RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 3 बहुपद Exercise 3.2

Ex 3.2

प्रश्न 1. बहुपद \( 2x^3 - 13x^2 + 17x + 12 \) के मान \( x \) के निम्नलिखित मानों पर ज्ञात कीजिए।
(i) \( x=2 \)
(ii) \( x=-3 \)
(iii) \( x=0 \)
(iv) \( x=-1 \)
Answer: दिए गए बहुपद को \( p(x) = 2x^3 - 13x^2 + 17x + 12 \) मान लेते हैं। हमें \( x \) के विभिन्न मानों पर इस बहुपद का मान ज्ञात करना है।
(i) जब \( x=2 \) हो,
\( p(2) = 2(2)^3 - 13(2)^2 + 17(2) + 12 \)
\( = 2 \times 8 - 13 \times 4 + 34 + 12 \)
\( = 16 - 52 + 34 + 12 \)
\( = 10 \)
(ii) जब \( x=-3 \) हो,
\( p(-3) = 2(-3)^3 - 13(-3)^2 + 17(-3) + 12 \)
\( = 2 \times (-27) - 13 \times 9 - 17 \times 3 + 12 \)
\( = -54 - 117 - 51 + 12 \)
\( = -210 \)
(iii) जब \( x=0 \) हो,
\( p(0) = 2(0)^3 - 13(0)^2 + 17(0) + 12 \)
\( = 0 - 0 + 0 + 12 \)
\( = 12 \)
(iv) जब \( x=-1 \) हो,
\( p(-1) = 2(-1)^3 - 13(-1)^2 + 17(-1) + 12 \)
\( = -2 - 13 - 17 + 12 \)
\( = -20 \)
इस प्रकार, \( x \) के दिए गए प्रत्येक मान के लिए बहुपद का मान ज्ञात किया गया।
In simple words: हमें दिए गए बहुपद में \( x \) की जगह दिए गए मानों को रखकर गणना करनी थी। हर बार \( x \) का मान बदलने पर बहुपद का कुल मान भी बदल जाता है।

🎯 Exam Tip: बहुपद के मान निकालते समय ऋणात्मक संख्याओं के घातों का सही ध्यान रखें, जैसे \( (-3)^2 = 9 \) जबकि \( (-3)^3 = -27 \)।

प्रश्न 2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए \( P(2), P(1) \) और \( P(0) \) का मान ज्ञात कीजिए।
(i) \( p(x) = x^2 - x + 1 \)
(ii) \( p(y) = (y+1)(y-1) \)
(iii) \( p(x) = x^3 \)
(iv) \( p(t) = 2 + t + t^2 - t^3 \)
Answer: हमें प्रत्येक बहुपद के लिए \( P(2), P(1) \) और \( P(0) \) का मान ज्ञात करना है, जिसका अर्थ है \( x \) (या \( y \), \( t \)) के स्थान पर 2, 1 और 0 रखकर मान निकालना।
(i) \( p(x) = x^2 - x + 1 \)
\( p(2) = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3 \)
\( p(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \)
\( p(0) = 0^2 - 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1 \)
(ii) \( p(y) = (y+1)(y-1) \)
\( p(2) = (2+1)(2-1) = 3 \times 1 = 3 \)
\( p(1) = (1+1)(1-1) = 2 \times 0 = 0 \)
\( p(0) = (0+1)(0-1) = 1 \times (-1) = -1 \)
(iii) \( p(x) = x^3 \)
\( p(2) = 2^3 = 8 \)
\( p(1) = 1^3 = 1 \)
\( p(0) = 0^3 = 0 \)
(iv) \( p(t) = 2 + t + t^2 - t^3 \)
\( p(2) = 2 + 2 + 2^2 - 2^3 = 2 + 2 + 4 - 8 = 0 \)
\( p(1) = 2 + 1 + 1^2 - 1^3 = 2 + 1 + 1 - 1 = 3 \)
\( p(0) = 2 + 0 + 0^2 - 0^3 = 2 + 0 + 0 - 0 = 2 \)
प्रत्येक बहुपद में चर के मानों को प्रतिस्थापित करके परिणाम प्राप्त किए गए।
In simple words: हमें हर बहुपद में \( x \) (या \( y \), \( t \)) की जगह 2, 1, और 0 रखकर सवाल हल करने थे। बस संख्या को सही जगह रखो और जोड़, घटा, गुणा करो।

🎯 Exam Tip: यदि बहुपद गुणनफल के रूप में दिया गया हो जैसे \( (y+1)(y-1) \), तो आप इसे \( y^2-1 \) में बदलकर भी मान निकाल सकते हैं, जो अक्सर सरल होता है।

प्रश्न 3. निम्नलिखित बहुपदों के शून्यक हैं, सत्यापित कीजिए।
(i) \( p(x) = x^2 - 1; x = 1, -1 \)
(ii) \( p(x) = 2x + 1; x = - \frac { 1 }{ 2 } \)
(iii) \( p(x) = 4x + 5; x = - \frac { 5 }{ 4 } \)
(iv) \( p(x) = 3x^2; x = 0 \)
(v) \( p(x) = (x-3)(x+5); x = 3, -5 \)
(vi) \( p(x) = ax + b; x = - \frac { b }{ a } \)
(vii) \( p(x) = 3x^2 - 1; x = \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } }, - \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
(viii) \( p(x) = 3x + 2; x = - \frac { 2 }{ 3 } \)
Answer: किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसे बहुपद में रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है। हम दिए गए \( x \) मानों को बहुपद में रखकर सत्यापित करेंगे।
(i) दिया है \( p(x) = x^2 - 1; x = 1, -1 \)
जब \( x=1 \), \( p(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \)
जब \( x=-1 \), \( p(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \)
अतः, 1 और -1, \( p(x) \) के शून्यक हैं।
(ii) दिया है \( p(x) = 2x + 1; x = - \frac { 1 }{ 2 } \)
जब \( x = - \frac { 1 }{ 2 } \), \( p \left( - \frac { 1 }{ 2 } \right) = 2 \left( - \frac { 1 }{ 2 } \right) + 1 = -1 + 1 = 0 \)
अतः, \( - \frac { 1 }{ 2 } \) \( p(x) \) का शून्यक है।
(iii) दिया है \( p(x) = 4x + 5; x = - \frac { 5 }{ 4 } \)
जब \( x = - \frac { 5 }{ 4 } \), \( p \left( - \frac { 5 }{ 4 } \right) = 4 \left( - \frac { 5 }{ 4 } \right) + 5 = -5 + 5 = 0 \)
अतः, \( - \frac { 5 }{ 4 } \) \( p(x) \) का शून्यक है।
(iv) दिया है \( p(x) = 3x^2; x = 0 \)
जब \( x=0 \), \( p(0) = 3(0)^2 = 0 \)
अतः, 0 \( p(x) \) का शून्यक है।
(v) दिया है \( p(x) = (x-3)(x+5); x = 3, -5 \)
जब \( x=3 \), \( p(3) = (3-3)(3+5) = 0 \times 8 = 0 \)
जब \( x=-5 \), \( p(-5) = (-5-3)(-5+5) = -8 \times 0 = 0 \)
अतः, 3 और -5, \( p(x) \) के शून्यक हैं।
(vi) दिया है \( p(x) = ax + b; x = - \frac { b }{ a } \)
जब \( x = - \frac { b }{ a } \), \( p \left( - \frac { b }{ a } \right) = a \left( - \frac { b }{ a } \right) + b = -b + b = 0 \)
अतः, \( - \frac { b }{ a } \) \( p(x) \) का शून्यक है।
(vii) दिया है \( p(x) = 3x^2 - 1; x = \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } }, - \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
जब \( x = \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), \( p \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) = 3 \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right)^2 - 1 = 3 \times \frac { 1 }{ 3 } - 1 = 1 - 1 = 0 \)
जब \( x = - \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), \( p \left( - \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) = 3 \left( - \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right)^2 - 1 = 3 \times \frac { 1 }{ 3 } - 1 = 1 - 1 = 0 \)
अतः, \( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) और \( - \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) \( p(x) \) के शून्यक हैं।
(viii) दिया है \( p(x) = 3x + 2; x = - \frac { 2 }{ 3 } \)
जब \( x = - \frac { 2 }{ 3 } \), \( p \left( - \frac { 2 }{ 3 } \right) = 3 \left( - \frac { 2 }{ 3 } \right) + 2 = -2 + 2 = 0 \)
अतः, \( - \frac { 2 }{ 3 } \) \( p(x) \) का शून्यक है।
In simple words: किसी बहुपद का शून्यक वह संख्या होती है जिसे बहुपद में \( x \) की जगह रखने पर पूरा बहुपद शून्य बन जाता है। हमें बस दी गई संख्या को \( x \) की जगह रखकर देखना था कि क्या उत्तर शून्य आता है। अगर शून्य आया, तो वह एक शून्यक है।

🎯 Exam Tip: शून्यकों को सत्यापित करते समय, सभी दिए गए मानों को बहुपद में रखकर परिणाम शून्य आया है या नहीं, यह दिखाना अनिवार्य है।

प्रश्न 4. निम्नलिखित बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए।
(i) \( p(x) = x-4 \)
(ii) \( p(x) = 4x \)
(iii) \( p(x) = bx, b \ne 0 \)
(iv) \( p(x) = x+3 \)
(v) \( p(x) = 2x-1 \)
(vi) \( p(x) = 3x+7 \)
(vii) \( p(x) = cx + d, c \ne 0, c, d \) वास्तविक संख्याएँ हैं।
Answer: बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम \( p(x) \) को शून्य के बराबर रखते हैं और \( x \) के लिए हल करते हैं। यह वह मान है जो बहुपद को शून्य कर देता है।
(i) दिया व्यंजक, \( p(x) = x-4 \)
शून्यक के लिए, \( p(x) = 0 \)
\( x-4 = 0 \)
\( \implies \) \( x=4 \)
अतः \( p(x) \) का शून्यक 4 है।
(ii) दिया व्यंजक, \( p(x) = 4x \)
शून्यक के लिए, \( p(x) = 0 \)
\( 4x = 0 \)
\( \implies \) \( x=0 \)
अतः \( p(x) \) का शून्यक 0 है।
(iii) दिया व्यंजक, \( p(x) = bx, b \ne 0 \)
शून्यक के लिए, \( p(x) = 0 \)
\( bx = 0 \)
\( \implies \) \( x=0 \) (क्योंकि \( b \ne 0 \))
अतः \( p(x) \) का शून्यक 0 है।
(iv) दिया व्यंजक, \( p(x) = x+3 \)
शून्यक के लिए, \( p(x) = 0 \)
\( x+3 = 0 \)
\( \implies \) \( x = -3 \)
अतः \( p(x) \) का शून्यक -3 है।
(v) दिया व्यंजक, \( p(x) = 2x-1 \)
शून्यक के लिए, \( p(x) = 0 \)
\( 2x-1 = 0 \)
\( \implies \) \( 2x = 1 \)
\( \implies \) \( x = \frac{1}{2} \)
अतः \( p(x) \) का शून्यक \( \frac{1}{2} \) है।
(vi) दिया व्यंजक, \( p(x) = 3x+7 \)
शून्यक के लिए, \( p(x) = 0 \)
\( 3x+7 = 0 \)
\( \implies \) \( 3x = -7 \)
\( \implies \) \( x = - \frac{7}{3} \)
अतः \( p(x) \) का शून्यक \( - \frac{7}{3} \) है।
(vii) दिया व्यंजक, \( p(x) = cx + d, c \ne 0, c, d \) वास्तविक संख्याएँ हैं।
शून्यक के लिए, \( p(x) = 0 \)
\( cx + d = 0 \)
\( \implies \) \( cx = -d \)
\( \implies \) \( x = - \frac{d}{c} \)
अतः \( p(x) \) का शून्यक \( - \frac{d}{c} \) है।
In simple words: हमें वह \( x \) का मान ज्ञात करना था जिसके लिए बहुपद का मान शून्य हो जाए। इसके लिए, हम बहुपद को शून्य के बराबर रख देते हैं और फिर \( x \) को अकेला करने के लिए समीकरण हल करते हैं। यह \( x \) का मान ही बहुपद का शून्यक होता है।

🎯 Exam Tip: रैखिक बहुपद \( ax+b \) का शून्यक हमेशा \( - \frac{b}{a} \) होता है। इस सूत्र को याद रखने से गणना आसान हो जाती है।