RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 3 बहुपद Exercise 3.4

Exercise 3.4

Question 1. x - 1 निम्न में किस-किस बहुपद का एक गुणनखण्ड है?
(i) \( x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 2x + 2 \)
(ii) \( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \)
(iii) \( x^4 + 3x^3 - 3x^2 + x - 2 \)
(iv) \( x^3 - x^2 - (2 + \sqrt{3}) x + \sqrt{3} \)
Answer:
(x-1) दिए गए बहुपद \( p(x) \) का गुणनखण्ड होगा, यदि \( p(1) = 0 \) है।
(i) माना, \( p(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 2x + 2 \)
हम \( p(1) \) का मान ज्ञात करेंगे:
\( p(1) = (1)^4 - 2(1)^3 - 3(1)^2 + 2(1) + 2 \)
\( = 1 - 2 - 3 + 2 + 2 \)
\( = 5 - 5 = 0 \)
चूंकि \( p(1) = 0 \) है, इसलिए (x-1), \( x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 2x + 2 \) का एक गुणनखण्ड है।

(ii) माना, \( p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \)
हम \( p(1) \) का मान ज्ञात करेंगे:
\( p(1) = (1)^4 + (1)^3 + (1)^2 + (1) + 1 \)
\( = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \)
\( = 5 \)
चूंकि \( p(1) \neq 0 \) है, इसलिए (x-1), \( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \) का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iii) माना, \( p(x) = x^4 + 3x^3 - 3x^2 + x - 2 \)
हम \( p(1) \) का मान ज्ञात करेंगे:
\( p(1) = (1)^4 + 3(1)^3 - 3(1)^2 + (1) - 2 \)
\( = 1 + 3 - 3 + 1 - 2 \)
\( = 0 \)
चूंकि \( p(1) = 0 \) है, इसलिए (x-1), \( x^4 + 3x^3 - 3x^2 + x - 2 \) का एक गुणनखण्ड है।

(iv) माना, \( p(x) = x^3 - x^2 - (2 + \sqrt{3}) x + \sqrt{3} \)
हम \( p(1) \) का मान ज्ञात करेंगे:
\( p(1) = (1)^3 - (1)^2 - (2 + \sqrt{3})(1) + \sqrt{3} \)
\( = 1 - 1 - (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} \)
\( = -2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \)
\( = -2 \)
चूंकि \( p(1) \neq 0 \) है, इसलिए (x-1), \( x^3 - x^2 - (2 + \sqrt{3}) x + \sqrt{3} \) का एक गुणनखण्ड नहीं है।
In simple words: हमें यह जानने के लिए कि \( x-1 \) एक बहुपद का गुणनखण्ड है या नहीं, \( x=1 \) को बहुपद में रखते हैं। यदि उत्तर शून्य आता है, तो \( x-1 \) गुणनखण्ड है; नहीं तो, नहीं है। यह तरीका फैक्टर प्रमेय पर आधारित है।

🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करते समय, \( p(a)=0 \) होने पर \( (x-a) \) एक गुणनखण्ड होता है। \( x-1 \) के लिए \( a=1 \) होता है।

Question. (iv) निर्धारित कीजिए कि \( g(x) = 2x + 1 \) बहुपद \( p(x) = 2x^3 + x^2 - 2x - 1 \) का गुणनखण्ड है या नहीं।
Answer:
यदि \( g(x) = 2x + 1 \) बहुपद \( p(x) \) का एक गुणनखण्ड है, तो \( p\left(-\frac{1}{2}\right) = 0 \) होना चाहिए।
अब, \( p\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) - 1 \)
\( = 2 \times \left(-\frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{4}\right) - 2\left(-\frac{1}{2}\right) - 1 \)
\( = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1 - 1 \)
\( = 0 \)
चूंकि \( p\left(-\frac{1}{2}\right) = 0 \) है, इसलिए \( g(x) = 2x + 1 \), \( p(x) \) का एक गुणनखण्ड है।
In simple words: यह जाँचने के लिए कि \( 2x+1 \) दिए गए बहुपद का गुणनखण्ड है या नहीं, हम \( x = -\frac{1}{2} \) को बहुपद में डालते हैं। यदि हमें शून्य मिलता है, तो यह एक गुणनखण्ड है।

🎯 Exam Tip: जब गुणनखण्ड \( ax+b \) के रूप में हो, तो \( x = -\frac{b}{a} \) का मान बहुपद में रखें। यदि परिणाम शून्य हो तो वह गुणनखण्ड होता है।

Question. (i) निर्धारित कीजिए कि \( g(x) = x+1 \) बहुपद \( p(x) = 3x^3 - x^2 - 3x + 1 \) का गुणनखण्ड है या नहीं।
Answer:
यदि \( g(x) = x+1 \) बहुपद \( p(x) \) का एक गुणनखण्ड है, तो \( p(-1) = 0 \) होना चाहिए।
अब, \( p(-1) = 3(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 1 \)
\( = 3 \times (-1) - 1 + 3 + 1 \)
\( = -3 - 1 + 3 + 1 \)
\( = 0 \)
चूंकि \( p(-1) = 0 \) है, इसलिए \( g(x) = x+1 \), \( p(x) \) का एक गुणनखण्ड है।
In simple words: यह देखने के लिए कि \( x+1 \) दिए गए बहुपद का एक टुकड़ा है या नहीं, हम \( x = -1 \) को बहुपद में डालते हैं। अगर जवाब शून्य आता है, तो हाँ, यह एक टुकड़ा है।

🎯 Exam Tip: किसी भी बहुपद के लिए, यदि \( p(-a) = 0 \) है, तो \( (x+a) \) उस बहुपद का एक गुणनखण्ड होता है।

Question. (ii) निर्धारित कीजिए कि \( g(x) = x-1 \) बहुपद \( p(x) = 2x^3 - 7x^2 - 13x + 63x - 45 \) का गुणनखण्ड है या नहीं।
Answer:
दिए गए बहुपद को सरल करें: \( p(x) = 2x^3 - 7x^2 - 13x + 63x - 45 = 2x^3 - 7x^2 + 50x - 45 \)
यदि \( g(x) = x-1 \) बहुपद \( p(x) \) का एक गुणनखण्ड है, तो \( p(1) = 0 \) होना चाहिए।
अब, \( p(1) = 2(1)^3 - 7(1)^2 + 50(1) - 45 \)
\( = 2 - 7 + 50 - 45 \)
\( = 52 - 52 \)
\( = 0 \)
चूंकि \( p(1) = 0 \) है, इसलिए \( g(x) = x-1 \), \( p(x) \) का एक गुणनखण्ड है।
In simple words: पहले बहुपद को छोटा और आसान बनाओ। फिर, यह जाँचने के लिए कि \( x-1 \) एक गुणनखण्ड है या नहीं, \( x=1 \) का मान बहुपद में रखो। यदि उत्तर शून्य आता है, तो यह गुणनखण्ड है।

🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड प्रमेय को लागू करने से पहले हमेशा बहुपद को सरल करें। यह गलती से बचने में मदद करता है।

Question. (iii) निर्धारित कीजिए कि \( g(x) = x+2 \) बहुपद \( p(x) = 3x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) का गुणनखण्ड है या नहीं।
Answer:
यदि \( g(x) = x+2 \) बहुपद \( p(x) \) का एक गुणनखण्ड है, तो \( p(-2) = 0 \) होना चाहिए।
अब, \( p(-2) = 3(-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 1 \)
\( = 3 \times (-8) + 3 \times 4 - 6 + 1 \)
\( = -24 + 12 - 6 + 1 \)
\( = -17 \)
चूंकि \( p(-2) \neq 0 \) है, इसलिए \( g(x) = x+2 \), \( p(x) \) का एक गुणनखण्ड नहीं है।
In simple words: यह देखने के लिए कि \( x+2 \) दिए गए बहुपद का एक भाग है या नहीं, हम \( x = -2 \) को बहुपद में डालते हैं। चूंकि उत्तर शून्य नहीं है, इसलिए \( x+2 \) इसका गुणनखण्ड नहीं है।

🎯 Exam Tip: मानों को प्रतिस्थापित करते समय ऋणात्मक संख्याओं के साथ गुणा करते समय सावधान रहें, क्योंकि चिह्नों की गलती आम है।

Question 4. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि (x - 1) बहुपद \( 2x^2 + kx + \sqrt{2} \) का एक गुणनखण्ड है।
Answer:
माना \( p(x) = 2x^2 + kx + \sqrt{2} \)
चूंकि \( (x-1) \) बहुपद \( p(x) \) का एक गुणनखण्ड है, इसलिए गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार, \( p(1) = 0 \) होना चाहिए।
अब, हम \( p(1) \) में \( x=1 \) का मान रखेंगे:
\( p(1) = 2(1)^2 + k(1) + \sqrt{2} = 0 \)
\( 2 \times 1 + k + \sqrt{2} = 0 \)
\( 2 + k + \sqrt{2} = 0 \)
\( k + (2 + \sqrt{2}) = 0 \)
\( k = -(2 + \sqrt{2}) \)
अतः, \( k \) का मान \( -(2 + \sqrt{2}) \) है। यह सुनिश्चित करता है कि \( x-1 \) एक सटीक गुणनखण्ड है।
In simple words: अगर \( x-1 \) एक बहुपद का गुणनखण्ड है, तो \( x \) की जगह 1 रखने पर उत्तर 0 आना चाहिए। इस नियम का उपयोग करके, हम \( k \) का मान निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( x-a \) को शून्य के बराबर सेट करके \( x \) का मान ज्ञात करें, फिर उस मान को बहुपद में प्रतिस्थापित करें और समीकरण को शून्य के बराबर सेट करके अज्ञात स्थिरांक को हल करें।

Question 5. यदि (x + 1) और (x – 1) बहुपद \( x^4 + ax^3 - 3x^2 + 2x + b \) के गुणनखण्ड हों तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना \( p(x) = x^4 + ax^3 - 3x^2 + 2x + b \)
चूंकि \( (x+1) \) बहुपद \( p(x) \) का एक गुणनखण्ड है, इसलिए गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार, \( p(-1) = 0 \) होना चाहिए।
\( p(-1) = (-1)^4 + a(-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) + b = 0 \)
\( 1 - a - 3 - 2 + b = 0 \)
\( -a + b - 4 = 0 \)
\( -a + b = 4 \) ...(1)

चूंकि \( (x-1) \) भी बहुपद \( p(x) \) का एक गुणनखण्ड है, इसलिए गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार, \( p(1) = 0 \) होना चाहिए।
\( p(1) = (1)^4 + a(1)^3 - 3(1)^2 + 2(1) + b = 0 \)
\( 1 + a - 3 + 2 + b = 0 \)
\( a + b = 0 \) ...(2)

अब, समीकरण (1) और (2) को हल करेंगे:
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( (-a + b) + (a + b) = 4 + 0 \)
\( 2b = 4 \)
\( b = 2 \)

\( b = 2 \) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( a + 2 = 0 \)
\( a = -2 \)
अतः, \( a = -2 \) और \( b = 2 \) हैं। ये मान सुनिश्चित करते हैं कि दोनों दिए गए व्यंजक बहुपद के गुणनखण्ड हैं।
In simple words: चूंकि \( x+1 \) और \( x-1 \) दोनों बहुपद के गुणनखण्ड हैं, इसका मतलब है कि \( x = -1 \) और \( x = 1 \) रखने पर बहुपद का मान शून्य होगा। इन दो शर्तों का उपयोग करके, हम \( a \) और \( b \) के लिए दो समीकरण बनाते हैं और उन्हें हल करके मान ज्ञात करते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में हमेशा \( p(a) = 0 \) और \( p(b) = 0 \) से दो समीकरण बनाएं और फिर \( a \) और \( b \) के मान ज्ञात करने के लिए उन समीकरणों को हल करें।

Question 6. गुणनखण्ड कीजिए:
(i) \( 3x^2 + 7x + 2 \)
(ii) \( 4x^2 - x - 3 \)
(iii) \( 12x^2 - 7x + 1 \)
(iv) \( 6x^2 + 5x - 6 \)
Answer:
(i) \( 3x^2 + 7x + 2 \)
यहाँ, \( x^2 \) का गुणांक \( 3 \) है और स्थिर पद \( 2 \) है। उनका गुणनफल \( 3 \times 2 = 6 \) है।
हमें \( 6 \) के ऐसे दो हिस्से चाहिए जिनका योग \( 7 \) हो और गुणनफल \( 6 \) हो। ये संख्याएँ \( 6 \) और \( 1 \) हैं।
\( 3x^2 + 7x + 2 = 3x^2 + 6x + x + 2 \)
\( = (3x^2 + 6x) + (x + 2) \)
\( = 3x(x + 2) + 1(x + 2) \)
\( = (x + 2)(3x + 1) \)

(ii) \( 4x^2 - x - 3 \)
यहाँ, \( x^2 \) का गुणांक \( 4 \) है और स्थिर पद \( -3 \) है। उनका गुणनफल \( 4 \times (-3) = -12 \) है।
हमें \( -12 \) के ऐसे दो हिस्से चाहिए जिनका योग \( -1 \) हो और गुणनफल \( -12 \) हो। ये संख्याएँ \( -4 \) और \( 3 \) हैं।
\( 4x^2 - x - 3 = 4x^2 - 4x + 3x - 3 \)
\( = (4x^2 - 4x) + (3x - 3) \)
\( = 4x(x - 1) + 3(x - 1) \)
\( = (x - 1)(4x + 3) \)

(iii) \( 12x^2 - 7x + 1 \)
यहाँ, \( x^2 \) का गुणांक \( 12 \) है और स्थिर पद \( 1 \) है। उनका गुणनफल \( 12 \times 1 = 12 \) है।
हमें \( 12 \) के ऐसे दो हिस्से चाहिए जिनका योग \( -7 \) हो और गुणनफल \( 12 \) हो। ये संख्याएँ \( -4 \) और \( -3 \) हैं।
\( 12x^2 - 7x + 1 = 12x^2 - 4x - 3x + 1 \)
\( = (12x^2 - 4x) - (3x - 1) \)
\( = 4x(3x - 1) - 1(3x - 1) \)
\( = (3x - 1)(4x - 1) \)

(iv) \( 6x^2 + 5x - 6 \)
यहाँ, \( x^2 \) का गुणांक \( 6 \) है और स्थिर पद \( -6 \) है। उनका गुणनफल \( 6 \times (-6) = -36 \) है।
हमें \( -36 \) के ऐसे दो हिस्से चाहिए जिनका योग \( 5 \) हो और गुणनफल \( -36 \) हो। ये संख्याएँ \( 9 \) और \( -4 \) हैं।
\( 6x^2 + 5x - 6 = 6x^2 + 9x - 4x - 6 \)
\( = (6x^2 + 9x) - (4x + 6) \)
\( = 3x(2x + 3) - 2(2x + 3) \)
\( = (2x + 3)(3x - 2) \)
In simple words: बहुपद को गुणनखण्ड करने के लिए, हमें मध्य पद को ऐसे दो भागों में तोड़ना होगा जिनका गुणनफल \( x^2 \) के गुणांक और स्थिर पद के गुणनफल के बराबर हो, और जिनका योग मध्य पद के गुणांक के बराबर हो। फिर हम पदों को समूह बनाकर गुणनखण्ड करते हैं।

🎯 Exam Tip: मध्य पद को तोड़ने की विधि (splitting the middle term) तब उपयोगी होती है जब \( ax^2 + bx + c \) के रूप में द्विघात बहुपद को गुणनखण्ड करना हो। हमेशा गुणांकों को सही ढंग से गुणा और जोड़ना सुनिश्चित करें।

Question 7. बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए:
(i) \( x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \)
(ii) \( x^3 + 2x^2 - x - 2 \)
(iii) \( x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12 \)
(iv) \( x^3 - 2x^2 - x + 2 \)
(v) \( x^3 - 3x^2 - 9x - 5 \)
(vi) \( x^3 - 23x^2 + 142x - 120 \)
Answer:
(i) \( p(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \)
स्थिर पद 6 के गुणनखण्ड \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \) हैं।
\( p(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0 \)
अतः, \( (x+1) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=-1 \) एक शून्यक है।
\( p(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 + 11(-2) + 6 = -8 + 24 - 22 + 6 = 0 \)
अतः, \( (x+2) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=-2 \) एक शून्यक है।
\( p(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 11(-3) + 6 = -27 + 54 - 33 + 6 = 0 \)
अतः, \( (x+3) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=-3 \) एक शून्यक है।
इसलिए, बहुपद के शून्यक \( -1, -2, -3 \) हैं। यह फैक्टर प्रमेय का एक सीधा अनुप्रयोग है।

(ii) \( p(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 \)
स्थिर पद -2 के गुणनखण्ड \( \pm 1, \pm 2 \) हैं।
\( p(1) = (1)^3 + 2(1)^2 - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0 \)
अतः, \( (x-1) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=1 \) एक शून्यक है।
\( p(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1) - 2 = -1 + 2 + 1 - 2 = 0 \)
अतः, \( (x+1) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=-1 \) एक शून्यक है।
\( p(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) - 2 = -8 + 8 + 2 - 2 = 0 \)
अतः, \( (x+2) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=-2 \) एक शून्यक है।
इसलिए, बहुपद के शून्यक \( 1, -1, -2 \) हैं।

(iii) \( p(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12 \)
स्थिर पद 12 के गुणनखण्ड \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \) हैं।
\( p(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - 7(-1)^2 + 8(-1) + 12 = 1 - 2(-1) - 7(1) - 8 + 12 = 1 + 2 - 7 - 8 + 12 = 0 \)
अतः, \( (x+1) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=-1 \) एक शून्यक है।
\( p(2) = (2)^4 - 2(2)^3 - 7(2)^2 + 8(2) + 12 = 16 - 2(8) - 7(4) + 16 + 12 = 16 - 16 - 28 + 16 + 12 = 0 \)
अतः, \( (x-2) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=2 \) एक शून्यक है।
\( p(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^3 - 7(-2)^2 + 8(-2) + 12 = 16 - 2(-8) - 7(4) - 16 + 12 = 16 + 16 - 28 - 16 + 12 = 0 \)
अतः, \( (x+2) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=-2 \) एक शून्यक है।
\( p(3) = (3)^4 - 2(3)^3 - 7(3)^2 + 8(3) + 12 = 81 - 2(27) - 7(9) + 24 + 12 = 81 - 54 - 63 + 24 + 12 = 117 - 117 = 0 \)
अतः, \( (x-3) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=3 \) एक शून्यक है।
इसलिए, बहुपद के शून्यक \( -1, 2, -2, 3 \) हैं।

(iv) \( p(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 \)
स्थिर पद 2 के गुणनखण्ड \( \pm 1, \pm 2 \) हैं।
\( p(1) = (1)^3 - 2(1)^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0 \)
अतः, \( (x-1) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=1 \) एक शून्यक है।
\( p(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 2 + 1 + 2 = 0 \)
अतः, \( (x+1) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=-1 \) एक शून्यक है।
\( p(2) = (2)^3 - 2(2)^2 - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0 \)
अतः, \( (x-2) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=2 \) एक शून्यक है।
इसलिए, बहुपद के शून्यक \( 1, -1, 2 \) हैं।

(v) \( p(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 5 \)
स्थिर पद -5 के गुणनखण्ड \( \pm 1, \pm 5 \) हैं।
\( p(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - 5 = -1 - 3 + 9 - 5 = 0 \)
अतः, \( (x+1) \) बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
अब, हम \( x^3 - 3x^2 - 9x - 5 \) को \( (x+1) \) से भाग देंगे:
\[ \require{enclose} \begin{array}{r} x^2 - 4x - 5 \\ x+1 \enclose{longdiv}{x^3 - 3x^2 - 9x - 5} \\ \underline{-(x^3 + x^2)\phantom{-9x-5}} \\ -4x^2 - 9x - 5 \\ \underline{-(-4x^2 - 4x)\phantom{-5}} \\ -5x - 5 \\ \underline{-(-5x - 5)} \\ 0 \end{array} \]
भागफल \( x^2 - 4x - 5 \) है। अब हम इस द्विघात बहुपद का गुणनखण्ड करेंगे।
\( x^2 - 4x - 5 = x^2 - 5x + x - 5 \)
\( = x(x-5) + 1(x-5) \)
\( = (x-5)(x+1) \)
तो, \( p(x) = (x+1)(x-5)(x+1) \)
शून्यक ज्ञात करने के लिए, \( (x+1)(x-5)(x+1) = 0 \) सेट करें।
इससे \( x+1=0 \) या \( x-5=0 \) प्राप्त होता है।
इसलिए, \( x=-1 \) या \( x=5 \)
बहुपद के शून्यक \( -1 \) और \( 5 \) हैं। इसमें \( -1 \) की पुनरावृत्ति हो रही है।

(vi) \( p(x) = x^3 - 23x^2 + 142x - 120 \)
स्थिर पद -120 के गुणनखण्ड \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 8, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 24, \pm 30, \pm 40, \pm 60, \pm 120 \) हैं।
\( p(1) = (1)^3 - 23(1)^2 + 142(1) - 120 = 1 - 23 + 142 - 120 = 143 - 143 = 0 \)
अतः, \( (x-1) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=1 \) एक शून्यक है।
\( p(10) = (10)^3 - 23(10)^2 + 142(10) - 120 = 1000 - 23(100) + 1420 - 120 = 1000 - 2300 + 1420 - 120 = 2420 - 2420 = 0 \)
अतः, \( (x-10) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=10 \) एक शून्यक है।
\( p(12) = (12)^3 - 23(12)^2 + 142(12) - 120 = 1728 - 23(144) + 1704 - 120 = 1728 - 3312 + 1704 - 120 = 0 \)
अतः, \( (x-12) \) एक गुणनखण्ड है, और \( x=12 \) एक शून्यक है।
इसलिए, बहुपद के शून्यक \( 1, 10, 12 \) हैं। जब हमें एक शून्यक मिल जाता है, तो हम बहुपद को भाग देकर आगे के शून्यक ज्ञात कर सकते हैं।
In simple words: बहुपद के शून्यक खोजने के लिए, हम स्थिर पद के सभी संभावित गुणनखण्डों को \( x \) के मान के रूप में आज़माते हैं। यदि किसी मान को रखने पर बहुपद का मान शून्य आता है, तो वह मान एक शून्यक होता है। एक शून्यक मिलने के बाद, हम बहुपद को \( (x - शून्यक) \) से भाग देकर शेष शून्यक ढूंढ सकते हैं।

🎯 Exam Tip: पूर्णांक शून्यक प्रमेय का उपयोग करके संभावित पूर्णांक शून्यकों की सूची बनाएं, जो स्थिर पद के गुणनखण्ड होते हैं। फिर गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करके प्रत्येक को एक-एक करके परीक्षण करें। लंबी विभाजन विधि से समय बचाने के लिए संश्लेषित विभाजन का उपयोग करना सीखें।