UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 11 Constructions

UP Board Solutions For Class 10 Maths Chapter 11 Constructions (रचनाएँ)

प्रश्नावली 11.1 (NCERT Page 242)

Question 1. निम्न में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिएः 10 वीं गणित अध्याय 11 प्र० 1. 7.6 सेमी. लम्बा एक रेखाखंड खीचिए और इसे 5 : 8 अनुपात में विभाजित कीजिए। दोनों भागों को मापिए ।
Answer: हलः रचना के पद
I. एक रेखाखंड AB = 7.6 सेमी खींचो ।
II. एक किरण AX खींचो जो AB के साथ एक न्यून कोण बनाए।
III. किरण AX पर (8 + 5) = 13 समान खंड काटो और उन्हें X1, X2, X3, X4, ..., X13 से अंकित करो ।
IV. X13 को B से मिलाओ ।
V. X5 से X6C || X13B खींचो जो AB को C पर मिले ।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक रेखाखंड AB को 5:8 अनुपात में विभाजित करने की प्रक्रिया को दर्शाता है। बिंदु X पर एक किरण AX खींची गई है, जिस पर 13 समान खंड X1 से X13 अंकित हैं। X13 को B से मिलाया गया है और X5 से X13B के समानांतर एक रेखा खींची गई है जो AB को बिंदु C पर काटती है, जिससे रेखाखंड 5:8 के अनुपात में बँट जाता है।

इस प्रकार बिन्दु C रेखाखंड AB को 5 : 8 अनुपात में विभाजित करता है।
दोनों रेखाखंडों को मापने पर, हमें प्राप्त होता है AC = 4.7 सेमी., BC = 2.9 सेमी

सत्यापनः \( \triangle ABX_{13} \) और \( \triangle ACX_5 \) में हमें प्राप्त होता है:
\( C_5 || B_{13} \)
\( \frac{AC}{CB} = \frac{AX_5}{X_5X_{13}} = \frac{5}{8} \)
\( \implies AC : CB = 5 : 8. \)
In simple words: हमने एक 7.6 सेमी रेखाखंड को 5:8 के अनुपात में विभाजित किया है, जिसके लिए पहले एक न्यून कोण वाली किरण खींची और उस पर 13 समान बिंदु बनाए। फिर उचित बिंदुओं को मिलाकर और समानांतर रेखाएँ खींचकर रेखाखंड को वांछित अनुपात में बाँटा।

🎯 Exam Tip: रेखाखंड के विभाजन के प्रश्नों में, किरण पर सही संख्या में बिंदु अंकित करना और समानांतर रेखा खींचने के लिए उचित बिंदुओं का चयन करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 2. Class 10 Math Chapter 11 Solution In Hindi प्र० 2. 4 सेमी., 5 सेमी. और 6 सेमी. भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की गुनी हों।
Answer: हलः रचना के पद

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC और उसके समरूप एक अन्य त्रिभुज A'BC' की रचना को दर्शाता है। किरण BX पर तीन समान बिंदु X1, X2, X3 बनाए गए हैं। X3 को C से मिलाया गया है और X2 से X3C के समानांतर एक रेखा X2C' खींची गई है। C' से CA के समानांतर एक रेखा C'A' खींची गई है, जिससे A'BC' त्रिभुज ABC के समरूप बनता है।

I. एक \( \triangle ABC \) की रचना इस प्रकार करो कि BC = 6 सेमी, AC = 5 सेमी और AB = 4 सेमी है।
II. एक किरण BX इस प्रकार खींचो की \( \angle CBX \) एक न्यून कोण हो ।
III. BX पर तीन बिन्दु X1, X2, और X3 इस प्रकार अंकित करो कि
\( BX_1 = X_1X_2 = X_2X_3 \)
IV. X3 और C को मिलाओ ।
V. X2 से एक रेखा \( X_3C \) के समान्तर खींचो जो BC को C' पर काटे ।
VI. C' से एक रेखा CA के समान्तर खींचो जो BA को A' पर मिले ।
इस प्रकार अभिष्ठ त्रिभुज ABC' है।
सत्यापनः रचना से हमें प्राप्त होता है किः
\( X_2C' || X_3C \)
\( \implies \frac{BX_2}{X_2X_3} = \frac{BC'}{C'C} \)
परन्तु \( \frac{BX_2}{X_2X_3} = \frac{2}{1} \)
\( \implies \frac{BC'}{C'C} = \frac{2}{1} \)
\( \implies \frac{C'C}{BC'} = \frac{1}{2} \)
दोनों ओर 1 जोड़ने पर
\( \frac{C'C}{BC'} + 1 = \frac{1}{2} + 1 \)
\( \implies \frac{C'C + BC'}{BC'} = \frac{1+2}{2} \)
\( \implies \frac{BC}{BC'} = \frac{3}{2} \)
अब, \( \triangle ABC'A' \) और \( \triangle BCA \) में,
\( CA || C'A' \)
AA समरूपता से, हमें प्राप्त होता है:
\( \triangle BC'A' \sim \triangle BCA \)
\( \implies \frac{AB'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{BC'}{BC} = [\text{प्रत्येक} = \frac{2}{3}] \)
In simple words: हमने 4, 5 और 6 सेमी भुजाओं वाला एक त्रिभुज बनाया और फिर एक न्यून कोण वाली किरण पर तीन समान बिंदु अंकित किए। समानांतर रेखाओं का उपयोग करके, हमने मूल त्रिभुज के समरूप एक नया त्रिभुज बनाया जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की संगत भुजाओं के 2/3 गुना हैं।

🎯 Exam Tip: समरूप त्रिभुजों की रचना में, स्केल फैक्टर के आधार पर किरण पर बिंदुओं को सही ढंग से चिह्नित करना और संगत भुजाओं के समानांतर रेखाएँ खींचना आवश्यक है।

 

Question 3. Chapter 11 Maths Class 10 In Hindi प्र० 3. 5 सेमी., 6 सेमी. और 7 सेमी. भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की गुनी हों।
Answer: हलः रचना के पद

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसकी भुजाएँ 5 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी हैं। एक किरण BX खींची गई है जो AB से एक न्यून कोण बनाती है, जिस पर X1 से X7 तक सात समान बिंदु अंकित हैं। X5 को C से मिलाया गया है, और X7 से X5C के समानांतर एक रेखा X7C' खींची गई है जो BC को C' पर काटती है। C' से CA के समानांतर एक रेखा C'A' खींची गई है जो BA को A' पर काटती है, जिससे त्रिभुज A'BC' प्राप्त होता है।

I. एक त्रिभुज ABC की रचना इस प्रकार कीजिए जिसमें AB = 5 सेमी., BC = 7 सेमी. और AC = 6 सेमी. है।
II. एक किरण BX इस प्रकार खींचो की \( \angle CBX \) एक न्यून कोण हो ।
III. BX पर 7 बिन्दु X1, X2, X3, X4, ..., X7 अंकित करो ।
IV. X5 और C को मिलाओ ।
V. बिन्दु X7 से \( X_5C || X_7C' \) खींचो जो BC (बढ़ाने पर) को C' पर काटे ।
VI. C' से CA के समान्तर एक रेखा खींचो जो BA (बढ़ाने पर) को A' पर काटे।
इस प्रकार \( \triangle ABC \) अभीष्ठ त्रिभुज है।
सत्यापनः रचना से, हमें प्राप्त होता है कि \( C'A' || CA \)
AA' समरूपता से हमें प्राप्त होता है: \( \triangle ABC \sim \triangle A'BC' \)
\( \therefore \frac{A'B}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{BC'}{BC} \)
तथा \( X_7C' || X_5C \)
[रचना द्वारा]
\( \triangle BX_7C' \sim \triangle BX_5C \implies \frac{BC'}{BC} = \frac{BX_7}{BX_5} = \frac{7}{5} \)
\( \therefore \frac{A'B}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{BC'}{BC} = \frac{7}{5} \)
In simple words: हमने 5, 6 और 7 सेमी भुजाओं वाला एक त्रिभुज बनाया। फिर, एक न्यून कोण वाली किरण पर 7 समान बिंदु अंकित किए और समानांतर रेखाएँ खींचकर मूल त्रिभुज के समरूप एक नया त्रिभुज बनाया जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की संगत भुजाओं के 7/5 गुना हैं।

🎯 Exam Tip: स्केल फैक्टर 7/5 (एक से बड़ा) होने पर, नया त्रिभुज मूल त्रिभुज से बड़ा बनेगा। यह सुनिश्चित करें कि किरण पर समान बिंदुओं की संख्या हर में दी गई संख्या से अधिक हो।

 

Question 4. Construction Class 10 प्र० 4. आधार 8 सेमी. तथा ऊँचाई 4 सेमी. के एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ इस समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की 1 गुनी हों।
Answer: हलः रचना के पद

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की रचना को दर्शाता है जिसका आधार BC 8 सेमी और ऊँचाई DA 4 सेमी है। एक किरण BX खींची गई है, जिस पर X1, X2, X3 तीन समान बिंदु अंकित हैं। X2 को C से मिलाया गया है और X3 से X2C के समानांतर एक रेखा X3C' खींची गई है जो BC को C' पर काटती है। C' से CA के समानांतर एक रेखा C'A' खींची गई है जो BA को A' पर काटती है, जिससे त्रिभुज A'BC' प्राप्त होता है।

I. BC = 8 सेमी खींचो ।
II. BC का लम्ब समद्विभाजक खींचो जो BC को D पर काटे।
III. उक्त लम्ब पर एक बिन्दु A इस प्रकार अंकित करो कि DA = 4 सेमी.
IV. AB और AC को मिलाओ। इस प्रकार \( \triangle ABC \) वांछित समद्विबाहु A है ।
V. अब, एक किरण BX इस प्रकार खींचो कि \( \angle X \) एक न्यून कोण हो ।
VI. BX पर तीन बिन्दु X1, X2, X3 इस प्रकार
अंकित करो किः
\( BX_1 = X_1X_2 = X_2X_3 \)
VII. X2 और C को मिलाओ ।
VIII. X3 से एक रेखा B2C के समान्तर खींचो जो BC (बढ़ाने पर) को C' पर काटे।
IX. C' से एक रेखा CA के समान्तर खींचो जो BA (बढ़ाने पर) को A' पर काटे ।
इस प्रकार \( \triangle A'B'C' \) अभीष्ठ त्रिभुज है।
सत्यापनः हमें प्राप्त है किः
\( C'A' || CA \)
[रचना से]
\( \therefore \) AA समरूपता से, \( \triangle ABC \sim \triangle A'BC' \)
\( \frac{A'B}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{BC'}{BC} \)
चूँकि,
\( X_3C' || X_2C \)
[रचना से]
\( \implies \triangle BX_3C' \sim \triangle BX_2C \)
\( \implies \frac{BC'}{BC} = \frac{BX_3}{BX_2} \)
[By BTP]
परन्तु \( \frac{BX_3}{BX_2} = \frac{3}{2} \)
\( \implies \frac{BC'}{BC} = \frac{3}{2} \)
इस प्रकार, \( \frac{A'B}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{BC'}{BC} = \frac{3}{2} \)
In simple words: हमने 8 सेमी आधार और 4 सेमी ऊँचाई का एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाया। फिर एक न्यून कोण वाली किरण पर तीन समान बिंदु अंकित किए। समानांतर रेखाओं का उपयोग करके, हमने मूल त्रिभुज के समरूप एक नया त्रिभुज बनाया जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की संगत भुजाओं के 3/2 गुना हैं।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज की रचना में, लम्ब समद्विभाजक और ऊँचाई का सही उपयोग महत्वपूर्ण है। स्केल फैक्टर 3/2 होने पर, नया त्रिभुज मूल त्रिभुज से बड़ा बनता है।

 

Question 5. Ch 11 Class 10 Maths प्र० 5. एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 6 सेमी, AB = 5 सेमी. और ∠ABC = 60° हो। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ AABC की संगत भुजाओं की गुनी हों।
Answer: हलः रचना के पद

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें BC = 6 सेमी, AB = 5 सेमी और कोण B = 60° है। एक किरण BX खींची गई है जो BC से न्यून कोण बनाती है, जिस पर X1, X2, X3, X4 चार समान बिंदु अंकित हैं। X4 को C से मिलाया गया है और X3 से X4C के समानांतर एक रेखा X3C' खींची गई है जो BC को C' पर काटती है। C' से CA के समानांतर एक रेखा C'A' खींची गई है जो BA को A' पर काटती है, जिससे त्रिभुज A'BC' प्राप्त होता है।

I. एक त्रिभुज ABC की रचना इस प्रकार करो किः BC = 6 सेमी, AB = 5 सेमी और \( \angle ABC = 60° \).
II. एक किरण BX इस प्रकार खींचो कि \( \angle CBX \) एक न्यनू कोण हो ।
III. BX पर चार बिन्दु X1, X2, X3 और X4 इस प्रकार अंकित करो कि \( BX_1 = X_1X_2 = X_2X_3 = X_3X_4 \)
IV. X4C को मिलाओ ।
V. X3C' || X4C खींचो जो कि BC को C' पर काटे।
VI. एक अन्य रेखा C' से CA के समान्तर खींचो जो BA को A' पर काटे ।
इस प्रकार \( \triangle A'BC' \) अभीष्ठ त्रिभुज है।
सत्यापनः रचना से हमें प्राप्त है किः
\( X_3C' || X_4C \)
[BPT प्रमेय से]
\( \therefore \frac{BX_3}{BX_4} = \frac{BC'}{BC} \)
परन्तु \( \frac{BX_3}{BX_4} = \frac{3}{4} \)
[रचना से]
\( \implies \frac{BC'}{BC} = \frac{3}{4} \)....(1)
अब, हमें प्राप्त है किः
\( CA || C'A' \)
[रचना से]
\( \therefore \triangle ABC'A' \sim \triangle BCA \)
[AA समरूपता से]
\( \implies \frac{A'B}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{BC'}{BC} = \frac{3}{4} \)
[(1) से]
In simple words: हमने 60° के कोण पर 6 सेमी और 5 सेमी भुजाओं वाला एक त्रिभुज बनाया। फिर, एक न्यून कोण वाली किरण पर 4 समान बिंदु अंकित किए। समानांतर रेखाओं का उपयोग करके, हमने मूल त्रिभुज के समरूप एक नया त्रिभुज बनाया जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की संगत भुजाओं के 3/4 गुना हैं।

🎯 Exam Tip: कोण-आधारित त्रिभुज रचनाओं में, दिए गए कोण का सटीक माप सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है। स्केल फैक्टर 3/4 (एक से छोटा) होने पर, नया त्रिभुज मूल त्रिभुज से छोटा बनता है।

 

Question 6. रचना क्लास 10th प्र० 6. एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 45°, ∠A = 105° हो । फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की गुनी हों।
Answer: हलः रचना के पद

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC की रचना को दर्शाता है जिसमें BC = 7 सेमी, कोण B = 45°, और कोण A = 105° है, जिससे कोण C = 30° होता है। एक किरण BX खींची गई है जिस पर X1, X2, X3, X4 चार समान बिंदु अंकित हैं। X3 को C से मिलाया गया है और X4 से X3C के समानांतर एक रेखा X4C' खींची गई है जो BC को C' पर काटती है। C' से CA के समानांतर एक रेखा C'A' खींची गई है जो BA को A' पर काटती है, जिससे त्रिभुज A'BC' प्राप्त होता है।

I. एक \( \triangle ABC \) की रचना इस प्रकार करो कि BC = 7 सेमी, \( \angle B = 45° \) और \( \angle A = 105° \) हो ।
II. एक किरण BX इस प्रकार खींचो कि \( \angle CBX \) एक न्यून कोण हो ।
III. BX पर चार बिन्दु X1, X2, X3 और X4 इस प्रकार अंकित करो किः
\( BX_1 = X_1X_2 = X_2X_3 = X_3X_4 \) हो ।
IV. X3 और C को मिलाओ।
V. X4C' || X3C इस प्रकार खींचो कि C', BC (बढ़ाने पर) को मिले ।
VI. C' से CA के समान्तर एक रेखा खींचो जो BA (बढ़ाने पर) को A' पर मिले ।
इस प्रकार \( \triangle A'BC' \) अभीष्ठ त्रिभुज है।
सत्यापन: रचना से हमें प्राप्त है किः
\( C'A' || CA \)
\( \therefore \triangle ABC \sim \triangle A'BC' \)
[AA समरूपता से]
\( \implies \frac{A'B}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{BC'}{BC} \)....(1)
पुनः रचना से,
\( X_4C' || X_3C \)
\( \therefore \triangle BX_4C' \sim \triangle BX_3C \)
\( \implies \frac{BC'}{BC} = \frac{BX_4}{BX_3} \)
परन्तु \( \frac{BX_4}{BX_3} = \frac{4}{3} \)....(2)
(1) और (2) से, हमें प्राप्त है किः
\( \implies \frac{A'B}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{BC'}{BC} = \frac{4}{3} \)
In simple words: हमने दिए गए कोणों और भुजा माप का उपयोग करके एक त्रिभुज ABC बनाया। फिर एक न्यून कोण वाली किरण पर 4 समान बिंदु अंकित किए और समानांतर रेखाओं की सहायता से मूल त्रिभुज के समरूप एक नया त्रिभुज बनाया जिसकी भुजाएँ संगत भुजाओं के 4/3 गुना हैं।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के कोणों को सही ढंग से मापने और तीसरे कोण को निकालने के लिए \(180°\) के कोण योग गुण का उपयोग करना महत्वपूर्ण है। स्केल फैक्टर 4/3 होने के कारण, नया त्रिभुज मूल त्रिभुज से बड़ा बनेगा।

 

Question 7. Class 10 Maths Chapter 11 In Hindi प्र० 7. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अतिरिक्त) 4 सेमी. तथा 3 सेमी. लम्बाई की हों। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की गुनी हों।
Answer: हलः रचना के पद

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समकोण त्रिभुज ABC की रचना को दर्शाता है, जिसमें \( \angle B = 90° \), BC = 4 सेमी और BA = 3 सेमी है। एक किरण BX खींची गई है जिस पर X1 से X5 तक पांच समान बिंदु अंकित हैं। X3 को C से मिलाया गया है और X5 से X3C के समानांतर एक रेखा X5C' खींची गई है जो BC को C' पर काटती है। C' से CA के समानांतर एक रेखा C'A' खींची गई है जो BA को A' पर काटती है, जिससे त्रिभुज A'BC' प्राप्त होता है।

I. एक \( \triangle ABC \) की रचना इस प्रकार करो कि \( \angle B = 90° \), BC = 4 सेमी और BA = 3 सेमी हो ।
II. एक किरण BX इस प्रकार खींचो कि \( \angle CBX \) एक न्यनू कोण हो।
III. BX पर पाँच बिन्दु X1, X2, X3, X4 और X5
इस प्रकार खींचो कि: \( BX_1 = X_1X_2 = X_2X_3 = X_3X_4 = X_4X_5 \) हो ।
IV. X3 और C को मिलाओ ।
V. X5 से X3C के समान्तर एक रेखा खींचो जो BC को बढ़ाने पर C' पर काटे।
VI. एक अन्य रेखा C' से CA के समान्तर खींचो जो BA को बढ़ाने पर A' पर मिले।।
इस प्रकार \( \triangle A'B'C' \) अभीष्ठ त्रिभुज है।
सत्यापनः रचना से, हमें प्राप्त है किः
\( C'A' || CA \)
\( \triangle ABC \sim \triangle A'BC' \)
[AA समरूपता से]
\( \frac{A'B}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{BC'}{BC} \)....(1)
पुनः
\( X_5C' || X_3C \)
[रचना से]
\( \therefore \triangle BX_5C' \sim \triangle BX_3C \)
\( \frac{BC'}{BC} = \frac{BX_5}{BX_3} \)
परन्तु \( \frac{BX_5}{BX_3} = \frac{5}{3} \)....(2)
(1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है :
\( \frac{A'B}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{BC'}{BC} = \frac{5}{3} \)
In simple words: हमने 90° का कोण बनाते हुए 3 सेमी और 4 सेमी भुजाओं (कर्ण के अतिरिक्त) वाला एक समकोण त्रिभुज बनाया। फिर, एक न्यून कोण वाली किरण पर 5 समान बिंदु अंकित किए। समानांतर रेखाओं का उपयोग करके, हमने मूल त्रिभुज के समरूप एक नया त्रिभुज बनाया जिसकी भुजाएँ संगत भुजाओं के 5/3 गुना हैं।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज की रचना में, 90 डिग्री का कोण सही ढंग से बनाना महत्वपूर्ण है। स्केल फैक्टर 5/3 (एक से बड़ा) होने पर, नया त्रिभुज मूल त्रिभुज से बड़ा बनता है।

 

प्रश्नावली 11.2 (NCERT Page 244)

Question 1. निम्न में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिएः प्र० 1. 6 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खीचिए। केन्द्र से 10 सेमी. दूर स्थित एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाइयाँ मापिए ।
Answer: हलः रचना के पद
I. एक बिन्दु O अंकित करो।
II. केन्द्र O और त्रिज्या 6 सेमी से एक वृत्त खींचो ।
III. केन्द्र से 10 सेमी की दूरी पर एक बिन्दु P अंकित करो ।
IV. O और P को मिलाओ।
V. OP को M पर समद्विभाजित करो।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख 6 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त पर बाह्य बिंदु P से स्पर्श रेखाओं PA और PB की रचना को दर्शाता है। OP रेखाखंड को M पर समद्विभाजित किया गया है। M को केंद्र मानकर और MO या MP को त्रिज्या मानकर एक दूसरा वृत्त खींचा गया है जो पहले वृत्त को A और B पर काटता है। PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं।

VI. बिन्दु M को केन्द्र लेकर MO या MP के समान त्रिज्या से एक वृत्त खींचो जो दिए गये वृत्त को A और B पर काटे।
VII. PA और PB को मिलाओ। इस प्रकार, PA और PB दो अभिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं। मापने पर, PA = PB = 9.6 सेमी.
सत्यापनः OA और OB को मिलाओ चूँकि OP एक व्यास है। \( \angle OAP = 90°; \angle OBP = 90° \) [अर्धवृत्त में बने कोण]
पुनः OA और OB एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। PA और PB वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ है।
In simple words: हमने 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त और केंद्र से 10 सेमी दूर एक बिंदु P लिया। OP का मध्यबिंदु M ज्ञात किया और M को केंद्र मानकर एक वृत्त खींचा जो मूल वृत्त को A और B पर काटता है। PA और PB वांछित स्पर्श रेखाएँ हैं, जिनकी लंबाई 9.6 सेमी मापी गई।

🎯 Exam Tip: किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना में, बाह्य बिंदु और वृत्त के केंद्र को जोड़ने वाले रेखाखंड का लम्ब समद्विभाजक ज्ञात करना महत्वपूर्ण है। स्पर्श रेखाएँ हमेशा समान लंबाई की होती हैं।

 

Question 2. प्र० 2. 4 सेमी. त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 सेमी. त्रिज्या के एक सकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए । परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
Answer: हलः रचना के पद
I. 4 सेमी और 6 सेमी त्रिज्या के दो वृत्त एक ही केन्द्र O से खींचो ।
II. बड़े वृत्त पर एक बिन्दु P अंकित करो ।
III. O और P को मिलाओ ।
IV. OP का लम्ब समद्विभाजक M ज्ञात करो।
V. Mको केन्द्र और OM या PM के समान त्रिज्या से एक वृत्त खींचो जो छोटे वृत्त को A और B पर काटे ।
VI. A और P को मिलाइए। इस प्रकार PA अभीष्ठ स्पर्श रेखा है। मापने पर, PA = 4.5 सेमी

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख दो सकेन्द्रीय वृत्तों को दर्शाता है जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 4 सेमी और 6 सेमी हैं। बड़े वृत्त पर स्थित बिंदु P से छोटे वृत्त पर स्पर्श रेखा PA की रचना की गई है। OP का मध्यबिंदु M है, और M को केंद्र मानकर खींचा गया एक वृत्त छोटे वृत्त को A पर काटता है।

सत्यापनः O और A को मिलाओ। \( \angle PAO = 90° \) [अर्धवृत्त में बना कोण] PA \( \perp \) OA
OA, छोटे वृत्त की त्रिज्या है। छोटे वृत्त पर PA एक स्पर्श रेखा है।
In simple words: हमने 4 सेमी और 6 सेमी त्रिज्या के दो सकेन्द्रीय वृत्त बनाए। बड़े वृत्त पर एक बिंदु P लिया, OP का मध्यबिंदु ज्ञात किया, और उस मध्यबिंदु को केंद्र मानकर एक वृत्त खींचा जो छोटे वृत्त को A पर काटता है। PA को जोड़ने पर, यह छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है, जिसकी लंबाई 4.5 सेमी मापी गई।

🎯 Exam Tip: सकेन्द्रीय वृत्तों के साथ स्पर्श रेखा की रचना में, यह समझना महत्वपूर्ण है कि बाह्य बिंदु बड़े वृत्त पर है और स्पर्श रेखा छोटे वृत्त पर खींची जानी है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके स्पर्श रेखा की लंबाई की जाँच की जा सकती है।

 

Question 3. प्र० 3. 3 सेमी, त्रिज्या का एक वृत्त खीचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 सेमी. की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खीचिए।
Answer: हलः रचना के पद
I. केन्द्र O और त्रिज्या 3 सेमी का एक वृत्त खींचो ।
II. उक्त वृत्त के व्यास को बढ़ाकर, इस पर दो बिन्दु P और Q इस प्रकार अंकित कीजिए किः
OP = OQ = 7 सेमी
III. OP और OQ के मध्य बिन्दु क्रमशः M1 और M2 ज्ञात कीजिए ।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख 3 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त को दर्शाता है, जिसके बढ़ाए गए व्यास पर केंद्र से 7 सेमी की दूरी पर दो बिंदु P और Q स्थित हैं। P और Q से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। OP और OQ के मध्यबिंदु क्रमशः M1 और M2 हैं। M1 और M2 को केंद्र मानकर खींचे गए वृत्त मूल वृत्त को क्रमशः A, B और C, D पर काटते हैं, जिससे PA, PB, QC और QD स्पर्श रेखाएँ प्राप्त होती हैं।

IV. M1 को केन्द्र व M1P को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचो जो वृत्त को A और B पर काटे।
V. PA और PB को मिलाओ । PA और PB अभीष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
VI. अब OQ के मध्य बिन्दु M2 और M2O के समान त्रिज्या लेकर वृत्त खींचो जो दिए गये वृत्त को C और D पर काटे ।
VII. OC और OD को मिलाओ। इस प्रकार OQ और QD अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
सत्यापनः OA को मिलाओ।
\( \angle OAP = 90° \) PA \( \perp \) OA PA एक स्पर्श रेखा है। इस प्रकार, PB \( \perp \) OA PB एक स्पर्श रेखा है।
अब, OC को मिलाने पर \( \angle OCQ = 90° \) QC \( \perp \) OC QC एक स्पर्श रेखा है। इसी प्रकार, QD \( \perp \) OC = QD एक स्पर्श रेखा है।
In simple words: हमने 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा और उसके बढ़ाए गए व्यास पर केंद्र से 7 सेमी दूर दो बिंदु P और Q लिए। प्रत्येक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचने के लिए, हमने OP और OQ के मध्यबिंदु ज्ञात किए, उन्हें केंद्र मानकर वृत्त खींचे, और उन प्रतिच्छेदन बिंदुओं को P और Q से जोड़ा।

🎯 Exam Tip: व्यास पर समदूरस्थ बिंदुओं से स्पर्श रेखाएँ खींचते समय, प्रत्येक बिंदु के लिए अलग-अलग मध्यबिंदु वृत्त बनाना और स्पर्श रेखाओं की समानता को समझना महत्वपूर्ण है।

 

Question 4. प्र० 4. 5 सेमी, त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खीचिए, जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों।
Answer: हलः रचना के पद
I. केन्द्र O और त्रिज्या = 5 सेमी से दिये गये वृत्त की रचना करो।
II. \( \angle AOB = 120° \) बनाओ ।
III. बिन्दु A से OA पर एक लम्ब खींचो ।
IV. B से एक लम्ब OB पर खींचो ।
V. उक्त लम्बों को C पर मिलने दो।
इस प्रकार CA तथा CB वृत्त की अभीष्ठ स्पर्श रेखाएँ है, जो परस्पर 60° पर झुकी हुई हैं।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त पर दो स्पर्श रेखाओं CA और CB की रचना को दर्शाता है जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हैं। केंद्र O पर \( \angle AOB = 120° \) बनाया गया है। A और B पर OA और OB पर लंब खींचे गए हैं जो बिंदु C पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सत्यापनः चतुभुर्ज OACB में, कोण-योग-गुण से \( 120° + 90° + 90° + \angle ACB = 360° \implies 300° + \angle ACB = 360° \implies \angle ACB = 360° – 300° = 60° \)
In simple words: हमने 5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा और केंद्र पर 120° का कोण बनाया। फिर, त्रिज्या के सिरों (A और B) पर लंब खींचे जो एक दूसरे को C पर काटते हैं। इस प्रकार, CA और CB स्पर्श रेखाएँ हैं जो 60° पर झुकी हुई हैं।

🎯 Exam Tip: यदि दो स्पर्श रेखाएँ \( \theta \) कोण पर झुकी हों, तो केंद्र पर संगत त्रिज्याओं के बीच का कोण \( 180° - \theta \) होता है। इस सिद्धांत का उपयोग करके रचना की जाती है।

 

Question 5. प्र० 5. 8 सेमी. लम्बा एक रेखाखंड AB खीचिए। A को केन्द्र मानकर 4 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 सेमी, त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
Answer: हलः रचना के पद
I. A और B को मिलाओ ।
II. AB का लम्बसमद्विभाजक ज्ञात करो। माना AB का मध्य बिन्दु M है ।
III. केन्द्र M और त्रिज्या = MA या MB लेकर एक वृत्त खींचो जो केन्द्र A वाले वृत्त को P और Q पर काटे, तथा केन्द्र B वाले वृत्त को R और S पर काटे।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 8 सेमी लंबे रेखाखंड AB को दर्शाता है, जहाँ A को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त और B को केंद्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचा गया है। AB के मध्यबिंदु M को केंद्र मानकर खींचा गया एक वृत्त पहले वृत्त को P और Q पर तथा दूसरे वृत्त को R और S पर काटता है। इस प्रकार, BP, BQ (वृत्त A के लिए) और AR, AS (वृत्त B के लिए) स्पर्श रेखाएँ हैं।

IV. BP और BQ को मिलाओ। इस प्रकार, BP तथा BQ केन्द्र A वाले वृत्त पर B से अभीष्ठ स्पर्श रेखाएँ है ।
V. अब, RA और SA को मिलाओ। इस प्रकार, केन्द्र B वाले वृत्त पर A से स्पर्श रेखाएँ RA तथा SA हैं।
सत्यापनः A और P को मिलाने पर, \( \angle APB = 90° \) BP \( \perp \) AP परन्तु AP, केन्द्र A वाले वृत्त की त्रिज्या है। केन्द्र A वाले वृत्त पर AP एक स्पर्श रेखा है। इसी प्रकार, BQ भी केन्द्र A वाले वृत्त पर एक स्पर्श रेखा है। केन्द्र B वाले वृत्त पर भी उक्त प्रकार से AR और AS स्पर्श रेखाएँ हैं।
In simple words: हमने 8 सेमी का रेखाखंड AB खींचा। A से 4 सेमी और B से 3 सेमी त्रिज्या के वृत्त बनाए। AB के मध्यबिंदु को केंद्र मानकर एक वृत्त खींचा जो दोनों वृत्तों को काटता है। इन प्रतिच्छेदन बिंदुओं को केंद्र B से (पहले वृत्त के लिए) और केंद्र A से (दूसरे वृत्त के लिए) जोड़ने पर वांछित स्पर्श रेखाएँ प्राप्त हुईं।

🎯 Exam Tip: दो वृत्तों के लिए एक ही रेखाखंड के मध्यबिंदु का उपयोग करके स्पर्श रेखाएँ खींचते समय, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक वृत्त के लिए स्पर्श रेखाएँ दूसरे वृत्त के केंद्र से खींची जाएंगी।

 

Question 6. प्र० 6. माना ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = 6 सेमी., BC = 8 सेमी. तथा ∠B = 90° है । B से AC पर BD लम्ब है। बिन्दुओं B, C, D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
Answer: हलः रचना के पद
I. AB = 6 सेमी, BC = 8 सेमी तथा \( \angle B = 90° \) मापों से \( \triangle ABC \) की रचना करो ।
II. BD \( \perp \) AC खींचो ।
III. B, C और D से होकर एक वृत्त खींचो ।
IV. AO को मिलाओ ।
V. AO को M पर समद्विभाजित करो।
VI. केन्द्र M और त्रिज्या MA लेकर एक वृत्त खींचो जो दिये गये वृत्त को B और E पर काटता है।
VII. AB और AE को मिलाओ। इस प्रकार बिन्दु A से दिए गये वृत्त पर AB और AE स्पर्श रेखाएँ हैं।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें \( \angle B = 90° \), AB = 6 सेमी और BC = 8 सेमी है। BD, AC पर लंब है। बिंदुओं B, C, D से गुजरने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ AB और AE खींची गई हैं। AO के मध्यबिंदु M को केंद्र मानकर एक दूसरा वृत्त खींचा गया है जो BCD वृत्त को B और E पर काटता है।

सत्यापनः OE को मिलाने पर, \( \angle AEO = 90° \)
[अर्धवृत्त में बनी कोण] AE \( \perp \) OE परन्तु OE, दिए गये वृत्त की एक त्रिज्या है। AE वृत्त की एक स्पर्श रेखा है। इसी प्रकार, AB भी दिए गये वृत्त की एक स्पर्श रेखा है।
In simple words: हमने 6 सेमी और 8 सेमी भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज (90° पर) बनाया, और कर्ण पर एक लंब BD खींचा। B, C, D से गुजरने वाला एक वृत्त बनाया। फिर, बिंदु A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचने के लिए AO के मध्यबिंदु को केंद्र मानकर एक सहायक वृत्त खींचा। AB और AE वांछित स्पर्श रेखाएँ हैं।

🎯 Exam Tip: इस रचना में, B, C और D से होकर जाने वाला वृत्त खींचने के लिए, इन तीनों बिंदुओं से समदूरस्थ केंद्र का पता लगाना आवश्यक है, जो कि BC का मध्यबिंदु होता है (क्योंकि \( \angle BDC = 90° \), इसलिए BC व्यास है)।

 

Question 7. प्र० 7. किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिन्दु लीजिए। इस बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए ।
Answer: हलः रचना के पद
I. चूड़ी की सहायता से दिए गये वृत्त की रचना करो ।
II. दिए गये वृत्त में दो असमान्तर जीवाएँ PQ और RS खींचो ।
III. P और RS के लम्बसमद्विभाजक खींचो जो परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करे । इस प्रकार बिन्दु O दिए गये वृत्त का केन्द्र है।
IV. दिए गये वृत्त के बाहर एक बिन्दु P लो ।
V. OP को मिलाओ ।
VI. OP का मध्य बिन्दु M अंकित करो।
VII. केन्द्र M और त्रिज्या-OM से एक वृत्त खींचो, जो दिए गये वृत्त को A और B पर काटे।।
VIII. PA और PB को मिलाओ। इस प्रकार PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख चूड़ी की सहायता से खींचे गए एक वृत्त को दर्शाता है, जिसका केंद्र O दो असमान्तर जीवाओं PQ और RS के लंब समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन से ज्ञात किया गया है। वृत्त के बाहर एक बिंदु P से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं। OP के मध्यबिंदु M को केंद्र मानकर खींचा गया एक सहायक वृत्त मूल वृत्त को A और B पर काटता है।

सत्यापनः OA और OB को मिलाने पर, \( \angle OAP = 90°, \angle OBP = 90° \) [अर्धवृत्त में बने कोण] PA \( \perp \) OA तथा PB \( \perp \) OB PA, दिए गये वृत्त पर एक स्पर्श रेखा है तथा PB, दिए गये वृत्त पर दूसरी स्पर्श रेखा है।
In simple words: हमने चूड़ी से एक वृत्त बनाया और उसकी दो असमानंतर जीवाओं के लंब समद्विभाजकों को प्रतिच्छेद कराकर केंद्र O ज्ञात किया। फिर, वृत्त के बाहर एक बिंदु P लिया, OP का मध्यबिंदु M ज्ञात किया और M को केंद्र मानकर एक वृत्त खींचा जो मूल वृत्त को A और B पर काटता है। PA और PB वांछित स्पर्श रेखाएँ हैं।

🎯 Exam Tip: अज्ञात केंद्र वाले वृत्त की रचना में, केंद्र का पता लगाने के लिए दो असमानंतर जीवाओं के लंब समद्विभाजकों का उपयोग करना एक मानक तरीका है। उसके बाद, प्रक्रिया ज्ञात केंद्र वाले वृत्त पर स्पर्श रेखा खींचने जैसी ही होती है।

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