UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 12 Area Related to Circles Ex 123

Question 1. एक जीवा PQ की लम्बाई 12 सेमी है जो वृत्त के केन्द्र पर 120° का कोण बनाती है। जीवा PQ द्वारा काटे गये लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
Answer: हमें दिया गया है कि जीवा PQ की लम्बाई 12 सेमी है और यह वृत्त के केंद्र पर \( 120^\circ \) का कोण बनाती है। हमें लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल निकालना है।
सबसे पहले, हम वृत्त की त्रिज्या \( r \) ज्ञात करेंगे। मान लीजिए वृत्त का केंद्र O है और त्रिज्या OP = r सेमी है। हम PQ पर केंद्र O से लम्ब OR खींचते हैं, जो PQ को R पर समद्विभाजित करता है। इसलिए, \( PR = RQ = \frac{PQ}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) सेमी।
समकोण त्रिभुज \( \triangle PRO \) में, केंद्र पर बना कोण \( \angle POQ = 120^\circ \) है, तो \( \angle POR = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \)।
\( \sin 60^\circ = \frac{PR}{OP} \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{r} \)
\( r\sqrt{3} = 12 \)
\( r = \frac{12}{\sqrt{3}} \)
\( r = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) सेमी
यह त्रिज्या हमें वृत्त के क्षेत्र से संबंधित गणनाओं के लिए आधार प्रदान करती है।
अब, जीवा PQ द्वारा काटे गये लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र है:
लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{\pi r^2 \theta}{360^\circ} - \frac{1}{2} r^2 \sin \theta \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( = \frac{\pi (4\sqrt{3})^2 \times 120^\circ}{360^\circ} - \frac{1}{2} (4\sqrt{3})^2 \sin 120^\circ \)
\( = \frac{\pi \times 48 \times 120}{360} - \frac{1}{2} \times 48 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( = \frac{\pi \times 48}{3} - 12\sqrt{3} \)
\( = 16\pi - 12\sqrt{3} \)
\( = 4(4\pi - 3\sqrt{3}) \) सेमी\(^2\)
In simple words: हमने पहले वृत्त की त्रिज्या \( r \) निकाली जो \( 4\sqrt{3} \) सेमी थी। फिर, हमने लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र उपयोग किया। इस सूत्र में केंद्र पर बने कोण और वृत्त की त्रिज्या का इस्तेमाल होता है।

🎯 Exam Tip: लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल निकालने के लिए, पहले त्रिज्या को सही तरीके से ज्ञात करना और फिर सेक्टर के क्षेत्रफल से त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाना याद रखें। \( \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ \) होता है।

Question 2. 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा AB वृत्त के केन्द्र पर एक समकोण बनाती है। दीर्घ तथा लघु वृत्तखण्डों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें एक वृत्त की त्रिज्या \( r = 10 \) सेमी दी गई है। एक जीवा AB वृत्त के केंद्र पर \( 90^\circ \) (एक समकोण) का कोण बनाती है। हमें लघु और दीर्घ दोनों वृत्तखण्डों का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले, हम लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल निकालेंगे। इसके लिए हमें केंद्र पर बने त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल चाहिए।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल \( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (10)^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 100 \)
\( = \frac{2200}{28} = \frac{550}{7} \) सेमी\(^2\)
यह त्रिज्यखंड वृत्त के कुल क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है क्योंकि केंद्र पर कोण \( 90^\circ \) है।
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} r^2 \sin \theta \)
\( = \frac{1}{2} (10)^2 \sin 90^\circ \)
\( = \frac{1}{2} \times 100 \times 1 = 50 \) सेमी\(^2\)
तो, लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल \( = \) त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल \( - \) त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल
\( = \frac{550}{7} - 50 \)
\( = \frac{550 - (50 \times 7)}{7} = \frac{550 - 350}{7} = \frac{200}{7} \) सेमी\(^2\)
\( \approx 28.57 \) सेमी\(^2\)
अब, हम वृत्त का कुल क्षेत्रफल निकालेंगे:
वृत्त का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times (10)^2 \)
\( = \frac{2200}{7} \) सेमी\(^2\)
\( \approx 314.29 \) सेमी\(^2\)
अंत में, हम दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे:
दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल \( = \) वृत्त का क्षेत्रफल \( - \) लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
\( = \frac{2200}{7} - \frac{200}{7} \)
\( = \frac{2000}{7} \) सेमी\(^2\)
\( \approx 285.71 \) सेमी\(^2\)
In simple words: हमने पहले लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल निकाला, जिसमें त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाया। फिर, पूरे वृत्त के क्षेत्रफल में से लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल घटाकर दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: जब केंद्र पर समकोण हो, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} r^2 \) होता है क्योंकि \( \sin 90^\circ = 1 \)। ध्यान दें कि \( \pi \) के मान का उपयोग प्रश्न के निर्देशों के अनुसार करें, आमतौर पर \( \frac{22}{7} \) या \( 3.14 \)।

Question 3. वृत्त की एक जीवा केन्द्र पर एक कोण \( \theta \) बनाती है। यदि जीवा द्वारा काटे गये लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल, वृत्त के क्षेत्रफल का \( \frac{1}{8} \) है तो सिद्ध कीजिए कि \( \pi + 8\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} = \frac{\pi\theta}{45^\circ} \)।
Answer: माना वृत्त की त्रिज्या \( r \) इकाई है और जीवा केंद्र पर \( \theta \) कोण बनाती है।
हमें दिया गया है कि लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल, वृत्त के कुल क्षेत्रफल का \( \frac{1}{8} \) है।
लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{\pi r^2 \theta}{360^\circ} - \frac{1}{2} r^2 \sin \theta \)
वृत्त का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
प्रश्न के अनुसार:
\( \frac{\pi r^2 \theta}{360^\circ} - \frac{1}{2} r^2 \sin \theta = \frac{1}{8} \pi r^2 \)
दोनों तरफ \( r^2 \) से भाग देने पर (चूंकि \( r \ne 0 \)):
\( \frac{\pi \theta}{360^\circ} - \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{1}{8} \pi \)
अब, \( \sin \theta \) के लिए त्रिकोणमितीय पहचान \( \sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \) का उपयोग करेंगे। यह एक महत्वपूर्ण पहचान है जो कोणों को आधा करने में मदद करती है।
\( \frac{\pi \theta}{360^\circ} - \frac{1}{2} (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) = \frac{1}{8} \pi \)
\( \frac{\pi \theta}{360^\circ} - \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{8} \pi \)
समीकरण के सभी पदों को 8 से गुणा करने पर:
\( \frac{8\pi \theta}{360^\circ} - 8 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = \pi \)
\( \frac{\pi \theta}{45^\circ} - 8 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = \pi \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( \pi + 8 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = \frac{\pi \theta}{45^\circ} \)
यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने लघु वृत्तखण्ड के क्षेत्रफल को वृत्त के कुल क्षेत्रफल के आठवें भाग के बराबर रखा। फिर, हमने समीकरण को सरल किया और \( \sin \theta \) के सूत्र को \( 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} \) से बदला। अंत में, समीकरण को फिर से व्यवस्थित करके दिया गया परिणाम सिद्ध कर दिया।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, लघु वृत्तखण्ड और वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्रों को सही ढंग से लिखना महत्वपूर्ण है। त्रिकोणमितीय पहचानों, जैसे \( \sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \), का उपयोग अक्सर समीकरणों को सरल बनाने में सहायक होता है।

Question 4. दो चाप A व B चित्र में दर्शाये गये हैं। चाप A, O केन्द्र व OP त्रिज्या वाले वृत्त का भाग है तथा चाप B, M केन्द्र तथा PM त्रिज्या वाले वृत्त का भाग है। यहाँ M, PQ का मध्य बिन्दु है । सिद्ध कीजिए कि दोनों चापों द्वारा सीमाबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल \( 25 (\sqrt{3} - \frac{\pi}{6}) \) सेमी \(^2\) है।
Answer: दिए गए चित्र के अनुसार, चाप A वृत्त O का हिस्सा है जिसकी त्रिज्या OP है और चाप B वृत्त M का हिस्सा है जिसकी त्रिज्या PM है। M, PQ का मध्यबिंदु है।
हमें दिया गया है कि O केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या OP \( = 10 \) सेमी है। चूंकि OP और OQ दोनों त्रिज्याएं हैं, इसलिए OP \( = \) OQ \( = 10 \) सेमी।
समकोण त्रिभुज \( \triangle OMP \) में, जहाँ M, PQ का मध्यबिंदु है और OM, PQ पर लंब है:
\( \sin(\angle POM) = \frac{PM}{OP} \)
चित्र और समाधान के अनुसार, PM \( = 5 \) सेमी (चाप B की त्रिज्या है, क्योंकि M इसका केंद्र है और PQ इसका व्यास है, इसलिए PM आधी दूरी है)।
\( \sin(\angle POM) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
\( \angle POM = 30^\circ \)
इस प्रकार, चाप A द्वारा केंद्र पर बना कोण \( \angle POQ = 2 \times \angle POM = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \)।
यह कोण बताता है कि \( \triangle OPQ \) एक समबाहु त्रिभुज है, क्योंकि दो भुजाएँ (OP, OQ) बराबर हैं और उनके बीच का कोण \( 60^\circ \) है।
अब, चाप A द्वारा बने लघु वृत्तखण्ड (केंद्र O, त्रिज्या \( r_1=10 \) सेमी, कोण \( \theta_1=60^\circ \)) का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे:
लघु वृत्तखण्ड A का क्षेत्रफल \( = \frac{\pi r_1^2 \theta_1}{360^\circ} - \frac{1}{2} r_1^2 \sin \theta_1 \)
\( = \frac{\pi (10)^2 \times 60^\circ}{360^\circ} - \frac{1}{2} (10)^2 \sin 60^\circ \)
\( = \frac{100\pi}{6} - \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( = \frac{50\pi}{3} - 25\sqrt{3} \) सेमी\(^2\)
यह वृत्तखण्ड चाप A और जीवा PQ के बीच का क्षेत्र है।
इसके बाद, चाप B (केंद्र M, त्रिज्या \( r_2=5 \) सेमी) द्वारा बने अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे। चूंकि M, PQ का मध्यबिंदु है और PM \( = 5 \) सेमी त्रिज्या है, PQ इस अर्द्धवृत्त का व्यास होगा (PQ \( = 2 \times PM = 10 \) सेमी)।
अर्द्धवृत्त B का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \pi r_2^2 \)
\( = \frac{1}{2} \pi (5)^2 = \frac{25\pi}{2} \) सेमी\(^2\)
अंत में, दोनों चापों द्वारा सीमाबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे। प्रश्न के समाधान के अनुसार, यह अर्द्धवृत्त B के क्षेत्रफल में से लघु वृत्तखण्ड A के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जाता है। यह प्रक्रिया दी गई आकृति में दो क्षेत्रों के बीच का अंतर बताती है।
सीमाबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल \( = \) अर्द्धवृत्त B का क्षेत्रफल \( - \) लघु वृत्तखण्ड A का क्षेत्रफल
\( = \frac{25\pi}{2} - (\frac{50\pi}{3} - 25\sqrt{3}) \)
\( = \frac{25\pi}{2} - \frac{50\pi}{3} + 25\sqrt{3} \)
\( = \frac{ (25\pi \times 3) - (50\pi \times 2) }{6} + 25\sqrt{3} \)
\( = \frac{75\pi - 100\pi}{6} + 25\sqrt{3} \)
\( = -\frac{25\pi}{6} + 25\sqrt{3} \)
\( = 25\sqrt{3} - \frac{25\pi}{6} \)
\( = 25 (\sqrt{3} - \frac{\pi}{6}) \) सेमी\(^2\)
यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने पहले बड़े वृत्त के एक खंड का क्षेत्रफल निकाला। फिर, छोटे वृत्त के एक अर्धवृत्त का क्षेत्रफल निकाला। आखिर में, हमने अर्धवृत्त के क्षेत्रफल में से बड़े वृत्त खंड का क्षेत्रफल घटाकर वह क्षेत्र पाया जो दोनों चापों के बीच घिरा हुआ है।

🎯 Exam Tip: ऐसे ज्यामितीय प्रश्नों में, दिए गए चित्र को ध्यान से समझना और सभी मापों को सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है। त्रिकोणमितीय संबंधों का उपयोग करके अज्ञात कोणों या लंबाइयों को ज्ञात करें।