RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Exercise 4.3

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.3

निम्नलिखित समीकरणों के बारे में जाँच कीजिए कि समीकरण निकाय के अद्वितीय हल हैं, कोई हल नहीं है या अपरिमित हल हैं। यदि किसी निकाय के अद्वितीय हल हैं तो उन्हें ज्ञात कीजिए।

Question 1. 2x + y = 35
3x + 4y = 65
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( 2x + y = 35 \) या \( 2x + y - 35 = 0 \) ...(i)
तथा \( 3x + 4y = 65 \) या \( 3x + 4y - 65 = 0 \) ...(ii)
समीकरण (i) व (ii) से, गुणांकों की तुलना करने पर:
\( a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -35 \)
\( a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = -65 \)
यहां, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3} \) और \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{4} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} \), अतः समीकरण निकाय के अद्वितीय हल हैं।
इन अद्वितीय हल को वज्र-गुणन विधि से ज्ञात करेंगे:
\( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \)

\( \implies \frac{x}{(1 \times -65) - (4 \times -35)} = \frac{y}{(-35 \times 3) - (-65 \times 2)} = \frac{1}{(2 \times 4) - (3 \times 1)} \)

\( \implies \frac{x}{-65 + 140} = \frac{y}{-105 + 130} = \frac{1}{8 - 3} \)

\( \implies \frac{x}{75} = \frac{y}{25} = \frac{1}{5} \)
अब, \( \frac{x}{75} = \frac{1}{5} \)

\( \implies x = \frac{75}{5} \)

\( \implies x = 15 \)
और, \( \frac{y}{25} = \frac{1}{5} \)

\( \implies y = \frac{25}{5} \)

\( \implies y = 5 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल \( x=15 \) और \( y=5 \) है। जब रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो हमें एक अद्वितीय समाधान मिलता है।
In simple words: सबसे पहले, हमने समीकरणों को एक मानक रूप में लिखा। फिर, हमने देखा कि उनके गुणांकों का अनुपात अलग-अलग था, जिसका मतलब है कि उनका एक ही हल है। हमने इस हल को वज्र-गुणन विधि से निकाला और \( x \) तथा \( y \) के मान पाए.

🎯 Exam Tip: वज्र-गुणन विधि का उपयोग करते समय, गुणांकों को सही ढंग से लिखें और चिन्हों पर विशेष ध्यान दें ताकि गणना में गलती न हो.

Question 2. 2x - y = 6
x - y = 2
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( 2x - y = 6 \) या \( 2x - y - 6 = 0 \) ...(i)
तथा \( x - y = 2 \) या \( x - y - 2 = 0 \) ...(ii)
समीकरण (i) व (ii) से, गुणांकों की तुलना करने पर:
\( a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = -6 \)
\( a_2 = 1, b_2 = -1, c_2 = -2 \)
यहां, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} \) और \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-1} = \frac{1}{1} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} \), अतः समीकरण निकाय के अद्वितीय हल हैं।
इन अद्वितीय हल को वज्र-गुणन विधि से ज्ञात करेंगे:
\( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \)

\( \implies \frac{x}{(-1 \times -2) - (-1 \times -6)} = \frac{y}{(-6 \times 1) - (-2 \times 2)} = \frac{1}{(2 \times -1) - (1 \times -1)} \)

\( \implies \frac{x}{2 - 6} = \frac{y}{-6 + 4} = \frac{1}{-2 + 1} \)

\( \implies \frac{x}{-4} = \frac{y}{-2} = \frac{1}{-1} \)
अब, \( \frac{x}{-4} = \frac{1}{-1} \)

\( \implies x = \frac{-4}{-1} \)

\( \implies x = 4 \)
और, \( \frac{y}{-2} = \frac{1}{-1} \)

\( \implies y = \frac{-2}{-1} \)

\( \implies y = 2 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल \( x=4 \) और \( y=2 \) है। अद्वितीय हल का मतलब है कि केवल एक ही \( x \) और \( y \) मान इन दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट कर सकते हैं।
In simple words: हमने दिए गए समीकरणों के गुणांकों की जांच की और पाया कि उनका एक ही हल है। फिर, वज्र-गुणन विधि का उपयोग करके, हमने \( x \) और \( y \) के मान निकाले जो 4 और 2 हैं.

🎯 Exam Tip: जब समीकरणों को वज्र-गुणन विधि से हल कर रहे हों, तो ध्यान रखें कि किसी भी ऋणात्मक संख्या के साथ गुणा करते समय चिन्हों को सही ढंग से बदलें.

Question 3. 3x + 2y + 25 = 0
2x + y + 10 = 0.
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( 3x + 2y + 25 = 0 \) ...(i)
\( 2x + y + 10 = 0 \) ...(ii)
समीकरण (i) व (ii) से, गुणांकों की तुलना करने पर:
\( a_1 = 3, b_1 = 2, c_1 = 25 \)
\( a_2 = 2, b_2 = 1, c_2 = 10 \)
यहां, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2} \) और \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{1} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} \), अतः समीकरण निकाय के अद्वितीय हल हैं।
इन अद्वितीय हल को वज्र-गुणन विधि से ज्ञात करेंगे:
\( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \)

\( \implies \frac{x}{(2 \times 10) - (1 \times 25)} = \frac{y}{(25 \times 2) - (10 \times 3)} = \frac{1}{(3 \times 1) - (2 \times 2)} \)

\( \implies \frac{x}{20 - 25} = \frac{y}{50 - 30} = \frac{1}{3 - 4} \)

\( \implies \frac{x}{-5} = \frac{y}{20} = \frac{1}{-1} \)
अब, \( \frac{x}{-5} = \frac{1}{-1} \)

\( \implies x = \frac{-5}{-1} \)

\( \implies x = 5 \)
और, \( \frac{y}{20} = \frac{1}{-1} \)

\( \implies y = \frac{20}{-1} \)

\( \implies y = -20 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल \( x=5 \) और \( y=-20 \) है। रैखिक समीकरणों के ऐसे युग्म हमेशा एक विशेष बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
In simple words: हमने समीकरणों के गुणांकों को देखकर यह पता लगाया कि उनका एक ही हल होगा। फिर, हमने वज्र-गुणन विधि का उपयोग करके \( x \) का मान 5 और \( y \) का मान -20 पाया.

🎯 Exam Tip: प्रश्नों में दिए गए संख्यात्मक मानों को ध्यान से पढ़ें और उन्हें सही गुणांकों के साथ मिलाएं, विशेषकर जब समीकरणों में 'y' के गुणांक के रूप में '1' हो.

Question 4. x + 2y + 1 = 0
2x - 3y - 12 = 0
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( x + 2y + 1 = 0 \) ...(i)
\( 2x - 3y - 12 = 0 \) ...(ii)
समीकरण (i) व (ii) से, गुणांकों की तुलना करने पर:
\( a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 1 \)
\( a_2 = 2, b_2 = -3, c_2 = -12 \)
यहां, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2} \) और \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-3} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} \), अतः समीकरण निकाय के अद्वितीय हल हैं।
इन अद्वितीय हल को वज्र-गुणन विधि से ज्ञात करेंगे:
\( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \)

\( \implies \frac{x}{(2 \times -12) - (-3 \times 1)} = \frac{y}{(1 \times 2) - (-12 \times 1)} = \frac{1}{(1 \times -3) - (2 \times 2)} \)

\( \implies \frac{x}{-24 + 3} = \frac{y}{2 + 12} = \frac{1}{-3 - 4} \)

\( \implies \frac{x}{-21} = \frac{y}{14} = \frac{1}{-7} \)
अब, \( \frac{x}{-21} = \frac{1}{-7} \)

\( \implies x = \frac{-21}{-7} \)

\( \implies x = 3 \)
और, \( \frac{y}{14} = \frac{1}{-7} \)

\( \implies y = \frac{14}{-7} \)

\( \implies y = -2 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल \( x=3 \) और \( y=-2 \) है। यह इंगित करता है कि समीकरणों को दर्शाने वाली रेखाएं एक ही बिंदु पर मिलती हैं।
In simple words: हमने समीकरणों के गुणांकों को देखा और पाया कि उनका एक ही हल है। फिर, वज्र-गुणन विधि का उपयोग करके, हमने \( x \) का मान 3 और \( y \) का मान -2 निकाला.

🎯 Exam Tip: वज्र-गुणन विधि का उपयोग करते समय, हमेशा सुनिश्चित करें कि सभी पदों को एक तरफ स्थानांतरित कर दिया गया है ताकि समीकरण \( ax + by + c = 0 \) के रूप में हो, ताकि चिन्हों में कोई गलती न हो.

Question 5. k का मान ज्ञात कीजिए यदि समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।
(i) 2x + ky = 1, 3x-5y = 7
(ii) kx + 2y = 5, 3x + y = 1
Answer:
(i) दिए गए समीकरण हैं:
\( 2x + ky = 1 \) या \( 2x + ky - 1 = 0 \) ...(i)
तथा \( 3x - 5y = 7 \) या \( 3x - 5y - 7 = 0 \) ...(ii)
समीकरण (i) व (ii) से, गुणांकों की तुलना करने पर:
\( a_1 = 2, b_1 = k, c_1 = -1 \)
\( a_2 = 3, b_2 = -5, c_2 = -7 \)
समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए शर्त है:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} \)

\( \implies \frac{2}{3} = \frac{k}{-5} \ne \frac{-1}{-7} \)
पहले दो भागों को हल करने पर:
\( \frac{2}{3} = \frac{k}{-5} \)

\( \implies 2 \times (-5) = 3k \)

\( \implies -10 = 3k \)

\( \implies k = \frac{-10}{3} \)
यह प्रतिबंध सत्य होगा, यदि \( \frac{k}{-5} \ne \frac{-1}{-7} \Rightarrow \frac{k}{-5} \ne \frac{1}{7} \Rightarrow 7k \ne -5 \Rightarrow k \ne \frac{-5}{7} \)
यहां \( k = \frac{-10}{3} \) जो \( \ne \frac{-5}{7} \) है, इसलिए \( k = \frac{-10}{3} \) पर निकाय का कोई हल नहीं होगा।

(ii) दिए गए समीकरण हैं:
\( kx + 2y = 5 \) या \( kx + 2y - 5 = 0 \) ...(i)
तथा \( 3x + y = 1 \) या \( 3x + y - 1 = 0 \) ...(ii)
समीकरण (i) व (ii) से, गुणांकों की तुलना करने पर:
\( a_1 = k, b_1 = 2, c_1 = -5 \)
\( a_2 = 3, b_2 = 1, c_2 = -1 \)
समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए शर्त है:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} \)

\( \implies \frac{k}{3} = \frac{2}{1} \ne \frac{-5}{-1} \)
पहले दो भागों को हल करने पर:
\( \frac{k}{3} = \frac{2}{1} \)

\( \implies k = 2 \times 3 \)

\( \implies k = 6 \)
यह प्रतिबंध सत्य होगा, यदि \( \frac{2}{1} \ne \frac{-5}{-1} \Rightarrow 2 \ne 5 \) जो सत्य है।
अतः \( k = 6 \) होने पर निकाय का कोई हल नहीं होगा। समानांतर रेखाओं की अवधारणा को समझना आवश्यक है क्योंकि वे कभी नहीं मिलती हैं और इसलिए कोई समाधान नहीं होता है।
In simple words: किसी समीकरण निकाय का कोई हल नहीं होने के लिए, \( a_1/a_2 \) और \( b_1/b_2 \) का अनुपात बराबर होना चाहिए, लेकिन \( c_1/c_2 \) के अनुपात के बराबर नहीं होना चाहिए। हमने इस नियम का उपयोग करके \( k \) का मान निकाला.

🎯 Exam Tip: 'कोई हल नहीं' की शर्त \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} \) को सही ढंग से लागू करें, और सुनिश्चित करें कि आप दोनों भागों को हल करके k का मान ज्ञात करते हैं और इसकी जाँच भी करते हैं.

Question 6. समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें
mx - ny = m² + n²
x + y = 2m
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( mx - ny = m^2 + n^2 \) ...(i)
\( x + y = 2m \) ...(ii)
समीकरण (ii) से, \( y = 2m - x \)
\( y \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( m x - n (2m - x) = m^2 + n^2 \)

\( \implies m x - 2mn + nx = m^2 + n^2 \)

\( \implies mx + nx = m^2 + n^2 + 2mn \)

\( \implies x(m+n) = (m+n)^2 \)

\( \implies x = \frac{(m+n)^2}{(m+n)} \)

\( \implies x = m+n \)
\( x \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( (m+n) + y = 2m \)

\( \implies y = 2m - (m+n) \)

\( \implies y = 2m - m - n \)

\( \implies y = m-n \)
अतः, समीकरणों के हल \( x = m+n \) और \( y = m-n \) हैं। बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के लिए अक्सर प्रतिस्थापन या विलोपन जैसी विधियों का उपयोग किया जाता है।
In simple words: हमने दूसरे समीकरण से \( y \) का मान निकाला और उसे पहले समीकरण में रख दिया। इससे हमें \( x \) का मान मिला। फिर, \( x \) का मान वापस दूसरे समीकरण में रखकर \( y \) का मान निकाला.

🎯 Exam Tip: प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते समय, एक चर को दूसरे चर के रूप में व्यक्त करें और उसे दूसरे समीकरण में सावधानी से प्रतिस्थापित करें ताकि चिन्हों और गुणांकों में कोई गलती न हो.

Question 7. \( \lambda \) के वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए निकाय. 3x + \( \lambda \)y + 1 = 0, 2x + y - 9 = 0 के (ⅰ) अद्वितीय हल (ii) कोई हल नहीं है।
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( 3x + \lambda y + 1 = 0 \) ...(i)
\( 2x + y - 9 = 0 \) ...(ii)
समीकरण (i) व (ii) से, गुणांकों की तुलना करने पर:
\( a_1 = 3, b_1 = \lambda, c_1 = 1 \)
\( a_2 = 2, b_2 = 1, c_2 = -9 \)

(i) अद्वितीय हल के लिए शर्त है:
\( \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} \)

\( \implies \frac{3}{2} \ne \frac{\lambda}{1} \)

\( \implies 3 \times 1 \ne 2 \times \lambda \)

\( \implies 3 \ne 2\lambda \)

\( \implies \lambda \ne \frac{3}{2} \)
अतः, \( \lambda = \frac{3}{2} \) के अतिरिक्त \( \lambda \) के प्रत्येक मान के लिए निकाय का हल अद्वितीय होगा। रेखाएँ एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी।

(ii) कोई भी हल नहीं के लिए शर्त है:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} \)

\( \implies \frac{3}{2} = \frac{\lambda}{1} \ne \frac{1}{-9} \)
पहले दो भागों को हल करने पर:
\( \frac{3}{2} = \frac{\lambda}{1} \)

\( \implies \lambda = \frac{3}{2} \)
यह प्रतिबंध सत्य होगा यदि \( \frac{\lambda}{1} \ne \frac{1}{-9} \Rightarrow \lambda \ne \frac{-1}{9} \)
यहां \( \lambda = \frac{3}{2} \) जो \( \ne \frac{-1}{9} \) है, इसलिए \( \lambda = \frac{3}{2} \) होने पर निकाय का कोई हल नहीं होगा। यह समानांतर रेखाओं की स्थिति को दर्शाता है।
In simple words: हमने \( \lambda \) का मान निकाला जिसके लिए समीकरणों का एक ही हल (अद्वितीय हल) होगा, जिसका मतलब है कि रेखाएँ एक बिंदु पर मिलेंगी। फिर, हमने \( \lambda \) का मान निकाला जिसके लिए समीकरणों का कोई हल नहीं होगा, जिसका मतलब है कि रेखाएँ समानांतर होंगी और कभी नहीं मिलेंगी.

🎯 Exam Tip: अद्वितीय हल और कोई हल नहीं होने की शर्तों को ठीक से याद रखें। अद्वितीय हल के लिए \( a_1/a_2 \ne b_1/b_2 \) होता है, जबकि कोई हल नहीं के लिए \( a_1/a_2 = b_1/b_2 \ne c_1/c_2 \) होता है.