UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 11 Height and Distance Ex 112

Ex 11.2 Height and Distance बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

Question 1. एक ऊर्ध्वाधर खम्भे की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर है तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा-
(a) 30°
(b) 45°
(c) 60°
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) 45°
माना सूर्य का उन्नयन कोण \( \theta \) है।
दिया गया है कि खम्भे की ऊँचाई AB, खम्भे की छाया BC के बराबर है।

त्रिभुज ABC में,
\( \tan \theta = \frac{AB}{BC} \)
चूँकि \( AB = BC \), तो
\( \tan \theta = \frac{AB}{AB} \)
\( \tan \theta = 1 \)
\( \implies \theta = 45^\circ \)
In simple words: यदि किसी खम्भे की परछाई उसकी ऊँचाई के बराबर है, तो सूरज का उन्नयन कोण हमेशा 45 डिग्री होता है। यह तब होता है जब एक समकोण त्रिभुज बनता है जिसकी लंब और आधार बराबर होते हैं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि जब \( \tan \theta = 1 \) होता है, तो कोण \( \theta \) हमेशा 45 डिग्री होता है। यह ऊँचाई और दूरी के प्रश्नों में एक सामान्य स्थिति है।

Question 2. 50 मीटर ऊँची मीनार का पृथ्वी के किसी बिन्दु पर अवनमन कोण 30° है तब मीनार के आधार से उस बिन्दु की दूरी है-
(a) 25 मीटर
(b) \( 25\sqrt{3} \) मीटर
(c) \( 50\sqrt{3} \) मीटर
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) \( 50\sqrt{3} \) मीटर
माना बिन्दु A पर अवनमन कोण \( 30^\circ \) है।
इसलिए, \( \angle PAC = \angle ACB = 30^\circ \).

त्रिभुज ABC में,
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{BC} \)
\( BC = 50\sqrt{3} \) मीटर
In simple words: मीनार की ऊँचाई 50 मीटर है और नीचे देखने पर कोण 30 डिग्री बनता है। इससे मीनार के नीचे से उस बिन्दु तक की दूरी \( 50\sqrt{3} \) मीटर होगी। यह दूरी मीनार की ऊँचाई का \( \sqrt{3} \) गुना होती है जब कोण 30 डिग्री होता है।

🎯 Exam Tip: अवनमन कोण हमेशा क्षैतिज रेखा के साथ बनता है। हमेशा याद रखें कि अवनमन कोण उन्नयन कोण के बराबर होता है, जब वे एकांतर अंतः कोण होते हैं।

Question 3. एक खम्भे के शीर्ष के उन्नयन कोण A की स्पर्शज्या उसकी छाया की \( \frac{3}{4} \) गुणा है। खम्भे की ऊँचाई तथा छाया की लम्बाई का अनुपात है-
(a) 3 : 4
(b) 4 : 3
(c) 2 : 3
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) 3 : 4
त्रिभुज ABC में,
माना उन्नयन कोण \( \theta \) है।

\( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC} \)
प्रश्न के अनुसार, खम्भे के शीर्ष के उन्नयन कोण की स्पर्शज्या (tan \( \theta \)) उसकी छाया की \( \frac{3}{4} \) गुना है।
इसलिए, \( \tan \theta = \frac{3}{4} \)
\( \frac{AB}{BC} = \frac{3}{4} \)
\( AB : BC = 3 : 4 \)
In simple words: खम्भे की ऊँचाई और उसकी छाया की लम्बाई का अनुपात \( 3:4 \) है। यह इसलिए है क्योंकि उन्नयन कोण की स्पर्शज्या (tan) का मान \( 3/4 \) दिया गया है, जो कि लंब और आधार का अनुपात होता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि त्रिकोणमितीय अनुपात \( \tan \theta \) एक समकोण त्रिभुज में लंब और आधार का अनुपात होता है। इस प्रश्न में, खम्भे की ऊँचाई लंब है और छाया आधार है।

Question 4. एक झण्डा पताका के पाद से एक बिन्दु A, 50 मीटर की दूरी पर है यदि \( \angle PAB = 60^\circ \), तो झण्डा पताका की ऊँचाई है-
(a) \( 25\sqrt{3} \) मीटर
(b) \( 25\sqrt{2} \) मीटर
(c) \( 50\sqrt{3} \) मीटर
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) \( 50\sqrt{3} \) मीटर
त्रिभुज PAB में,

\( \tan A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{PB}{BA} \)
\( \tan 60^\circ = \frac{PB}{50} \)
\( \sqrt{3} = \frac{PB}{50} \)
\( PB = 50\sqrt{3} \) मीटर
In simple words: झण्डे के आधार से 50 मीटर दूर एक बिन्दु से झण्डे के शीर्ष का कोण 60 डिग्री है। इस जानकारी से, झण्डे की ऊँचाई \( 50\sqrt{3} \) मीटर है। यह त्रिकोणमिति का उपयोग करके पाया जाता है।

🎯 Exam Tip: \( \tan 60^\circ \) का मान \( \sqrt{3} \) होता है। इस तरह के प्रश्नों में सही त्रिकोणमितीय अनुपात (tan, sin, cos) का चयन करना और उनके मान याद रखना महत्वपूर्ण है।

Ex 11.2 Height and Distance लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 5. यदि सूर्य का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है तो सिद्ध कीजिए कि 15 मीटर ऊँचे खम्भे की छाया का अन्तर \( 10\sqrt{3} \) मीटर होगा।
Answer: खम्भे की ऊँचाई PQ = 15 मीटर है।
माना जब उन्नयन कोण \( 60^\circ \) है, तो छाया QR = x मीटर है।
माना जब उन्नयन कोण \( 30^\circ \) है, तो छाया QS = y मीटर है।
तो, छाया का अन्तर \( RS = y \) मीटर है।

त्रिभुज PQR में,
\( \tan 60^\circ = \frac{PQ}{QR} \)
\( \sqrt{3} = \frac{15}{x} \)
\( x = \frac{15}{\sqrt{3}} \)
\( x = \frac{15\sqrt{3}}{3} \)
\( x = 5\sqrt{3} \) मीटर ...(1)

त्रिभुज PQS में,
\( \tan 30^\circ = \frac{PQ}{QS} \)
\( QS = QR + RS = x+y \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{15}{x+y} \)
\( x+y = 15\sqrt{3} \) मीटर ...(2)

समीकरण (2) में समीकरण (1) से x का मान रखने पर,
\( 5\sqrt{3} + y = 15\sqrt{3} \)
\( y = 15\sqrt{3} - 5\sqrt{3} \)
\( y = 10\sqrt{3} \) मीटर
इस प्रकार, खम्भे की छाया की लम्बाई में अन्तर \( 10\sqrt{3} \) मीटर है। यह सिद्ध हुआ।
In simple words: 15 मीटर ऊँचे खम्भे की छाया पहले से छोटी हो जाती है जब सूर्य का कोण 30 डिग्री से 60 डिग्री होता है। छाया की लंबाई में जो बदलाव आता है, वह \( 10\sqrt{3} \) मीटर है। यह त्रिकोणमिति के इस्तेमाल से पता चला है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में दो अलग-अलग समकोण त्रिभुज बनते हैं। प्रत्येक त्रिभुज में tan अनुपात का उपयोग करके अज्ञात दूरियों को ज्ञात करें और फिर उनका अंतर निकालें।

Question 6. एक 5 मीटर ऊँचे बिजली के खम्भे के पाद से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° तथा खम्भे के शीर्ष से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2003]
Answer: माना बिजली के खम्भे की ऊँचाई AB = 5 मीटर है।
माना मीनार की ऊँचाई PQ = h मीटर है।
माना खम्भे और मीनार के बीच की दूरी BQ = AM = x मीटर है।
PQ को PM + MQ के रूप में लिख सकते हैं। चूँकि \( AB = MQ \), तो \( MQ = 5 \) मीटर।
इसलिए, PM = \( h-5 \) मीटर है।

समकोण त्रिभुज PBQ में,
\( \tan 60^\circ = \frac{PQ}{BQ} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h}{x} \)
\( h = \sqrt{3}x \) ...(1)

समकोण त्रिभुज PAM में,
\( \tan 30^\circ = \frac{PM}{AM} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h-5}{x} \)
\( x = \sqrt{3}(h-5) \) ...(2)

समीकरण (1) से \( x = \frac{h}{\sqrt{3}} \) को समीकरण (2) में रखने पर,
\( \frac{h}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(h-5) \)
\( h = 3(h-5) \)
\( h = 3h - 15 \)
\( 15 = 3h - h \)
\( 15 = 2h \)
\( h = \frac{15}{2} \)
\( h = 7.5 \) मीटर
मीनार की ऊँचाई 7.5 मीटर है।
In simple words: एक 5 मीटर ऊँचे खम्भे और एक मीनार के बीच की दूरी x मीटर है। खम्भे के नीचे से मीनार के शीर्ष का कोण 60 डिग्री है, और खम्भे के ऊपर से मीनार के शीर्ष का कोण 30 डिग्री है। मीनार की कुल ऊँचाई 7.5 मीटर है।

🎯 Exam Tip: जब दो वस्तुएं (खम्भा और मीनार) शामिल हों, तो एक क्षैतिज रेखा खींचकर दो समकोण त्रिभुज बनाएँ। एक त्रिभुज से एक चर का मान निकालें और उसे दूसरे त्रिभुज में प्रतिस्थापित करें।

Question 7. दो बिन्दुओं A व B जो मीनार के आधार से क्रमशः 100 मीटर व 25 मीटर की दूरी पर है। एक ही क्षैतिज रेखा में हैं तथा कोटिपूरक हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer: माना मीनार की ऊँचाई PQ = h मीटर है।
बिन्दु A मीनार के आधार से 100 मीटर दूर है, इसलिए QA = 100 मीटर।
बिन्दु B मीनार के आधार से 25 मीटर दूर है, इसलिए QB = 25 मीटर।
माना \( \angle PAQ = \theta \) है।
चूँकि कोण कोटिपूरक हैं, तो \( \angle PBQ = 90^\circ - \theta \) होगा।

त्रिभुज PQA में,
\( \tan \theta = \frac{PQ}{QA} \)
\( \tan \theta = \frac{h}{100} \) ...(1)

त्रिभुज PQB में,
\( \tan (90^\circ - \theta) = \frac{PQ}{QB} \)
\( \cot \theta = \frac{h}{25} \) ...(2)

समीकरण (1) और (2) को गुणा करने पर,
\( \tan \theta \times \cot \theta = \frac{h}{100} \times \frac{h}{25} \)
\( 1 = \frac{h^2}{2500} \)
\( h^2 = 2500 \)
\( h = \sqrt{2500} \)
\( h = 50 \) मीटर
मीनार की ऊँचाई 50 मीटर है।
In simple words: जब मीनार के आधार से दो अलग-अलग दूरियों से कोण देखे जाते हैं और वे एक-दूसरे के कोटिपूरक होते हैं, तो मीनार की ऊँचाई दोनों दूरियों के गुणनफल के वर्गमूल के बराबर होती है। यहाँ, यह \( \sqrt{100 \times 25} = \sqrt{2500} = 50 \) मीटर है।

🎯 Exam Tip: यदि दो बिन्दुओं से एक मीनार के उन्नयन कोण कोटिपूरक हों, और वे मीनार के आधार से दूरी x और y पर हों, तो मीनार की ऊँचाई \( h = \sqrt{xy} \) होती है। इस सूत्र को याद रखने से समय बच सकता है।

Question 8. क्षैतिज तल पर खडे एक ऊर्ध्वाधर मीनार के शीर्ष का उसी तल पर स्थित बिन्दु O से उन्नयन कोण 15° है । मीनार की ओर 80 मीटर चलने पर उन्नयन कोण 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए । [UP 2006, 11]
Answer: माना मीनार की ऊँचाई AB = h मीटर है।
माना बिन्दु O से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण \( 15^\circ \) है।
मीनार की ओर 80 मीटर चलने पर बिन्दु P पर उन्नयन कोण \( 30^\circ \) हो जाता है।
OP = 80 मीटर और PB = x मीटर है।

समकोण त्रिभुज PBA में,
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{PB} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x} \)
\( x = \sqrt{3}h \) ...(1)

समकोण त्रिभुज OBA में,
\( \tan 15^\circ = \frac{AB}{OB} \)
\( OB = OP + PB = 80 + x \)
\( \tan 15^\circ = \frac{h}{80+x} \)
\( h = (80+x)\tan 15^\circ \) ...(2)

समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर,
हमें पता है कि \( \tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3} \)
\( h = (80+\sqrt{3}h)(2-\sqrt{3}) \)
\( h = 160 - 80\sqrt{3} + 2\sqrt{3}h - 3h \)
\( h + 3h - 2\sqrt{3}h = 160 - 80\sqrt{3} \)
\( 4h - 2\sqrt{3}h = 160 - 80\sqrt{3} \)
\( 2h(2 - \sqrt{3}) = 80(2 - \sqrt{3}) \)
\( 2h = 80 \)
\( h = \frac{80}{2} \)
\( h = 40 \) मीटर
मीनार की ऊँचाई 40 मीटर है।
In simple words: मीनार की ऊँचाई 40 मीटर है। मीनार के आधार से 80 मीटर दूर से देखने पर कोण 15 डिग्री है, और मीनार के करीब 80 मीटर चलने पर कोण 30 डिग्री हो जाता है। त्रिकोणमिति का उपयोग करके मीनार की ऊँचाई ज्ञात की गई।

🎯 Exam Tip: विशेष कोणों (जैसे \( 15^\circ \), \( 75^\circ \)) के मान याद रखना गणनाओं को सरल बनाता है। \( \tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3} \) को अक्सर इस प्रकार के प्रश्नों में प्रयोग किया जाता है।

Question 9. क्षैतिज समतल के किसी बिन्दु से उसी समतल में स्थित एक टीले की चोटि का उन्नयन कोण \( \theta \) है। उस बिन्दु से \( \phi \) के कोण पर टीले की चोटी की ओर k दूरी तय करने के उपरान्त टीले का उन्नयन कोण \( \alpha \) हो जाता है। सिद्ध कीजिए कि टीले की ऊँचाई \( \frac{k(\cos \phi - \sin \phi \cot \alpha)}{(\cot \theta - \cot \alpha)} \) है। [UP 2007]
Answer: माना टीले की ऊँचाई AB = h है।
बिन्दु O से टीले की चोटी B का उन्नयन कोण \( \theta \) है।
बिन्दु C से AB तथा OA पर क्रमशः लम्ब CD तथा CE डाले।
\( \angle AOB = \theta \), \( \angle AOC = \phi \), \( OC = k \)।
\( \angle DCB = \alpha \)

समकोण त्रिभुज OEC में,
\( \sin \phi = \frac{CE}{OC} \implies CE = OC \sin \phi = k \sin \phi \)
\( \cos \phi = \frac{OE}{OC} \implies OE = OC \cos \phi = k \cos \phi \)
अतः \( AD = CE = k \sin \phi \)

समकोण त्रिभुज OAB में,
\( \tan \theta = \frac{AB}{OA} \)
\( OA = \frac{AB}{\tan \theta} = h \cot \theta \) ...(1)

हम जानते हैं कि \( CD = EA = OA - OE \)
\( CD = h \cot \theta - k \cos \phi \) ...(2)
और \( BD = AB - AD \)
\( BD = h - k \sin \phi \) ...(3)

पुनः, समकोण त्रिभुज BCD में,
\( \cot \alpha = \frac{CD}{BD} \)
समीकरण (2) और (3) से मान रखने पर,
\( \cot \alpha = \frac{h \cot \theta - k \cos \phi}{h - k \sin \phi} \)
\( (h - k \sin \phi)\cot \alpha = h \cot \theta - k \cos \phi \)
\( h \cot \alpha - k \sin \phi \cot \alpha = h \cot \theta - k \cos \phi \)
\( h \cot \alpha - h \cot \theta = k \sin \phi \cot \alpha - k \cos \phi \)
\( h(\cot \alpha - \cot \theta) = k(\sin \phi \cot \alpha - \cos \phi) \)
\( h(\cot \theta - \cot \alpha) = k(\cos \phi - \sin \phi \cot \alpha) \)
\( h = \frac{k(\cos \phi - \sin \phi \cot \alpha)}{(\cot \theta - \cot \alpha)} \)
यह सिद्ध हुआ।
In simple words: यह सिद्ध करना है कि एक टीले की ऊँचाई एक जटिल सूत्र द्वारा दी गई है, जिसमें दो अलग-अलग कोणों और एक निश्चित दूरी का उपयोग किया गया है। यह त्रिकोणमितीय अनुपातों के विभिन्न समीकरणों को हल करके प्राप्त किया जाता है। टीले की ऊँचाई \( \frac{k(\cos \phi - \sin \phi \cot \alpha)}{(\cot \theta - \cot \alpha)} \) है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रूफ-आधारित प्रश्नों में, प्रत्येक कोण और दूरी के लिए अलग-अलग समकोण त्रिभुजों में त्रिकोणमितीय अनुपातों को सावधानी से लिखें। फिर, चर को प्रतिस्थापित करके और बीजगणित का उपयोग करके आवश्यक संबंध प्राप्त करें।

Question 10. एक वृक्ष का ऊपरी भाग हवा से टूटकर भूमि से जा लगा है तथा भूमि से 45° माप का कोण बनाता है। वृक्ष की जड़ से उस बिन्दु की दूरी जहाँ वृक्ष का शीर्ष भूमि को छूता है, 6 मीटर हो तो वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए । [UP 2008]
Answer: माना वृक्ष का ऊपरी भाग AP है, जो हवा से टूटकर बिन्दु A पर AO स्थिति ग्रहण कर लेता है।
वृक्ष का शिखर P, भूमि को बिन्दु O पर छूता है।
OA = 6 मीटर
\( \angle QOA = 45^\circ \)
माना AQ = x मीटर और PA (जो टूटकर AO बन गया) = y मीटर है।
वृक्ष की कुल ऊँचाई = PQ = PA + AQ = \( y+x \).

समकोण त्रिभुज OQA में,
\( \tan 45^\circ = \frac{AQ}{OQ} \)
\( 1 = \frac{x}{6} \)
\( x = 6 \) मीटर

अब, \( \cos 45^\circ = \frac{OQ}{OA} \)
\( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{y} \)
\( y = 6\sqrt{2} \) मीटर

वृक्ष की कुल ऊँचाई = \( x+y = 6 + 6\sqrt{2} \)
\( = 6(1+\sqrt{2}) \)
\( = 6(1+1.414) \)
\( = 6(2.414) \)
\( = 14.484 \approx 14.48 \) मीटर
In simple words: एक पेड़ टूटकर जमीन पर 45 डिग्री का कोण बनाता है और उसकी जड़ से 6 मीटर दूर गिरता है। पेड़ की कुल ऊँचाई लगभग 14.48 मीटर है। यह टूटे हुए हिस्से की लंबाई और खड़े हुए हिस्से की लंबाई को जोड़कर ज्ञात किया जाता है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, पेड़ के टूटे हुए हिस्से को कर्ण मानें और खड़े हुए हिस्से को लंब मानें। \( \tan \) और \( \cos \) दोनों का उपयोग करके अज्ञात लंबाइयों को ज्ञात करें।

Question 11. दो मीनारों के बीच की दूरी 140 मीटर है। दूसरी मीनार के शीर्ष से देखने पर प्रथम मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। यदि दूसरी मीनार की ऊँचाई 60 मीटर है, तो प्रथम मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। NCERT; UP 2010]
Answer: माना प्रथम मीनार की ऊँचाई AB = h मीटर है।
माना दूसरी मीनार की ऊँचाई PQ = 60 मीटर है।
दोनों मीनारों के बीच की दूरी BQ = PM = 140 मीटर है।
दूसरी मीनार के शीर्ष P से प्रथम मीनार के शीर्ष A का उन्नयन कोण \( 30^\circ \) है।
माना AM = x मीटर है।
तब, MB = PQ = 60 मीटर।
और AB = AM + MB = \( x+60 \) मीटर।

समकोण त्रिभुज APM में,
\( \tan 30^\circ = \frac{AM}{PM} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{140} \)
\( x = \frac{140}{\sqrt{3}} \)
\( x = \frac{140\sqrt{3}}{3} \) मीटर

प्रथम मीनार की ऊँचाई AB = AM + MB
\( = x + 60 \)
\( = \frac{140\sqrt{3}}{3} + 60 \)
\( = \frac{140 \times 1.732 + 180}{3} \)
\( = \frac{242.48 + 180}{3} \)
\( = \frac{422.48}{3} \)
\( \approx 140.8 \) मीटर
In simple words: दो मीनारें 140 मीटर दूर हैं। दूसरी मीनार की ऊँचाई 60 मीटर है। दूसरी मीनार के ऊपर से पहली मीनार के शीर्ष को देखने पर 30 डिग्री का कोण बनता है। पहली मीनार की ऊँचाई लगभग 140.8 मीटर है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों को हल करते समय, दोनों मीनारों के शीर्षों को जोड़ने वाली क्षैतिज रेखा बनाना महत्वपूर्ण है। यह एक आयत और एक समकोण त्रिभुज बनाता है, जिससे गणना आसान हो जाती है।

Question 12. सूर्य के प्रकाश में 45 मीटर ऊँची मीनार की छाया \( 45\sqrt{3} \) मीटर है तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए। [UP 2004,01]
Answer: माना मीनार की ऊँचाई AB = 45 मीटर है।
माना मीनार की छाया BC = \( 45\sqrt{3} \) मीटर है।
माना सूर्य का उन्नयन कोण \( \theta \) है।

समकोण त्रिभुज ABC में,
\( \tan \theta = \frac{AB}{BC} \)
\( \tan \theta = \frac{45}{45\sqrt{3}} \)
\( \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \theta = 30^\circ \)
सूर्य का उन्नयन कोण \( 30^\circ \) है।
In simple words: 45 मीटर ऊँची मीनार की छाया \( 45\sqrt{3} \) मीटर है। इससे सूर्य का उन्नयन कोण 30 डिग्री होगा। जब \( \tan \theta \) का मान \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) होता है, तो कोण 30 डिग्री होता है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, लंब (ऊँचाई) और आधार (छाया) का अनुपात सीधे \( \tan \theta \) देता है। मानक त्रिकोणमितीय मानों को याद रखने से कोण तुरंत निर्धारित करने में मदद मिलती है।

Question 13. 60 मीटर ऊँचे पहाड़ की चोटि से एक मीनार के शीर्ष तथा आधार के अवनमन कोण 30° व 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए । [UP 2006]
Answer: माना पहाड़ी की ऊँचाई PQ = 60 मीटर है।
माना मीनार की ऊँचाई AB = h मीटर है।
पहाड़ी के शीर्ष P से मीनार के शीर्ष A का अवनमन कोण \( 30^\circ \) है।
पहाड़ी के शीर्ष P से मीनार के आधार B का अवनमन कोण \( 60^\circ \) है।
माना BQ = AM = x मीटर है।
तब, PM = PQ - MQ = \( 60-h \) मीटर।

समकोण त्रिभुज PBQ में,
\( \tan 60^\circ = \frac{PQ}{BQ} \)
\( \sqrt{3} = \frac{60}{x} \)
\( x = \frac{60}{\sqrt{3}} = \frac{60\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3} \) मीटर ...(1)

समकोण त्रिभुज PAM में,
\( \tan 30^\circ = \frac{PM}{AM} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60-h}{x} \)
\( x = \sqrt{3}(60-h) \) ...(2)

समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( 20\sqrt{3} = \sqrt{3}(60-h) \)
\( 20 = 60 - h \)
\( h = 60 - 20 \)
\( h = 40 \) मीटर
मीनार की ऊँचाई 40 मीटर है।
In simple words: 60 मीटर ऊँचे पहाड़ से एक मीनार को देखने पर, शीर्ष का कोण 30 डिग्री और आधार का कोण 60 डिग्री है। इसका मतलब है कि मीनार की ऊँचाई 40 मीटर है। यह दो समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके पता चलता है।

🎯 Exam Tip: अवनमन कोणों को उन्नयन कोणों में बदलें (जैसे \( \angle APM = 30^\circ \) तो \( \angle PAQ = 30^\circ \) एकांतर कोण)। यह आकृति में समकोण त्रिभुजों को सही ढंग से पहचानने में मदद करता है।

Question 14. एक अपूर्ण मन्दिर के आधार से 30 मीटर क्षैतिज दूरी पर स्थित किसी बिन्दु से मन्दिर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है तो ज्ञात कीजिए कि मन्दिर को कितना ऊँचा और बनाया जाये कि उसी बिन्दु पर मन्दिर के नये शिखर का उन्नयन कोण 60° हो जाये । ( \( \sqrt{3} = 1.732 \)) [UP 2009]
Answer: माना अपूर्ण मन्दिर की ऊँचाई PQ = x मीटर है।
बिन्दु A से मन्दिर के आधार Q की दूरी QA = 30 मीटर है।
बिन्दु A से मन्दिर के शिखर P का उन्नयन कोण \( 30^\circ \) है।
माना मन्दिर को PR = h मीटर ऊँचा और बनाया जाना है।
तब, नए मन्दिर की ऊँचाई RQ = \( h+x \) मीटर होगी।
नए शिखर R का उन्नयन कोण \( 60^\circ \) हो जाता है।

समकोण त्रिभुज PQA में,
\( \tan 30^\circ = \frac{PQ}{QA} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{30} \)
\( x = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \) मीटर ...(1)

समकोण त्रिभुज RQA में,
\( \tan 60^\circ = \frac{RQ}{QA} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h+x}{30} \)
\( h+x = 30\sqrt{3} \) ...(2)

समीकरण (1) से x का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\( h + 10\sqrt{3} = 30\sqrt{3} \)
\( h = 30\sqrt{3} - 10\sqrt{3} \)
\( h = 20\sqrt{3} \) मीटर
\( h = 20 \times 1.732 \)
\( h = 34.64 \) मीटर
मन्दिर को 34.64 मीटर और ऊँचा बनाना होगा।
In simple words: एक मन्दिर को 30 मीटर दूर से देखने पर उसका कोण 30 डिग्री है। अगर हम चाहते हैं कि कोण 60 डिग्री हो जाए, तो मन्दिर को 34.64 मीटर और ऊँचा बनाना पड़ेगा। यह गणना \( \tan \) के मानों का उपयोग करके की गई है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले से मौजूद ऊँचाई और अतिरिक्त ऊँचाई को अलग-अलग मानें। दो अलग-अलग कोणों के लिए दो समकोण त्रिभुज बनाएँ और समीकरणों को हल करें।

Question 15. क्षैतिज तल पर स्थित एक बिन्दु से किसी ऊर्ध्वाधर स्तम्भ की चोटी के उन्नयन कोण की माप \( \theta \) है। स्तम्भ की ओर a दूरी बढ़ने पर उन्नयन कोण 45° तथा पुनः b दूरी बढ़ने पर वह \( (90^\circ - \theta) \) हो जाता है। स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2011]
Answer: माना स्तम्भ की ऊँचाई PQ = h मीटर है।
माना QM = x मीटर है।
MS = b मीटर और SR = a मीटर है।

समकोण त्रिभुज PQM में,
\( \tan (90^\circ - \theta) = \frac{PQ}{QM} \)
\( \cot \theta = \frac{h}{x} \) ...(1)

समकोण त्रिभुज PQS में,
\( \tan 45^\circ = \frac{PQ}{QS} \)
\( QS = QM + MS = x+b \)
\( 1 = \frac{h}{x+b} \)
\( h = x+b \) ...(2)

समकोण त्रिभुज PQR में,
\( \tan \theta = \frac{PQ}{QR} \)
\( QR = QM + MS + SR = x+b+a \)
\( \tan \theta = \frac{h}{x+b+a} \) ...(3)

समीकरण (1) और (3) को गुणा करने पर,
\( (\cot \theta)(\tan \theta) = \frac{h}{x} \times \frac{h}{x+b+a} \)
\( 1 = \frac{h^2}{x(x+b+a)} \)
\( x(x+b+a) = h^2 \)
समीकरण (2) से \( x = h-b \) को प्रतिस्थापित करने पर,
\( (h-b)(h-b+b+a) = h^2 \)
\( (h-b)(h+a) = h^2 \)
\( h^2 + ah - bh - ab = h^2 \)
\( ah - bh = ab \)
\( h(a-b) = ab \)
\( h = \frac{ab}{a-b} \) मीटर
अतः स्तम्भ की ऊँचाई \( \frac{ab}{a-b} \) मीटर है।
In simple words: एक ऊर्ध्वाधर खम्भे की ऊँचाई \( \frac{ab}{a-b} \) मीटर है। यह तब होता है जब एक बिन्दु से उन्नयन कोण \( \theta \) होता है, फिर a दूरी चलने पर कोण 45 डिग्री होता है, और फिर b दूरी चलने पर कोण \( (90^\circ - \theta) \) हो जाता है। यह सूत्र त्रिकोणमितीय संबंधों से प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रश्न में तीन अलग-अलग उन्नयन कोण दिए गए हैं, जो तीन समकोण त्रिभुज बनाते हैं। इन सभी त्रिभुजों से संबंध स्थापित करें और धैर्यपूर्वक समीकरणों को हल करें। विशेष रूप से \( \tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta \) का उपयोग महत्वपूर्ण है।

Question 16. सड़क के एक ओर एक मीनार तथा दूसरी ओर एक मकान स्थित है। मीनार के शीर्ष से मकान के शीर्ष तथा आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हैं। यदि मकान की ऊँचाई 10 मीटर है तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [UP 2005]
Answer: माना मीनार की ऊँचाई PR = h मीटर है।
माना मकान की ऊँचाई MN = 10 मीटर है।
माना सड़क की चौड़ाई MQ = NR = x मीटर है।
मीनार के शीर्ष P से मकान के शीर्ष M का अवनमन कोण \( 45^\circ \) है।
मीनार के शीर्ष P से मकान के आधार N का अवनमन कोण \( 60^\circ \) है।
चूँकि MN = QR = 10 मीटर, तो PQ = PR - QR = \( h-10 \) मीटर।

समकोण त्रिभुज PNR में,
\( \tan 60^\circ = \frac{PR}{NR} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h}{x} \)
\( h = \sqrt{3}x \) ...(1)

समकोण त्रिभुज PMQ में,
\( \tan 45^\circ = \frac{PQ}{MQ} \)
\( 1 = \frac{h-10}{x} \)
\( x = h-10 \) ...(2)

समीकरण (2) में x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\( h = \sqrt{3}(h-10) \)
\( h = \sqrt{3}h - 10\sqrt{3} \)
\( 10\sqrt{3} = \sqrt{3}h - h \)
\( 10\sqrt{3} = h(\sqrt{3}-1) \)
\( h = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \)
हर का परिमेयकरण करने पर,
\( h = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \)
\( h = \frac{10\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} \)
\( h = \frac{10(3+\sqrt{3})}{3-1} \)
\( h = \frac{10(3+\sqrt{3})}{2} \)
\( h = 5(3+\sqrt{3}) \) मीटर
\( h = 5(3+1.732) \)
\( h = 5(4.732) \)
\( h = 23.66 \) मीटर
मीनार की ऊँचाई लगभग 23.66 मीटर है।
In simple words: एक मीनार और एक 10 मीटर ऊँचे मकान के बीच की दूरी x मीटर है। मीनार के शीर्ष से मकान के शीर्ष का अवनमन कोण 45 डिग्री है और आधार का अवनमन कोण 60 डिग्री है। इस जानकारी का उपयोग करके, मीनार की ऊँचाई लगभग 23.66 मीटर है।

🎯 Exam Tip: अवनमन कोणों को उन्नयन कोणों में बदलकर समस्या को सरल बनाएँ। जब दो वस्तुएँ अलग-अलग ऊँचाई पर हों, तो एक क्षैतिज रेखा खींचकर और दो समकोण त्रिभुज बनाकर हल करना सबसे अच्छा होता है।

Question 17. किसी बिन्दु पर एक मीनार के शिखर के उन्नयन कोण की स्पर्शज्या \( \frac{5}{3} \) है। मीनार की ओर 32 मीटर चलने पर शिखर के उन्नयन कोण की स्पर्श \( \frac{5}{2} \) हो जाती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए । [UP 2011]
Answer: माना मीनार की ऊँचाई PQ = h मीटर है।
माना बिन्दु M से मीनार के आधार Q की दूरी QM = \( x+32 \) मीटर है।
बिन्दु R से मीनार के आधार Q की दूरी QR = x मीटर है।
बिन्दु M पर मीनार के शिखर P का उन्नयन कोण \( \theta \) है, जहाँ \( \tan \theta = \frac{5}{3} \)
मीनार की ओर 32 मीटर चलने पर बिन्दु R पर उन्नयन कोण \( \phi \) हो जाता है, जहाँ \( \tan \phi = \frac{5}{2} \)

समकोण त्रिभुज PQM में,
\( \tan \theta = \frac{PQ}{QM} \)
\( \frac{5}{3} = \frac{h}{x+32} \)
\( 5(x+32) = 3h \)
\( 5x + 160 = 3h \) ...(1)

समकोण त्रिभुज PQR में,
\( \tan \phi = \frac{PQ}{QR} \)
\( \frac{5}{2} = \frac{h}{x} \)
\( 5x = 2h \) ...(2)

समीकरण (2) से \( x = \frac{2h}{5} \) को समीकरण (1) में रखने पर,
\( 5\left(\frac{2h}{5}\right) + 160 = 3h \)
\( 2h + 160 = 3h \)
\( 160 = 3h - 2h \)
\( h = 160 \) मीटर
मीनार की ऊँचाई 160 मीटर है।
In simple words: मीनार की ऊँचाई 160 मीटर है। पहले किसी बिन्दु से उन्नयन कोण की स्पर्शज्या \( \frac{5}{3} \) थी, और मीनार के करीब 32 मीटर चलने पर स्पर्शज्या \( \frac{5}{2} \) हो गई। यह दो समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके ज्ञात किया गया है।

🎯 Exam Tip: जब उन्नयन कोण की स्पर्शज्या (tan) दी गई हो, तो उसे \( \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} \) के रूप में उपयोग करें। ऐसे प्रश्नों में दो अलग-अलग समकोण त्रिभुज बनाएँ और उनमें tan अनुपात का उपयोग करके दो समीकरण प्राप्त करें।

Ex 11.2 Height and Distance दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 18. एक वायुयान, जो 1200 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। दो जलयान, जो एक ही दिशा में है, अपनी ओर आते हुए पाता है। जलयानों के अवनमन कोण क्रमशः 60° व 30° हैं। जलयानों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer: माना वायुयान P बिन्दु पर है, जिसकी ऊँचाई PQ = 1200 मीटर है।
दो जलयान M और N पर हैं, जो वायुयान की ओर आ रहे हैं।
जलयान M का अवनमन कोण \( 60^\circ \) है, इसलिए \( \angle APM = 60^\circ \implies \angle PMQ = 60^\circ \)
जलयान N का अवनमन कोण \( 30^\circ \) है, इसलिए \( \angle APN = 30^\circ \implies \angle PNQ = 30^\circ \)
माना MQ = y मीटर और NQ = x मीटर है।
जलयानों के बीच की दूरी MN = \( y-x \) मीटर।

समकोण त्रिभुज PMQ में,
\( \tan 60^\circ = \frac{PQ}{MQ} \)
\( \sqrt{3} = \frac{1200}{y} \)
\( y = \frac{1200}{\sqrt{3}} = \frac{1200\sqrt{3}}{3} = 400\sqrt{3} \) मीटर ...(1)

समकोण त्रिभुज PNQ में,
\( \tan 30^\circ = \frac{PQ}{NQ} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1200}{x} \)
\( x = 1200\sqrt{3} \) मीटर ...(2)

जलयानों के बीच की दूरी MN = \( NQ - MQ = x-y \)
\( MN = 1200\sqrt{3} - 400\sqrt{3} \)
\( MN = 800\sqrt{3} \) मीटर
\( MN = 800 \times 1.732 \)
\( MN = 1385.6 \) मीटर
In simple words: एक हवाई जहाज 1200 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है और दो जहाजों को देख रहा है। जहाजों के अवनमन कोण 60 और 30 डिग्री हैं। दोनों जहाजों के बीच की दूरी \( 800\sqrt{3} \) मीटर या लगभग 1385.6 मीटर है।

🎯 Exam Tip: अवनमन कोणों को उन्नयन कोणों में बदलकर समस्या को सरल बनाएँ। दो जलयान एक ही तरफ होने पर, उनके बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए बड़ी दूरी में से छोटी दूरी घटाई जाती है।

Question 19. 100 मीटर चौडी सड़क के दोनों ओर एक समान ऊँचाई के दो खम्भे हैं। सड़क पर स्थित किसी बिन्दु से खम्भों के शीर्षों के उन्नयन कोण 60° व 30° हैं। उस बिन्दु की स्थिति तथा खम्भों की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिए कि दोनों खम्भों की ऊँचाई \( h \) मीटर है और सड़क की चौड़ाई 100 मीटर है। खम्भों को PQ और RS से दर्शाया गया है। मान लीजिए कि सड़क पर एक बिंदु T है, जहाँ से खम्भों के शीर्षों के उन्नयन कोण 60° और 30° हैं। बिंदु T पहले खंभे Q से \( x \) मीटर की दूरी पर है, इसलिए दूसरे खंभे S से दूरी \( (100 - x) \) मीटर होगी। एक ही बिंदु से दूर के खंभे का उन्नयन कोण कम होता है, जबकि पास के खंभे का उन्नयन कोण अधिक होता है।

समकोण त्रिभुज \( \triangle PQT \) में:
\( \tan 60^\circ = \frac{PQ}{QT} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h}{x} \)
\( \implies h = x\sqrt{3} \) (समीकरण 1)
समकोण त्रिभुज \( \triangle RST \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{RS}{TS} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{100-x} \)
\( \implies h = \frac{100-x}{\sqrt{3}} \) (समीकरण 2)
समीकरण 1 और 2 से \( h \) का मान बराबर करने पर:
\( x\sqrt{3} = \frac{100-x}{\sqrt{3}} \)
\( \implies 3x = 100-x \)
\( \implies 4x = 100 \)
\( \implies x = 25 \) मीटर
अब \( x \) का मान समीकरण 1 में रखने पर:
\( h = 25\sqrt{3} \) मीटर
इसलिए, खम्भों की ऊँचाई \( 25\sqrt{3} \) मीटर है, जो लगभग 43.3 मीटर है। बिंदु T पहले खंभे से 25 मीटर और दूसरे खंभे से \( (100 - 25) = 75 \) मीटर की दूरी पर स्थित होगा। इस प्रकार, हम खम्भों की ऊँचाई और सड़क पर बिंदु की स्थिति दोनों का पता लगा सकते हैं।
In simple words: सड़क पर एक बिंदु है जहाँ से दो खंभों के ऊपर देखने पर अलग-अलग कोण बनते हैं। इन कोणों और सड़क की कुल चौड़ाई का उपयोग करके हम यह पता लगा सकते हैं कि वह बिंदु पहले खंभे से कितनी दूर है और खंभों की ऊँचाई कितनी है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, सुनिश्चित करें कि आप सड़क की चौड़ाई को दोनों खंभों से बिंदु की दूरी के योग के रूप में सही ढंग से विभाजित करें।

Question 20. एक 60 मीटर ऊँचे भवन से एक मीनार के शीर्ष एवं आधार के अवनमन कोण क्रमशः 30° व 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिए कि भवन की ऊँचाई MN = 60 मीटर है और मीनार की ऊँचाई PQ = \( h \) मीटर है। भवन के शीर्ष M से मीनार के शीर्ष P का अवनमन कोण 30° है, और मीनार के आधार Q का उन्नयन कोण 60° है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। एक क्षैतिज रेखा MT खींचते हैं जो मीनार के आधार रेखा से ऊपर बिंदु T पर मिलती है। यहाँ, MT = NQ = \( x \) मीटर, और TQ = MN = 60 मीटर। मीनार के शीर्ष P की स्थिति T से नीचे है, इसलिए PT = TQ - PQ = \( 60 - h \) मीटर।

समकोण त्रिभुज \( \triangle MNQ \) में (जहाँ \( \angle MQN \) उन्नयन कोण है):
\( \tan 60^\circ = \frac{MN}{NQ} \)
\( \sqrt{3} = \frac{60}{x} \)
\( \implies x = \frac{60}{\sqrt{3}} \) (समीकरण 1)
समकोण त्रिभुज \( \triangle MTP \) में (जहाँ \( \angle PMT \) अवनमन कोण है):
\( \tan 30^\circ = \frac{PT}{MT} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60-h}{x} \)
\( \implies x = \sqrt{3}(60-h) \) (समीकरण 2)
समीकरण 1 और 2 से \( x \) का मान बराबर करने पर:
\( \frac{60}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(60-h) \)
\( \implies 60 = 3(60-h) \)
\( \implies 20 = 60-h \)
\( \implies h = 60-20 \)
\( \implies h = 40 \) मीटर
इस प्रकार, मीनार की ऊँचाई 40 मीटर है। इससे हमें भवन और मीनार की सापेक्ष ऊँचाई का स्पष्ट अंदाजा मिलता है।
In simple words: एक ऊंची इमारत से एक छोटी मीनार के ऊपर और नीचे देखने पर अलग-अलग कोण बनते हैं। इन कोणों और इमारत की ऊँचाई का उपयोग करके हम मीनार की ऊँचाई का पता लगा सकते हैं।

🎯 Exam Tip: अवनमन कोणों और उन्नयन कोणों के बीच के संबंध को समझना महत्वपूर्ण है (जैसे एकांतर आंतरिक कोण)। यदि चित्र में सीधे उन्नयन कोण दिए गए हैं, तो उनका उपयोग करें।

Question 21. क्षैतिज पर एक बिन्दु जो मीनार के पाद से 40 मीटर दूर स्थित है, उस पर मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। मीनार के ऊपर रखे टैंक का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई तथा टैंक की गहराई ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिए कि मीनार की ऊँचाई PQ = \( h \) मीटर है और मीनार के ऊपर रखे टैंक की ऊँचाई TP = \( x \) मीटर है। भूमि पर एक बिंदु M मीनार के पाद Q से 40 मीटर दूर है। बिंदु M से मीनार के शीर्ष P का उन्नयन कोण 30° है, और टैंक के शीर्ष T का उन्नयन कोण 45° है।

समकोण त्रिभुज \( \triangle PQM \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{PQ}{QM} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{40} \)
\( \implies h = \frac{40}{\sqrt{3}} \)
\( \implies h = \frac{40\sqrt{3}}{3} = \frac{40 \times 1.732}{3} = \frac{69.28}{3} \)
\( \implies h \approx 23.09 \) मीटर (या लगभग 23.1 मीटर)

समकोण त्रिभुज \( \triangle TQM \) में:
\( \tan 45^\circ = \frac{TQ}{QM} \)
\( 1 = \frac{x+h}{40} \)
\( \implies x+h = 40 \)
\( \implies x = 40 - h \)
\( \implies x = 40 - 23.09 \)
\( \implies x \approx 16.91 \) मीटर (या लगभग 16.9 मीटर)
इस प्रकार, मीनार की ऊँचाई लगभग 23.1 मीटर और टैंक की गहराई (ऊँचाई) लगभग 16.9 मीटर है। यह दर्शाता है कि जैसे-जैसे उन्नयन कोण बढ़ता है, वस्तु की ऊँचाई भी बढ़ती है या हम उसके करीब आते हैं।
In simple words: एक खंभे पर एक पानी का टैंक रखा है। जमीन से खंभे के ऊपर और टैंक के ऊपर देखने पर अलग-अलग कोण बनते हैं। इन कोणों और जमीन से खंभे की दूरी का उपयोग करके हम खंभे की ऊँचाई और टैंक की ऊँचाई दोनों का पता लगा सकते हैं।

🎯 Exam Tip: जब एक ही आधार से दो अलग-अलग उन्नयन कोण दिए गए हों, तो हमेशा छोटे कोण का उपयोग पहले छोटी ऊँचाई के लिए करें और फिर बड़े कोण का उपयोग कुल ऊँचाई के लिए करें।

Question 22. 15 मीटर ऊँचे भवन के शीर्ष से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है तथा भवन के पाद से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। तब मीनार की ऊँचाई तथा भवन से मीनार की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिए कि भवन की ऊँचाई AB = 15 मीटर है और मीनार की ऊँचाई PQ = \( h \) मीटर है। भवन और मीनार के बीच की क्षैतिज दूरी BQ = \( x \) मीटर है। भवन के शीर्ष A से मीनार के शीर्ष P का उन्नयन कोण 30° है, और भवन के पाद B से मीनार के शीर्ष P का उन्नयन कोण 60° है। एक क्षैतिज रेखा AM खींचते हैं जो मीनार PQ को M पर मिलती है। यहाँ, AM = BQ = \( x \) मीटर, और MQ = AB = 15 मीटर। इसलिए, PM = PQ - MQ = \( h - 15 \) मीटर।

Answer: मान लीजिए कि भवन की ऊँचाई AB = 15 मीटर है और मीनार की ऊँचाई PQ = \( h \) मीटर है। भवन और मीनार के बीच की क्षैतिज दूरी BQ = \( x \) मीटर है। भवन के शीर्ष A से मीनार के शीर्ष P का उन्नयन कोण 30° है, और भवन के पाद B से मीनार के शीर्ष P का उन्नयन कोण 60° है। एक क्षैतिज रेखा AM खींचते हैं जो मीनार PQ को M पर मिलती है। यहाँ, AM = BQ = \( x \) मीटर, और MQ = AB = 15 मीटर। इसलिए, PM = PQ - MQ = \( h - 15 \) मीटर।

समकोण त्रिभुज \( \triangle BQP \) में:
\( \tan 60^\circ = \frac{PQ}{BQ} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h}{x} \)
\( \implies h = x\sqrt{3} \) (समीकरण 1)
समकोण त्रिभुज \( \triangle AMP \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{PM}{AM} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h-15}{x} \)
\( \implies x = \sqrt{3}(h-15) \) (समीकरण 2)
समीकरण 1 से \( h \) का मान समीकरण 2 में रखने पर:
\( x = \sqrt{3}(x\sqrt{3}-15) \)
\( \implies x = 3x - 15\sqrt{3} \)
\( \implies 2x = 15\sqrt{3} \)
\( \implies x = \frac{15\sqrt{3}}{2} \) मीटर
अब \( x \) का मान समीकरण 1 में रखने पर:
\( h = \left(\frac{15\sqrt{3}}{2}\right)\sqrt{3} \)
\( \implies h = \frac{15 \times 3}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 \) मीटर
इस प्रकार, मीनार की ऊँचाई 22.5 मीटर है और भवन से मीनार की दूरी लगभग \( \frac{15 \times 1.732}{2} = 12.99 \) मीटर है। यह दिखाता है कि मीनार भवन से काफी ऊंची है, और दूर होने पर भी उसका उन्नयन कोण अधिक है।
In simple words: एक इमारत के ऊपर और नीचे से एक मीनार को देखने पर अलग-अलग कोण बनते हैं। इमारत की ऊँचाई और इन कोणों का उपयोग करके हम मीनार की ऊँचाई और दोनों के बीच की दूरी का पता लगा सकते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, दो त्रिभुजों का उपयोग करके अज्ञात चर (जैसे ऊँचाई और दूरी) को हल करने के लिए अक्सर समीकरणों की एक प्रणाली स्थापित करनी पड़ती है।

Question 23. एक ऊर्ध्वाधर मीनार के ऊपरी सिरे पर 5 मीटर लम्बा एक झण्डे का डण्डा लगा है। मीनार के पाद के क्षैतिज तल के एक बिन्दु से झण्डे के निचले तथा ऊपरी सिरों के उन्नयन कोण 30° व 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिए कि मीनार की ऊँचाई PQ = \( h \) मीटर है और झंडे के डंडे AP की लम्बाई 5 मीटर है। इसलिए, झंडे के डंडे के शीर्ष A से मीनार के आधार Q तक की कुल ऊँचाई AQ = AP + PQ = \( 5 + h \) मीटर है। मीनार के पाद Q से क्षैतिज तल पर बिंदु B की दूरी QB = \( x \) मीटर है। बिंदु B से झंडे के निचले सिरे P का उन्नयन कोण 30° है, और झंडे के ऊपरी सिरे A का उन्नयन कोण 60° है।

समकोण त्रिभुज \( \triangle PBQ \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{PQ}{QB} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x} \)
\( \implies x = h\sqrt{3} \) (समीकरण 1)
समकोण त्रिभुज \( \triangle ABQ \) में:
\( \tan 60^\circ = \frac{AQ}{QB} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h+5}{x} \)
\( \implies x = \frac{h+5}{\sqrt{3}} \) (समीकरण 2)
समीकरण 1 और 2 से \( x \) का मान बराबर करने पर:
\( h\sqrt{3} = \frac{h+5}{\sqrt{3}} \)
\( \implies 3h = h+5 \)
\( \implies 2h = 5 \)
\( \implies h = \frac{5}{2} = 2.5 \) मीटर
इस प्रकार, मीनार की ऊँचाई 2.5 मीटर है। यह दर्शाता है कि झंडे का डंडा मीनार से दोगुना ऊंचा है।
In simple words: एक खंभे के ऊपर एक झंडा लगा है। जमीन पर एक जगह से खंभे के ऊपर और झंडे के ऊपर देखने पर अलग-अलग कोण बनते हैं। इन कोणों और झंडे की लम्बाई का उपयोग करके हम खंभे की ऊँचाई का पता लगा सकते हैं।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप कुल ऊँचाई (मीनार + झंडा) और केवल मीनार की ऊँचाई के लिए सही त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करें।

Question 24. एक लड़का जमीन पर खडे होकर पतंग उड़ा रहा है। जिसकी डोरी 100 मीटर लम्बी तथा उन्नयन कोण 30° है। दूसरा लड़का 10 मीटर ऊँचे एक मकान की छत पर खड़ा होकर पतंग उड़ा रहा है। जिसका उन्नयन कोण 45° है। दोनों लड़के पतंगों के विपरीत ओर खड़े हैं। पहली पतंग से लड़ाने के लिए दूसरी पतंग की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहले लड़के (B) के लिए:
पतंग की डोरी की लम्बाई (AB) = 100 मीटर
उन्नयन कोण \( \angle ABC = 30^\circ \)
समकोण त्रिभुज \( \triangle ABC \) में (जहाँ AC पतंग की ऊँचाई है):
\( \sin 30^\circ = \frac{AC}{AB} \)
\( \frac{1}{2} = \frac{AC}{100} \)
\( \implies AC = 50 \) मीटर
तो, पतंग जमीन से 50 मीटर की ऊँचाई पर है। यह पतंग की कुल ऊँचाई है जिसे दोनों लड़के देख रहे हैं।

दूसरे लड़के (P) के लिए:
लड़का 10 मीटर ऊँचे मकान (PQ) की छत पर खड़ा है, इसलिए PQ = 10 मीटर।
पतंग की ऊँचाई (जमीन से) AC = 50 मीटर।
लड़के (P) की आँख का स्तर मकान की छत पर है, इसलिए क्षैतिज रेखा PM खींची जाती है।
PM, QC के समानांतर है। MQ = PC = 10 मीटर।
पतंग की ऊँचाई लड़के (P) के स्तर से AM = AC - MC = 50 - 10 = 40 मीटर है।
उन्नयन कोण \( \angle APM = 45^\circ \) (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)।
समकोण त्रिभुज \( \triangle AMP \) में:
हमें दूसरी पतंग की डोरी की लम्बाई (AP) ज्ञात करनी है।
\( \text{cosec } 45^\circ = \frac{AP}{AM} \)
\( \sqrt{2} = \frac{AP}{40} \)
\( \implies AP = 40\sqrt{2} \) मीटर
\( \implies AP \approx 40 \times 1.414 = 56.56 \) मीटर
इस प्रकार, दूसरी पतंग की डोरी की लम्बाई लगभग 56.56 मीटर है। यह दर्शाता है कि ऊँचे स्थान से पतंग उड़ाने पर डोरी की लम्बाई कम हो जाती है।
In simple words: एक पतंग हवा में उड़ रही है। दो लड़के उसे अलग-अलग जगहों से देख रहे हैं - एक जमीन से और दूसरा छत से। हम उनकी डोरी की लम्बाई और ऊँचाई का उपयोग करके यह पता लगा सकते हैं कि छत पर खड़े लड़के को पतंग तक पहुंचने के लिए कितनी डोरी की जरूरत होगी।

🎯 Exam Tip: जब एक ही वस्तु को अलग-अलग बिंदुओं से देखा जाता है, तो वस्तु की ऊँचाई को एक समान आधार के रूप में मानें और प्रत्येक प्रेक्षण बिंदु के लिए अलग-अलग त्रिभुजों का उपयोग करें।

Question 25. एक प्रकाश गृह के शीर्ष से दो जलयानों के अवनमन कोण 45° व 30° पूर्व की ओर हैं। यदि जलयानों के बीच की दूरी 200 मीटर है तो प्रकाश गृह की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिए कि प्रकाश गृह की ऊँचाई PQ = \( h \) मीटर है। दो जलयान A और B प्रकाश गृह के पूर्व की ओर स्थित हैं। जलयान A प्रकाश गृह के आधार Q से \( x \) मीटर की दूरी पर है, और जलयान B की दूरी \( (x + 200) \) मीटर है। प्रकाश गृह के शीर्ष P से जलयान A का अवनमन कोण 45° है, और जलयान B का अवनमन कोण 30° है। अवनमन कोणों के नियम के अनुसार, \( \angle PAQ = 45^\circ \) और \( \angle PBQ = 30^\circ \)। जैसे-जैसे हम प्रकाश गृह से दूर जाते हैं, अवनमन कोण कम होता जाता है।

समकोण त्रिभुज \( \triangle PQA \) में:
\( \tan 45^\circ = \frac{PQ}{QA} \)
\( 1 = \frac{h}{x} \)
\( \implies h = x \) (समीकरण 1)
समकोण त्रिभुज \( \triangle PQB \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{PQ}{QB} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+200} \)
\( \implies x+200 = h\sqrt{3} \) (समीकरण 2)
समीकरण 1 से \( x \) का मान समीकरण 2 में रखने पर:
\( h+200 = h\sqrt{3} \)
\( \implies 200 = h\sqrt{3} - h \)
\( \implies 200 = h(\sqrt{3}-1) \)
\( \implies h = \frac{200}{\sqrt{3}-1} \)
हर का परिमेयकरण करने पर:
\( h = \frac{200}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \)
\( \implies h = \frac{200(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2-1^2} = \frac{200(\sqrt{3}+1)}{3-1} \)
\( \implies h = \frac{200(\sqrt{3}+1)}{2} = 100(\sqrt{3}+1) \)
\( \implies h \approx 100(1.732+1) = 100(2.732) \)
\( \implies h \approx 273.2 \) मीटर
इस प्रकार, प्रकाश गृह की ऊँचाई लगभग 273.2 मीटर है। यह ऊँचाई जलयानों के सुरक्षित नौवहन के लिए महत्वपूर्ण है।
In simple words: एक लाइटहाउस के ऊपर से दो जहाजों को देखने पर अलग-अलग कोण बनते हैं। जहाजों के बीच की दूरी और इन कोणों का उपयोग करके हम लाइटहाउस की ऊँचाई का पता लगा सकते हैं।

🎯 Exam Tip: अवनमन कोणों को उन्नयन कोणों में बदलने के लिए एकांतर आंतरिक कोणों का उपयोग करना महत्वपूर्ण है, खासकर जब वस्तुएं एक ही तरफ हों।

Question 26. एक जलयान की छत पर जो पानी की सतह से 10 मीटर ऊपर है, एक व्यक्ति का किसी पहाड़ी के शीर्ष से उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के तल का अवनमन कोण 30° देखता है। पहाड़ी की जलयान से दूरी तथा पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिए कि पहाड़ी की ऊँचाई PQ = \( h \) मीटर है और जलयान की छत पर व्यक्ति की स्थिति A पानी की सतह से 10 मीटर ऊपर है (AB = 10 मीटर)। जलयान और पहाड़ी के बीच की क्षैतिज दूरी BQ = \( x \) मीटर है। बिंदु A से पहाड़ी के शीर्ष P का उन्नयन कोण 60° है, और पहाड़ी के तल Q का अवनमन कोण 30° है। एक क्षैतिज रेखा AM खींचते हैं जो पहाड़ी PQ को M पर मिलती है। यहाँ, AM = BQ = \( x \) मीटर, और MQ = AB = 10 मीटर। इसलिए, PM = PQ - MQ = \( h - 10 \) मीटर।

समकोण त्रिभुज \( \triangle AMQ \) में (जहाँ \( \angle MAQ \) अवनमन कोण है):
\( \tan 30^\circ = \frac{MQ}{AM} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{x} \)
\( \implies x = 10\sqrt{3} \) मीटर (समीकरण 1)
समकोण त्रिभुज \( \triangle PAM \) में (जहाँ \( \angle PAM \) उन्नयन कोण है):
\( \tan 60^\circ = \frac{PM}{AM} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h-10}{x} \)
\( \implies \sqrt{3}x = h-10 \) (समीकरण 2)
समीकरण 1 से \( x \) का मान समीकरण 2 में रखने पर:
\( \sqrt{3}(10\sqrt{3}) = h-10 \)
\( \implies 30 = h-10 \)
\( \implies h = 30+10 \)
\( \implies h = 40 \) मीटर
इस प्रकार, पहाड़ी की ऊँचाई 40 मीटर है और जलयान से पहाड़ी की दूरी \( 10\sqrt{3} \) मीटर (लगभग 17.32 मीटर) है। यह उदाहरण दिखाता है कि कैसे एक ऊंचे अवलोकन बिंदु से दोनों उन्नयन और अवनमन कोणों का उपयोग करके अज्ञात दूरियों और ऊँचाइयों को सटीक रूप से निर्धारित किया जा सकता है।
In simple words: एक जहाज पर खड़ा व्यक्ति एक पहाड़ी को देखता है। वह पहाड़ी के ऊपर और नीचे देखने पर अलग-अलग कोण बनाता है। जहाज की ऊँचाई और इन कोणों का उपयोग करके हम पहाड़ी की ऊँचाई और जहाज से उसकी दूरी का पता लगा सकते हैं।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणना सही है, हमेशा चित्र में उन्नयन और अवनमन कोणों को सही ढंग से चिह्नित करें। यह आपको संबंधित त्रिभुजों और उनके भुजाओं को पहचानने में मदद करेगा।