RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 2 संख्या पद्धति Exercise 2.3

प्रश्न 1. ज्ञात कीजिए :
(i) \( 81^{1/2} \)
(ii) \( 64^{1/6} \)
(iii) \( (125)^{1/3} \)
Answer:
(i) \( 81^{1/2} = (9^2)^{1/2} = 9^{2 \times \frac{1}{2}} = 9^1 = 9 \)
यहाँ, \( 81 \) को \( 9 \) के वर्ग (\( 9^2 \)) के रूप में लिखा गया है। घात \( \frac{1}{2} \) का अर्थ वर्गमूल निकालना होता है।
(ii) \( 64^{1/6} = (2^6)^{1/6} = 2^{6 \times \frac{1}{6}} = 2^1 = 2 \)
यहाँ, \( 64 \) को \( 2 \) की छठी घात (\( 2^6 \)) के रूप में लिखा गया है। घात \( \frac{1}{6} \) का अर्थ छठा मूल निकालना होता है।
(iii) \( (125)^{1/3} = (5^3)^{1/3} = 5^{3 \times \frac{1}{3}} = 5^1 = 5 \)
यहाँ, \( 125 \) को \( 5 \) के घन (\( 5^3 \)) के रूप में लिखा गया है। घात \( \frac{1}{3} \) का अर्थ घनमूल निकालना होता है।
In simple words: किसी संख्या की भिन्नात्मक घात का मतलब उसका मूल निकालना होता है। हम संख्या को आधार की घात के रूप में लिखकर फिर घातों को गुणा करते हैं।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक घातों वाले प्रश्नों को हल करने के लिए, सबसे पहले आधार संख्या को अभाज्य गुणनखंडों की घात के रूप में लिखें।

प्रश्न 2. ज्ञात कीजिए :
(i) \( 4^{3/2} \)
(ii) \( 32^{2/5} \)
(iii) \( 16^{3/4} \)
Answer:
(i) \( 4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^{2 \times \frac{3}{2}} = 2^3 = 8 \)
यहाँ, \( 4 \) को \( 2^2 \) के रूप में लिखा गया है। घातों को गुणा करने पर \( 2^3 \) मिलता है, जिसका मान \( 8 \) है।
(ii) \( 32^{2/5} = (2^5)^{2/5} = 2^{5 \times \frac{2}{5}} = 2^2 = 4 \)
यहाँ, \( 32 \) को \( 2^5 \) के रूप में लिखा गया है। घातों को गुणा करने पर \( 2^2 \) मिलता है, जिसका मान \( 4 \) है।
(iii) \( 16^{3/4} = (2^4)^{3/4} = 2^{4 \times \frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \)
यहाँ, \( 16 \) को \( 2^4 \) के रूप में लिखा गया है। घातों को गुणा करने पर \( 2^3 \) मिलता है, जिसका मान \( 8 \) है।
In simple words: जब घात भिन्न में हो, तो आधार संख्या को अभाज्य गुणनखंडों की घात के रूप में बदलें। फिर घातों को गुणा करके सरल करें।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक घातों को \( a^{m/n} = (a^{1/n})^m \) या \( (a^m)^{1/n} \) के रूप में समझा जा सकता है, जिसका अर्थ है पहले मूल (nth root) निकालना, फिर घात (mth power) करना।

प्रश्न 3. ज्ञात कीजिए :
(i) \( 2^{2/3} \cdot 2^{1/7} \)
(ii) \( \left( \frac { 1 }{ 3^3 } \right)^7 \)
Answer:
(i) \( 2^{2/3} \cdot 2^{1/7} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{7}} = 2^{\frac{14+3}{21}} = 2^{17/21} \)
यहाँ, समान आधार वाली संख्याओं को गुणा किया जा रहा है, इसलिए उनकी घातें जुड़ जाती हैं। हम भिन्नों का योग करते हैं।
(ii) \( \left( \frac { 1 }{ 3^3 } \right)^7 = \frac { 1^7 }{ (3^3)^7 } = \frac { 1 }{ 3^{3 \times 7} } = \frac { 1 }{ 3^{21} } \)
यहाँ, पूरी भिन्न की घात है, तो अंश और हर दोनों की घात की जाती है। घात की घात होने पर, घातें गुणा हो जाती हैं।
In simple words: जब आधार समान होते हैं तो गुणा में घातें जुड़ जाती हैं, और जब घात की घात होती है तो घातें गुणा हो जाती हैं।

🎯 Exam Tip: घातों के नियमों को याद रखें: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( (a^m)^n = a^{mn} \), और \( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)।

प्रश्न 4. x का मान ज्ञात कीजिए:
\( \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ x } \cdot \left( \frac { 5 }{ 3 } \right) ^{ 2x } = \frac { 125 }{ 27 } \)
Answer:
दिए गए समीकरण को हल करने के लिए, हम सभी आधारों को समान बनाते हैं।
\( \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ x } \cdot \left( \frac { 5 }{ 3 } \right) ^{ 2x } = \frac { 125 }{ 27 } \)
\( \implies \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ x } \cdot \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ -2x } = \left( \frac { 5 }{ 3 } \right) ^{ 3 } \) (क्योंकि \( \left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^n \) और \( \frac{125}{27} = \frac{5^3}{3^3} \))
\( \implies \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ x - 2x } = \left( \frac { 5 }{ 3 } \right) ^{ 3 } \) (समान आधार पर घातें जुड़ जाती हैं)
\( \implies \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) ^{ -x } = \left( \frac { 5 }{ 3 } \right) ^{ 3 } \)
\( \implies \left( \frac { 5 }{ 3 } \right) ^{ x } = \left( \frac { 5 }{ 3 } \right) ^{ 3 } \) (पुनः, \( \left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^n \))
अब, दोनों पक्षों के आधार समान हैं, इसलिए हम उनकी घातों की तुलना कर सकते हैं।
\( \implies x = 3 \)
In simple words: ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए, दोनों तरफ के आधारों को एक जैसा बनाना होता है। जब आधार समान हो जाते हैं, तो आप घातों को बराबर करके x का मान निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि समीकरण के दोनों पक्षों के आधार समान हों। यदि आधार अलग-अलग हैं, तो उन्हें घातों के नियमों का उपयोग करके समान आधार में बदलें, जैसे \( \left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^n \)।