RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 6 सरल रेखीय आकृतियाँ Exercise 6.1

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 6 सरल रेखीय आकृतियाँ Ex 6.1

Question 1. दिए गए चित्र से, △ABC के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।Answer:
हमें \( \triangle ABC \) के तीनों कोण ज्ञात करने हैं।
**दिया गया है:** चित्र में, \( \angle CAF = 112^\circ \) और \( \angle DCE = 53^\circ \).
1. **\( \angle BAC \) की गणना:** चित्र के अनुसार, \( \angle BAC \) और \( \angle CAF \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं (क्योंकि रेखा B-A-F एक सीधी रेखा है)। रैखिक युग्म के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \( \angle BAC + \angle CAF = 180^\circ \)
\( \implies \angle BAC = 180^\circ - \angle CAF \)
\( \implies \angle BAC = 180^\circ - 112^\circ \)
\( \implies \angle BAC = 68^\circ \)

2. **\( \angle BCA \) की गणना:** बिंदु C पर, \( \angle BCA \) और \( \angle DCE \) शीर्षाभिमुख कोण हैं (क्योंकि रेखाएँ B-C-D और A-C-E एक-दूसरे को काटती हैं)। शीर्षाभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं। \( \angle BCA = \angle DCE = 53^\circ \)

3. **\( \angle ABC \) की गणना:** अब, \( \triangle ABC \) में, त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। यह एक मूल ज्यामितीय सिद्धांत है जो किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है। \( \angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180^\circ \)
गणना किए गए मानों को रखने पर: \( \implies \angle ABC + 53^\circ + 68^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle ABC + 121^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle ABC = 180^\circ - 121^\circ \)
\( \implies \angle ABC = 59^\circ \)
अतः, त्रिभुज \( ABC \) के तीनों कोण \( 68^\circ, 59^\circ \) और \( 53^\circ \) हैं।
In simple words: हमने पहले सीधी रेखा के कोणों का उपयोग करके \( \angle BAC \) ज्ञात किया। फिर, शीर्षाभिमुख कोणों की मदद से \( \angle BCA \) पता चला। अंत में, त्रिभुज के तीनों कोणों के योग के नियम से \( \angle ABC \) निकाला गया।

🎯 Exam Tip: जब भी चित्र में बाहरी कोण दिए हों, तो रैखिक युग्म या शीर्षाभिमुख कोणों के गुणों का उपयोग करके आंतरिक कोण ज्ञात करें। फिर त्रिभुज के कोण योग गुण का प्रयोग करें।

Question 2. चित्र में, △ABC एक समबाहु त्रिभुज है। चित्र से x, ∠y और ∠z के मान ज्ञात कीजिए।Answer:
हमें \( x, \angle y \) और \( \angle z \) के मान ज्ञात करने हैं।
**दिया गया है:** चित्र में, \( \triangle ABC \) एक समबाहु त्रिभुज है। इसका मतलब है कि इसके सभी कोण \( 60^\circ \) के हैं, यानी \( \angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ \).
1. **कोण z का मान:** यदि हम रेखा CB को P तक बढ़ाते हैं (अर्थात् \( C-B-P \) एक सीधी रेखा है), तो \( \angle ABC \) और \( \angle ABP \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं। रैखिक युग्म के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \( \angle ABP = z = 180^\circ - \angle ABC \)
\( \implies z = 180^\circ - 60^\circ \)
\( \implies z = 120^\circ \)

2. **कोण x का मान:** अब, \( \triangle ABP \) में, त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। दिए गए मानों और पहले निकाले गए \( z \) के आधार पर: \( \angle PAB = 22^\circ \) (यह मान हल के लिए माना गया है)
\( \angle ABP = z = 120^\circ \)
\( \angle APB = x \)
\( \angle PAB + \angle ABP + \angle APB = 180^\circ \)
\( \implies 22^\circ + 120^\circ + x = 180^\circ \)
\( \implies 142^\circ + x = 180^\circ \)
\( \implies x = 180^\circ - 142^\circ \)
\( \implies x = 38^\circ \)

3. **कोण y का मान:** \( \triangle APQ \) में, \( \angle APQ = x = 38^\circ \) (जैसा कि हमने अभी गणना की है). \( \angle PQA = 38^\circ \) (यह मान हल के चरणों में दिया गया है). \( \angle QAP \) एक बड़ा कोण है, जिसे हल में \( 22^\circ + y + \angle BAC \) के रूप में व्यक्त किया गया है। हम जानते हैं कि \( \angle BAC = 60^\circ \). त्रिभुज \( \triangle APQ \) के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \( \angle APQ + \angle PQA + \angle QAP = 180^\circ \)
\( \implies 38^\circ + 38^\circ + (22^\circ + y + 60^\circ) = 180^\circ \)
\( \implies 76^\circ + 82^\circ + y = 180^\circ \)
\( \implies 158^\circ + y = 180^\circ \)
\( \implies y = 180^\circ - 158^\circ \)
\( \implies y = 22^\circ \)
अतः, \( x = 38^\circ, y = 22^\circ \) और \( z = 120^\circ \) हैं।
In simple words: हमने पहले \( z \) को \( \triangle ABC \) के बाहरी कोण के रूप में ज्ञात किया। फिर \( \triangle ABP \) के कोणों का योग करके \( x \) का मान निकाला। अंत में, \( \triangle APQ \) के कोणों का उपयोग करके, \( y \) का मान प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब भी त्रिभुज के कोणों को लेकर समस्या हो, तो पहले ज्ञात कोणों (जैसे समबाहु त्रिभुज के कोण) का उपयोग करें, फिर रैखिक युग्म और त्रिभुज के कोण योग गुण का सही ढंग से उपयोग करें। अस्पष्ट चित्रों के लिए, दिए गए समाधान चरणों का सावधानीपूर्वक पालन करें।

Question 3. चित्र में △ABC की भुजाएँ AB और AC को क्रमश: E और D तक बढ़ाया गया है। यदि ∠CBE और ∠BCD के समद्विभाजक क्रमशः BO और CO बिन्दु O पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ∠BOC = 90° - \( \frac { \angle x }{2} \) है।Answer:
हमें सिद्ध करना है कि \( \angle BOC = 90^\circ - \frac { \angle x }{2} \).
त्रिभुज \( \triangle ABC \) में, कोण \( \angle BAC \) को \( \angle x \) से दर्शाया गया है।
1. **\( \angle CBO \) की गणना:** रेखा AB को E तक बढ़ाया गया है, इसलिए \( \angle ABC \) और \( \angle CBE \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं। रैखिक युग्म के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \( \angle ABC + \angle CBE = 180^\circ \)
\( \implies \angle CBE = 180^\circ - \angle ABC \)
\( BO \) कोण \( \angle CBE \) का समद्विभाजक है, जिसका अर्थ है कि \( BO \) इस कोण को दो बराबर भागों में बांटता है। \( \angle CBO = \frac{1}{2} \angle CBE \)
\( \implies \angle CBO = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle ABC) \)
\( \implies \angle CBO = 90^\circ - \frac{1}{2} \angle ABC \) ... (समीकरण 1)

2. **\( \angle BCO \) की गणना:** रेखा AC को D तक बढ़ाया गया है, इसलिए \( \angle ACB \) और \( \angle BCD \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं। \( \angle ACB + \angle BCD = 180^\circ \)
\( \implies \angle BCD = 180^\circ - \angle ACB \)
\( CO \) कोण \( \angle BCD \) का समद्विभाजक है। \( \angle BCO = \frac{1}{2} \angle BCD \)
\( \implies \angle BCO = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle ACB) \)
\( \implies \angle BCO = 90^\circ - \frac{1}{2} \angle ACB \) ... (समीकरण 2)

3. **\( \triangle BOC \) में कोणों का योग:** अब, \( \triangle BOC \) में, त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \( \angle BOC + \angle CBO + \angle BCO = 180^\circ \)
समीकरण 1 और 2 से मान रखने पर: \( \implies \angle BOC + (90^\circ - \frac{1}{2} \angle ABC) + (90^\circ - \frac{1}{2} \angle ACB) = 180^\circ \)
\( \implies \angle BOC + 180^\circ - \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ \)
दोनों तरफ से \( 180^\circ \) घटाने पर: \( \implies \angle BOC = \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB) \) ... (समीकरण 3)

4. **\( \triangle ABC \) में कोणों का योग:** \( \triangle ABC \) में, कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \)
\( \implies \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC \)
प्रश्न के अनुसार, \( \angle BAC = \angle x \). \( \implies \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle x \)

5. **समीकरण 3 में मान रखना:** \( \angle ABC + \angle ACB \) का मान समीकरण 3 में रखने पर: \( \angle BOC = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle x) \)
\( \implies \angle BOC = 90^\circ - \frac { \angle x }{2} \)
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने पहले बाहरी कोणों \( \angle CBE \) और \( \angle BCD \) के आधे-आधे भाग निकाले। फिर, छोटे त्रिभुज \( \triangle BOC \) के कोणों का योग \( 180^\circ \) के बराबर करके, \( \angle BOC \) का मान त्रिभुज \( \triangle ABC \) के आंतरिक कोणों से जोड़ा। अंत में, \( \triangle ABC \) के कोणों के योग का उपयोग करके वांछित संबंध सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: इस तरह के ज्यामिति के प्रश्नों को हल करने के लिए, बाहरी कोणों के रैखिक युग्म गुण और त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करें। कोण समद्विभाजकों को आधे कोणों के रूप में व्यक्त करना महत्वपूर्ण है।

Question 4. चित्र में, ∠P = 52° और ∠PQR = 64° है। यदि QO और RO क्रमशः ∠PQR और ∠PRQ के समद्विभाजक हैं, तो ∠x और ∠y के मान ज्ञात कीजिए।Answer:
हमें \( \angle x \) और \( \angle y \) के मान ज्ञात करने हैं।
**दिया गया है:** \( \angle P = 52^\circ \) \( \angle PQR = 64^\circ \) \( QO \) कोण \( \angle PQR \) का समद्विभाजक है। \( RO \) कोण \( \angle PRQ \) का समद्विभाजक है।
1. **\( \triangle PQR \) में \( \angle QRP \) की गणना:** त्रिभुज \( \triangle PQR \) में, तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \( \angle P + \angle PQR + \angle QRP = 180^\circ \)
दिए गए मान रखने पर: \( \implies 52^\circ + 64^\circ + \angle QRP = 180^\circ \)
\( \implies 116^\circ + \angle QRP = 180^\circ \)
\( \implies \angle QRP = 180^\circ - 116^\circ \)
\( \implies \angle QRP = 64^\circ \)

2. **\( \angle y \) की गणना:** \( RO \) कोण \( \angle PRQ \) (जिसे \( \angle QRP \) भी कहते हैं) का समद्विभाजक है। इसका मतलब है कि \( RO \) इस कोण को दो बराबर भागों में बांटता है। \( \angle y = \angle ORQ = \frac{1}{2} \angle QRP \)
\( \implies \angle y = \frac{1}{2} \times 64^\circ \)
\( \implies \angle y = 32^\circ \)

3. **\( \angle x \) की गणना:** \( QO \) कोण \( \angle PQR \) का समद्विभाजक है। \( \angle OQR = \frac{1}{2} \angle PQR \)
\( \implies \angle OQR = \frac{1}{2} \times 64^\circ \)
\( \implies \angle OQR = 32^\circ \)
अब, छोटे त्रिभुज \( \triangle OQR \) में, कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \( \angle OQR + \angle QOR + \angle ORQ = 180^\circ \)
\( \implies 32^\circ + \angle x + 32^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle x + 64^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle x = 180^\circ - 64^\circ \)
\( \implies \angle x = 116^\circ \)
अतः, \( \angle x = 116^\circ \) और \( \angle y = 32^\circ \) हैं।
In simple words: हमने पहले बड़े त्रिभुज \( PQR \) में अज्ञात कोण \( \angle QRP \) ज्ञात किया। फिर, कोण समद्विभाजकों की परिभाषा का उपयोग करके \( \angle y \) और \( \angle OQR \) के मान निकाले। अंत में, छोटे त्रिभुज \( OQR \) के कोणों का योग करके \( \angle x \) का मान प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, पहले बड़े त्रिभुज में सभी कोण ज्ञात करें, फिर कोण समद्विभाजक के गुण का उपयोग करके छोटे त्रिभुज के कोणों को विभाजित करें, और अंत में छोटे त्रिभुज के कोणों का योग नियम लागू करें।

Question 5. चित्र में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।Answer:
हमें \( \angle DCE \) का मान ज्ञात करना है।
**दिया गया है:** रेखा \( AB \parallel DE \) (AB, DE के समानांतर है) \( \angle BAC = 35^\circ \) \( \angle CDE = 53^\circ \)
1. **\( \angle DEC \) की गणना:** चूंकि \( AB \parallel DE \) और AC एक तिर्यक रेखा है, इसलिए \( \angle BAC \) और \( \angle DEC \) एकांतर आंतरिक कोण हैं। एकांतर आंतरिक कोण बराबर होते हैं। \( \angle DEC = \angle BAC = 35^\circ \)

2. **\( \triangle DCE \) में \( \angle DCE \) की गणना:** त्रिभुज \( \triangle DCE \) में, त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। यह एक मूल ज्यामितीय गुण है जो हमें अज्ञात कोण खोजने में मदद करता है। \( \angle DCE + \angle CDE + \angle DEC = 180^\circ \)
दिए गए और गणना किए गए मानों को रखने पर: \( \implies \angle DCE + 53^\circ + 35^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle DCE + 88^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle DCE = 180^\circ - 88^\circ \)
\( \implies \angle DCE = 92^\circ \)
अतः, \( \angle DCE = 92^\circ \) है।
In simple words: हमने पहले समानांतर रेखाओं और तिर्यक रेखा के एकांतर कोणों का उपयोग करके \( \angle DEC \) का मान ज्ञात किया। फिर, \( \triangle DCE \) के तीनों कोणों का योग करके अज्ञात कोण \( \angle DCE \) का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: समानांतर रेखाओं और तिर्यक रेखाओं से बनने वाले एकांतर आंतरिक कोण, संगत कोण और क्रमागत आंतरिक कोणों के गुणों को याद रखें। त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग हमेशा एक अज्ञात कोण को खोजने के लिए किया जा सकता है।

Question 6. चित्र में, ∠P = 95°, ∠R = 40° और ∠S = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।Answer:
हमें \( \angle SQT \) का मान ज्ञात करना है।
**दिया गया है:** \( \angle P = 95^\circ \) (त्रिभुज \( \triangle PRT \) में \( \angle TPR \)) \( \angle R = 40^\circ \) (त्रिभुज \( \triangle PRT \) में \( \angle PRT \)) \( \angle S = 75^\circ \) (त्रिभुज \( \triangle TQS \) में \( \angle TSQ \))
1. **\( \triangle PRT \) में \( \angle RTP \) की गणना:** त्रिभुज \( \triangle PRT \) में (जहाँ T, PR और QS का प्रतिच्छेदन बिंदु है), तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \( \angle TPR + \angle PRT + \angle RTP = 180^\circ \)
दिए गए मान रखने पर: \( \implies 95^\circ + 40^\circ + \angle RTP = 180^\circ \)
\( \implies 135^\circ + \angle RTP = 180^\circ \)
\( \implies \angle RTP = 180^\circ - 135^\circ \)
\( \implies \angle RTP = 45^\circ \)

2. **\( \angle STQ \) की गणना:** कोण \( \angle STQ \) और \( \angle RTP \) शीर्षाभिमुख कोण हैं। शीर्षाभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं। \( \angle STQ = \angle RTP = 45^\circ \)

3. **\( \triangle TQS \) में \( \angle SQT \) की गणना:** अब, त्रिभुज \( \triangle TQS \) में, तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \( \angle STQ + \angle TSQ + \angle SQT = 180^\circ \)
दिए गए और गणना किए गए मानों को रखने पर: \( \implies 45^\circ + 75^\circ + \angle SQT = 180^\circ \)
\( \implies 120^\circ + \angle SQT = 180^\circ \)
\( \implies \angle SQT = 180^\circ - 120^\circ \)
\( \implies \angle SQT = 60^\circ \)
अतः, \( \angle SQT = 60^\circ \) है।
In simple words: हमने पहले त्रिभुज \( \triangle PRT \) के कोणों का योग करके \( \angle RTP \) का मान ज्ञात किया। फिर, शीर्षाभिमुख कोणों का उपयोग करके \( \angle STQ \) का मान निकाला। अंत में, त्रिभुज \( \triangle TQS \) के कोणों का योग करके अज्ञात कोण \( \angle SQT \) का मान प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर बनने वाले शीर्षाभिमुख कोणों को पहचानना महत्वपूर्ण है, क्योंकि वे बराबर होते हैं। त्रिभुज के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है, यह नियम कई ज्यामितीय समस्याओं में मूल उपकरण है।

Question 7. चित्र में, \( \triangle PQR \) की भुजाओं QP और RQ को क्रमशः बिन्दुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि \( \angle SPR = 135^\circ \) है और \( \angle PQT = 110^\circ \) है, तो \( \angle PRQ \) ज्ञात कीजिए।Answer:
हमें \( \angle PRQ \) का मान ज्ञात करना है।
**दिया गया है:** \( \angle SPR = 135^\circ \) \( \angle PQT = 110^\circ \)
1. **\( \angle RPQ \) की गणना:** रेखा \( S-P-Q \) एक सीधी रेखा है (क्योंकि QP को S तक बढ़ाया गया है), इसलिए \( \angle SPR \) और \( \angle RPQ \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं। \( \angle SPR + \angle RPQ = 180^\circ \)
\( \implies 135^\circ + \angle RPQ = 180^\circ \)
\( \implies \angle RPQ = 180^\circ - 135^\circ \)
\( \implies \angle RPQ = 45^\circ \)

2. **\( \angle PQR \) की गणना:** रेखा \( T-Q-R \) एक सीधी रेखा है (क्योंकि RQ को T तक बढ़ाया गया है), इसलिए \( \angle PQT \) और \( \angle PQR \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं। \( \angle PQT + \angle PQR = 180^\circ \)
\( \implies 110^\circ + \angle PQR = 180^\circ \)
\( \implies \angle PQR = 180^\circ - 110^\circ \)
\( \implies \angle PQR = 70^\circ \)

3. **\( \triangle PQR \) में \( \angle PRQ \) की गणना:** त्रिभुज \( \triangle PQR \) में, तीनों आंतरिक कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। यह एक मूल ज्यामितीय गुण है जो हमें अज्ञात कोण खोजने में मदद करता है। \( \angle RPQ + \angle PQR + \angle PRQ = 180^\circ \)
गणना किए गए मानों को रखने पर: \( \implies 45^\circ + 70^\circ + \angle PRQ = 180^\circ \)
\( \implies 115^\circ + \angle PRQ = 180^\circ \)
\( \implies \angle PRQ = 180^\circ - 115^\circ \)
\( \implies \angle PRQ = 65^\circ \)
अतः, \( \angle PRQ = 65^\circ \) है।
In simple words: हमने पहले रेखा \( S-P-Q \) और \( T-Q-R \) पर बने रैखिक युग्मों का उपयोग करके \( \angle RPQ \) और \( \angle PQR \) के आंतरिक कोणों को ज्ञात किया। फिर, त्रिभुज \( \triangle PQR \) के कोणों का योग \( 180^\circ \) करके अंतिम अज्ञात कोण \( \angle PRQ \) का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: रैखिक युग्मों और त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करना ज्यामिति में कोणों को हल करने के लिए सबसे सामान्य और प्रभावी तरीके हैं। हमेशा पहले ज्ञात कोणों का उपयोग करके आंतरिक कोणों को ढूंढने का प्रयास करें।

Question 8. चित्र में, यदि PQ \( \perp \) PS, PQ \( \parallel \) SR, \( \angle SQR = 28^\circ \) और \( \angle QRT = 65^\circ \) है, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।Answer:
हमें \( x \) और \( y \) के मान ज्ञात करने हैं।
**दिया गया है:** \( PQ \perp PS \) (इसलिए \( \angle QPS = 90^\circ \)) \( PQ \parallel SR \) \( \angle SQR = 28^\circ \) \( \angle QRT = 65^\circ \) \( x = \angle PQS \) \( y = \angle PSQ \)
1. **\( \triangle SQR \) में \( \angle QSR \) की गणना:** त्रिभुज \( \triangle SQR \) में, बाहरी कोण प्रमेय का उपयोग करने पर: बाहरी कोण \( \angle QRT \), उसके दो आंतरिक विपरीत कोणों \( \angle SQR \) और \( \angle QSR \) के योग के बराबर होता है। \( \angle QRT = \angle SQR + \angle QSR \)
दिए गए मान रखने पर: \( \implies 65^\circ = 28^\circ + \angle QSR \)
\( \implies \angle QSR = 65^\circ - 28^\circ \)
\( \implies \angle QSR = 37^\circ \)

2. **\( x \) (या \( \angle PQS \)) की गणना:** चूंकि \( PQ \parallel SR \) है और \( QS \) एक तिर्यक रेखा है, तो \( \angle PQS \) और \( \angle QSR \) एकांतर आंतरिक कोण हैं। एकांतर आंतरिक कोण बराबर होते हैं। \( \angle PQS = \angle QSR = 37^\circ \)
इसलिए, \( x = 37^\circ \)

3. **\( y \) (या \( \angle PSQ \)) की गणना:** अब, त्रिभुज \( \triangle PQS \) में, तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \( \angle PSQ + \angle PQS + \angle QPS = 180^\circ \)
दिए गए और गणना किए गए मानों को रखने पर: \( \implies y + 37^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
\( \implies y + 127^\circ = 180^\circ \)
\( \implies y = 180^\circ - 127^\circ \)
\( \implies y = 53^\circ \)
अतः, \( x = 37^\circ \) और \( y = 53^\circ \) हैं।
In simple words: हमने पहले बाहरी कोण प्रमेय का उपयोग करके \( \triangle SQR \) में \( \angle QSR \) का मान निकाला। फिर, समानांतर रेखाओं के एकांतर कोणों का उपयोग करके \( x \) का मान ज्ञात किया। अंत में, \( \triangle PQS \) के कोणों का योग करके \( y \) का मान प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: समानांतर रेखाओं और बाहरी कोण प्रमेय के गुणों को समझना जटिल ज्यामिति समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होता है। हमेशा ज्ञात गुणों का लाभ उठाएं।

Question 9. चित्र में, \( \triangle PQR \) की भुजा QR को बिन्दु S तक बढ़ाया गया है। यदि \( \angle PQR \) और \( \angle PRS \) के समद्विभाजक बिन्दु T पर मिलते हैं तो सिद्ध कीजिए कि \( \angle QTR = \frac {1}{2 } \angle QPR \) है।Answer:
हमें सिद्ध करना है कि \( \angle QTR = \frac {1}{2 } \angle QPR \).
**दिया गया है:** \( QR \) को \( S \) तक बढ़ाया गया है। \( QT \) कोण \( \angle PQR \) का समद्विभाजक है, इसलिए \( \angle TQR = \frac{1}{2} \angle PQR \) ... (समीकरण 1) \( RT \) कोण \( \angle PRS \) का समद्विभाजक है, इसलिए \( \angle TRS = \frac{1}{2} \angle PRS \) ... (समीकरण 2)
**प्रमाण:** 1. **\( \triangle PQR \) में बाहरी कोण प्रमेय का उपयोग करके:** त्रिभुज \( \triangle PQR \) में, बाहरी कोण \( \angle PRS \) उसके दो आंतरिक विपरीत कोणों \( \angle PQR \) और \( \angle QPR \) के योग के बराबर होता है। \( \angle PRS = \angle PQR + \angle QPR \)
दोनों तरफ \( \frac{1}{2} \) से गुणा करने पर: \( \frac{1}{2} \angle PRS = \frac{1}{2} \angle PQR + \frac{1}{2} \angle QPR \) ... (समीकरण 3)

2. **\( \triangle QTR \) में बाहरी कोण प्रमेय का उपयोग करके:** त्रिभुज \( \triangle QTR \) में, बाहरी कोण \( \angle TRS \) उसके दो आंतरिक विपरीत कोणों \( \angle TQR \) और \( \angle QTR \) के योग के बराबर होता है। \( \angle TRS = \angle TQR + \angle QTR \) ... (समीकरण 4)

3. **समीकरणों की तुलना करके:** समीकरण 2 से \( \angle TRS \) का मान समीकरण 4 में रखने पर: \( \frac{1}{2} \angle PRS = \angle TQR + \angle QTR \)
समीकरण 1 से \( \angle TQR \) का मान रखने पर: \( \frac{1}{2} \angle PRS = \frac{1}{2} \angle PQR + \angle QTR \) ... (समीकरण 5)
अब, समीकरण 3 और समीकरण 5 में \( \frac{1}{2} \angle PRS \) के मानों की तुलना करने पर: \( \frac{1}{2} \angle PQR + \frac{1}{2} \angle QPR = \frac{1}{2} \angle PQR + \angle QTR \)
दोनों तरफ से \( \frac{1}{2} \angle PQR \) घटाने पर: \( \implies \frac{1}{2} \angle QPR = \angle QTR \)
अतः, यह सिद्ध हुआ।
In simple words: हमने दो बार बाहरी कोण प्रमेय का उपयोग किया: एक बार बड़े त्रिभुज \( \triangle PQR \) पर और एक बार छोटे त्रिभुज \( \triangle QTR \) पर। कोण समद्विभाजक की परिभाषा का उपयोग करके, हमने दो समीकरण बनाए और उनकी तुलना करके वांछित संबंध को सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रमाण-आधारित प्रश्नों में, बाहरी कोण प्रमेय (Exterior Angle Theorem) एक बहुत शक्तिशाली उपकरण है। बाहरी कोण हमेशा दो आंतरिक विपरीत कोणों के योग के बराबर होता है। कोण समद्विभाजकों को आधे कोणों के रूप में व्यक्त करना न भूलें।

Question 10. एक त्रिभुज ABC का कोण A समकोण है। BC पर एक बिन्दु L इस प्रकार है कि AL \( \perp \) BC है। सिद्ध कीजिए \( \angle BAL = \angle ACB \).Answer:
हमें सिद्ध करना है कि \( \angle BAL = \angle ACB \).
**दिया गया है:** \( \triangle ABC \) में, \( \angle BAC = 90^\circ \) (कोण A समकोण है)। बिंदु \( L \) भुजा \( BC \) पर इस प्रकार है कि \( AL \perp BC \) (अर्थात् \( AL \), \( BC \) पर लंब है)।
**प्रमाण:** 1. माना \( \angle BAL = \theta \). 2. चूंकि \( \angle BAC = 90^\circ \) (दिया गया है), तो \( \angle LAC = \angle BAC - \angle BAL \). \( \implies \angle LAC = 90^\circ - \theta \). 3. अब, \( \triangle ALC \) में (जो \( L \) पर समकोण है क्योंकि \( AL \perp BC \)): हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। \( \angle ALC + \angle LAC + \angle LCA = 180^\circ \)
यहाँ, \( \angle ALC = 90^\circ \) (क्योंकि \( AL \perp BC \)). \( \angle LAC = 90^\circ - \theta \) (चरण 2 से). \( \angle LCA \) ही \( \angle ACB \) है। मानों को समीकरण में रखने पर: \( \implies 90^\circ + (90^\circ - \theta) + \angle ACB = 180^\circ \)
\( \implies 180^\circ - \theta + \angle ACB = 180^\circ \)
दोनों तरफ से \( 180^\circ \) घटाने पर: \( \implies - \theta + \angle ACB = 0 \)
\( \implies \angle ACB = \theta \)
चूंकि हमने \( \angle BAL = \theta \) माना था, तो \( \angle ACB = \angle BAL \).
अतः, यह सिद्ध हुआ कि \( \angle BAL = \angle ACB \). यह गुण अक्सर समान त्रिभुजों से भी संबंधित होता है, जहाँ \( \triangle BAL \) और \( \triangle ACB \) समरूप होते हैं।
In simple words: हमने \( \angle BAL \) को \( \theta \) माना। चूंकि \( \angle BAC \) एक समकोण है, तो \( \angle LAC \) का मान \( 90^\circ - \theta \) हुआ। फिर, \( \triangle ALC \) के कोणों का योग \( 180^\circ \) के बराबर करके, हमने पाया कि \( \angle ACB \) भी \( \theta \) के बराबर है, जिससे प्रमाण पूरा हुआ।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुजों में, जब लंब खींचा जाता है, तो बनने वाले छोटे त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं। इससे कोणों के बीच संबंध स्थापित करना आसान हो जाता है। इस प्रमाण में, त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग मुख्य है।

Question 11. एक त्रिभुज के कोणों का अनुपात 2:3:4 है। त्रिभुज के प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हमें त्रिभुज के प्रत्येक कोण का मान ज्ञात करना है।
**दिया गया है:** त्रिभुज के तीनों कोणों का अनुपात = \( 2:3:4 \)
**गणना:** 1. माना त्रिभुज के तीन कोण क्रमशः \( 2x^\circ, 3x^\circ \) और \( 4x^\circ \) हैं। 2. हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा \( 180^\circ \) होता है। इसलिए, इन तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) के बराबर होगा: \( 2x^\circ + 3x^\circ + 4x^\circ = 180^\circ \)
समान पदों को जोड़ने पर: \( \implies 9x^\circ = 180^\circ \)
\( x \) का मान ज्ञात करने के लिए दोनों तरफ 9 से भाग देने पर: \( \implies x^\circ = \frac{180^\circ}{9} \)
\( \implies x^\circ = 20^\circ \)
3. अब, हम प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कर सकते हैं: पहला कोण \( = 2x^\circ = 2 \times 20^\circ = 40^\circ \)
दूसरा कोण \( = 3x^\circ = 3 \times 20^\circ = 60^\circ \)
तीसरा कोण \( = 4x^\circ = 4 \times 20^\circ = 80^\circ \)
अतः, त्रिभुज के तीनों कोण \( 40^\circ, 60^\circ \) और \( 80^\circ \) हैं। यह एक विषमबाहु त्रिभुज है क्योंकि इसके सभी कोण अलग-अलग हैं।
In simple words: हमने कोणों को \( 2x, 3x \) और \( 4x \) माना। फिर, त्रिभुज के सभी कोणों का जोड़ \( 180^\circ \) होता है, इस नियम का उपयोग करके \( x \) का मान निकाला। अंत में, \( x \) का मान रखकर सभी कोणों के वास्तविक माप ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: जब कोणों को अनुपात में दिया जाए, तो उन्हें \( kx, lx, mx \) के रूप में मानें। हमेशा याद रखें कि एक त्रिभुज के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। यह एक मौलिक गुण है।