RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण More Ques

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Miscellaneous Exercise

विविध प्रश्नमाला

सही उत्तर को चुनिए : (प्रश्न 1 से 10)

 

Question 1. यदि \(y = 2x - 3\) तथा \(y = 5\) हो तो \(x\) का मान होगा
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Answer: (d) 4
संकेत : दिया गया समीकरण है \(y = 2x - 3\).
हमें \(y = 5\) दिया गया है.
\( \implies 5 = 2x - 3 \)
अब, \(2x = 5 + 3\)
\( \implies 2x = 8 \)
\( \implies x = \frac{8}{2} \)
\( \implies x = 4 \).
यह एक सीधा प्रतिस्थापन है, जिससे हम अज्ञात \(x\) का मान निकाल सकते हैं।
In simple words: हमें एक समीकरण \(y = 2x - 3\) दिया गया है और \(y\) का मान 5 है। हमें \(x\) का मान ज्ञात करना है। हम \(y\) की जगह 5 रखकर समीकरण को हल करते हैं और \(x = 4\) प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: समीकरणों में मानों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करना और बीजगणितीय चरणों का सटीक रूप से पालन करना सुनिश्चित करें। छोटी-मोटी गलतियाँ अक्सर तब होती हैं जब संख्याओं को एक तरफ से दूसरी तरफ ले जाया जाता है।

 

Question 2. यदि \(2x + y = 6\) हो तो इसको संतुष्ट करने वाला युग्म
(a) (1, 2)
(b) (2, 1)
(c) (2, 2)
(d) (1, 1)
Answer: (c) (2, 2)
संकेत : दिया गया समीकरण है \(2x + y = 6\).
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: \(y = 6 - 2x\).
हमें वह युग्म (x, y) ज्ञात करना है जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है.
विकल्पों की जाँच करें:
(a) (1, 2) के लिए, \(2(1) + 2 = 2 + 2 = 4 \neq 6\). तो यह गलत है.
(b) (2, 1) के लिए, \(2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \neq 6\). तो यह गलत है.
(c) (2, 2) के लिए, \(2(2) + 2 = 4 + 2 = 6\). यह समीकरण को संतुष्ट करता है.
(d) (1, 1) के लिए, \(2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 \neq 6\). तो यह गलत है.
केवल युग्म (2, 2) ही समीकरण \(2x + y = 6\) को संतुष्ट करता है।
In simple words: हमें एक समीकरण \(2x + y = 6\) दिया गया है। हमें यह पता लगाना है कि कौन सा बिंदु \((x, y)\) समीकरण में \(x\) और \(y\) की जगह रखने पर समीकरण को सही बनाता है। दिए गए विकल्पों में से, जब हम \(x = 2\) और \(y = 2\) रखते हैं, तो \(2(2) + 2 = 6\) आता है, जो सही है।

🎯 Exam Tip: जब आपको ऐसे प्रश्न मिलते हैं, तो प्रत्येक विकल्प में \(x\) और \(y\) के मानों को समीकरण में एक-एक करके डालकर जाँचें। जो विकल्प समीकरण को सही सिद्ध करेगा, वही आपका उत्तर होगा।

 

Question 3. यदि \( \frac { 4 }{ x } + 5y = 7 \) तथा \( x = -\frac { 4 }{ 3 } \) हो, तो \( y \) का मान होगा
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Answer: (b) 2
संकेत : हमें समीकरण दिया गया है \( \frac { 4 }{ x } + 5y = 7 \).
हमें \( x = -\frac { 4 }{ 3 } \) दिया गया है. हम \(x\) का मान समीकरण में रखेंगे.
\( \implies \frac { 4 }{ -\frac { 4 }{ 3 } } + 5y = 7 \)
\( \implies 4 \times \left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) + 5y = 7 \)
\( \implies -3 + 5y = 7 \)
अब, हम \(5y\) के लिए हल करेंगे.
\( \implies 5y = 7 + 3 \)
\( \implies 5y = 10 \)
\( \implies y = \frac { 10 }{ 5 } \)
\( \implies y = 2 \).
यह एक सीधा प्रतिस्थापन और बीजगणितीय सरलीकरण का उदाहरण है।
In simple words: समीकरण \( \frac { 4 }{ x } + 5y = 7 \) में, हमें \(x\) का मान \(-\frac{4}{3}\) दिया गया है। हम इस मान को \(x\) की जगह रखते हैं और फिर \(y\) के लिए हल करते हैं। इससे हमें \(y = 2\) मिलता है।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक हरों को संभालते समय सावधानी बरतें। जब आप \( \frac {A}{B/C} \) जैसी स्थिति का सामना करते हैं, तो यह \(A \times \frac{C}{B}\) के बराबर होता है। यह एक सामान्य त्रुटि बिंदु है।

 

Question 4. यदि \( \frac { 3 }{ x } + 4y = 5 \) तथा \( y = 1 \) हो, तो \( x \) का मान होगा:
(a) 3
(b) \( \frac { 1 }{ 3 } \)
(c) -3
(d) \( -\frac { 1 }{ 3 } \)
Answer: (a) 3
संकेत : हमें समीकरण दिया गया है \( \frac { 3 }{ x } + 4y = 5 \).
हमें \( y = 1 \) दिया गया है. हम \(y\) का मान समीकरण में रखेंगे.
\( \implies \frac { 3 }{ x } + 4(1) = 5 \)
\( \implies \frac { 3 }{ x } + 4 = 5 \)
अब, हम \( \frac { 3 }{ x } \) के लिए हल करेंगे.
\( \implies \frac { 3 }{ x } = 5 - 4 \)
\( \implies \frac { 3 }{ x } = 1 \)
\( \implies x = 3 \).
यह एक सरल प्रतिस्थापन और समीकरण को हल करने का उदाहरण है।
In simple words: समीकरण \( \frac { 3 }{ x } + 4y = 5 \) में, \(y\) का मान 1 दिया गया है। हम \(y\) की जगह 1 रखते हैं, फिर \(x\) के लिए हल करते हैं। इससे हमें \(x = 3\) मिलता है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप भिन्नात्मक पदों को हल करते समय \(x\) को हर से अंश तक सही ढंग से स्थानांतरित करते हैं। यदि \( \frac{A}{x} = B \), तो \(x = \frac{A}{B}\) होता है।

 

Question 5. यदि \( x = 1 \) हो, तो समीकरण \( \frac { 4 }{ x } + \frac { 3 }{ y } = 5 \) में \( y \) का मान
(a) 1
(b) \( \frac { 1 }{ 3 } \)
(c) 3
(d) -3
Answer: (c) 3
संकेत : हमें समीकरण दिया गया है \( \frac { 4 }{ x } + \frac { 3 }{ y } = 5 \).
हमें \( x = 1 \) दिया गया है. हम \(x\) का मान समीकरण में रखेंगे.
\( \implies \frac { 4 }{ 1 } + \frac { 3 }{ y } = 5 \)
\( \implies 4 + \frac { 3 }{ y } = 5 \)
अब, हम \( \frac { 3 }{ y } \) के लिए हल करेंगे.
\( \implies \frac { 3 }{ y } = 5 - 4 \)
\( \implies \frac { 3 }{ y } = 1 \)
\( \implies y = 3 \).
चर को हर में रखते हुए समीकरणों को हल करने में यह एक महत्वपूर्ण कदम है।
In simple words: समीकरण \( \frac { 4 }{ x } + \frac { 3 }{ y } = 5 \) में, \(x\) का मान 1 है। हम \(x\) की जगह 1 रखते हैं, फिर \(y\) के लिए हल करते हैं। इससे हमें \(y = 3\) मिलता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के समीकरणों में, अज्ञात चर को हर से अंश में लाना अक्सर आवश्यक होता है ताकि इसे हल किया जा सके। क्रॉस-गुणा या दोनों पक्षों को अज्ञात चर से गुणा करने की विधि का उपयोग करें।

 

Question 6. यदि इकाई का अंक \(y\) तथा दहाई का अंक \(x\) हो, तो संख्या होगी:
(a) \(10x + y\)
(b) \(10y + x\)
(c) \(x + y\)
(d) \(xy\)
Answer: (a) \(10x + y\)
संकेत : इकाई का अंक \(y\) है.
दहाई का अंक \(x\) है.
एक दो अंकों की संख्या को लिखने के लिए, हम दहाई के अंक को 10 से गुणा करते हैं और फिर उसमें इकाई का अंक जोड़ते हैं।
इसलिए, संख्या होगी \(10x + y\).
यह संख्या प्रणाली में अंकों के स्थानीय मान की मूलभूत अवधारणा है।
In simple words: जब किसी संख्या में इकाई का अंक \(y\) और दहाई का अंक \(x\) होता है, तो संख्या बनाने के लिए हम दहाई के अंक को 10 से गुणा करते हैं और उसमें इकाई का अंक जोड़ते हैं। इसलिए, संख्या \(10x + y\) होगी।

🎯 Exam Tip: स्थानीय मान की अवधारणा को याद रखें: दहाई का अंक हमेशा 10 के गुणक में होता है, जबकि इकाई का अंक 1 के गुणक में होता है।

 

Question 7. एक लड़के की आयु अपनी माता की आयु की एक तिहाई है। यदि माता की वर्तमान आयु \(x\) वर्ष है तो 12 वर्ष पश्चात् लड़के की आयु होगी :
(a) \( \frac { x }{ 3 } + 12 \)
(b) \( \frac { x+12 }{ 3 } \)
(c) \( x + 4 \)
(d) \( \frac { x }{ 3 } - 12 \)
Answer: (a) \( \frac { x }{ 3 } + 12 \)
संकेत : माता की वर्तमान आयु \(x\) वर्ष है.
लड़के की वर्तमान आयु माता की आयु की एक तिहाई है.
\( \implies \) लड़के की वर्तमान आयु \( = \frac { x }{ 3 } \) वर्ष.
हमें 12 वर्ष पश्चात् लड़के की आयु ज्ञात करनी है.
\( \implies \) 12 वर्ष पश्चात् लड़के की आयु \( = \frac { x }{ 3 } + 12 \) वर्ष.
यह आयु-संबंधी समस्याओं में समय के साथ आयु के परिवर्तन को समझने का एक सरल उदाहरण है।
In simple words: माता की वर्तमान आयु \(x\) वर्ष है और लड़के की आयु माता की आयु की एक तिहाई है, तो लड़के की वर्तमान आयु \( \frac { x }{ 3 } \) होगी। 12 साल बाद, लड़के की आयु में 12 साल जुड़ जाएंगे, इसलिए उसकी आयु \( \frac { x }{ 3 } + 12 \) होगी।

🎯 Exam Tip: 'पश्चात्' का अर्थ हमेशा 'जोड़ना' होता है और 'पूर्व' का अर्थ 'घटाना' होता है। आयु-संबंधी समस्याओं में इस बात का ध्यान रखें।

 

Question 8. x-अक्ष पर बिन्दु है-
(a) (2, 3)
(b) (2, 0)
(c) (0, 2)
(d) (2, 2)
Answer: (b) (2, 0)
संकेत : x-अक्ष पर कोई भी बिंदु ऐसा होता है जहाँ y-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है।
एक बिंदु \((a, b)\) x-अक्ष पर होगा यदि \(b = 0\).
दिए गए विकल्पों की जाँच करें:
(a) (2, 3) में y-निर्देशांक 3 है, जो शून्य नहीं है.
(b) (2, 0) में y-निर्देशांक 0 है. यह x-अक्ष पर है.
(c) (0, 2) में y-निर्देशांक 2 है, जो शून्य नहीं है (यह y-अक्ष पर है).
(d) (2, 2) में y-निर्देशांक 2 है, जो शून्य नहीं है.
इसलिए, (2, 0) x-अक्ष पर स्थित है।
In simple words: x-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु में, \(y\) का मान हमेशा शून्य होता है। दिए गए विकल्पों में से, केवल (2, 0) में \(y\) का मान शून्य है, इसलिए यह x-अक्ष पर है।

🎯 Exam Tip: याद रखें, x-अक्ष पर \(y = 0\) होता है और y-अक्ष पर \(x = 0\) होता है। यह निर्देशांक ज्यामिति का एक मूल सिद्धांत है।

 

Question 9. मूल बिन्दु के निर्देशांक हैं।
(a) (0, 0)
(b) (0, 1)
(c) (1, 0)
(d) (1, 1)
Answer: (a) (0, 0)
संकेत : निर्देशांक ज्यामिति में, मूल बिंदु वह बिंदु होता है जहाँ x-अक्ष और y-अक्ष एक दूसरे को काटते हैं।
इस बिंदु पर, x-निर्देशांक और y-निर्देशांक दोनों शून्य होते हैं।
इसलिए, मूल बिंदु के निर्देशांक (0, 0) होते हैं।
यह सभी निर्देशांक प्रणालियों का संदर्भ बिंदु होता है।
In simple words: मूल बिंदु वह खास जगह है जहाँ x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे को पार करते हैं। इस जगह पर, \(x\) और \(y\) दोनों के मान शून्य होते हैं, इसलिए इसके निर्देशांक (0, 0) हैं।

🎯 Exam Tip: मूल बिंदु (0, 0) ग्राफ पर सभी अन्य बिंदुओं के लिए शुरुआती बिंदु होता है। इसे हमेशा याद रखें।

 

Question 10. बिन्दु (3, -4) किस पाद में विद्यमान है?
(a) प्रथम
(b) द्वितीय
(c) तृतीय
(d) चतुर्थ
Answer: (d) चतुर्थ
संकेत : एक निर्देशांक प्रणाली में चार पाद होते हैं, जिन्हें x-अक्ष और y-अक्ष द्वारा परिभाषित किया जाता है:
प्रथम पाद: \(x > 0, y > 0\) (धनात्मक x, धनात्मक y)
द्वितीय पाद: \(x < 0, y > 0\) (ऋणात्मक x, धनात्मक y)
तृतीय पाद: \(x < 0, y < 0\) (ऋणात्मक x, ऋणात्मक y)
चतुर्थ पाद: \(x > 0, y < 0\) (धनात्मक x, ऋणात्मक y)
बिंदु (3, -4) में, x-निर्देशांक 3 (धनात्मक) है और y-निर्देशांक -4 (ऋणात्मक) है.
धनात्मक x और ऋणात्मक y वाला बिंदु चतुर्थ पाद में स्थित होता है।
यह निर्देशांक ज्यामिति की एक मौलिक अवधारणा है।
In simple words: निर्देशांक प्रणाली में, जब \(x\) का मान धनात्मक और \(y\) का मान ऋणात्मक होता है, तो बिंदु चतुर्थ पाद में होता है। बिंदु (3, -4) में \(x\) धनात्मक (3) और \(y\) ऋणात्मक (-4) है, इसलिए यह चतुर्थ पाद में है।

🎯 Exam Tip: प्रत्येक पाद के लिए x और y निर्देशांकों के चिह्नों को याद रखने से आपको बिंदुओं का सही ढंग से पता लगाने में मदद मिलेगी।

 

Question 11. समीकरण \(5y - 3x - 10 = 0\) में \(3x\) को \(x\) के रूप में व्यक्त कीजिए। वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जहाँ समीकरण \(5y - 3x - 10 = 0\) द्वारा निरूपित रेखा y-अक्ष को काटती है।
Answer:
हमें दिया गया समीकरण है: \(5y - 3x - 10 = 0\).
पहले भाग के लिए, \(3x\) को \(x\) के रूप में व्यक्त करना:
\( \implies 5y - 10 = 3x \)
\( \implies x = \frac { 5y - 10 }{ 3 } \).
अब, दूसरे भाग के लिए, वह बिंदु ज्ञात करना जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है.
जब एक रेखा y-अक्ष को काटती है, तो उस बिंदु पर x-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है।
तो, हम समीकरण में \(x = 0\) रखेंगे.
\( \implies 5y - 3(0) - 10 = 0 \)
\( \implies 5y - 0 - 10 = 0 \)
\( \implies 5y = 10 \)
\( \implies y = \frac { 10 }{ 5 } \)
\( \implies y = 2 \).
इसलिए, वह बिंदु जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है, (0, 2) है। रैखिक समीकरणों के लिए x या y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना एक सामान्य अभ्यास है।
In simple words: हमें समीकरण \(5y - 3x - 10 = 0\) दिया गया है। पहले हमने \(x\) को \(y\) के पदों में व्यक्त किया, जिससे \(x = \frac{5y - 10}{3}\) मिला। फिर, y-अक्ष पर कटने वाले बिंदु को खोजने के लिए, हमने \(x\) को 0 रखा और \(y\) के लिए हल किया, जिससे \(y = 2\) मिला। तो बिंदु (0, 2) है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि जब कोई रेखा y-अक्ष को काटती है, तो \(x=0\) होता है, और जब कोई रेखा x-अक्ष को काटती है, तो \(y=0\) होता है। यह समीकरणों को हल करने का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।

 

Question 12. \(x\) के मानों \(x = -2\) से \(x = 2\) तक एवं इनके मध्य लेते हुए समीकरण \(y = 2x + 1\) के मानों से सारणी का निर्माण कीजिए तथा उक्त समीकरण का आलेख खीचिए।
Answer:
समीकरण है \(y = 2x + 1\).
हम \(x\) के मान \( -2, -1, 0, 1, 2 \) लेंगे और संगत \(y\) मानों की गणना करेंगे:
\( \text{जब } x = -2, y = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3 \). बिंदु है \((-2, -3)\).
\( \text{जब } x = -1, y = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1 \). बिंदु है \((-1, -1)\).
\( \text{जब } x = 0, y = 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1 \). बिंदु है \((0, 1)\).
\( \text{जब } x = 1, y = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 \). बिंदु है \((1, 3)\).
\( \text{जब } x = 2, y = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \). बिंदु है \((2, 5)\).
सारणी:

इन बिंदुओं को प्लॉट करने पर एक सीधी रेखा मिलेगी जो समीकरण \(y = 2x + 1\) का आलेख है। यह एक रैखिक समीकरण का मानक ग्राफिक निरूपण है।

In simple words: समीकरण \(y = 2x + 1\) के लिए, हमने \(x\) के अलग-अलग मान (-2 से 2) लेकर \(y\) के मान ज्ञात किए। इन मानों से बनी बिंदुओं की सारणी तैयार की गई। इन बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करने और जोड़ने पर एक सीधी रेखा मिलती है, जो इस समीकरण का आलेख है।

🎯 Exam Tip: आलेखन करते समय, सुनिश्चित करें कि आपके द्वारा चुने गए बिंदु ग्राफ़ पेपर पर स्पष्ट रूप से दिखाई दें और रेखा सही ढंग से खींची गई हो। प्रत्येक अक्ष पर पैमाना स्पष्ट रूप से दर्शाना भी महत्वपूर्ण है।

 

Question 13. निम्न युगपत समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए-
\(0.5x + 0.6y = 2.3\)
\(0.2x + 0.7y = 2.3\)
Answer:
दिए गए समीकरण हैं:
1. \(0.5x + 0.6y = 2.3\)
2. \(0.2x + 0.7y = 2.3\)
दशमलव हटाने के लिए दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करें:
\(5x + 6y = 23\) ...(i)
\(2x + 7y = 23\) ...(ii)
विलोपन विधि का उपयोग करने के लिए, हम समीकरण (i) को 2 से और समीकरण (ii) को 5 से गुणा करेंगे ताकि \(x\) के गुणांक बराबर हो जाएँ:
समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर: \(10x + 12y = 46\) ...(iii)
समीकरण (ii) को 5 से गुणा करने पर: \(10x + 35y = 115\) ...(iv)
अब, समीकरण (iii) को समीकरण (iv) में से घटाएँ:
\( (10x + 35y) - (10x + 12y) = 115 - 46 \)
\( \implies 23y = 69 \)
\( \implies y = \frac { 69 }{ 23 } \)
\( \implies y = 3 \).
अब, \(y = 3\) का मान समीकरण (i) में रखें:
\( 5x + 6(3) = 23 \)
\( \implies 5x + 18 = 23 \)
\( \implies 5x = 23 - 18 \)
\( \implies 5x = 5 \)
\( \implies x = \frac { 5 }{ 5 } \)
\( \implies x = 1 \).
इसलिए, समीकरणों का हल \(x = 1\) और \(y = 3\) है। युगपत समीकरणों को हल करने से दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात होता है।
In simple words: हमें दो समीकरण दिए गए हैं। हमने पहले दशमलव हटाकर उन्हें सरल बनाया। फिर, हमने विलोपन विधि का उपयोग किया: समीकरणों को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करके \(x\) के मानों को बराबर किया और फिर एक समीकरण में से दूसरे को घटाकर \(y\) का मान ज्ञात किया। अंत में, \(y\) का मान किसी एक समीकरण में रखकर \(x\) का मान निकाला। हल \(x = 1\) और \(y = 3\) है।

🎯 Exam Tip: विलोपन विधि में, किसी एक चर के गुणांकों को बराबर बनाने के लिए समीकरणों को सही संख्याओं से गुणा करना महत्वपूर्ण है। दशमलव वाले समीकरणों को पहले पूर्ण संख्या में बदलना गणनाओं को आसान बनाता है।

 

Question 14. समीकरण निकाय \(2x + 3y = 9\); \(3x + 4y = 5\) का हल ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए समीकरण हैं:
1. \(2x + 3y = 9\) ...(i)
2. \(3x + 4y = 5\) ...(ii)
विलोपन विधि का उपयोग करने के लिए, हम समीकरण (i) को 4 से और समीकरण (ii) को -3 से गुणा करेंगे ताकि \(y\) के गुणांक बराबर और विपरीत चिह्नों के हो जाएँ:
समीकरण (i) को 4 से गुणा करने पर: \(8x + 12y = 36\) ...(iii)
समीकरण (ii) को -3 से गुणा करने पर: \(-9x - 12y = -15\) ...(iv)
अब, समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ें:
\( (8x + 12y) + (-9x - 12y) = 36 + (-15) \)
\( \implies 8x - 9x = 36 - 15 \)
\( \implies -x = 21 \)
\( \implies x = -21 \).
अब, \(x = -21\) का मान समीकरण (i) में रखें:
\( 2(-21) + 3y = 9 \)
\( \implies -42 + 3y = 9 \)
\( \implies 3y = 9 + 42 \)
\( \implies 3y = 51 \)
\( \implies y = \frac { 51 }{ 3 } \)
\( \implies y = 17 \).
इसलिए, समीकरणों का हल \(x = -21\) और \(y = 17\) है। इस विधि में, हम एक चर को समाप्त करने के लिए गुणांकों को रणनीतिक रूप से बदलते हैं।
In simple words: हमें दो समीकरण दिए गए हैं। हमने विलोपन विधि का उपयोग करके \(y\) चर को हटाया। ऐसा करने के लिए, हमने पहले समीकरण को 4 से और दूसरे समीकरण को -3 से गुणा किया। फिर, हमने दोनों नए समीकरणों को जोड़ा, जिससे \(x\) का मान \(-21\) मिला। अंत में, हमने इस \(x\) के मान को पहले समीकरण में रखकर \(y\) का मान 17 प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: समीकरणों को जोड़ने या घटाने से पहले गुणांकों को समान और विपरीत चिह्न वाले बनाना सुनिश्चित करें। यह विलोपन विधि में गलतियों से बचने में मदद करता है।

 

Question 15. समीकरण निकाय \( \frac { 1 }{ x } + \frac { 1 }{ 2y } = 8 \); \( \frac { 1 }{ x } - \frac { 1 }{ 2y } = 8 \) का हल ज्ञात कीजिए, जहाँ \( x \neq 0, y \neq 0 \).
Answer:
दिए गए समीकरण हैं:
1. \( \frac { 1 }{ x } + \frac { 1 }{ 2y } = 8 \) ...(i)
2. \( \frac { 1 }{ x } - \frac { 1 }{ 2y } = 8 \) ...(ii)
हम इन समीकरणों को जोड़ने पर \( \frac { 1 }{ y } \) पद को समाप्त कर सकते हैं:
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
\( \left( \frac { 1 }{ x } + \frac { 1 }{ 2y } \right) + \left( \frac { 1 }{ x } - \frac { 1 }{ 2y } \right) = 8 + 8 \)
\( \implies \frac { 1 }{ x } + \frac { 1 }{ x } = 16 \)
\( \implies \frac { 2 }{ x } = 16 \)
\( \implies x = \frac { 2 }{ 16 } \)
\( \implies x = \frac { 1 }{ 8 } \).
अब, \( x = \frac { 1 }{ 8 } \) का मान समीकरण (i) में रखें:
\( \frac { 1 }{ 1/8 } + \frac { 1 }{ 2y } = 8 \)
\( \implies 8 + \frac { 1 }{ 2y } = 8 \)
\( \implies \frac { 1 }{ 2y } = 8 - 8 \)
\( \implies \frac { 1 }{ 2y } = 0 \).
यह संभव नहीं है क्योंकि किसी भी संख्या को 0 से भाग देने पर 0 नहीं आता है (1 / (2y) कभी 0 के बराबर नहीं हो सकता)।
यह इंगित करता है कि समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है जो दी गई शर्तों को संतुष्ट करता हो। यदि \(\frac{1}{2y} = 0\) होता, तो \(1 = 0 \times 2y = 0\), जो असत्य है। यह एक ऐसी स्थिति है जहाँ रेखाएँ समानांतर होती हैं और कभी नहीं मिलती हैं।
In simple words: हमें दो समीकरण दिए गए थे जहाँ \(x\) और \(y\) हर में थे। हमने दोनों समीकरणों को जोड़ा, जिससे \(y\) वाला पद कट गया और हमें \(x = \frac{1}{8}\) मिला। फिर, हमने \(x\) का यह मान पहले समीकरण में रखा। इससे हमें \( \frac{1}{2y} = 0 \) मिला, जो असंभव है क्योंकि किसी संख्या को शून्य से भाग देने पर शून्य नहीं आता है। इसका मतलब है कि इन समीकरणों का कोई हल नहीं है।

🎯 Exam Tip: जब भिन्नों को हल करते समय आपको किसी चर के हर में 0 मिलता है, तो इसका मतलब है कि उस चर का मान अपरिभाषित है, या समीकरण का कोई हल नहीं है। यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जब \( \frac {A}{x} = 0 \) जैसी स्थिति आती है, जहाँ \(A\) शून्य नहीं है।

 

Question 16. दो संख्याएँ इस प्रकार की हैं कि यदि छोटी संख्या में 7 जोड़ दिया जाय तो योग बड़ी संख्या से दुगुना हो जाता है तथा यदि बड़ी संख्या में 4 जोड़ दिया जाय तो योग छोटी संख्या से तिगुना हो जाता है। दोनों संख्याओं को ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना छोटी संख्या \(x\) है और बड़ी संख्या \(y\) है.
पहली शर्त के अनुसार (छोटी संख्या में 7 जोड़ने पर, योग बड़ी संख्या का दुगुना हो जाता है):
\(x + 7 = 2y\)
\( \implies x - 2y = -7 \) ...(i)
दूसरी शर्त के अनुसार (बड़ी संख्या में 4 जोड़ने पर, योग छोटी संख्या का तिगुना हो जाता है):
\(y + 4 = 3x\)
\( \implies 3x - y = 4 \) ...(ii)
अब, हम समीकरण (ii) से \(y\) को \(x\) के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
\(y = 3x - 4\)
\(y\) के इस मान को समीकरण (i) में रखें:
\(x - 2(3x - 4) = -7\)
\( \implies x - 6x + 8 = -7\)
\( \implies -5x + 8 = -7\)
\( \implies -5x = -7 - 8\)
\( \implies -5x = -15\)
\( \implies x = \frac { -15 }{ -5 } \)
\( \implies x = 3 \).
अब, \(x = 3\) का मान \(y = 3x - 4\) में रखें:
\(y = 3(3) - 4\)
\( \implies y = 9 - 4\)
\( \implies y = 5 \).
इसलिए, छोटी संख्या \(x = 3\) और बड़ी संख्या \(y = 5\) है। इस प्रकार की शब्द समस्याएं वास्तविक दुनिया की स्थितियों को हल करने के लिए बीजगणित का उपयोग सिखाती हैं।
In simple words: हमने छोटी संख्या को \(x\) और बड़ी संख्या को \(y\) माना। पहली शर्त से एक समीकरण \(x - 2y = -7\) बनाया। दूसरी शर्त से दूसरा समीकरण \(3x - y = 4\) बनाया। फिर, दूसरे समीकरण से \(y\) का मान निकाला और उसे पहले समीकरण में रख दिया। इससे \(x = 3\) मिला। फिर, \(x\) का मान \(y\) वाले समीकरण में रखकर \(y = 5\) निकाला। तो संख्याएँ 3 और 5 हैं।

🎯 Exam Tip: शब्द समस्याओं को हल करते समय, सबसे पहले चरों को सही ढंग से परिभाषित करें और फिर प्रत्येक शर्त को एक समीकरण में बदलें। प्रतिस्थापन विधि अक्सर दो चरों वाले समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी होती है।

 

Question 17. किसी भिन्न का अंश, हर से 4 कम है। यदि अंश में से 2 घटा दिया जाए तथा हर में 1 जोड़ दिया जाए तो हर, अंश का 8 गुणा हो जाता है। भिन्न ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना भिन्न का अंश \(x\) है और हर \(y\) है। तो भिन्न \( = \frac { x }{ y } \) है.
पहली शर्त के अनुसार (अंश हर से 4 कम है):
\(x = y - 4\)
\( \implies x - y = -4 \) ...(i)
दूसरी शर्त के अनुसार (अंश में से 2 घटा दिया जाए तथा हर में 1 जोड़ दिया जाए तो हर, अंश का 8 गुणा हो जाता है):
नया अंश \( = x - 2 \)
नया हर \( = y + 1 \)
\( \implies y + 1 = 8(x - 2) \)
\( \implies y + 1 = 8x - 16 \)
\( \implies 8x - y = 1 + 16 \)
\( \implies 8x - y = 17 \) ...(ii)
अब, समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाएँ:
\( (8x - y) - (x - y) = 17 - (-4) \)
\( \implies 8x - y - x + y = 17 + 4 \)
\( \implies 7x = 21 \)
\( \implies x = \frac { 21 }{ 7 } \)
\( \implies x = 3 \).
अब, \(x = 3\) का मान समीकरण (i) में रखें:
\(3 - y = -4\)
\( \implies -y = -4 - 3\)
\( \implies -y = -7\)
\( \implies y = 7 \).
इसलिए, भिन्न है \( \frac { 3 }{ 7 } \). भिन्न-आधारित समस्याओं को हल करने में अंश और हर के बीच संबंधों को स्पष्ट रूप से परिभाषित करना शामिल है।
In simple words: हमने भिन्न के अंश को \(x\) और हर को \(y\) माना। पहली शर्त से \(x = y - 4\) समीकरण बना। दूसरी शर्त से \(y + 1 = 8(x - 2)\) समीकरण बना। इन दो समीकरणों को हल करने पर (दूसरे में से पहले को घटाकर), हमें \(x = 3\) और \(y = 7\) मिला। तो भिन्न \( \frac{3}{7} \) है।

🎯 Exam Tip: जब भिन्न-संबंधी समस्याएं आती हैं, तो हमेशा पहले अंश और हर को चरों के रूप में परिभाषित करें। फिर, प्रत्येक शर्त को एक अलग समीकरण में बदलें और उन्हें हल करें। घटाने की विधि अक्सर सबसे सीधी होती है जब एक चर में समान गुणांक होते हैं।

 

Question 18. 5 पुस्तकों तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 79 Rs. है। जबकि 7 पुस्तकों तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 77 Rs. है। 1 पुस्तक तथा 2 कलमों का कुल मूल्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना एक पुस्तक का मूल्य \(x\) रुपये है और एक कलम का मूल्य \(y\) रुपये है.
पहली शर्त के अनुसार (5 पुस्तकों तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 79 Rs. है):
\(5x + 7y = 79\) ...(i)
दूसरी शर्त के अनुसार (7 पुस्तकों तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 77 Rs. है):
\(7x + 5y = 77\) ...(ii)
हम इन समीकरणों को विलोपन विधि से हल करेंगे। समीकरण (i) को 5 से और समीकरण (ii) को -7 से गुणा करें ताकि \(y\) पद समाप्त हो जाए:
समीकरण (i) को 5 से गुणा करने पर: \(25x + 35y = 395\) ...(iii)
समीकरण (ii) को -7 से गुणा करने पर: \(-49x - 35y = -539\) ...(iv)
अब, समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ें:
\( (25x + 35y) + (-49x - 35y) = 395 + (-539) \)
\( \implies 25x - 49x = 395 - 539 \)
\( \implies -24x = -144 \)
\( \implies x = \frac { -144 }{ -24 } \)
\( \implies x = 6 \).
अब, \(x = 6\) का मान समीकरण (i) में रखें:
\(5(6) + 7y = 79\)
\( \implies 30 + 7y = 79 \)
\( \implies 7y = 79 - 30 \)
\( \implies 7y = 49 \)
\( \implies y = \frac { 49 }{ 7 } \)
\( \implies y = 7 \).
तो, एक पुस्तक का मूल्य 6 Rs. है और एक कलम का मूल्य 7 Rs. है.
हमें 1 पुस्तक तथा 2 कलमों का कुल मूल्य ज्ञात करना है:
\(1 \times \text{पुस्तक का मूल्य} + 2 \times \text{कलम का मूल्य}\)
\( = 1(6) + 2(7) \)
\( = 6 + 14 \)
\( = 20 \) Rs.
यह दैनिक जीवन में मूल्य-निर्धारण और लागत की गणना में रैखिक समीकरणों के अनुप्रयोग को दर्शाता है।
In simple words: हमने पुस्तक के मूल्य को \(x\) और कलम के मूल्य को \(y\) माना। दी गई जानकारी से दो समीकरण बनाए। हमने विलोपन विधि का उपयोग करके इन समीकरणों को हल किया, जिससे \(x = 6\) (पुस्तक का मूल्य) और \(y = 7\) (कलम का मूल्य) मिला। अंत में, हमने 1 पुस्तक और 2 कलमों का कुल मूल्य ज्ञात करने के लिए इन मानों का उपयोग किया, जो 20 Rs. आया।

🎯 Exam Tip: लागत-आधारित समस्याओं में, चरों को सही ढंग से परिभाषित करें (प्रति इकाई लागत के लिए)। फिर, कुल लागत के लिए दो समीकरण स्थापित करें और उन्हें हल करें। अंत में, सुनिश्चित करें कि आप प्रश्न में पूछे गए विशिष्ट कुल मूल्य की गणना करें।

 

Question 19. दो अंकों की एक संख्या इस प्रकार की है कि जब इसे 9 से गुणा किया जाए तो वह उस संख्या की दुगुनी हो जाएगी जो मूल संख्या के अंकों के स्थान परस्पर बदलने से बनती है। यदि संख्या के दोनों अंकों का अंतर 7 हो, तो संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना एक संख्या का इकाई का अंक \(x\) तथा दहाई का अंक \(y\) है.
तो, मूल संख्या \( = 10y + x \) होगी.
अंकों के स्थान परस्पर बदलने से बनी संख्या \( = 10x + y \) होगी.
पहली शर्त के अनुसार (जब मूल संख्या को 9 से गुणा किया जाए तो वह अंकों के स्थान बदलने से बनी संख्या की दुगुनी हो जाती है):
\(9(10y + x) = 2(10x + y)\)
\( \implies 90y + 9x = 20x + 2y \)
\( \implies 90y - 2y = 20x - 9x \)
\( \implies 88y = 11x \)
\( \implies 11x - 88y = 0 \)
\( \implies x - 8y = 0 \) ...(i)
दूसरी शर्त के अनुसार (संख्या के दोनों अंकों का अंतर 7 हो):
\(x - y = 7 \) ...(ii) (यह मानते हुए कि दहाई का अंक इकाई के अंक से बड़ा है, अन्यथा \(y-x=7\) होगा)
अब, समीकरण (i) से, \(x = 8y\). इस मान को समीकरण (ii) में रखें:
\(8y - y = 7\)
\( \implies 7y = 7\)
\( \implies y = \frac { 7 }{ 7 } \)
\( \implies y = 1 \).
अब, \(y = 1\) का मान \(x = 8y\) में रखें:
\(x = 8(1)\)
\( \implies x = 8 \).
इकाई का अंक \(x = 8\) और दहाई का अंक \(y = 1\) है.
तो, मूल संख्या \( = 10y + x = 10(1) + 8 = 10 + 8 = 18 \).
यदि हमने \(y - x = 7\) लिया होता तो \(y - 8y = 7 \implies -7y = 7 \implies y = -1\), जो संभव नहीं है क्योंकि अंक ऋणात्मक नहीं हो सकते। यह एक सामान्य अंक-आधारित समस्या है जो रैखिक समीकरणों का उपयोग करती है।
In simple words: हमने मूल संख्या के अंकों को \(x\) (इकाई) और \(y\) (दहाई) माना। शर्तों के आधार पर दो समीकरण बनाए। पहला समीकरण \(x - 8y = 0\) था और दूसरा \(x - y = 7\) था। इन समीकरणों को हल करने पर हमें \(x = 8\) और \(y = 1\) मिला। तो मूल संख्या 18 है।

🎯 Exam Tip: जब दो अंकों की संख्या से संबंधित समस्याएं आती हैं, तो मूल संख्या को \(10y + x\) (या \(10x + y\) यदि \(x\) दहाई का अंक है) और अंकों के बदलने पर बनी संख्या को \(10x + y\) (या \(10y + x\)) के रूप में व्यक्त करना हमेशा याद रखें। यह समीकरणों को सही ढंग से स्थापित करने में मदद करता है।

 

Question 20. एक त्रिभुज में \( \angle A = x^\circ, \angle B = 3x^\circ \) तथा \( \angle C = y^\circ \) है। यदि \( 5x - 3y + 30 = 0 \) हो, तो सिद्ध कीजिए कि यह समकोण त्रिभुज है।
Answer:
हमें दिया गया है कि त्रिभुज ABC में,
\( \angle A = x^\circ \)
\( \angle B = 3x^\circ \)
\( \angle C = y^\circ \)
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
\( \implies \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
\( \implies x + 3x + y = 180 \)
\( \implies 4x + y = 180 \) ...(i)
हमें एक और समीकरण दिया गया है:
\( 5x - 3y + 30 = 0 \)
\( \implies 5x - 3y = -30 \) ...(ii)
अब, हम इन दोनों समीकरणों (i) और (ii) को हल करेंगे। समीकरण (i) को 3 से गुणा करके समीकरण (ii) के साथ जोड़ें ताकि \(y\) पद समाप्त हो जाए:
समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर: \(12x + 3y = 540\) ...(iii)
समीकरण (ii) है: \(5x - 3y = -30\) ...(iv)
समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर:
\( (12x + 3y) + (5x - 3y) = 540 + (-30) \)
\( \implies 12x + 5x = 540 - 30 \)
\( \implies 17x = 510 \)
\( \implies x = \frac { 510 }{ 17 } \)
\( \implies x = 30 \).
अब, \(x = 30\) का मान समीकरण (i) में रखें:
\(4(30) + y = 180\)
\( \implies 120 + y = 180 \)
\( \implies y = 180 - 120 \)
\( \implies y = 60 \).
अब, त्रिभुज के कोणों का मान ज्ञात करें:
\( \angle A = x^\circ = 30^\circ \)
\( \angle B = 3x^\circ = 3(30^\circ) = 90^\circ \)
\( \angle C = y^\circ = 60^\circ \)
चूंकि \( \angle B = 90^\circ \) है, तो त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है। एक त्रिभुज में एक कोण का 90 डिग्री होना यह सिद्ध करता है कि वह एक समकोण त्रिभुज है।
In simple words: हमें त्रिभुज के तीन कोण \(x, 3x, y\) दिए गए थे। हमने त्रिभुज के कोणों के योग के नियम (180°) से पहला समीकरण \(4x + y = 180\) बनाया। फिर, दूसरा समीकरण \(5x - 3y = -30\) दिया गया था। इन दोनों समीकरणों को हल करके हमने \(x = 30\) और \(y = 60\) प्राप्त किया। इन मानों से कोणों की गणना करने पर, कोण B 90° आया, जिससे सिद्ध होता है कि यह एक समकोण त्रिभुज है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180° होता है, इस तथ्य का उपयोग ऐसे प्रश्नों में एक समीकरण बनाने के लिए करें। एक त्रिभुज समकोण तब होता है जब उसका एक कोण 90° हो। समीकरणों को हल करने में विलोपन या प्रतिस्थापन विधि का सावधानीपूर्वक उपयोग करें।

 

Question 21. निम्न युगपत समीकरणों का हल आलेख विधि से ज्ञात कीजिए।
(a) \(x + y = 4\); \(x = y\)
(b) \(x + y = 3\); \(2x + 5y = 12\)
(c) \(2x - 3y - 6 = 0\); \(2x + y + 10 = 0\)
(d) \(2x + y - 3 = 0\); \(2x - 3y - 7 = 0\)
Answer:
(a) \(x + y = 4\); \(x = y\)
पहले समीकरण के लिए, \(x + y = 4 \implies y = 4 - x\). हम कुछ मान लेते हैं:

दूसरे समीकरण के लिए, \(x = y\). हम कुछ मान लेते हैं:

इन बिंदुओं को प्लॉट करके रेखाएँ खींचने पर, हमें पता चलता है कि वे बिंदु P(2, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः, \(x = 2, y = 2\) दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है। ग्राफिक विधि से हल करने पर यह प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।

(b) \(x + y = 3\); \(2x + 5y = 12\)
पहले समीकरण के लिए, \(x + y = 3 \implies y = 3 - x\). हम कुछ मान लेते हैं:

दूसरे समीकरण के लिए, \(2x + 5y = 12 \implies y = \frac{12 - 2x}{5}\). हम कुछ मान लेते हैं:

इन बिंदुओं को प्लॉट करके रेखाएँ खींचने पर, हमें पता चलता है कि वे बिंदु P(1, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः, \(x = 1, y = 2\) दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है। ग्राफ़िकल समाधान में रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को ढूंढना शामिल है।

(c) \(2x - 3y - 6 = 0\); \(2x + y + 10 = 0\)
पहले समीकरण के लिए, \(2x - 3y - 6 = 0 \implies y = \frac{2x - 6}{3}\). हम कुछ मान लेते हैं:

दूसरे समीकरण के लिए, \(2x + y + 10 = 0 \implies y = -2x - 10\). हम कुछ मान लेते हैं:

इन बिंदुओं को प्लॉट करके रेखाएँ खींचने पर, हमें पता चलता है कि वे बिंदु P(-3, -4) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः, \(x = -3, y = -4\) दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है। यह दिखाता है कि दो रेखाएं कहाँ मिलती हैं, जो कि समाधान है।

(d) \(2x + y - 3 = 0\); \(2x - 3y - 7 = 0\)
पहले समीकरण के लिए, \(2x + y - 3 = 0 \implies y = 3 - 2x\). हम कुछ मान लेते हैं:

दूसरे समीकरण के लिए, \(2x - 3y - 7 = 0 \implies y = \frac{2x - 7}{3}\). हम कुछ मान लेते हैं:

इन बिंदुओं को प्लॉट करके रेखाएँ खींचने पर, हमें पता चलता है कि वे बिंदु P(2, -1) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः, \(x = 2, y = -1\) दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है। ग्राफिकल विधि से हल करना दृश्य रूप से प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने में मदद करता है।

In simple words: आलेख विधि से समीकरणों को हल करने के लिए, हमने प्रत्येक समीकरण के लिए बिंदुओं की एक सारणी बनाई। फिर, हमने इन बिंदुओं को ग्राफ़ पेपर पर अंकित किया और संबंधित रेखाएँ खींचीं। जहाँ ये दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, वही बिंदु समीकरण निकाय का हल होता है। हमने प्रत्येक भाग के लिए हल का बिंदु प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: आलेख विधि में, प्रत्येक रेखा के लिए कम से कम दो या तीन बिंदु प्लॉट करें ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि रेखा सही ढंग से खींची गई है। प्रतिच्छेदन बिंदु को स्पष्ट रूप से चिह्नित करें और उसके निर्देशांक लिखें, क्योंकि यही आपका हल है।

 

Question 22. समीकरण निकाय \( 2x - y = 1 \) और \( x + 2y = 8 \) का आलेख विधि से हल ज्ञात कीजिए तथा यह भी बताइए कि इनके संगत रेखाएँ y-अक्ष को किन बिन्दुओं पर मिलती हैं।
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 2x - y = 1 \).....(i)
\( x + 2y = 8 \).....(ii)
चूंकि दोनों समीकरणों में \( x \) और \( y \) की अधिकतम घात एक है, इसलिए इनके आलेख सीधी रेखाएँ होंगी। हमें इन रेखाओं को खींचने के लिए कुछ बिन्दु चाहिए।
समीकरण \( 2x - y = 1 \) या \( y = 2x - 1 \) के लिए \( (x, y) \) के विभिन्न मानों की सारणी इस प्रकार है:

समीकरण \( x + 2y = 8 \) या \( 2y = 8 - x \) या \( y = \frac{8-x}{2} \) के लिए \( (x, y) \) के विभिन्न मानों की सारणी इस प्रकार है:

अब बिन्दुओं \( (0, -1), (2, 3) \) तथा \( (3, 5) \) को आलेख पर प्लॉट करके समीकरण \( 2x - y = 1 \) की रेखा खींचते हैं। इसी प्रकार, बिन्दुओं \( (0, 4), (2, 3) \) तथा \( (4, 2) \) को प्लॉट करके समीकरण \( x + 2y = 8 \) की रेखा खींचते हैं। ये दोनों सरल रेखाएँ बिन्दु P पर प्रतिच्छेदित होती हैं, जिसके निर्देशांक \( (2, 3) \) हैं। यह बिन्दु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
अतः, \( x = 2 \) और \( y = 3 \) दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है।
ग्राफ से यह भी स्पष्ट है कि रेखाएँ y-अक्ष को बिन्दुओं \( (0, -1) \) (समीकरण \( 2x - y = 1 \) के लिए) और \( (0, 4) \) (समीकरण \( x + 2y = 8 \) के लिए) पर मिलती हैं।

In simple words: आलेख विधि में, हम दिए गए समीकरणों के लिए बिन्दुओं की सारणी बनाते हैं। फिर इन बिन्दुओं को ग्राफ पर प्लॉट करके सीधी रेखाएँ खींचते हैं। जहाँ ये रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, वही बिन्दु उन समीकरणों का हल होता है। y-अक्ष को जहाँ रेखाएँ काटती हैं, वहाँ \( x \) का मान शून्य होता है।

🎯 Exam Tip: ग्राफ विधि से हल करते समय, बिन्दुओं को सही ढंग से प्लॉट करना और रेखाओं को स्केल के अनुसार खींचना बहुत महत्वपूर्ण है, ताकि आपको सटीक प्रतिच्छेदन बिन्दु मिल सके।