} = 40 \) मीटर है। चिमनी की ऊँचाई \( \text{AE} = \text{h} \) मीटर है। स्तम्भ और चिमनी के बीच की दूरी \( \text{AB} = \text{x} \) मीटर है। प्रेक्षक स्तम्भ के शीर्ष \( \text{C} \) पर है।

समकोण \( \triangle \text{ACD} \) में, (जहाँ \( \text{CD} \) क्षैतिज रेखा है)
\( \tan 45^\circ = \frac{\text{AD}}{\text{CD}} \)
\( \implies \tan 45^\circ = \frac{40}{\text{x}} \)
\( \implies 1 = \frac{40}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = 40 \) मीटर ...(1)

तथा समकोण \( \triangle \text{CDE} \) में, (जहाँ \( \text{DE} \) चिमनी का ऊपरी भाग है)
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{DE}}{\text{CD}} \)
\( \implies \tan 60^\circ = \frac{\text{h}-40}{\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{\text{h}-40}{\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3}\text{x} = \text{h}-40 \) ...(2)

समीकरण (1) से \( \text{x} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \sqrt{3} (40) = \text{h}-40 \)
\( \implies 40\sqrt{3} = \text{h}-40 \)
\( \implies \text{h} = 40 + 40\sqrt{3} \)
\( \implies \text{h} = 40(1 + \sqrt{3}) \)
\( \implies \text{h} = 40(1 + 1.732) \)
\( \implies \text{h} = 40 \times 2.732 \)
\( \implies \text{h} = 109.28 \) मीटर
तो, चिमनी की ऊँचाई 109.28 मीटर है। यह दर्शाता है कि कैसे किसी दूसरी वस्तु के सापेक्ष ऊँचाई और दूरी को मापा जा सकता है।
In simple words: चिमनी की ऊँचाई 109.28 मीटर है। हमने स्तम्भ के ऊपर से देखकर यह ऊँचाई निकाली।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्न में, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अवनमन कोण क्षैतिज रेखा और नीचे की ओर देखने वाली दृष्टि रेखा के बीच मापा जाता है।

 

प्रश्न 12. 200 मीटर ऊँची एक पहाड़ी के शीर्ष से एक स्तम्भ के शीर्ष एवं पाद के अवनमन कोण क्रमशः 30° व 60° हैं। स्तम्भ की ऊँचाई तथा उसकी पहाड़ी से दूरी ज्ञात कीजिए। (\( \sqrt{{3}} \) = 1.73) हलः माना स्तम्भ की ऊँचाई AD = h मीटर तथा स्तम्भ की पहाड़ी से दूरी AB = x मीटर समकोण △ABC में,
Answer: माना पहाड़ी की ऊँचाई \( \text{BC} = 200 \) मीटर है। स्तम्भ की ऊँचाई \( \text{AD} = \text{h} \) मीटर है। पहाड़ी और स्तम्भ के बीच की दूरी \( \text{AB} = \text{x} \) मीटर है। प्रेक्षक पहाड़ी के शीर्ष \( \text{C} \) पर है।

समकोण \( \triangle \text{CAB} \) में, (जहाँ \( \text{C} \) पहाड़ी का शीर्ष है)
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{CA}}{\text{AB}} \)
\( \implies \tan 60^\circ = \frac{200}{\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{200}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = \frac{200}{\sqrt{3}} \) मीटर ...(1)

तथा समकोण \( \triangle \text{CDE} \) में, (जहाँ \( \text{CE} \) क्षैतिज रेखा है)
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{DE}}{\text{CE}} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{200-\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{200-\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = \sqrt{3}(200-\text{h}) \) ...(2)

समीकरण (1) से \( \text{x} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \frac{200}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(200-\text{h}) \)
\( \implies 200 = 3(200-\text{h}) \)
\( \implies 200 = 600 - 3\text{h} \)
\( \implies 3\text{h} = 600 - 200 \)
\( \implies 3\text{h} = 400 \)
\( \implies \text{h} = \frac{400}{3} \)
\( \implies \text{h} = 133.33 \) मीटर

अब \( \text{x} \) का मान ज्ञात करने पर,
\( \text{x} = \frac{200}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \text{x} = \frac{200 \times 1.732}{3} \)
\( \implies \text{x} = \frac{346.4}{3} \)
\( \implies \text{x} = 115.466... \approx 115.47 \) मीटर

अतः स्तम्भ की ऊँचाई 133.33 मीटर है और स्तम्भ से पहाड़ी की दूरी 115.47 मीटर है। यह प्रश्न दिखाता है कि एक ऊँची जगह से छोटी वस्तु को देखने पर भी, हम उसकी ऊँचाई और दूरी ज्ञात कर सकते हैं।
In simple words: स्तम्भ की ऊँचाई 133.33 मीटर है, और वह पहाड़ी से 115.47 मीटर दूर है।

🎯 Exam Tip: "पहाड़ी के शीर्ष से एक स्तम्भ के शीर्ष एवं पाद" जैसे वाक्यांशों में, यह समझें कि पहाड़ी प्रेक्षक की स्थिति है और स्तम्भ वह वस्तु है जिसे देखा जा रहा है।

 

प्रश्न 13. एक टॉवर के दक्षिण में स्थित एक बिन्दु A पर टॉवर के शीर्ष से उन्नयन कोण \( \alpha \) तथा पूर्व में स्थित बिन्दु B से उन्नयन कोण \( \beta \) है। यदि AB = d, तब सिद्ध कीजिए कि टॉवर की ऊँचाई \( \frac{d}{\sqrt{\cot ^{2} \alpha+\cot ^{2} \beta}} \) है। हलः माना टॉवर की ऊँचाई OP = h है। जिसके दक्षिण में बिन्दु A तथा पूर्व में बिन्दु B हैं। तथा \( \angle OAP = \alpha \) व \( \angle OBP = \beta \) दिया है, AB = d अत: △OAP में,
Answer: माना टॉवर की ऊँचाई \( \text{OP} = \text{h} \) है, जहाँ \( \text{O} \) टॉवर का आधार है और \( \text{P} \) टॉवर का शीर्ष है। बिंदु \( \text{A} \) टॉवर के दक्षिण में है और बिंदु \( \text{B} \) टॉवर के पूर्व में है। \( \text{AB} = \text{d} \) दिया गया है।

समकोण \( \triangle \text{OAP} \) में, (जहाँ \( \text{OA} \) दक्षिण की ओर है)
\( \tan \alpha = \frac{\text{OP}}{\text{OA}} \)
\( \implies \tan \alpha = \frac{\text{h}}{\text{OA}} \)
\( \implies \text{OA} = \frac{\text{h}}{\tan \alpha} \)
\( \implies \text{OA} = \text{h} \cot \alpha \) ...(1)

इसी प्रकार, समकोण \( \triangle \text{OBP} \) में, (जहाँ \( \text{OB} \) पूर्व की ओर है)
\( \tan \beta = \frac{\text{OP}}{\text{OB}} \)
\( \implies \tan \beta = \frac{\text{h}}{\text{OB}} \)
\( \implies \text{OB} = \frac{\text{h}}{\tan \beta} \)
\( \implies \text{OB} = \text{h} \cot \beta \) ...(2)

चूँकि \( \text{A} \) दक्षिण में है और \( \text{B} \) पूर्व में है, \( \triangle \text{OAB} \) एक समकोण त्रिभुज है (कोण \( \text{AOB} = 90^\circ \))।
पाइथागोरस प्रमेय से,
\( \text{AB}^2 = \text{OA}^2 + \text{OB}^2 \)
\( \implies \text{d}^2 = (\text{h} \cot \alpha)^2 + (\text{h} \cot \beta)^2 \)
\( \implies \text{d}^2 = \text{h}^2 \cot^2 \alpha + \text{h}^2 \cot^2 \beta \)
\( \implies \text{d}^2 = \text{h}^2 (\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta) \)
\( \implies \text{h}^2 = \frac{\text{d}^2}{\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta} \)
\( \implies \text{h} = \frac{\text{d}}{\sqrt{\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta}} \)
इति सिद्धम्। यह दिखाता है कि कैसे तीन आयामी ज्यामिति को त्रिकोणमिति का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
In simple words: हमने सिद्ध किया कि टॉवर की ऊँचाई \( \text{h} = \frac{\text{d}}{\sqrt{\cot ^{2} \alpha+\cot ^{2} \beta}} \) है, जो दो अलग-अलग बिंदुओं से देखे गए कोणों पर निर्भर करती है।

🎯 Exam Tip: जब दिशाओं (उत्तर, दक्षिण, पूर्व, पश्चिम) का उल्लेख किया जाता है, तो याद रखें कि उनके बीच का कोण 90 डिग्री होता है, जिससे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज बनता है।

 

प्रश्न 14. एक इमारत में सतह से 10 मीटर की ऊँचाई पर एक खिडकी है। सतह पर स्थित एक बिन्दु P पर खिड़की से अवनमन कोण 30° है। इमारत के शीर्ष से इस बिन्दु P का उन्नयन कोण 60° है। इमारत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। हलः माना, इमारत की ऊँचाई QS = h मीटर तथा PQ = x मीटर समकोण △PQR में,
Answer: माना इमारत की ऊँचाई \( \text{QS} = \text{h} \) मीटर है। खिड़की \( \text{R} \) इमारत के आधार \( \text{Q} \) से 10 मीटर ऊपर है, तो \( \text{QR} = 10 \) मीटर है। जमीन पर एक बिंदु \( \text{P} \) से इमारत के आधार \( \text{Q} \) तक की दूरी \( \text{PQ} = \text{x} \) मीटर है।

समकोण \( \triangle \text{PQR} \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{QR}}{\text{PQ}} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{10}{\text{x}} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = 10\sqrt{3} \) मीटर ...(1)

तथा समकोण \( \triangle \text{PQS} \) में,
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{QS}}{\text{PQ}} \)
\( \implies \tan 60^\circ = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{h} = \sqrt{3}\text{x} \) ...(2)

समीकरण (1) से \( \text{x} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \text{h} = \sqrt{3} (10\sqrt{3}) \)
\( \implies \text{h} = 30 \) मीटर
अतः इमारत की ऊँचाई 30 मीटर है। यह दिखाता है कि कैसे एक ही वस्तु के विभिन्न बिंदुओं से देखे गए कोणों का उपयोग करके उसकी कुल ऊँचाई का अनुमान लगाया जा सकता है।
In simple words: इमारत की कुल ऊँचाई 30 मीटर है। हमने खिड़की से नीचे और इमारत के शीर्ष पर ऊपर देखकर यह पता लगाया।

🎯 Exam Tip: जब खिड़की या बालकनी से अवलोकन करते हैं, तो दो त्रिभुज बनते हैं: एक अवनमन कोण के लिए (खिड़की के नीचे की दूरी के लिए) और दूसरा उन्नयन कोण के लिए (खिड़की के ऊपर की ऊँचाई के लिए)।

 

Question 15. जमीन पर एक बिन्दु A से एक जेट फाइटर का उन्नयन कोण 60° है। 10 सेकण्ड की उड़ान के बाद यह उन्नयन कोण 30° हो जाता है। यदि जैट 648 किमी/घण्टा की चाल से उड़ रहा है तो अचर ऊँचाई ज्ञात कीजिए। जिस पर जैट उड़ रहा हैं।
Answer: माना, जेट की अचर ऊँचाई \( \text{BC} = \text{DE} = \text{h} \) मीटर है और \( \text{AB} = \text{x} \) मीटर है।
जेट की चाल \( = 648 \) किमी/घण्टा
चाल को मीटर/सेकंड में बदलने पर: \( = 648 \times \frac{5}{18} \) मीटर/सेकंड \( = 36 \times 5 = 180 \) मीटर/सेकंड
\( \implies \) 1 सेकण्ड में चली गई दूरी \( = 180 \) मीटर
\( \implies \) 10 सेकण्ड में चली गई दूरी \( = 180 \times 10 = 1800 \) मीटर
अब, समकोण \( \triangle \text{ABC} \) में,
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{h} = \sqrt{3}\text{x} \) ...(1)
फिर, समकोण \( \triangle \text{ADE} \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{DE}}{\text{AD}} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{h}}{\text{x}+1800} \)
\( \implies \sqrt{3}\text{h} = \text{x}+1800 \) ...(2)
समीकरण (1) से \( \text{x} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \sqrt{3}\text{h} = \frac{\text{h}}{\sqrt{3}}+1800 \)
\( \implies \sqrt{3}\text{h} - \frac{\text{h}}{\sqrt{3}} = 1800 \)
\( \implies \frac{3\text{h}-\text{h}}{\sqrt{3}} = 1800 \)
\( \implies \frac{2\text{h}}{\sqrt{3}} = 1800 \)
\( \implies 2\text{h} = 1800\sqrt{3} \)
\( \implies \text{h} = \frac{1800\sqrt{3}}{2} \)
\( \implies \text{h} = 900 \times 1.732 \)
\( \implies \text{h} = 1558.8 \) मीटर
अतः जेट की अचर ऊँचाई \( = 1558.8 \) मीटर है। यह ऊँचाई पूरे समय स्थिर रहती है, जो कि गति की गणना में महत्वपूर्ण है।
In simple words: जेट की गति को मीटर प्रति सेकंड में बदला गया, फिर 10 सेकंड में तय की गई दूरी निकाली गई। दो अलग-अलग कोणों का उपयोग करके, त्रिकोणमिति के नियमों से जेट की स्थिर ऊँचाई 1558.8 मीटर मिली।

🎯 Exam Tip: Remember to convert speed units (km/hr to m/s) accurately before calculations, as inconsistent units are a common error in such problems.

 

Question 16. बादलों से एक झील पर स्थित बिन्दु पर उन्नयन कोण \( \alpha \) व है तथा इसकी झील में परछाई का अवनमन कोण \( \beta \) है। सिद्ध कीजिए कि बादलों से निरीक्षण बिन्दु के बीच की दूरी \( \frac{2 h \sec \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha} \) हैं।
Answer: माना, बादल की ऊँचाई झील की सतह से \( \text{H} \) है और अवलोकन बिंदु की ऊँचाई झील की सतह से \( \text{h} \) है।
तथा, अवलोकन बिंदु से बादल तक की क्षैतिज दूरी \( \text{x} \) है।
समकोण \( \triangle \text{PQS} \) में,
\( \tan \alpha = \frac{\text{QR}}{\text{PQ}} \)
\( \implies \tan \alpha = \frac{\text{H}-\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{H}-\text{h} = \text{x} \tan \alpha \) ...(1)
बादल की परछाई झील की सतह के नीचे उतनी ही गहराई पर बनती है जितनी बादल की ऊँचाई होती है, यानी \( (\text{H}+\text{h}) \)।
समकोण \( \triangle \text{PQS'} \) में (जहाँ S' बादल की परछाई है),
\( \tan \beta = \frac{\text{QS'}}{\text{PQ}} \)
\( \implies \tan \beta = \frac{\text{H}+\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{H}+\text{h} = \text{x} \tan \beta \) ...(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) घटाने पर,
\( (\text{H}+\text{h}) - (\text{H}-\text{h}) = \text{x} \tan \beta - \text{x} \tan \alpha \)
\( \implies 2\text{h} = \text{x} (\tan \beta - \tan \alpha) \)
\( \implies \text{x} = \frac{2\text{h}}{\tan \beta - \tan \alpha} \)
अब, अवलोकन बिंदु से बादल (R) तक की दूरी \( \text{PR} \) है।
समकोण \( \triangle \text{PQR} \) में,
\( \sec \alpha = \frac{\text{PR}}{\text{PQ}} \)
\( \implies \sec \alpha = \frac{\text{PR}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{PR} = \text{x} \sec \alpha \)
\( \text{x} \) का मान रखने पर,
\( \text{PR} = \frac{2\text{h}}{\tan \beta - \tan \alpha} \sec \alpha \)
\( \implies \text{PR} = \frac{2\text{h} \sec \alpha}{\tan \beta - \tan \alpha} \)
अतः बादलों से निरीक्षण बिन्दु के बीच की दूरी \( = \frac{2\text{h} \sec \alpha}{\tan \beta - \tan \alpha} \) है। यही हमें सिद्ध करना था। ऊँचाई और कोणों का संबंध त्रिकोणमिति से अच्छी तरह समझा जा सकता है।
In simple words: हमने त्रिकोणमिति का उपयोग करके बादल की ऊँचाई और उसकी परछाई के कोणों को जोड़ा। समीकरणों को हल करके यह दिखाया गया कि बादल से देखने वाले बिंदु की दूरी दिए गए सूत्र से निकाली जा सकती है।

🎯 Exam Tip: When dealing with reflection problems, remember that the depth of the reflection below the surface is equal to the object's height above the surface.

 

Question 17. एक प्रकाश स्तम्भ के शीर्ष से उसके विपरीत दिशाओं में दो जहाजों के अवनमन कोण \( \alpha \) व \( \beta \) हैं। यदि प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई h मीटर है तथा जहाजों को मिलाने वाली रेखा प्रकाश स्तम्भ के तल से होकर जाती है। तो सिद्ध कीजिए कि दोनों जहाजों के बीच की दरी \( \frac{\text{h}(\tan \alpha+\tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta} \) है।
Answer: माना प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई \( \text{CD} = \text{h} \) मीटर है।
जहाज \( \text{A} \) से प्रकाश स्तम्भ के शीर्ष का अवनमन कोण \( \alpha \) है।
जहाज \( \text{B} \) से प्रकाश स्तम्भ के शीर्ष का अवनमन कोण \( \beta \) है।
जहाज \( \text{A} \) की दूरी \( \text{BC} = \text{y} \) मीटर है।
जहाज \( \text{B} \) की दूरी \( \text{BD} = \text{x} \) मीटर है।
दोनों जहाजों के बीच की दूरी \( \text{AB} = \text{x+y} \) मीटर है।
समकोण \( \triangle \text{ABC} \) में,
\( \tan \alpha = \frac{\text{CD}}{\text{BC}} \)
\( \implies \tan \alpha = \frac{\text{h}}{\text{y}} \)
\( \implies \text{y} = \frac{\text{h}}{\tan \alpha} \) ...(1)
समकोण \( \triangle \text{DBC} \) में,
\( \tan \beta = \frac{\text{CD}}{\text{BD}} \)
\( \implies \tan \beta = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = \frac{\text{h}}{\tan \beta} \) ...(2)
दोनों जहाजों के बीच की कुल दूरी \( \text{AB} = \text{x}+\text{y} \) है।
\( \text{AB} = \frac{\text{h}}{\tan \beta} + \frac{\text{h}}{\tan \alpha} \)
\( \implies \text{AB} = \text{h} \left( \frac{1}{\tan \beta} + \frac{1}{\tan \alpha} \right) \)
\( \implies \text{AB} = \text{h} \left( \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \alpha \tan \beta} \right) \)
\( \implies \text{AB} = \frac{\text{h}(\tan \alpha + \tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta} \)
अतः दोनों जहाजों के बीच की दूरी \( = \frac{\text{h}(\tan \alpha + \tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta} \) है। त्रिकोणमिति के नियम यहाँ दूरियों की गणना में मदद करते हैं।
In simple words: हमने प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई और जहाजों के अवनमन कोणों का उपयोग करके प्रत्येक जहाज की दूरी निकाली। फिर, उन दूरियों को जोड़कर कुल दूरी के सूत्र को सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: Always draw a clear diagram and correctly identify alternate interior angles for angles of depression to form right triangles.

 

Question 18. समुद्र तल से 60 मीटर ऊँचे प्रकाश स्तम्भ के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 30° व 45° हैं। यदि प्रकाश स्तम्भ के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer: माना प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई \( \text{CD} = 60 \) मीटर है।
जहाज \( \text{B} \) पर अवनमन कोण \( 45^\circ \) है, इसलिए \( \angle \text{DBC} = 45^\circ \)।
जहाज \( \text{A} \) पर अवनमन कोण \( 30^\circ \) है, इसलिए \( \angle \text{DAC} = 30^\circ \)।
माना \( \text{BC} = \text{y} \) मीटर और \( \text{AB} = \text{x} \) मीटर।
दोनों जहाजों के बीच की दूरी \( \text{AB} \) ज्ञात करनी है।
समकोण \( \triangle \text{BCD} \) में,
\( \tan 45^\circ = \frac{\text{CD}}{\text{BC}} \)
\( \implies 1 = \frac{60}{\text{y}} \)
\( \implies \text{y} = 60 \) मीटर ...(1)
अब, समकोण \( \triangle \text{ACD} \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{CD}}{\text{AC}} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{\text{CD}}{\text{AB}+\text{BC}} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\text{x}+\text{y}} \)
\( \implies \text{x}+\text{y} = 60\sqrt{3} \) ...(2)
समीकरण (1) से \( \text{y} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \text{x} + 60 = 60\sqrt{3} \)
\( \implies \text{x} = 60\sqrt{3} - 60 \)
\( \implies \text{x} = 60(\sqrt{3} - 1) \)
\( \implies \text{x} = 60(1.732 - 1) \)
\( \implies \text{x} = 60(0.732) \)
\( \implies \text{x} = 43.92 \) मीटर
अतः दोनों जहाजों के बीच की दूरी \( = 43.92 \) मीटर है। त्रिकोणमिति हमें वास्तविक दुनिया की दूरी मापने में मदद करती है।
In simple words: प्रकाश स्तम्भ की ऊँचाई और जहाजों के अवनमन कोणों का उपयोग करके, हमने पहले पास वाले जहाज की दूरी निकाली। फिर, दूसरे जहाज की दूरी के लिए समीकरण बनाकर, दोनों जहाजों के बीच की दूरी 43.92 मीटर प्राप्त की।

🎯 Exam Tip: When two objects are on the same side of the tower, subtract the distances from the base to find the distance between them.

 

Question 19. एक हवाई जहाज कुछ ऊँचाई से अपने बायें व दायें एक नदी में दो जहाजों से अवनमन कोण 30° व 45° पाता है। यदि दोनों जहाजों के बीच की दूरी 100 मीटर हो तो हवाई जहाज किस ऊँचाई पर उड रहा है?
Answer: माना हवाई जहाज की ऊँचाई \( \text{BD} = \text{h} \) मीटर है।
जहाज \( \text{A} \) पर अवनमन कोण \( 30^\circ \) है, इसलिए \( \angle \text{DAB} = 30^\circ \)।
जहाज \( \text{C} \) पर अवनमन कोण \( 45^\circ \) है, इसलिए \( \angle \text{DCB} = 45^\circ \)।
दोनों जहाजों के बीच की दूरी \( \text{AC} = 100 \) मीटर है।
माना \( \text{BC} = \text{x} \) मीटर है। तब \( \text{AB} = (\text{AC}-\text{BC}) = (100-\text{x}) \) मीटर होगा।
समकोण \( \triangle \text{DBC} \) में,
\( \tan 45^\circ = \frac{\text{BD}}{\text{BC}} \)
\( \implies 1 = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = \text{h} \) ...(1)
अब, समकोण \( \triangle \text{ABD} \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{BD}}{\text{AB}} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{\text{h}}{100-\text{x}} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{h}}{100-\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3}\text{h} = 100-\text{x} \)
\( \implies \sqrt{3}\text{h} + \text{x} = 100 \) ...(2)
समीकरण (1) से \( \text{x} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \sqrt{3}\text{h} + \text{h} = 100 \)
\( \implies \text{h}(\sqrt{3}+1) = 100 \)
\( \implies \text{h} = \frac{100}{\sqrt{3}+1} \)
हर का परिमेयकरण करने पर,
\( \text{h} = \frac{100}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \)
\( \implies \text{h} = \frac{100(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 - (1)^2} \)
\( \implies \text{h} = \frac{100(\sqrt{3}-1)}{3-1} \)
\( \implies \text{h} = \frac{100(\sqrt{3}-1)}{2} \)
\( \implies \text{h} = 50(\sqrt{3}-1) \)
\( \implies \text{h} = 50(1.732-1) \)
\( \implies \text{h} = 50(0.732) \)
\( \implies \text{h} = 36.6 \) मीटर
अतः हवाई जहाज की ऊँचाई \( = 36.6 \) मीटर है। यह ऊँचाई त्रिभुजों की ज्यामिति और कोणों के आधार पर सटीक रूप से निर्धारित की गई है।
In simple words: हवाई जहाज की ऊँचाई को पता लगाने के लिए, हमने दोनों तरफ के जहाजों के अवनमन कोणों का उपयोग किया। नदी की कुल चौड़ाई और त्रिकोणमिति के सूत्रों का इस्तेमाल करके, हमने जहाज की ऊँचाई 36.6 मीटर निकाली।

🎯 Exam Tip: When objects are on opposite sides, add the horizontal distances from the point of observation. If they are on the same side, subtract them.

 

Question 20. एक पहाडी के शीर्ष से मीनार के पाद पर उन्नयन कोण 60° है तथा मीनार के शीर्ष से, पहाडी के पाद पर उन्नयन कोण 30° है। यदि मीनार की ऊँचाई 50 मीटर है तो पहाडी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer: माना पहाड़ी की ऊँचाई \( \text{AE} = \text{h} \) मीटर है और मीनार की ऊँचाई \( \text{CD} = 50 \) मीटर है।
पहाड़ी और मीनार के बीच की दूरी \( \text{AB} = \text{x} \) मीटर है।
समकोण \( \triangle \text{ABC} \) में (मीनार के शीर्ष से पहाड़ी के पाद पर उन्नयन कोण),
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{50}{\text{x}} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = 50\sqrt{3} \) मीटर ...(1)
अब, समकोण \( \triangle \text{BAE} \) में (पहाड़ी के शीर्ष से मीनार के पाद पर उन्नयन कोण),
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{AE}}{\text{AB}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{h} = \sqrt{3}\text{x} \) ...(2)
समीकरण (1) से \( \text{x} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \text{h} = \sqrt{3} \times (50\sqrt{3}) \)
\( \implies \text{h} = 50 \times 3 \)
\( \implies \text{h} = 150 \) मीटर
अतः पहाड़ी की ऊँचाई \( = 150 \) मीटर है। दोनों वस्तुओं के बीच की दूरी इस गणना में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।
In simple words: हमने मीनार की ऊँचाई और उसके कोणों का उपयोग करके मीनार से पहाड़ी की दूरी निकाली। फिर, उस दूरी का उपयोग करके और पहाड़ी के कोण को लगाकर, हमने पहाड़ी की ऊँचाई 150 मीटर ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: Clearly distinguish between angles of elevation and depression, and make sure to use the correct horizontal distance for each tangent ratio.

 

Question 21. एक नदी के किनारे खड़ा एक व्यक्ति देखता है कि दूसरे किनारे पर ठीक उसके सामने खड़े एक वृक्ष का उन्नयन कोण 60° है। जब वह व्यक्ति किनारे से 40 मीटर दूर जाता है तो वृक्ष का उन्नयन कोण 30° हो जाता है। वृक्ष की ऊँचाई और नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer: माना वृक्ष की ऊँचाई \( \text{CD} = \text{h} \) मीटर है।
नदी की चौड़ाई \( \text{BC} = \text{x} \) मीटर है।
जब व्यक्ति 40 मीटर दूर जाता है, तो नई दूरी \( \text{AC} = (\text{AB}+\text{BC}) = (40+\text{x}) \) मीटर हो जाती है।
समकोण \( \triangle \text{BCD} \) में,
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{CD}}{\text{BC}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{h} = \sqrt{3}\text{x} \) ...(1)
अब, समकोण \( \triangle \text{ACD} \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{CD}}{\text{AC}} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{h}}{40+\text{x}} \)
\( \implies \sqrt{3}\text{h} = 40+\text{x} \) ...(2)
समीकरण (1) से \( \text{h} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( \sqrt{3}(\sqrt{3}\text{x}) = 40+\text{x} \)
\( \implies 3\text{x} = 40+\text{x} \)
\( \implies 2\text{x} = 40 \)
\( \implies \text{x} = 20 \) मीटर
नदी की चौड़ाई \( = 20 \) मीटर है।
अब, \( \text{x} \) का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\( \text{h} = \sqrt{3} \times 20 \)
\( \implies \text{h} = 20\sqrt{3} \)
\( \implies \text{h} = 20 \times 1.732 \)
\( \implies \text{h} = 34.64 \) मीटर
अतः वृक्ष की ऊँचाई \( = 34.64 \) मीटर और नदी की चौड़ाई \( = 20 \) मीटर है। त्रिकोणमिति हमें अप्रत्यक्ष मापन करने में मदद करती है।
In simple words: हमने वृक्ष की ऊँचाई और नदी की चौड़ाई ज्ञात करने के लिए दो अलग-अलग कोणों का उपयोग किया। त्रिकोणमिति के सूत्रों का इस्तेमाल करके, हमने पाया कि नदी 20 मीटर चौड़ी है और वृक्ष की ऊँचाई 34.64 मीटर है।

🎯 Exam Tip: When moving away from an object, the angle of elevation decreases. Use two right-angled triangles to set up a system of equations.

 

Question 22. क्षैतिज तल पर स्थित एक लम्बवत् मीनार के शीर्ष पर एक ध्वज दण्ड लगा है। मीनार के पाद से 9 मीटर दूर स्थित बिन्दु से ध्वज दण्ड़ के शीर्ष एवं पाद पर उन्नयन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं। मीनार व ध्वज दण्ड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer: माना मीनार की ऊँचाई \( \text{BC} = \text{h} \) मीटर है और ध्वज दण्ड की ऊँचाई \( \text{CD} = \text{x} \) मीटर है।
मीनार के पाद से अवलोकन बिंदु \( \text{A} \) की दूरी \( \text{AB} = 9 \) मीटर है।
बिंदु \( \text{A} \) से मीनार के शीर्ष \( \text{B} \) पर उन्नयन कोण \( 30^\circ \) है।
बिंदु \( \text{A} \) से ध्वज दण्ड के शीर्ष \( \text{D} \) पर उन्नयन कोण \( 60^\circ \) है।
समकोण \( \triangle \text{ABC} \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{h}}{9} \)
\( \implies \sqrt{3}\text{h} = 9 \)
\( \implies \text{h} = \frac{9}{\sqrt{3}} \)
हर का परिमेयकरण करने पर,
\( \text{h} = \frac{9\sqrt{3}}{3} \)
\( \implies \text{h} = 3\sqrt{3} \) मीटर
अतः मीनार की ऊँचाई \( = 3\sqrt{3} \) मीटर है। (या लगभग \( 3 \times 1.732 = 5.196 \) मीटर)
अब, समकोण \( \triangle \text{ABD} \) में,
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{BD}}{\text{AB}} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{\text{BC}+\text{CD}}{9} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{\text{h}+\text{x}}{9} \)
\( \implies 9\sqrt{3} = \text{h}+\text{x} \)
\( \text{h} \) का मान रखने पर,
\( 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3}+\text{x} \)
\( \implies \text{x} = 9\sqrt{3}-3\sqrt{3} \)
\( \implies \text{x} = 6\sqrt{3} \) मीटर
अतः मीनार की ऊँचाई \( = 3\sqrt{3} \) मीटर तथा ध्वजदण्ड की ऊँचाई \( = 6\sqrt{3} \) मीटर है। ये ऊँचाईयाँ त्रिकोणमिति के सिद्धांतों का उपयोग करके निकाली गई हैं।
In simple words: हमने मीनार और ध्वज दण्ड की ऊँचाई जानने के लिए दो अलग-अलग उन्नयन कोणों का उपयोग किया। पहले छोटे कोण से मीनार की ऊँचाई निकाली, फिर बड़े कोण का उपयोग करके ध्वज दण्ड की ऊँचाई 6\(\sqrt{3}\) मीटर मिली।

🎯 Exam Tip: When a flagstaff is on top of a tower, visualize two different right-angled triangles, one for the tower and one for the combined height of the tower and flagstaff.

 

Question 23. एक सीधे क्षैतिज सड़क के लम्बवत् एक हवाई जहाज से सतह पर स्थित दो क्रमागत मील के पत्थरों (जो जहाज के विपरीत दिशा में है) से अवनमन कोण क्रमशः \( \alpha \) व \( \beta \) हैं। सिद्ध कीजिए कि सड़क से ऊपर हवाई जहाज की ऊँचाई \( \frac{\text{h} \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha+\tan \beta} \) मील होगी।
Answer: माना हवाई जहाज की ऊँचाई \( \text{BC} = \text{h} \) मील है।
दो क्रमागत मील के पत्थर \( \text{A} \) और \( \text{D} \) हैं, जिनके बीच की दूरी 1 मील है।
पत्थर \( \text{A} \) से अवनमन कोण \( \alpha \) है, इसलिए \( \angle \text{BAC} = \alpha \)।
पत्थर \( \text{D} \) से अवनमन कोण \( \beta \) है, इसलिए \( \angle \text{BDC} = \beta \)।
माना \( \text{AB} = \text{x} \) मील है। तब \( \text{BD} = 1-\text{x} \) मील होगा।
समकोण \( \triangle \text{ABC} \) में,
\( \tan \alpha = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} \)
\( \implies \tan \alpha = \frac{\text{h}}{\text{x}} \)
\( \implies \text{x} = \frac{\text{h}}{\tan \alpha} \) ...(1)
अब, समकोण \( \triangle \text{DBC} \) में,
\( \tan \beta = \frac{\text{BC}}{\text{BD}} \)
\( \implies \tan \beta = \frac{\text{h}}{1-\text{x}} \)
\( \implies 1-\text{x} = \frac{\text{h}}{\tan \beta} \) ...(2)
समीकरण (1) से \( \text{x} \) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( 1 - \frac{\text{h}}{\tan \alpha} = \frac{\text{h}}{\tan \beta} \)
\( \implies 1 = \frac{\text{h}}{\tan \beta} + \frac{\text{h}}{\tan \alpha} \)
\( \implies 1 = \text{h} \left( \frac{1}{\tan \beta} + \frac{1}{\tan \alpha} \right) \)
\( \implies 1 = \text{h} \left( \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \alpha \tan \beta} \right) \)
\( \implies \text{h} = \frac{\tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta} \)
अतः सड़क से ऊपर हवाई जहाज की ऊँचाई \( = \frac{\tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta} \) मील होगी। यह सिद्ध हो गया है कि त्रिकोणमिति का उपयोग करके अज्ञात ऊँचाई को मापा जा सकता है।
In simple words: हमने दो मील पत्थरों से हवाई जहाज के अवनमन कोणों का उपयोग किया। त्रिकोणमिति के नियमों और मील पत्थरों के बीच की दूरी का उपयोग करके, हमने हवाई जहाज की ऊँचाई का सूत्र \( \frac{\text{h} \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha+\tan \beta} \) मील सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: For problems involving objects on opposite sides, ensure that the total horizontal distance is correctly split or used in the equations derived from the two right triangles.