RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Exercise 4.2

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.2

निम्न समीकरणों को विलोपन विधि (प्रतिस्थापन) द्वारा हल कीजिए (प्रश्न 1 से 6)

Question 1. \( 2x + 3y = 9 \)
\( 3x + 4y = 5 \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( 2x + 3y = 9 \) …(i)
\( 3x + 4y = 5 \) …(ii)
समीकरण (i) से, \( x = \frac{9-3y}{2} \) …(iii)
अब, समीकरण (iii) से \( x \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( 3 \left( \frac{9-3y}{2} \right) + 4y = 5 \)
दोनों तरफ 2 से गुणा करने पर:
\( 3(9-3y) + 2(4y) = 2(5) \)
\( 27 - 9y + 8y = 10 \)
\( 27 - y = 10 \)
\( -y = 10 - 27 \)
\( -y = -17 \)
\( \implies y = 17 \)
अब, \( y \) का मान समीकरण (iii) में रखने पर:
\( x = \frac{9 - 3(17)}{2} \)
\( x = \frac{9 - 51}{2} \)
\( x = \frac{-42}{2} \)
\( \implies x = -21 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( x = -21 \) और \( y = 17 \) है। आप अपने उत्तर की जाँच करने के लिए इन मानों को मूल समीकरणों में रख सकते हैं।
In simple words: पहले एक समीकरण से \( x \) का मान निकालें. फिर इस \( x \) के मान को दूसरे समीकरण में रख दें. इससे आपको \( y \) का मान मिल जाएगा. आखिर में, \( y \) का मान वापस \( x \) के मान वाले समीकरण में रखकर \( x \) का मान निकालें.

🎯 Exam Tip: प्रतिस्थापन विधि में, समीकरणों में से किसी एक चर (जैसे \( x \) या \( y \)) का मान दूसरे चर के रूप में व्यक्त करें और उसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। हमेशा सरल दिखने वाले समीकरण से चर का मान निकालें ताकि गणना आसान हो।

Question 2. \( x + 2y = -1 \)
\( 2x - 3y = 12 \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( x + 2y = -1 \) …(i)
\( 2x - 3y = 12 \) …(ii)
समीकरण (i) से, \( x = -1 - 2y \) …(iii)
अब, समीकरण (iii) से \( x \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( 2(-1 - 2y) - 3y = 12 \)
\( -2 - 4y - 3y = 12 \)
\( -2 - 7y = 12 \)
\( -7y = 12 + 2 \)
\( -7y = 14 \)
\( \implies y = \frac{14}{-7} \)
\( \implies y = -2 \)
अब, \( y \) का मान समीकरण (iii) में रखने पर:
\( x = -1 - 2(-2) \)
\( x = -1 + 4 \)
\( \implies x = 3 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( x = 3 \) और \( y = -2 \) है। यह विधि दो अज्ञात चरों वाले समीकरणों को हल करने का एक प्रभावी तरीका है।
In simple words: एक समीकरण से \( x \) या \( y \) का मान निकालकर दूसरे समीकरण में रखें. हल करने पर एक चर का मान मिलेगा. फिर उस मान को वापस पहले वाले समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान निकालें.

🎯 Exam Tip: प्रतिस्थापन करते समय, नकारात्मक चिह्नों का ध्यान रखें। ब्रैकेट का सही उपयोग करना गलतियों से बचने में मदद करता है।

Question 3. \( 3x + 2y = 11 \)
\( 2x + 3y = 4 \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( 3x + 2y = 11 \) …(i)
\( 2x + 3y = 4 \) …(ii)
समीकरण (ii) से, \( 2x = 4 - 3y \)
\( \implies x = \frac{4 - 3y}{2} \) …(iii)
अब, समीकरण (iii) से \( x \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( 3 \left( \frac{4 - 3y}{2} \right) + 2y = 11 \)
दोनों तरफ 2 से गुणा करने पर:
\( 3(4 - 3y) + 2(2y) = 2(11) \)
\( 12 - 9y + 4y = 22 \)
\( 12 - 5y = 22 \)
\( -5y = 22 - 12 \)
\( -5y = 10 \)
\( \implies y = \frac{10}{-5} \)
\( \implies y = -2 \)
अब, \( y \) का मान समीकरण (iii) में रखने पर:
\( x = \frac{4 - 3(-2)}{2} \)
\( x = \frac{4 + 6}{2} \)
\( x = \frac{10}{2} \)
\( \implies x = 5 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( x = 5 \) और \( y = -2 \) है। यह विधि जटिल समीकरणों को सरल बनाने में बहुत उपयोगी है।
In simple words: एक समीकरण को हल करके एक चर का मान दूसरे चर के रूप में निकालें. फिर उसे दूसरे समीकरण में रखकर एक चर का मान पाएं. अंत में, उस मान से दूसरे चर का मान भी मिल जाएगा.

🎯 Exam Tip: जब समीकरणों में भिन्न या गुणांक हों, तो पूरी समीकरण को गुणा करके उन्हें सरल पूर्णांकों में बदल लें। इससे गणना की त्रुटियाँ कम होती हैं।

Question 4. \( 5x - 2y = 19 \)
\( 3x + y = 18 \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( 5x - 2y = 19 \) …(i)
\( 3x + y = 18 \) …(ii)
समीकरण (ii) से, \( y = 18 - 3x \) …(iii)
अब, समीकरण (iii) से \( y \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( 5x - 2(18 - 3x) = 19 \)
\( 5x - 36 + 6x = 19 \)
\( 11x - 36 = 19 \)
\( 11x = 19 + 36 \)
\( 11x = 55 \)
\( \implies x = \frac{55}{11} \)
\( \implies x = 5 \)
अब, \( x \) का मान समीकरण (iii) में रखने पर:
\( y = 18 - 3(5) \)
\( y = 18 - 15 \)
\( \implies y = 3 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( x = 5 \) और \( y = 3 \) है। यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि चर को सही समीकरण में प्रतिस्थापित किया गया है।
In simple words: एक समीकरण से \( y \) का मान निकालकर दूसरे समीकरण में डालें. फिर \( x \) का मान ज्ञात करें. अंत में, \( x \) का मान वापस डालकर \( y \) का मान भी निकाल लें.

🎯 Exam Tip: यदि किसी चर का गुणांक 1 है, तो उसे प्रतिस्थापन के लिए अलग करना अक्सर आसान होता है, जैसे यहाँ \( y \) को अलग किया गया है।

Question 5. \( 4x - 5y = 39 \)
\( 2x - 7y = 51 \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( 4x - 5y = 39 \) …(i)
\( 2x - 7y = 51 \) …(ii)
समीकरण (i) से, \( 4x = 39 + 5y \)
\( \implies x = \frac{39 + 5y}{4} \) …(iii)
अब, समीकरण (iii) से \( x \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( 2 \left( \frac{39 + 5y}{4} \right) - 7y = 51 \)
\( \frac{39 + 5y}{2} - 7y = 51 \)
दोनों तरफ 2 से गुणा करने पर:
\( 39 + 5y - 14y = 102 \)
\( 39 - 9y = 102 \)
\( -9y = 102 - 39 \)
\( -9y = 63 \)
\( \implies y = \frac{63}{-9} \)
\( \implies y = -7 \)
अब, \( y \) का मान समीकरण (iii) में रखने पर:
\( x = \frac{39 + 5(-7)}{4} \)
\( x = \frac{39 - 35}{4} \)
\( x = \frac{4}{4} \)
\( \implies x = 1 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( x = 1 \) और \( y = -7 \) है। अभ्यास करने से आप इस विधि में तेजी और सटीकता हासिल कर सकते हैं।
In simple words: एक समीकरण से \( x \) का मान निकालकर दूसरे समीकरण में रख दें. फिर \( y \) का मान हल करें. \( y \) का मान मिलने के बाद, उसे वापस \( x \) के समीकरण में डालकर \( x \) का मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: प्रतिस्थापन विधि में भिन्न (fraction) आने पर, पूरी समीकरण को हर (denominator) से गुणा करके भिन्न को हटाना गणना को सरल बनाता है।

गुणांकों को समान बनाकर विलोपन विधि द्वारा निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए। (प्रश्न 7 से 12)

Question 7. \( 2x + y = 13 \)
\( 5x - 3y = 16 \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( 2x + y = 13 \) …(i)
\( 5x - 3y = 16 \) …(ii)
समीकरण (i) में 3 से गुणा करने पर, \( y \) के गुणांक समान हो जाएंगे:
\( 3 \times (2x + y) = 3 \times 13 \)
\( 6x + 3y = 39 \) …(iii)
अब, समीकरण (iii) और समीकरण (ii) को जोड़ने पर:
\( \quad 6x + 3y = 39 \)
\( + \quad 5x - 3y = 16 \)
\( \overline{\quad 11x \quad = 55} \)
\( 11x = 55 \)
\( \implies x = \frac{55}{11} \)
\( \implies x = 5 \)
अब, \( x \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( 2(5) + y = 13 \)
\( 10 + y = 13 \)
\( \implies y = 13 - 10 \)
\( \implies y = 3 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( x = 5 \) और \( y = 3 \) है। विलोपन विधि दो चरों वाले रैखिक समीकरणों को हल करने का एक बहुत ही कुशल तरीका है।
In simple words: किसी एक चर के गुणांकों को समान बनाने के लिए समीकरणों को गुणा करें. फिर समीकरणों को जोड़ें या घटाएं ताकि वह चर खत्म हो जाए. अब आपको दूसरे चर का मान मिल जाएगा. उस मान को किसी भी मूल समीकरण में रखकर पहले चर का मान निकालें.

🎯 Exam Tip: विलोपन विधि में, यह तय करें कि किस चर को विलोपित करना आसान है। यदि किसी चर के गुणांक विपरीत चिह्नों वाले हैं, तो समीकरणों को जोड़ना आसान होता है।

Question 8. \( 0.4x + 0.3y = 1.7 \)
\( 0.7x - 0.2y = 0.8 \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( 0.4x + 0.3y = 1.7 \) …(i)
\( 0.7x - 0.2y = 0.8 \) …(ii)
दशमलव हटाने के लिए समीकरण (i) और (ii) दोनों को 10 से गुणा करने पर:
\( 4x + 3y = 17 \) …(iii)
\( 7x - 2y = 8 \) …(iv)
अब, \( y \) चर को विलोपित करने के लिए, समीकरण (iii) को 2 से और समीकरण (iv) को 3 से गुणा करें:
समीकरण (iii) को 2 से गुणा करने पर: \( 2(4x + 3y) = 2(17) \implies 8x + 6y = 34 \) …(v)
समीकरण (iv) को 3 से गुणा करने पर: \( 3(7x - 2y) = 3(8) \implies 21x - 6y = 24 \) …(vi)
अब, समीकरण (v) और (vi) को जोड़ने पर:
\( \quad 8x + 6y = 34 \)
\( + \quad 21x - 6y = 24 \)
\( \overline{\quad 29x \quad = 58} \)
\( 29x = 58 \)
\( \implies x = \frac{58}{29} \)
\( \implies x = 2 \)
अब, \( x \) का मान समीकरण (iv) में रखने पर:
\( 7(2) - 2y = 8 \)
\( 14 - 2y = 8 \)
\( -2y = 8 - 14 \)
\( -2y = -6 \)
\( \implies y = \frac{-6}{-2} \)
\( \implies y = 3 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( x = 2 \) और \( y = 3 \) है। दशमलव वाले समीकरणों को पहले सरल पूर्णांकों में बदलना अक्सर सहायक होता है।
In simple words: दशमलव वाले समीकरणों को पहले 10 से गुणा करके पूरे नंबर में बदल लें. फिर गुणांकों को बराबर करके एक चर को हटा दें. हल करने पर एक चर का मान मिलेगा जिसे वापस समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान निकालें.

🎯 Exam Tip: दशमलव वाले समीकरणों को हल करते समय, पहला कदम अक्सर समीकरण के दोनों पक्षों को 10, 100 आदि से गुणा करके दशमलव को हटाना होता है।

Question 9. \( \frac{x}{7} + \frac{y}{3} = 5 \)
\( \frac{x}{2} - \frac{y}{9} = 6 \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( \frac{x}{7} + \frac{y}{3} = 5 \) …(i)
\( \frac{x}{2} - \frac{y}{9} = 6 \) …(ii)
समीकरण (i) को सरल बनाने के लिए 21 से गुणा करने पर (7 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य):
\( 21 \left( \frac{x}{7} \right) + 21 \left( \frac{y}{3} \right) = 21(5) \)
\( 3x + 7y = 105 \) …(iii)
समीकरण (ii) को सरल बनाने के लिए 18 से गुणा करने पर (2 और 9 का लघुत्तम समापवर्त्य):
\( 18 \left( \frac{x}{2} \right) - 18 \left( \frac{y}{9} \right) = 18(6) \)
\( 9x - 2y = 108 \) …(iv)
अब, \( x \) चर को विलोपित करने के लिए, समीकरण (iii) को 3 से गुणा करें:
\( 3(3x + 7y) = 3(105) \)
\( 9x + 21y = 315 \) …(v)
अब, समीकरण (v) में से समीकरण (iv) को घटाने पर:
\( \quad 9x + 21y = 315 \)
\( - \quad (9x - 2y = 108) \)
\( \overline{\quad 0x + 23y = 207} \)
\( 23y = 207 \)
\( \implies y = \frac{207}{23} \)
\( \implies y = 9 \)
अब, \( y \) का मान समीकरण (iii) में रखने पर:
\( 3x + 7(9) = 105 \)
\( 3x + 63 = 105 \)
\( 3x = 105 - 63 \)
\( 3x = 42 \)
\( \implies x = \frac{42}{3} \)
\( \implies x = 14 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( x = 14 \) और \( y = 9 \) है। भिन्न वाले समीकरणों को हल करते समय, पहले उन्हें पूर्णांक गुणांकों वाले समीकरणों में बदलना सबसे अच्छा होता है।
In simple words: भिन्नों को हटाने के लिए प्रत्येक समीकरण को उनके हरों (नीचे वाले नंबर) के सबसे छोटे सामान्य गुणज से गुणा करें. फिर गुणांकों को बराबर करके एक चर को खत्म करें. एक चर का मान मिलने के बाद, उसे वापस डालकर दूसरे चर का मान पाएं.

🎯 Exam Tip: भिन्न वाले समीकरणों को हल करते समय, लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करके हरों को हटाना पहला और सबसे महत्वपूर्ण कदम है ताकि समीकरण सरल हो जाएं।

Question 10. \( 11x + 15y = -23 \)
\( 7x - 2y = 20 \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( 11x + 15y = -23 \) …(i)
\( 7x - 2y = 20 \) …(ii)
\( y \) चर को विलोपित करने के लिए, समीकरण (i) को 2 से और समीकरण (ii) को 15 से गुणा करें:
समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर: \( 2(11x + 15y) = 2(-23) \implies 22x + 30y = -46 \) …(iii)
समीकरण (ii) को 15 से गुणा करने पर: \( 15(7x - 2y) = 15(20) \implies 105x - 30y = 300 \) …(iv)
अब, समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर:
\( \quad 22x + 30y = -46 \)
\( + \quad 105x - 30y = 300 \)
\( \overline{\quad 127x \quad = 254} \)
\( 127x = 254 \)
\( \implies x = \frac{254}{127} \)
\( \implies x = 2 \)
अब, \( x \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( 7(2) - 2y = 20 \)
\( 14 - 2y = 20 \)
\( -2y = 20 - 14 \)
\( -2y = 6 \)
\( \implies y = \frac{6}{-2} \)
\( \implies y = -3 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( x = 2 \) और \( y = -3 \) है। यह सुनिश्चित करना कि आप सही गुणांकों से गुणा कर रहे हैं, महत्वपूर्ण है।
In simple words: दोनों समीकरणों को ऐसे नंबरों से गुणा करें जिससे किसी एक चर (जैसे \( y \)) के आगे वाले नंबर बराबर और उल्टे निशान के हो जाएं. फिर समीकरणों को जोड़ें, जिससे वह चर खत्म हो जाए. अब एक चर का मान मिलेगा जिसे वापस डालकर दूसरे चर का मान पाएं.

🎯 Exam Tip: यदि गुणांक बड़े हैं, तो गुणा करने से पहले यह जांच लें कि क्या समीकरणों को किसी छोटे उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित किया जा सकता है, जिससे गणना सरल हो सकती है।

Question 11. \( 3x - 7y + 10 = 0 \)
\( y - 2x = 3 \)
Answer: दिए गए समीकरणों को मानक रूप में फिर से लिखने पर:
\( 3x - 7y = -10 \) …(i)
\( -2x + y = 3 \) …(ii)
\( y \) चर को विलोपित करने के लिए, समीकरण (ii) को 7 से गुणा करें:
\( 7(-2x + y) = 7(3) \)
\( -14x + 7y = 21 \) …(iii)
अब, समीकरण (i) और (iii) को जोड़ने पर:
\( \quad 3x - 7y = -10 \)
\( + \quad -14x + 7y = 21 \)
\( \overline{\quad -11x \quad = 11} \)
\( -11x = 11 \)
\( \implies x = \frac{11}{-11} \)
\( \implies x = -1 \)
अब, \( x \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( y - 2(-1) = 3 \)
\( y + 2 = 3 \)
\( \implies y = 3 - 2 \)
\( \implies y = 1 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( x = -1 \) और \( y = 1 \) है। मानक रूप में समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करना हल को सरल बनाता है।
In simple words: समीकरणों को \( ax+by=c \) के रूप में लिखें. फिर गुणांकों को समान बनाकर एक चर को खत्म करें. एक चर का मान मिलने के बाद, उसे वापस डालकर दूसरे चर का मान पाएं.

🎯 Exam Tip: समीकरणों को \( ax + by = c \) के मानक रूप में व्यवस्थित करना, विशेष रूप से जब पद अलग-अलग क्रम में हों, विलोपन विधि को लागू करना आसान बनाता है।

Question 12. \( x + 2y = \frac{3}{2} \)
\( 2x + y = \frac{3}{2} \)
Answer: दिए गए समीकरणों को सरल बनाने के लिए 2 से गुणा करने पर:
\( 2(x + 2y) = 2 \left( \frac{3}{2} \right) \implies 2x + 4y = 3 \) …(i)
\( 2(2x + y) = 2 \left( \frac{3}{2} \right) \implies 4x + 2y = 3 \) …(ii)
अब, \( y \) चर को विलोपित करने के लिए, समीकरण (ii) को 2 से गुणा करें:
\( 2(4x + 2y) = 2(3) \implies 8x + 4y = 6 \) …(iii)
अब, समीकरण (i) में से समीकरण (iii) को घटाने पर:
\( \quad 2x + 4y = 3 \)
\( - \quad (8x + 4y = 6) \)
\( \overline{\quad -6x \quad = -3} \)
\( -6x = -3 \)
\( \implies x = \frac{-3}{-6} \)
\( \implies x = \frac{1}{2} \)
अब, \( x \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( 2 \left( \frac{1}{2} \right) + 4y = 3 \)
\( 1 + 4y = 3 \)
\( 4y = 3 - 1 \)
\( 4y = 2 \)
\( \implies y = \frac{2}{4} \)
\( \implies y = \frac{1}{2} \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( x = \frac{1}{2} \) और \( y = \frac{1}{2} \) है। भिन्नों को हटाने के लिए गुणा करना हल को सरल बनाता है।
In simple words: भिन्नों को हटाने के लिए सभी समीकरणों को 2 से गुणा करें. फिर एक चर के गुणांकों को बराबर करके उसे खत्म करें. एक चर का मान मिलने के बाद, उसे वापस डालकर दूसरे चर का मान निकालें.

🎯 Exam Tip: जब समीकरणों में भिन्न हों, तो गणना शुरू करने से पहले प्रत्येक समीकरण को उसके हर (denominator) के LCM से गुणा करके पूर्णांकों में बदल देना चाहिए।

समीकरण हल कीजिए (प्रश्न 13 से 15)

Question 13. \( 8v - 3u = 5uv \)
\( 6v - 5u = -2uv \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( 8v - 3u = 5uv \) …(i)
\( 6v - 5u = -2uv \) …(ii)
यह मानते हुए कि \( u \neq 0 \) और \( v \neq 0 \), प्रत्येक समीकरण को \( uv \) से विभाजित करने पर, वे रैखिक रूप में बदल जाएंगे।
समीकरण (i) को \( uv \) से विभाजित करने पर: \( \frac{8v}{uv} - \frac{3u}{uv} = \frac{5uv}{uv} \implies \frac{8}{u} - \frac{3}{v} = 5 \) …(iii)
समीकरण (ii) को \( uv \) से विभाजित करने पर: \( \frac{6v}{uv} - \frac{5u}{uv} = \frac{-2uv}{uv} \implies \frac{6}{u} - \frac{5}{v} = -2 \) …(iv)
माना \( X = \frac{1}{u} \) और \( Y = \frac{1}{v} \)। तब समीकरण (iii) और (iv) बन जाते हैं:
\( 8X - 3Y = 5 \) …(v)
\( 6X - 5Y = -2 \) …(vi)
\( Y \) चर को विलोपित करने के लिए, समीकरण (v) को 5 से और समीकरण (vi) को 3 से गुणा करें:
समीकरण (v) को 5 से गुणा करने पर: \( 5(8X - 3Y) = 5(5) \implies 40X - 15Y = 25 \) …(vii)
समीकरण (vi) को 3 से गुणा करने पर: \( 3(6X - 5Y) = 3(-2) \implies 18X - 15Y = -6 \) …(viii)
अब, समीकरण (vii) में से समीकरण (viii) को घटाने पर:
\( \quad 40X - 15Y = 25 \)
\( - \quad (18X - 15Y = -6) \)
\( \overline{\quad 22X \quad = 31} \)
\( 22X = 31 \)
\( \implies X = \frac{31}{22} \)
अब, \( X \) का मान समीकरण (v) में रखने पर:
\( 8 \left( \frac{31}{22} \right) - 3Y = 5 \)
\( \frac{4 \times 31}{11} - 3Y = 5 \)
\( \frac{124}{11} - 3Y = 5 \)
\( -3Y = 5 - \frac{124}{11} \)
\( -3Y = \frac{55 - 124}{11} \)
\( -3Y = \frac{-69}{11} \)
\( Y = \frac{-69}{11 \times -3} \)
\( Y = \frac{23}{11} \)
चूंकि \( X = \frac{1}{u} \) और \( Y = \frac{1}{v} \):
\( \frac{1}{u} = \frac{31}{22} \implies u = \frac{22}{31} \)
\( \frac{1}{v} = \frac{23}{11} \implies v = \frac{11}{23} \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( u = \frac{22}{31} \) और \( v = \frac{11}{23} \) है। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए उपयुक्त प्रतिस्थापन करना कुंजी है।
In simple words: पहले हर समीकरण को \( uv \) से भाग दें, जिससे वे आसान रूप में आ जाएं. फिर \( \frac{1}{u} \) को \( X \) और \( \frac{1}{v} \) को \( Y \) मानकर दो नए समीकरण बनाएं. इन्हें हल करके \( X \) और \( Y \) का मान निकालें, फिर वापस \( u \) और \( v \) का असली मान पाएं.

🎯 Exam Tip: जब समीकरणों में \( uv \) पद शामिल हो, तो अक्सर \( uv \) से भाग देकर समीकरणों को रैखिक रूप में बदलना और फिर प्रतिस्थापन करना सबसे प्रभावी रणनीति होती है।

Question 14. \( \frac{1}{2x} - \frac{1}{y} = -1 \)
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = 8 \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( \frac{1}{2x} - \frac{1}{y} = -1 \) …(i)
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = 8 \) …(ii)
माना \( X = \frac{1}{x} \) और \( Y = \frac{1}{y} \)। तब समीकरण (i) और (ii) बन जाते हैं:
\( \frac{1}{2}X - Y = -1 \) …(iii)
\( X + \frac{1}{2}Y = 8 \) …(iv)
समीकरण (iii) को 2 से गुणा करने पर:
\( X - 2Y = -2 \) …(v)
समीकरण (iv) को 2 से गुणा करने पर:
\( 2X + Y = 16 \) …(vi)
अब, \( Y \) चर को विलोपित करने के लिए, समीकरण (vi) को 2 से गुणा करें:
\( 2(2X + Y) = 2(16) \implies 4X + 2Y = 32 \) …(vii)
अब, समीकरण (v) और (vii) को जोड़ने पर:
\( \quad X - 2Y = -2 \)
\( + \quad 4X + 2Y = 32 \)
\( \overline{\quad 5X \quad = 30} \)
\( 5X = 30 \)
\( \implies X = \frac{30}{5} \)
\( \implies X = 6 \)
अब, \( X \) का मान समीकरण (v) में रखने पर:
\( 6 - 2Y = -2 \)
\( -2Y = -2 - 6 \)
\( -2Y = -8 \)
\( \implies Y = \frac{-8}{-2} \)
\( \implies Y = 4 \)
चूंकि \( X = \frac{1}{x} \) और \( Y = \frac{1}{y} \):
\( \frac{1}{x} = 6 \implies x = \frac{1}{6} \)
\( \frac{1}{y} = 4 \implies y = \frac{1}{4} \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( x = \frac{1}{6} \) और \( y = \frac{1}{4} \) है। भिन्नात्मक समीकरणों को रैखिक रूप में बदलने से हल प्रक्रिया काफी सरल हो जाती है।
In simple words: पहले \( \frac{1}{x} \) और \( \frac{1}{y} \) को नए चर \( X \) और \( Y \) मानकर समीकरणों को सरल करें. फिर इन नए समीकरणों को हल करके \( X \) और \( Y \) का मान निकालें. अंत में, \( X \) और \( Y \) के मान से \( x \) और \( y \) के वास्तविक मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: जब चर हर (denominator) में हों, तो उन्हें नए चर से प्रतिस्थापित करके समीकरणों को रैखिक रूप में बदलें। इससे विलोपन या प्रतिस्थापन विधियों का उपयोग करना आसान हो जाता है।

Question 15. \( \frac{5}{(x+y)} - \frac{2}{(x-y)} = -1 \)
\( \frac{15}{(x+y)} + \frac{7}{(x-y)} = 10 \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( \frac{5}{(x+y)} - \frac{2}{(x-y)} = -1 \) …(i)
\( \frac{15}{(x+y)} + \frac{7}{(x-y)} = 10 \) …(ii)
माना \( X = \frac{1}{x+y} \) और \( Y = \frac{1}{x-y} \)। तब समीकरण (i) और (ii) बन जाते हैं:
\( 5X - 2Y = -1 \) …(iii)
\( 15X + 7Y = 10 \) …(iv)
\( X \) चर को विलोपित करने के लिए, समीकरण (iii) को 3 से गुणा करें:
\( 3(5X - 2Y) = 3(-1) \implies 15X - 6Y = -3 \) …(v)
अब, समीकरण (iv) में से समीकरण (v) को घटाने पर:
\( \quad 15X + 7Y = 10 \)
\( - \quad (15X - 6Y = -3) \)
\( \overline{\quad 0X + 13Y = 13} \)
\( 13Y = 13 \)
\( \implies Y = \frac{13}{13} \)
\( \implies Y = 1 \)
अब, \( Y \) का मान समीकरण (iii) में रखने पर:
\( 5X - 2(1) = -1 \)
\( 5X - 2 = -1 \)
\( 5X = -1 + 2 \)
\( 5X = 1 \)
\( \implies X = \frac{1}{5} \)
चूंकि \( X = \frac{1}{x+y} \) और \( Y = \frac{1}{x-y} \):
\( \frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} \implies x+y = 5 \) …(vi)
\( \frac{1}{x-y} = 1 \implies x-y = 1 \) …(vii)
अब, समीकरण (vi) और (vii) को जोड़ने पर:
\( \quad x+y = 5 \)
\( + \quad x-y = 1 \)
\( \overline{\quad 2x \quad = 6} \)
\( 2x = 6 \)
\( \implies x = \frac{6}{2} \)
\( \implies x = 3 \)
अब, \( x \) का मान समीकरण (vi) में रखने पर:
\( 3 + y = 5 \)
\( \implies y = 5 - 3 \)
\( \implies y = 2 \)
इस प्रकार, दिए गए समीकरणों का हल \( x = 3 \) और \( y = 2 \) है। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए दो चरणों में प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाता है।
In simple words: पहले \( \frac{1}{x+y} \) को \( X \) और \( \frac{1}{x-y} \) को \( Y \) मानकर समीकरणों को सरल करें. \( X \) और \( Y \) के मान निकालें. फिर इन मानों से दो नए सरल समीकरण \( x+y \) और \( x-y \) के रूप में बनाएं. अंत में, इन नए समीकरणों को हल करके \( x \) और \( y \) के मान पाएं.

🎯 Exam Tip: जब जटिल बीजगणितीय व्यंजक (जैसे \( x+y \) या \( x-y \)) हर में हों, तो उन्हें नए चर (जैसे \( X \) और \( Y \)) से प्रतिस्थापित करके समीकरणों को रैखिक रूप में बदलें। फिर उन्हें हल करें और वापस मूल चरों में बदलें।