RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Exercise 4.1

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.1

निम्न समीकरणों को आलेखीय विधि से हल कीजिए-

 

Question 1. \( x + 3y = 6 \)
\( 2x - 3y = 6 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( x + 3y = 6 \)...(1)
\( 2x - 3y = 6 \)...(2)
दोनों समीकरणों में x और y की सबसे बड़ी घात एक है, इसलिए जब हम इन्हें ग्राफ पर दिखाते हैं, तो सीधी रेखाएं बनती हैं। सीधी रेखाएं बनाने के लिए हमें कम से कम दो बिंदुओं की जरूरत होती है।
अब, समीकरण \( x + 3y = 6 \) को \( y = \frac {6-x}{3} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

इसी तरह, समीकरण \( 2x - 3y = 6 \) को \( y = \frac {2x-6}{3} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

बिंदुओं \( (3, 1), (0, 2) \) और \( (-3, 3) \) को मिलाकर समीकरण \( x + 3y = 6 \) का आलेख प्राप्त होता है। इसी प्रकार, बिंदुओं \( (0, -2), (3, 0) \) और \( (6, 2) \) को मिलाकर समीकरण \( 2x - 3y = 6 \) का आलेख प्राप्त होता है।
ये दोनों आलेख बिंदु P पर काटते हैं, जिसके निर्देशांक \( (6,0) \) हैं। इसलिए, \( x = 6 \) और \( y = 0 \) दिए गए समीकरणों का अद्वितीय हल है। ग्राफिक विधि से हल करने पर यह तरीका बहुत स्पष्ट परिणाम देता है।
In simple words: हमने दो समीकरणों को ग्राफ पर खींचा. जहाँ दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, वही बिंदु \( (x, y) \) इन समीकरणों का हल होता है. इस सवाल में, वे बिंदु \( (6,0) \) पर मिले, तो \( x=6 \) और \( y=0 \) इसका उत्तर है.

🎯 Exam Tip: ग्राफ पर रेखाएँ खींचते समय, बिंदुओं को सावधानी से अंकित करें और स्केल का सही उपयोग करें ताकि प्रतिच्छेदन बिंदु सटीक रूप से मिल सके। हमेशा कम से कम तीन बिंदुओं का उपयोग करें ताकि रेखा सही बने।

 

Question 2. \( 2x + y = 12 \)
\( 2x - y + 2 = 0 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 2x + y = 12 \)...(i)
\( 2x - y + 2 = 0 \)...(ii)
दोनों समीकरणों में x और y की सबसे बड़ी घात एक है, इसलिए जब हम इन्हें ग्राफ पर दिखाते हैं, तो सीधी रेखाएं बनती हैं। रैखिक समीकरणों के आलेख हमेशा सीधी रेखाएँ होती हैं।
अब, समीकरण \( 2x + y = 12 \) को \( y = 12 - 2x \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

इसी तरह, समीकरण \( 2x - y + 2 = 0 \) को \( y = 2x + 2 \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

बिंदुओं \( (0, 12), (1, 10) \) तथा \( (2, 8) \) को मिलाकर समीकरण \( 2x + y = 12 \) का आलेख प्राप्त होता है। इसी प्रकार, बिंदुओं \( (0, 2), (1, 4) \) तथा \( (2, 6) \) को मिलाकर समीकरण \( 2x - y + 2 = 0 \) का आलेख प्राप्त होता है।
ये आलेख बिंदु P पर काटते हैं, जिसके निर्देशांक \( (3,6) \) हैं। अतः \( x = 3, y = 6 \) दिए गए समीकरण का अद्वितीय हल है।

In simple words: दोनों समीकरणों को हल करने पर हमें \( x=3 \) और \( y=6 \) का अद्वितीय हल मिलता है, जिसे ग्राफ पर प्रतिच्छेदन बिंदु से देखा जा सकता है।

🎯 Exam Tip: ग्राफ में बिंदुओं को प्लॉट करते समय, \( x \) और \( y \) अक्ष पर सही स्केल बनाए रखें। रेखाओं पर उनके समीकरणों को भी लिख दें।

 

Question 3. \( x - 2y = 6 \)
\( 3x - 6y = 0 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( x - 2y = 6 \)...(i)
\( 3x - 6y = 0 \)...(ii)
क्योंकि दोनों समीकरणों में x और y की सबसे बड़ी घात एक है, इनके आलेख सीधी रेखाएं होंगी। ग्राफिक विधि से समीकरणों को हल करना हमें उनकी प्रकृति समझने में मदद करता है।
अब, समीकरण \( x - 2y = 6 \) को \( y = \frac {x-6}{2} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

इसी तरह, समीकरण \( 3x - 6y = 0 \) को \( y = \frac {3x}{6} = \frac {x}{2} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

बिंदुओं \( (0, -3), (6, 0) \) तथा \( (2, -2) \) को मिलाकर समीकरण \( x - 2y = 6 \) का आलेख प्राप्त होता है। इसी प्रकार, बिंदुओं \( (0, 0), (2, 1) \) तथा \( (4, 2) \) को मिलाकर समीकरण \( 3x - 6y = 0 \) का आलेख प्राप्त होता है।
ये सरल रेखाएँ एक-दूसरे को कहीं नहीं काटती हैं, जिसका अर्थ है कि वे समानांतर हैं। इस प्रकार, दिए गए समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है। समानांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं, इसलिए उनका कोई सामान्य बिंदु नहीं होता।

In simple words: हमने देखा कि ये दोनों रेखाएँ कभी एक-दूसरे से नहीं मिलतीं, मतलब वे समानांतर हैं। जब रेखाएँ समानांतर होती हैं, तो उनका कोई साझा बिंदु नहीं होता, इसलिए इन समीकरणों का कोई हल नहीं होता।

🎯 Exam Tip: यदि समीकरणों के आलेख समानांतर रेखाएँ हों, तो हमेशा लिखें कि उनका कोई हल नहीं है। इसका मतलब है कि समीकरणों का कोई भी बिंदु सामान्य नहीं है।

 

Question 4. \( x + y = 4 \)
\( 2x - 3y = 3 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( x + y = 4 \)...(i)
\( 2x - 3y = 3 \)...(ii)
क्योंकि दोनों समीकरणों में x और y की सबसे बड़ी घात एक है, इसलिए इनके आलेख सीधी रेखाएं होंगी। ग्राफिक विधि हमें यह समझने में मदद करती है कि समीकरण एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं।
अब, समीकरण \( x + y = 4 \) को \( y = 4 - x \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

इसी तरह, समीकरण \( 2x - 3y = 3 \) को \( y = \frac {2x-3}{3} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

बिंदुओं \( (1, 3), (2, 2) \) तथा \( (3, 1) \) को मिलाकर समीकरण \( x + y = 4 \) का आलेख प्राप्त होता है। इसी प्रकार, बिंदुओं \( (0, -1), (3, 1) \) तथा \( (6, 3) \) को मिलाकर समीकरण \( 2x - 3y = 3 \) का आलेख प्राप्त होता है।
ये सरल रेखाएँ बिंदु P पर काटती हैं, जिसके निर्देशांक \( (3, 1) \) हैं। अतः \( x = 3, y = 1 \) दिए गए समीकरणों का अद्वितीय हल है। यह दिखाता है कि एक विशिष्ट बिंदु पर दो अलग-अलग स्थितियाँ एक साथ संतुष्ट होती हैं।

In simple words: ग्राफिक रूप से, दोनों रेखाएँ बिंदु \( (3, 1) \) पर मिलती हैं। इसका मतलब है कि \( x=3 \) और \( y=1 \) वह अद्वितीय हल है जो दोनों समीकरणों को एक साथ सही बनाता है।

🎯 Exam Tip: प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक हमेशा ग्राफ से ही पढ़ें। उत्तर लिखने से पहले, समीकरणों में \( x \) और \( y \) के मानों को रखकर अपने हल की जाँच कर लें।

 

Question 5. \( 2x - 3y + 13 = 0 \)
\( 3x - 2y + 12 = 0 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 2x - 3y + 13 = 0 \)...(i)
\( 3x - 2y + 12 = 0 \)...(ii)
क्योंकि दोनों समीकरणों में x और y की सबसे बड़ी घात एक है, इसलिए इनके आलेख सीधी रेखाएं होंगी। रैखिक समीकरणों के आलेख सरल रेखाएं होती हैं जो हमें उनके हल को ग्राफिक रूप से देखने की अनुमति देती हैं।
अब, समीकरण \( 2x - 3y + 13 = 0 \) को \( y = \frac {2x+13}{3} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

इसी तरह, समीकरण \( 3x - 2y + 12 = 0 \) को \( y = \frac {3x+12}{2} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

बिंदुओं \( (-2, 3), (-3.5, 2) \) तथा \( (-0.5, 4) \) को मिलाकर समीकरण \( 2x - 3y + 13 = 0 \) का आलेख प्राप्त होता है। इसी प्रकार, बिंदुओं \( (0, 6), (-4, 0) \) तथा \( (-2, 3) \) को मिलाकर समीकरण \( 3x - 2y + 12 = 0 \) का आलेख प्राप्त होता है।
ये आलेख बिंदु P पर काटते हैं, जिसके निर्देशांक \( (-2, 3) \) हैं। अतः \( x = -2, y = 3 \) दिए गए समीकरणों का अद्वितीय हल है। ग्राफ़ पर, प्रतिच्छेदन बिंदु वह जगह है जहाँ दोनों समीकरण एक ही समय पर सही होते हैं।

In simple words: ग्राफ से हमें पता चलता है कि दोनों रेखाएँ बिंदु \( (-2, 3) \) पर मिलती हैं। इसलिए, \( x = -2 \) और \( y = 3 \) इन समीकरणों का एकमात्र हल है।

🎯 Exam Tip: जब समीकरणों में बड़ी संख्याएँ या भिन्न हों, तो बिंदुओं को प्लॉट करते समय विशेष रूप से सावधान रहें। ग्राफ पर सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं और समीकरणों को लेबल करना न भूलें।

 

Question 6. \( 3x - 4y = 1 \)
\( -2x + \frac{8}{3} y = 5 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 3x - 4y = 1 \)...(i)
\( -2x + \frac{8}{3} y = 5 \)...(ii)
क्योंकि दोनों समीकरणों में x और y की सबसे बड़ी घात एक है, इसलिए इनके आलेख सीधी रेखाएं होंगी। ग्राफिक विधि हमें यह समझने में मदद करती है कि समीकरण एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं।
अब, समीकरण \( 3x - 4y = 1 \) को \( y = \frac {3x-1}{4} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

इसी तरह, समीकरण \( -2x + \frac{8}{3} y = 5 \) को \( y = \frac {3(5+2x)}{8} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

बिंदुओं \( (-1, -1), (3, 2) \) तथा \( (-5, -4) \) को मिलाकर समीकरण \( 3x - 4y = 1 \) का आलेख प्राप्त होता है। इसी प्रकार, बिंदुओं \( (1.5, 3), (3.5, 4.5) \) तथा \( (-4.5, -1.5) \) को मिलाकर समीकरण \( -2x + \frac{8}{3} y = 5 \) का आलेख प्राप्त होता है।
ये सरल रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित नहीं करती हैं, जिसका अर्थ है कि वे समानांतर हैं। अतः इस समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है। जब रेखाएँ समानांतर होती हैं, तो उनके ढलान समान होते हैं।

In simple words: दोनों रेखाएँ ग्राफ पर एक-दूसरे को नहीं काटती हैं, इसका मतलब है कि वे समानांतर हैं। जब रेखाएँ समानांतर होती हैं, तो इस समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होता।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक गुणांक वाले समीकरणों के लिए बिंदु चुनते समय सावधानी बरतें ताकि ग्राफ पर सटीक मान प्लॉट किए जा सकें और गलती से बचने के लिए गणनाएँ जाँचें।

 

Question 7. \( 2x + \frac{y}{2} - 5 = 0 \)
\( \frac{x}{2} + y = -4 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 2x + \frac{y}{2} - 5 = 0 \)...(i)
\( \frac{x}{2} + y = -4 \)...(ii)
क्योंकि दोनों समीकरणों में x और y की सबसे बड़ी घात एक है, इसलिए इनके आलेख सीधी रेखाएं होंगी। रैखिक समीकरणों के ग्राफ हमेशा सीधी रेखाएँ होती हैं।
अब, समीकरण \( 2x + \frac{y}{2} - 5 = 0 \) को \( y = 2(5-2x) \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

इसी प्रकार, समीकरण \( \frac{x}{2} + y = -4 \) को \( y = -4 - \frac{x}{2} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

बिंदुओं \( (3, -2), (1, 6) \) तथा \( (2, 2) \) को मिलाकर समीकरण \( 2x + \frac{y}{2} - 5 = 0 \) का आलेख प्राप्त होता है। इसी प्रकार, बिंदुओं \( (2, -5), (-2, -3) \) तथा \( (0, -4) \) को मिलाकर समीकरण \( \frac{x}{2} + y = -4 \) का आलेख प्राप्त होता है।
ये दोनों सरल रेखाएँ बिंदु P पर काटती हैं, जिसके निर्देशांक \( (4, -6) \) हैं। अतः \( x = 4, y = -6 \) दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है। यह दिखाता है कि एक विशिष्ट बिंदु पर दो अलग-अलग स्थितियाँ एक साथ संतुष्ट होती हैं।

In simple words: ग्राफ पर दोनों रेखाएँ बिंदु \( (4, -6) \) पर काटती हैं, इसलिए \( x = 4 \) और \( y = -6 \) इन समीकरणों का एकमात्र हल है।

🎯 Exam Tip: भिन्नों वाले समीकरणों में, पहले समीकरणों को सरल बनाने का प्रयास करें (जैसे पूरे समीकरण को किसी संख्या से गुणा करना) ताकि पूर्णांक मानों के साथ काम करना आसान हो जाए।

 

Question 8. \( 0.3x + 0.4y = 3.2 \)
\( 0.6x + 0.8y = 2.4 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 0.3x + 0.4y = 3.2 \)...(i)
\( 0.6x + 0.8y = 2.4 \)...(ii)
क्योंकि दोनों समीकरणों में x और y की सबसे बड़ी घात एक है, इसलिए इनके आलेख सीधी रेखाएं होंगी। दशमलवों वाले समीकरण भी सीधी रेखाएं बनाते हैं।
अब, समीकरण \( 0.3x + 0.4y = 3.2 \) को \( y = \frac {3.2 - 0.3x}{0.4} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

इसी प्रकार, समीकरण \( 0.6x + 0.8y = 2.4 \) को \( y = \frac {2.4 - 0.6x}{0.8} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

बिंदुओं \( (4, 5), (0, 8) \) तथा \( (2, 6.5) \) को मिलाकर समीकरण \( 0.3x + 0.4y = 3.2 \) का आलेख प्राप्त होता है। इसी प्रकार, बिंदुओं \( (0, 3), (2, 1.5) \) तथा \( (4, 0) \) को मिलाकर समीकरण \( 0.6x + 0.8y = 2.4 \) का आलेख प्राप्त होता है।
ये सरल रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित नहीं करती हैं, जिसका अर्थ है कि वे समानांतर हैं। अतः इनका कोई हल नहीं है। जब समीकरणों को गुणांकों के अनुपात से देखा जाता है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि वे समानांतर हैं।

In simple words: ग्राफिक रूप से, ये दोनों रेखाएँ एक-दूसरे से नहीं मिलतीं, बल्कि समानांतर चलती हैं। इसलिए, इन समीकरणों का कोई हल नहीं है।

🎯 Exam Tip: दशमलवों को हटाने के लिए समीकरणों को 10 या 100 से गुणा करना अक्सर उन्हें हल करना आसान बनाता है। समानांतर रेखाओं का मतलब होता है कि समीकरण असंगत हैं।

 

Question 9. \( 2x + 3y = 8 \)
\( 4x - \frac{3}{2} y = 1 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 2x + 3y = 8 \)...(i)
\( 4x - \frac{3}{2} y = 1 \)...(ii)
क्योंकि दोनों समीकरणों में x और y की सबसे बड़ी घात एक है, इसलिए इनके आलेख सीधी रेखाएं होंगी। रैखिक समीकरणों के आलेख सरल रेखाएं होती हैं जो हमें उनके हल को ग्राफिक रूप से देखने की अनुमति देती हैं।
अब, समीकरण \( 2x + 3y = 8 \) को \( y = \frac {8-2x}{3} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

इसी प्रकार, समीकरण \( 4x - \frac{3}{2} y = 1 \) को \( y = \frac {2(4x-1)}{3} \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

बिंदुओं \( (4, 0), (1, 2) \) तथा \( (-2, 4) \) को मिलाकर समीकरण \( 2x + 3y = 8 \) का आलेख प्राप्त होता है। इसी प्रकार, बिंदुओं \( (1, 2), (-2, -6) \) तथा \( (2.5, 6) \) को मिलाकर समीकरण \( 4x - \frac{3}{2} y = 1 \) का आलेख प्राप्त होता है।
ये सरल रेखाएँ बिंदु P पर काटती हैं, जिसके निर्देशांक \( (1, 2) \) हैं। अतः \( x = 1, y = 2 \) दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है। ग्राफ पर प्रतिच्छेदन बिंदु वह जगह है जहां दोनों समीकरण एक ही समय पर सही होते हैं।

In simple words: ग्राफ पर दोनों रेखाएँ बिंदु \( (1, 2) \) पर एक-दूसरे को काटती हैं। इसलिए, \( x = 1 \) और \( y = 2 \) इन समीकरणों का एकमात्र हल है।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक गुणांकों से घबराएँ नहीं। उन्हें सरल बनाने के लिए उचित संख्या से गुणा करके पूर्णांकों में बदलें, फिर ग्राफ पर बिंदुओं को प्लॉट करें।

 

Question 10. \( 3x - y = 2 \)
\( 6x - 2y = 4 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 3x - y = 2 \)...(i)
\( 6x - 2y = 4 \)...(ii)
क्योंकि दोनों समीकरणों में x और y की सबसे बड़ी घात एक है, इसलिए इनके आलेख सीधी रेखाएं होंगी। रैखिक समीकरणों के ग्राफ हमेशा सीधी रेखाएँ होती हैं।
अब, समीकरण \( 3x - y = 2 \) को \( y = 3x - 2 \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

इसी प्रकार, समीकरण \( 6x - 2y = 4 \) को \( y = \frac {6x-4}{2} = 3x - 2 \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

बिंदुओं \( (1, 1), (2, 4) \) तथा \( (-1, -5) \) को मिलाकर समीकरण \( 3x - y = 2 \) का आलेख प्राप्त होता है। पुनः, बिंदुओं \( (1, 1), (2, 4) \) तथा \( (3, 7) \) को मिलाकर समीकरण \( 6x - 2y = 4 \) का आलेख प्राप्त होता है।
हम देखते हैं कि ये तीनों बिंदु पहली रेखा \( 3x - y = 2 \) के आलेख पर विद्यमान हैं। अतः दोनों रेखाएँ सम्पाती होंगी। जब रेखाएँ सम्पाती होती हैं, तो उनके अनंत हल होते हैं।

In simple words: दोनों समीकरणों को ग्राफ पर खींचने पर पता चला कि वे एक ही रेखा पर स्थित हैं। इसे 'संपाती रेखाएँ' कहते हैं। इसका मतलब है कि इन समीकरणों के अनंत हल हैं, क्योंकि रेखा के हर बिंदु पर दोनों समीकरण सही होते हैं।

🎯 Exam Tip: यदि एक समीकरण दूसरे का गुणज है (जैसे \( 6x - 2y = 4 \) समीकरण \( 3x - y = 2 \) का दोगुना है), तो रेखाएँ संपाती होंगी और उनके अनंत हल होंगे। इसे गुणांकों के अनुपात से भी पहचाना जा सकता है।

 

Question 11. \( 3x + 2y = 0 \)
\( 2x + y = -1 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 3x + 2y = 0 \)...(i)
\( 2x + y = -1 \)...(ii)
क्योंकि दोनों समीकरणों में x और y की सबसे बड़ी घात एक है, इसलिए इनके आलेख सीधी रेखाएं होंगी। रैखिक समीकरणों के ग्राफ हमेशा सीधी रेखाएँ होती हैं।
अब, समीकरण \( 3x + 2y = 0 \) को \( y = -\frac{3}{2} x \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

इसी प्रकार, समीकरण \( 2x + y = -1 \) को \( y = -1 - 2x \) के रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए विभिन्न \( (x, y) \) मानों की सारणी नीचे दी गई है:

बिंदुओं \( (2, -3), (-2, 3) \) तथा \( (4, -6) \) को मिलाकर समीकरण \( 3x + 2y = 0 \) का आलेख प्राप्त होता है। इसी प्रकार, बिंदुओं \( (1, -3), (-1, 1) \) तथा \( (2, -5) \) को मिलाकर समीकरण \( 2x + y = -1 \) का आलेख प्राप्त होता है।
ये सरल रेखाएँ बिंदु P पर काटती हैं, जिसके निर्देशांक \( (-2, 3) \) हैं। अतः \( x = -2, y = 3 \) दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है। ग्राफिक रूप से, यह प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।

In simple words: ग्राफ पर दोनों रेखाएँ बिंदु \( (-2, 3) \) पर एक-दूसरे को काटती हैं। इसलिए, \( x = -2 \) और \( y = 3 \) इन समीकरणों का एकमात्र हल है।

🎯 Exam Tip: नकारात्मक निर्देशांकों वाले बिंदुओं को सावधानी से प्लॉट करें। ग्राफ पेपर पर \( x \) और \( y \) अक्षों के साथ-साथ सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को सही ढंग से लेबल करना सुनिश्चित करें।

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