RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 3 बहुपद Exercise 3.3

Exercise 3.3

Question 1. बहुपद \( x^4 + x^3 - 3x^2 + 3x + 1 \) में निम्नलिखित एक घातीय व्यंजक से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
(i) \( x - 1 \)
(ii) \( x - \frac {1}{2} \)
(iii) \( x + \pi \)
(iv) \( 3 + 2x \)
(v) \( x \)
Answer: दिए गए बहुपद को \( p(x) = x^4 + x^3 - 3x^2 + 3x + 1 \) मान लेते हैं। हमें शेषफल प्रमेय का उपयोग करके प्रत्येक भाग के लिए शेषफल ज्ञात करना है, जिसमें हम भाजक को शून्य के बराबर रखकर x का मान निकालते हैं और फिर उस मान को बहुपद में रखते हैं।

(i) जब भाजक \( x - 1 \) है:
\( x - 1 = 0 \)
\( \implies x = 1 \)
शेषफल \( p(1) = (1)^4 + (1)^3 - 3(1)^2 + 3(1) + 1 \)
\( = 1 + 1 - 3(1) + 3 + 1 \)
\( = 1 + 1 - 3 + 3 + 1 \)
\( = 3 \)

(ii) जब भाजक \( x - \frac {1}{2} \) है:
\( x - \frac {1}{2} = 0 \)
\( \implies x = \frac {1}{2} \)
शेषफल \( p\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) + 1 \)
\( = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - 3\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{3}{2} + 1 \)
\( = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} - \frac{12}{16} + \frac{24}{16} + \frac{16}{16} \)
\( = \frac{1 + 2 - 12 + 24 + 16}{16} \)
\( = \frac{31}{16} \)

(iii) जब भाजक \( x + \pi \) है:
\( x + \pi = 0 \)
\( \implies x = -\pi \)
शेषफल \( p(-\pi) = (-\pi)^4 + (-\pi)^3 - 3(-\pi)^2 + 3(-\pi) + 1 \)
\( = \pi^4 - \pi^3 - 3\pi^2 - 3\pi + 1 \)

(iv) जब भाजक \( 3 + 2x \) है:
\( 3 + 2x = 0 \)
\( \implies 2x = -3 \)
\( \implies x = -\frac{3}{2} \)
शेषफल \( p\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^4 + \left(-\frac{3}{2}\right)^3 - 3\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) + 1 \)
\( = \frac{81}{16} - \frac{27}{8} - 3\left(\frac{9}{4}\right) - \frac{9}{2} + 1 \)
\( = \frac{81}{16} - \frac{54}{16} - \frac{108}{16} - \frac{72}{16} + \frac{16}{16} \)
\( = \frac{81 - 54 - 108 - 72 + 16}{16} \)
\( = \frac{-137}{16} \)

(v) जब भाजक \( x \) है:
\( x = 0 \)
शेषफल \( p(0) = (0)^4 + (0)^3 - 3(0)^2 + 3(0) + 1 \)
\( = 0 + 0 - 0 + 0 + 1 \)
\( = 1 \)
In simple words: किसी भी बहुपद को एक रैखिक व्यंजक से भाग देने पर शेषफल निकालने के लिए, भाजक को शून्य के बराबर सेट करके x का मान ज्ञात करें। फिर इस x के मान को दिए गए बहुपद में रखने पर जो संख्या प्राप्त होती है, वही शेषफल होता है। यह शेषफल प्रमेय का सीधा उपयोग है।

🎯 Exam Tip: शेषफल प्रमेय का उपयोग करते समय, x का मान निकालते समय चिन्हों का विशेष ध्यान रखें, खासकर जब भाजक \( (x + a) \) या \( (ax + b) \) के रूप में हो। भिन्नात्मक मानों के साथ गणना करते समय सभी पदों को समान हर पर लाना सुनिश्चित करें।

Question 2. \( 2x^3 + 2ax^2 – 5x + a \) को \( x + a \) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हम बहुपद को \( p(x) = 2x^3 + 2ax^2 – 5x + a \) मानते हैं। शेषफल प्रमेय के अनुसार, जब \( p(x) \) को \( x + a \) से भाग दिया जाता है, तो शेषफल \( p(-a) \) के बराबर होता है।
तो, हम \( x = -a \) को बहुपद में रखेंगे:
\( p(-a) = 2(-a)^3 + 2a(-a)^2 - 5(-a) + a \)
\( = 2(-a^3) + 2a(a^2) + 5a + a \)
\( = -2a^3 + 2a^3 + 5a + a \)
\( = 6a \)
अतः, शेषफल \( 6a \) है। यह विधि हमें लंबी भाग प्रक्रिया किए बिना सीधा शेषफल बता देती है।
In simple words: जब हमें किसी बहुपद को \( (x + a) \) जैसे व्यंजक से भाग देना हो, तो हम बस \( x \) की जगह \( -a \) रख देते हैं। ऐसा करने से जो उत्तर मिलता है, वही भाग देने पर बचा हुआ शेषफल होता है।

🎯 Exam Tip: बीजीय व्यंजकों में शेषफल ज्ञात करते समय, यह समझना महत्वपूर्ण है कि \( x+a \) से भाग देने पर \( x = -a \) रखा जाता है, न कि \( x = a \)। चिन्हों की गलती से बचने के लिए इसे ध्यान में रखें।

Question 3. जाँच कीजिए कि \( x + 1, x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) का एक गुणनखण्ड है या नहीं।
Answer: हम दिए गए बहुपद को \( p(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) मानते हैं। गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार, यदि \( (x + 1) \), \( p(x) \) का एक गुणनखण्ड है, तो \( p(-1) \) का मान शून्य होना चाहिए।
इसलिए, हम बहुपद में \( x = -1 \) रखेंगे:
\( p(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1 \)
\( = -1 + 3(1) - 3 + 1 \)
\( = -1 + 3 - 3 + 1 \)
\( = 0 \)
चूँकि \( p(-1) = 0 \) है, इसका अर्थ है कि \( (x + 1) \) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है। गुणनखण्ड प्रमेय हमें आसानी से यह जाँचने में मदद करता है कि कोई व्यंजक किसी बहुपद का गुणनखंड है या नहीं।
In simple words: यह जानने के लिए कि \( (x + 1) \) किसी बड़े गणित के सवाल का हिस्सा है या नहीं, हम \( x \) की जगह \( -1 \) रखते हैं। अगर हल करने पर जवाब शून्य आता है, तो हाँ, वह उसका हिस्सा (गुणनखण्ड) है। अगर शून्य नहीं आता, तो नहीं है।

🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड प्रमेय में, यदि \( (x - a) \) एक गुणनखण्ड है, तो \( p(a) = 0 \) होगा। यदि \( (x + a) \) एक गुणनखण्ड है, तो \( p(-a) = 0 \) होगा। यह सुनिश्चित करें कि आप \( x \) के सही मान का उपयोग कर रहे हैं।

Question 4. यदि बहुपद \( x^3 + x^2 - 4x + a \) और \( 2x^3 + ax^2 + 3x - 3 \) को \( x - 2 \) से भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त होता है, तो \( a \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम पहले बहुपद को \( p(x) = x^3 + x^2 - 4x + a \) और दूसरे बहुपद को \( q(x) = 2x^3 + ax^2 + 3x - 3 \) मानेंगे।
जब इन बहुपदों को \( x - 2 \) से भाग दिया जाता है, तो शेषफल प्रमेय के अनुसार शेषफल \( p(2) \) और \( q(2) \) के बराबर होंगे।
पहले बहुपद के लिए शेषफल \( p(2) \) ज्ञात करें:
\( p(2) = (2)^3 + (2)^2 - 4(2) + a \)
\( = 8 + 4 - 8 + a \)
\( = 4 + a \)

अब दूसरे बहुपद के लिए शेषफल \( q(2) \) ज्ञात करें:
\( q(2) = 2(2)^3 + a(2)^2 + 3(2) - 3 \)
\( = 2(8) + a(4) + 6 - 3 \)
\( = 16 + 4a + 3 \)
\( = 19 + 4a \)

प्रश्न के अनुसार, दोनों शेषफल समान हैं:
\( p(2) = q(2) \)
\( \implies 4 + a = 19 + 4a \)
अब \( a \) के लिए इस समीकरण को हल करें:
\( \implies 4 - 19 = 4a - a \)
\( \implies -15 = 3a \)
\( \implies a = \frac{-15}{3} \)
\( \implies a = -5 \)
इस प्रकार, \( a \) का मान \( -5 \) है। जब दो बहुपदों के शेषफल समान हों, तो उनके मानों को बराबर रखकर हम अज्ञात चर का मान ज्ञात कर सकते हैं।
In simple words: हमें दो अलग-अलग गणित के सवाल दिए गए हैं। जब दोनों को एक ही संख्या से भाग देते हैं, तो दोनों का बचा हुआ हिस्सा (शेषफल) एक जैसा आता है। हमें एक छिपे हुए अंक 'a' का पता लगाना है। हम दोनों सवालों को हल करते हैं, उनके शेषफल को बराबर रखते हैं, और फिर 'a' का मान निकाल लेते हैं, जो \( -5 \) आता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, शेषफल प्रमेय का सही ढंग से उपयोग करना महत्वपूर्ण है। दोनों बहुपदों के शेषफल को बराबर करने से एक रैखिक समीकरण बनता है, जिसे सावधानी से हल करके \( a \) का मान प्राप्त किया जा सकता है।