UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 11 Height and Distance Ex 111

Ex 11.1 Height and Distance बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

Question 1. जिस समय सूर्य का उन्नयन कोण 45° था तो एक मीनार की परछाई, उस मीनार की लम्बाई से-
(a) बराबर है।
(b) अधिक है।
(c) कम है।
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) बराबर है।
हल:माना मीनार की ऊँचाई \( = AB \) मीनार की छाया \( = BC \) \( \Delta ABC \) में,
\( \tan 45^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( 1 = \frac{AB}{BC} \)
\( BC = AB \) मीनार की ऊँचाई \( = \) मीनार की छाया अतः विकल्प (a) सही है।
In simple words: जब सूर्य का उन्नयन कोण 45° होता है, तो मीनार की ऊँचाई और उसकी परछाई की लंबाई बराबर होती है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि \( \tan 45^\circ \) का मान 1 होता है, जिसका मतलब है कि सामने की भुजा और आधार की भुजा बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, हमेशा एक समकोण त्रिभुज बनाएँ और त्रिकोणमितीय अनुपात (tan, sin, cos) का उपयोग करें जो दी गई जानकारी को संबंधित करता हो।

Question 2. किसी स्तम्भ की ऊँचाई उसकी छाया से \( \sqrt{3} \) गुणा है। सूर्य के उन्नयन कोण का मान होगा-
(a) 45°
(b) 60°
(c) 30°
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) 60°
हलःमाना खम्भे की ऊँचाई \( AB = \sqrt{3} \times \) खम्भे की छाया
\( AB = \sqrt{3} \times BC \)
\( \Delta ABC \) में,
\( \tan \theta = \frac{AB}{BC} \)
\( \tan \theta = \frac{\sqrt{3}BC}{BC} = \sqrt{3} \)
\( \implies \theta = 60^\circ \) अतः विकल्प (b) सही है।
In simple words: यदि किसी खंभे की ऊँचाई उसकी परछाई से \( \sqrt{3} \) गुना है, तो सूर्य का उन्नयन कोण 60 डिग्री होगा। यह त्रिकोणमिति के tan अनुपात का उपयोग करके निकाला जाता है।

🎯 Exam Tip: \( \tan \theta = \text{ऊँचाई / परछाई} \) सूत्र को याद रखें और \( \tan \) के मानक कोणों के मान (जैसे \( 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ \)) को जानें।

Question 3. एक मीनार के आधार से 20 मीटर दूर भूमि पर स्थित एक बिन्दु से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है। तब मीनार की ऊँचाई-
(a) \( 20\sqrt{3} \) मीटर
(b) 20 मीटर
(c) \( \frac{20}{3 \sqrt{3}} \) मीटर
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (d) इनमें से कोई नहीं
हलःमाना मीनार की ऊँचाई, \( AB = h \)
\( \Delta ABC \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20} \)
\( h = \frac{20}{\sqrt{3}} \) \( \sqrt{3} \) से गुणा व भाग करने पर,
\( h = \frac{20}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \) मीटर अतः विकल्प (d) सही है।
In simple words: मीनार की ऊँचाई निकालने के लिए, हमने दूरी और उन्नयन कोण का उपयोग करके tan अनुपात का प्रयोग किया। गणना करने पर, हमें ऊँचाई \( \frac{20\sqrt{3}}{3} \) मीटर मिली, जो दिए गए विकल्पों में से किसी से मेल नहीं खाती।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमिति के प्रश्नों में, \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \), \( \tan 45^\circ = 1 \), और \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \) के मानों को सही ढंग से याद रखना महत्वपूर्ण है।

Question 4. यदि सूर्य का उन्नयन कोण 45° है। तब h मीटर के स्तम्भ की परछाई होगी-
(a) \( \frac{h}{2} \) मीटर
(b) \( \frac{h}{3} \) मीटर
(c) h मीटर
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) h मीटर
हलःमाना मीनार की ऊँचाई, \( AB = h \) मी
\( \Delta ABC \) में,
\( \tan 45^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( 1 = \frac{h}{BC} \)
\( BC = h \) मी अतः विकल्प (c) सही है।
In simple words: जब सूर्य का उन्नयन कोण 45° होता है, तो खंभे की ऊँचाई और उसकी परछाई की लंबाई बराबर होती है। इसलिए, यदि खंभे की ऊँचाई h मीटर है, तो परछाई भी h मीटर ही होगी।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि जब उन्नयन कोण 45° होता है, तो त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज होता है, जहाँ ऊँचाई और आधार (परछाई) बराबर होते हैं।

Question 5. एक पेड़ सतह पर ऊर्ध्वाधर खड़ा है। पेड़ से \( 10\sqrt{3} \) मीटर दूर सतह पर किसी बिन्दु से पेड़ की ऊपरी चोटी का उन्नयन कोण 60° है। तब पेड़ की ऊँचाई होगी-
(a) 30 मीटर
(b) 60 मीटर
(c) 10 मीटर
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) 30 मीटर
हलःमाना पेड की ऊँचाई \( = h \) मीटर
\( \Delta ABC \) में,
\( \tan 60^\circ = \frac{h}{10\sqrt{3}} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h}{10\sqrt{3}} \)
\( h = 10\sqrt{3} \times \sqrt{3} \)
\( h = 10 \times 3 = 30 \) मीटर अतः विकल्प (a) सही है।
In simple words: पेड़ की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हमने उन्नयन कोण 60° और पेड़ से दूरी का उपयोग करके tan अनुपात का प्रयोग किया। गणना करने पर, पेड़ की ऊँचाई 30 मीटर मिली।

🎯 Exam Tip: \( \tan 60^\circ \) का मान \( \sqrt{3} \) होता है, जो इस प्रकार के समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 6. किसी समय एक स्तम्भ की परछाई उसकी लम्बाई के बराबर है तब सूर्य का उन्नयन कोण होगा-
(a) \( \frac{\pi}{4} \)
(b) \( \frac{\pi}{3} \)
(c) \( \frac{\pi}{6} \)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) \( \frac{\pi}{4} \)
हलःमाना सूर्य का उन्नयन कोण \( = \theta \) दिया है, \( AB = BC \) (स्तंभ की ऊँचाई = परछाई)
\( \Delta ABC \) में,
\( \tan \theta = \frac{AB}{BC} \)
\( \tan \theta = \frac{AB}{AB} = 1 \)
\( \implies \theta = 45^\circ \) या \( \frac{\pi}{4} \) रेडियन अतः विकल्प (a) सही है।
In simple words: जब किसी खंभे की परछाई उसकी अपनी लंबाई के बराबर होती है, तो सूर्य का उन्नयन कोण 45° होता है। यह त्रिकोणमिति के tan अनुपात से सिद्ध होता है, जहाँ tan 45° का मान 1 होता है।

🎯 Exam Tip: \( 45^\circ \) का मान रेडियन में \( \frac{\pi}{4} \) होता है। डिग्री और रेडियन के बीच रूपांतरण को याद रखें।

Ex 11.1 Height and Distance लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 7. किसी स्तम्भ की छाया उसकी ऊँचाई से \( \sqrt{3} \) गुनी है। सूर्य के उन्नयन कोण का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हलःमाना खम्भे की ऊँचाई \( AB = h \) मीटर खम्भे की छाया \( BC = \sqrt{3} \times h = \sqrt{3}h \) मीटर माना खम्भे का उन्नयन कोण \( = \theta \)
\( \Delta ABC \) में,
\( \tan \theta = \frac{AB}{BC} \)
\( \tan \theta = \frac{h}{\sqrt{3}h} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \theta = 30^\circ \)
In simple words: यदि किसी खंभे की परछाई उसकी ऊँचाई से \( \sqrt{3} \) गुना है, तो सूर्य का उन्नयन कोण 30° होगा। यह त्रिकोणमिति के tan अनुपात का उपयोग करके निकाला जाता है, क्योंकि \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप त्रिकोणमितीय अनुपातों को सही ढंग से लागू करें: ऊँचाई (लंब) और परछाई (आधार) के लिए tan का उपयोग करें।

Question 8. एक बिजली के खम्भे से 10 मीटर दूर स्थित बिन्दु से बल्ब का उन्नयन कोण 60° है। बल्ब की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हलःमाना खम्भे पर लगे बल्ब की ऊँचाई \( AB = h \)
\( \Delta ABC \) में,
\( \tan 60^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \sqrt{3} = \frac{AB}{10} \)
\( AB = 10\sqrt{3} \) मीटर बल्ब की ऊँचाई \( = 10\sqrt{3} \) मीटर \( = 10 \times 1.732 = 17.32 \) मीटर
In simple words: बिजली के खंभे की ऊँचाई जानने के लिए, हमने उन्नयन कोण (60°) और खंभे से दूरी (10 मीटर) का उपयोग करके tan अनुपात का प्रयोग किया। गणना करने पर, बल्ब की ऊँचाई लगभग 17.32 मीटर आती है।

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{3} \) का मान (लगभग 1.732) याद रखना आपको गणनाओं में तेजी लाने में मदद करेगा, खासकर जब दशमलव में उत्तर देना हो।

Question 9. एक 30 मीटर ऊँचे स्तम्भ से जहाज का अवनमन कोण 30° है। जहाज से स्तम्भ की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
हलःमाना स्तम्भ की ऊँचाई \( = 30 \) मीटर स्तम्भ के शीर्ष से जहाज का अवनमन कोण \( = 30^\circ \) अवनमन कोण \( = \) उन्नयन कोण \( = 30^\circ \)
\( \Delta ABC \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{30}{BC} \)
\( BC = 30\sqrt{3} \) मी
In simple words: अवनमन कोण का उपयोग करके, हमने जहाज से स्तम्भ की दूरी निकाली। क्योंकि अवनमन कोण उन्नयन कोण के बराबर होता है, हमने tan 30° का मान उपयोग किया और पाया कि दूरी \( 30\sqrt{3} \) मीटर है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि क्षैतिज रेखा के साथ बनने वाला अवनमन कोण, वस्तु और अवलोकन बिंदु के बीच बनने वाले उन्नयन कोण के बराबर होता है।

Question 10. एक बिजली का खम्भा 10 मीटर ऊँचा है। खम्भे को सीधा लम्बवत् रखने के लिए एक तार का सिरा, खम्भे की चोटी से बँधा है तथा दूसरा सिरा भूमि पर स्थिर किया गया है। यदि तार खम्भे के आधार बिन्दु से होकर जाने वाले क्षैतिज के साथ 45° का कोण बनाये तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हलःखम्भे की ऊँचाई \( AB = 10 \) मी \( \angle ACB = 45^\circ \)
\( \Delta ABC \) में,
\( \sin 45^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{10}{BC} \)
\( BC = 10\sqrt{2} \) अतः तार की लम्बाई \( = 10 \times 1.414 = 14.14 \) मीटर
In simple words: खंभे को सीधा रखने वाले तार की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हमने खंभे की ऊँचाई और तार द्वारा बनाए गए 45° के कोण का उपयोग करके sin अनुपात का प्रयोग किया। तार की लंबाई लगभग 14.14 मीटर है।

🎯 Exam Tip: जब ऊँचाई (लंब) और तार की लंबाई (कर्ण) दी हो, तो sin अनुपात का उपयोग करें। \( \sqrt{2} \) का मान (लगभग 1.414) याद रखें।

Ex 11.1 Height and Distance दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 11. एक निरीक्षक AC रेखा के सापेक्ष चलता है जहाँ `AB` ऊँचाई है और `BC` आधार है, `BC = 200` मीटर, \( \angle ACB = 45^\circ \), तब नदी के विपरीत कोनों पर स्थित बिन्दु A व B के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ।
Answer:
हलःमाना \( AB \) नदी की चौड़ाई है, और \( BC \) आधार है।
\( \angle ACB = 45^\circ \)
\( BC = 200 \) मीटर
\( \Delta ABC \) में,
\( \tan 45^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( 1 = \frac{AB}{200} \)
\( \implies AB = 200 \) मीटर
In simple words: नदी की चौड़ाई ज्ञात करने के लिए, हमने दूरी और उन्नयन कोण का उपयोग करके tan 45° के मान का प्रयोग किया। चूंकि tan 45° का मान 1 होता है, इसलिए नदी की चौड़ाई 200 मीटर के बराबर है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणनाएँ सटीक हैं, हमेशा वास्तविक-विश्व की स्थितियों को एक समकोण त्रिभुज में सही ढंग से मॉडल करें।

Question 12. किसी वृक्ष जिसकी ऊँचाई 15 मीटर है, का ऊपरी भाग जो आँधी से टूटकर पृथ्वी पर जा लगा है, पृथ्वी से 60° का कोण बनाता है। पृथ्वी से कितनी ऊँचाई पर वृक्ष टूटा है?
Answer:
हलःमाना पेड की ऊँचाई \( BD = 15 \) मीटर यदि पेड बिन्दु \( C \) से टूटकर जमीन पर बिन्दु \( A \) पर लग जाता है। तब \( CB = x \) मीटर (वृक्ष का खड़ा हिस्सा) और \( CA = (15-x) \) मीटर (वृक्ष का टूटा हुआ हिस्सा)
\( \Delta ABC \) में,
\( \sin 60^\circ = \frac{BC}{CA} \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{15-x} \)
\( 15\sqrt{3} - \sqrt{3}x = 2x \)
\( 15\sqrt{3} = 2x + \sqrt{3}x \)
\( 15\sqrt{3} = x(2+\sqrt{3}) \)
\( x = \frac{15\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})} \)
\( x = \frac{15\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})} \times \frac{(2-\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})} \)
\( x = \frac{30\sqrt{3} - 45}{(2)^2 - (\sqrt{3})^2} \)
\( x = \frac{30\sqrt{3} - 45}{4-3} \)
\( x = 30\sqrt{3} - 45 \)
\( x = 30 \times 1.732 - 45 \)
\( x = 51.96 - 45 = 6.96 \) मीटर इसलिए पेड पृथ्वी से 6.96 मीटर ऊँचाई से टूटेगा।
In simple words: 15 मीटर ऊँचे पेड़ के टूटे हुए हिस्से की ऊँचाई जानने के लिए, हमने sin अनुपात का प्रयोग किया। पेड़ 6.96 मीटर की ऊँचाई पर टूटा था, और टूटा हुआ हिस्सा जमीन से 60° का कोण बनाता था।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, सुनिश्चित करें कि आप पेड़ के टूटे हुए हिस्से को कर्ण (hypotenuse) के रूप में सही ढंग से पहचानें, और फिर त्रिकोणमितीय अनुपातों को लागू करें। हर स्टेप को ध्यान से हल करें।

Question 13. एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार पर इस प्रकार रखी जाती है कि यह दीवार की चोटी तक पहुँचती है। सीढ़ी का पाद दीवार से 1.5 मीटर दूर है और सीढ़ी जमीन से 60° के कोण पर झुकी है। दीवार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हलःमाना दीवार की ऊँचाई \( = h \) मीटर
\( \Delta ABC \) में,
\( \tan 60^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h}{1.5} \)
\( h = 1.5 \times \sqrt{3} \)
\( h = 1.5 \times 1.732 = 2.5980 \) मीटर दीवार की ऊँचाई \( = 2.598 \) मीटर
In simple words: दीवार की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हमने सीढ़ी के आधार की दूरी और सीढ़ी के जमीन के साथ बनाए गए कोण (60°) का उपयोग करके tan अनुपात का प्रयोग किया। गणना करने पर, दीवार की ऊँचाई लगभग 2.598 मीटर है।

🎯 Exam Tip: ध्यान दें कि \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \) है। दीवार की ऊँचाई (लंब) और दीवार से सीढ़ी के पाद की दूरी (आधार) के लिए tan का उपयोग करें।

Question 14. एक स्तम्भ से 20 मीटर दूरी पर स्थित बिन्दु का स्तम्भ के शीर्ष बिन्दु से उन्नयन कोण 30° है। स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हलःमाना मीनार की ऊँचाई \( AB = h \) मीटर, \( BC = 20 \) मीटर
\( \Delta ABC \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20} \)
\( h = \frac{20}{\sqrt{3}} \) \( \sqrt{3} \) से गुणा व भाग करने पर,
\( h = \frac{20}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \)
\( h = \frac{20 \times 1.732}{3} \)
\( h = \frac{34.64}{3} = 11.54 \) मीटर (लगभग)
In simple words: स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हमने स्तम्भ से दूरी और उन्नयन कोण 30° का उपयोग करके tan अनुपात का प्रयोग किया। गणना के बाद, स्तम्भ की ऊँचाई लगभग 11.54 मीटर है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि जब \( \sqrt{3} \) हर में हो, तो उसे परिमेयकरण (rationalize) करके सरल किया जा सकता है।

Question 15. एक गुब्बारा 215 मीटर लम्बे तार से बँधा है तथा क्षैतिज से 60° का कोण बनाता है। गुब्बारे की जमीन से ऊँचाई ज्ञात कीजिए यदि यह माने कि डोरी में कोई ढील नहीं है ।
Answer:
हलःमाना जमीन से गुब्बारा \( h \) मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। तब \( AB = h \) मीटर, \( AC = 215 \) मीटर
\( \Delta ABC \) में,
\( \sin 60^\circ = \frac{AB}{AC} \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{215} \)
\( h = \frac{215 \times \sqrt{3}}{2} \)
\( h = \frac{215 \times 1.732}{2} \)
\( h = \frac{372.38}{2} = 186.19 \approx 186 \) मीटर (लगभग)
In simple words: गुब्बारे की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हमने तार की लंबाई (जो कर्ण है) और क्षैतिज के साथ बने कोण (60°) का उपयोग करके sin अनुपात का प्रयोग किया। गुब्बारे की ऊँचाई लगभग 186 मीटर है।

🎯 Exam Tip: जब ऊँचाई (लंब) और कर्ण (तार की लंबाई) के बीच संबंध हो, तो sin अनुपात का प्रयोग करें। \( \sqrt{3} \) का मान सही ढंग से उपयोग करें।

Question 16. 1.5 मीटर लम्बा एक निरीक्षक 30 मीटर ऊँची मीनार से 28 मीटर दूर खड़ा है, उसकी आँख से मीनार के शीर्ष बिन्दु का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए ।
Answer:
हलःमाना प्रेक्षक की आँख \( D \) पर \( \theta \) कोण बनाती है। मीनार की ऊँचाई \( AB = 30 \) मीटर निरीक्षक की ऊँचाई \( DC = 1.5 \) मीटर मीनार से प्रेक्षक की दूरी \( CB = 28 \) मीटर क्षैतिज रेखा \( DM = CB = 28 \) मीटर \( AM = AB - MB = AB - DC = 30 - 1.5 = 28.5 \) मीटर
\( \Delta ADM \) में,
\( \tan \theta = \frac{AM}{DM} = \frac{28.5}{28} \approx 1 \) (लगभग)
\( \implies \theta = 45^\circ \)
In simple words: मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण जानने के लिए, हमने मीनार की ऊँचाई, निरीक्षक की ऊँचाई और दोनों के बीच की दूरी का उपयोग किया। गणना करने पर, उन्नयन कोण लगभग 45° पाया गया।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, निरीक्षक की ऊँचाई को मीनार की ऊँचाई से घटाना याद रखें ताकि सही लम्ब (perpendicular) भुजा प्राप्त हो सके।

Question 17. एक पहाड़ की चोटी से टॉवर के पाद का उन्नयन कोण 60° है तथा टॉवर के शीर्ष से पहाड़ की पाद पर उन्नयन कोण 30° है। यदि टॉवर की ऊँचाई 50 मीटर है तो पहाड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हलःमाना पहाड़ की ऊँचाई \( = h \) माना टॉवर की ऊँचाई \( MN = 50 \) मीटर पहाड़ व टॉवर के बीच की दूरी \( QN = x \) मीटर
\( \Delta QNM \) में (जहां \( QN \) आधार है और \( MN \) टॉवर की ऊँचाई है),
\( \tan 30^\circ = \frac{MN}{QN} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{x} \)
\( \implies x = 50\sqrt{3} \) मीटर अब \( \Delta PQN \) में (जहां \( QN \) आधार है और \( PQ \) पहाड़ की ऊँचाई है),
\( \tan 60^\circ = \frac{PQ}{QN} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h}{50\sqrt{3}} \)
\( \implies h = 50\sqrt{3} \times \sqrt{3} \)
\( h = 50 \times 3 = 150 \) मीटर
In simple words: पहाड़ की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हमने टॉवर की ऊँचाई (50 मीटर) और दो उन्नयन कोणों का उपयोग किया। पहले टॉवर से पहाड़ तक की दूरी निकाली गई, फिर उसी दूरी का उपयोग करके पहाड़ की ऊँचाई 150 मीटर ज्ञात की गई।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करते समय, दो अलग-अलग समकोण त्रिभुजों को पहचानें और प्रत्येक त्रिभुज के लिए सही त्रिकोणमितीय अनुपात लागू करें। सामान्य आधार या ऊँचाई से संबंध स्थापित करें।

Question 18. दो खम्भों के बीच की क्षैतिज दूरी 140 मीटर है। पहले खम्भे के शीर्ष से दूसरे खम्भे के शीर्ष पर अवनमन कोण 30° है। यदि दूसरे खम्भे की ऊँचाई 60 मीटर है तो पहले खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हलःदो खम्भों के बीच की क्षैतिज दूरी \( NQ = MT = 140 \) मीटर है। दूसरी मीनार की ऊँचाई \( TQ = MN = 60 \) मीटर
\( \Delta PMT \) में,
\( \tan 30^\circ = \frac{PT}{MT} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{PT}{140} \)
\( PT = \frac{140}{\sqrt{3}} \) मीटर पहली मीनार की ऊँचाई \( PQ = PT + TQ \)
\( PQ = \frac{140}{\sqrt{3}} + 60 \)
\( PQ = \frac{140 + 60\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( PQ = \frac{(140 + 60\sqrt{3})\sqrt{3}}{3} \)
\( PQ = \frac{140\sqrt{3} + 180}{3} \)
\( PQ = \frac{140 \times 1.732 + 180}{3} \)
\( PQ = \frac{242.48 + 180}{3} \)
\( PQ = \frac{422.48}{3} = 140.826 \approx 140.83 \) मीटर (लगभग)
In simple words: पहले खंभे की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हमने दोनों खंभों के बीच की क्षैतिज दूरी (140 मीटर), दूसरे खंभे की ऊँचाई (60 मीटर) और अवनमन कोण (30°) का उपयोग किया। गणना से पता चला कि पहले खंभे की ऊँचाई लगभग 140.83 मीटर है।

🎯 Exam Tip: अवनमन कोण का उपयोग करते समय, क्षैतिज रेखा खींचना और वैकल्पिक आंतरिक कोण (alternate interior angle) का उपयोग करना याद रखें ताकि समकोण त्रिभुज को सही ढंग से हल किया जा सके।

Question 19. 50 मीटर ऊँचे एक स्तम्भ से एक खम्भे के शीर्ष व पाद पर अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हैं। यदि खम्भा एवं स्तम्भ एक ही तल पर स्थित हैं। तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हलःमाना खम्भे की ऊँचाई \( PM = h \) मीटर माना स्तम्भ की ऊँचाई \( AB = 50 \) मीटर स्तम्भ व खम्भे के बीच की दूरी \( MB = x \)
\( \Delta AMB \) में,
\( \tan 60^\circ = \frac{AB}{MB} = \frac{50}{x} \)
\( \implies x = \frac{50}{\sqrt{3}} \) मीटर
\( \Delta APQ' \) में, (जहाँ \( Q' \) पोल पर \( A \) के स्तर पर एक बिंदु है)
\( \tan 45^\circ = \frac{AQ'}{PQ'} \) \( Q' \) को \( P \) के साथ एक क्षैतिज रेखा पर मानते हुए, \( PQ' = MB = x \) \( AQ' = AB - PB = 50 - h \)
\( 1 = \frac{50-h}{x} \)
\( \implies x = 50-h \) दोनों समीकरणों को हल करने पर:
\( \frac{50}{\sqrt{3}} = 50-h \)
\( h = 50 - \frac{50}{\sqrt{3}} \)
\( h = 50 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \)
\( h = 50 \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}} \right) \)
\( h = \frac{50(\sqrt{3}-1)\sqrt{3}}{3} \)
\( h = \frac{50(3-\sqrt{3})}{3} \)
\( h = \frac{50(3-1.732)}{3} \)
\( h = \frac{50 \times 1.268}{3} \)
\( h = \frac{63.4}{3} = 21.13 \) मीटर (लगभग) अतः खम्भे की ऊँचाई \( = 21.13 \) मीटर
In simple words: खंभे की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हमने स्तम्भ की ऊँचाई (50 मीटर) और खंभे के शीर्ष और पाद पर बने अवनमन कोणों (45° और 60°) का उपयोग किया। गणना से पता चला कि खंभे की ऊँचाई लगभग 21.13 मीटर है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणनाएँ सही हैं, ऐसे प्रश्नों में हमेशा दो समकोण त्रिभुजों को अलग-अलग मानें और उनके आधारों (दूरी) को बराबर करें।