RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 3 बहुपद Exercise 3.1

Ex 3.1

Question 1. निम्न व्यंजकों में से कौन-से बहुपद हैं? बहुपदों के चरों की संख्या ज्ञात कीजिए-
(i) \( 3x^2 – 5x + 13 \)
(ii) \( y^2 + 2\sqrt{3} \)
(iii) \( y + \frac{3}{y} \)
(iv) 3
(v) \( 2\sqrt{x} + \sqrt{3}x \)
(vi) \( x^{12} + y^3 + t^{20} \)
Answer:
(i) व्यंजक \( 3x^2 – 5x + 13 \) में, x की सभी शक्तियाँ पूरी संख्याएँ हैं। इसीलिए, यह एक चर वाला बहुपद है। बहुपद को समझने के लिए, यह देखना महत्वपूर्ण है कि चर की घात हमेशा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो।
(ii) व्यंजक \( y^2 + 2\sqrt{3} \) में, y की सभी शक्तियाँ पूरी संख्याएँ हैं। इसलिए, यह एक चर वाला बहुपद है। अचर पद \( 2\sqrt{3} \) बहुपद की परिभाषा को प्रभावित नहीं करता है क्योंकि यह चर से जुड़ा नहीं है।
(iii) व्यंजक \( y + \frac{3}{y} \) को \( y + 3y^{-1} \) के रूप में लिखा जा सकता है। इसमें y की घात -1 है, जो एक पूर्ण संख्या नहीं है। इसलिए, यह व्यंजक एक बहुपद नहीं है। बहुपद की एक महत्वपूर्ण शर्त यह है कि चर की घात हमेशा धनात्मक पूर्णांक या शून्य होनी चाहिए।
(iv) 3 एक स्थिर बहुपद है। इसे \( 3x^0 \) के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहाँ \( x^0 = 1 \) और घात पूर्ण संख्या है। सभी वास्तविक संख्याएँ, जो शून्य के बराबर नहीं हैं, अचर बहुपद कहलाती हैं, और इनकी घात शून्य होती है।
(v) व्यंजक \( 2\sqrt{x} + \sqrt{3}x \) को \( 2x^{1/2} + \sqrt{3}x \) के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ पहले पद में x की घात \( \frac{1}{2} \) है, जो एक पूर्ण संख्या नहीं है। इसलिए, यह व्यंजक एक बहुपद नहीं है। किसी भी व्यंजक में यदि चर की घात भिन्न या ऋणात्मक हो, तो वह बहुपद नहीं होता है।
(vi) व्यंजक \( x^{12} + y^3 + t^{20} \) में तीन अलग-अलग चर (x, y, t) हैं। इसलिए, यह एक चर वाला बहुपद नहीं है, बल्कि यह तीन चर वाला बहुपद है। बहुपद में चरों की संख्या के आधार पर उसका वर्गीकरण किया जाता है, जैसे एक चर, दो चर या अधिक चर वाले बहुपद।
In simple words: किसी भी व्यंजक को बहुपद तब कहते हैं जब उसमें चर की घात पूरी संख्या हो (जैसे 0, 1, 2, 3 आदि)। अगर चर की घात माइनस में या भिन्न (जैसे \( 1/2 \)) में हो, तो वह बहुपद नहीं होता है। अगर व्यंजक में सिर्फ एक ही तरह का अक्षर (चर) है तो वह एक चर वाला बहुपद है, और अगर कई अक्षर हैं तो वह कई चर वाला बहुपद है।

🎯 Exam Tip: बहुपद की पहचान करने के लिए हमेशा चर की घात देखें - यह एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक (0, 1, 2, ...) होनी चाहिए, न कि भिन्न या ऋणात्मक संख्या।

Question 2. निम्न व्यंजकों में प्रत्येक में \( x^2 \) का गुणांक लिखिए-
(i) \( 12 + 3x + 5x^2 \)
(ii) \( 7 - 11x + x^3 \)
(iii) \( \sqrt{3}x - 7 \)
(iv) \( \frac{\pi}{2}x^2 + x \)
Answer:
(i) व्यंजक \( 12 + 3x + 5x^2 \) में \( x^2 \) का गुणांक 5 है। गुणांक वह संख्या होती है जो चर के साथ गुणा में लिखी जाती है।
(ii) व्यंजक \( 7 - 11x + x^3 \) में \( x^2 \) का कोई पद नहीं है। इसे \( 7 - 11x + 0x^2 + x^3 \) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, \( x^2 \) का गुणांक 0 है। यदि किसी पद का गुणांक शून्य हो, तो वह पद व्यंजक में मौजूद नहीं होता है।
(iii) व्यंजक \( \sqrt{3}x - 7 \) में \( x^2 \) का कोई पद नहीं है। इसलिए, \( x^2 \) का गुणांक 0 है। गुणांक केवल उसी चर के लिए होता है जो सीधे उसके साथ जुड़ा हो।
(iv) व्यंजक \( \frac{\pi}{2}x^2 + x \) में \( x^2 \) का गुणांक \( \frac{\pi}{2} \) है। गुणांक एक संख्या, एक भिन्न, या एक अपरिमेय संख्या जैसे \( \pi \) भी हो सकता है।
In simple words: \( x^2 \) का गुणांक वह संख्या है जो \( x^2 \) के ठीक आगे गुणा में लिखी होती है। अगर \( x^2 \) व्यंजक में नहीं है, तो उसका गुणांक 0 होता है।

🎯 Exam Tip: गुणांक हमेशा उस चर के ठीक साथ वाली संख्या होती है। यदि कोई पद नहीं है, तो उसका गुणांक शून्य माना जाता है।

Question 4. 120 घात के एकपदी का उदाहरण लिखो।
Answer: 120 घात के एकपदी का एक उदाहरण \( 3x^{120} \) है। (ऐसे कई अन्य उदाहरण भी हो सकते हैं, जैसे \( -7y^{120} \) या \( z^{120} \))। एकपदी में केवल एक पद होता है और उसके चर की घात एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होती है।
In simple words: 120 घात वाला एकपदी \( 3x^{120} \) है. यहाँ चर की घात 120 है और यह सिर्फ एक पद है।

🎯 Exam Tip: एकपदी में केवल एक पद होता है, लेकिन उसकी घात कुछ भी (गैर-ऋणात्मक पूर्णांक) हो सकती है।

Question 5. 8 घात के एक त्रिपदी का उदाहरण लिखो।
Answer: 8 घात के एक त्रिपदी का एक उदाहरण \( x^8 + 5x^4 + 2 \) है। (अन्य उदाहरणों में \( y^8 - 2y^2 + 1 \) भी शामिल है)। त्रिपदी वह बहुपद है जिसमें ठीक तीन पद होते हैं, और प्रत्येक पद में चर की घात पूर्ण संख्या होती है।
In simple words: 8 घात वाला त्रिपदी \( x^8 + 5x^4 + 2 \) है. इसमें सबसे बड़ी घात 8 है और इसमें तीन पद हैं।

🎯 Exam Tip: त्रिपदी में हमेशा तीन पद होते हैं, और उसकी घात उसके सभी पदों में चर की सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है।

Question 6. प्रश्न संख्या 3, 4 व 5 में दिए गए उदाहरणों के अतिरिक्त भी क्या आप लिख सकते हैं? यदि हाँ तो प्रत्येक के दो उदाहरण लिखिए।
Answer: हाँ, विद्यार्थी प्रश्न संख्या 3 (जो यहां नहीं दिया गया है), 4 और 5 में दिए गए उदाहरणों के अलावा अपने स्वयं के बहुपद के उदाहरण लिख सकते हैं। यह छात्रों को बहुपदों की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने में मदद करता है। गणित में अवधारणाओं को समझने के लिए स्वयं उदाहरण बनाना एक बहुत प्रभावी तरीका है।
In simple words: हाँ, हम प्रश्न 3, 4 और 5 के अलावा भी ऐसे ही और उदाहरण लिख सकते हैं. विद्यार्थियों को यह काम खुद करना चाहिए ताकि वे इसे अच्छे से सीख सकें।

🎯 Exam Tip: अपने शब्दों में उदाहरण बनाने से अवधारणा की समझ गहरी होती है, इसलिए हमेशा ऐसा करने का प्रयास करें।

Question 7. निम्न बहुपदों में प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए
(i) \( 12 - 3x + 2x^3 \)
(ii) \( 5y - \sqrt{2} \)
(iii) 9
(iv) \( 3 + 4t^2 \)
Answer:
(i) बहुपद \( 12 - 3x + 2x^3 \) में सबसे बड़ी घात 3 है। इसलिए, बहुपद की घात 3 है। किसी बहुपद की घात उसके सभी पदों में चर की सबसे बड़ी घात होती है।
(ii) बहुपद \( 5y - \sqrt{2} \) में चर y की घात 1 है। इसलिए, बहुपद की घात 1 है। जब चर पर कोई घात नहीं लिखी होती है, तो उसकी घात 1 मानी जाती है।
(iii) बहुपद 9 एक अचर बहुपद है। इसे \( 9x^0 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( x^0 = 1 \)। इसमें चर की सबसे बड़ी घात 0 है। इसलिए, बहुपद की घात 0 है। शून्य के अलावा किसी भी अचर बहुपद की घात हमेशा शून्य होती है।
(iv) बहुपद \( 3 + 4t^2 \) में चर t की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए, बहुपद की घात 2 है। घात निर्धारित करते समय, हमें केवल चर की घातों पर ध्यान देना होता है, गुणांकों पर नहीं।
In simple words: बहुपद की घात पता करने के लिए, हमें उस बहुपद में चर (जैसे x, y, t) की सबसे बड़ी शक्ति (घात) को देखना होता है। वही उस बहुपद की घात होती है।

🎯 Exam Tip: अचर बहुपदों (जैसे 5, -7, 9) की घात हमेशा 0 होती है, क्योंकि उनके साथ कोई चर नहीं होता है।