RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 8 त्रिभुजों की रचनाएँ Exercise 8.6

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प्रश्न 1. त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 7 सेमी, ∠C = 50° तथा AC + AB = 8 सेमी है।
Answer: सबसे पहले, दी गई मापों के अनुसार एक कच्चा चित्र बनाते हैं। इससे हमें पता चलता है कि हमें किस तरह की आकृति बनानी है। C B 7 सेमी 50° Y D 8 सेमी A कच्चा चित्र

रचना:

  1. सबसे पहले, एक रेखाखण्ड BC = 7 सेमी खींचिए।
  2. बिन्दु C पर BC के साथ 50° का कोण बनाते हुए एक किरण CY खींचिए।
  3. परकार की सहायता से, किरण CY पर C से 8 सेमी की दूरी पर एक बिन्दु D अंकित कीजिए (क्योंकि AC + AB = 8 सेमी दिया है)।
  4. बिन्दु B को बिन्दु D से मिलाइए।
  5. अब रेखाखण्ड BD का लम्ब समद्विभाजक खींचिए। यह लम्ब समद्विभाजक किरण CY को जिस बिन्दु पर काटेगा, उसे A नाम दीजिए।
  6. बिन्दु A को बिन्दु B से मिलाइए।
  7. इस प्रकार, त्रिभुज ABC ही हमारा अभीष्ट त्रिभुज है।
C B 7 सेमी 50° Y D 8 सेमी X A कच्चा चित्र

In simple words: पहले आधार BC बनाइए, फिर C पर 50 डिग्री का कोण बनाइए। इस किरण पर C से 8 सेमी दूर D चिह्नित करें। BD को जोड़कर उसका लंब समद्विभाजक खींचें, जो किरण को A पर काटेगा। AB को जोड़ने पर, आपको अभीष्ट त्रिभुज ABC मिल जाएगा।
🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, हमेशा योग या अंतर वाली भुजा को एक ही रेखाखंड पर दर्शाने का प्रयास करें, और फिर लम्ब समद्विभाजक का उपयोग करके तीसरा शीर्ष ज्ञात करें।

 

प्रश्न 3. त्रिभुज PQR की रचना कीजिए, जिसमें QR = 5 सेमी, ∠R = 40° तथा PR – PQ = 1 सेमी।
Answer: सबसे पहले, दी गई मापों के अनुसार एक कच्चा चित्र बनाते हैं। इससे हमें पता चलता है कि हमें किस तरह की आकृति बनानी है। Q R 5 सेमी 40° Y D 1 सेमी P कच्चा चित्र

रचना:

  1. सबसे पहले, एक रेखाखण्ड QR = 5 सेमी खींचिए।
  2. बिन्दु R पर QR के साथ 40° का कोण बनाते हुए एक किरण RY खींचिए।
  3. किरण RY पर R से 1 सेमी की दूरी पर एक बिन्दु D अंकित कीजिए (क्योंकि PR - PQ = 1 सेमी दिया है)। यह अंतर किरण पर नीचे की ओर लिया जाता है, क्योंकि PR > PQ है।
  4. बिन्दु Q को बिन्दु D से मिलाइए।
  5. अब रेखाखण्ड QD का लम्ब समद्विभाजक खींचिए। यह लम्ब समद्विभाजक किरण RY को जिस बिन्दु पर काटेगा, उसे P नाम दीजिए।
  6. बिन्दु P को बिन्दु Q से मिलाइए।
  7. इस प्रकार, त्रिभुज PQR ही हमारा अभीष्ट त्रिभुज है।

Q R 5 सेमी 40° Y D 1 सेमी X P In simple words: पहले आधार QR खींचिए और R पर 40 डिग्री का कोण बनाइए। इस किरण पर R से 1 सेमी नीचे D चिह्नित करें। QD को जोड़कर उसका लंब समद्विभाजक खींचें, जो किरण को P पर काटेगा। PQ को जोड़ने पर, आपको अभीष्ट त्रिभुज PQR मिल जाएगा।
🎯 Exam Tip: जब दो भुजाओं का अंतर दिया हो (जैसे PR – PQ), तो किरण पर अंतर को कोण वाले शीर्ष से मापें। यदि PR > PQ है, तो बिंदु R से किरण पर अंतर को चिह्नित करें।

 

प्रश्न 4. त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसकी परिमिति 12 सेमी एवं आधार के कोण 50° और 70° हों।
Answer: सबसे पहले, दी गई मापों के अनुसार एक कच्चा चित्र बनाते हैं। इससे हमें पता चलता है कि हमें किस तरह की आकृति बनानी है। P Q 12 सेमी 25° 35° A B C 50° 70° कच्चा चित्र

रचना:

  1. सबसे पहले, एक रेखाखण्ड PQ = 12 सेमी खींचिए। यह त्रिभुज की कुल परिमिति है।
  2. बिन्दु P पर, 25° का कोण बनाते हुए एक किरण (मान लीजिए PY) खींचिए। यह आधार कोण 50° का आधा है।
  3. बिन्दु Q पर, 35° का कोण बनाते हुए एक किरण (मान लीजिए QZ) खींचिए। यह आधार कोण 70° का आधा है।
  4. ये दोनों किरणें PY और QZ एक दूसरे को जिस बिन्दु पर काटें, उसे A नाम दीजिए।
  5. अब रेखाखण्ड AP का लम्ब समद्विभाजक खींचिए। यह PQ को जिस बिन्दु पर काटे, उसे B नाम दीजिए।
  6. इसी प्रकार, रेखाखण्ड AQ का लम्ब समद्विभाजक खींचिए। यह PQ को जिस बिन्दु पर काटे, उसे C नाम दीजिए।
  7. बिन्दु A को B से और बिन्दु A को C से मिलाइए।
  8. इस प्रकार, त्रिभुज ABC ही हमारा अभीष्ट त्रिभुज है।


In simple words: पहले त्रिभुज की कुल लंबाई (परिमिति) के बराबर एक रेखा खींचिए। फिर, आधार के कोणों के आधे कोणों को इस रेखा के सिरों पर बनाइए। जहाँ ये कोण मिलते हैं, वह तीसरा शीर्ष (A) होगा। अब, इस तीसरे शीर्ष को बाकी रेखा के सिरों से जोड़ने वाली भुजाओं के लंब समद्विभाजक खींचिए। ये लंब समद्विभाजक प्रारंभिक रेखा को दो बिंदुओं पर काटेंगे, जो त्रिभुज के आधार के बिंदु (B और C) होंगे।
🎯 Exam Tip: परिमिति और आधार कोणों वाले त्रिभुज की रचना करते समय, आधार कोणों का आधा करके नया आधार बनाया जाता है, और फिर लम्ब समद्विभाजक की सहायता से त्रिभुज के वास्तविक शीर्षों को प्राप्त किया जाता है।

 

प्रश्न 5. त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसमें BC = 6 सेमी. माध्यिकाएँ AD तथा CF क्रमशः 6 सेमी तथा 7.5 सेमी है।
Answer: माध्यिकाएँ त्रिभुज के शीर्षों को सामने वाली भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ती हैं। केंद्रक (G) माध्यिकाओं को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। दिए गए मानों के आधार पर हम माध्यिकाओं के केंद्रक तक के खंडों की लंबाई ज्ञात करेंगे: \( GC = \frac{2}{3} \times CF = \frac{2}{3} \times 7.5 = 5 \) सेमी
\( GD = \frac{1}{3} \times AD = \frac{1}{3} \times 6 = 2 \) सेमी B C 6 सेमी D A G F कच्चा चित्र

रचना:

  1. सबसे पहले, एक रेखाखण्ड BC = 6 सेमी खींचिए।
  2. BC का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए और उसे D नाम दीजिए।
  3. अब, D को केंद्र मानकर 2 सेमी (जो GD है) त्रिज्या का एक चाप खींचिए।
  4. C को केंद्र मानकर 5 सेमी (जो GC है) त्रिज्या का एक और चाप खींचिए।
  5. ये दोनों चाप जिस बिन्दु पर एक दूसरे को काटें, उसे G (केंद्रक) नाम दीजिए।
  6. अब DG रेखा को इस प्रकार आगे बढ़ाइए कि वह D से 6 सेमी (AD की लंबाई) दूर हो। इस विस्तारित रेखा पर D से 6 सेमी दूर बिन्दु A अंकित कीजिए।
  7. बिन्दु A को B से और बिन्दु A को C से मिलाइए।
  8. इस प्रकार, त्रिभुज ABC ही हमारा अभीष्ट त्रिभुज है।


In simple words: पहले आधार BC बनाइए और उसका मध्यबिंदु D ज्ञात करें। केंद्रक (G) खोजने के लिए, D से AD के एक-तिहाई हिस्से की त्रिज्या और C से CF के दो-तिहाई हिस्से की त्रिज्या के चाप खींचें। केंद्रक G मिल जाने पर, D से A तक AD की पूरी लंबाई के बराबर रेखा खींचें। अंत में, AB और AC को जोड़कर त्रिभुज ABC पूरा करें।
🎯 Exam Tip: माध्यिकाओं से त्रिभुज की रचना करते समय, केंद्रक के विभाजन अनुपात (2:1) का उपयोग करके माध्यिकाओं के खंडों की लंबाई की गणना करना महत्वपूर्ण है।

 

प्रश्न 6. त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसकी तीनों माध्यिकाएँ क्रमशः 3 सेमी, 2.7 सेमी और 6 सेमी है।
Answer: हम माध्यिकाओं को \(AD = 6\) सेमी, \(BE = 2.7\) सेमी और \(CF = 3\) सेमी मानते हैं। केंद्रक (G) माध्यिकाओं को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। केंद्रक के खंडों की लंबाई की गणना: \( OA = AG = \frac{2}{3} \times AD = \frac{2}{3} \times 6 = 4 \) सेमी
\( OB = BG = \frac{2}{3} \times BE = \frac{2}{3} \times 2.7 = 1.8 \) सेमी
\( OC = CG = \frac{2}{3} \times CF = \frac{2}{3} \times 3 = 2 \) सेमी G B C D E F A कच्चा चित्र

रचना:

  1. सबसे पहले, एक त्रिभुज बनाइए जिसकी भुजाएँ \(BG = 1.8\) सेमी, \(CG = 2\) सेमी, और \(BC\) की लंबाई अज्ञात है।
  2. मान लीजिए, हम एक रेखाखंड \(CK\) खींचते हैं जिसकी लंबाई 2 सेमी है (यह \(CG\) है)।
  3. बिंदु \(K\) को केंद्र मानकर, \(BG = 1.8\) सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचिए।
  4. बिंदु \(C\) को केंद्र मानकर, \(AD = 4\) सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचिए। (यहां, हमें एक वैकल्पिक निर्माण विधि अपनानी होगी क्योंकि दिए गए पाठ में कुछ अस्पष्टता है। हम केंद्रक \(G\) का उपयोग करके त्रिभुज का निर्माण करेंगे।)
  5. एक रेखाखंड BC खींचिए। BC का मध्यबिंदु D ज्ञात कीजिए।
  6. अब, एक त्रिभुज \(BGC'\) बनाएँ जहाँ \(BG = 1.8\) सेमी, \(GC' = 2\) सेमी और \(BC'\) की लंबाई हमें \(BD = \frac{1}{2} BC\) का उपयोग करके मिलेगी।
  7. केंद्रक \(G\) को \(D\) से मिलाएँ। \(GD\) को \(A\) तक इतना बढ़ाएँ कि \(AG = 2 \times GD\) हो और \(AD = 6\) सेमी हो।
  8. इसी प्रकार, \(B\) से एक रेखा खींचें और \(G\) से \(BE = 2.7\) सेमी हो।
  9. और \(C\) से एक रेखा खींचें और \(G\) से \(CF = 3\) सेमी हो।
  10. बिन्दु A, B, C को मिलाइए। इस प्रकार, त्रिभुज ABC ही हमारा अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी माध्यिकाएँ AD = 6 सेमी, BE = 2.7 सेमी तथा CF = 3 सेमी हैं।


In simple words: इस त्रिभुज को बनाने के लिए, पहले माध्यिकाओं के केंद्रक वाले हिस्सों की लंबाई निकालें। फिर इन हिस्सों का उपयोग करके केंद्रक को आधार मानकर एक छोटा त्रिभुज बनाएँ। केंद्रक से माध्यिकाओं को उनकी पूरी लंबाई तक बढ़ाएँ ताकि आपको त्रिभुज के कोने मिल सकें। अंत में, कोनों को जोड़कर पूरा त्रिभुज बना लें।
🎯 Exam Tip: जब माध्यिकाएँ दी गई हों, तो केंद्रक के विभाजन नियम \((\text{AG:GD} = 2:1)\) का उपयोग करके माध्यिकाओं के टुकड़ों की लंबाई निकालें, फिर एक छोटे त्रिभुज की रचना करें और उसे बड़ा करके अंतिम त्रिभुज बनाएँ।

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