RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Exercise 4.4

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.4

निम्नलिखित समस्याओं का हल ज्ञात कीजिए।

Question 1. दो अंकों की एक संख्या में इकाई का अंक दहाई के अंक का 3 गुना है। संख्या के 2 गुने में 10 जोड़ने पर प्राप्त नई संख्या में अंक परस्पर अपना स्थान बदल लेते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना इकाई का अंक \( = y \) तथा दहाई का अंक \( = x \)
तो संख्या \( = 10x + y \)
पहली शर्त के अनुसार, इकाई का अंक दहाई के अंक का 3 गुना है:
\( y = 3x \) ...(i)
दूसरी शर्त के अनुसार, संख्या के 2 गुने में 10 जोड़ने पर अंक अपना स्थान बदल लेते हैं:
\( 2(10x + y) + 10 = 10y + x \)
\( \implies 20x + 2y + 10 = x + 10y \)
\( \implies 20x - x + 2y - 10y = -10 \)
\( \implies 19x - 8y = -10 \)
समीकरण (i) से \( y = 3x \) का मान प्रतिस्थापित करने पर:
\( \implies 19x - 8(3x) = -10 \)
\( \implies 19x - 24x = -10 \)
\( \implies -5x = -10 \)
\( \implies x = \frac{-10}{-5} \)
\( \implies x = 2 \)
अब \( x = 2 \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( y = 3 \times 2 \)
\( y = 6 \)
इस प्रकार, दहाई का अंक 2 है और इकाई का अंक 6 है।
अतः संख्या \( = 10x + y = 10(2) + 6 = 20 + 6 = 26 \)
यह संख्या अपने अंकों के मानों से बनती है और सभी शर्तों को पूरा करती है।
In simple words: हमने इकाई और दहाई के अंक को \(y\) और \(x\) मान लिया। पहली शर्त से \(y = 3x\) मिला। दूसरी शर्त से एक और समीकरण बना। इन दोनों समीकरणों को हल करके \(x\) और \(y\) का मान निकाला, जिससे संख्या 26 मिली।

🎯 Exam Tip: दो अंकों वाली संख्या के सवालों में, इकाई और दहाई के अंक को अलग-अलग चर (variables) से व्यक्त करना हमेशा याद रखें, और संख्या को \(10 \times दहाई + इकाई\) के रूप में लिखें।

Question 2. एक आयत का परिमाप 56 सेमी है। उसकी लम्बाई तथा चौड़ाई का अनुपात 4 : 3 है। आयत की लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आयत का परिमाप = 56 सेमी
माना आयत की लम्बाई \( = x \) सेमी तथा चौड़ाई \( = y \) सेमी।
परिमाप के सूत्र से: \( 2(x + y) = 56 \)
\( \implies x + y = \frac{56}{2} \)
\( \implies x + y = 28 \) ...(i)
लम्बाई और चौड़ाई का अनुपात दिया गया है:
\( \frac{x}{y} = \frac{4}{3} \)
\( \implies 3x = 4y \)
\( \implies x = \frac{4y}{3} \) ...(ii)
समीकरण (ii) से \( x \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( \frac{4y}{3} + y = 28 \)
\( \implies \frac{4y + 3y}{3} = 28 \)
\( \implies \frac{7y}{3} = 28 \)
\( \implies y = \frac{28 \times 3}{7} \)
\( \implies y = 4 \times 3 \)
\( \implies y = 12 \)
अब \( y = 12 \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( x = \frac{4 \times 12}{3} \)
\( x = 4 \times 4 \)
\( x = 16 \)
अतः, आयत की लम्बाई 16 सेमी और चौड़ाई 12 सेमी है। ये मान दिए गए परिमाप और अनुपात के साथ मेल खाते हैं।
In simple words: हमने आयत की लम्बाई को \(x\) और चौड़ाई को \(y\) मान लिया। परिमाप के सूत्र और लम्बाई-चौड़ाई के अनुपात से दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके हमने लम्बाई 16 सेमी और चौड़ाई 12 सेमी निकाली।

🎯 Exam Tip: अनुपात वाले सवालों में, चर (variables) को अनुपात के गुणज (multiples) के रूप में मानना अक्सर गणना को आसान बनाता है।

Question 3. दो संख्याओं का अनुपात 3:4 है। यदि प्रत्येक संख्या में से 5 घटा दिया जाए, तो उनका अनुपात 5 : 7 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना दो संख्याएँ \( x \) और \( y \) हैं।
पहली शर्त के अनुसार, उनका अनुपात 3:4 है:
\( \frac{x}{y} = \frac{3}{4} \)
\( \implies 4x = 3y \)
\( \implies x = \frac{3y}{4} \) ...(i)
दूसरी शर्त के अनुसार, यदि प्रत्येक संख्या में से 5 घटा दिया जाए, तो उनका अनुपात 5:7 हो जाता है:
\( \frac{x-5}{y-5} = \frac{5}{7} \)
\( \implies 7(x-5) = 5(y-5) \)
\( \implies 7x - 35 = 5y - 25 \)
\( \implies 7x - 5y = 35 - 25 \)
\( \implies 7x - 5y = 10 \) ...(ii)
समीकरण (i) से \( x \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( 7\left(\frac{3y}{4}\right) - 5y = 10 \)
\( \implies \frac{21y}{4} - 5y = 10 \)
\( \implies \frac{21y - 20y}{4} = 10 \)
\( \implies \frac{y}{4} = 10 \)
\( \implies y = 4 \times 10 \)
\( \implies y = 40 \)
अब \( y = 40 \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( x = \frac{3 \times 40}{4} \)
\( x = 3 \times 10 \)
\( x = 30 \)
अतः, दो संख्याएँ 30 और 40 हैं। इन संख्याओं का अनुपात और घटाने के बाद का अनुपात दी गई शर्तों को पूरा करता है।
In simple words: हमने दो संख्याओं को \(x\) और \(y\) माना। उनके अनुपात और 5 घटाने के बाद के अनुपात से दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके हमने संख्याएँ 30 और 40 ज्ञात कीं।

🎯 Exam Tip: जब अनुपात दिया हो, तो चरों को एक सामान्य गुणज (common multiple) के रूप में व्यक्त करना सरल रहता है, जैसे \(x = 3k\) और \(y = 4k\)।

Question 4. पिता की आयु अपने पुत्र की आयु के 6 गुना से 5 वर्ष अधिक है। 7 वर्ष पश्चात पिता की आयु पुत्र की आयु के 3 गुना से 3 अधिक होगी। टोनों की तर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना पुत्र की वर्तमान आयु \( = x \) वर्ष है।
माना पिता की वर्तमान आयु \( = y \) वर्ष है।
पहली शर्त के अनुसार (वर्तमान आयु): पिता की आयु पुत्र की आयु के 6 गुना से 5 वर्ष अधिक है।
\( y = 6x + 5 \)
\( \implies 6x - y = -5 \) ...(i)
7 वर्ष बाद उनकी आयु:
पुत्र की आयु \( = x + 7 \) वर्ष
पिता की आयु \( = y + 7 \) वर्ष
दूसरी शर्त के अनुसार (7 वर्ष बाद): पिता की आयु पुत्र की आयु के 3 गुना से 3 अधिक होगी।
\( y + 7 = 3(x + 7) + 3 \)
\( \implies y + 7 = 3x + 21 + 3 \)
\( \implies y + 7 = 3x + 24 \)
\( \implies -3x + y = 24 - 7 \)
\( \implies -3x + y = 17 \) ...(ii)
अब समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
\( (6x - y) + (-3x + y) = -5 + 17 \)
\( \implies 6x - 3x - y + y = 12 \)
\( \implies 3x = 12 \)
\( \implies x = \frac{12}{3} \)
\( \implies x = 4 \)
\( x = 4 \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( 6(4) - y = -5 \)
\( \implies 24 - y = -5 \)
\( \implies -y = -5 - 24 \)
\( \implies -y = -29 \)
\( \implies y = 29 \)
अतः, पुत्र की वर्तमान आयु 4 वर्ष है और पिता की वर्तमान आयु 29 वर्ष है। आयु के संबंध वाले प्रश्न अक्सर इस तरह के समीकरणों का उपयोग करते हैं।
In simple words: हमने पिता और पुत्र की वर्तमान आयु को \(y\) और \(x\) मान लिया। दी गई दो शर्तों से दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके, पुत्र की आयु 4 वर्ष और पिता की आयु 29 वर्ष मिली।

🎯 Exam Tip: आयु संबंधी प्रश्नों में, वर्तमान आयु को चर (variables) से दर्शाना और फिर विभिन्न समय अवधियों (जैसे 5 वर्ष पूर्व, 10 वर्ष बाद) के लिए आयु में परिवर्तन को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है।

Question 5. राम ने श्याम से कहा कि "तुम मुझे अपने पास से 100 रुप दे दो तो मेरे पास तुमसे 2 गुना रुपए हो जाएँगे। तब श्याम ने राम से कहा कि "तुम यदि अपने पास से मुझे 10 रुपए दे दो तो मेरे पास तुमसे 6 गुना रुपए हो जाएँगे।” ज्ञात कीजिए कि दोनों के पास कितने-कितने रुपए हैं?
Answer:
माना राम के पास \( x \) रुपये हैं।
माना श्याम के पास \( y \) रुपये हैं।
प्रथम शर्तानुसार (राम ने श्याम से कहा): यदि श्याम राम को 100 रुपये दे दे।
राम के पास \( = x + 100 \)
श्याम के पास \( = y - 100 \)
तब राम के पास श्याम से 2 गुना रुपये हो जाएँगे:
\( x + 100 = 2(y - 100) \)
\( \implies x + 100 = 2y - 200 \)
\( \implies x - 2y = -300 \) ...(i)
द्वितीय शर्तानुसार (श्याम ने राम से कहा): यदि राम श्याम को 10 रुपये दे दे।
राम के पास \( = x - 10 \)
श्याम के पास \( = y + 10 \)
तब श्याम के पास राम से 6 गुना रुपये हो जाएँगे:
\( y + 10 = 6(x - 10) \)
\( \implies y + 10 = 6x - 60 \)
\( \implies 6x - y = 10 + 60 \)
\( \implies 6x - y = 70 \) ...(ii)
अब समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर:
\( 2(6x - y) = 2(70) \)
\( \implies 12x - 2y = 140 \) ...(iii)
समीकरण (iii) में से समीकरण (i) को घटाने पर:
\( (12x - 2y) - (x - 2y) = 140 - (-300) \)
\( \implies 12x - 2y - x + 2y = 140 + 300 \)
\( \implies 11x = 440 \)
\( \implies x = \frac{440}{11} \)
\( \implies x = 40 \)
\( x = 40 \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( 6(40) - y = 70 \)
\( \implies 240 - y = 70 \)
\( \implies -y = 70 - 240 \)
\( \implies -y = -170 \)
\( \implies y = 170 \)
अतः, राम के पास 40 रुपये तथा श्याम के पास 170 रुपये हैं। इस प्रकार, पैसों के आदान-प्रदान के बाद की सभी शर्तें पूरी होती हैं।
In simple words: हमने राम और श्याम के पैसों को \(x\) और \(y\) माना। उनकी बातचीत की दो शर्तों से दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके हमने राम के पास 40 रुपये और श्याम के पास 170 रुपये पाए।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के लेन-देन वाले प्रश्नों में, प्रत्येक व्यक्ति के पास की राशि को बदलने और फिर नई शर्तों के आधार पर समीकरण बनाने पर ध्यान दें।

Question 6. 4 कुर्सियों और 3 मेजों का मूल्य 2100 रुपये है तथा 5 कुर्सियों और 2 मेजों का मूल्य 1750 रुपये है, तो एक कुर्सी तथा एक मेज का मूल्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना एक कुर्सी का मूल्य \( = x \) रुपये है।
माना एक मेज का मूल्य \( = y \) रुपये है।
प्रथम शर्तानुसार: 4 कुर्सियों और 3 मेजों का कुल मूल्य 2100 रुपये है।
\( 4x + 3y = 2100 \) ...(i)
द्वितीय शर्तानुसार: 5 कुर्सियों और 2 मेजों का कुल मूल्य 1750 रुपये है।
\( 5x + 2y = 1750 \) ...(ii)
इन समीकरणों को विलोपन विधि (elimination method) से हल करने के लिए, हम \( y \) के गुणांकों को बराबर करेंगे।
समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर:
\( 2(4x + 3y) = 2(2100) \)
\( \implies 8x + 6y = 4200 \) ...(iii)
समीकरण (ii) को 3 से गुणा करने पर:
\( 3(5x + 2y) = 3(1750) \)
\( \implies 15x + 6y = 5250 \) ...(iv)
अब समीकरण (iv) में से समीकरण (iii) को घटाने पर:
\( (15x + 6y) - (8x + 6y) = 5250 - 4200 \)
\( \implies 15x - 8x + 6y - 6y = 1050 \)
\( \implies 7x = 1050 \)
\( \implies x = \frac{1050}{7} \)
\( \implies x = 150 \)
\( x = 150 \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( 4(150) + 3y = 2100 \)
\( \implies 600 + 3y = 2100 \)
\( \implies 3y = 2100 - 600 \)
\( \implies 3y = 1500 \)
\( \implies y = \frac{1500}{3} \)
\( \implies y = 500 \)
अतः, एक कुर्सी का मूल्य 150 रुपये है और एक मेज का मूल्य 500 रुपये है। वस्तुओं के मूल्य ज्ञात करने के लिए यह एक सामान्य तरीका है।
In simple words: हमने कुर्सी और मेज के मूल्यों को \(x\) और \(y\) माना। दी गई शर्तों से दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके हमने कुर्सी का मूल्य 150 रुपये और मेज का मूल्य 500 रुपये पाया।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, यह सुनिश्चित करें कि आप चरों को सही वस्तुओं के साथ जोड़ें (जैसे \(x\) हमेशा कुर्सी के लिए हो) और गणना करते समय चिह्न का ध्यान रखें।

Question 7. दो संख्याएँ इस प्रकार हैं कि बड़ी संख्या के 3 गुने में छोटी संख्या का भाग दिया जाता है, तो भागफल 4 तथा शेषफल 3 प्राप्त होता है। यदि छोटी संख्या के 7 गुने में बड़ी संख्या का भाग दिया जाता है, तो भागफल 5 तथा शेषफल 1 प्राप्त होता है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना बड़ी संख्या \( = x \) है।
माना छोटी संख्या \( = y \) है।
हम जानते हैं कि भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल।
प्रथम शर्तानुसार: बड़ी संख्या के 3 गुने (\(3x\)) में छोटी संख्या (\(y\)) का भाग देने पर, भागफल 4 और शेषफल 3 प्राप्त होता है।
\( 3x = y \times 4 + 3 \)
\( \implies 3x - 4y = 3 \) ...(i)
द्वितीय शर्तानुसार: छोटी संख्या के 7 गुने (\(7y\)) में बड़ी संख्या (\(x\)) का भाग देने पर, भागफल 5 और शेषफल 1 प्राप्त होता है।
\( 7y = x \times 5 + 1 \)
\( \implies 5x - 7y = -1 \) ...(ii)
अब समीकरण (i) को 7 से गुणा करने पर:
\( 7(3x - 4y) = 7(3) \)
\( \implies 21x - 28y = 21 \) ...(iii)
समीकरण (ii) को 4 से गुणा करने पर:
\( 4(5x - 7y) = 4(-1) \)
\( \implies 20x - 28y = -4 \) ...(iv)
समीकरण (iii) में से समीकरण (iv) को घटाने पर:
\( (21x - 28y) - (20x - 28y) = 21 - (-4) \)
\( \implies 21x - 20x - 28y + 28y = 21 + 4 \)
\( \implies x = 25 \)
\( x = 25 \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( 3(25) - 4y = 3 \)
\( \implies 75 - 4y = 3 \)
\( \implies -4y = 3 - 75 \)
\( \implies -4y = -72 \)
\( \implies y = \frac{-72}{-4} \)
\( \implies y = 18 \)
अतः, बड़ी संख्या 25 है और छोटी संख्या 18 है। भाग के सिद्धांतों पर आधारित यह एक महत्वपूर्ण प्रश्न है।
In simple words: हमने बड़ी और छोटी संख्या को \(x\) और \(y\) माना। भागफल और शेषफल के सूत्र का उपयोग करके दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करने पर बड़ी संख्या 25 और छोटी संख्या 18 मिली।

🎯 Exam Tip: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल का सूत्र भागफल संबंधी प्रश्नों में बहुत महत्वपूर्ण है; इसे हमेशा सही ढंग से लागू करें।

Question 8. दो अंकों की संख्या अपने अंकों के योग की 4 गुनी तथा अंकों के गुणनफल की 2 गुनी है। संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना इकाई का अंक \( = x \) है।
माना दहाई का अंक \( = y \) है।
तो संख्या \( = 10y + x \) होगी।
प्रथम शर्तानुसार: संख्या अपने अंकों के योग की 4 गुनी है।
\( 10y + x = 4(x + y) \)
\( \implies 10y + x = 4x + 4y \)
\( \implies 10y - 4y = 4x - x \)
\( \implies 6y = 3x \)
\( \implies x = 2y \) ...(i)
द्वितीय शर्तानुसार: संख्या अपने अंकों के गुणनफल की 2 गुनी है।
\( 10y + x = 2(x \times y) \)
\( \implies 10y + x = 2xy \) ...(ii)
समीकरण (i) से \( x = 2y \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( 10y + 2y = 2(2y \times y) \)
\( \implies 12y = 4y^2 \)
\( \implies 4y^2 - 12y = 0 \)
\( \implies 4y(y - 3) = 0 \)
यहाँ, \( 4y = 0 \implies y = 0 \) या \( y - 3 = 0 \implies y = 3 \)
चूँकि \( y \) दहाई का अंक है और यह एक दो अंकों की संख्या है, इसलिए \( y \neq 0 \) हो सकता है। अतः, \( y = 3 \)।
अब \( y = 3 \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( x = 2(3) \)
\( x = 6 \)
अतः, इकाई का अंक 6 है और दहाई का अंक 3 है।
संख्या \( = 10y + x = 10(3) + 6 = 30 + 6 = 36 \)
यह संख्या दोनों शर्तों को पूरा करती है और एक दो अंकों की संख्या है।
In simple words: हमने इकाई और दहाई के अंक को \(x\) और \(y\) माना, और संख्या को \(10y + x\) लिखा। दो शर्तों से दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके हमने \(x=6\) और \(y=3\) पाया, जिससे संख्या 36 मिली।

🎯 Exam Tip: दो अंकों वाली संख्या के सवालों में, जब अंक 0 नहीं हो सकते, तो शून्य वाले हल को अस्वीकार करना याद रखें।

Question 9. एक भिन्न के अंश तथा हर में 1 जोड़ने पर वह \( \frac {4}{5} \) बन जाती है, जबकि अंश व हर दोनों में से यदि 5 घटाते हैं तो वह \( \frac {1}{2 } \) हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना भिन्न का अंश \( = x \) है।
माना भिन्न का हर \( = y \) है।
तो भिन्न \( = \frac{x}{y} \) है।
प्रथम शर्तानुसार: अंश और हर दोनों में 1 जोड़ने पर भिन्न \( \frac{4}{5} \) बन जाती है।
\( \frac{x+1}{y+1} = \frac{4}{5} \)
\( \implies 5(x+1) = 4(y+1) \)
\( \implies 5x + 5 = 4y + 4 \)
\( \implies 5x - 4y = 4 - 5 \)
\( \implies 5x - 4y = -1 \) ...(i)
द्वितीय शर्तानुसार: अंश और हर दोनों में से 5 घटाने पर भिन्न \( \frac{1}{2} \) बन जाती है।
\( \frac{x-5}{y-5} = \frac{1}{2} \)
\( \implies 2(x-5) = 1(y-5) \)
\( \implies 2x - 10 = y - 5 \)
\( \implies 2x - y = 10 - 5 \)
\( \implies 2x - y = 5 \) ...(ii)
समीकरण (ii) को 4 से गुणा करने पर (ताकि \( y \) के गुणांक बराबर हो जाएँ):
\( 4(2x - y) = 4(5) \)
\( \implies 8x - 4y = 20 \) ...(iii)
समीकरण (iii) में से समीकरण (i) को घटाने पर:
\( (8x - 4y) - (5x - 4y) = 20 - (-1) \)
\( \implies 8x - 5x - 4y + 4y = 20 + 1 \)
\( \implies 3x = 21 \)
\( \implies x = \frac{21}{3} \)
\( \implies x = 7 \)
\( x = 7 \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( 2(7) - y = 5 \)
\( \implies 14 - y = 5 \)
\( \implies -y = 5 - 14 \)
\( \implies -y = -9 \)
\( \implies y = 9 \)
अतः, भिन्न \( \frac{7}{9} \) है। भिन्न को हल करने के लिए यह एक सीधी विधि है।
In simple words: हमने भिन्न के अंश को \(x\) और हर को \(y\) माना। दी गई दो शर्तों से दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके हमने अंश 7 और हर 9 पाया, जिससे भिन्न \( \frac{7}{9} \) मिली।

🎯 Exam Tip: भिन्न वाले प्रश्नों में, अंश और हर को अलग-अलग चर से व्यक्त करें और फिर दी गई शर्तों के अनुसार समीकरण बनाएँ।

Question 10. 5 वर्ष पूर्व गीता की आयु कमला की आयु की 3 गुना थी। 10 वर्ष बाद गीता की आयु कमला की आयु की 2 गुना होगी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना गीता की वर्तमान आयु \( = x \) वर्ष है।
माना कमला की वर्तमान आयु \( = y \) वर्ष है।
5 वर्ष पूर्व उनकी आयु:
गीता की आयु \( = x - 5 \) वर्ष
कमला की आयु \( = y - 5 \) वर्ष
प्रथम शर्तानुसार (5 वर्ष पूर्व): गीता की आयु कमला की आयु की 3 गुना थी।
\( x - 5 = 3(y - 5) \)
\( \implies x - 5 = 3y - 15 \)
\( \implies x - 3y = -15 + 5 \)
\( \implies x - 3y = -10 \) ...(i)
10 वर्ष बाद उनकी आयु:
गीता की आयु \( = x + 10 \) वर्ष
कमला की आयु \( = y + 10 \) वर्ष
द्वितीय शर्तानुसार (10 वर्ष बाद): गीता की आयु कमला की आयु की 2 गुना होगी।
\( x + 10 = 2(y + 10) \)
\( \implies x + 10 = 2y + 20 \)
\( \implies x - 2y = 20 - 10 \)
\( \implies x - 2y = 10 \) ...(ii)
अब समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर:
\( (x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10) \)
\( \implies x - 2y - x + 3y = 10 + 10 \)
\( \implies y = 20 \)
\( y = 20 \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( x - 2(20) = 10 \)
\( \implies x - 40 = 10 \)
\( \implies x = 10 + 40 \)
\( \implies x = 50 \)
अतः, गीता की वर्तमान आयु 50 वर्ष और कमला की वर्तमान आयु 20 वर्ष है। इस तरह के आयु संबंधी प्रश्न अक्सर परीक्षा में आते हैं।
In simple words: हमने गीता और कमला की वर्तमान आयु को \(x\) और \(y\) माना। 5 साल पहले और 10 साल बाद की शर्तों से दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करने पर गीता की आयु 50 वर्ष और कमला की आयु 20 वर्ष मिली।

🎯 Exam Tip: आयु के प्रश्नों में, हमेशा विभिन्न समय अवधियों (पूर्व, वर्तमान, बाद) के लिए आयु को सही ढंग से दर्शाने पर ध्यान दें।

Question 11. एक व्यक्ति 370 किमी की यात्रा में से कुछ दूरी रेल द्वारा तथा कुछ दूरी कार द्वारा तय करता है। यदि वह 250 किमी रेल द्वारा तथा शेष दूरी कार द्वारा तय करता है, तो उसे 4 घण्टे लगते हैं। परन्तु जब वह 130 किमी रेल द्वारा तथा शेष दूरी कार द्वारा तय करता है तो उसे 18 मिनट अधिक लगते हैं। रेल तथा कार की चाल ज्ञात कीजिए।
Answer:
कुल दूरी = 370 किमी।
माना रेल की चाल \( = x \) किमी/घंटा है।
माना कार की चाल \( = y \) किमी/घंटा है।
हमें पता है कि समय \( = \frac{दूरी}{चाल} \)।
प्रथम शर्तानुसार: 250 किमी रेल द्वारा और शेष दूरी कार द्वारा तय की जाती है।
रेल द्वारा तय दूरी = 250 किमी
कार द्वारा तय दूरी \( = 370 - 250 = 120 \) किमी
कुल समय = 4 घंटे
\( \frac{250}{x} + \frac{120}{y} = 4 \) ...(i)
द्वितीय शर्तानुसार: 130 किमी रेल द्वारा और शेष दूरी कार द्वारा तय की जाती है।
रेल द्वारा तय दूरी = 130 किमी
कार द्वारा तय दूरी \( = 370 - 130 = 240 \) किमी
कुल समय = 4 घंटे + 18 मिनट
18 मिनट \( = \frac{18}{60} = \frac{3}{10} \) घंटे
कुल समय \( = 4 + \frac{3}{10} = \frac{40 + 3}{10} = \frac{43}{10} \) घंटे
\( \frac{130}{x} + \frac{240}{y} = \frac{43}{10} \) ...(ii)
माना \( \frac{1}{x} = A \) और \( \frac{1}{y} = B \)।
समीकरण (i) और (ii) को \( A \) और \( B \) के पदों में लिखने पर:
\( 250A + 120B = 4 \) ...(iii)
\( 130A + 240B = \frac{43}{10} \) ...(iv)
समीकरण (iii) को 2 से गुणा करने पर:
\( 2(250A + 120B) = 2(4) \)
\( \implies 500A + 240B = 8 \) ...(v)
समीकरण (v) में से समीकरण (iv) को घटाने पर:
\( (500A + 240B) - (130A + 240B) = 8 - \frac{43}{10} \)
\( \implies 500A - 130A = \frac{80 - 43}{10} \)
\( \implies 370A = \frac{37}{10} \)
\( \implies A = \frac{37}{10 \times 370} \)
\( \implies A = \frac{1}{100} \)
चूँकि \( A = \frac{1}{x} \), तो \( \frac{1}{x} = \frac{1}{100} \implies x = 100 \)
\( A = \frac{1}{100} \) का मान समीकरण (iii) में रखने पर:
\( 250\left(\frac{1}{100}\right) + 120B = 4 \)
\( \implies \frac{25}{10} + 120B = 4 \)
\( \implies 2.5 + 120B = 4 \)
\( \implies 120B = 4 - 2.5 \)
\( \implies 120B = 1.5 \)
\( \implies B = \frac{1.5}{120} = \frac{15}{1200} = \frac{1}{80} \)
चूँकि \( B = \frac{1}{y} \), तो \( \frac{1}{y} = \frac{1}{80} \implies y = 80 \)
अतः, रेल की चाल 100 किमी/घंटा और कार की चाल 80 किमी/घंटा है। यह चाल-दूरी-समय के सिद्धांतों पर आधारित है।
In simple words: हमने रेल और कार की चाल को \(x\) और \(y\) माना। कुल दूरी और दिए गए समय का उपयोग करके दो समीकरण बनाए। हमने \(\frac{1}{x}\) को \(A\) और \(\frac{1}{y}\) को \(B\) मानकर इन समीकरणों को हल किया, जिससे रेल की चाल 100 किमी/घंटा और कार की चाल 80 किमी/घंटा मिली।

🎯 Exam Tip: चाल-दूरी-समय के प्रश्नों में, हमेशा सभी समय इकाइयों (जैसे मिनट को घंटे में) को एक ही मानक में बदलना याद रखें और \(\frac{1}{x}\) और \(\frac{1}{y}\) को प्रतिस्थापित करना जटिल समीकरणों को सरल बनाता है।