RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 2 संख्या पद्धति Exercise 2.1

प्रश्न 1. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन सी संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन सी संख्याएँ अपरिमेय हैं:
(i) \( \sqrt{23} \)
(ii) \( \sqrt{225} \)
(iii) \( 0.3797 \)
(iv) \( 7.4784478... \)
(v) \( 1.101001000100001... \)
Answer:
(i) \( \sqrt{23} \) एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है। इसलिए, \( \sqrt{23} \) एक अपरिमेय संख्या है। अपरिमेय संख्याओं को भिन्नों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता।
(ii) \( \sqrt{225} = \sqrt{(3 \times 3 \times 5 \times 5)} = 3 \times 5 = 15 \)। चूंकि 15 को \( \frac{15}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है, \( \sqrt{225} \) एक परिमेय संख्या है।
(iii) \( 0.3797 \) का दशमलव प्रसार सांत है (यह एक निश्चित संख्या के बाद समाप्त हो जाता है)। इसलिए, \( 0.3797 \) एक परिमेय संख्या है।
(iv) \( 7.4784478... \) एक अनवसानी आवृत्ति है (यह न तो समाप्त होता है और न ही अंकों का कोई निश्चित पैटर्न दोहराता है)। इसलिए, यह एक अपरिमेय संख्या है।
(v) \( 1.101001000100001... \) का दशमलव प्रसार भी अनवसानी आवृत्ति है। यह न तो समाप्त होता है और न ही इसमें कोई निश्चित दोहराने वाला पैटर्न है। अतः, यह एक अपरिमेय संख्या है।
In simple words: परिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में लिखा जा सके या जिनका दशमलव विस्तार समाप्त हो जाए या दोहराया जाए। अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिनका दशमलव विस्तार न तो समाप्त होता है और न ही दोहराता है।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या के परिमेय या अपरिमेय होने का निर्धारण करने के लिए, हमेशा उसके दशमलव प्रसार को देखें या जांचें कि क्या यह एक पूर्ण वर्ग या घन है।

प्रश्न 2. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों।
Answer: हम जानते हैं कि सभी अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होता है। इसका मतलब है कि वे न तो कभी समाप्त होती हैं और न ही अंकों का एक निश्चित पैटर्न दोहराती हैं। उदाहरण के लिए, \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{3} \), \( \sqrt{5} \) आदि जैसी संख्याएँ अपरिमेय हैं, और उनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होते हैं। हम ऐसी संख्याओं को सीधे उनके दशमलव प्रसार के रूप में भी लिख सकते हैं, जैसे:
a) \( 0.04004000400004... \)
b) \( 0.505005000500005... \)
c) \( 0.007000700007... \)
ये संख्याएँ लगातार एक पैटर्न में गैर-दोहराव वाले अंक दिखाती हैं।
In simple words: अपरिमेय संख्याएँ ऐसी होती हैं जिनका दशमलव भाग कभी खत्म नहीं होता और कभी भी एक ही पैटर्न में अंक दोहराता नहीं है। आप ऐसे अंकों के पैटर्न बनाकर उन्हें लिख सकते हैं जो कभी न दोहराएँ और कभी खत्म न हों।

🎯 Exam Tip: अनवसानी अनावर्ती दशमलव बनाने के लिए, एक ऐसा पैटर्न बनाएँ जहाँ हर बार दोहराए जाने वाले अंक के बीच शून्य की संख्या बढ़ती जाए, जैसे 0.1010010001...

प्रश्न 4. निम्नलिखित को \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त कीजिए जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q \( \ne \) 0 है।
(i) \( 0.3 \)
(ii) \( 0.\overline{47} \)
(iii) \( 1.\overline{27} \)
(iv) \( 1.2\overline{35} \)
Answer:
(i) \( 0.3 \)
माना \( x = 0.3 \)
\( 10x = 3.3 \)
\( 10x - x = 3.3 - 0.3 \)
\( 9x = 3 \)
\( x = \frac{3}{9} \)
\( x = \frac{1}{3} \)
तो, \( 0.3 = \frac{1}{3} \)

(ii) \( 0.\overline{47} \)
माना \( x = 0.474747... \) (i)
दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए समीकरण (i) को 100 से गुणा करने पर:
\( 100x = 47.474747... \) (ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर:
\( 100x - x = 47.474747... - 0.474747... \)
\( 99x = 47 \)
\( x = \frac{47}{99} \)
तो, \( 0.\overline{47} = \frac{47}{99} \)

(iii) \( 1.\overline{27} \)
माना \( x = 1.272727... \) (i)
यहाँ दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों ओर 100 से गुणा करने पर:
\( 100x = 127.272727... \) (ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर:
\( 100x - x = 127.272727... - 1.272727... \)
\( 99x = 126 \)
\( x = \frac{126}{99} \)
सरल करने पर, \( x = \frac{14}{11} \)
तो, \( 1.\overline{27} = \frac{14}{11} \)

(iv) \( 1.2\overline{35} \)
माना \( x = 1.2353535... \) (i)
पहले, दशमलव के बाद गैर-दोहराए जाने वाले अंक (2) को बाईं ओर लाने के लिए समीकरण (i) को 10 से गुणा करें:
\( 10x = 12.353535... \) (ii)
अब, दो अंकों (35) की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए समीकरण (ii) को 100 से गुणा करने पर:
\( 100 \times (10x) = 100 \times (12.353535...) \)
\( 1000x = 1235.353535... \) (iii)
समीकरण (ii) को समीकरण (iii) में से घटाने पर:
\( 1000x - 10x = 1235.353535... - 12.353535... \)
\( 990x = 1223 \)
\( x = \frac{1223}{990} \)
तो, \( 1.2\overline{35} = \frac{1223}{990} \)
In simple words: किसी भी दशमलव संख्या को \( \frac{p}{q} \) के रूप में बदलने के लिए, हम उस संख्या को \( x \) मानते हैं। यदि दशमलव के बाद अंक दोहराते हैं, तो हम उसे 10, 100, या 1000 से गुणा करते हैं ताकि दोहराए जाने वाले भाग संरेखित हो जाएँ। फिर एक समीकरण से दूसरे को घटाकर \( x \) का मान भिन्न के रूप में निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: \( \frac{p}{q} \) में बदलने के लिए, दोहराए जाने वाले अंकों की संख्या के आधार पर 10, 100, या 1000 से गुणा करें। यदि कोई अंक दोहराया नहीं जाता है, तो उसे पहले दशमलव से पहले लाएँ।

प्रश्न 5. परिमेय संख्याओं 3 और 2 के बीच तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer:पहले, दिए गए भिन्न \( \frac{5}{7} \) और \( \frac{9}{11} \) को दशमलव रूप में बदलते हैं। (नोट: प्रश्न में 3 और 2 दिया गया है, लेकिन हल में 5/7 और 9/11 का उपयोग किया गया है। हम हल में दिए गए मानों का अनुसरण करेंगे)।
\( \frac{5}{7} = 0.714285... \)
\( \frac{9}{11} = 0.8181... \)
अब हमें \( 0.714285... \) और \( 0.8181... \) के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करनी हैं। अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिनका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होता है (न तो समाप्त होता है और न ही दोहराता है)।
यहाँ तीन ऐसी संख्याएँ हैं:
1. \( 0.75075007500075000075... \)
2. \( 0.767076700767000767... \)
3. \( 0.808008000800008... \)
इन संख्याओं में, अंकों का कोई पैटर्न दोहराता नहीं है और दशमलव प्रसार कभी समाप्त नहीं होता है।
In simple words: अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिनका दशमलव भाग कभी खत्म नहीं होता और न ही दोहराता है। दो परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमेय संख्याएँ खोजने के लिए, हम उन दोनों परिमेय संख्याओं के दशमलव मानों के बीच एक गैर-दोहराव वाला और अनंत दशमलव पैटर्न बनाते हैं।

🎯 Exam Tip: दो संख्याओं के बीच अपरिमेय संख्याएँ बनाने के लिए, हमेशा एक दशमलव पैटर्न बनाएँ जहाँ दोहराए जाने वाले ब्लॉक की लंबाई हर बार बढ़ती जाए (जैसे 0.1010010001...) ताकि यह अनावर्ती बना रहे।