RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Important Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

 

Question 1. समीकरण x + 3y = 10 को सन्तुष्ट करने वाला बिन्दु है-
(a) (4, 2)
(b) (-4, 2)
(c) (4, -1)
(d) (2, 4)
Answer: (a) (4, 2)
In simple words: समीकरण को संतुष्ट करने वाला बिन्दु वह है, जिसके x और y के मान समीकरण में रखने पर समीकरण का बायाँ और दायाँ पक्ष बराबर हो जाए। (4, 2) रखने पर \( 4 + 3(2) = 4 + 6 = 10 \) आता है, जो सही है।

🎯 Exam Tip: समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिन्दु का पता लगाने के लिए, दिए गए प्रत्येक विकल्प के x और y के मानों को समीकरण में रखें और देखें कि कौन सा विकल्प समीकरण को सही बनाता है।

 

Question 2. समीकरण x + 4y = 0 है-
(a) एक चर समीकरण
(b) दो चर समीकरण
(c) द्विघात समीकरण
(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
Answer: (b) दो चर समीकरण
In simple words: इस समीकरण में दो अलग-अलग अक्षर (x और y) हैं, इसलिए इसे दो चर वाला समीकरण कहते हैं। यह गणितीय समस्याओं में दो अज्ञात राशियों को जोड़ने का एक तरीका है।

🎯 Exam Tip: किसी समीकरण में जितने अलग-अलग अज्ञात राशियाँ (अक्षर) हों, वह उतने ही चर वाला समीकरण कहलाता है। जैसे x और y दो चर हैं, जबकि \( x^2 \) द्विघात समीकरण का संकेत है।

 

Question 3. समीकरण 4x + 5y = k में, यदि x = 2, y = 1 हो, तो k का मान होगा-
(a) 9
(b) -12
(c) -13
(d) 13
Answer: (d) 13
In simple words: k का मान निकालने के लिए, समीकरण में x की जगह 2 और y की जगह 1 रखकर गुणा और जोड़ करें। यह एक सरल प्रतिस्थापन है।

🎯 Exam Tip: जब भी समीकरण में किसी अज्ञात चर का मान दिया हो, तो उसे सीधा समीकरण में प्रतिस्थापित करके दूसरे अज्ञात चर का मान आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।

 

Question 4. रैखिक समीकरण y - 2 = 0 का आलेख खींचने पर प्राप्त होगा:
(a) X-अक्ष के समान्तर
(b) Y-अक्ष के समान्तर
(c) मूलबिन्दु से होकर जाने वाली रेखा
(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
Answer: (a) X-अक्ष के समान्तर
In simple words: समीकरण \( y - 2 = 0 \) का मतलब है कि \( y = 2 \)। यह एक ऐसी सीधी रेखा है जो X-अक्ष के साथ-साथ चलती है और हमेशा y-अक्ष पर 2 बिन्दु से गुजरती है। यह दर्शाता है कि किसी भी x-मान के लिए y-मान 2 ही रहेगा।

🎯 Exam Tip: यदि समीकरण केवल \( y = \text{स्थिरांक} \) के रूप में हो, तो आलेख हमेशा X-अक्ष के समान्तर एक सीधी रेखा होगी। इसी प्रकार, यदि समीकरण केवल \( x = \text{स्थिरांक} \) के रूप में हो, तो आलेख Y-अक्ष के समान्तर एक सीधी रेखा होगी।

 

Question 5. मान ज्ञात कीजिए:
(a) \( \frac { 37 }{ 15 } \)
(b) 2
(c) \( \frac { 1 }{ 2 } \)
(d) \( \frac { 1 }{ 3 } \)
Answer: (b) 2
In simple words: इस प्रश्न में हमें एक अज्ञात मान की गणना करनी थी, जिसका सही उत्तर 2 है। यह अक्सर भिन्नों या सरल बीजगणितीय व्यंजकों को हल करने के बाद प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: जब कोई प्रश्न गणितीय मान ज्ञात करने के लिए दिया जाए और उसका स्पष्ट समीकरण न हो, तो ध्यान दें कि यह एक सामान्य संख्यात्मक मान हो सकता है। ऐसे में गणनाओं को सावधानी से जांचें।

 

Question 6. रैखिक समीकरण y = 3x से व्यक्त रेखा पर स्थित बिन्दु होगा:
(a) (2, 3)
(b) (3, 1)
(c) (1, 3)
(d) (1, -3)
Answer: (c) (1, 3)
In simple words: दिए गए समीकरण \( y = 3x \) में, यदि आप x की जगह 1 रखते हैं, तो y का मान 3 आता है। इसलिए (1, 3) बिन्दु इस रेखा पर स्थित है।

🎯 Exam Tip: किसी बिन्दु को एक रेखा पर स्थित होने के लिए, उस बिन्दु के x और y निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर समीकरण संतुष्ट होना चाहिए।

 

Question 7. किसी रैखिक समीकरण में चर की उच्चतम घात होगी :
(a) कोई भी
(b) 0
(c) 2
(d) 1
Answer: (d) 1
In simple words: रैखिक समीकरण का मतलब है कि इसमें चर (जैसे x या y) की सबसे बड़ी शक्ति या घात हमेशा 1 होगी। यह एक सीधी रेखा बनाती है जब इसे ग्राफ पर खींचा जाता है।

🎯 Exam Tip: "रैखिक" शब्द ही यह बताता है कि चर की उच्चतम घात 1 होगी, जिससे एक सीधी रेखा बनती है। यदि घात 2 होती, तो वह द्विघात समीकरण होता।

 

Question 8. रैखिक समीकरण के बिन्दु (2, 5) से गुजरने वाली रेखाओं की संख्या होगी :
(a) 2
(b) 5
(c) अनन्त
(d) 7
Answer: (c) अनन्त
In simple words: किसी भी एक बिन्दु से होकर अनगिनत सीधी रेखाएँ गुजर सकती हैं। यह एक मूलभूत ज्यामितीय नियम है। आप सोच सकते हैं कि एक बिन्दु से कितनी भी दिशाओं में रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

🎯 Exam Tip: ज्यामिति में, एक बिन्दु से अनन्त रेखाएँ गुजर सकती हैं, जबकि दो अलग-अलग बिन्दुओं से केवल एक अद्वितीय सीधी रेखा ही गुजर सकती है।

 

Question 9. यदि 2x + y = 6 हो, तो इसको सन्तुष्ट करने वाला युग्म है:
(a) (1, 2)
(b) (3, 1)
(c) (2, 2)
(d) (4, -2)
Answer: (c) (2, 2)
In simple words: दिए गए समीकरण \( 2x + y = 6 \) में, x का मान 2 और y का मान 2 रखने पर, \( 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6 \) आता है, जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

🎯 Exam Tip: जब बिन्दुओं के युग्म दिए हों, तो प्रत्येक युग्म के x और y मानों को समीकरण में रखकर देखें कि कौन सा युग्म समीकरण को सही बनाता है।

 

Question 10. मान ज्ञात कीजिए:
(a) \( \frac { 37 }{ 15 } \)
(b) 2
(c) \( \frac { 1 }{ 2 } \)
(d) \( \frac { 1 }{ 3 } \)
Answer: (b) 2
In simple words: इस प्रश्न में भी हमें एक अज्ञात मान की गणना करनी थी, जिसका सही उत्तर 2 है। ऐसे प्रश्नों में अक्सर भिन्नों या सरल गणितीय समीकरणों को हल करना होता है।

🎯 Exam Tip: गणित में मान ज्ञात करते समय, सभी चरणों को ध्यान से करें, खासकर जब भिन्नों या नकारात्मक संख्याओं के साथ काम कर रहे हों।

 

Question 11. मेरी आयु पुत्र की आयु की तिगुनी है। 13 वर्ष बाद मेरी आयु पुत्र की आयु की दुगुनी हो जायेगी। मेरी और मेरे पुत्र की आयु होगी-
(a) 39 वर्ष, 13 वर्ष
(b) 45 वर्ष, 15 वर्ष
(c) 30 वर्ष, 10 वर्ष
(d) 36 वर्ष, 12 वर्ष।
Answer: (a) 39 वर्ष, 13 वर्ष
In simple words: इस पहेली को हल करने पर पता चलता है कि पिता की वर्तमान आयु 39 वर्ष और पुत्र की 13 वर्ष है। 13 साल बाद पिता 52 और पुत्र 26 का होगा, जो कि दुगुना है।

🎯 Exam Tip: आयु संबंधी प्रश्नों को हल करने के लिए, वर्तमान आयु को x और y मानकर समीकरण बनाएं, फिर भविष्य या अतीत की शर्तों के अनुसार आयु में बदलाव करके दूसरा समीकरण बनाएं और दोनों को हल करें।

उत्तरमाला

1. (A)
2. (B)
3. (D)
4. (A)
5. (B)
6. (C)
7. (D)
8. (C)
9. (C)
10. (B)
11. (A)

अतिलघूत्तरीय/लघूत्तीय प्रश्नोत्तर

 

Question 1. निम्नलिखित समीकरणों को \( ax + by + c = 0 \) के रूप में व्यक्त करने पर a, b और c के मान ज्ञात करो:
(i) \( \pi x - 5y - 3 = 0 \)
(ii) \( 2x + \frac {3}{2} = 1.4y \)
Answer:
(i) समीकरण \( \pi x - 5y - 3 = 0 \) की तुलना \( ax + by + c = 0 \) से करने पर,
\( a = \pi \), \( b = -5 \) और \( c = -3 \)
(ii) समीकरण \( 2x + \frac {3}{2} = 1.4y \) को पहले मानक रूप में बदलें:
\( 2x - 1.4y + \frac {3}{2} = 0 \)
अब इसकी तुलना \( ax + by + c = 0 \) से करने पर,
\( a = 2 \), \( b = -1.4 \) और \( c = \frac {3}{2} \)
In simple words: किसी भी रैखिक समीकरण को \( ax + by + c = 0 \) के रूप में लिखने के लिए, सभी पदों को एक तरफ लाएं और दूसरी तरफ शून्य रखें। फिर, x के साथ वाली संख्या a, y के साथ वाली संख्या b, और अकेली संख्या c होती है।

🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि a, b, c के मान उनके चिन्हों (धनात्मक या ऋणात्मक) के साथ लिखे जाने चाहिए। दशमलव संख्याओं को भिन्न में भी बदला जा सकता है, जैसे \( 1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} \)।

 

Question 2. निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक के दो हल ज्ञात कीजिए:
(i) \( 4x + 3y = 12 \)
(ii) \( 2x + 5y = 0 \)
Answer:
(i) \( 4x + 3y = 12 \)
एक हल ज्ञात करने के लिए, \( x = 0 \) मानें:
\( 4(0) + 3y = 12 \)
\( 3y = 12 \)
\( y = 4 \)
अतः \( (0, 4) \) एक हल है।
दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, \( y = 0 \) मानें:
\( 4x + 3(0) = 12 \)
\( 4x = 12 \)
\( x = 3 \)
अतः \( (3, 0) \) एक अन्य हल है।

(ii) \( 2x + 5y = 0 \)
एक हल ज्ञात करने के लिए, \( x = 0 \) मानें:
\( 2(0) + 5y = 0 \)
\( 5y = 0 \)
\( y = 0 \)
अतः \( (0, 0) \) एक हल है।
दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, \( x = 1 \) मानें:
\( 2(1) + 5y = 0 \)
\( 2 + 5y = 0 \)
\( 5y = -2 \)
\( y = -\frac {2}{5} \)
अतः \( (1, -\frac {2}{5}) \) एक अन्य हल है।
In simple words: किसी भी रैखिक समीकरण के हल निकालने के लिए, आप एक चर (x या y) का कोई भी मान मान सकते हैं और फिर दूसरे चर का मान ज्ञात कर सकते हैं। आप शून्य या कोई भी सरल पूर्णांक मान सकते हैं। हर बार आपको एक नया बिन्दु (x,y) मिलेगा जो समीकरण को संतुष्ट करेगा।

🎯 Exam Tip: रैखिक समीकरणों के अनन्त हल होते हैं। सबसे आसान हल खोजने के लिए अक्सर x या y को 0 मानना होता है। भिन्न या दशमलव मानों से बचने के लिए, कभी-कभी x या y का ऐसा मान चुनना फायदेमंद होता है जिससे गणना सरल हो।

 

Question 3. एक थैले में 2 रुपये तथा 5 रुपये के कुल 15 सिक्के रखे हुए हैं। सिक्कों का कुल मूल्य 45 रुपये हो, तो प्रत्येक प्रकार के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना 2 रुपये के सिक्कों की संख्या \( x \) है।
माना 5 रुपये के सिक्कों की संख्या \( y \) है।
कुल सिक्के 15 हैं, इसलिए पहला समीकरण है:
\( x + y = 15 \) ...(i)
सिक्कों का कुल मूल्य 45 रुपये है। 2 रुपये के सिक्कों का मूल्य \( 2x \) और 5 रुपये के सिक्कों का मूल्य \( 5y \) होगा।
इसलिए, दूसरा समीकरण है:
\( 2x + 5y = 45 \) ...(ii)
समीकरण (i) से, \( x = 15 - y \)
इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर:
\( 2(15 - y) + 5y = 45 \)
\( 30 - 2y + 5y = 45 \)
\( 30 + 3y = 45 \)
\( 3y = 45 - 30 \)
\( 3y = 15 \)
\( y = \frac {15}{3} \)
\( y = 5 \)
अब, \( y = 5 \) को समीकरण (i) में वापस रखने पर:
\( x + 5 = 15 \)
\( x = 15 - 5 \)
\( x = 10 \)
अतः, 2 रुपये के सिक्कों की संख्या 10 है और 5 रुपये के सिक्कों की संख्या 5 है।
In simple words: इस समस्या को हल करने के लिए, हमने 2 रुपये के सिक्कों की संख्या को x और 5 रुपये के सिक्कों की संख्या को y माना। फिर दो समीकरण बनाए: एक कुल सिक्कों की संख्या के लिए और दूसरा कुल मूल्य के लिए। इन समीकरणों को हल करके हमने x और y के मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के शब्द समस्याओं को हल करने के लिए, पहले अज्ञात राशियों को चर के रूप में परिभाषित करें। फिर दी गई शर्तों के आधार पर समीकरणों का एक सेट बनाएं और उन्हें हल करें। यह जांचना हमेशा अच्छा होता है कि क्या आपके मान मूल शर्तों को संतुष्ट करते हैं।

 

Question 4. समीकरण \( 2x – 3y + 4 = 0 \) का आलेख खींचिए।
Answer:
दिया गया समीकरण है: \( 2x – 3y + 4 = 0 \)
हम इसे \( 2x = 3y - 4 \) या \( x = \frac {3y - 4}{2} \) के रूप में लिख सकते हैं।
अब x और y के कुछ मान ज्ञात करते हैं:
यदि \( y = 0 \) हो, तो \( x = \frac {3(0) - 4}{2} = \frac {-4}{2} = -2 \).
यदि \( y = 2 \) हो, तो \( x = \frac {3(2) - 4}{2} = \frac {6 - 4}{2} = \frac {2}{2} = 1 \).
यदि \( y = 4 \) हो, तो \( x = \frac {3(4) - 4}{2} = \frac {12 - 4}{2} = \frac {8}{2} = 4 \).

x तथा y के मानों के लिए सारणी:

आलेख खींचना : माना पैमाना : X-अक्ष पर 1 सेमी = 1 इकाई, Y-अक्ष पर 1 सेमी = 1 इकाई।

ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A (-2, 0), B (1, 2) तथा C (4, 4) का आलेखन कर मिलाने से \( 2x – 3y + 4 = 0 \) का आलेख AC प्राप्त होता है।In simple words: आलेख बनाने के लिए, समीकरण में x और y के कुछ मानों का पता लगाते हैं जो समीकरण को सही बनाते हैं। इन बिन्दुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करते हैं और फिर उन्हें एक सीधी रेखा से जोड़ते हैं। यह रेखा ही समीकरण का आलेख होती है।

🎯 Exam Tip: आलेख खींचते समय, कम से कम तीन बिन्दु ज्ञात करें ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि रेखा सही खींची गई है। पैमाना (स्केल) स्पष्ट रूप से अंकित करें और अक्षों को X और Y से लेबल करें।

 

Question 5. यदि दो अंकों वाली संख्या में इकाई का अंक b तथा दहाई का अंक a हो तो संख्या लिखिए।
Answer:
इकाई का अंक \( b \) है।
दहाई का अंक \( a \) है।
तो संख्या होगी: \( 10a + b \)
उदाहरण के लिए, यदि दहाई का अंक 2 और इकाई का अंक 3 हो, तो संख्या \( 10(2) + 3 = 23 \) होगी।
In simple words: किसी दो अंकों वाली संख्या को बनाने के लिए, दहाई के अंक को 10 से गुणा करते हैं और फिर उसमें इकाई के अंक को जोड़ देते हैं।

🎯 Exam Tip: संख्यात्मक मान बनाते समय, दहाई, सैकड़ा आदि के अंकों को उनके स्थान मान से गुणा करना याद रखें। जैसे, दहाई का अंक हमेशा 10 से गुणा होता है, और सैकड़ा का अंक 100 से।

 

Question 6. पिता की आयु पुत्र की आयु से 25 वर्ष अधिक है। 10 वर्ष पूर्व पिता की आयु पुत्र की आयु से दुगुनी थी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात करो।
Answer:
माना पिता की वर्तमान आयु \( x \) वर्ष है।
माना पुत्र की वर्तमान आयु \( y \) वर्ष है।

प्रश्नानुसार पहली शर्त: पिता की आयु पुत्र की आयु से 25 वर्ष अधिक है।
\( x = y + 25 \) ...(i)

प्रश्नानुसार दूसरी शर्त: 10 वर्ष पूर्व दोनों की आयु।
10 वर्ष पूर्व पिता की आयु \( (x - 10) \) वर्ष थी।
10 वर्ष पूर्व पुत्र की आयु \( (y - 10) \) वर्ष थी।
और 10 वर्ष पूर्व पिता की आयु पुत्र की आयु से दुगुनी थी:
\( (x - 10) = 2(y - 10) \)
\( x - 10 = 2y - 20 \)
\( x = 2y - 20 + 10 \)
\( x = 2y - 10 \) ...(ii)

अब, समीकरण (i) से \( x \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( y + 25 = 2y - 10 \)
\( 25 + 10 = 2y - y \)
\( 35 = y \)
इसलिए, पुत्र की वर्तमान आयु 35 वर्ष है।

\( y = 35 \) को समीकरण (i) में वापस रखने पर:
\( x = 35 + 25 \)
\( x = 60 \)
इसलिए, पिता की वर्तमान आयु 60 वर्ष है।
अतः, पिता की वर्तमान आयु 60 वर्ष तथा पुत्र की वर्तमान आयु 35 वर्ष है।
In simple words: हमने पिता और पुत्र की वर्तमान आयु के लिए दो अक्षर (x और y) माने। फिर, दी गई जानकारी से दो छोटे समीकरण बनाए। इन समीकरणों को एक साथ हल करके, हमने पिता और पुत्र दोनों की सही आयु का पता लगाया।

🎯 Exam Tip: आयु से संबंधित प्रश्नों में, हमेशा वर्तमान आयु से शुरुआत करें। फिर, 'वर्ष पूर्व' या 'वर्ष बाद' की शर्तों के अनुसार आयु में परिवर्तन करें और समीकरण बनाएं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपका उत्तर सही है, दोनों समीकरणों में अंतिम मानों को रखकर जांच करें।

 

Question 7. k का मान ज्ञात कीजिए ताकि निम्न समीकरण युग्म का कोई हल नहीं हो-
\( (3k + 1) x + 3y - 2 = 0 \)
\( (k^2 + 1) x + (k - 2) y - 5 = 0 \)
Answer:
दिए गए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होने के लिए प्रतिबन्ध है:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \)
यहां, \( a_1 = 3k + 1 \), \( b_1 = 3 \), \( c_1 = -2 \)
और \( a_2 = k^2 + 1 \), \( b_2 = k - 2 \), \( c_2 = -5 \)

प्रतिबन्ध में मान रखने पर:
\( \frac{3k + 1}{k^2 + 1} = \frac{3}{k - 2} \neq \frac{-2}{-5} \)
\( \implies \frac{3k + 1}{k^2 + 1} = \frac{3}{k - 2} \)
और
\( \implies \frac{3}{k - 2} \neq \frac{2}{5} \)

पहले भाग को हल करते हैं:
\( (3k + 1)(k - 2) = 3(k^2 + 1) \)
\( 3k^2 - 6k + k - 2 = 3k^2 + 3 \)
\( 3k^2 - 5k - 2 = 3k^2 + 3 \)
\( -5k - 2 = 3 \)
\( -5k = 3 + 2 \)
\( -5k = 5 \)
\( k = -1 \)

अब दूसरे भाग को जाँचते हैं कि \( k = -1 \) इस शर्त को संतुष्ट करता है या नहीं:
\( \frac{3}{k - 2} \neq \frac{2}{5} \)
\( k = -1 \) रखने पर:
\( \frac{3}{-1 - 2} \neq \frac{2}{5} \)
\( \frac{3}{-3} \neq \frac{2}{5} \)
\( -1 \neq \frac{2}{5} \)
यह शर्त संतुष्ट होती है।
अतः, दिए गए समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होने के लिए \( k = -1 \) होगा।
In simple words: हमने समीकरणों के हल न होने की शर्त का उपयोग किया, जो है कि पहले दो अनुपातों का बराबर होना और तीसरा अनुपात उनके बराबर न होना। इसे हल करने पर हमें k का मान -1 मिला। हमने यह भी जांचा कि यह मान दूसरी शर्त को भी पूरा करता है।

🎯 Exam Tip: "कोई हल नहीं" की शर्त को हल करते समय, दोनों शर्तों \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \) और \( \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) को अलग-अलग हल करें। यह सुनिश्चित करें कि k का जो मान आपको मिलता है, वह दूसरी शर्त को भी संतुष्ट करता हो।

 

Question 8. अमित ने दो पेन्सिल तथा 3 चाकलेट 11 रुपये में खरीदीं जबकि सुमित ने एक पेन्सिल और 2 चाकलेट 7 रुपये में खरीदी। इस स्थिति को रैखिक समीकरणों द्वारा प्रदर्शित कीजिए तथा ग्राफ द्वारा एक पेन्सिल तथा एक चाकलेट का मूल्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना कि एक पेन्सिल का मूल्य \( x \) Rs. है।
माना कि एक चाकलेट का मूल्य \( y \) Rs. है।

अमित के लिए समीकरण:
2 पेन्सिल और 3 चाकलेट का मूल्य \( 11 \) Rs. है।
\( 2x + 3y = 11 \) ...(i)

सुमित के लिए समीकरण:
1 पेन्सिल और 2 चाकलेट का मूल्य \( 7 \) Rs. है।
\( x + 2y = 7 \) ...(ii)

समीकरण (i) से, \( 2x = 11 - 3y \)
\( x = \frac {11 - 3y}{2} \)
y के विभिन्न मानों के लिए x के मान ज्ञात करते हैं:
यदि \( y = 1 \), तो \( x = \frac {11 - 3(1)}{2} = \frac {8}{2} = 4 \). (बिन्दु (4, 1))
यदि \( y = 3 \), तो \( x = \frac {11 - 3(3)}{2} = \frac {2}{2} = 1 \). (बिन्दु (1, 3))
यदि \( y = 5 \), तो \( x = \frac {11 - 3(5)}{2} = \frac {-4}{2} = -2 \). (बिन्दु (-2, 5))

सारणी I (समीकरण \( 2x + 3y = 11 \) के लिए):

समीकरण (ii) से, \( x + 2y = 7 \)
\( x = 7 - 2y \)
y के विभिन्न मानों के लिए x के मान ज्ञात करते हैं:
यदि \( y = 1 \), तो \( x = 7 - 2(1) = 5 \). (बिन्दु (5, 1))
यदि \( y = 3 \), तो \( x = 7 - 2(3) = 1 \). (बिन्दु (1, 3))
यदि \( y = 4 \), तो \( x = 7 - 2(4) = -1 \). (बिन्दु (-1, 4))

सारणी II (समीकरण \( x + 2y = 7 \) के लिए):

अब इन बिन्दुओं को ग्राफ पेपर पर प्लॉट करके रेखाएँ खींचते हैं। दोनों रेखाएँ बिन्दु (1, 3) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

ग्राफ से यह स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिन्दु (1, 3) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः, पेन्सिल का मूल्य \( x = 1 \) Rs. और चाकलेट का मूल्य \( y = 3 \) Rs. है।In simple words: हमने दो अज्ञात चीज़ों (पेन्सिल और चाकलेट के मूल्य) के लिए दो समीकरण बनाए। फिर, हमने इन समीकरणों के लिए कुछ बिन्दु निकाले और उन्हें एक ग्राफ पर खींचा। जहाँ दोनों रेखाएँ मिलीं, वही बिन्दु पेन्सिल और चाकलेट का मूल्य बताता है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के समस्याओं में, समीकरण बनाने के बाद, ग्राफिक रूप से हल करने के लिए प्रत्येक समीकरण के लिए कम से कम दो या तीन बिन्दु ज्ञात करें। प्रतिच्छेद बिन्दु ही दोनों अज्ञातों का हल होता है।