RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 2 संख्या पद्धति Exercise 2.2

पद्धति Ex 2.2

Question 1. निम्नलिखित संख्याओं में से परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ बताइए।
(i) \( 2 - \sqrt{5} \)
(ii) \( (3 + \sqrt{23}) - \sqrt{23} \)
(iii) \( \frac {2\sqrt{11}}{7\sqrt{11}} \)
(iv) \( \frac {1}{\sqrt{3}} \)
(v) \( 5\pi \)
Answer:
(i) संख्या \( 2 - \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब एक परिमेय संख्या (2) में से एक अपरिमेय संख्या (\( \sqrt{5} \)) को घटाया जाता है, तो परिणाम हमेशा अपरिमेय होता है। यह एक महत्वपूर्ण नियम है जो इस तरह की संख्याओं पर लागू होता है।
(ii) पहले हम इस संख्या को सरल करेंगे: \( (3 + \sqrt{23}) - \sqrt{23} = 3 \)। चूंकि 3 को \( \frac{3}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है, यह एक परिमेय संख्या है। संख्याओं को सरल करना अक्सर यह पता लगाने में मदद करता है कि वे किस प्रकार की हैं।
(iii) संख्या \( \frac {2\sqrt{11}}{7\sqrt{11}} \) को सरल करने पर हमें \( \frac{2}{7} \) मिलता है। \( \frac{2}{7} \) को दो पूर्णांकों (2 और 7) के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है। इस तरह के भिन्न को सरल बनाने से उसका प्रकार आसानी से पता चल जाता है।
(iv) संख्या \( \frac {1}{\sqrt{3}} \) एक अपरिमेय संख्या है। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब एक परिमेय संख्या (1) को एक अपरिमेय संख्या (\( \sqrt{3} \)) से भाग दिया जाता है, तो परिणाम हमेशा अपरिमेय होता है। अपरिमेय संख्याओं की यह विशेषता उन्हें विशेष बनाती है।
(v) संख्या \( 5\pi \) एक अपरिमेय संख्या है। इसका कारण यह है कि 5 एक परिमेय संख्या है, जबकि \( \pi \) एक अपरिमेय संख्या है। जब एक परिमेय संख्या को एक अपरिमेय संख्या से गुणा किया जाता है, तो गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है। \( \pi \) का मान कभी खत्म नहीं होता और न ही दोहराता है, इसलिए यह अपरिमेय है।
In simple words: परिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, जबकि अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता और दशमलव प्रसार अनावर्ती व अनन्त होता है।

🎯 Exam Tip: परिमेय और अपरिमेय संख्याओं की परिभाषाएँ और उनके गुणों को हमेशा याद रखें, खासकर जब आप उन्हें जोड़ते, घटाते, गुणा करते या भाग देते हैं।

Question 2. निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए।
(i) \( \frac { 1 }{ 5+3\sqrt{7} } \)
(ii) \( \frac { 1 }{ \sqrt{2}+\sqrt{3} } \)
(iii) \( \frac { 1 }{ \sqrt{7}-2 } \)
Answer:
(i) हर का परिमेयकरण करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करते हैं।
\( \frac { 1 }{ 5+3\sqrt{7} } \)
\( \implies \frac { 1 }{ 5+3\sqrt{7} } \times \frac { 5-3\sqrt{7} }{ 5-3\sqrt{7} } \)
\( \implies \frac { 5-3\sqrt{7} }{ (5)^2 - (3\sqrt{7})^2 } \)
\( \implies \frac { 5-3\sqrt{7} }{ 25 - (9 \times 7) } \)
\( \implies \frac { 5-3\sqrt{7} }{ 25 - 63 } \)
\( \implies \frac { 5-3\sqrt{7} }{ -38 } \)
\( \implies - \frac { 5-3\sqrt{7} }{ 38 } \)
\( \implies \frac { 3\sqrt{7}-5 }{ 38 } \) हर का परिमेयकरण करने से गणनाएं आसान हो जाती हैं और संख्या को समझना सरल हो जाता है।
(ii) हर का परिमेयकरण करने के लिए, हम अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करेंगे।
\( \frac { 1 }{ \sqrt{2}+\sqrt{3} } \)
\( \implies \frac { 1 }{ \sqrt{2}+\sqrt{3} } \times \frac { \sqrt{2}-\sqrt{3} }{ \sqrt{2}-\sqrt{3} } \)
\( \implies \frac { \sqrt{2}-\sqrt{3} }{ (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 } \)
\( \implies \frac { \sqrt{2}-\sqrt{3} }{ 2 - 3 } \)
\( \implies \frac { \sqrt{2}-\sqrt{3} }{ -1 } \)
\( \implies -(\sqrt{2}-\sqrt{3}) \)
\( \implies \sqrt{3}-\sqrt{2} \) हर का परिमेयकरण गणित में एक सामान्य प्रक्रिया है, खासकर जब हर में अपरिमेय संख्याएँ हों।
(iii) हम अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करते हैं ताकि हर को परिमेय बनाया जा सके।
\( \frac { 1 }{ \sqrt{7}-2 } \)
\( \implies \frac { 1 }{ \sqrt{7}-2 } \times \frac { \sqrt{7}+2 }{ \sqrt{7}+2 } \)
\( \implies \frac { \sqrt{7}+2 }{ (\sqrt{7})^2 - (2)^2 } \)
\( \implies \frac { \sqrt{7}+2 }{ 7 - 4 } \)
\( \implies \frac { \sqrt{7}+2 }{ 3 } \) इस प्रक्रिया से हर से वर्गमूल समाप्त हो जाता है, जिससे भिन्न का रूप सरल हो जाता है।
In simple words: हर में से वर्गमूल हटाने के लिए, हम अंश और हर को हर के संयुग्मी (चिन्ह बदलकर) से गुणा करते हैं। यह \( a^2 - b^2 \) के सूत्र का उपयोग करता है।

🎯 Exam Tip: हर का परिमेयकरण करते समय, हमेशा हर के संयुग्मी (conjugate) से अंश और हर दोनों को गुणा करना याद रखें। इससे हर से वर्गमूल हट जाता है।

Question 3. यदि \( \frac{3+2\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} = a + b\sqrt{2} \); जहाँ a और b परिमेय हैं तब a और b का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:हमें \( \frac{3+2\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} = a + b\sqrt{2} \) दिया गया है। सबसे पहले, हम समीकरण के बाईं ओर के हर का परिमेयकरण करेंगे।
\( \frac{3+2\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} \)
\( \implies \frac{(3+2\sqrt{2}) \times (3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2}) \times (3+\sqrt{2})} \)
\( \implies \frac{3(3) + 3(\sqrt{2}) + 2\sqrt{2}(3) + 2\sqrt{2}(\sqrt{2})}{ (3)^2 - (\sqrt{2})^2 } \)
\( \implies \frac{9 + 3\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 2 \times 2}{9 - 2} \)
\( \implies \frac{9 + 9\sqrt{2} + 4}{7} \)
\( \implies \frac{13 + 9\sqrt{2}}{7} \) अब, इसे \( \frac{13}{7} + \frac{9}{7}\sqrt{2} \) के रूप में लिखा जा सकता है। दी गई समीकरण के अनुसार:
\( \frac{13}{7} + \frac{9}{7}\sqrt{2} = a + b\sqrt{2} \) दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें a और b के मान मिलते हैं।
\( a = \frac{13}{7} \)
\( b = \frac{9}{7} \) इस तरह के प्रश्नों में, हर का परिमेयकरण करना पहला और सबसे महत्वपूर्ण कदम होता है।
In simple words: पहले दिए गए भिन्न के हर को परिमेय बनाते हैं। फिर उसे \( a+b\sqrt{2} \) के रूप में लिखते हैं। अंत में, दोनों तरफ के परिमेय भागों और \( \sqrt{2} \) के गुणांकों की तुलना करके a और b का मान निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: जब दो समान बीजगणितीय व्यंजकों की तुलना करनी हो, तो पहले दोनों व्यंजकों को सबसे सरल रूप में लाना महत्वपूर्ण है। इससे गलतियाँ होने की संभावना कम हो जाती है।