Official RBSE Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 07 त्रिभुजों की सर्वांगसमता एवं असमिकाएँ
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 07 त्रिभुजों की सर्वांगसमता एवं असमिकाएँ
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प्रश्न 1. \( \triangle ABC \) और \( \triangle DBC \) एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए चित्र)। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि :
(i) \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \)
(ii) \( \triangle ABP \cong \triangle ACP \)
(iii) AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) AP रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है।
Answer:
माना दिया गया है कि \( \triangle ABC \) और \( \triangle DBC \) एक ही आधार BC पर बने समद्विबाहु त्रिभुज हैं। इसका अर्थ है कि \( AB = AC \) और \( DB = DC \)।
(i) \( \triangle ABD \) और \( \triangle ACD \) में:
1. \( AB = AC \) (दिया है)
2. \( DB = DC \) (दिया है)
3. \( AD = AD \) (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः, भुजा-भुजा-भुजा (SSS) सर्वांगसमता नियम से, \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \)।
(ii) \( \triangle ABP \) और \( \triangle ACP \) में:
भाग (i) से, हम जानते हैं कि \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \),
\( \implies \angle BAD = \angle CAD \) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग), जिसका मतलब है कि \( \angle BAP = \angle CAP \)।
1. \( AB = AC \) (दिया है)
2. \( \angle BAP = \angle CAP \) (ऊपर सिद्ध किया गया है)
3. \( AP = AP \) (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः, भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता नियम से, \( \triangle ABP \cong \triangle ACP \)।
\( \implies BP = CP \) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
(iii) AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है:
हमने पहले ही सिद्ध किया है कि \( \angle BAP = \angle CAP \), जिसका अर्थ है कि AP कोण A को समद्विभाजित करता है।
अब \( \triangle BDP \) और \( \triangle CDP \) में:
1. \( DB = DC \) (दिया है)
2. \( BP = CP \) (भाग (ii) में सिद्ध किया गया है)
3. \( DP = DP \) (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः, भुजा-भुजा-भुजा (SSS) सर्वांगसमता नियम से, \( \triangle BDP \cong \triangle CDP \)।
\( \implies \angle BDP = \angle CDP \) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
इसका अर्थ है कि DP (या AP) कोण D को समद्विभाजित करता है। इस प्रकार, AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) AP रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है:
हमने भाग (ii) में सिद्ध किया है कि \( BP = CP \), जिसका अर्थ है कि AP रेखाखण्ड BC को समद्विभाजित करता है।
हमने यह भी सिद्ध किया है कि \( \triangle BDP \cong \triangle CDP \),
\( \implies \angle BPD = \angle CPD \) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
चूंकि \( \angle BPD \) और \( \angle CPD \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए \( \angle BPD + \angle CPD = 180^\circ \)।
क्योंकि \( \angle BPD = \angle CPD \), इसका मतलब है कि \( 2 \angle BPD = 180^\circ \),
\( \implies \angle BPD = 90^\circ \)।
अतः, AP रेखाखण्ड BC पर लम्ब है।
चूंकि AP रेखाखण्ड BC को समद्विभाजित करता है और उस पर लम्ब भी है, इसलिए AP रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है।
In simple words: हमने त्रिभुजों की सर्वांगसमता के नियमों का उपयोग करके दिखाया कि रेखाखंड AP कोण A और D को आधे-आधे में बांटता है, और यह BC को भी आधा कर देता है और उस पर 90 डिग्री का कोण बनाता है।
🎯 Exam Tip: ज्यामिति के प्रश्नों को हल करते समय, दिए गए चित्र और जानकारी को ध्यान से देखें। प्रत्येक भाग को सिद्ध करने के लिए सही सर्वांगसमता नियम (जैसे SSS, SAS, ASA, RHS) का चयन करें और अपने निष्कर्षों का स्पष्ट रूप से उल्लेख करें।
प्रश्न 2. AD एक समद्विबाहु त्रिभुज \( ABC \) है, जिसमें \( AB = AC \) है। दर्शाइए कि:
(i) AD रेखाखण्ड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
Answer:
दिया है कि \( \triangle ABC \) एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें \( AB = AC \) है। माना AD शीर्ष A से आधार BC पर एक लम्ब है। इसलिए, \( \triangle ADB \) और \( \triangle ADC \) समकोण त्रिभुज हैं।
\( \triangle ADB \) और \( \triangle ADC \) में:
1. \( AB = AC \) (कर्ण, दिया है)
2. \( AD = AD \) (उभयनिष्ठ भुजा)
3. \( \angle ADB = \angle ADC = 90^\circ \) (क्योंकि AD लम्ब है BC पर)
अतः, समकोण-कर्ण-भुजा (RHS) सर्वांगसमता नियम से, \( \triangle ADB \cong \triangle ADC \)।
(i) चूँकि \( \triangle ADB \cong \triangle ADC \),
\( \implies BD = CD \) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
इसका अर्थ है कि AD रेखाखण्ड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) चूँकि \( \triangle ADB \cong \triangle ADC \),
\( \implies \angle BAD = \angle CAD \) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
इसका अर्थ है कि AD कोण A को समद्विभाजित करता है। इस तरह, एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष से आधार पर डाला गया लम्ब आधार को समद्विभाजित करता है और शीर्ष कोण को भी समद्विभाजित करता है।
In simple words: हमने देखा कि यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष से आधार पर एक सीधी लंबवत रेखा खींची जाए, तो वह आधार को दो बराबर भागों में बांटती है और ऊपर वाले कोण को भी दो बराबर हिस्सों में बांट देती है।
🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों को याद रखें, जैसे शीर्ष से आधार पर खींची गई माध्यिका, शीर्षलंब या कोण समद्विभाजक एक ही रेखा हो सकती है। समकोण त्रिभुजों के लिए RHS सर्वांगसमता नियम एक महत्वपूर्ण उपकरण है।
प्रश्न 3. एक त्रिभुज \( ABC \) की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमशः एक दूसरे त्रिभुज \( PQR \) की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं। (देखिए चित्र)। दर्शाइए कि:
(i) \( \triangle ABM \cong \triangle PQN \)
(ii) \( \triangle ABC \cong \triangle PQR \)
Answer:
दिया है कि \( \triangle ABC \) की भुजाएँ AB, BC और माध्यिका AM क्रमशः \( \triangle PQR \) की भुजाओं PQ, QR और माध्यिका PN के बराबर हैं। इसका मतलब है: \( AB = PQ \), \( BC = QR \) और \( AM = PN \)।
चूँकि AM, \( \triangle ABC \) की माध्यिका है,
\( \implies BM = MC = \frac{1}{2}BC \).
चूँकि PN, \( \triangle PQR \) की माध्यिका है,
\( \implies QN = NR = \frac{1}{2}QR \).
(i) \( \triangle ABM \) और \( \triangle PQN \) में:
1. \( AB = PQ \) (दिया है)
2. \( AM = PN \) (दिया है)
3. \( BC = QR \) दिया है,
\( \implies \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}QR \)
\( \implies BM = QN \).
अतः, भुजा-भुजा-भुजा (SSS) सर्वांगसमता नियम से, \( \triangle ABM \cong \triangle PQN \)।
(ii) \( \triangle ABC \) और \( \triangle PQR \) में:
भाग (i) में, हमने सिद्ध किया है कि \( \triangle ABM \cong \triangle PQN \)।
\( \implies \angle B = \angle Q \) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
1. \( AB = PQ \) (दिया है)
2. \( \angle B = \angle Q \) (ऊपर सिद्ध किया गया है)
3. \( BC = QR \) (दिया है)
अतः, भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता नियम से, \( \triangle ABC \cong \triangle PQR \)। इस प्रकार, यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ और एक माध्यिका बराबर हों, तो वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
In simple words: हमने दो छोटे त्रिभुजों (AMB और PNQ) को सर्वांगसम साबित किया, जिससे उनके बीच के कोण बराबर हो गए। फिर, इस जानकारी का उपयोग करके, हमने दिखाया कि बड़े त्रिभुज (ABC और PQR) भी एक-दूसरे के सर्वांगसम हैं।
🎯 Exam Tip: माध्यिका की परिभाषा को याद रखना महत्वपूर्ण है कि वह भुजा को दो बराबर भागों में बांटती है। दो-चरणों वाले प्रमाणों में, पहले छोटे त्रिभुजों को सर्वांगसम सिद्ध करने से अक्सर बड़े त्रिभुजों के लिए आवश्यक जानकारी मिल जाती है।
प्रश्न 4. BE और CF एक त्रिभुज \( ABC \) के दो बराबर शीर्षलम्ब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि \( \triangle ABC \) एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
Answer:
दिया है कि BE और CF त्रिभुज \( ABC \) के दो बराबर शीर्षलम्ब हैं। इसका मतलब है कि \( BE = CF \) और \( BE \perp AC \), \( CF \perp AB \)। हमें सिद्ध करना है कि \( \triangle ABC \) एक समद्विबाहु त्रिभुज है, यानी \( AB = AC \)।
समकोण त्रिभुज \( \triangle BFC \) और \( \triangle CEB \) में:
1. \( \angle BFC = \angle CEB = 90^\circ \) (क्योंकि BE और CF शीर्षलम्ब हैं)
2. \( BC = BC \) (कर्ण, उभयनिष्ठ भुजा)
3. \( CF = BE \) (दिया है कि शीर्षलम्ब बराबर हैं)
अतः, समकोण-कर्ण-भुजा (RHS) सर्वांगसमता नियम से, \( \triangle BFC \cong \triangle CEB \)।
चूँकि \( \triangle BFC \cong \triangle CEB \),
\( \implies \angle FBC = \angle ECB \) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
इसका मतलब है कि \( \angle ABC = \angle ACB \)।
एक त्रिभुज में, यदि दो कोण बराबर होते हैं, तो उनके सामने की भुजाएँ भी बराबर होती हैं।
अतः, \( AC = AB \)।
इसलिए, \( \triangle ABC \) एक समद्विबाहु त्रिभुज है। यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय है कि यदि एक त्रिभुज के दो शीर्षलंब बराबर हों, तो वह त्रिभुज समद्विबाहु होता है।
In simple words: हमने दो छोटे समकोण त्रिभुजों को सर्वांगसम साबित किया क्योंकि उनके कर्ण और एक भुजा बराबर थी। इससे पता चला कि त्रिभुज ABC के दो कोण बराबर हैं, और जब किसी त्रिभुज के दो कोण बराबर होते हैं, तो उसके सामने की भुजाएं भी बराबर होती हैं, इसलिए वह समद्विबाहु त्रिभुज है।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि RHS सर्वांगसमता नियम केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है। एक त्रिभुज को समद्विबाहु सिद्ध करने के लिए अक्सर उसके दो कोणों को बराबर सिद्ध करना एक प्रभावी तरीका होता है।
प्रश्न 5. \( ABC \) एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें \( AB = AC \) है। \( AP \perp BC \) खींचकर दर्शाइए कि \( \angle B = \angle C \) है।
Answer:
दिया है कि \( \triangle ABC \) एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें \( AB = AC \) है। हमने \( AP \perp BC \) खींचा है, जिसका अर्थ है कि AP रेखा BC पर लम्ब है। हमें सिद्ध करना है कि \( \angle B = \angle C \)।
\( \triangle APB \) और \( \triangle APC \) दो समकोण त्रिभुज हैं:
1. \( AB = AC \) (कर्ण, दिया है)
2. \( AP = AP \) (उभयनिष्ठ भुजा)
3. \( \angle APB = \angle APC = 90^\circ \) (रचना द्वारा, क्योंकि AP, BC पर लम्ब है)
अतः, समकोण-कर्ण-भुजा (RHS) सर्वांगसमता नियम से, \( \triangle APB \cong \triangle APC \)।
चूँकि \( \triangle APB \cong \triangle APC \),
\( \implies \angle B = \angle C \) (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।
इस तरह, यह सिद्ध होता है कि एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण हमेशा बराबर होते हैं।
In simple words: हमने एक सीधी रेखा (लम्ब) AP खींची जो BC पर 90 डिग्री का कोण बनाती है। फिर, हमने दो छोटे समकोण त्रिभुजों (APB और APC) को सर्वांगसम साबित करने के लिए RHS नियम का उपयोग किया। इससे सीधे पता चला कि कोण B और कोण C बराबर हैं।
🎯 Exam Tip: यह एक मौलिक प्रमेय है कि समद्विबाहु त्रिभुज के समान भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं। इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए RHS सर्वांगसमता नियम का उपयोग करना सबसे सीधा तरीका है, खासकर जब एक लंब खींचा गया हो।
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RBSE Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 07 त्रिभुजों की सर्वांगसमता एवं असमिकाएँ
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