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NCERT Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 08 त्रिभुजों की रचनाएँ

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प्रश्न 1. एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका परिमाप 12 सेमी है तथा भुजाओं का अनुपात 1 : 2 : 3 है।
Answer: सबसे पहले, मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई \( x \) सेमी, \( 2x \) सेमी और \( 3x \) सेमी है। चूंकि त्रिभुज का परिमाप सभी भुजाओं का योग होता है, इसलिए:
\( x + 2x + 3x = 12 \)
\( \implies \) \( 6x = 12 \)
\( \implies \) \( x = 2 \)
तो, त्रिभुज की भुजाएँ \( 2 \) सेमी, \( 2 \times 2 = 4 \) सेमी, और \( 2 \times 3 = 6 \) सेमी हैं। यह एक समकोण त्रिभुज बनता है क्योंकि \( 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \) जो \( 6^2 = 36 \) के बराबर नहीं है, इसलिए यह एक सामान्य त्रिभुज है।
अब इन भुजाओं का उपयोग करके त्रिभुज की रचना करते हैं:
1. सबसे पहले, एक रेखाखंड BC = 4 सेमी खींचिए।
2. बिंदु B को केंद्र मानकर, 2 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइए।
3. बिंदु C को केंद्र मानकर, 6 सेमी त्रिज्या का एक और चाप लगाइए। यह चाप पहले वाले चाप को बिंदु A पर काटता है।
4. बिंदु A को बिंदु B और बिंदु C से मिलाइए। इस प्रकार, अभीष्ट त्रिभुज ABC प्राप्त होता है। A B C 4 सेमी 2 सेमी 6 सेमी कच्चा चित्र In simple words: पहले, दी गई भुजाओं के अनुपात और परिमाप से त्रिभुज की तीनों भुजाओं की सही लंबाई ज्ञात करें। फिर, उन लंबाइयों का उपयोग करके त्रिभुज बनाएं, जैसे आप कंपास और रूलर से करते हैं।

🎯 Exam Tip: भुजाओं के अनुपात और परिमाप वाले प्रश्नों में, पहले एक चर (x) मानकर भुजाओं की वास्तविक लंबाई निकालें, फिर रचना शुरू करें।

 

प्रश्न 2. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें AB = c = 5 सेमी, ∠B = 90° तथा ∠C = 60° है।
Answer: हमें एक त्रिभुज ABC बनाना है जिसकी एक भुजा (c = AB) 5 सेमी है, कोण B 90° है और कोण C 60° है। चूंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है, तो कोण A होगा \( 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \)।
रचना के चरण इस प्रकार हैं:
1. एक रेखाखंड AB = 5 सेमी खींचिए।
2. बिंदु B पर 90° का कोण बनाइए (जो BY दिशा में ऊपर की ओर जाएगा)।
3. बिंदु A पर 30° का कोण बनाइए (जो AX दिशा में जाएगा)।
4. जहां AX और BY किरणें एक-दूसरे को काटती हैं, उस बिंदु को C नाम दीजिए।
इस प्रकार, अभीष्ट त्रिभुज ABC प्राप्त होता है। A B C c = 5 सेमी X Y 60° 30° कच्चा चित्र In simple words: पहले दी गई भुजा खींचें। फिर दोनों सिरों पर दिए गए कोणों को बनाएं। जहां ये कोण मिलते हैं, वहां त्रिभुज का तीसरा बिंदु होगा।

🎯 Exam Tip: यदि दो कोण और एक भुजा दी गई हो, तो हमेशा पहले दी गई भुजा को खींचें, फिर उस पर संबंधित कोणों की रचना करें।

 

प्रश्न 3. एक समकोण त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें कर्ण BC = 8.2 सेमी तथा एक भुजा = 4.2 सेमी।
Answer: हमें एक समकोण त्रिभुज ABC बनाना है, जिसमें कर्ण BC = 8.2 सेमी और एक भुजा (मान लीजिए AB) = 4.2 सेमी है। चूंकि यह एक समकोण त्रिभुज है, इसलिए एक कोण 90° का होगा।
रचना के चरण इस प्रकार हैं:
1. एक रेखाखंड AB = 4.2 सेमी खींचिए।
2. बिंदु A पर 90° का कोण बनाइए। इस किरण को AX नाम दीजिए।
3. बिंदु B को केंद्र मानकर, 8.2 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइए जो किरण AX को बिंदु C पर काटेगा।
4. बिंदु C को बिंदु B से मिलाइए।
इस प्रकार, अभीष्ट समकोण त्रिभुज ABC प्राप्त होता है। B A C 4.2 सेमी X 8.2 सेमी कच्चा चित्र In simple words: एक समकोण त्रिभुज बनाने के लिए, पहले एक भुजा खींचें और एक सिरे पर 90 डिग्री का कोण बनाएं। फिर, दूसरे सिरे से कर्ण की लंबाई का चाप लगाएं, जहां यह चाप 90 डिग्री की रेखा को काटेगा, वही तीसरा बिंदु होगा।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज की रचना में, 90° के कोण को हमेशा पहले बना लें, फिर कर्ण और दूसरी भुजा के लिए चाप का उपयोग करें।

 

प्रश्न 4. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें ∠B = 45°, ∠C = 60° और A से BC पर लम्ब AD = 4 सेमी में।
Answer: हमें एक त्रिभुज ABC की रचना करनी है जिसमें कोण B 45°, कोण C 60° और शीर्ष A से आधार BC पर लंब AD की लंबाई 4 सेमी है।
रचना के चरण इस प्रकार हैं:
1. एक रेखा XY खींचिए। इस पर लगभग मध्य में कोई बिंदु D लीजिए।
2. बिंदु D पर रेखा XY पर लंब ZD खींचिए। (यह AD की ऊंचाई को दर्शाता है)
3. बिंदु D को केंद्र मानकर, 4 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइए जो किरण ZD को बिंदु A पर काटेगा। इस प्रकार हमें शीर्ष A मिलता है।
4. बिंदु A पर, एक रेखा AC के लिए ∠DAC = 30° का कोण बनाइए (यह \( 180^\circ - (60^\circ + 90^\circ) = 30^\circ \) से आता है)।
5. इसी तरह, बिंदु A पर, एक रेखा AB के लिए ∠DAB = 45° का कोण बनाइए।
6. जहां ये रेखाएँ XY को काटती हैं, उन्हें B और C नाम दीजिए।
इस प्रकार, अभीष्ट त्रिभुज ABC प्राप्त होता है। A B C D 45° 60° 4 सेमी कच्चा चित्र
Y X D Z A 4 सेमी 45° 60° 90° 30° 45° B C In simple words: एक आधार रेखा खींचें और उस पर ऊंचाई के लिए एक सीधा लंब बनाएं। फिर, ऊंचाई की लंबाई का उपयोग करके शीर्ष बिंदु ढूंढें। अंत में, शीर्ष बिंदु और आधार पर दिए गए कोणों की मदद से त्रिभुज को पूरा करें।

🎯 Exam Tip: जब ऊंचाई और आधार कोण दिए हों, तो पहले आधार रेखा पर ऊंचाई की स्थिति को चिह्नित करें, फिर शीर्ष बिंदु से कोणों को प्रोजेक्ट करें।

 

प्रश्न 5. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें a = 5.6 सेमी, b + c = 10.2 सेमी और ∠B - ∠C = 30° है।
Answer: हमें एक त्रिभुज ABC की रचना करनी है, जिसमें भुजा a (BC) 5.6 सेमी है, अन्य दो भुजाओं (b + c) का योग 10.2 सेमी है, और कोण B और कोण C का अंतर 30° है।
रचना के चरण इस प्रकार हैं:
1. एक रेखाखंड BC = 5.6 सेमी खींचिए।
2. बिंदु B पर \( 105^\circ \) (यह \( 90^\circ + (30^\circ/2) = 105^\circ \) है) का कोण बनाते हुए एक किरण BQ खींचिए।
3. बिंदु B को केंद्र मानकर और 10.2 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइए, जो किरण BQ को बिंदु P पर काटेगा।
4. बिंदु P को बिंदु C से मिलाइए।
5. रेखाखंड PC का लम्ब समद्विभाजक खींचिए। यह लंब समद्विभाजक रेखा BP को बिंदु A पर काटेगा।
6. बिंदु A को बिंदु C से मिलाइए।
इस प्रकार, अभीष्ट त्रिभुज ABC प्राप्त होता है। B C A 5.6 सेमी कच्चा चित्र 105° P
B C 5.6 सेमी Q 105° P A In simple words: पहले आधार रेखा खींचें। फिर एक सिरे पर एक विशेष कोण बनाएं और उस रेखा पर दोनों बची हुई भुजाओं के योग के बराबर दूरी पर एक बिंदु अंकित करें। इस बिंदु को आधार के दूसरे सिरे से मिलाएं और इस नई रेखा का लंब समद्विभाजक बनाएं। जहां लंब समद्विभाजक पहली रेखा को काटेगा, वही त्रिभुज का तीसरा बिंदु होगा।

🎯 Exam Tip: भुजाओं के योग और कोणों के अंतर वाले प्रश्नों में, एक सहायक रेखा खींचकर और उसके लम्ब समद्विभाजक का उपयोग करके तीसरा शीर्ष ज्ञात करें।

 

प्रश्न 6. एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी तीनों माध्यिकाएँ क्रमशः 4.2 सेमी, 4.8 सेमी और 5.4 सेमी हैं।
Answer: हमें एक त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी माध्यिकाएँ AD = 4.2 सेमी, BE = 4.8 सेमी और CF = 5.4 सेमी हैं। माध्यिकाएँ त्रिभुज के केंद्रक (Centroid) पर \( 2:1 \) के अनुपात में विभाजित होती हैं।
रचना के चरण इस प्रकार हैं:
1. पहले केंद्रक द्वारा विभाजित माध्यिकाओं के हिस्से ज्ञात करें:
\( AK = \frac{2}{3} \times AD = \frac{2}{3} \times 4.2 = 2.8 \) सेमी
\( BK = \frac{2}{3} \times BE = \frac{2}{3} \times 4.8 = 3.2 \) सेमी
\( CK = \frac{2}{3} \times CF = \frac{2}{3} \times 5.4 = 3.6 \) सेमी
2. एक त्रिभुज OKC की रचना करें, जिसमें \( OK = AK = 2.8 \) सेमी, \( OC = CK = 3.6 \) सेमी और \( KC = BK = 3.2 \) सेमी हो।
3. रेखाखंड OK का मध्यबिंदु D प्राप्त करें।
4. रेखाखंड KD को आगे बढ़ाइए ताकि \( AD = 4.2 \) सेमी हो।
5. इसी प्रकार, रेखाखंड OD को पीछे बढ़ाइए ताकि \( CD = BD \)।
6. अंत में, बिंदुओं A, B और C को मिलाइए।
इस प्रकार, अभीष्ट त्रिभुज ABC प्राप्त होता है। A B C D F E K 2.8 सेमी 3.2 सेमी 3.6 सेमी कच्चा चित्र In simple words: माध्यिकाएँ केंद्रक पर 2:1 के अनुपात में बंटती हैं। इस नियम का उपयोग करके माध्यिकाओं के छोटे हिस्सों को मापें। फिर, उन हिस्सों का उपयोग करके एक छोटा त्रिभुज (जैसे OKC) बनाएं, और उसे बढ़ा कर पूरा त्रिभुज ABC तैयार करें।

🎯 Exam Tip: माध्यिकाओं वाले प्रश्नों में, केंद्रक के 2:1 विभाजन अनुपात को याद रखें, क्योंकि यह अक्सर रचना का प्रारंभिक बिंदु होता है।

 

प्रश्न 7. एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी ऊँचाई 6 सेमी और समान भुजाएँ 7 सेमी हैं। आधार की माप ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC बनाना है, जिसकी ऊँचाई (AD) 6 सेमी है और दो समान भुजाएँ (AB और AC) 7 सेमी हैं। हमें आधार BC की लंबाई ज्ञात करनी है।
रचना के चरण इस प्रकार हैं:
1. एक रेखा XY खींचिए। इस पर लगभग मध्य में कोई बिंदु D लीजिए।
2. बिंदु D पर रेखा XY पर लंब PD खींचिए। (यह त्रिभुज की ऊँचाई को दर्शाता है)
3. बिंदु D को केंद्र मानकर, 6 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइए जो किरण PD को बिंदु A पर काटेगा। इस प्रकार हमें शीर्ष A मिलता है।
4. बिंदु A को केंद्र मानकर, 7 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइए। यह चाप रेखा XY को दोनों ओर (B और C पर) काटेगा।
5. बिंदु A को बिंदु B और बिंदु C से मिलाइए।
इस प्रकार, अभीष्ट समद्विबाहु त्रिभुज ABC प्राप्त होता है।
मापने पर, आधार BC की लंबाई 7 सेमी प्राप्त होती है। A B C D 7 सेमी 7 सेमी 6 सेमी कच्चा चित्र
Y X D P A 6 सेमी 7 सेमी 7 सेमी B C आधार BC = 7 सेमी In simple words: एक सीधी रेखा पर एक बिंदु से लंबवत ऊंचाई बनाएं। ऊंचाई के ऊपर शीर्ष बिंदु को चिह्नित करें। फिर, शीर्ष बिंदु से बराबर भुजाओं की लंबाई के चाप लगाएं, जो आधार रेखा को काटेंगे। ये बिंदु त्रिभुज के आधार को बनाएंगे।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज में, ऊँचाई आधार को समद्विभाजित करती है, इसलिए आप ऊंचाई के बिंदु को केंद्र मानकर आधार के दोनों ओर समान दूरी पर बिंदु लगा सकते हैं।

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