RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 6 सरल रेखीय आकृतियाँ Important Questions

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 6 सरल रेखीय आकृतियाँ Additional Questions

अन्य महत्वपूर्ण प्रश्न

बहुविकल्पीय प्रश्न

Question 1. त्रिभुज के तीनों कोणों का योगफल बराबर होता है
(a) एक समकोण के
(b) दो समकोण के
(c) तीन समकोण के
(d) चार समकोण के
Answer: (b) दो समकोण के
In simple words: किसी भी त्रिभुज के अंदर के तीनों कोणों को जोड़ने पर हमेशा 180 डिग्री आता है, जो दो समकोण (90+90=180) के बराबर होता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक समकोण 90° का होता है, इसलिए त्रिभुज के कोणों का योग 180° या दो समकोण होता है।

Question 2. समकोण त्रिभुज में सबसे बड़ा कोण हो सकता है-
(a) 180°
(b) \( \frac{180^\circ}{2} \)
(c) \( \frac{180^\circ}{3} \)
(d) \( \frac{180^\circ}{4} \)
Answer: (b) \( \frac{180^\circ}{2} \)
In simple words: एक समकोण त्रिभुज में एक कोण 90 डिग्री का होता है. बाकी बचे दो कोणों का योग भी 90 डिग्री होता है. इसलिए त्रिभुज का कोई भी कोण 90 डिग्री से बड़ा नहीं हो सकता. सबसे बड़ा कोण 90 डिग्री ही होगा, जिसे \( \frac{180^\circ}{2} \) लिखा जा सकता है.

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज में एक कोण हमेशा 90° होता है। अन्य दो कोण न्यूनकोण (90° से कम) होते हैं, इसलिए सबसे बड़ा कोण 90° ही हो सकता है।

Question 3. किसी भी त्रिभुज में कम से कम कितने कोण न्यूनकोण हो सकते हैं?
(a) एक
(b) दो
(c) तीन
(d) चार
Answer: (b) दो
In simple words: किसी भी त्रिभुज में कम से कम दो कोण 90 डिग्री से कम (न्यूनकोण) होने ही चाहिए. अगर दो से कम न्यूनकोण होंगे, तो त्रिभुज बनाना संभव नहीं होगा.

🎯 Exam Tip: यदि किसी त्रिभुज में केवल एक न्यूनकोण हो, तो शेष दो कोण या तो समकोण होंगे या अधिककोण, जिससे कोणों का योग 180° से अधिक हो जाएगा। इसलिए, न्यूनतम दो न्यूनकोण आवश्यक हैं।

Question 4. एक त्रिभुज के दो कोण 40° और 55° हैं। तीसरे कोण x का मान होगा:
(a) 85°
(b) 75°
(c) 65°
(d) 95°
Answer: (a) 85°
In simple words: एक त्रिभुज के अंदर के सभी कोणों को जोड़ने पर 180 डिग्री आता है. अगर दो कोण 40 और 55 डिग्री के हैं, तो तीसरा कोण 180 में से इन दोनों का जोड़ घटाकर मिल जाएगा, जो 85 डिग्री है.

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। यदि दो कोण दिए गए हों, तो तीसरा कोण ज्ञात करने के लिए हमेशा 180° में से उन दोनों का योग घटाएँ।

Question 5. एक बहुभुज के सभी बहिष्कोणों का योग होता है।
(a) (2n - 4) × 180°
(b) 2 × 180°
(c) (n - 2) × 180°
(d) \( \frac{360}{n} \)
Answer: (b) 2 × 180°
In simple words: किसी भी बहुभुज के सभी बाहरी कोणों को जोड़ने पर हमेशा 360 डिग्री आता है, चाहे उसकी कितनी भी भुजाएँ हों. 360 डिग्री को \( 2 \times 180 \) डिग्री भी लिख सकते हैं.

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय नियम है कि किसी भी उत्तल बहुभुज (convex polygon) के सभी बहिष्कोणों का योग हमेशा 360° होता है, चाहे वह त्रिभुज हो या पंचभुज।

Question 6. चित्र में x का मान होगा-
(a) 135°
(b) 125°
(c) 115°
(d) 105°
Answer: (c) 115°
In simple words: दो समानांतर रेखाओं के बीच बने टेढ़े-मेढ़े रास्ते में, अंदर की तरफ बने कोणों का योग बाहर की तरफ बने कोणों के योग के बराबर होता है. इस नियम का उपयोग करके, हम x का मान 115 डिग्री पाते हैं.

🎯 Exam Tip: जब दो समानांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो आंतरिक कोणों और बाह्य कोणों के बीच के संबंध को ध्यान से समझें। इस प्रकार के 'जिग-ज़ैग' प्रश्नों में एक बिंदु से समानांतर रेखा खींचकर हल करना सबसे आसान होता है।

Question 7. बहुभुज के लिए n का मान क्या नहीं हो सकता है-
(a) n > 3
(b) n = 3
(c) n = 4
(d) n = 2
Answer: (d) n = 2
In simple words: एक बहुभुज (जैसे त्रिभुज, चतुर्भुज) को बनाने के लिए कम से कम तीन भुजाएँ चाहिए होती हैं. दो भुजाओं से कोई बंद आकृति नहीं बन सकती. इसलिए 'n' का मान 2 नहीं हो सकता.

🎯 Exam Tip: बहुभुज की परिभाषा के अनुसार, यह तीन या अधिक भुजाओं वाली एक बंद आकृति होती है। इसलिए, n का न्यूनतम मान 3 होता है।

Question 8. किसी समबहुभुज के प्रत्येक अंतःकोण का मान, भुजाओं की संख्या बढ़ने पर
(a) बढ़ता है
(b) घटता
(c) समान रहता है.
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) बढ़ता है
In simple words: जैसे-जैसे किसी समबहुभुज की भुजाएँ बढ़ती जाती हैं (जैसे त्रिभुज से चतुर्भुज, फिर पंचभुज), उसके हर अंदर वाले कोण का माप भी बढ़ता जाता है. उदाहरण के लिए, त्रिभुज का कोण 60 डिग्री, चतुर्भुज का 90 डिग्री होता है.

🎯 Exam Tip: एक समबहुभुज के आंतरिक कोण का सूत्र \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \) है। n बढ़ने के साथ, \( \frac{n-2}{n} \) का मान 1 की ओर बढ़ता है, जिससे आंतरिक कोण का मान भी बढ़ता है।

Question 9. अष्टभुज में विकर्णों की संख्या होगी
(a) 10
(b) 20
(c) 30
(d) 40
Answer: (b) 20
In simple words: एक अष्टभुज में (जिसकी 8 भुजाएँ होती हैं), आप 20 सीधी रेखाएँ खींच सकते हैं जो उसकी कोने से कोने को जोड़ती हैं, लेकिन ये रेखाएँ उसकी भुजाएँ नहीं होंगी. इन्हें विकर्ण कहते हैं.

🎯 Exam Tip: किसी बहुभुज में विकर्णों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र \( \frac{n(n-3)}{2} \) है, जहाँ n भुजाओं की संख्या है। इसे याद रखने से गणना आसान हो जाती है।

Question 10. दशभुज में अन्त:कोणों का योगफल होगा-
(a) 1440°
(b) 1430°
(c) 1420°
(d) 410°
Answer: (a) 1440°
In simple words: दशभुज एक आकृति होती है जिसकी 10 भुजाएँ होती हैं. इसके सभी अंदर के कोणों को जोड़ने पर कुल 1440 डिग्री आता है.

🎯 Exam Tip: किसी बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग ज्ञात करने का सूत्र \( (n-2) \times 180^\circ \) है, जहाँ n भुजाओं की संख्या है। दशभुज के लिए n=10 होता है।

Question 1. क्या कोई ऐसा त्रिभुज संभव है, जिसमें दो कोण अधिककोण हों?
Answer: ऐसा त्रिभुज संभव नहीं है जिसमें दो कोण अधिक कोण हों. क्योंकि अगर दो कोण 90 डिग्री से बड़े होंगे, तो उन दोनों को जोड़ने पर ही 180 डिग्री से अधिक हो जाएगा. त्रिभुज के तीनों कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है, इसलिए ऐसा त्रिभुज नहीं बन सकता.
In simple words: नहीं, ऐसा त्रिभुज नहीं बन सकता, क्योंकि त्रिभुज के सभी कोणों का जोड़ 180 डिग्री ही होता है, और दो अधिककोण मिलकर ही 180 डिग्री से ज्यादा हो जाएँगे.

🎯 Exam Tip: अधिककोण का अर्थ है 90° से बड़ा कोण। यदि दो कोण 90° से बड़े हों, तो उनका योग ही 180° से अधिक हो जाएगा, जो त्रिभुज के कोणों के योग के नियम का उल्लंघन करेगा।

Question 2. क्या कोई ऐसा त्रिभुज संभव है, जिसमें दो कोण न्यून कोण हों?
Answer: हाँ, ऐसा त्रिभुज संभव है, जिसमें दो कोण न्यूनकोण हों. वास्तव में, किसी भी त्रिभुज में कम से कम दो कोण न्यूनकोण (90 डिग्री से कम) होने ही चाहिए. तीसरा कोण समकोण या अधिककोण हो सकता है.
In simple words: हाँ, ऐसा त्रिभुज बन सकता है. हर त्रिभुज में कम से कम दो कोण 90 डिग्री से छोटे होने ही चाहिए.

🎯 Exam Tip: किसी भी त्रिभुज के कोणों के योग के नियम के अनुसार, कम से कम दो कोणों का न्यूनकोण होना आवश्यक है, अन्यथा त्रिभुज का निर्माण संभव नहीं होगा।

Question 3. क्या कोई ऐसा त्रिभुज संभव है, जिसमें तीनों कोण 60° से अधिक हों?
Answer: ऐसी कोई त्रिभुज संभव नहीं है जिसमें सभी तीनों कोण 60° से अधिक हों. अगर तीनों कोण 60 डिग्री से बड़े होंगे, तो उन तीनों कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक हो जाएगा. जबकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग ठीक 180 डिग्री होना चाहिए.
In simple words: नहीं, ऐसा त्रिभुज नहीं बन सकता. अगर तीनों कोण 60 डिग्री से बड़े होंगे, तो उनका कुल जोड़ 180 डिग्री से ज्यादा हो जाएगा, जो गलत है.

🎯 Exam Tip: यदि सभी कोण 60° से अधिक हों, उदाहरण के लिए 61° प्रत्येक, तो योग \( 3 \times 61^\circ = 183^\circ \), जो 180° के नियम का उल्लंघन है।

Question 4. क्या कोई ऐसा त्रिभुज संभव है, जिसमें तीनों कोण 60° के हों?
Answer: हाँ, ऐसा त्रिभुज संभव है, जिसमें तीनों कोण 60° के हों. जिस त्रिभुज के तीनों कोण 60 डिग्री के होते हैं, उसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं. यह एक विशेष प्रकार का त्रिभुज होता है.
In simple words: हाँ, ऐसा त्रिभुज बन सकता है. इसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं, जहाँ तीनों कोण 60 डिग्री के होते हैं.

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज की विशेषता यह है कि उसकी तीनों भुजाएँ और तीनों कोण (प्रत्येक 60°) बराबर होते हैं। यह एक आदर्श उदाहरण है जहाँ तीनों कोण 60° होते हैं।

Question 5. क्या कोई ऐसा त्रिभुज संभव है, जिसमें तीनों कोण 60° से कम के हो?
Answer: ऐसा त्रिभुज संभव नहीं है, जिसमें तीनों कोण 60° से कम हों. अगर तीनों कोण 60 डिग्री से कम होंगे, तो उनका कुल योग 180 डिग्री से कम हो जाएगा. जबकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री के बराबर होना चाहिए.
In simple words: नहीं, ऐसा त्रिभुज नहीं बन सकता. अगर तीनों कोण 60 डिग्री से छोटे होंगे, तो उनका कुल जोड़ 180 डिग्री से कम हो जाएगा, जो त्रिभुज के नियम के खिलाफ है.

🎯 Exam Tip: यदि सभी कोण 60° से कम हों, उदाहरण के लिए 59° प्रत्येक, तो योग \( 3 \times 59^\circ = 177^\circ \), जो 180° के नियम का उल्लंघन है।

Question 6. (a) किसी समबहुभुज में कम-से-कम कितने अंश का अन्त:कोण सम्भव है? क्यों?
(b) किसी समबहुभुज में अधिक-से-अधिक कितने अंश का बाह्य कोण सम्भव है?
Answer:
(a) किसी समबहुभुज में कम-से-कम 60° का अंतःकोण संभव है. ऐसा इसलिए है क्योंकि एक समबहुभुज में कम से कम 3 भुजाएँ होनी चाहिए, जो एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं. समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक अंतःकोण 60° होता है. यदि अंतःकोण 60° से कम होगा, तो बहुभुज नहीं बन पाएगा.
(b) किसी समबहुभुज में अधिक-से-अधिक 120° का बाह्य कोण संभव है. यह भी समबाहु त्रिभुज के लिए होता है, क्योंकि जब अंतःकोण सबसे कम (60°) होता है, तो उसका संगत बाह्य कोण सबसे अधिक \( (180^\circ - 60^\circ = 120^\circ) \) होता है. जैसे-जैसे भुजाएँ बढ़ती हैं, बाह्य कोण घटता जाता है.
In simple words: (a) एक बहुभुज का सबसे छोटा अंदरूनी कोण 60 डिग्री हो सकता है, जो एक तीन भुजाओं वाले समबाहु त्रिभुज में होता है. (b) एक बहुभुज का सबसे बड़ा बाहरी कोण 120 डिग्री हो सकता है, जो उसी समबाहु त्रिभुज में होता है.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक समबहुभुज के आंतरिक और बाहरी कोणों का योग हमेशा 180° होता है। सबसे कम भुजाओं वाला समबहुभुज एक समबाहु त्रिभुज होता है (n=3), जिससे न्यूनतम आंतरिक कोण और अधिकतम बाह्य कोण मिलता है।

Question 7. क्या इस आकृति में कोई त्रुटि है? टिप्पणी करें।
Answer: हाँ, इस आकृति में त्रुटि है. एक त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है. लेकिन इस आकृति में तीनों कोण 50°, 50° और 50° दिए गए हैं, जिनका योग \( 50^\circ + 50^\circ + 50^\circ = 150^\circ \) होता है. यह 180° के बराबर नहीं है, इसलिए यह त्रिभुज बनाना संभव नहीं है.
In simple words: हाँ, यह चित्र गलत है क्योंकि एक त्रिभुज के अंदर के सारे कोणों को जोड़ने पर 180 डिग्री आना चाहिए, पर यहाँ 150 डिग्री आ रहा है.

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° का नियम सबसे मूलभूत नियमों में से एक है। यदि दिए गए कोण इस नियम का पालन नहीं करते हैं, तो आकृति में त्रुटि है।

Question 8. दिए गए चित्र में शेष कोणों के मान ज्ञात कीजिए। त्रिभुजों को नामांकित कीजिए, जहाँ ST || PQ
Answer:
दिए गए चित्र में, \( \triangle PQR \) एक बड़ा त्रिभुज है और \( \triangle RST \) एक छोटा त्रिभुज है. जहाँ ST || PQ.

\( \triangle PQR \) में:
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है.
दिया गया है कि \( \angle RQP = 50^\circ \) और \( \angle PRQ = 55^\circ \).
इसलिए, \( \angle RPQ + \angle RQP + \angle PRQ = 180^\circ \)
\( \angle RPQ + 50^\circ + 55^\circ = 180^\circ \)
\( \angle RPQ + 105^\circ = 180^\circ \)
\( \angle RPQ = 180^\circ - 105^\circ \)
\( \angle RPQ = 75^\circ \)
अतः, \( \triangle PQR \) के कोण हैं: \( \angle P = 75^\circ, \angle Q = 50^\circ, \angle R = 55^\circ \). यह एक न्यूनकोण त्रिभुज है क्योंकि इसके सभी कोण 90° से कम हैं.

अब, \( \triangle RST \) में, चूंकि ST || PQ, हम समांतर रेखाओं के गुणधर्मों का उपयोग कर सकते हैं:
1. \( \angle RST \) और \( \angle RPQ \) एकांतर आंतरिक कोण (Alternate Interior Angles) हैं.
\( \implies \angle RST = \angle RPQ = 75^\circ \).
2. \( \angle STR \) और \( \angle PQR \) एकांतर आंतरिक कोण हैं.
\( \implies \angle STR = \angle PQR = 50^\circ \).
3. \( \angle SRT \) और \( \angle PRQ \) एक ही कोण हैं, यानी \( \angle R = 55^\circ \).
अतः, \( \triangle RST \) के कोण हैं: \( \angle S = 75^\circ, \angle T = 50^\circ, \angle R = 55^\circ \). यह भी एक न्यूनकोण त्रिभुज है.

त्रिभुजों के नाम:
1. \( \triangle PQR \)
2. \( \triangle RST \)
In simple words: सबसे पहले, बड़े त्रिभुज PQR के सारे कोणों को निकाला. इसमें P, Q और R कोण थे. फिर, क्योंकि ST और PQ रेखाएँ समानांतर थीं, तो छोटे त्रिभुज RST के कोणों को बड़े त्रिभुज के कोणों से मिलाया (एकांतर कोणों के नियम से). दोनों त्रिभुजों के कोण 90 डिग्री से कम निकले, तो वे न्यूनकोण त्रिभुज हैं.

🎯 Exam Tip: समांतर रेखाओं और तिर्यक रेखाओं के गुणधर्म (जैसे एकांतर आंतरिक कोण, संगत कोण, और क्रमागत आंतरिक कोण) ज्यामिति के प्रश्नों को हल करने में महत्वपूर्ण होते हैं। ध्यान से देखें कि कौन से कोण किस नियम का पालन करते हैं।

Question 9. आकृति में HOPE एक समान्तर चतुर्भुज है। x, y और z कोणों की माप ज्ञात कीजिए। ज्ञात करने में प्रयोग किए गए गुणों को बताईए।
Answer:
चूंकि HOPE एक समान्तर चतुर्भुज है, हम इसके गुणों का उपयोग करेंगे:
1. समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है.
\( \implies \angle EHO + \angle HOP = 180^\circ \).
चित्र में \( \angle HOP = 70^\circ \) दिया गया है, और \( \angle EHO = z \).
इसलिए, \( z + 70^\circ = 180^\circ \)
\( \implies z = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).

2. समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं.
\( \implies \angle OPE = \angle EHO \).
चूंकि \( \angle EHO = z = 110^\circ \), इसलिए \( \angle OPE = y = 110^\circ \).

3. समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं.
\( \implies \angle HEP = \angle HOP \).
चूंकि \( \angle HOP = 70^\circ \), इसलिए \( \angle HEP = 70^\circ \).
चित्र में \( \angle HEP \) को दो भागों में बांटा गया है: \( \angle HEO = 40^\circ \) और \( \angle OEP = x \).
तो, \( \angle HEO + \angle OEP = \angle HEP \)
\( 40^\circ + x = 70^\circ \)
\( \implies x = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ \).

अतः, कोणों के मान हैं: \( x = 30^\circ, y = 110^\circ, z = 110^\circ \).
In simple words: एक समानांतर चतुर्भुज में, पड़ोसी कोणों का जोड़ 180 डिग्री होता है और आमने-सामने के कोण बराबर होते हैं. इन नियमों का उपयोग करके, हमने z को 110 डिग्री, y को 110 डिग्री और x को 30 डिग्री पाया.

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज के चार मुख्य गुणधर्म हैं: सम्मुख भुजाएँ समांतर और बराबर होती हैं, सम्मुख कोण बराबर होते हैं, आसन्न कोणों का योग 180° होता है, और विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इन गुणों को याद रखना ऐसे प्रश्नों को हल करने में सहायक होता है।

Question 10. किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3 : 2 है। समान्तर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है कि एक समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3:2 है.
माना कि ये कोण \( 3x \) और \( 2x \) हैं.
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है.
\( \implies 3x + 2x = 180^\circ \)
\( 5x = 180^\circ \)
\( x = \frac{180^\circ}{5} \)
\( x = 36^\circ \)

अब, कोणों की माप ज्ञात करते हैं:
पहला कोण \( = 3x = 3 \times 36^\circ = 108^\circ \).
दूसरा कोण \( = 2x = 2 \times 36^\circ = 72^\circ \).

समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं.
इसलिए, चतुर्भुज के चारों कोण होंगे: \( 108^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 72^\circ \).
In simple words: एक समानांतर चतुर्भुज के पड़ोसी कोणों का जोड़ 180 डिग्री होता है. अगर कोणों का अनुपात 3:2 है, तो उन्हें 3x और 2x मानकर x का मान निकाला. इससे कोण 108 और 72 डिग्री आए. क्योंकि आमने-सामने के कोण बराबर होते हैं, तो बाकी दो कोण भी वही होंगे.

🎯 Exam Tip: आसन्न कोणों (adjacent angles) का योग 180° और सम्मुख कोणों (opposite angles) का बराबर होना, समान्तर चतुर्भुज के सबसे महत्वपूर्ण गुण हैं, जिनका उपयोग ऐसे प्रश्नों को हल करने में होता है।

Question 11. एक समबहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि इसका प्रत्येक अन्तः कोण 165° का हो।
Answer:
माना कि समबहुभुज में भुजाओं की संख्या n है.
हम जानते हैं कि एक समबहुभुज के प्रत्येक अंतःकोण का मान ज्ञात करने का सूत्र है:
\( \text{प्रत्येक अंतःकोण} = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \)
दिया गया है कि प्रत्येक अंतःकोण 165° है.
\( \implies 165^\circ = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \)
अब, n से गुणा करें:
\( 165n = (n-2) \times 180 \)
\( 165n = 180n - 360 \)
360 को बाईं ओर और 165n को दाईं ओर ले जाएँ:
\( 360 = 180n - 165n \)
\( 360 = 15n \)
n का मान ज्ञात करें:
\( n = \frac{360}{15} \)
\( n = 24 \)
अतः, समबहुभुज की भुजाओं की संख्या 24 है.
In simple words: किसी भी नियमित बहुभुज के हर अंदरूनी कोण का एक खास सूत्र होता है. हमने उस सूत्र में दिए गए कोण (165 डिग्री) का मान रखा और भुजाओं की संख्या 'n' के लिए समीकरण को हल किया. इससे पता चला कि बहुभुज में 24 भुजाएँ हैं.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए आंतरिक कोण या बाह्य कोण का सूत्र याद रखना महत्वपूर्ण है। बाह्य कोण का सूत्र \( \frac{360^\circ}{n} \) होता है, जो अक्सर गणनाओं को सरल बनाता है क्योंकि आंतरिक कोण = \( 180^\circ \) - बाह्य कोण।

Question 12. किसी त्रिभुज के तीनों कोणों में 1 : 2 : 1 का अनुपात है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए। त्रिभुज का दोनों प्रकार से वर्गीकरण भी कीजिए।
Answer:
माना कि त्रिभुज के तीनों कोण \( x, 2x \) और \( x \) हैं.
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है.
\( \implies x + 2x + x = 180^\circ \)
\( 4x = 180^\circ \)
\( x = \frac{180^\circ}{4} \)
\( x = 45^\circ \)

तो, त्रिभुज के तीनों कोणों की माप है:
पहला कोण \( = x = 45^\circ \)
दूसरा कोण \( = 2x = 2 \times 45^\circ = 90^\circ \)
तीसरा कोण \( = x = 45^\circ \)
अतः, त्रिभुज के कोण 45°, 90° और 45° हैं.

त्रिभुज का वर्गीकरण:
1. कोणों के आधार पर: चूंकि त्रिभुज में एक कोण 90° है, यह एक समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle) है.
2. भुजाओं के आधार पर: चूंकि त्रिभुज के दो कोण (45° और 45°) बराबर हैं, तो उनके सामने की भुजाएँ भी बराबर होंगी. इसलिए, यह एक समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles triangle) है.
अतः, यह एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है.
In simple words: कोणों के अनुपात को जोड़कर हमने x का मान 45 डिग्री पाया. इससे कोण 45, 90 और 45 डिग्री निकले. क्योंकि एक कोण 90 डिग्री है, तो यह समकोण त्रिभुज है. और क्योंकि दो कोण बराबर हैं, तो यह समद्विबाहु त्रिभुज भी है.

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के वर्गीकरण के लिए हमेशा कोणों और भुजाओं दोनों के आधार पर विचार करें। कोणों के अनुपात से कोणों की वास्तविक माप निकालकर, समकोण, न्यूनकोण या अधिककोण त्रिभुज का पता लगाएँ, और बराबर कोणों से समद्विबाहु या समबाहु का पता लगाएँ।

Question 13. एक त्रिभुज के कोणों का अनुपात 1:2:3 है। उसके कोण ज्ञात कीजिए और त्रिभुज का प्रकार बताइए।
Answer:
माना कि त्रिभुज ADEF के कोण \( x^\circ, 2x^\circ \) और \( 3x^\circ \) हैं.
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है.
\( \implies x^\circ + 2x^\circ + 3x^\circ = 180^\circ \)
\( 6x^\circ = 180^\circ \)
\( x^\circ = \frac{180^\circ}{6} \)
\( x^\circ = 30^\circ \)

अतः, त्रिभुज ADEF के कोणों की माप है:
पहला कोण \( = x^\circ = 30^\circ \)
दूसरा कोण \( = 2x^\circ = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \)
तीसरा कोण \( = 3x^\circ = 3 \times 30^\circ = 90^\circ \)

चूंकि त्रिभुज ADEF में एक कोण 90° है, यह एक समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle) है.
In simple words: कोणों के अनुपात को 1x, 2x, 3x मानकर, हमने उन्हें 180 के बराबर किया और x का मान 30 डिग्री पाया. इससे कोण 30, 60, और 90 डिग्री निकले. क्योंकि इसमें एक 90 डिग्री का कोण है, यह एक समकोण त्रिभुज है.

🎯 Exam Tip: यदि कोणों का अनुपात दिया गया हो, तो उन्हें \( x, 2x, 3x \) जैसे रूप में मानकर कोणों का योग 180° के बराबर सेट करें। इससे x का मान और फिर प्रत्येक कोण की माप आसानी से मिल जाती है। 90° का कोण समकोण त्रिभुज की पहचान है।

Question 14. नीचे दी गई आकृति में कोण x तथा y का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए चित्र में \( \triangle ABC \) एक त्रिभुज है. इसमें भुजा AB = AC है (जो समद्विबाहु त्रिभुज का संकेत है).
इसलिए, \( \angle B \) और \( \angle C \) बराबर होंगे. हम मान लेते हैं कि \( \angle B = \angle C = x \). (यहाँ 'x' आंतरिक कोण को दर्शाता है).
त्रिभुज में \( \angle A = 92^\circ \) दिया गया है.
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग 180° होता है.
\( \implies \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
\( 92^\circ + x + x = 180^\circ \)
\( 92^\circ + 2x = 180^\circ \)
\( 2x = 180^\circ - 92^\circ \)
\( 2x = 88^\circ \)
\( x = \frac{88^\circ}{2} \)
\( x = 44^\circ \)
तो, त्रिभुज के आंतरिक कोण \( \angle B = 44^\circ \) और \( \angle C = 44^\circ \) हैं.

अब, कोण y ज्ञात करते हैं. चित्र में y, \( \angle C \) के साथ एक सीधी रेखा बनाता है, इसलिए \( \angle C \) और y रैखिक कोण युग्म (Linear pair) हैं.
\( \angle C + y = 180^\circ \)
\( 44^\circ + y = 180^\circ \)
\( y = 180^\circ - 44^\circ \)
\( y = 136^\circ \)

अतः, कोणों के मान हैं: \( x = 44^\circ \) और \( y = 136^\circ \).
In simple words: यह एक बराबर भुजाओं वाला त्रिभुज है. पहले हमने त्रिभुज के अंदर के सारे कोणों को जोड़ा और 180 डिग्री के बराबर किया, जिससे अंदर के x कोण (जो B और C पर हैं) 44 डिग्री निकले. फिर, y कोण C कोण के साथ मिलकर एक सीधी रेखा बनाता है, तो y को 180 में से 44 घटाकर 136 डिग्री पाया.

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं। रैखिक कोण युग्म (एक सीधी रेखा पर बने कोण) का योग हमेशा 180° होता है। इन दोनों नियमों का सही उपयोग करके कोणों का मान ज्ञात करें।