RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 3 बहुपद More Ques

Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

Question 1. बहुपद p(x) = \( 5x^2 – 3x + 7 \) में x = 1 रखने पर बहुपद का मान होगा:
(a) 9
(b) 11
(c) 12
(d) 3
Answer: (a) 9
In simple words: जब हम बहुपद \( p(x) = 5x^2 - 3x + 7 \) में x की जगह 1 रखते हैं, तो हमें 9 मिलता है।

🎯 Exam Tip: किसी बहुपद का मान निकालने के लिए, दिए गए मान को चर (variable) की जगह सही से रखें और फिर गणना करें।

Question 2. p(x) = 2x + 1 का एक शून्यक होगा:
(a) \( \frac {1}{2} \)
(b) 3
(c) \( \frac {-1}{2} \)
(d) 1
Answer: (c) \( \frac {-1}{2} \)
In simple words: बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसे चर में रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है. \( x = -\frac{1}{2} \) रखने पर, \( 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = -1 + 1 = 0 \) होता है।

🎯 Exam Tip: किसी बहुपद का शून्यक निकालने के लिए, बहुपद को शून्य के बराबर रखें और चर का मान हल करें।

Question 3. \( x^4 + x^3 – 2x^2 + x + 1 \) को \( x - 1 \) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल होगाः
(a) 0
(b) 2
(c) 1
(d) -2
Answer: (b) 2
In simple words: शेषफल प्रमेय का उपयोग करके, \( P(x) = x^4 + x^3 - 2x^2 + x + 1 \) में \( x=1 \) रखने पर, हमें \( P(1) = 1+1-2+1+1 = 2 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: शेषफल प्रमेय कहता है कि यदि एक बहुपद \( P(x) \) को \( (x-a) \) से भाग दिया जाता है, तो शेषफल \( P(a) \) होता है।

Question 4. व्यंजक \( (x - 3) \) बहुपद \( p(x) = x^3 + x^2 – 17x + 15 \) का गुणनखण्ड होगा, यदिः
(a) \( p (3) = 0 \)
(b) \( p(-3) = 0 \)
(c) \( p(-3) = 3 \)
(d) \( p(-3) = -3 \)
Answer: (a) \( p (3) = 0 \)
In simple words: गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार, \( (x-a) \) किसी बहुपद \( p(x) \) का गुणनखण्ड तब होता है जब \( p(a) = 0 \) हो। इस मामले में, \( a = 3 \) है।

🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड प्रमेय को हमेशा याद रखें: \( (x-a) \) गुणनखण्ड है यदि \( p(a)=0 \)।

Question 6. \( x^4 + 8x \) का एक गुणनखण्ड है:
(a) \( x + 2 \)
(b) \( x - 2 \)
(c) \( x^2 + 8 \)
(d) \( x^2 + 2x + 2 \)
Answer: (a) \( x + 2 \)
In simple words: हम \( x^4 + 8x \) को \( x(x^3 + 8) \) लिख सकते हैं। फिर, \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \) सूत्र का उपयोग करके, \( x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4) \) होता है। इस तरह, \( x+2 \) एक गुणनखण्ड है।

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय सर्वसमिकाओं जैसे \( a^3+b^3 \) और \( a^3-b^3 \) को याद रखना गुणनखण्ड करने में बहुत मददगार होता है।

Question 7. \( x^3 – 8 \) का एक गुणनखण्ड है:
(a) \( x + 2 \)
(b) \( x - 4 \)
(c) \( x^2 + 2x + 4 \)
(d) \( x^2 - 2x - 4 \)
Answer: (c) \( x^2 + 2x + 4 \)
In simple words: हम \( x^3 - 8 \) को \( x^3 - 2^3 \) लिख सकते हैं। यह \( a^3 - b^3 \) के रूप में है, जिसका सूत्र \( (a-b)(a^2+ab+b^2) \) है। इसलिए, \( x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2+2x+4) \) होता है।

🎯 Exam Tip: \( a^3 - b^3 \) सर्वसमिका को ध्यान से लागू करें: \( (a-b)(a^2+ab+b^2) \)। चिन्हों का सही होना महत्वपूर्ण है।

Question 8. \( 3y^3 + 8y^2 - 1 \) का पूर्णांक शून्य है:
(a) 1
(b) -1
(c) 0
(d) विद्यमान नहीं
Answer: (d) विद्यमान नहीं
In simple words: यदि हम विकल्पों में दिए गए पूर्णांक मानों (1, -1, 0) को बहुपद में रखते हैं, तो किसी भी मान के लिए बहुपद का मान शून्य नहीं होता है। इसका मतलब है कि इनमें से कोई भी पूर्णांक इसका शून्यक नहीं है।

🎯 Exam Tip: पूर्णांक शून्यकों के लिए, आप बहुपद में पूर्णांक मानों को रखकर परीक्षण कर सकते हैं। यदि कोई काम नहीं करता है, तो इसका मतलब है कि इसका कोई पूर्णांक शून्यक नहीं है।

उत्तरमाला

1. (A)
2. (C)
3. (B)
4. (A)
5. (D)
6. (A)

अतिलघूतटीय/लघूत्तरीय प्रश्नोत्तर

Question 1. सत्यापित कीजिए कि 2 और 0 बहुपद \( x^2 – 2x \) के शून्यक हैं।
Answer: सबसे पहले, हम बहुपद को \( p(x) = x^2 - 2x \) मान लेते हैं। अब हमें यह देखना है कि क्या \( x=2 \) और \( x=0 \) रखने पर बहुपद का मान शून्य होता है।
जब \( x=2 \) रखते हैं:
\( p(2) = (2)^2 - 2(2) \)
\( p(2) = 4 - 4 \)
\( p(2) = 0 \)

जब \( x=0 \) रखते हैं:
\( p(0) = (0)^2 - 2(0) \)
\( p(0) = 0 - 0 \)
\( p(0) = 0 \)
चूंकि \( p(2) = 0 \) और \( p(0) = 0 \) है, इसलिए 2 और 0 दोनों ही बहुपद \( x^2 - 2x \) के शून्यक हैं। एक बहुपद के शून्यक वे मान होते हैं जो उसे शून्य के बराबर कर देते हैं।
In simple words: बहुपद \( x^2 - 2x \) में x की जगह 2 या 0 रखने पर, बहुपद का मान 0 हो जाता है। इसलिए, 2 और 0 इस बहुपद के शून्यक हैं।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या को बहुपद का शून्यक साबित करने के लिए, उस संख्या को चर के स्थान पर रखें और दिखाएं कि अंतिम मान शून्य आता है।

Question 2. जाँच कीजिए कि बहुपद \( q (t) = 4t^3 + 4t^2 - t - 1 \), \( (2t + 1) \) का एक गुणज है।
Answer: एक बहुपद दूसरे बहुपद का गुणज तभी होता है जब उसे भाग देने पर शेषफल शून्य आए। हम शेषफल प्रमेय का उपयोग करेंगे।
पहले \( (2t+1) \) का शून्यक ज्ञात करते हैं:
\( 2t + 1 = 0 \)
\( 2t = -1 \)
\( t = -\frac{1}{2} \)

अब इस मान को बहुपद \( q(t) \) में रखते हैं:
\( q\left(-\frac{1}{2}\right) = 4\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) - 1 \)
\( q\left(-\frac{1}{2}\right) = 4\left(-\frac{1}{8}\right) + 4\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2} - 1 \)
\( q\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{8} + \frac{4}{4} + \frac{1}{2} - 1 \)
\( q\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} - 1 \)
\( q\left(-\frac{1}{2}\right) = 0 \)
चूंकि शेषफल शून्य है, इसलिए \( (2t+1) \) बहुपद \( q(t) \) का एक गुणज है। यह दर्शाता है कि \( (2t+1) \) बहुपद \( q(t) \) को पूरी तरह से विभाजित करता है।
In simple words: \( (2t+1) \) का शून्यक \( t = -\frac{1}{2} \) है। इस मान को \( q(t) \) में रखने पर, उत्तर 0 आता है। इसका मतलब है कि \( q(t) \) को \( (2t+1) \) से भाग देने पर कोई शेषफल नहीं बचता, तो यह उसका गुणज है।

🎯 Exam Tip: गुणज की जाँच करने के लिए, भाजक का शून्यक ज्ञात करें और उसे बहुपद में रखें। यदि परिणाम शून्य आता है, तो वह गुणज है।

Question 3. सिद्ध कीजिए कि 5 बहुपद \( 2x^3 - 7x^2 – 16x + 5 \) का शून्यक है।
Answer: हम बहुपद को \( p(x) = 2x^3 - 7x^2 - 16x + 5 \) मान लेते हैं। हमें यह सिद्ध करना है कि 5 इसका शून्यक है, जिसका अर्थ है कि \( x=5 \) रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाएगा।
बहुपद में \( x = 5 \) रखने पर:
\( p(5) = 2(5)^3 - 7(5)^2 - 16(5) + 5 \)
\( p(5) = 2(125) - 7(25) - 80 + 5 \)
\( p(5) = 250 - 175 - 80 + 5 \)
\( p(5) = 255 - 255 \)
\( p(5) = 0 \)
चूंकि \( p(5) = 0 \) है, इसलिए 5 बहुपद \( 2x^3 - 7x^2 - 16x + 5 \) का एक शून्यक है। एक शून्यक वह मूल्य है जो बहुपद को शून्य बना देता है।
In simple words: बहुपद \( 2x^3 - 7x^2 - 16x + 5 \) में x की जगह 5 रखने पर, पूरे बहुपद का मान 0 हो जाता है। इसलिए 5 इस बहुपद का शून्यक है।

🎯 Exam Tip: शून्यक सिद्ध करने के लिए, दिए गए मान को बहुपद में सीधे सब्स्टीट्यूट करें और दिखाएं कि अंत में शून्य आता है।

Question 4. a के किस मान के लिए बहुपद \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 3ax - 8 \) में व्यंजक \( (x - 4) \) का पूरा-पूरा भाग जाता है?
Answer: यदि व्यंजक \( (x-4) \) बहुपद \( f(x) \) का पूरा-पूरा भाग देता है, तो शेषफल प्रमेय के अनुसार \( f(4) = 0 \) होना चाहिए।
बहुपद \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 3ax - 8 \) है।
अब \( x = 4 \) रखने पर:
\( f(4) = (4)^3 + 2(4)^2 - 3a(4) - 8 \)
\( f(4) = 64 + 2(16) - 12a - 8 \)
\( f(4) = 64 + 32 - 12a - 8 \)
\( f(4) = 96 - 12a - 8 \)
\( f(4) = 88 - 12a \)
चूंकि \( (x-4) \) बहुपद का एक गुणनखण्ड है, तो शेषफल शून्य होगा:
\( 88 - 12a = 0 \)
\( 12a = 88 \)
\( a = \frac{88}{12} \)
\( a = \frac{22}{3} \)
अतः \( a = \frac{22}{3} \) के लिए, \( (x-4) \) बहुपद \( f(x) \) को पूरी तरह से विभाजित करता है। यह \( a \) का मान है जो बहुपद को विभाजित करने की अनुमति देता है।
In simple words: यदि \( (x-4) \) बहुपद को पूरा बांटता है, तो \( x=4 \) रखने पर बहुपद का मान 0 आना चाहिए। \( x=4 \) रखकर हल करने पर, हमें \( a = \frac{22}{3} \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: जब कोई व्यंजक बहुपद को पूरा-पूरा विभाजित करता है, तो शेषफल प्रमेय का उपयोग करें और शेषफल को शून्य के बराबर रखें।

Question 5. यदि \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 48 \) हो, तब \( \left(x+\frac{1}{x}\right) \) का मान ज्ञात करो।
Answer: हम जानते हैं कि \( \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 \) का सूत्र \( x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \) होता है।
इसे सरल करने पर: \( \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \)
हमें दिया गया है कि \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 48 \)। इस मान को सूत्र में रखते हैं:
\( \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = 48 + 2 \)
\( \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = 50 \)
अब दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर:
\( x+\frac{1}{x} = \sqrt{50} \)
\( x+\frac{1}{x} = \sqrt{25 \times 2} \)
\( x+\frac{1}{x} = 5\sqrt{2} \)
इस प्रकार, \( x+\frac{1}{x} \) का मान \( 5\sqrt{2} \) है। यह बीजगणितीय सर्वसमिका का एक सीधा अनुप्रयोग है।
In simple words: हम जानते हैं कि \( \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \) होता है। दिए गए मान \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 48 \) को इसमें रखने पर, \( \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = 50 \) आता है। इसका वर्गमूल लेने पर, \( x+\frac{1}{x} = 5\sqrt{2} \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab \) और \( (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab \) जैसी सर्वसमिकाओं को याद रखें, क्योंकि ये ऐसे प्रश्नों को हल करने में बहुत काम आती हैं।

Question 6. यदि \( x^3 + a^3 \) में \( x + a \) का भाग दिया जाए, तो शेषफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हम शेषफल प्रमेय का उपयोग करके शेषफल ज्ञात कर सकते हैं। भाजक \( (x+a) \) का शून्यक ज्ञात करने के लिए, इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
\( x + a = 0 \)
\( x = -a \)

अब, भाज्य बहुपद \( p(x) = x^3 + a^3 \) में \( x \) की जगह \( -a \) रखते हैं:
\( p(-a) = (-a)^3 + a^3 \)
\( p(-a) = -a^3 + a^3 \)
\( p(-a) = 0 \)
चूंकि शेषफल 0 है, इसका मतलब है कि \( x+a \) बहुपद \( x^3+a^3 \) का एक गुणनखण्ड है। यह एक महत्वपूर्ण बीजगणितीय सर्वसमिका का परिणाम भी है।
यहां भाग देने की प्रक्रिया भी नीचे दिखाई गई है:

🎯 Exam Tip: शेषफल प्रमेय का उपयोग करके भागफल और शेषफल के प्रश्नों को जल्दी हल किया जा सकता है, विशेषकर जब शेषफल शून्य आए।

Question 7. \( (2x + 3)^3 + (3x - 2)^3 - (5x + 1)^3 \) के गुणनखण्ड कीजिए।
Answer: हम एक विशेष बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करेंगे: यदि \( a+b+c=0 \) हो, तो \( a^3+b^3+c^3 = 3abc \) होता है।
यहां, मान लीजिए:
\( a = 2x+3 \)
\( b = 3x-2 \)
\( c = -(5x+1) \)

अब \( a+b+c \) का योग ज्ञात करते हैं:
\( a+b+c = (2x+3) + (3x-2) + (-(5x+1)) \)
\( a+b+c = 2x+3 + 3x-2 - 5x-1 \)
\( a+b+c = (2x+3x-5x) + (3-2-1) \)
\( a+b+c = 0x + 0 \)
\( a+b+c = 0 \)

चूंकि \( a+b+c=0 \) है, हम सर्वसमिका \( a^3+b^3+c^3 = 3abc \) का उपयोग कर सकते हैं।
इसलिए, \( (2x+3)^3 + (3x-2)^3 + (-(5x+1))^3 = 3(2x+3)(3x-2)(-(5x+1)) \)
\( (2x+3)^3 + (3x-2)^3 - (5x+1)^3 = -3(2x+3)(3x-2)(5x+1) \)
तो, गुणनखण्ड \( -3(2x+3)(3x-2)(5x+1) \) हैं। यह सर्वसमिका बहुपद को सरल बनाने में बहुत उपयोगी होती है।
In simple words: हम \( a = 2x+3 \), \( b = 3x-2 \) और \( c = -(5x+1) \) मानते हैं। जब इन तीनों को जोड़ते हैं, तो योग 0 आता है। इस विशेष स्थिति में, \( a^3+b^3+c^3 = 3abc \) होता है। इसलिए, उत्तर \( -3(2x+3)(3x-2)(5x+1) \) है।

🎯 Exam Tip: जब आप \( a^3+b^3+c^3 \) के गुणनखण्ड करने वाले प्रश्न देखें, तो पहले \( a+b+c \) का योग देखें। यदि यह 0 है, तो आप सीधे \( 3abc \) सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं।

Question 8. सिद्ध करो कि \( x^2 + 6x + 15 \) का कोई शून्य नहीं होता।
Answer: हम बहुपद \( f(x) = x^2 + 6x + 15 \) को पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करके लिखते हैं।
\( f(x) = x^2 + 2(3)x + 3^2 - 3^2 + 15 \)
\( f(x) = (x+3)^2 - 9 + 15 \)
\( f(x) = (x+3)^2 + 6 \)
यहां हम देखते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या \( x \) के लिए, \( (x+3)^2 \) का मान हमेशा शून्य या धनात्मक होगा (अर्थात \( (x+3)^2 \geq 0 \))। एक वर्ग संख्या कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
इसलिए, \( (x+3)^2 + 6 \) का न्यूनतम मान \( 0 + 6 = 6 \) होगा।
परिणामस्वरूप, \( f(x) \) का मान हमेशा 6 या 6 से अधिक होगा।
चूंकि \( f(x) \) का मान कभी भी शून्य नहीं हो सकता, इसलिए बहुपद \( x^2 + 6x + 15 \) का कोई वास्तविक शून्यक विद्यमान नहीं है।
In simple words: हम बहुपद \( x^2 + 6x + 15 \) को \( (x+3)^2 + 6 \) के रूप में लिख सकते हैं। क्योंकि किसी भी संख्या का वर्ग हमेशा शून्य या धनात्मक होता है, तो \( (x+3)^2 \) हमेशा 0 या उससे बड़ा होगा। इसमें 6 जोड़ने पर, कुल मान हमेशा 6 या उससे अधिक होगा। इसलिए, यह कभी भी 0 के बराबर नहीं हो सकता, जिसका मतलब है कि इसका कोई शून्यक नहीं है।

🎯 Exam Tip: किसी द्विघात बहुपद का कोई वास्तविक शून्यक नहीं होता, यह साबित करने के लिए उसे पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें और दिखाएं कि उसका न्यूनतम मान शून्य से बड़ा है।

Question 9. गुणनखण्ड कीजिए।
(i) \( x^3 – 64 \)
(ii) \( (2x – 1)^3 – (x – 1)^3 \)
Answer:
(i) \( x^3 – 64 \)
यह \( a^3 - b^3 \) के रूप में है, जहां \( a=x \) और \( b=4 \) है (क्योंकि \( 64 = 4^3 \))।
सूत्र \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) का उपयोग करने पर:
\( x^3 - 4^3 = (x-4)(x^2 + x \cdot 4 + 4^2) \)
\( x^3 - 64 = (x-4)(x^2 + 4x + 16) \)

(ii) \( (2x – 1)^3 – (x – 1)^3 \)
यह भी \( a^3 - b^3 \) के रूप में है, जहां \( a = (2x-1) \) और \( b = (x-1) \) है।
सूत्र \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) का उपयोग करने पर:
\( a-b = (2x-1) - (x-1) = 2x-1-x+1 = x \)
\( a^2 = (2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 \)
\( b^2 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 \)
\( ab = (2x-1)(x-1) = 2x^2 - 2x - x + 1 = 2x^2 - 3x + 1 \)

अब इन मानों को सूत्र में रखते हैं:
\( (2x-1)^3 - (x-1)^3 = [ (2x-1) - (x-1) ] [ (2x-1)^2 + (2x-1)(x-1) + (x-1)^2 ] \)
\( = [x] [ (4x^2-4x+1) + (2x^2-3x+1) + (x^2-2x+1) ] \)
\( = x [ 4x^2+2x^2+x^2 - 4x-3x-2x + 1+1+1 ] \)
\( = x [ 7x^2 - 9x + 3 ] \)
इस प्रकार, \( (2x-1)^3 - (x-1)^3 = x(7x^2 - 9x + 3) \)
ये गुणनखण्ड बहुपद को छोटे, सरल भागों में तोड़ने में मदद करते हैं।
In simple words: (i) \( x^3 - 64 \) को \( x^3 - 4^3 \) लिख सकते हैं। \( a^3 - b^3 \) सूत्र का उपयोग करने पर, यह \( (x-4)(x^2+4x+16) \) बन जाता है। (ii) \( (2x-1)^3 - (x-1)^3 \) भी \( a^3 - b^3 \) के रूप में है। सूत्रों का उपयोग करके इसे \( x(7x^2 - 9x + 3) \) के रूप में सरल किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: \( a^3-b^3 \) और \( a^3+b^3 \) जैसी घन सर्वसमिकाएं गुणनखण्ड के लिए महत्वपूर्ण हैं। हर पद को ध्यान से पहचानें और सूत्र में रखें।

Question 10. \( (3a + 4b + 5c)^2 \) को प्रसारित रूप में लिखिए।
Answer: हम \( (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( x = 3a \), \( y = 4b \) और \( z = 5c \) है।
मानों को सूत्र में रखने पर:
\( (3a+4b+5c)^2 = (3a)^2 + (4b)^2 + (5c)^2 + 2(3a)(4b) + 2(4b)(5c) + 2(5c)(3a) \)
\( = 9a^2 + 16b^2 + 25c^2 + 24ab + 40bc + 30ac \)
यह बहुपद का प्रसारित रूप है, जिसमें सभी पद अलग-अलग दर्शाए गए हैं। त्रिपदी का वर्ग करने के लिए यह एक मानक तरीका है।
In simple words: \( (3a + 4b + 5c)^2 \) को खोलने के लिए, हम \( (x+y+z)^2 \) का सूत्र इस्तेमाल करते हैं। इससे हमें \( 9a^2 + 16b^2 + 25c^2 + 24ab + 40bc + 30ac \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( (x+y+z)^2 \) जैसी सर्वसमिकाओं को याद रखें। प्रत्येक पद को सही ढंग से वर्ग करें और फिर सभी संभव दो-पद गुणनफल (2xy, 2yz, 2zx) को जोड़ें।

Question 11. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके, निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए-
(i) \( (104)^3 \)
(ii) \( (999)^3 \)
Answer:
(i) \( (104)^3 \)
हम इसे \( (100+4)^3 \) के रूप में लिख सकते हैं। अब \( (x+y)^3 = x^3+y^3+3xy(x+y) \) सर्वसमिका का उपयोग करते हैं, जहाँ \( x=100 \) और \( y=4 \) है।
\( (100+4)^3 = (100)^3 + (4)^3 + 3(100)(4)(100+4) \)
\( = 1000000 + 64 + 1200(104) \)
\( = 1000000 + 64 + 124800 \)
\( = 1124864 \)

(ii) \( (999)^3 \)
हम इसे \( (1000-1)^3 \) के रूप में लिख सकते हैं। अब \( (x-y)^3 = x^3-y^3-3xy(x-y) \) सर्वसमिका का उपयोग करते हैं, जहाँ \( x=1000 \) और \( y=1 \) है।
\( (1000-1)^3 = (1000)^3 - (1)^3 - 3(1000)(1)(1000-1) \)
\( = 1000000000 - 1 - 3000(999) \)
\( = 1000000000 - 1 - 2997000 \)
\( = 997002999 \)
सर्वसमिकाओं का उपयोग करके बड़ी संख्याओं की गणना को सरल बनाया जा सकता है।
In simple words: (i) \( (104)^3 \) को \( (100+4)^3 \) के रूप में लिखते हैं। \( (x+y)^3 \) सूत्र लगाने पर, इसका मान 1124864 आता है। (ii) \( (999)^3 \) को \( (1000-1)^3 \) के रूप में लिखते हैं। \( (x-y)^3 \) सूत्र लगाने पर, इसका मान 997002999 आता है।

🎯 Exam Tip: \( (a+b)^3 \) और \( (a-b)^3 \) जैसी सर्वसमिकाओं का उपयोग करके बड़ी संख्याओं के घनों की गणना करना सीखें। गणना को सरल बनाने के लिए संख्याओं को 10, 100, 1000 के पास के मानों में तोड़ें।

Question 12. \( 8x^3 + 27y^3 + 36x^2y + 54xy^2 \) के गुणनखण्ड कीजिए।
Answer: दिए गए व्यंजक को ध्यान से देखें। यह \( (a+b)^3 \) सर्वसमिका के रूप में हो सकता है, जिसका सूत्र है \( a^3+b^3+3a^2b+3ab^2 \)।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिखते हैं:
\( 8x^3 + 27y^3 + 36x^2y + 54xy^2 \)
\( = (2x)^3 + (3y)^3 + 3(4x^2)(3y) + 3(2x)(9y^2) \)
\( = (2x)^3 + (3y)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 \)
यह \( (a+b)^3 \) के सूत्र जैसा है, जहां \( a = 2x \) और \( b = 3y \) है।
इसलिए, व्यंजक को इस प्रकार गुणनखण्डित किया जा सकता है:
\( = (2x+3y)^3 \)
इसे विस्तारित रूप में भी लिखा जा सकता है:
\( = (2x+3y)(2x+3y)(2x+3y) \)
यह एक पूर्ण घन है, जो बीजगणितीय सर्वसमिका को पहचानकर आसानी से हल किया जा सकता है।
In simple words: दिए गए व्यंजक \( 8x^3 + 27y^3 + 36x^2y + 54xy^2 \) को \( (2x)^3 + (3y)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 \) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। यह \( (a+b)^3 \) के सूत्र जैसा है, जहां \( a=2x \) और \( b=3y \) है। तो इसका गुणनखण्ड \( (2x+3y)^3 \) है।

🎯 Exam Tip: \( (a+b)^3 \) और \( (a-b)^3 \) जैसी पूर्ण घन सर्वसमिकाओं को पहचानना सीखें। यदि व्यंजक में \( a^3, b^3, 3a^2b, 3ab^2 \) जैसे पद हैं, तो यह पूर्ण घन हो सकता है।

Question 13. \( (4a - 2b - 3c)^2 \) का प्रसार कीजिए।
Answer: हम \( (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे।
यहां, \( x = 4a \), \( y = -2b \) और \( z = -3c \) है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
\( (4a - 2b - 3c)^2 = (4a)^2 + (-2b)^2 + (-3c)^2 + 2(4a)(-2b) + 2(-2b)(-3c) + 2(-3c)(4a) \)
\( = 16a^2 + 4b^2 + 9c^2 - 16ab + 12bc - 24ac \)
यह \( (4a - 2b - 3c)^2 \) का प्रसारित रूप है। यह त्रिपदी के वर्ग के लिए मानक प्रक्रिया है, जिसमें सभी पद धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं।
In simple words: \( (4a - 2b - 3c)^2 \) को खोलने के लिए, हम \( (x+y+z)^2 \) का सूत्र लगाते हैं। यहाँ x, y, z की जगह \( 4a, -2b, -3c \) हैं। हल करने पर, हमें \( 16a^2 + 4b^2 + 9c^2 - 16ab + 12bc - 24ac \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( (x+y+z)^2 \) का प्रसार करते समय, नकारात्मक चिन्हों का ध्यान रखें। वर्ग करने पर नकारात्मक संख्याएँ धनात्मक हो जाती हैं, लेकिन गुणनफल में नकारात्मक संख्याएँ नकारात्मक ही रहती हैं (यदि केवल एक पद नकारात्मक है)।

Question 14. यदि \( \left(x-\frac{1}{x}\right)^2 \) = 5 तो \( \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) \) का मान ज्ञात करो।
Answer: हम जानते हैं कि \( \left(x-\frac{1}{x}\right)^2 \) का सूत्र \( x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \) होता है।
इसे सरल करने पर:
\( \left(x-\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \)
हमें दिया गया है कि \( \left(x-\frac{1}{x}\right)^2 = 5 \)। इस मान को समीकरण में रखते हैं:
\( 5 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \)
अब \( -2 \) को समीकरण के दूसरी तरफ ले जाने पर:
\( 5 + 2 = x^2 + \frac{1}{x^2} \)
\( 7 = x^2 + \frac{1}{x^2} \)
इस प्रकार, \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) का मान 7 है। यह एक सीधा बीजगणितीय हेरफेर है।
In simple words: हम \( \left(x-\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \) सूत्र का उपयोग करते हैं। चूंकि \( \left(x-\frac{1}{x}\right)^2 = 5 \) दिया गया है, हम इसे सूत्र में डालते हैं और \( x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 5 \) के लिए हल करते हैं। इससे \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab \) सर्वसमिका को याद रखें। जब \( a \) और \( b \) एक-दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं, तो \( 2ab \) पद केवल 2 बन जाता है, जिससे गणना आसान हो जाती है।

Question 15. प्रदर्शित कीजिए कि बहुपद \( x^{10} – 1 \) और \( x^{11} – 1 \) का एक गुणनखण्ड \( (x - 1) \) है।
Answer: गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार, यदि \( (x-a) \) किसी बहुपद \( p(x) \) का गुणनखण्ड है, तो \( p(a) = 0 \) होना चाहिए। यहां, \( a = 1 \) है, क्योंकि हमें \( (x-1) \) के लिए जाँच करनी है।

पहले बहुपद \( p(x) = x^{10} - 1 \) के लिए जाँच करते हैं:
\( p(1) = (1)^{10} - 1 \)
\( p(1) = 1 - 1 \)
\( p(1) = 0 \)

अब दूसरे बहुपद \( q(x) = x^{11} - 1 \) के लिए जाँच करते हैं:
\( q(1) = (1)^{11} - 1 \)
\( q(1) = 1 - 1 \)
\( q(1) = 0 \)

चूंकि \( p(1)=0 \) और \( q(1)=0 \) है, इसका मतलब है कि \( (x-1) \) दोनों बहुपद \( x^{10}-1 \) और \( x^{11}-1 \) का एक गुणनखण्ड है। यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय है जो बहुपद के गुणनखण्डों की पहचान करने में मदद करता है।
In simple words: गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार, यदि \( x-1 \) किसी बहुपद का गुणनखण्ड है, तो \( x=1 \) रखने पर बहुपद का मान 0 होना चाहिए। \( x^{10}-1 \) और \( x^{11}-1 \) दोनों में \( x=1 \) रखने पर, मान 0 आता है। इसलिए, \( (x-1) \) दोनों का गुणनखण्ड है।

🎯 Exam Tip: \( x^n - a^n \) हमेशा \( (x-a) \) से विभाज्य होता है। इस नियम को याद रखें; यह कई गुणनखण्ड प्रश्नों को हल करने में मदद करता है।

Question 16. व्यंजक \( x^8 – y^8 \), के गुणनखण्ड कीजिए।
Answer: हम इस व्यंजक को \( a^2 - b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करके गुणनखण्डित करेंगे, जिसका सूत्र \( (a-b)(a+b) \) है।
व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 \)
अब \( a = x^4 \) और \( b = y^4 \) मानते हुए, सूत्र लागू करते हैं:
\( = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4) \)
हम \( (x^4 - y^4) \) को फिर से \( (x^2)^2 - (y^2)^2 \) के रूप में लिख सकते हैं और \( a^2 - b^2 \) सूत्र को फिर से लागू कर सकते हैं:
\( = ( (x^2)^2 - (y^2)^2 )(x^4 + y^4) \)
\( = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) \)
और \( (x^2 - y^2) \) को भी \( (x-y)(x+y) \) के रूप में गुणनखण्डित किया जा सकता है:
\( = (x-y)(x+y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) \)
यह व्यंजक \( x^8 - y^8 \) का पूर्ण गुणनखण्डित रूप है। बार-बार \( a^2 - b^2 \) सूत्र का उपयोग करने से इसे सरल बनाया जा सकता है।
In simple words: हम \( x^8 - y^8 \) को \( (x^4)^2 - (y^4)^2 \) लिखते हैं। \( a^2 - b^2 \) सूत्र का उपयोग करके, यह \( (x^4 - y^4)(x^4 + y^4) \) बन जाता है। फिर \( (x^4 - y^4) \) को फिर से \( (x^2)^2 - (y^2)^2 \) और फिर \( (x^2 - y^2) \) को \( (x-y)(x+y) \) के रूप में तोड़ते हैं। अंत में हमें \( (x-y)(x+y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: जब घातें 4, 8, 16 आदि हों, तो \( a^2-b^2 \) सर्वसमिका को बार-बार लागू करने के बारे में सोचें। यह एक सामान्य पैटर्न है जो अक्सर ऐसे प्रश्नों में देखा जाता है।

Question 17. यदि \( \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) \) = 83 तो \( \left(x^3-\frac{1}{x^3}\right) \) का मान ज्ञात करो।
Answer: हमें \( x^2+\frac{1}{x^2} = 83 \) दिया गया है।
पहले हमें \( \left(x-\frac{1}{x}\right) \) का मान ज्ञात करना होगा। हम जानते हैं कि \( \left(x-\frac{1}{x}\right)^2 = x^2+\frac{1}{x^2} - 2 \) होता है।
\( \left(x-\frac{1}{x}\right)^2 = 83 - 2 \)
\( \left(x-\frac{1}{x}\right)^2 = 81 \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर:
\( x-\frac{1}{x} = \sqrt{81} \)
\( x-\frac{1}{x} = 9 \) (क्योंकि प्रश्न में धनात्मक मान की अपेक्षा की जाती है)

अब हमें \( \left(x^3-\frac{1}{x^3}\right) \) का मान ज्ञात करना है। हम जानते हैं कि \( (a-b)^3 = a^3-b^3-3ab(a-b) \) होता है।
यहां \( a=x \) और \( b=\frac{1}{x} \) है, इसलिए \( ab = x \cdot \frac{1}{x} = 1 \) होगा।
तो, \( \left(x-\frac{1}{x}\right)^3 = x^3-\frac{1}{x^3} - 3\left(x\right)\left(\frac{1}{x}\right)\left(x-\frac{1}{x}\right) \)
\( \left(x-\frac{1}{x}\right)^3 = x^3-\frac{1}{x^3} - 3\left(x-\frac{1}{x}\right) \)
हमने पहले ही \( x-\frac{1}{x} = 9 \) ज्ञात कर लिया है। इस मान को समीकरण में रखते हैं:
\( (9)^3 = x^3-\frac{1}{x^3} - 3(9) \)
\( 729 = x^3-\frac{1}{x^3} - 27 \)
अब \( -27 \) को समीकरण के दूसरी तरफ ले जाने पर:
\( 729 + 27 = x^3-\frac{1}{x^3} \)
\( 756 = x^3-\frac{1}{x^3} \)
इस प्रकार, \( x^3-\frac{1}{x^3} \) का मान 756 है। यह समस्या कई बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का एक संयोजन है।
In simple words: पहले हम \( x^2+\frac{1}{x^2}=83 \) का उपयोग करके \( x-\frac{1}{x} \) का मान निकालते हैं, जो कि 9 आता है। फिर, \( (x-\frac{1}{x})^3 \) के सूत्र का उपयोग करके, हम \( x^3-\frac{1}{x^3} \) का मान निकालते हैं। \( 9^3 = x^3-\frac{1}{x^3} - 3(9) \) को हल करने पर, हमें \( x^3-\frac{1}{x^3} = 756 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए कई सर्वसमिकाओं के चरणों को याद रखना महत्वपूर्ण है। पहले \( (x \pm \frac{1}{x}) \) का मान निकालें, फिर उस मान का उपयोग करके घन या उच्च घात वाले पदों को हल करें।

Question 18. गुणनखण्ड कीजिए \( a^3 (b - c)^3 + b^3 (c – a)^3 + c^3 (a – b)^3 \)
Answer: हम एक विशेष बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करेंगे: यदि \( x+y+z=0 \) हो, तो \( x^3+y^3+z^3 = 3xyz \) होता है।
यहां, मान लीजिए:
\( x = a(b-c) \)
\( y = b(c-a) \)
\( z = c(a-b) \)

अब \( x+y+z \) का योग ज्ञात करते हैं:
\( x+y+z = a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) \)
\( = ab - ac + bc - ba + ca - cb \)
\( = (ab - ba) + (-ac + ca) + (bc - cb) \)
\( = 0 + 0 + 0 \)
\( = 0 \)

चूंकि \( x+y+z = 0 \) है, हम सर्वसमिका \( x^3+y^3+z^3 = 3xyz \) का उपयोग कर सकते हैं।
इसलिए, \( a^3 (b - c)^3 + b^3 (c – a)^3 + c^3 (a – b)^3 \)
\( = (a(b-c))^3 + (b(c-a))^3 + (c(a-b))^3 \)
\( = 3 [a(b-c)] [b(c-a)] [c(a-b)] \)
\( = 3abc(b-c)(c-a)(a-b) \)
यह गुणनखण्डित रूप है, जो विशेष सर्वसमिका की पहचान करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। यह एक शक्तिशाली उपकरण है जो जटिल व्यंजकों को सरल बनाता है।
In simple words: हम \( x=a(b-c) \), \( y=b(c-a) \) और \( z=c(a-b) \) मानते हैं। इन तीनों को जोड़ने पर, योग 0 आता है। जब \( x+y+z=0 \) होता है, तो \( x^3+y^3+z^3 \) का मान \( 3xyz \) होता है। इसलिए, उत्तर \( 3abc(b-c)(c-a)(a-b) \) है।

🎯 Exam Tip: यदि \( a+b+c=0 \) हो, तो \( a^3+b^3+c^3=3abc \) सर्वसमिका को याद रखें। यह एक बहुत उपयोगी सर्वसमिका है जो ऐसे कठिन दिखने वाले गुणनखण्ड के प्रश्नों को तुरंत हल कर देती है।