RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 3 बहुपद Exercise 3.5

Ex 3.5

प्रश्न 1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(i) \( (x + 3) (x + 7) \)
(ii) \( (x - 5) (x + 8) \)
(iii) \( (2x + 7) (3x - 5) \)
(iv) \( (5 - 3x) (3 + 2x) \)
(v) \( (x^2 + \frac {3}{5}) (x^2 - \frac { 3 }{5}) \)
(vi) \( (x + 2) (x - 5) \)
Answer:
(i) \( (x + 3) (x + 7) \)
यहां, हम \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( a = 3 \) और \( b = 7 \).
\( (x + 3) (x + 7) = x^2 + (3 + 7)x + (3)(7) \)
\( = x^2 + 10x + 21 \)

(ii) \( (x - 5) (x + 8) \)
यहां, हम \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( a = -5 \) और \( b = 8 \).
\( (x - 5) (x + 8) = x^2 + (-5 + 8)x + (-5)(8) \)
\( = x^2 + 3x - 40 \)

(iii) \( (2x + 7) (3x - 5) \)
यहां, हम \( (ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( a = 2, b = 7, c = 3, d = -5 \).
\( (2x + 7) (3x - 5) = (2)(3)x^2 + ((2)(-5) + (7)(3))x + (7)(-5) \)
\( = 6x^2 + (-10 + 21)x - 35 \)
\( = 6x^2 + 11x - 35 \)

(iv) \( (5 - 3x) (3 + 2x) \)
हम इसे \( (a + bx)(c + dx) \) के रूप में लिख सकते हैं।
\( (5 - 3x) (3 + 2x) = 5(3 + 2x) - 3x(3 + 2x) \)
\( = 15 + 10x - 9x - 6x^2 \)
\( = 15 + x - 6x^2 \)

(v) \( (x^2 + \frac {3}{5}) (x^2 - \frac { 3 }{5}) \)
यहां, हम \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( a = x^2 \) और \( b = \frac{3}{5} \).
\( (x^2 + \frac {3}{5}) (x^2 - \frac { 3 }{5}) = (x^2)^2 - (\frac{3}{5})^2 \)
\( = x^4 - \frac{9}{25} \)

(vi) \( (x + 2) (x - 5) \)
यहां, हम \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( a = 2 \) और \( b = -5 \).
\( (x + 2) (x - 5) = x^2 + (2 + (-5))x + (2)(-5) \)
\( = x^2 + (2 - 5)x - 10 \)
\( = x^2 - 3x - 10 \)
In simple words: गुणनफल निकालने के लिए सही बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करें। यदि \( (x+a)(x+b) \) जैसा कुछ है, तो \( x^2 + (a+b)x + ab \) का उपयोग करें। यदि \( (a+b)(a-b) \) जैसा कुछ है, तो \( a^2 - b^2 \) का उपयोग करें। यह आपकी गणना को सरल बनाता है।

🎯 Exam Tip: सर्वसमिका चुनते समय, पहले दिए गए व्यंजक के स्वरूप को पहचानें। \( (x+a)(x+b) \) या \( (a+b)(a-b) \) जैसी बुनियादी सर्वसमिकाओं को याद रखने से गुणनफल आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

प्रश्न 2. बीजीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(i) \( 104 \times 109 \)
(ii) \( 94 \times 97 \)
(iii) \( 103 \times 97 \)
Answer:
(i) \( 104 \times 109 \)
हम इसे \( (100 + 4)(100 + 9) \) के रूप में लिख सकते हैं।
यहां, हम \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( x = 100, a = 4, b = 9 \).
\( (100 + 4)(100 + 9) = (100)^2 + (4 + 9)(100) + (4)(9) \)
\( = 10000 + (13)(100) + 36 \)
\( = 10000 + 1300 + 36 \)
\( = 11336 \)

(ii) \( 94 \times 97 \)
हम इसे \( (100 - 6)(100 - 3) \) के रूप में लिख सकते हैं।
यहां, हम \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( x = 100, a = -6, b = -3 \).
\( (100 - 6)(100 - 3) = (100)^2 + (-6 + (-3))(100) + (-6)(-3) \)
\( = 10000 + (-9)(100) + 18 \)
\( = 10000 - 900 + 18 \)
\( = 9118 \)

(iii) \( 103 \times 97 \)
हम इसे \( (100 + 3)(100 - 3) \) के रूप में लिख सकते हैं।
यहां, हम \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( a = 100 \) और \( b = 3 \).
\( (100 + 3)(100 - 3) = (100)^2 - (3)^2 \)
\( = 10000 - 9 \)
\( = 9991 \)
In simple words: संख्याओं को 10, 100 या 1000 के करीब सरल हिस्सों में तोड़ें। फिर \( (a+b)(a-b) \) या \( (x+a)(x+b) \) जैसे बीजगणितीय सूत्रों का उपयोग करें। यह बड़ी संख्याओं को गुणा करने में मदद करता है।

🎯 Exam Tip: जब गुणनफल ज्ञात करना हो, तो संख्याओं को ऐसे दो भागों में विभाजित करें जो किसी सर्वसमिका के अनुकूल हों (जैसे \( 100 \pm a \)). इससे मैन्युअल गुणा की तुलना में गणना बहुत आसान हो जाती है।

प्रश्न 3. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनखण्ड कीजिए।
(i) \( x^2 + 6xy + 9y^2 \)
(ii) \( x^2 - 4x + 4 \)
(iii) \( \frac {x^2}{100} - y^2 \)
Answer:
(i) \( x^2 + 6xy + 9y^2 \)
हम इसे \( x^2 + 2(x)(3y) + (3y)^2 \) के रूप में लिख सकते हैं।
यहां, हम \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( a = x \) और \( b = 3y \).
\( x^2 + 2(x)(3y) + (3y)^2 = (x + 3y)^2 \)
\( = (x + 3y)(x + 3y) \)

(ii) \( x^2 - 4x + 4 \)
हम इसे \( x^2 - 2(x)(2) + (2)^2 \) के रूप में लिख सकते हैं।
यहां, हम \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( a = x \) और \( b = 2 \).
\( x^2 - 2(x)(2) + (2)^2 = (x - 2)^2 \)
\( = (x - 2)(x - 2) \)

(iii) \( \frac {x^2}{100} - y^2 \)
हम इसे \( (\frac {x}{10})^2 - (y)^2 \) के रूप में लिख सकते हैं।
यहां, हम \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( a = \frac{x}{10} \) और \( b = y \).
\( (\frac {x}{10})^2 - (y)^2 = (\frac {x}{10} - y)(\frac {x}{10} + y) \)
In simple words: गुणनखण्ड करते समय, दिए गए व्यंजक को एक जानी-मानी बीजगणितीय सर्वसमिका (जैसे \( a^2+2ab+b^2 \), \( a^2-2ab+b^2 \) या \( a^2-b^2 \)) के रूप में ढालने की कोशिश करें। इससे इसे छोटे, गुणा किए गए भागों में तोड़ना आसान हो जाता है।

🎯 Exam Tip: पूर्ण वर्ग त्रिपदों या दो वर्गों के अंतर को पहचानना गुणनखंडन का मुख्य बिंदु है। \( (a+b)^2 \), \( (a-b)^2 \) और \( (a^2-b^2) \) के रूपों को तुरंत पहचानना सीखें।

प्रश्न 4. उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करके निम्नलिखित का विस्तार कीजिए।
(i) \( (2a - 3b - c)^2 \)
(ii) \( (2 + x - 2y)^2 \)
(iii) \( (a + 2b + 4c)^2 \)
(iv) \( (m + 2n - 5p)^2 \)
(v) \( (3a - 7b - c^2)^2 \)
(vi) \( (\frac {x}{y} + \frac {y}{z} + \frac {z}{x})^2 \)
Answer:
हम \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।

(i) \( (2a - 3b - c)^2 \)
यहां, \( a = 2a, b = -3b, c = -c \).
\( (2a - 3b - c)^2 = (2a)^2 + (-3b)^2 + (-c)^2 + 2(2a)(-3b) + 2(-3b)(-c) + 2(-c)(2a) \)
\( = 4a^2 + 9b^2 + c^2 - 12ab + 6bc - 4ca \)

(ii) \( (2 + x - 2y)^2 \)
यहां, \( a = 2, b = x, c = -2y \).
\( (2 + x - 2y)^2 = (2)^2 + (x)^2 + (-2y)^2 + 2(2)(x) + 2(x)(-2y) + 2(-2y)(2) \)
\( = 4 + x^2 + 4y^2 + 4x - 4xy - 8y \)

(iii) \( (a + 2b + 4c)^2 \)
यहां, \( a = a, b = 2b, c = 4c \).
\( (a + 2b + 4c)^2 = (a)^2 + (2b)^2 + (4c)^2 + 2(a)(2b) + 2(2b)(4c) + 2(4c)(a) \)
\( = a^2 + 4b^2 + 16c^2 + 4ab + 16bc + 8ca \)

(iv) \( (m + 2n - 5p)^2 \)
यहां, \( a = m, b = 2n, c = -5p \).
\( (m + 2n - 5p)^2 = (m)^2 + (2n)^2 + (-5p)^2 + 2(m)(2n) + 2(2n)(-5p) + 2(-5p)(m) \)
\( = m^2 + 4n^2 + 25p^2 + 4mn - 20np - 10pm \)

(v) \( (3a - 7b - c^2)^2 \)
यहां, \( a = 3a, b = -7b, c = -c^2 \).
\( (3a - 7b - c^2)^2 = (3a)^2 + (-7b)^2 + (-c^2)^2 + 2(3a)(-7b) + 2(-7b)(-c^2) + 2(-c^2)(3a) \)
\( = 9a^2 + 49b^2 + c^4 - 42ab + 14bc^2 - 6ac^2 \)

(vi) \( (\frac {x}{y} + \frac {y}{z} + \frac {z}{x})^2 \)
यहां, \( a = \frac{x}{y}, b = \frac{y}{z}, c = \frac{z}{x} \).
\( (\frac {x}{y} + \frac {y}{z} + \frac {z}{x})^2 = (\frac {x}{y})^2 + (\frac {y}{z})^2 + (\frac {z}{x})^2 + 2(\frac {x}{y})(\frac {y}{z}) + 2(\frac {y}{z})(\frac {z}{x}) + 2(\frac {z}{x})(\frac {x}{y}) \)
\( = \frac {x^2}{y^2} + \frac {y^2}{z^2} + \frac {z^2}{x^2} + \frac {2x}{z} + \frac {2y}{x} + \frac {2z}{y} \)
In simple words: तीन पदों वाले व्यंजक के वर्ग का विस्तार करने के लिए, \( (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \) सूत्र का उपयोग करें। बस प्रत्येक पद को \( a, b \) और \( c \) के रूप में पहचानें, और सूत्र में मानों को ध्यान से रखें।

🎯 Exam Tip: \( (a+b+c)^2 \) जैसी बहु-पद सर्वसमिकाओं का विस्तार करते समय, प्रत्येक पद को सावधानीपूर्वक लिखें और संकेतों पर विशेष ध्यान दें, खासकर जब नकारात्मक मान हों।

प्रश्न 5. गुणनखण्ड कीजिए-
(i) \( 9x^2 + 4y^2 + 16z^2 - 12xy - 16yz + 24xz \)
(ii) \( x^2 + 2y^2 + 8z^2 + 2\sqrt{2}xy - 8yz - 4\sqrt{2}xz \)
Answer:
यहां, हम \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।

(i) \( 9x^2 + 4y^2 + 16z^2 - 12xy - 16yz + 24xz \)
हम इस व्यंजक को \( (3x)^2 + (-2y)^2 + (4z)^2 + 2(3x)(-2y) + 2(-2y)(4z) + 2(4z)(3x) \) के रूप में लिख सकते हैं।
यह \( (a + b + c)^2 \) का विस्तारित रूप है, जहां \( a = 3x, b = -2y \) और \( c = 4z \).
तो, गुणनखण्ड रूप है \( (3x - 2y + 4z)^2 \).

(ii) \( x^2 + 2y^2 + 8z^2 + 2\sqrt{2}xy - 8yz - 4\sqrt{2}xz \)
हम इस व्यंजक को \( (x)^2 + (\sqrt{2}y)^2 + (-2\sqrt{2}z)^2 + 2(x)(\sqrt{2}y) + 2(\sqrt{2}y)(-2\sqrt{2}z) + 2(-2\sqrt{2}z)(x) \) के रूप में लिख सकते हैं।
यह \( (a + b + c)^2 \) का विस्तारित रूप है, जहां \( a = x, b = \sqrt{2}y \) और \( c = -2\sqrt{2}z \).
तो, गुणनखण्ड रूप है \( (x + \sqrt{2}y - 2\sqrt{2}z)^2 \).
In simple words: गुणनखण्ड करते समय, दिए गए व्यंजक को \( a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \) जैसे विस्तारित रूप के रूप में पहचानें। फिर, प्रत्येक पद \( a, b, c \) को ढूंढें, जिसमें नकारात्मक मानों को ध्यान में रखा जाए, ताकि आप इसे \( (a+b+c)^2 \) के रूप में लिख सकें।

🎯 Exam Tip: \( (a+b+c)^2 \) रूप में गुणनखण्ड करते समय, वर्गों (जैसे \( 9x^2 = (3x)^2 \)) और दोगुने उत्पादों (जैसे \( -12xy = 2(3x)(-2y) \)) के संकेतों पर ध्यान दें ताकि \( a, b, c \) के सही संकेत निर्धारित किए जा सकें।

प्रश्न 6. निम्न घनों का विस्तार कीजिए-
(i) \( (3a - 2b)^3 \)
(ii) \( (1 + 2x)^3 \)
(iii) \( (\frac{2}{5}x + 3)^3 \)
(iv) \( (x - \frac{2}{3}y)^3 \)
Answer:
(i) \( (3a - 2b)^3 \)
यहां, हम \( (x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y) \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( x = 3a \) और \( y = 2b \).
\( (3a - 2b)^3 = (3a)^3 - (2b)^3 - 3(3a)(2b)(3a - 2b) \)
\( = 27a^3 - 8b^3 - 18ab(3a - 2b) \)
\( = 27a^3 - 8b^3 - 54a^2b + 36ab^2 \)

(ii) \( (1 + 2x)^3 \)
यहां, हम \( (x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y) \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( x = 1 \) और \( y = 2x \).
\( (1 + 2x)^3 = (1)^3 + (2x)^3 + 3(1)(2x)(1 + 2x) \)
\( = 1 + 8x^3 + 6x(1 + 2x) \)
\( = 1 + 8x^3 + 6x + 12x^2 \)

(iii) \( (\frac{2}{5}x + 3)^3 \)
यहां, हम \( (x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y) \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( x = \frac{2}{5}x \) और \( y = 3 \).
\( (\frac{2}{5}x + 3)^3 = (\frac{2}{5}x)^3 + (3)^3 + 3(\frac{2}{5}x)(3)(\frac{2}{5}x + 3) \)
\( = \frac{8}{125}x^3 + 27 + \frac{18}{5}x(\frac{2}{5}x + 3) \)
\( = \frac{8}{125}x^3 + 27 + \frac{36}{25}x^2 + \frac{54}{5}x \)

(iv) \( (x - \frac{2}{3}y)^3 \)
यहां, हम \( (x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y) \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( x = x \) और \( y = \frac{2}{3}y \).
\( (x - \frac{2}{3}y)^3 = (x)^3 - (\frac{2}{3}y)^3 - 3(x)(\frac{2}{3}y)(x - \frac{2}{3}y) \)
\( = x^3 - \frac{8}{27}y^3 - 2xy(x - \frac{2}{3}y) \)
\( = x^3 - \frac{8}{27}y^3 - 2x^2y + \frac{4}{3}xy^2 \)
In simple words: घन का विस्तार करने के लिए, \( (a+b)^3 \) या \( (a-b)^3 \) के लिए सही सूत्र का उपयोग करें। इसमें \( a^3, b^3, \) और \( 3ab(a \pm b) \) पद शामिल होते हैं। सुनिश्चित करें कि आप सभी शर्तों को गुणा करें और संकेतों का सही उपयोग करें।

🎯 Exam Tip: घन का विस्तार करते समय \( (a \pm b)^3 \) सर्वसमिकाओं में \( 3ab(a \pm b) \) पद का ध्यान रखें। इस पद का आगे विस्तार करना और सभी समान पदों को जोड़ना सुनिश्चित करें।

प्रश्न 8. गुणनखण्ड कीजिए
(i) \( x^3 + 8y^3 + 6x^2y + 12xy^2 \)
(ii) \( 27a^3 - 8b^3 - 54a^2b + 36ab^2 \)
(iii) \( 27 - 125x^3 - 135x + 225x^2 \)
(iv) \( 125x^3 - 64y^3 - 300x^2y + 240xy^2 \)
Answer:
(i) \( x^3 + 8y^3 + 6x^2y + 12xy^2 \)
हम इस व्यंजक को \( (x)^3 + (2y)^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2 \) के रूप में लिख सकते हैं।
यह \( (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 \) सर्वसमिका का विस्तारित रूप है।
यहां, \( a = x \) और \( b = 2y \).
तो, गुणनखण्ड रूप है \( (x + 2y)^3 \).

(ii) \( 27a^3 - 8b^3 - 54a^2b + 36ab^2 \)
हम इस व्यंजक को \( (3a)^3 - (2b)^3 - 3(3a)^2(2b) + 3(3a)(2b)^2 \) के रूप में लिख सकते हैं।
यह \( (a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2 \) सर्वसमिका का विस्तारित रूप है।
यहां, \( a = 3a \) और \( b = 2b \).
तो, गुणनखण्ड रूप है \( (3a - 2b)^3 \).

(iii) \( 27 - 125x^3 - 135x + 225x^2 \)
हम इस व्यंजक को \( (3)^3 - (5x)^3 - 3(3)^2(5x) + 3(3)(5x)^2 \) के रूप में लिख सकते हैं।
यह \( (a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2 \) सर्वसमिका का विस्तारित रूप है।
यहां, \( a = 3 \) और \( b = 5x \).
तो, गुणनखण्ड रूप है \( (3 - 5x)^3 \).

(iv) \( 125x^3 - 64y^3 - 300x^2y + 240xy^2 \)
हम इस व्यंजक को \( (5x)^3 - (4y)^3 - 3(5x)^2(4y) + 3(5x)(4y)^2 \) के रूप में लिख सकते हैं।
यह \( (a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2 \) सर्वसमिका का विस्तारित रूप है।
यहां, \( a = 5x \) और \( b = 4y \).
तो, गुणनखण्ड रूप है \( (5x - 4y)^3 \).
In simple words: घनों के योग या अंतर का गुणनखण्ड करते समय, दिए गए व्यंजक को \( (a+b)^3 \) या \( (a-b)^3 \) के विस्तारित रूप के रूप में पहचानें। यह आपको \( a \) और \( b \) के मानों को निर्धारित करने में मदद करेगा, जिससे आप इसे संक्षेपित घन रूप में लिख सकें।

🎯 Exam Tip: घन का गुणनखण्ड करते समय, \( a^3 \), \( b^3 \), \( 3a^2b \), और \( 3ab^2 \) पदों को ध्यान से देखें। प्रत्येक पद के संकेत आपको \( (a+b)^3 \) या \( (a-b)^3 \) के बीच चयन करने में मदद करेंगे।

प्रश्न 9. गुणनखण्ड कीजिए
(i) \( 64a^3 + 27b^3 \)
(ii) \( 125x^3 - 8y^3 \)
Answer:
(i) \( 64a^3 + 27b^3 \)
हम इसे \( (4a)^3 + (3b)^3 \) के रूप में लिख सकते हैं।
यहां, हम \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( x = 4a \) और \( y = 3b \).
\( (4a)^3 + (3b)^3 = (4a + 3b)((4a)^2 - (4a)(3b) + (3b)^2) \)
\( = (4a + 3b)(16a^2 - 12ab + 9b^2) \)

(ii) \( 125x^3 - 8y^3 \)
हम इसे \( (5x)^3 - (2y)^3 \) के रूप में लिख सकते हैं।
यहां, हम \( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( x = 5x \) और \( y = 2y \).
\( (5x)^3 - (2y)^3 = (5x - 2y)((5x)^2 + (5x)(2y) + (2y)^2) \)
\( = (5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2) \)
In simple words: घनों के योग या अंतर का गुणनखण्ड करते समय, पहले प्रत्येक पद को घन के रूप में लिखें (जैसे \( 64a^3 = (4a)^3 \))। फिर, \( a^3+b^3 \) या \( a^3-b^3 \) के लिए उपयुक्त सूत्र लागू करें।

🎯 Exam Tip: घन के योग \( (a^3+b^3) \) और घन के अंतर \( (a^3-b^3) \) के गुणनखण्ड सूत्रों को भ्रमित न करें। संकेतों पर विशेष ध्यान दें, खासकर \( (x^2 \mp xy + y^2) \) भाग में।

प्रश्न 11. यदि \( x + y + z = 0 \) हो तो सत्यापित कीजिए कि \( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \)
Answer:
दिया है, \( x + y + z = 0 \).
हम \( x + y = -z \) लिख सकते हैं।
दोनों तरफ घन करने पर:
\( (x + y)^3 = (-z)^3 \)
\( x^3 + y^3 + 3xy(x + y) = -z^3 \)
अब, समीकरण में \( x + y = -z \) प्रतिस्थापित करें:
\( x^3 + y^3 + 3xy(-z) = -z^3 \)
\( x^3 + y^3 - 3xyz = -z^3 \)
\( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \)
यह सिद्ध होता है। यह एक महत्वपूर्ण बीजगणितीय सर्वसमिका है जिसका उपयोग तब किया जाता है जब तीन संख्याओं का योग शून्य होता है।
In simple words: यदि तीन संख्याओं को जोड़ने पर शून्य मिलता है, तो उन संख्याओं के घनों का योग उन संख्याओं के गुणनफल के तीन गुना के बराबर होता है। इसे सिद्ध करने के लिए, आप \( (x+y)^3 \) का विस्तार कर सकते हैं और \( x+y \) को \( -z \) से बदल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: जब भी \( x+y+z=0 \) स्थिति दी गई हो, तो हमेशा याद रखें कि \( x^3+y^3+z^3 = 3xyz \) सर्वसमिका को सीधे लागू किया जा सकता है। यह कई समस्याओं को हल करने के लिए एक त्वरित shortcut है।

प्रश्न 12. उपयुक्त बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए गणना कीजिए-
(i) \( (30)^3 + (20)^3 + (-50)^3 \)
(ii) \( (-15)^3 + (28)^3 + (-13)^3 \)
संकेत : सर्वसमिका का प्रयोग करें, यदि \( x + y + z = 0 \) हो तो \( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \)
Answer:
(i) \( (30)^3 + (20)^3 + (-50)^3 \)
यहां, \( x = 30, y = 20, z = -50 \).
पहले, जांच करें कि क्या \( x + y + z = 0 \) है:
\( 30 + 20 + (-50) = 50 - 50 = 0 \)
चूंकि \( x + y + z = 0 \) है, हम सर्वसमिका \( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \) का उपयोग कर सकते हैं।
\( (30)^3 + (20)^3 + (-50)^3 = 3 \times (30) \times (20) \times (-50) \)
\( = 3 \times 600 \times (-50) \)
\( = 1800 \times (-50) \)
\( = -90000 \)

(ii) \( (-15)^3 + (28)^3 + (-13)^3 \)
यहां, \( x = -15, y = 28, z = -13 \).
पहले, जांच करें कि क्या \( x + y + z = 0 \) है:
\( -15 + 28 + (-13) = -15 - 13 + 28 = -28 + 28 = 0 \)
चूंकि \( x + y + z = 0 \) है, हम सर्वसमिका \( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \) का उपयोग कर सकते हैं।
\( (-15)^3 + (28)^3 + (-13)^3 = 3 \times (-15) \times (28) \times (-13) \)
\( = 3 \times (-15 \times 28) \times (-13) \)
\( = 3 \times (-420) \times (-13) \)
\( = -1260 \times (-13) \)
\( = 16380 \)
In simple words: इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए, पहले जांचें कि क्या सभी तीन संख्याओं का योग शून्य है। यदि ऐसा है, तो आप बस उन तीन संख्याओं को गुणा करके और फिर तीन से गुणा करके उनके घनों का योग पा सकते हैं। यह बहुत सारे जटिल गणना कार्य को बचाता है।

🎯 Exam Tip: घन के बड़े योगों की गणना करते समय, \( x+y+z=0 \Rightarrow x^3+y^3+z^3 = 3xyz \) की स्थिति की जांच करना महत्वपूर्ण है। यदि स्थिति लागू होती है, तो यह लंबी घन गणना को सरल गुणन में बदल देता है।